IL VALORE ATTESO

Bruno de Finetti a pag. 27 del primo volume della sua Teoria delle Probabilit spiega luso e il significato dialcuni termini come: aleatorio, stocastico, casuale e previsione.

Per il termine previsione scrive: Una parola a parte per quello che forse lunico termine impor-tante cambiato: previsione in luogo di speranza matematica o valore sperato o valore atteso e viadicendo.

Intanto, tutte queste altre denominazioni hanno, preso alla lettera, un significato alquanto improprio espesso (con la parola speranza) qualcosa di antiquato e umoristico, ed comunque incomodo che per unanozione cos fondamentale la denominazione (che ricorre spesso in ogni discorso) sia composta di dueparole.

Ma, a pag. 118 avverte: previsione non predizione! Perch (e lo dice a pag. 87) la previsione, nel senso incui abbiamo detto di voler usare questa parola, non si propone di indovinare nulla.Perch De Finetti ha preferito il termine previsione alle altre denominazioni?

Perch il valore atteso ci fornisce un indice di valutazione dello avverarsi di una classe di eventi. O, per dirlacol Daboni: un valore certo che ci consente di orientare le opinioni e informazioni sulla grandezza aleatoriaX.

Il valore atteso un valore medio che, come scrive P. Dore, rappresenta in qualche modo, globalmente, ilcomplesso degli eventi aleatori che allatto di una prova si possono presentare. Ecco la previsione di DeFinetti.

Per una classe di eventi il valore atteso una media ponderata i cui pesi sono le probabilit che spettano aciascuno dei casi favorevoli che formano il totale dei casi possibili.

Che cosa una media ponderata?

Prima vediamo che cosa una media semplice di pi quantit.La media aritmetica il quoziente tra la somma di tali quantit e il loro numero. Le varie quantit sono itermini della media ed essi entrano nel computo una sola volta. Ecco un esempio con 2 termini: una camiciacosta lire 1500 e unaltra ne costa 1800; il costo medio di una camicia : (1500+1800)/(1+1) = 1650.Nella media ponderata i termini entrano nel calcolo un numero di volte a seconda della loro quantit. Questonumero di volte in cui si introduce ciascun termine, dicesi peso. Esempio: quale il costo medio di unacamicia se 5 sono state pagate 1500 ciascuna e 3 sono state pagate 1800 lire ognuna? Il costo medio :

(1500x5) + (1800x3) / (5+3) = 1737,50.

Nel gioco del Lotto, di N numeri ne possono sortire 0,1, 2, 3, 4, 5.

Ogni estrazione pu non sortite alcuno degli N numeri o ne pu sortire uno solo, oppure ne possono sortiredue, ecc. Questi sono eventi incompatibili ed ogni estrazione casualmente si avvera una delle sei possibilit.Se riguardiamo le sei possibilit come valori di una grandezza, vediamo che questa grandezza pu variare da0 a 5.Una grandezza che pu assumere diversi valori si dice variabile. Ma, come sappiamo, il caso a stabilire sedegli N numeri ne debbano sortire 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Quindi, questi valori dipendono dal caso. Se i valoridipendono dal caso allora di parla di variabile casuale.

Ecco cosa dice G. Castelnuovo: Una delle variabili casuale una quantit variabile X che pu assumerediversi valori x(1), x(2), .... x(k) uno dei quali debba necessariamente presentarsi, e ciascuno dei quali abbiarispettivamente la probabilit p(1), p(2), ...., p(k) di presentarsi e deve sussistere la relazione: p(1), p(2), ...p(k) di presentarsi e deve sussistere la relazione: p(1) + p(2) + ... + p (k) = 1.Nel gioco del lotto la quantit variabile X la quantit di estratti che di N numeri sortono in una estrazione;i valori x che pu assumere la variabile sono k = 6 e cio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, , uno dei quali necessariamentedeve presentarsi.

Le probabilit per ciascun valore della variabile casuale si calcolano con la formula dello schemadi distribuzione inpergeometrica:

p(x) = C(N,x).C(90-N, 5-x) / C(90,5),nella quale p(x) rappresenta la probabilit che tra le 5 balle estratte ve ne siano x delle N.

Con N = 8 (i numeri messi in gioco siano gli otto gemelli), le probabilit calcolate con la formula sono:

p(0) = 0,6208370p(1) = 0,3183779p(2) = 0,0564214p(3) = 0,0042316p(4) = 0,0001306p(5) = 0,0000012

e cio dalla probabilit p(0) che non sorta alcuno degli otto numeri, alla probabilit p(5) che ne sortanocinque. La somma delle cinque probabilit uguale allunit (nellesempio 0,9999997 a causa degliarrotondamenti).

Quale il valore atteso, cio quale la previsione per N=8 numeri messi in gioco?Dunque, il valore atteso la media dei valori che una variabile pu assumere (nel nostro caso X= 0, 1, 2, 3, 4, 5); in essa compaiono i pesi p(x) dati dalle probabilit rispettive. Si dimostrafacilmente che il valore medio M(X) dato da:

M(X) = 0.p(0) + 1.p(1) + 2.p(2) + 3.p(3) + 4.p(4) + 5.p(5)

Quindi si ha:

p(0) x 0 = 0,0000000p(1) x 1 = 0,3183779p(2) x 2 = 0,1128428p(3) x 3 = 0,0126948p(4) x 4 = 0,0005224p(5) x 5 = 0,0000060

il cui totale M (X) = 0,4444439.Il significato di questa media che nel complesso di n prove in media si presentano in una prova 0,444444estratti degli N = 8 numeri.O. Da Fiorenza nella 41810 estrazioni da lui controllate ha rilevato che i gemelli sortiti sono stati complessi-vamente 18407.Se il valore atteso M (X) per una estrazione, per n estrazioni si h: n.M(X) e, nel nostro caso, 41810x0,444444= 18582.Degli 8 gemelli nelle 41810 estrazioni se ne prevedono teoricamente 18582, mentre quelli effettivamenteusciti sono stati 18407.Esiste un modo facile per calcolare il valore atteso?Ecco la formula che vi d immediatamente il valore atteso per le combinazioni di classe m di N numeri:

C(N,m) . C(5,m)M (X) = C(90,m)

Esempio, per N = 8 e per lestratto semplice per cui m = 1 si ha:

M (X) = 8x5/90 = 0,444444.Con m = 2 per gli ambi si ha:

M (X) = 28x10/4005 = 0,0699118.

Nelle 15075 estrazioni osservate da Statistikus gli ambi nella serie dei gemelli che teoricamente dovevanosortire sono: 15075 x 0,0699118 = 1054, mentre Statistikus ha rilevato che sono sortiti 1028 ambi cosdistinti: 806 ambi secchi, 216 ambi nei 72 terni secchi e 6 ambi nella sola quaterna secca sortita.Il valore atteso detto pure speranza matematica perch lo si pu ricavare anche con considerazioni sullaequit e quindi sulle scommesse.

Ecco perch Samaritani ha chiamato rapporto equitativo il valore atteso, infatti risulta essere il rapporto trala posta ed il premio equo. Per ogni lira giocata ci si aspetta il premio equo:C(90,m) / (5,m)

la posta di una lira per ogni combinazione giocata e per N numeri la posta C(N,m) cos che si ricava dalrapporto tra la posta e il premio equo e cio dal prodotto di C(N,m) per linverso di C(90,m)/C(5,m) laformula per M(X).

Se il valore atteso M(X) rappresenta la parte delle C(N,m) combinazioni che possono sortire in una estrazio-ne, quante estrazioni occorrono per vedere realizzato una volta levento) Da n.M(X) = 1 si ricava: n = 1/M(X)e cio le estrazioni occorrenti sono date dallinverso della formula per il valore atteso, ovvero:

N = C(90,m) / C(N,m). C(5,m)

questa formula ci indica, in sostanza, il turno teorico di sortita delle combinazioni di classe m che si possonoformare con N numeri.

Questo turno teorico di sortita stato definito: CICLO. Quindi, il ciclo la rotazione teorica (numero diestrazioni) in cui uno degli C(N,m) eventi si presenta.Come chiaramente si vede il CICLO un indice medio per la cui formazione occorrono sia le sorti semplici chequelle multiple di un evento (per gli ambi, ad esempio, occorrono gli ambi secchi, gli ambi contenuti nei terni,nelle quaterne e nelle cinquine).

Ma quante volte un evento si verificher in media in un numero n di prove?

Se un evento ha probabilit costante p in ogni prova, il valore medio del numero delle volte che levento siverifica in n prove : n.p.

La sortita di uno degli 8 gemelli ha probabilit p = 0,3183779, quindi nelle 15075 estrazioni osservate daStatistikus i gemelli sortiti dovevano essere in media: 15075 x 0,3183779 = 4799 ovvero in media ogni15075/4799 = 3,14 estrazioni ve ne stata una con uno ed uno solo numero gemello.Ma, se andiamo a contare i gemelli sortiti veramente nelle 15075 estrazioni troviamo che essi sono circa6700 e cio quanto ne indica il prodotto: (numero delle estrazioni x valore atteso).

Perch? Perch, come abbiamo detto, i 4799 sono gemelli sortiti come estratti semplici e poich il calcoloprevede la sortita di: 851 ambi secchi; 64 terni secchi; 2 quaterne secche, si ha: 479+(851x2)+(64x3)+(2x4)= 6700, infatti in un ambo vi sono due estratti, in un terno tre e in una quaterna quattro.

Questo risultato non lo si ottiene nemmeno se effettuiamo il prodotto np in cui p la probabilit per almenouno degli otto numeri: 15075 x 0,7791627 = 5716 perch questultimo risultato conta i successi ottenuti ecio la somma delle estrazioni in cui si avuto esito positivo (evento semplice o multiplo che sia).Infatti: estratti 4799; ambi 64; quaterne 2, il totale 5716.

E per la verifica si ha:

a) numero degli insuccessi: 15075 x 0,6208370 = 9359 che sono le estrazioni in cui non comparso alcunodegli otto numeri; quindib) numeri di insuccessi: 15075 - 9359 = 5716. Si avuto un successo ogni 15975/5716 = 2,63 estrazioni.Con p per almeno una delle C(N,m) combinazioni si ha: np = 1 da cui n = 1/p e questo valore, che linverso delle probabilit per almeno una delle C(N,m) combinazioni detto Ritardo naturale ed il solovalore veramente significativo perch rappresenta il numero medio delle estrazioni per un successo.