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F 10. q 0. q 1. Lezione 2 : il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico. Il Campo Elettrico. q 1 esercita su q 0 una forza proporzionale a: q 0 (carica esploratrice) termine vettoriale che dipende da q 1 e dalla posizione, detto campo elettrico prodotto da q 1. - PowerPoint PPT Presentation
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Il Campo Elettrico
Lezione 2: il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico
urqq
urqqF
21
00
210
010
41
41
q1
q0
F10
q1 esercita su q0 una forza proporzionale a:
q0 (carica esploratrice)termine vettorialeche dipende da q1 e dalla posizione, dettocampo elettrico prodotto da q1
urqrE 2
1
041)(
)(010 rEqF
Asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza
il campo esiste anche quando q0 non c’è
Modello visivo di campo Etelo elastico
Q+q -
Q+ (sorgente) deforma il telo
q - (carica di prova) segue la curvatura del campo
principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi
EqF 0
n
ii
i
i urqE
12
041
i
i
i
i
ii u
rqqFF 2
00 4
1
distribuzioni continue di caricheenorme quantità (miliardi) di cariche sparse su
linea superficie volume
dsdq dadq dVdq
densità di caricaC/mC/m2
C/m3
EdE
Filo carico infinito
220
20
41
41
zydz
rdqdE
dEdEEz
zyy
cos
rE
02
(anello carico, disco carico …)
Il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,
mediante la forza q0 E(r)
utilizzo una piccola carica q0
per non perturbare le cariche responsabili del campo:
Definizione operativa del campo
0q
FE
000
limqFE
q
CNE ][
Prima di Faraday: azione a distanzala forza agente fra particelle cariche è una interazione
diretta e istantanea fra le due particellecarica carica
Visione attuale: azione locale
q1 origina un campo elettrico nello spazio circostantecampo esercita su q2 una forza F
carica campo
Eq1 Eq2
Fq1 = -Fq2
Il concetto di campo elettricoelimina le azioni a distanza
in condizioni statiche:Azione a distanza azione locale
in condizioni dinamiche:q2 è informata del moto di q1
da una perturbazionedel campo che si propaga con velocità c.
Applicazionicampi elettrici
Stampanti a getto d’inchiostro
ogni lettera 100 gocce105 gocce/sec
Rappresentazione grafica del campo elettrostatico
Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali mediante linee di forza
linea di forza: curva orientata diretta in ogni punto nella direzione e verso tangente al campo in quel punto
Il campo elettrico è vettoriale
E
sono infinitenon si incrociano mairappresentano direzione, verso, intensità escono da +q, entrano in -qpossono venire o andare a
Esempi linee di campo
linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante
piastra carica
sferette con cariche opposte
Teorema di Gauss
E
Flusso di E attraverso :
vE
Fluido incomprimibile:
v volume di fluido che attraversa S nell’unita` di tempo
SEsuperficie
finita
NE
somma algebrica linee di campo:entranti –uscenti +
campo elettrico E generato da q
dq
dner
qdEd
r
0
20
4
14
d dipende solo da angolo solido d sotto cui la carica vede d
( )2
1r
E
004 qdqE
tutto
indipendente dalla posizione della carica q
dVdVEdivVV
0
1
0
Ediv Teorema di Gauss
Conseguenza del Teorema di Gauss
Conduttore isolato:un eccesso di carica si distribuisce sulla superficie esterna
(verifica sperimentale prima di Gauss e Coulomb)
ecceso di carica campo elettrico E0 moto di cariche
equilibrio E=0 per ogni q = 0entro
0)( E
la carica deve essere sulla superficie del conduttore
Verifica sperimentale Teorema di Gauss
1755 Franklin: all’interno di un recipiente metallico isolato non possono esservi cariche
Cavendish: esegue esperimento e deduce che esponente nella legge della forza di Coulomb e` 1.98-2.02 (mai pubblicato!!)
Maxwell: ripete esperimento di Cavendish e trova 1.9995-2.00005
0qE
2
1r
E
N.B. La legge di Coulomb e` del 1785 !!!
1936: Plimpton e Lawton
dispositivo:due involucri metallici concentrici A e BB contiene elettrometro E per rivelare moto di cariche fra A e Bcon commutatore S trasferisco carica sulle sfere
non si osserva alcun effetto nell’elettrometro
204
1rqE
se =0 0
)(qE
Applicazioniteorema di Gauss
(1) Calcolo di E (distribuzioni simmetriche di cariche)
Filo carico infinito(simmetria cilindrica)
)2(cos)2(
cos)(
hrEhrE
EAE
0
int
.)(
qE
GaussT
hrhE )2(0
rE
02
(simmetria piana, sferica …)
(2) Schermo elettrostatico
Il conduttore può avere Piccole aperture Struttura a rete
(discontinuità non si avvertono a grandi distanze)
Utilizzo in laboratorio:
per proteggere strumentazione delicata da campi elettromagnetici
Il campo E è sempre nullo
all’interno di conduttori caviE=0
Il potenziale elettrostaticoForza di Coulomb è conservativa
il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0 non dipende dal percorso
210
0 114
2
1
rrqq
dsFLr
r
)()( 12 rUrUL
energia potenziale U(funzione della sola posizione della carica q)
costante14
)(0
0 r
qqrU
Forza di Coulomb è conservativa
il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0
non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e finale.
210
0
2
12
0
0
2
12
0
0
2
1
114
4
4
rrqq
rdrqq
dsruqq
dsFL
r
tutte le forze centrali sono conservative
Se la carica q è unitaria:
EF
)()( 12
2
1
rrdrEL
Il lavoro è una differenza di potenzialetra i punti r2 ed r1
0)(
)(
0
0
r
drErr
r
Il potenziale è definitoa meno di una costanteadditiva arbitraria
campo creato da carica puntiforme
q0 nell’origine 0 )(
cost14
)(0
0
r
qr
è il lavoro che fatto contro le forze del campo per portarvi la carica unitaria dall’)(r
VCJ
][
Potenziale elettricodi carica puntiforme
Q+: repulsivo Q -: attrattivo
La forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a
potenziale maggiore verso punti a potenziale minore
kk
jy
ix
drrrr
drErr
r
r
r
r
)()()(
)()(
2
1
2
1
12
12
i
j
k
E
Calcolo del campo prodotto da una data distribuzione di carica:
calcolo il potenzialederivo le componenti del campo
In elettrostatica:
Superfici equipotenzialiLuogo geometrico dei punti con medesimo potenziale
E non compie lavoro su tali
superifici(L=Vf – Vi=0)
LI = LII = 0LIII = LIV
sono perpendicolari alle linee di campo altrimenti E avrebbe componente sulla superficie E compirebbe lavoro per muovere carica su superficie
0
ldddldz
kdldy
ydldx
xdld
dzk
dyy
dxx
dkdzjdyidxld
spostamento infinitesimo incremento della funzione
su sup. livello
ldEld
Problema fondamentale
dell’elettrostatica
0
Ediv
E E è conservativo
Teorema di Gauss
0
2
div
equazione di Poisson
2
2
2
2
2
22
zyx
Laplaciano(in coordinate cartesiane)
per distribuzioni NOTE di cariche puntiformi, superficiali, volumetriche:
V iS i
N
i i
i
rrdvr
rrdar
rrqr
')'(4
1')'(4
1
41)(
00
10
in presenza di conduttori:distribuzione di carica NON nota a priori
su superfici dei conduttori causa fenomeno induzione elettrostatica
02
1. studio eq. di Poisson in tutti i punti in cui (x,y,z)=0
equazione di Laplace
Come posso risolvere il problema?
2. cerco soluzioni armoniche (“regolari”) in regione di spazio V finita: cerco cioè funzioni finite, continue in derivate prime e con derivate seconde
N.B. tali funzioni esistono e sono univocamente determinate assegnati i valori di odelle sue derivate sulla superficie S che racchiude V [Teoremi di Dirichlet e Neumann]
in pratica:1. risolvo equazione di Poisson in punti esterni ai conduttori2. cerco soluzione univocamente definita imponendo condizioni al contorno: valori di potenziale o campo E su superfici dei conduttori.
N.B. dentro i conduttori: E = 0, costanteS
si distingue inoltre tra
problema chiuso: esiste superficie S che contiene tutti i conduttori assegno condizioni al contorno su S
problema aperto:
superficie S specifico comportamento potenziale a
22
1
)(lim
)(lim
cdr
rdr
crr
r
r
condizioni normali a
2
1)(
1)(
rdrrd
rr
r
r
N.B. tali condizioni sono valide se a NON ci sono cariche
esempio: carica ad potenziale ad NON nullo
filo uniformemente carico lunghezza finita L
xy
z
0
1L
2L
'dz
),,( zP
R
'zz
22 )'( zzR
2
1 220 )'(
'4
)(L
L zzdzP
sapendo che:
)ln( 22
22
uuu
du
22
11
''
LzuLzu
dzduzzu
22
22
21
21
0
220
220
)(
)(ln
4
44)( 1
2
2
1
LzLz
LzLz
udu
uduP
Lz
Lz
Lz
Lz
Supponiamo ora il filo molto lungo:
zLL
zLLLL
22
11
21
,
,,
numeratore
denominatore: uso espansione 12L
...81
211)1( 22
1
xxx
2
2
22
2
2
2/1
22
2
2
2/1
22
2
2 2211111
)(11)(
LLL
LL
zLzL
21
221
0
4ln4
)(LL
LLP
il potenziale diventa perché L1 ed L2 vanno ad
il potenziale è diverso da 0 ad perché ho carica a