第1回の補足

● 運動方程式の解の例のところで質問がありました。– 調和振動子の解で、

から

– になったのはなぜ？Bはどこから来たの？

● 確かにちょっと雑だったので補足します。

● まず、調和振動子（と自由粒子の場合も）の場合、すべて左辺に移項して = 0の形にすると

と書けることに注意して下さい。これは、

[x(t)を含まない演算]*x(t)という形です。

– この演算の部分には、定数、任意の具体的に与えられたtの関数、微分操作、それらの加減乗除による組み合わせが有り得ます。

● 一方、重力/静電気力の場合、逆二乗の項のせいでこうは書けないことに注意して下さい。

● 「x(t)を含まないなんらかの演算」の部分をDと書くと ということですが、このような方程式のことを「x(t)について線形」といいます。

● 線形方程式の一般的な性質として、x1、x2をそれぞれこのDx(t) = 0の解、α、βを定数として、以下のようなことが言えます。

● つまり、x1とx２の任意の線形結合もまたDx(t) = 0の解になります。別の言い方をすれば、Dx(t) = 0の解全体はベクトル空間をなすと言ってもいい。

● また、今の場合、k/mが実数なので、

つまり、ある解の複素共役もやはり解になります。

● 　　　　　　　と書いた段階ではxが実数であるという制約を考慮していなかったので、xを実数に制限します。「xの実数部」は、

と書けますが、これが前頁で調べた複素共役と、線形結合の組み合わせでできていることに注目して下さい。そうでなかったとしたら、「実数に制限する」という操作自体が、xが方程式の解であるという性質を壊してしまう可能性があったわけです。

● ところで、Aとθは任意の複素数で良かったのですが、実は なので、θはAに含めてしまう（　　を改めてAと考える）ことができます。つまりθは冗長であり、ここでは必要ありませんでした。

● 以上を踏まえた上で、公式

を用いると、

● A = α + iβ (α、βは実数）と置くと

● α、-βをそれぞれ改めてA、Bと置き直すと

と書けます。（θは不要だったわけです）