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1
1 INTRODUCCIÓN
Este informe reúne el trabajo realizado en el
LMS (Laboratorio de Mecánica de suelos) entre
Enero del 2010 y Marzo del 2010. Se estudio la
formulación e implementación numérica de un
modelo estacionario (rate independent) de
plasticidad asociada 3D correspondientes a los
metales, se optó por el modelo de von Mises, al
igual que en el informe de avance anterior.
En una primera instancia vamos se estudió la
implementación del Algoritmo de Retorno Radial
(Radial Return Mapping Algorithim) para
Plasticidad Perfecta (Perfect Plasticity) propuesto
por Wilkins [1964]. Luego, se estudió la
incorporación de las leyes de endurecimiento
isotrópico, cinemático, y combinación de sus
efectos. Además se estudio la respuesta e
implementación al Algoritmo de Retorno Radial
de una ley de endurecimiento no lineal basada en
el Modelo Hiperbólico. En último lugar, para fijar
conceptos, se graficó la respuesta del algoritmo
para un ensayo de carga.
2 ECUACIONES GORVERNANTES
Generalicemos el modelo unidimensional tratado
anteriormente al espacio de tensiones, para eso
asumimos (Simo-Hughes 1998):
i. Descomposición aditiva del tensor de
deformaciones.
Asumimos que el tensor de deformaciones 𝜺
puede descomponerse en una componente
elástica y una componente plástica.
𝜺 = 𝜺𝑒 + 𝜺𝑝 [1]
Es decir en componentes,
𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗𝑒 + 𝜀𝑖𝑗
𝑝
Como 𝜺 es una variable independiente y la
evolución de 𝜺𝑝 está definida por la regla de flujo,
la ecuación [1] se debe interpretar como la
definición del tensor elástico de deformaciones
𝜺𝑒 = 𝜺 − 𝜺𝑝 [2]
ii. Respuesta elástica.
El tensor de tensiones 𝝈 está relacionado con la
componente elástica del tensor de deformaciones
𝜺𝑒 mediante la Función Potencial Elástico
𝑾:𝔅 × 𝕊 ⟶ ℝ, donde 𝔅 es la variedad
diferenciable llamada medio continuo en la
configuración de referencia, 𝕊 es el espacio de
los tensores de segundo orden simétricos y ℝ es
el conjunto de los números reales. Basándonos en
un modelo Hiperelástico, la relación 𝝈 − 𝜺 se
escribe como:
INCORPORACIÓN DE CEMENTACIÓN A ARENA LMS
Informe de avance Nº3
José G. Hasbani
Laboratorio de Mecánica de Suelos- Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires
2
𝝈 𝒙, 𝑡 =∂𝑊 𝒙, 𝜺𝑒 𝒙, 𝑡
∂𝜺𝑒 [3]
Para elasticidad lineal, W es la forma cuadrática
en la deformación elástica, es decir
𝑾 =1
2 𝜺𝑒 :𝕮: 𝜺𝑒 [4]
Donde 𝕮 es el tensor constitutivo de cuarto orden
que vamos a asumir que es constante. Entonces,
junto con [2] obtenemos
𝝈 = 𝕮 ∶ [𝜺 − 𝜺𝑝] [5]
En componentes,
𝜎𝑖𝑗 = ℭ𝑖𝑗𝑘𝑙 (𝜀𝑘𝑙 − 𝜀𝑘𝑙𝑝 )
Una vez establecido el potencial elástico, el
tensor constitutivo 𝕮 se halla de la siguiente
manera:
𝕮 =𝜕2𝑾(𝜺 − 𝜺𝑝)
𝜕𝜺2 [6]
Asumimos que la componente plástica del tensor
de deformaciones es simétrica, i.e. 𝜺𝑝 ∈ 𝕊. El
concepto de spin plástico no cumple ningún rol en
la Teoría Clásica de Plasticidad.
iii. Respuesta plástica irreversible.
La característica principal del flujo plástico es el
concepto de irreversibilidad. Esta propiedad se
construye con un razonamiento análogo al que
hicimos en el caso de plasticidad 1D.
iv. Dominio elástico y condición de fluencia.
Definimos una función 𝑓 ∶ 𝕊 × ℝ𝑚 ⟶ℝ
llamada función de fluencia o criterio de falla y
forzamos a los estados admisibles definidos por
𝝈,𝒒 ∈ 𝕊 × ℝ𝑚 en el espacio de tensiones a caer
dentro de un conjunto 𝔼𝜎 definido por:
𝔼𝜎 = 𝝈,𝒒 ∈ 𝕊 × ℝ𝑚 | 𝑓(𝝈,𝒒) ≤ 0 [7]
Nos referimos al interior del conjunto 𝔼𝜎 , como
int 𝔼𝜎 y viene dado por:
int(𝔼𝜎) = 𝝈,𝒒 ∈ 𝕊 × ℝ𝑚 | 𝑓(𝝈,𝒒) < 0 [8]
A este conjunto lo denominaremos domino
elástico.
El borde del conjunto 𝔼𝜎 se denota como 𝜕𝔼𝜎 y
se define como:
𝜕𝔼𝜎 = 𝝈,𝒒 ∈ 𝕊 × ℝ𝑚 | 𝑓 𝝈,𝒒 = 0 [9]
A este conjunto lo denominaremos superficie de
fluencia en el espacio de las tensiones. Como en
el caso unidimensional 𝔼𝜎 = int 𝔼𝜎 ∪ 𝜕𝔼𝜎 ,
donde el operador ∪ denota unión disjunta (John
M. Lee). Notar que los estados 𝝈,𝒒 fuera de 𝔼𝜎
no son admisibles y son descartados en
Plasticidad Clásica.
v. Regla de flujo y ley de endurecimiento.
Condiciones de Khun-Tucker.
Ahora introduciremos el concepto de
irreversibilidad del flujo plástico mediante las
siguientes ecuaciones de evolución para 𝜺𝑝 ,𝒒 , llamadas regla de flujo y ley de endurecimiento
respectivamente:
Regla de flujo:
𝜺 𝑝 = 𝜆 𝒓 𝝈,𝒒 [10]
Ley de endurecimiento:
𝒒 = −𝜆𝒉 𝝈,𝒒 [11]
3
Donde 𝒓 ∶ 𝕊 × ℝ𝑚 ⟶ 𝕊 y 𝒉 ∶ 𝕊 × ℝ𝑚 ⟶ℝ𝑚 son funciones prescriptas que definen la dirección
del flujo plástico y el tipo de endurecimiento.
El parámetro 𝜆 ≥ 0 es una función llamada
parámetro de consistencia, el cual se asume que
cumple con las condiciones complementarias de
Khun-Tucker:
𝜆 ≥ 0, 𝑓(𝝈,𝒒) ≤ 0
y [12]
𝜆𝑓 𝝈,𝒒 = 0
Además de estas condicione se pide que este
parámetro cumpla la condición de consistencia,
enunciada como sigue:
𝜆 𝑓 𝝈,𝒒 = 0 [13]
A estas condiciones se las conoce como también
como condiciones de carga/descarga y
condición de consistencia, respectivamente.
Estas condiciones ilustran la de carga plástica y
descarga elástica.
3 INTERPRETACIÓN DE LAS CONDICIO-
NES DE KHUN- TUCKER
Consideremos las siguientes situaciones:
a. Supongamos que 𝝈,𝒒 ∈ int(𝔼𝜎) entonces
de acuerdo con [8] 𝑓(𝝈,𝒒) < 0. Enton-
ces si consideramos las condiciones [12]
llegamos a que:
𝜆 𝑓 𝝈,𝒒 = 0 ⟹ 𝜆 = 0.
De [10] y [11] se establece que 𝜺 𝑝 = 0 y
𝒒 = 0. Entonces la [1] lleva a que 𝜺 = 𝜺 𝑒
y a la forma hipoelástica
𝝈 = 𝕮 ∶ 𝜺 ≡ 𝕮 ∶ 𝜺 𝑒 [14]
Llamamos a esta respuesta instantáneamente
elástica.
b. Supongamos ahora que 𝝈,𝒒 ∈ 𝜕𝔼𝜎 , lo
cual implica, según [9], que 𝑓 𝝈,𝒒 = 0.
Entonces la 12 2 se satisface automati-
camente por más que 𝜆 > 0. Si 𝜆 es positi-
vo o cero se deduce de [13]. Se pueden pre-
sentar dos situaciones:
i. Si 𝑓 𝝈,𝒒 < 0, la [13] podemos decir
que:
𝜆 𝑓 𝝈,𝒒 = 0 ⟹ 𝜆 = 0.
De [10] y [11] se establece que
𝜺 𝑝 = 0 y 𝒒 = 0. Como la [14] se
cumple y 𝝈,𝒒 ∈ 𝜕𝔼𝜎 , una respuesta
de este tipo se conoce como descarga
desde un estado plástico.
ii. Si 𝑓 𝝈,𝒒 = 0, la condición [13] se
satisface aunque 𝜆 > 0. Si esto ocurre se
tiene que 𝜺 𝑝 ≠ 0 y 𝒒 ≠ 0. A esta
situación se la conoce como carga
plástica. El caso 𝜆 = 0 ( 𝑓 𝝈,𝒒 = 0)
se lo conoce como carga neutra.
Se observa que le caso 𝑓 𝝈,𝒒 > 0 se excluyo
del análisis. Esto se puede explicar intuitivamen-
te por el hecho de que si esto ocurriera para
algún 𝝈,𝒒 ∈ 𝜕𝔼𝜎 en algún tiempo𝑡 ∈ ℝ+, la
condición 𝑓 𝝈,𝒒 < 0 puede violarse en algún
entorno para el siguiente tiempo t.
(Simo-Hughes 1998).
4
4 CONDICIÓN DE CONSISTENCIA
Estudiemos con más detalle la [13], para ellos
empecemos por calcular la derivada temporal de
la función de fluencia f en 𝝈,𝒒 ∈ 𝔼𝜎 . Usando
la regla de la cadena, la forma de tasa de cambio
temporal de la ecuación constitutiva [14], la
regla de flujo [10] y la ley de endurecimiento
[11] se obtiene lo siguiente:
𝑓 𝝈,𝒒 =𝜕𝑓
𝜕𝝈∶ 𝝈 +
𝜕𝑓
𝜕𝒒 .𝒒
=𝜕𝑓
𝜕𝝈∶ 𝕮 ∶ 𝜺 − 𝜺 𝑝 +
𝜕𝑓
𝜕𝒒.𝒒
=𝜕𝑓
𝜕𝝈∶ 𝕮: 𝜺 − 𝜆
𝜕𝑓
𝜕𝝈∶ 𝕮: 𝒓 +
𝜕𝑓
𝜕𝒒.𝒉
𝑓 𝝈,𝒒 ≤ 0 [15]
Para poder seguir adelante vamos a tener que
hacer la siguiente hipótesis:
Hipótesis:
La regla de flujo, la ley de endurecimiento, y la
condición de falla cumplen con la siguiente
desigualdad:
𝜕𝑓
𝜕𝝈∶ 𝕮: 𝒓 +
𝜕𝑓
𝜕𝒒.𝒉 > 0 [16]
∀ 𝝈,𝒒 ∈ 𝜕𝔼𝜎 ∎
Esta hipótesis se cumple siempre para
plasticidad perfecta asociada.
Si nos encontramos sobre la superficie de
fluencia entonces la [13] se cumple
independiente aunque 𝜆 ≥ 0, entonces si
despejamos 𝜆 de la 15 1, obtenemos:
𝜆 =
𝜕𝑓𝜕𝝈
∶ 𝕮: 𝜺
𝜕𝑓𝜕𝝈
∶ 𝕮: 𝒓 +𝜕𝑓𝜕𝒒
.𝒉 [17]
Se observa que en la teoría de plasticidad
asociada
𝒓 𝝈,𝒒 =𝜕𝑓
𝜕𝝈 [18]
5 FUNCIÓN DE FLUENCIA DE VON
MISES
La función de fluencia de von Mises para el caso
de plasticidad perfecta, está dada por:
𝑓 𝐒 = 𝐒 − 2
3𝜎𝑌 [19]
Veamos de donde se deduce esta expresión.
Cuando la fluencia se alcanza, el tensor de
tensiones principales se escribe:
𝝈 = 𝜎𝑌 0 00 0 00 0 0
𝐞⨂𝐞
Si descomponemos a este tensor en su parte
deviatórica y volumétrica, obtenemos:
𝜎𝑖𝑗 =𝜎𝑌3 1 0 00 1 00 0 1
+
2
3𝜎𝑌 0 0
0 −1
3𝜎𝑌 0
0 0 −1
3𝜎𝑌
5
Entonces las componentes del tensor deviatórico
vienen dadas por:
S𝑖𝑗 =
2
3𝜎𝑌 0 0
0 −1
3𝜎𝑌 0
0 0 −1
3𝜎𝑌
Ahora queremos calcular
𝐒 = 𝐒:𝐒 = Sij Sij
Sij Sij = 𝜎𝑌2
4
9+
1
9+
1
9 = 𝜎𝑌
2
3
Entonces resulta claro que en la función de
fluencia aparezca el término 𝜎𝑌 2
3 .
En este caso la función de fluencia es una
hiperesfera en el espacio de tensiones
deviatóricas, como se ilustra a continuación.
Fig 1. Función de fluencia de von Mises
6 PLASTICIDAD PERFECTA
Estudiaremos ahora el caso de plasticidad
perfecta y la implementación del Algoritmo de
Retorno Radial de Wilkins.
En este caso 𝒉 = 0, es decir no tenemos ninguna
ley de endurecimiento. La regla de flujo está dada
por [10]:
𝜺 𝑝 = 𝜆 𝒓 𝝈,𝒒 = 𝜆𝜕𝑓
𝜕𝝈≡ 𝜆
𝐒
𝐒 [20]
Como el gradiente de una función es
perpendicular a la gráfica de una función pues es
perpendicular a sus líneas de nivel, entonces
observando la [20], el versor normal a f es:
𝒏 =𝐒
𝐒 [21]
A su vez debido a que el gradiente indica la
dirección del máximo crecimiento, n es la
dirección de la máxima disipación plástica.
Usando la [21] podemos escribir la tasa de
deformación plástica como:
𝜺 𝑝 = 𝜺 𝑝 .𝒏 = 𝜆𝒏 [22]
Entonces comparando miembro a miembro
obtenemos el significado físico del parámetro de
consistencia
𝜆 = 𝜺 𝑝 [23]
1. Formulación numérica.
A continuación realizaré la implementación
numérica del modelo de plasticidad perfecta. Se
asumirá que se conoce en el instante tn el estado
6
local del problema, es decir conocemos las
variables de estado en un instante n
𝝈𝑛 , 𝜺𝑛𝑝 [24]
Supongamos ahora que realizamos un incremento
en la deformación total Δ𝜺. El problema consiste
en hallar las variables de estado en n+1
𝝈𝑛+1, 𝜺𝑛+1𝑝 [25]
A este modelo elastoplástico incremental
desarrollado arriba se lo conoce como un proceso
strain-driven en el cual la deformación total es la
única variable independiente.
El algoritmo que desarrollaremos se lo conoce
como Algoritmo de Retorno Radial (ARR). Para
poder entender cómo opera este algoritmo vamos
a abordar la noción de proyección más cercana o
mínima distancia.
Proyección más cercana:
Para plasticidad perfecta asociada podemos
establecer el siguiente sistema de ecuaciones
𝜺 = ∇𝕊(∆𝒖 )
[26]
𝜺 𝑝 = 𝜆𝜕𝑓(𝝈)
𝜕𝝈
Donde u es el vector desplazamiento y ∇𝕊(∗)
denota el gradiente simétrico.
Las ecuaciones [26] definen un problema de
evolución con condiciones iniciales, cuya
característica principal es que está sujeto a las
siguientes condiciones:
𝑓 𝝈 ≤ 0
𝜆 ≥ 0 [27]
𝜆𝑓 𝝈 = 0
Como se discutió anteriormente (Hasbani Informe
de Avance 2 y en Simo-Hughes 1998), este
problema se discretiza aplicando un esquema de
diferencias implícito de Euler.
Entonces, computacionalmente, la solución de
este problema se traduce en la solución de un
problema numérico. En verdad, se verá a
continuación, que este problema se reduce a un
problema estándar de hallar la mínima distancia
(en un norma energética) de un punto (estado de
prueba o trial) a una dominio convexo (superficie
de fluencia).
Una vez establecido este concepto,
transformemos el problema continuo en un
problema en diferencias mediante el método
implícito backward-Euler.
𝜺𝑛+1 = 𝜺𝑛 + ∇𝕊(∆𝒖)
𝝈𝑛+1 = ∇𝑾 𝜺𝑛+1 − 𝜺𝑝𝑛+1 [28]
𝒏𝑛+1 =Dev[𝝈𝑛+1]
Dev[𝝈𝑛+1]
𝜺𝑛+1𝑝 = 𝜺𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1
donde ∆𝜆 = 𝜆𝑛+1𝛥𝑡
Ahora escribiremos la contrapartida discreta de
las condiciones de Khun-Tucker
𝑓 𝝈𝑛+1 ≤ 0
∆𝜆 ≥ 0 [29]
∆𝜆 𝑓 𝝈𝑛+1 = 0
Las condiciones de Khun-Tucker mantienen su
significado de carga y descarga en esta
formulación. A continuación definiremos el
estado trial.
𝜺𝑛+1𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝜺𝑛+1 − 𝜺𝑛
𝑝
𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = ∇𝑾(𝜺𝑛+1
𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ) [30]
7
𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝑓 𝝈𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
Desde un punto de vista físico el estado trial se
obtiene de congelar las variables plásticas durante
un paso de tiempo.
Ahora estamos en condiciones de justificar que
𝝈𝑛+1 es la proyección más cercana de 𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 en la
superficie de fluencia.
De la 28 2 como 𝕮 = cte.,
𝝈𝑛+1 = 𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − ∆𝜆 𝕮 ∶ ∇𝑓(𝝈𝑛+1)
Donde 𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝕮 ∶ (𝜺𝑛+1 − 𝜺𝑝𝑛+1). Se deduce
que, para una regla de flujo asociada, 𝝈𝑛+1 es la
proyección que cumple la condición de mínima
distancia en la superficie de fluencia de 𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 en
el producto interno inducido por 𝕮−𝟏, esto es,
𝝈𝑛+1 = ARG MIN 1
2 𝝈𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝝈 𝕮−𝟏
2 [31]
∀𝝈 ∈ 𝔼𝜎
donde 𝝈 𝕮−𝟏 = 𝝈 ∶ 𝕮−𝟏:𝝈 es la norma
energética. En conclusión 𝝈𝑛+1 es la proyección
más cercana de 𝝈𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 en la superficie de fluencia
en la norma energética.
Retorno radial:
La simplicidad de la función de fluencia de von
Mises nos permite obtener una forma cerrada de
la solución de las ecuaciones [28] resultando en el
llamado método de retorno radial. Este método es
útil tanto para resolver problemas de full 3D y de
plain strain, pero no es adecuado para resolver
problemas de plain stress (Simo Hughes 1998).
En la siguiente figura se ilustra la acción del
método y en la misma se puede apreciar la noción
de proyección más cercana, pues como la función
de fluencia en nuestro caso es una hiperesfera, la
dirección por la que se obtiene la mínima
distancia siempre es la radial de allí el nombre de
retorno radial. Se observa además como el estado
trial es un estado aleatorio para
el cual se evalúa luego la función de fluencia y se
decide sobre el estado del material. Si el esta-
do trial cae fuera de la superficie de fluencia
luego se procede al Retorno Radial y se actuali-
za su valor el cual ya se encuentra sobre la
superficie. En el caso que el estado trial caiga
dentro de la superficie entonces el estado del
material es elástico y no se ejecutará el Retorno
Radial.
Fig. 2 Retorno Radial
Formulemos ahora el Algoritmo de Retorno
Radial, para la función de fluencia de von Mises.
Pasando a una formulación en diferencias por el
método implícito de Euler tenemos que:
𝜺𝑛+1𝑝 = 𝜺𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1
donde
𝒏𝑛+1 =𝐒𝑛+1
𝐒𝑛+1 32
define la normal a la superficie de fluencia.
Notar que como la función de fluencia está
definida en el espacio de tensores deviatóricos,
debemos ser consistentes y trabajar en ese
espacio tanto cuando a tensiones nos referimos
como a las deformaciones, por lo tanto
trabajaremos con :
𝒆 = Dev[𝜺] [33]
8
El estado trial se define de la siguiente manera:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛 + 2𝐺∆𝒆𝑛+1 [34]
donde G es el módulo de corte definido por
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜇)
E: Módulo de Young
𝜇: Módulo de Poisson
Para poder describir el flujo plástico debemos
encontrar la contrapartida algorítmica del
parámetro de consistencia Δ𝜆. Para ello
procedemos de la siguiente manera:
Sabemos que
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 𝒏𝑛+1 [35]
También se cumple que
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 𝒏𝑛+1
[36]
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 𝒏𝑛+1
Reemplazando las [36] en la [35], se obtiene
𝐒𝑛+1 𝒏𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
Si pos multiplicamos por 𝒏𝑛+1 (Notar que 𝒏𝑛+1
es un Tensor de 2° orden por lo que se deberá
efectuar una doble contracción), se obtiene la
siguiente ecuación escalar:
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 [37]
Pero cuando estamos en estado plástico lo que
buscamos es que se cumpla 𝑓𝑛+1 = 0 si
𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 > 0, por lo tanto se debe cumplir que:
𝑓𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 − 2
3𝜎𝑌 = 0 38
Entonces si restamos a ambos miembros 2
3𝜎𝑌,
obtenemos:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 −
2
3𝜎𝑌 − 2𝐺 Δ𝜆 = 0
Recordemos que
𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2
3𝜎𝑌
Entonces
𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 = 0 [39]
Vemos que obtenemos una ecuación lineal de
Δ𝜆, por lo tanto obtenemos una solución cerrada
para el problema de Plasticidad Perfecta.
Despejando de la [39] obtenemos
Δ𝜆 =𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
2𝐺 [40]
2. Algoritmo de Retorno Radial.
1. Entrada:
i. Estado convergido:
𝝈𝑛 , 𝒆𝑛𝑝
ii. Paso elástico: Δ𝜺
iii. Parámetros materiales:
𝐸, 𝜇,𝜎𝑌
9
2. Inicialización:
i. Calculo los módulos bulk y de corte:
𝜅 =𝐸
3 1 − 2𝜇
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜇)
ii. Calculo componente volumétrica del
tensor 𝝈𝑛 :
𝑝𝑛 = 𝝈𝑛 :𝟏 iii. Calculo tensor deviatórico de tensio-
nes:
𝐒𝑛 = Dev[𝝈𝑛 ]
iv. Calculo los tensores 𝒆𝑛 y 𝒆𝑛+1
𝒆𝑛 =𝐒𝑛2𝐺
𝒆𝑛+1 = 𝒆𝑛 + Dev Δ𝜺
3. Estado trial:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 2𝐺 𝒆𝑛+1 − 𝒆𝑛
𝑝
4. Evaluamos condición de falla:
IF 𝑓 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ≤ 0 THEN
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1[Δ𝜺] ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ; & EXIT
ENDIF ;
5. Calculo 𝒏𝑛+1 y Δ𝜆:
𝒏𝑛+1 =𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
;
Δ𝜆 =𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
2𝐺 ;
6. Actualizo las variables de estado:
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 𝒏𝑛+1 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1 Δ𝜺 ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ;
3. Respuesta del algoritmo.
Para analizar la respuesta del algoritmo se
graficó la curva 𝐒 - 𝒆 para un ensayo de
carga mono tónica.
Se observa lo siguiente, para:
3 pasos elásticos
Fig. 3. Respuesta del algoritmo para 3 pasos elásticos
10
100 pasos elásticos
Fig. 4. Respuesta del algoritmo para 100 pasos elásticos
Si superponemos ambas respuestas podemos
observar que el algoritmo es independiente
de la cantidad de pasos elásticos y que la
respuesta para tres pasos no debería
sorprendernos pues al ser los pasos elásticos tan
amplios en vez de representar todos los estados
elástico en un ensayo de carga, de repente pasa
al estado plástico, es decir si queremos una curva
más refinada solo debemos darle una mayor
cantidad de pasos.
Fig. 5. Comparación entre ambas respuestas.
7 PLASTICIDAD CON ENDURECI-
MIENTO MIXTO
En esta sección voy a extrapolar lo desarrolla-do
a la incorporación de leyes de endurecimiento
cinemático e isotrópico. Por simplicidad voy a
comenzar con el análisis de leyes de
endurecimiento lineales.
Las nociones de retorno radial son natural-mente
extrapolables a este caso y a casos con leyes de
endurecimiento no lineales como expondré más
adelante.
En este caso en el cual combinamos las dos
teorías de endurecimiento, el retorno radial
tendrá el siguiente comportamiento en la
actualización de las variables de estado:
Fig. 6. Retorno radial con endurecimiento Mixto
Una vez establecido esto, veamos cómo se
modificará la función de fluencia de von Mises
para tener en cuenta este nuevo compor-
tamiento. Se recomienda repasar lo expuesto en
Hasbani-Informe de avance 1 donde se da una
breve descripción de las teorías de
endurecimiento aquí expuestas.
11
Función de fluencia:
Ahora la función de von Mises se expresa de la
siguiente forma:
𝑓 𝐒,𝒒,𝛼 = 𝐒 − 𝒒 − 2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼 [48]
q: Componente deviatórica del tensor de
backstresses.
Se puede observar la relación lineal de
endurecimiento 𝐻 𝛼 = 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼
donde,
𝜎𝑌: Tensión de fluencia
𝐾𝑐 : Módulo de endurecimiento isotrópico.
Se lo considera constante.
𝛼: Acumulación de flujo plástico
La acumulación de flujo plástico cumple con la
siguiente ley:
𝛼 𝑡 = 2
3
𝑡
0
𝜺𝑛𝑝 𝑑𝜏 [41]
Regla de flujo y leyes de endurecimiento:
Recordamos que la regla de flujo venia dada por:
𝜺 𝑝 = 𝜆𝜕𝑓
𝜕𝐒= 𝜆 𝒏 [42]
Para la ley de endurecimiento cinemático
adoptamos la propuesta por Prager - Ziegler, esta
toma como premisa un módulo de endu-
recimiento cinemático constante 𝐻𝑐 . Esta ley se
puede escribir como:
𝒒 =2
3𝐻𝑐𝜆
𝜕𝑓
𝜕𝒒 [43]
Por último la ley de endurecimiento isotrópico
establece que:
𝛼 = 2
3𝜆 44
1. Formulación numérica.
Análogamente al caso de plasticidad perfecta, se
pasa a una formulación en diferencias mediante
el método implícito backward- Euler, llegando a
las siguientes expresiones:
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 + 2
3Δ𝜆 45
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
Definimos al tensor de tensiones relativo como:
𝝃𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 − 𝒒𝑛+1 [46]
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 𝒏𝑛+1 [47]
Estado trial:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛 + 2𝐺Δ𝒆𝑛+1 48
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 49
12
Parámetro de consistencia:
Vamos a deducir ahora el parámetro de con-
sistencia Δ𝜆. El razonamiento es análogo al caso
de plasticidad perfecta.
𝝃𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 − 𝒒𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 𝒏𝑛+1 − 𝒒𝑛 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 𝒏𝑛+1
− 2𝐺Δ𝜆 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
Además podemos escribir al tensor de tensiones
relativo como:
𝝃𝑛+1 = 𝝃𝑛+1 𝒏𝑛+1
Por lo tanto, reemplazando y pos multiplicando
ambos miembros de la igualdad por 𝒏𝑛+1, y
llamando 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 obtenemos la
siguiente ecuación escalar:
𝝃𝑛+1 = 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆
Si recordamos la función de fluencia, para un
estado plástico se tiene:
𝝃𝑛+1 − 2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼𝑛+1 = 0
Entonces restando a ambos miembros
2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼𝑛+1 se tiene que:
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 −
2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼𝑛+1 = 0
Pero reemplazando la 53 2 obtenemos una ecua-
ción lineal de Δ𝜆:
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 −
2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼𝑛
−2
3𝐾𝑐Δ𝜆 = 0
Como 𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝝃𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2
3 𝜎𝑌 − 𝐾𝑐𝛼𝑛
Entonces 𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 +
2
3𝐻𝑐 +
2
3𝐾𝑐 Δ𝜆 = 0
De esta última despejamos el parámetro de consis-
tencia:
𝛥𝜆
=𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
2𝐺 1 +𝐻𝑐 + 𝐾𝑐
3𝐺 [50]
Observamos también como en este caso se llega
a una solución cerrada del problema.
2. Algoritmo de Retorno Radial.
1. Entrada:
i. Estado convergido:
𝝈𝑛 , 𝒆𝑛𝑝 ,𝛼𝑛 ,𝒒𝑛
ii. Paso elástico: Δ𝜺
13
iii. Parámetros materiales:
𝐸, 𝜇,𝜎𝑌 ,𝐾𝑐 ,𝐻𝑐
2. Inicialización:
i. Calculo los módulos bulk y de corte:
𝜅 =𝐸
3 1 − 2𝜇
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜇)
ii. Calculo componente volumétrica del
tensor 𝝈𝑛 :
𝑝𝑛 = 𝝈𝑛 :𝟏
iii. Calculo tensor deviatórico de tensiones:
𝐒𝑛 = Dev[𝝈𝑛 ] iv. Calculo los tensores 𝒆𝑛 y 𝒆𝑛+1
𝒆𝑛 =𝐒𝑛2𝐺
𝒆𝑛+1 = 𝒆𝑛 + Dev Δ𝜺
3. Estado trial:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 2𝐺 𝒆𝑛+1 − 𝒆𝑛
𝑝
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛
4. Evaluamos condición de falla:
IF 𝑓 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ≤ 0 THEN
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 ;
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 ;
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1[Δ𝜺] ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ; & EXIT
ENDIF ;
5. Calculo 𝒏𝑛+1 y Δ𝜆:
𝒏𝑛+1 =𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
;
𝛥𝜆 =𝑓𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
2𝐺 1 +𝐻𝑐 + 𝐾𝑐
3𝐺 ;
6. Actualizo las variables de estado:
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 + 2
3Δ𝜆 ;
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 𝒏𝑛+1 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1 Δ𝜺 ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ;
3. Respuesta del algoritmo.
Para analizar la respuesta del algoritmo se
graficó la curva 𝐒 - 𝒆 para un ensayó de
carga monotónica.
Se observa lo siguiente, para:
14
3 pasos elásticos
Fig. 7. Respuesta del algoritmo para 3 pasos elásticos
100 pasos elásticos
Fig. 8. Respuesta del algoritmo para 100 pasos elásticos
Si superponemos ambas respuestas podemos
sacar las mismas conclusiones que para el caso
de plasticidad perfecta.
Fig. 9. Comparación entre ambas respuestas.
8 PLASTICIDAD CON ENDURECIMIEN-
TO HIPERBÓLICO
En este caso optamos por una ley de endureci-
miento no lineal, lo cual agrega ciertas dificul-
tades a la hora de realizar la implementación
numérica del Algoritmo de Retorno Radial. Al
considerar una ley de endurecimiento no lineal
ya no será posible encontrar una solución cerrada
del problema y, por lo tanto, se deberá recurrir a
un proceso iterativo.
Veamos primero como se modifica la función de
fluencia de von Mises para este caso (Manual de
Plaxis).
Función de fluencia:
En este caso la función de fluencia de von Mises
se escribe como:
𝑓 𝐒,𝛼 = 𝐒 − 𝒒 − 2
3 𝜎𝑌0 +
𝛼1
𝐸+
𝛼
𝜎𝑌∞
[51]
Donde:
𝜎𝑌0: Tensión de fluencia de referencia.
Comúnmente es un valor pequeño.
15
𝜎𝑌∞ : Tensión de fluencia a tiempo infinito.
Los demás parámetros fueron definidos en los
modelos anterirores.
Regla de flujo y ley de endurecimiento:
En este caso la Regla de flujo y las leyes de
endurecimiento son análogos al caso de
Plasticidad Mixta, se recomienda ver esa sección
para mayores detalles, a modo de resumen cito
sus expresiones:
𝜺 𝑝 = 𝜆𝜕𝑓
𝜕𝐒= 𝜆 𝒏
𝒒 =2
3𝐻𝑐𝜆
𝜕𝑓
𝜕𝒒 52
𝛼 = 2
3𝜆
1. Formulación numérica.
Análogamente a la formulación de Plasticidad
Mixta se obtienen las siguientes ecuaciones de
estado en diferencias (Para mayor detalle
consultar 6 y 7)
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 + 2
3Δ𝜆 53
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
Definimos al tensor de tensiones relativo como:
𝝃𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 − 𝒒𝑛+1 [54]
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 𝒏𝑛+1 [55]
Estado trial:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛 + 2𝐺Δ𝒆𝑛+1 56
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 57
Parámetro de consistencia:
Al adoptar una ley no lineal de endurecimiento,
dijimos que ya no se podrá hallar una solución
cerrada para el sistema. Veamos ahora porqué
esto ocurre y como lo solucionamos:
𝝃𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 − 𝒒𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 𝒏𝑛+1 − 𝒒𝑛 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
= 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 𝒏𝑛+1 −
2𝐺Δ𝜆 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
Además podemos escribir al tensor de tensiones
relativo como:
𝝃𝑛+1 = 𝝃𝑛+1 𝒏𝑛+1
Por lo tanto, reemplazando y pos multiplicando
ambos miembros de la igualdad por 𝒏𝑛+1, y
llamando 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛 obtenemos la
siguiente ecuación escalar:
𝝃𝑛+1 = 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆
Si recordamos la función de fluencia, para un estado
plástico se tiene:
16
𝝃𝑛+1 − 2
3𝐾 𝛼𝑛+1 = 0
Con
𝐾 𝛼𝑛+1 = 𝜎𝑌0 +𝛼𝑛+1
1𝐸 +
𝛼𝑛+1
𝜎𝑌∞
Entonces restando a ambos miembros𝐾 𝛼𝑛+1 se
tiene que:
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 −
2
3𝐾 𝛼𝑛+1 = 0
que junto con
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 + 2
3Δ𝜆
Forma mi sistema no lineal cuya variable
incógnita es Δ𝜆.
Para solucionar este sistema, vamos a aplicar el
Método de Newton-Raphson (N-R).
Llamemos
𝑔 ∆𝜆 = 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺Δ𝜆 +
2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 −
2
3𝐾 𝛼𝑛+1
Es la función para la cual quiero resolver
𝑔 ∆𝜆 = 0
A continuación detallaré la rutina de resolución de
esta ecuación con un grado de libertad mediante (N-
R)
Algoritmo 1: Determinación de ∆𝜆
1. Inicialización
i. Δ𝜆(0) = 0 ;
ii. 𝛼𝑛+1(0)
= 𝛼𝑛 ;
iii. 𝑘 = 0 ;
2. Iteración
DO UNTIL: 𝑔 ∆𝜆(𝑘) < TOL,
𝑘 ⟵ 𝑘 + 1
2.1. Cálculo de ∆𝜆(𝑘+1):
𝐾 𝛼𝑛+1(𝑘)
= 𝜎𝑌0 +𝛼𝑛+1
(𝑘)
1𝐸 +
𝛼𝑛+1(𝑘)
𝜎𝑌∞
;
𝑔 ∆𝜆 𝑘 = 𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 +
2
3𝐻𝑐 ∆𝜆(𝑘) −
2
3𝐾 𝛼𝑛+1
(𝑘) ;
𝐷𝑔 ∆𝜆 𝑘 = −2
3
𝐸𝜎𝑌∞𝛼𝑛+1 𝑘
𝜎𝑌∞ + 𝐸𝛼𝑛+1 𝑘
2 ∆𝜆 𝑘
−2𝐺 −2
3𝐻𝑐 ;
∆𝜆(𝑘+1) = ∆𝜆(𝑘) −𝑔 ∆𝜆 𝑘
𝐷𝑔 ∆𝜆(𝑘) ;
2. Algoritmo de Retorno Radial .
1. Entrada:
i. Estado convergido:
𝝈𝑛 , 𝒆𝑛𝑝 ,𝛼𝑛 ,𝒒𝑛
ii. Paso elástico: Δ𝜺
iii. Parámetros materiales:
𝐸, 𝜇,𝜎𝑌0,𝜎𝑌∞ ,𝐻𝑐
17
2. Inicialización:
i. Calculo los módulos bulk y de corte:
𝜅 =𝐸
3 1 − 2𝜇
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜇)
ii. Calculo componente volumétrica del
tensor 𝝈𝑛 :
𝑝𝑛 = 𝝈𝑛 :𝟏
iii. Calculo tensor deviatórico de tensiones:
𝐒𝑛 = Dev[𝝈𝑛 ]
iv. Calculo los tensores 𝒆𝑛 y 𝒆𝑛+1
𝒆𝑛 =𝐒𝑛2𝐺
𝒆𝑛+1 = 𝒆𝑛 + Dev Δ𝜺
3. Estado trial:
𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 2𝐺 𝒆𝑛+1 − 𝒆𝑛
𝑝
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐒𝑛+1
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 𝒒𝑛
4. Evaluamos condición de falla:
IF 𝑓 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ≤ 0 THEN
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 ;
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 ;
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1[Δ𝜺] ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ; & EXIT
ENDIF ;
5. Calculo 𝒏𝑛+1 y Δ𝜆:
𝒏𝑛+1 =𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
𝝃𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙
;
Δ𝜆 ⟵ 𝐀𝐥𝐠𝐨𝐫𝐢𝐭𝐦𝐨 𝟏 ; ;
6. Actualizo las variables de estado:
𝒒𝑛+1 = 𝒒𝑛 +2
3𝐻𝑐 Δ𝜆 𝒏𝑛+1
𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 + 2
3Δ𝜆
𝒆𝑛+1𝑝 = 𝒆𝑛
𝑝 + ∆λ 𝒏𝑛+1 ;
𝐒𝑛+1 = 𝐒𝑛+1𝑡𝑟𝑖𝑎𝑙 − 2𝐺 Δ𝜆 𝒏𝑛+1 ;
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝜅 I1 Δ𝜺 ;
𝝈𝑛+1 = 𝐒𝑛+1 + 𝑝𝑛+1 𝟏 ;
3. Respuesta del algoritmo.
Para analizar la respuesta del algoritmo se
graficó la curva 𝐒 - 𝒆 para un ensayó de
carga monotónica.
Se observa lo siguiente, para:
18
3 pasos elásticos
Fig. 10. Respuesta del algoritmo para 3 pasos elásticos
100 pasos elásticos
Fig. 11. Respuesta del algoritmo para 3 pasos
elásticos
Si superponemos ambas respuestas podemos
sacar las mismas conclusiones que para el caso
de plasticidad perfecta.
Es decir que el algoritmo converge para cualquier
situación a la que se lo someta. A continuación se
ilustra este hecho.
Fig. 12. Comparación entre ambas respuestas.
9 CONCLUSIONES
Se puede observar cómo va aumentando la
complejidad de las formulaciones a medida que
vamos agregando variables de estado para
modelar distintos comportamientos del material
en estudio.
Una de las diferencias fundamentales que hay
que notar entre un problema 3D y uno 1D es que
ya se pierde la componente intutiva que nos fue
tan útil a la hora de evaluar el comportamiento
del algoritmo, ya la función de fluencia se torna
más compleja y el análisis más engorroso y
arduo.
En 3D, debido a que nos encontramos en el
espacio de tensiones deviatóricas hay que ser
consistente con los datos de entrada que ele
damos, es decir es conveniente en todo momento
revisar y controlar que el imput sea el adecuado,
ya que de lo contrario el algoritmo no responderá
como debe.
Hay que notar que este análisis se hiso para uno
de los modelos de plasticidad asociada más
19
simples, ya el hecho que se trate de plasticidad
asociada es una componente simplificativa
importante.
Se dejará para informes posteriores el estudio de
la Teoría de la Plasticidad no asociada y su
contraste con la desarrollada en este informe.
10 SIGUIENTE ETAPA
El paso siguiente será comenzar el estudio de la
Teoría de la Plasticidad no asociada, y estudiar la
función de fluencia de Matsuoka-Nakai y su
implementación en ARENA LMS.
REFERENCIAS:
[1] Dvorkin Goldshmit. “Nonlinear Continua”.
[2] Simo Hughes. “Computational Inelasticity”.
[3] Richard L. Burden, J. Douglas Faires.
“Análisis Numérico”.
[4] L. Malvern. “Introduction to the mechanics
of a Continous Media”.
[5] W. F. Chen, D. J. Han. “Plasticity for
Structural Engenieers”.
[6] Fung. Tong. “Clasical and Computational
Solid Mehanics”.
[7] John M. Lee. “Introduction to Topological
Manifolds”.
[8] John M. Lee. “Introduction to Smooth
Manifolds”.
