Corso di Macroeconomia

Il modello IS-LM

Enrico SaltariSapienza, Università di Roma

1

Le ipotesi

1. Il livello dei prezzi è fisso.

2. L’analisi è limitata al breve periodo.

La funzione degli investimenti

A differenza del modello reddito-spesa, nel modello IS − LM la spesa per inve-stimenti, I, dipende dal tasso d’interesse, i, e dal livello della produzione, Y.Limitiamoci a illustrare le decisioni di investimento in un caso semplice. in cui lamacchina dura un solo anno e che abbia un costo pari a PK. Il tasso di rendimentoo efficienza marginale della macchina m è

m =Π(Y )− PK

PK2

Tabella 1 Esempio di calcolo del tasso di rendimento di una macchinaCosto di una macchina aggiuntiva , PK 5Ricavi addizionali attesi (1 · 10) 10Costi necessari al funzionamento della macchina 4.7Profitto atteso addizionale, Π (10− 4.7) 5.3Tasso di profitto, m ((5.3− 5)/5) 6%

dove Π(Y ) rappresenta i profitti attesi.

La tabella mostra un esempio di calcolo di Π(Y ) e m, in cui il prezzo atteso èpari a 1 e la quantità prodotta è Y = 10.

Il calcolo di m non è tuttavia sufficiente a sapere se l’investimento è convenienteoppure no. L’impresa deve porre a confronto m con il costo opportunità del-la somma di denaro necessaria all’investimento, ossia con il tasso d’interesse, i.Soltanto se m > i, l’investimento è conveniente.

m > i =⇒ Π(Y )− PKPK

> i

3

ovveroΠ (Y )

1 + i> PK

L’investimento risulterà tanto più conveniente quanto maggiore Y e minore i

I = I + d1Y − d2i

Esercizio

Supponete che un investimento comporti un costo di PK = 200. L’investimentodura soltanto due anni, dopo di che esso non ha più alcun valore. Al termine delprimo anno esso fornisce un rendimento di Π1 = 110; dopo due anni, il rendimentoè Π1 = 121. Determinate l’efficienza marginale dell’investimento. Se il tasso diinteresse è i = 8%, è conveniente effettuare l’investimento?

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La curva IS

La posizione di equilibrio del sistema economico può essere rappresentata dalseguente sistema di equazioni:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Y = ZZ = C + I +GC = c0 + c1 (Y − T )I = I + d1Y − d2i

Risolvendo rispetto al prodotto Y

Y =1

1− (c1 + d1)(A− d2i) = α (A− d2i)

dove A = c0 + I +G− c1T è la spesa autonoma e α =1

1− (c1 + d1).

Questa è l’espressione formale della scheda IS. Essa rappresenta il luogo del-le combinazioni di reddito e tasso d’interesse per cui si ha equilibrio, ovverouguaglianza tra domanda aggregata e offerta aggregata sul mercato dei beni.

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Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y − 18i;G = 400;T = 400

Determinate l’equazione della scheda IS.

Risposta. Il moltiplicatore è α = 11−(c1+d1) =

11−(.7+.1) = 5. La domanda

autonoma è A = 180 + 100 + 400 − .7 · 400 = 400. Perciò la scheda IS èY = α (A− d2i) = 5 (400− 18i) .

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Esercizio

Un dato sistema economico è descritto dalla seguenti equazioni:

curva IS: Y = 50000− 1250i;funzione degli investimenti: I = 13500 + 1.6Y − 400i

Calcolate il valore del moltiplicatore α.

Risposta. L’equazione della curva IS è Y = α (A− d2i) . Poiché il coefficientedel tasso di interesse nella funzione degli investimenti è d2 = 400, dalla curva ISotteniamo αd2 = 1250 = 400α, da cui α =

1250400 = 3.125.

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Da che cosa dipende la pendenza della IS

Per ricavare la pendenza della scheda IS, facciamo variare Y e i mantenendocostante A (∆A = 0):

∆Y = −αd2∆i

Perciò la pendenza della IS è

di

dY

¯IS= − 1

αd2< 0

Esercizio

Supponete che l’investimento sia insensibile al tasso di interesse, come nel modelloreddito-spesa. Quale forma avrebbe in questo caso la curva IS?

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Figura 1 La pendenza della IS

i

Y

i0

i1

Y 0 Y * Y **

IS

IS'

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Da che cosa dipende la posizione della IS

La posizione della IS dipende dal livello della domanda autonoma. Se la spesaautonoma aumenta, la IS si sposta verso destra; se la spesa autonoma diminuisce,la IS si sposta verso sinistra.

Possiamo ottenere formalmente questo risultato facendo variare Y e A ma man-tenendo costante i:

∆Y =1

1− (c1 + d1)∆A = α∆A > 0

Esercizio

Supponete che la curva IS abbia la seguente forma Y = 250 − 1000 · i, in cuiil moltiplicatore è α = 5. Determinate lo spostamento orizzontale della curva

10

Figura 2 La posizione della IS

i

Y

i0

dY

IS

1- (c 1+d 1)

1ΔA

IS'

11

IS se la domanda autonoma aumenta di 20. Quale sarebbe il corrispondentespostamento verticale, ovvero la variazione del tasso di interesse? Supponendoche inizialmente il tasso di interesse sia pari al 10%, calcolate i nuovi livelli delreddito e del tasso di interesse.

12

Risposta. Sappiamo che quando la domanda autonoma varia, la corrispondentevariazione del reddito è ∆Y = α∆A. Perciò, in questo caso la variazione delreddito è ∆Y = 5 · 20 = 100. Il reddito passa perciò da 300 (perché?) a400. L’equazione della curva IS è Y = α (A− d2i) . Poiché il moltiplicatoreè α = 5, il coefficiente del tasso di interesse nella funzione degli investimenti èd2 =

2000α = 400.Dalla curva IS otteniamo che la variazione del tasso di interesse

è ∆i = 1d2∆A. (spiegate perché). Perciò, la variazione del tasso di interesse è

∆i = 140020 = 10%. Il nuovo tasso dell’interesse è quindi dell’11%.

Il vincolo della ricchezza

Nel modello IS − LM vi sono per ipotesi soltanto due attività finanziarie,la moneta e le obbligazioni (intese in senso lato come attività che fruttano unrendimento). Data questa ipotesi, e poiché in ogni periodo è dato l’ammontaredi ricchezza finanziaria complessiva, una volta deciso l’ammontare di ricchezzada detenere sotto forma di moneta si è anche deciso l’ammontare che si intende

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detenere sotto forma di obbligazioni.Questo è quanto stabilisce il cosiddetto vincolo della ricchezza. Indichiamo conW la ricchezza nominale esistente nell’economia.

Figura 3

LA RICCHEZZA FINANZIARIA IN ITALIA(consistenze a fine 2005 - miliardi di euro)

Circolante e depositi 2.038Titoli a breve e a lungo termine 2.482Prestiti a breve e a lungo termine 2.011Azioni e quote fondi comuni 3.078Altre attività 1.158Totale attività 10.767

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Figura 4S A L D I F IN A N Z IA R I D E L L ’IT A L IA(co n s is te n ze a f in e 2 0 0 5 - m ilia rd i d i e u ro )S e tto ri 2 0 0 5F a m ig lie 2 .7 2S o c ie tà n o n fin a n z ia rie -1 .2 3A m m in is tra z io n i p u b b lic h e -1 .3 7S o c ie tà fin a n z ia r ie -0 .2 0R e s to d e l m o n d o 0 .0 8

F a m ig lie 1 .9 2S o c ie tà n o n fin a n z ia rie -0 .8 7A m m in is tra z io n i p u b b lic h e -0 .9 7S o c ie tà fin a n z ia r ie (*) -0 .1 4R e s to d e l m o n d o 0 .0 6

In ra p p o rto a l P IL

Per definizione, la ricchezza esistente nell’economia è pari alla somma dellaquantità di moneta,M, e di obbligazioni,B, nelle mani del settore privato (famiglie

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e imprese):

W =M +B

D’altra parte, la composizione desiderata del portafoglio è data dalla sommadella quantità di moneta e di obbligazioni che il settore privato intende detenere.Il vincolo della ricchezza afferma che questa somma deve essere anch’essa pari aW :

W =Md +Bd

dove Md rappresenta rispettivamente l’ammontare di moneta e Bd l’ammontaredi titoli domandati dal settore privato. Uguagliando queste due espressioni, siottiene:

M +B =Md +Bd =⇒³Md −M

´+³Bd −B

´= 0

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La curva LM

Per domanda di moneta si intende la quantità di moneta che il settore privatodecide di trattenere nei propri portafogli. La domanda di moneta viene espressain termini reali perché viene effettuata in vista del potere d’acquisto che questaattività garantisce.La domanda di moneta dipende da due variabili, il reddito e il tasso di interesse.

L = f1Y − f2i

dove f1 e f2 sono dei coefficienti positivi che misurano la reattività della domandadi moneta al reddito e al tasso di interesse.Per offerta di moneta s’intende il complesso dei mezzi di pagamento nelle manidel settore privato, come il circolante e i depositi. Assumeremo che l’offerta dimoneta sia esogenamente fissata. Poiché il livello dei prezzi P è dato, anchel’offerta reale di moneta è data al livello M/P .L’equilibrio sul mercato della moneta richiede l’uguaglianza tra domanda eofferta di moneta e perciò

M

P= f1Y − f2i

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Questa è l’equazione della curva LM . Essa esprime l’insieme delle combinazionidi reddito e tasso d’interesse che mantengono in equilibrio il mercato della moneta.

Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

Md = 6Y − 120i;Ms = 5400

Determinate l’equazione della scheda LM .

Risposta. La scheda LM è 5400 = 6Y − 120i

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Da che cosa dipende la pendenza della LM

Per ricavare la pendenza della scheda LM, facciamo variare Y e i mantenendocostante l’offerta reale di moneta (∆

³MP

´= 0):

0 = f1∆Y − f2∆i

La pendenza della LM è

di

dY

¯LM

=f1f2

> 0

Esercizio

Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse. Qualeforma avrebbe in questo caso la curva LM?

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Figura 5 La pendenza della LM

i

Y

i0

i1

Y 0 Y * Y **

LM

LM'

20

Da che cosa dipende la posizione della LM

La posizione della LM dipende dall’offerta reale di moneta. Se l’offerta di monetaaumenta, la LM si sposta verso destra. Formalmente, facciamo variare Y eM/P ,mantenendo costante il tasso di interesse (∆i = 0)

∆µM

P

¶= f1∆Y

e perciò

∆Y =1

f1∆µM

P

¶> 0

Esercizio

Supponete che la curva LM abbia la seguente forma 5400 = 6Y − 120i. Deter-minate lo spostamento orizzontale della curva LM se l’offerta di moneta aumenta

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Figura 6 La posizione della LM

i

Y

i0

dY

LM

(1/f 1)Δ (M/P)

LM'

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di 360. Quale sarebbe il corrispondente spostamento verticale, ovvero la variazionedel tasso di interesse?

L’equilibrio macroeconomico e la sua stabilità

L’equilibrio macroeconomico si ha quando si verifica contemporaneamente equili-brio sul mercato dei beni e su quello della moneta (e quindi anche su quello deititoli, per il vincolo della ricchezza). Graficamente, l’equilibrio macroeconomicocorrisponde all’intersezione della IS e della LM . Possiamo ottenere un’espres-sione formale del reddito di equilibrio mettendo a sistema le equazioni della IS edella LM

IS : Y = α (A− d2i)

LM :M

P= f1Y − f2i

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in cui α = 11−(c1+d1), e risolvendo per Y e i:

Y =αf2

f2 + αd2f1A+

αd2f2 + αd2f1

M

P

i =αf1

f2 + αd2f1A− 1

f2 + αd2f1

M

P

Esercizio

Scrivete le equazioni che compongono il modello IS − LM e le equazioni per ladeterminazione del reddito e del tasso di interesse di equilibrio. Le equazioni checaratterizzano l’economia sono le seguenti.

C = 100 + 0.8Y D; I = 200− 1000i;L = Y − 10000i

La spesa pubblica è pari a 550 e le imposte al netto dei trasferimenti sono 500.L’offerta reale di moneta è 900. Scrivete le equazioni IS − LM per questaeconomia e determinate i valori di equilibrio del reddito e del tasso di interesse.

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Risposta. Il reddito di equilibrio è

Y =αf2

f2 + αd2f1A+

αd2f2 + αd2f1

M

P=

=5 · 10000

10000 + 5 · 1000450 +

5 · 100010000 + 5 · 1000

900 = 1800

e il saggio di interesse di equilibrio è (dalla LM) il 9%.

Esercizio

In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguentifunzioni di comportamento:

C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y − 18i;G = 400;

T = 400;Md = 6Y − 120i;Ms = 5400

Determinate l’equazione della scheda IS, quella della scheda LM e calcolate illivello di equilibrio del reddito.

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Risposta Il moltiplicatore è α = 11−(c1+d1) =

11−(.7+.1) = 5. La domanda

autonoma è A = 180 + 100 + 400− .7 ∗ 400 = 400. Perciò la scheda IS è

Y = α (A− d2i) = 5 (400− 18i)

. La scheda LM è 5400 = 6Y − 120i; risolvendo rispetto a i, otteniamo i =

.05Y −45. Sostituendo quest’ultima equazione nella IS, otteniamo Y = 2000−90 [.05Y − 45] , ovvero Y = 2000+90∗45

5.5 = 1100. Usando la procedura diretta,si ricava

Y =αf2

f2 + αd2f1A+

αd2f2 + αd2f1

M =600 ∗ 400 + 90 ∗ 5400

660= 1100

La politica monetaria

La politica monetaria viene attuata attraverso l’impiego di strumenti che permet-tono alla Banca Centrale di controllare l’offerta di moneta e quindi di perseguiredeterminati obiettivi, come il raggiungimento di un dato livello del reddito. Nel

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modello IS − LM una variazione dell’offerta di moneta si ripercuote sul redditoattraverso il meccanismo di trasmissione monetaria

∆M =⇒f2−∆i =⇒

d2∆I =⇒

α∆Y

i cui effetti quantitativi sono dati dal moltiplicatore della politica monetaria (MPM)

MPM =αd2

f2 + αd2f1=

1f2αd2

+ f1

MPM misura l’efficacia della politica monetaria nell’influenzare il reddito.Come l’ultima espressione a destra del secondo segno di uguale rende evidente,questa efficacia è tanto maggiore:

— quanto maggiori α e d2;

— quanto minori f1 e f2.

27

Alcuni casi particolari

1. Trappola della liquidità. Si verifica quando la domanda di moneta divienevirtualmente infinita ad un dato livello del tasso d’interesse. In questo casol’efficacia della politica monetaria è nulla. Possiamo controllare formalmentequesto risultato con l’espressione del MPM

MPM =1

f2αd2

+ f1

e notando che al tendere di f2 all’infinito il MPM tende a zero.

2. Teoria quantitativa. si verifica quando la domanda di moneta non è sensibileal tasso d’interesse, cioè f2 = 0. La LM diviene in tal caso

M

P= f1Y

L’efficacia della politica monetaria è massima nel senso che ogni aumento

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dell’offerta di moneta si traduce in un aumento proporzionale del reddito,il coefficiente di proporzionalità essendo f1. Questo può essere verificatoguardando al valore che assume il MPM quando f2 = 0.

3. Soltanto investimenti autonomi, o caso keynesiano. Si verifica quando gliinvestimenti non sono sensibili al tasso d’interesse, cioè d2 = 0. La IS è unaretta verticale perché il reddito dipende soltanto dalla domanda autonoma. lapolitica monetaria risulta inefficace, ovvero il valore del MPM è pari a zero,come si può controllare utilizzando l’espressione del MPM con d2 = 0.

Esercizio

Supponete che l’investimento sia insensibile al tasso di interesse; rappresentategraficamente il modello IS −LM in questo caso. Se l’investimento non dipende

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dal tasso di interesse e si verifica un aumento dell’offerta di moneta, la conseguenzaè: a) una diminuzione del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito; c) unacontemporanea riduzione del reddito e aumento dell’interesse; d) nessuna delleprecedenti.

Risposta. La IS è verticale e la politica monetaria espansiva non influenza ilreddito ma provoca una riduzione del tasso di interesse. La risposta esatta è laa).

La politica fiscale

La politica fiscale o di bilancio può operare nel nostro semplice modello IS−LM

attraverso due variabili: G e T . Ci limiteremo a considerare gli effetti di una

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riduzione della spesa pubblica. Gli effetti della politica fiscale sul reddito sonodescritti dal meccanismo di trasmissione della politica fiscale

−∆G =⇒α−∆Y =⇒

f1,f2−∆i =⇒

d2∆I

Quantitativamente questi effetti sono misurati dal moltiplicatore della politicafiscale (MPF )

MPF =αf2

f2 + αd2f1=

11

α+ d2

f1f2

L’efficacia della politica fiscale è tanto maggiore:

- quanto maggiori sono α e f2;

- quanto minori sono d2 e f1.

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Alcuni casi particolari

1. Trappola della liquidità. In queste circostanze la LM è orizzontale e l’ef-ficacia della politica fiscale è massima. Possiamo controllare analiticamentequesto risultato guardando cosa accade al MPF quando la sensibilità delladomanda di moneta al tasso d’interesse è molto elevata (f2→∞):

limf2→∞

dY

dA=

11

α+ d2

f1f2

= α

Il reddito diminuisce cioè per un ammontare pari al moltiplicatore applicatoalla variazione della spesa pubblica.

2. Teoria quantitativa. In questo caso la LM è una retta verticale perché ladomanda di moneta non è sensibile al tasso d’interesse. Siccome con f2 = 0il reddito dipende soltanto dall’offerta di moneta, la spesa pubblica non èin grado di influenzare il reddito e perciò l’efficacia della politica fiscale ènulla. La riduzione della spesa pubblica provoca piuttosto una riduzione del

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tasso d’interesse tale da indurre un aumento degli investimenti privati parialla riduzione della spesa pubblica. Con f2 = 0 il MPF è pari a zero.

3. Soltanto investimenti autonomi. In questo caso è d2 = 0 perché gliinvestimenti non sono sensibili al tasso d’interesse. L’efficacia della politicafiscale è massima. Anche in questo caso il MPF è uguale al moltiplicatoreα.

Esercizio

Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse e rap-presentate il modello IS − LM in questo caso. Se la domanda di moneta nondipende dal tasso di interesse e si verifica un aumento della spesa pubblica, laconseguenza è: a) un aumento del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito;c) una contemporanea riduzione del reddito e aumento dell’interesse; d) nessunadelle precedenti.

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Risposta. LaLM è verticale e la politica fiscale espansiva non influenza il redditoma provoca un aumento del tasso di interesse. La risposta esatta è la a).

Esercizio

Nel modello IS − LM una politica fiscale espansiva si riflette sugli investimentifacendoli: a) aumentare; b) diminuire; c) non è possibile stabilirlo a priori; d)

dipende dalla politica monetaria. Illustrate la vostra risposta con un grafico.

Risposta Poiché una politica fiscale espansiva fa aumentare sia il reddito che iltasso di interesse, la risposta esatta è la c).

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Esercizio

Scrivete le equazioni che definiscono il reddito e il tasso di interesse di equilibrio nelmodello IS−LM . Un dato sistema economico è definito dalle seguenti equazioni.

C = 1.8 + 0.7Yd; I = 1 + 0.1Y − 18iM

P= 54;L = 6Y − 120i;T = 4;G = 4

Calcolate il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.

Risposta. Il reddito di equilibrio è

YE =5 · 120

120 + 5 · 18 · 6(1.8 + 1 + 4− 0.7 · 4) + 5 · 18

120 + 5 · 18 · 6(54) = 11

, mentre il tasso di interesse è

iE =5 · 6

120 + 5 · 18 · 6· (1.8 + 1 + 4− 0.7 · 4) − 1

120 + 5 · 18 · 6(54) = 0.1.

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Esercizio

Per rispondere a questa domanda utilizzate i dati dell’esercizio precedente. Cal-colate il livello dell’investimento utilizzando i valori di equilibrio del reddito e deltasso di interesse. Supponete che le autorità di politica economica intendano ac-crescere l’investimento, lasciando però immutato il tasso dell’interesse. Definitela combinazione appropriata di politiche fiscali e monetarie per ottenere questoobiettivo illustrandola graficamente attraverso il diagramma IS−LM. Il mix ap-propriato di politiche economiche prevede: a) una politica monetaria espansivama una politica fiscale restrittiva; b) una politica monetaria e una politica fiscaleentrambe espansive; c) una politica monetaria restrittiva ma una politica fiscaleespansiva; d) una politica monetaria e una politica fiscale entrambe restrittive; e)non esiste un mix appropriato in grado di conseguire l’obiettivo.

Risposta. Il livello dell’investimento è I = 1 + 0.1 · 11 − 18 · 0.1 = 0.3. Larisposta esatta è la b).

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Esercizio

Scrivete le equazioni che compongono il modello IS − LM. In questo modellola domanda aggregata è definita dalla funzione AD = 200 + 0.8Y − 800i. Ladomanda di moneta è definita dalla funzione L = 0.25Y − 1000i. L’offerta realedi moneta è M = 120. Calcolare il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.

Risposta. Y =1.21000

1000+(5)800(.25)200+

1.2800

1000+(5)800(.25)120 = 5

2200+2 ·120 =

740 ; i =1.2(.25)

1000+(5)800(.25)200+ −1

1000+(5)800(.25)120 = 1

1600200−1

2000120 = .0

65

37

Esercizio

Utilizzando i dati della domanda precedente, stabilite cosa accade al reddito e altasso di interesse di equilibrio se si verifica un calo degli investimenti autonomi∆I = −20. Come deve variare l’offerta di moneta se l’autorità monetaria vuolestabilizzare il prodotto al livello precedente? Illustrate la vostra risposta con ungrafico.

Risposta. ∆Y =1.21000

1000+(5)800(.25)(−20) =−50.0;∆i =

1.2(.25)

1000+(5)800(.25)(−20) =

−.0 125 Perciò, il nuovo livello del reddito è 740− 50 = 690, mentre il tasso diinteresse diviene 6.5% − 1.25% = 5.25%. Per calcolare di quanto deve variarel’offerta di moneta, si noti che il MPM è pari a 2. perciò, se il reddito deveaumentare di 50, l’offerta di moneta deve aumentare di 25. L’offerta di monetadovrà essere quindi pari a 145. Verifica Y = 5

2180 + 2 · 145 = 740.

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