I.Michieli M.Michieli(2002), Trattato di Estimo, UNITA ...mdamato.altervista.org/File/DG_UD_4_IC_EXT.pdf · Il riferimento per questo specifico regime di capitalizzazione è la quotazione

Maurizio d'Amato Materiali Didattici

UNITA’ DIDATTICA 4

Riferimenti per Studiare

Per la preparazione dell’esame si richiede lo studio del capitolo 2 del testo M.Simonotti (2006), Metodi di Stima Immobiliare, Ed. Flaccovio, Palermo. Un’integrazione con il capitolo 7 del I.Michieli M.Michieli(2002), Trattato di Estimo, Edagricole, Bologna è consigliata.

Parole Chiave

1. Postulati di Preferenza Assoluta

2. Saggio di Attualizzazione e Saggio di Capitalizzazione

3. Regimi e Leggi di Sconto e di Capitalizzazione

4. Rate e Rendite

5. Accumulazione Finale Iniziale

6. Quote di reintegrazione ed ammortamento

7. Sovrapposizione degli Effetti Economici

8. Stima Finanziaria delle Aggiunte e Detrazioni


Le due dimensioni dei fenomeni finanziari Tempo e Danaro

danaro

tempo

I°quadrante (x;y)

IV°quadrante (x;-y)

Aumento e diminuzione di effetti finanziari

positivi

Aumento e diminuzione di effetti finanziari

negativi


OPERAZIONI FINANZIARIE

semplici

Ad una prestazione corrisponde una

controprestazione

Scambio fra prestazioni e controprestazioni avvenute ad istanti diversi e riferite ad una comune origine

Prestazioni - Uscite Controprestazioni - Entrate

complesse

Ad una o più prestazioni corrispondono diverse

controprestazioni

certe aleatorie

L’orizzonte dell’operazione è

certo

L’orizzonte della

operazione non è certo

Orizzonte - Insieme dei dati relativi ad una operazione

Ci sono due postulati che sono alla base dei fenomeni finanziari ed economico estimativi

PRIMO POSTULATO DI PREFERENZA ASSOLUTA - Fra due somme di diverso ammontare poste allo stesso istante di tempo si preferisce quella più grande

SECONDO POSTULATO DI PREFERENZA ASSOLUTA - Fra due somme di identico ammontare poste ad istanti di tempo differenti si preferisce quella a scadenza più ravvicinata


RENDITE

Insieme di Prestazioni e Controprestazioni aventi scadenze diverse

La singola prestazione è

definibile RATA

TIPICHE

Annuali

n=1

Infrannuali

n<1

Periodicità

n > 1

ATIPICHE

Variabili nel tempo

Limitate

Illimitate


Qualsiasi spostamento di flussi di cassa nel tempo comporta il sostenimento di un costo o la percezione di un ricavo: esiste un valore finanziario del tempo

• CAPITALIZZAZIONE- valore futuro di una somma corrente• ATTUALIZZAZIONE - valore attuale di un importo futuro


PASSIVE

DETERMINANO UNA DIMINUZIONE DELLE RISORSE FINANZIARIE

•Anticipazione +

•Posticipazione -

•RIFERIMENTO COSTO DEL CAPITALE ( WACC; COSTO INDEBIT.BANCARIO)


ATTIVE

DETERMINANO UN AUMENTO DELLE RISORSE FINANZIARIE

•Posticipazione +

•Anticipazione -

•RIFERIMENTO RENDIMENTO DEL CAPITALE

tempo

tempo

danaro

danaro


Ma per comprendere operativamente come avvengono i fenomeni finanziari ed immobiliari dobbiamo rifarci agli strumenti utilizzati nel mercato dei capitali. In particolare è possibile operare una distinzione notevole: 1) REGIME DI INTERESSE ovvero particolare procedimento di calcolo dell’interesse 2) LEGGE DI INTERESSE determinata assegnando dei precisi valori alla funzione di determinazione

dell’interesse che è possibile definire attraverso I = F ( C;t;parametri…)SI POSSONO ASSEGNARE INFINITI VALORI AI PARAMETRI DI UNA FUNZIONSI POSSONO ASSEGNARE INFINITI VALORI AI PARAMETRI DI UNA FUNZIONE CHE ESPRIME UN E CHE ESPRIME UN REGIME DI INTERESSE DERIVA CHE UN REGIME DI INTERESSE REGIME DI INTERESSE DERIVA CHE UN REGIME DI INTERESSE PUOPUO’’ COMPRENDERE INFINITE COMPRENDERE INFINITE LEGGI DI INTERESSELEGGI DI INTERESSE((SimonottiSimonotti,1990),1990)

Capitalizzazione semplice

Può essere utilizzata per intervalli di tempo inferiori all’anno In questo caso il signore che investe tiene per sé i risparmi riscossi alla fine del periodo spendendoli (PAPERINO)

Capitalizzazione composta

Può essere utilizzata per intervalli di tempo superiori all’annoIn questo caso il signore che investe lascia che i risparmi riscossi si sommino al capitale alla fine del periodo (Zio PAPERONE)

Co = C1 = C2 Co = C1 = C2

Il capitale iniziale Il capitale iniziale èè sempre lo sempre lo stesso.Un attimo prima che si ritirino stesso.Un attimo prima che si ritirino gli interessi il capitale gli interessi il capitale èè

C1 = Co + Co i tC1 = Co + Co i t

CtCt = Ct= Ct--1 + 1 + CtCt--11 ii

Il capitale iniziale Il capitale iniziale èè la somma fra la somma fra capitale dellcapitale dell’’anno precedente ed anno precedente ed interessi maturati , linteressi maturati , l’’intervallo di intervallo di riferimento riferimento èè sempre lsempre l’’anno per cui t =1anno per cui t =1

Capitalizzazione mista

E’ la fusione fra i due , generalmente utilizzata per intervalli di tempo intermedi quali 1 anno e tre mesi . In questo

caso si utilizza per l’intervallo intero la

capitalizzazione composta e per quello

che rimane la semplice

MONTANTE = C+I = Fattore di Capitalizzazione = (1+i)t

MONTANTE = C+I = Binomio di Capitalizzazione = (1+it)


Interesse composto

Composto Discontinuo Annuo - Gli Interessi Vengono Aggiunti al Capitale una volta l’anno

Composto Convertibile - Gli interessi maturati vengono sommati al capitale piùvolte l’anno

Composto Continuo -Gli interessi si convertono continuamente in capitale

1

1

C(1+it)

C(1+i)t

Le relazioni fra la capitalizzazione semplice e composta

C(1+i)t = interesse composto

C(1+it) = interesse semplice


Composto Frazionata - Gli interessi maturati vengono sommati al capitale più volte l’anno

Composto Continuo - Gli interessi si convertono continuamente in capitale

In questo caso gli interessi vengono capitalizzati più volte all’interno di un anno. E’ un caso ricorrente nell’indebitamento bancario laddove gli interessi vengono capitalizzati più volte l’anno.

1kt

kjM Ck

= +

Jk = tasso convertibile k volte all’interno dell’anno

K = numero di volte in cui si converte il tasso

t = numero di anni

L’espressione è facilmente ricavabile se si applicano i concetti della capitalizzazione composta più volte all’interno dell’anno. Si avranno due tassi uno nominale annuo ed un altro effettivo. Infatti, il secondo considererà anche gli interessi maturati e reinvestiti in ogni conversione.Per la determinazione del tasso annuale effettivo si procederà semplicemente:

ktM Ce=In questo caso gli interessi vengono capitalizzati continuamente all’interno dell’intervallo di tempo.

Il riferimento per questo specifico regime di capitalizzazione è la quotazione borsistica che presenta nel continuo una valutazione dei titoli e del lororendimento in termini di capital gain

2

1 1

0, 06. 1 1 0.0609; 0, 062

k

R

R

iik

SEMESTR i i

= + − =

= + − = =


Oppure possiamo conoscere la differenza fra due valori posti anche in istanti diversi di tempo

In particolare possiamo determinare la differenza fra un valore futuro ed uno presente di una stessa somma, opportunamente resi omogenei attraverso i regimi a cui si è fatto cenno.

Una operazione in particolare è quella dello sconto riportata a fianco assai diversa da quella di attualizzazione

In essa quantifichiamo la fruttuosità del capitale fra o ed n

Sconto= V.Nominale Sconto= V.Nominale --V.AttualeV.Attuale

S = S = VnVn -- VaVa

VoVoVnVn

A seconda del tipo di capitalizzazione a cui fare A seconda del tipo di capitalizzazione a cui fare riferimento avremo la determinazione della riferimento avremo la determinazione della corrispondente corrispondente legge di sconto CONIUGATElegge di sconto CONIUGATE : : semplice composta e mistasemplice composta e mista


SCONTO

SEMPLICE ( Razionale )SEMPLICE ( Razionale )

COMPOSTO ( Esponenziale)COMPOSTO ( Esponenziale)

MISTOMISTOQualora ci serva...Qualora ci serva...

Possiamo unire le due forme di Possiamo unire le due forme di sconto definendo lo sconto definendo lo sconto mistosconto misto

COMMERCIALE

S = Cit

Anticipazione di una somma la cui scadenza è prevista in un’epoca futura che comporti LO SCAMBIO FRA LA SOMMA C CON SCADENZA IN t E LA SOMMA ATTUALE V CON SCADENZA IN to

V C

S = C - V

+ −= − = − =+ +n

n a n n

C (1 i) 1S V V C C

(1 i) (1 i)

= − = − =+ +

n nn a n

C C itS V V C

(1 it) (1 it) + + −=+ +

t

n t

(1 i) (1 it) 1S.misto C

(1 i) (1 it)


Per fare questo dobbiamo richiamare le indicazioni offerteci dalPer fare questo dobbiamo richiamare le indicazioni offerteci dal matematico ed economista matematico ed economista IrvingIrving FisherFisher agli inizi di questo secolo circa il valore dei beni durevoliagli inizi di questo secolo circa il valore dei beni durevoli

Egli cerca di offrire una possibile risposta alla ricerca del vaEgli cerca di offrire una possibile risposta alla ricerca del valore di un bene lore di un bene durevole,applicando ad essi ldurevole,applicando ad essi l’’InwoodInwood Premise:Premise:

““Il Valore di qualsiasi proprietIl Valore di qualsiasi proprietàà , o diritti di ricchezza , , o diritti di ricchezza , èè il suo valore come fonte di reddito il suo valore come fonte di reddito e si trova scontando quel reddito attesoe si trova scontando quel reddito atteso……Ma il problema fondamentale della valutazione Ma il problema fondamentale della valutazione temporale che la natura ci propone temporale che la natura ci propone èè sempre quello di tradurre il futuro nel presente, ciosempre quello di tradurre il futuro nel presente, cioèèdi determinare il valor capitale del reddito futuro .Il valore ddi determinare il valor capitale del reddito futuro .Il valore del capitale deve essere el capitale deve essere calcolato sul valore del suo reddito futuro netto stimato...calcolato sul valore del suo reddito futuro netto stimato...”” IrvingIrving FisherFisher,Teoria ,Teoria delldell’’Interesse,Interesse,UtetUtet

00

nn

11 22

Supponiamo di avere un bene durevole che eroghi dei redditi nettSupponiamo di avere un bene durevole che eroghi dei redditi netti costanti i costanti per un numero FINITO n di per un numero FINITO n di annianni…… A cosa sarA cosa saràà uguale il suo valore finale ? Alla somma di tutte queste utiliuguale il suo valore finale ? Alla somma di tutte queste utilittàà rese omogenee ovverorese omogenee ovvero

V = RV = R1 1 (1+i)(1+i) nn--11 + R + R 22(1+i) (1+i) nn--22 ++……+ R + R nn--11(1+i) + R(1+i) + R

V = R ( 1+q+V = R ( 1+q+……+q +q nn--22 + q + q nn--11))

Mi trovo di fronte ad una Mi trovo di fronte ad una progressione geometricaprogressione geometrica

Che si riscrive:

1 1 11

n nq q qVq i

− − −= =−


Numero di AnnualitNumero di Annualitàà LimitateLimitate

I F

P

A

Numero di AnnualitNumero di Annualitàà IllimitateIllimitateP

A

−=n

n

q 1V R

rq−=

nq 1V R

r

−=n

n

q 1V Rq

rq−=

nq 1V R q

r

= nRV

r

= nRV q

r


RINNOVANDO LA SIMBOLOGIA (convenzione di Madrid,1956)

|n iRa

|n iRs |n iRα

|n iRσREINTEGRAZIONE – MONTANTE –

VAL FINALE

AMMORTAMENTO – VAL. ATTUALE

..

|n iR a..

|n iR s..

|niRα..

|niRσ|iRa∞

..

|iRa∞

−=n

n

q 1V R

rq

−=nq 1

V Rr

−=n

n

q 1V R q

rq

−=nq 1

V R qr

= nRV

r

=−

n

n

rqR V

q 1

=−n

rR V

q 1

=−

n

n

rqRq V

q 1

=−

n

n

rqRq V

q 1= nRV q

r


Si può trasformare un fenomeno straordinario in un effetto economico annuo (finito o infinito) Ea considerandone una “media economica”. Il fenomeno S è eguagliato per questa finalità alla accumulazione in un punto qualsiasi di un certo numero n di rate

nS

ee’’ possibile quindi ricavare possibile quindi ricavare EaEa

S

ee’’ possibile quindi ricavare possibile quindi ricavare EaEa

Il fenomeno straordinario potrà essere trasformato in una rata costante anticipata o posticipata in relazione alle specifiche esigenze del problema valutativo

1(1 )

n

a n

S qEq it rq

−=+

(1 )aES

q it r=

+


Due modalità di risoluzione dei fenomeni

0 n

1nn

RVr q

=

1nn

n n

R qV Rr rq

−= −

1 1nn

on n

R qV Sr q rq

−= −

0 n

0 n

0 n

1 1 1n n nn n

n o Ln n n

R Rq q qV R S Rr rq rq r rq

− − −= − − = −

Caso 1

Caso 2


Nel caso di fenomeni mensili , bimestrali , trimestrali, quadrimestrali, semestrali è utile seguire il seguente schema

ANTICIPATA POSTICIPATA

mensilità Ma(12+6,5i) Mp(12+5,5i)

bimestralità Ba(6+3,5i) Bp(6+2,5i)

trimestralità Ta(4+2,5i) Ta(4+1,5i)

quadrimestralità Qa(3+2i) Qp(3+i)

semestralità Sa(2+1,5i) Sp(2+0,5i)

Si riesce quindi a trasformare un fenomeno mensile o bimestrale o semestrale ecc. in un fenomeno annuo consentendo l’applicazione delle formule di matematica finanziaria, ovvero trattando i fenomeni come se fossero rendite tipiche annuali. Vi sono delle formule…

0 1

+×+=2

1.. RateNsaggioRateNM

−×+=2

1.. RateNsaggioRateNM

anticipate posticipate


r = i = 0.05 R = 100 r = i = 0.05 R = 100

Un bene durevole che ha una durata di 80 anni presenta una differenza in termini di valore rispetto ad un bene a durata infinita pari a V1 - V2 ovvero 20 - 19.59 cioe’ 0.41.

Rispetto al Valore di 20 lire 0.41 rappresentano ca. il 0.02. LA DIFFERENZA FRA L’ACCUMULAZIONE DI UN NUMERO INFINITO DI RATE E QUELLO DI UN NUMERO FINITO PARI AD 80 E’ DI CIRCA IL 2%.

Nel mercato dei capitali si percepisce maggiormente l’utilità dei redditi maggiormente ravvicinati. I saggi di sconto sono saggi che esprimono la preferenza temporale fra diverse somme.

= = =1

R 1V 20

r 0.05

=2V R

−= =80

2 80

q 1V R 19.59

rq


Saggio 1 anno 10 anni 20 anni1% 990.099 905.287 819.5442% 980.392 820.348 672.9714% 961.538 675.564 456.3876% 943.396 558.395 311.8058% 925.926 463.193 214.54810% 909.091 385.543 148.644

Riportando il valore nominale di 1.000.000 ad oggi

Si noti come diminuisce il valore in funzione della lunghezza dell’intervallo di tempo in cui i capitali vengono anticipati ed in funzione della crescita del saggio

Reintegrazione

Ammortamento

( )1re i f n

iQ V Vq

= −−

( )1

n

amm i f n

iqQ V Vq

= −−


( )1re i f n

iQ V Vq

= −− ReammQ Q I= +

( ) ( ) ;1amm i f i fn

iQ V V V V iq

= − + −−1 1 1( ) 1 ; ( )

1 1

n

amm i f amm i fn n

qQ V V i Q V V iq q

+ −= − + = − − −

( )1

n

amm i f n

iqQ V Vq

= −−

Quota di Reintegrazione e Quota di Ammortamento


Una proprietà fondamentale dei regimi esponenziali è costituita dalla scindibilità delle operazioni finanziarie. Il suo significato algebrico è facilmente verificabile di sotto

La scindibilità forte e debole consente di separare gli effetti economici rappresentati dalla matematica finanziaria ottenendo effetti rappresentativi maggiormente vicini alla realtà.

La proprietà ha un’immediata verifica empirica per le note proprietà degli esponenti

SCINDIBILITA’ debole

SCINDIBILITA’ forte

Le legge di capitalizzazione con una variabile è scindibile se e solo se la sua intensità di interesse risulta essere costante. Di conseguenza tutte e sole le leggi esponenziali sono scindibili

−+ = +7 7 tC(1 i) C(1 i)


E SE CI TROVASSIMO DI FRONTE A FENOMENI ALEATORI?

Ricordando che esistono funzioni di probabilitàdiscrete e continue . Le prime rispettano le

condizioni che f(x)>0 e che1

1n

iix

==∑

Mentre per le seconde saranno verificate le

condizioni f(x)>0 e ( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫

1° caso: IL REDDITO NETTO E’ VARIABILE ALEATORIA DISCRETA

Rn Px

100

110

120

0,50

0,30

0,20

Sostituiamo alla parte aleatoria il suo valore medio o valore atteso

1( ) ( )n

n

qM V M Rrq

−=

M(R) = 100x0.50+110x0.30+120x0.20 = 107

Media PonderataValore Atteso

1 ;n

nqRrq−=V

= Pars incerta

= Pars certa

R = parte aleatoria

3. La probabilità è una misura cardinale dell’incertezza P(A∪B) = P(A) + P(B). La somma di tutti gli eventi è pari a 1

2. Se A ⊇ B allora P(A) < P(B)

1. Se A = 0 allora P(A) = 0

Assiomi della Teoria della Probabilità


2° caso: IL TEMPO E’ VARIABILE ALEATORIA

n Px

10

11

12

0,50

0,30

0,20

1 ;n

nqRrq

n = parte aleatoria

−=

Isoliamo la parte aleatoria e sostituiamo ad essa il suo valore atteso. Bisogna fare attenzione che in questo caso fra la parte aleatoria e la parte non aleatoria non c’e’ relazione lineare

= + +

n 10 11 12

1 1 1 1M x0.50 x0.30 x0.20

q 1,05 1,05 1,05

−= = − = −

n

n n n

q 1 R 1 R 1M(V) R ; V 1 1 M

rq r q r q

V = Pars certa

= Pars incerta

0 t1 t2 t3

−= = −n

n n

q 1 R 1V R ;V (1 )

rq r q


3° caso: IL SAGGIO E’ VARIABILE ALEATORIA

i Px

0.10

0.11

0.12

0,50

0,30

0,20 Esistendo una relazione lineare fra la parte certa e quella aleatoria èpossibile definire il valore attraverso il prodotto

−=

n

n

q 1M ( V ) R M

r q

4° caso: RATA E SAGGIO VARIABILI CASUALI

−=

n

n

q 1M ( V ) M (R )M

r qUna fusione dei casi precedentemente esposti

= =

R 1M ( V ) ; V R M

r r

1 ;n

nqRrq−=V

i = r - parte aleatoria

= Pars certa

= Pars incerta

Giova sottolineare l’indipendenza dei predetti eventi…

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I.Michieli M.Michieli(2002), Trattato di Estimo, UNITA ...mdamato.altervista.org/File/DG_UD_4_IC_EXT.pdf · Il riferimento per questo specifico regime di capitalizzazione è la quotazione