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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL PARA DECISIONES DE REPARACIÓN Y
MANTENIMIENTO
Baruo Daniel Aldama Sánchez1, Luis Esteva Maraboto 2, Orlando Javier Díaz López3
RESUMEN
Se proponen indicadores de salud estructural global y local para estimar el daño acumulado en edificios de
varios niveles y su impacto en las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad sísmica. Estos indicadores se
definen en términos de las propiedades de las respuestas dinámicas de sistemas sin daño y con daño estructural
sujetos a la acción de micro sismos o vibración ambiental. Se establecen relaciones probabilistas entre los
indicadores de salud estructural y los índices de daño acumulado global y local; se presenta un planteamiento
para la obtención de las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad del sistema en función de dichos
indicadores.
ABSTRACT
Global and local structural health indicators are proposed for the estimation of cumulative damage in multistory
buildings and its impact on their seismic vulnerability functions. These indicators are defined in terms of the
dynamic response properties of undamaged and damaged systems subjected to micro-seismic or environmental
noise excitations. Probabilistic relations are established between local and global cumulative indexes and the
structural health indicators; an approach is presented for the estimation of seismic vulnerability functions in
terms of these indicators.
INTRODUCCIÓN
La información derivada del análisis de estructuras reales expuestas a efectos sísmicos ha contribuido de forma
importante a la comprensión del comportamiento estructural durante estos eventos, así como a detectar ciertos
factores que impactan en la respuesta en mayor o menor medida para diferentes sistemas estructurales y en sus
diferentes propiedades mecánicas.
La evolución en el uso de estrategias de análisis y métodos de evaluación de respuesta ha sido posible gracias
al surgimiento de métodos analíticos basados en criterios de desempeño y a la creación de herramientas de
monitoreo continuo de estructuras, lo cual ha permitido establecer políticas de inspección, mantenimiento y
rehabilitación (Doebling, 1996; Esteva et al., 2014). Especialmente, las herramientas de monitoreo adquieren
una gran atención debido a su capacidad para estimar las propiedades mecánicas de una estructura, teniendo en
cuenta la influencia del daño acumulado y permitir, a su vez, relacionarla con el nivel de desempeño esperado
en el ciclo de vida.
Es común que después de la ocurrencia de un movimiento de gran intensidad se tomen acciones de reparación
y mantenimiento que restituyan a la estructura a sus condiciones iniciales de diseño, en los casos en que son
evidentes los daños experimentados. Sin embargo, muchas veces no es fácil identificar en forma visual los
niveles de daño que se tiene en todas las regiones de la estructura debido a que puede ser ocultado por elementos
de relleno o decorativos y puede ser muy costoso removerlos. Esto puede conducir a una acumulación de daño
debido a la acción de sismos sucesivos, que incremente significativamente la vulnerabilidad de la estructura
aun cuando no sean muy intensos.
1 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected] 2 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected] 3 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected]
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
2
Utilizando indicadores adecuados de respuesta dinámica, posterior a la ocurrencia de sismos, es posible ajustar
el grado de predicción que poseen los sistemas de monitoreo y para ello conviene apoyarse en resultados
experimentales y de modelos analíticos y de las posibles relaciones que se puedan derivar de sus comparaciones
(Naeim et al., 2006; Celebi, 2007; Porter et al., 2006, Iervolino et al., 2006; Iervolino, 2011).
En este trabajo se presenta una metodología para evaluar la influencia del daño acumulado en las funciones de
vulnerabilidad estructural. En primer término, se parte de la información de indicadores de salud estructural
global, y a partir de ello se desarrollan relaciones probabilistas para estimar la respuesta sísmica, tanto a nivel
global como local. Estos indicadores pueden obtenerse de manera práctica post-sismo, tanto a nivel global como
local, utilizando información de las respuestas estructurales ante micro sismos o ruido ambiental. Se propone,
además, una metodología, basada en un esquema de simulación Montecarlo, para estimar la función de
confiabilidad del sistema, en términos de dicha información; a partir de ello es posible estimar la probabilidad
de falla del sistema y posteriormente evaluar la vulnerabilidad del mismo ante diferentes escenarios de daño
acumulado. Adicionalmente, se muestran algunos resultados preliminares en la estimación de la función de
vulnerabilidad del sistema considerando información global de monitoreo de salud estructural, aplicados en un
modelo de edificio de 10 niveles. El estudio de los indicadores de salud estructural es útil en la formulación de
criterios de decisión, para establecer acciones de reparación y mantenimiento óptimas de estructuras dentro de
un marco de ciclo de vida, a partir de información post-sismo.
FUNCIONES DE CONFIABILIDAD Y VULNERABILIDAD SÍSMICA
En las aplicaciones prácticas de la ingeniería, relacionadas con el diseño basado en desempeño, la estimación
de la probabilidad de falla, 𝑝𝐹 , para un valor dado de intensidad sísmica 𝑌 = 𝑦, se toma como una medida
cuantitativa de la probabilidad de excedencia de la capacidad de deformación lateral del sistema, determinada
mediante los resultados de un análisis de empuje lateral seudo-estático (push-over) ante una secuencia de
sismos de intensidades variadas. Sin embargo, la estimación probabilística de la capacidad de deformación de
un edificio obtenida por este medio, tiene severas limitaciones, ya que debido a la forma de su estimación no es
posible tomar en cuenta a) la influencia de la acumulación de daño asociada con la respuesta cíclica del sistema,
y b) la dependencia de la capacidad de deformación a la configuración deformada de la respuesta del sistema
cuando éste se aproxima a la falla. Esto ha motivado el desarrollo de criterios alternos, tales como el análisis
dinámico incremental (Vamvatsikos y Cornell, 2002), el cual permite la estimación de la función de
confiablidad sísmica del sistema estructural sin tener que determinar la capacidad de deformación del mismo.
En este trabajo se opta por utilizar el índice de reducción de rigidez secante propuesto por Esteva et al. (2006,
2010) y Díaz- López y Esteva (2009) aplicable a la estimación de la confiabilidad sísmica de estructuras. Este
índice se expresa como:
𝐼𝑅𝑅𝑆 =𝐾0−𝐾𝑠
𝐾0 (1)
En la ecuación anterior, 𝐾0 es la rigidez tangente inicial asociada con el cortante basal, 𝑉𝑏 vs. el desplazamiento
de azotea, 𝛿𝑅, resultado de un análisis de empuje lateral y 𝐾𝑠 es la rigidez secante cuando el desplazamiento
lateral de azotea alcanza su máximo absoluto durante la respuesta sísmica del sistema (cortante basal, 𝑉𝑏,
dividido entre el desplazamiento de azotea máximo, 𝛿𝑚𝑎𝑥). La condición de falla se presenta cuando ISSR=1.0 o
cuando 𝑄 = ln (𝐼𝑅𝑅𝑆) = 0. Usando una variable auxiliar 𝑈, tal que 𝑄 = 𝑈 para 𝑄 < 0 y 𝑄 = 0 para 𝑈 ≥ 0, la
función de densidad de probabilidad de 𝑈 para un valor dado de intensidad 𝑌 = 𝑦, se denota como 𝑓𝑈(𝑢|𝑦).
Asumiendo esta última como una densidad normal con media 𝑚𝑈(𝑦; 𝛼𝑚) y desviación estándar𝜎𝑈(𝑦; 𝛼𝜎), la
función de confiabilidad puede expresarse como:
𝛽(𝑦) = −𝑚𝑈(𝑦; 𝛼𝑚)
𝜎𝑈(𝑦; 𝛼𝜎) (2)
en donde 𝛼𝑚 y 𝛼𝜎 son los parámetros que definen a la media y a la desviación estándar de 𝑈, respectivamente.
Las funciones de vulnerabilidad sísmica son funciones que relacionan los costos esperados de los daños
experimentados por la estructura ante la acción de un sismo de una intensidad dada, 𝑌 = 𝑦. Estas funciones se
pueden expresar en forma similar a la dada por Esteva et al. (2002)
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
𝛿̅(𝑦) = 𝛿(𝑦|𝑆)[1 − 𝑝𝐹(𝑦)] + 𝛿𝐹𝑝𝐹(𝑦) (3)
Donde 𝛿̅(𝑦|𝑆) es el valor esperado de los costos de daños normalizado con respecto al costo inicial C0,
condicionado a que el sistema sobreviva al someterse a una excitación sísmica de intensidad 𝑦, 𝑝𝐹(𝑦) es la
probabilidad de colapso o falla y 𝛿𝐹 es el costo esperado normalizado si ocurre la falla. La solicitación sísmica
se supone conocida y las propiedades mecánicas y las cargas gravitacionales se consideran inciertas.
En la ecuación anterior, el valor esperado de los daños producidos por un sismo de intensidad 𝑦, dada la
supervivencia del sistema, se puede aproximar en función del valor esperado de la distorsión del sistema, 𝜓,
mediante una función, g(∙), que relaciona a dicha distorsión con el daño físico (Reyes, 1999; Esteva et al., 2002).
De acuerdo con estos autores, es conveniente expresar el costo esperado de los daños como la suma de las
contribuciones de los daños en los entrepisos o segmentos del sistema. De esta forma, el valor de dicho costo
para una intensidad 𝑦 se puede calcular como:
𝛿(𝑦|𝑆) = 𝜆 ∑ 𝑟𝑐𝑗 g̅(𝜓𝑗|𝑦)𝑁𝑗=1 (4)
En esta ecuación, 𝑁 es el número total de segmentos del sistema, 𝑟𝑐𝑖 = 𝐶0𝑖 𝐶0⁄ es la relación del costo inicial
del j-ésimo segmento, C0j, entre el costo inicial del sistema completo. El término 𝜆 es un factor que considera
los costos indirectos relacionados con la reparación de los daños en la estructura, los cuales incluyen los costos
de mantenimiento, de trabajo logístico y los debidos a la interrupción de los servicios (Esteva et al, 2002).
g(𝜓𝑗|𝑦), es una función que relaciona el daño físico en dicho segmento con su distorsión, 𝜓𝑗, para un evento
sísmico de intensidad 𝑦.
INDICADORES DE DAÑO ACUMULADO GLOBAL Y LOCAL
En la sección anterior se propone utilizar IRRS como el índice de respuesta para calcular la probabilidad de falla
de la estructura. Esteva et al (2016) han mostrado que este indicador es adecuado para estimar la influencia del
daño inicial en las funciones de vulnerabilidad de edificios; para ello, deben realizarse análisis de la respuesta
estructural ante secuencias de sismos de distintas intensidades, de manera que el daño acumulado hasta el final
de un evento se tome como el valor del daño inicial para el siguiente.
En este trabajo se propone un nuevo indicador de la respuesta que considere el daño acumulado en una estructura
expuesta a una secuencia de sismos en términos de su respuesta local o global, a partir de la historia de
deformaciones experimentadas por el sistema completo o por los subsistemas que lo integran.
Si la respuesta del sistema ante una excitación sísmica se asume como la única fuente de daño estructural,
global, local o de un conjunto de elementos que definan un subsistema, esta puede ser descrita en, términos
cuantitativos, por medio de un índice de fatiga de bajo ciclaje, D, definido como el valor máximo absoluto que
se obtiene para la dirección positiva o negativa del valor dado por
𝐷 = ∑ 𝜓𝑗𝑗 (5)
Aquí, 𝜓𝑗 es el valor absoluto de la amplitud de la distorsión del j-ésimo medio ciclo en la dirección considerada
(positiva o negativa), obtenida como la diferencia entre la distorsión máxima y la mínima que corresponden al
medio ciclo considerado. Esta definición de 𝜓𝑗 tiene como fin tomar en cuenta los medios ciclos donde no se
presenta cambio de signo en la distorsión. La sumatoria ∑ (∙)𝑗 cubre toda la historia de la respuesta de los ciclos
experimentados por el sistema desde el momento de su construcción.
INDICES DE DAÑO E INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL
Los índices de daño pueden expresarse en términos de medidas cuantitativas de comportamiento no lineal de
sistemas estructurales. En la literatura se puede encontrar un número considerable de estudios enfocados a
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
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definirlos para elementos de concreto reforzado, específicos en dichos sistemas; algunos están enfocados a
representar la respuesta global, mientras que otros permiten considerar sub-elementos dentro de los mismos
sistemas. Uno de los índices de daño más conocidos es el índice de daño de Park y Ang (1985), definido como
una combinación lineal de la deformación máxima y de un índice de fatiga de bajo ciclaje.
Dentro de un marco de ciclo de vida, es importante contar con criterios y herramientas que permitan evaluar el
estado de los sistemas estructurales con el fin de prevenir fallas en los mismos. Determinar de forma oportuna
y precisa el estado de salud estructural de estos sistemas puede mitigar o evitar graves consecuencias
económicas y sociales a largo plazo.
La evaluación de la salud estructural comprende mediciones de la respuesta de una estructura que permitan
estimar la evolución de sus propiedades mecánicas con el tiempo. En el caso de estructuras expuestas a niveles
elevados de amenaza como la sísmica, conviene realizar mediciones después de cada evento importante, con el
fin de extraer información sobre sus propiedades mecánicas sensibles al daño. Un análisis estadístico de esta
información puede aplicarse para estimar el estado de salud estructural del sistema (Farrar y Worden, 2013).
Para la estimación de la evolución de las propiedades globales y/o locales de los sistemas es necesario tomar
indicadores adecuados. Por las ventajas que proporciona tanto en su aplicación práctica como en la información
que se obtiene, en este trabajo se toma un indicador basado en la reducción de la rigidez lateral global o de
entrepiso, estimadas a partir de las respuestas de la estructura a excitaciones de baja intensidad, tales como
microsismos.
INDICADOR GLOBAL
Para estimar este indicador se supone que se tiene información de los registros de las aceleraciones en el terreno
y en el extremo superior de la estructura en forma simultánea, cuando se somete a una excitación (ruido
ambiental o microsismo). La densidad espectral de estos registros se utiliza para determinar la función de
transferencia de la densidad espectral de aceleración en la base a desplazamiento de azotea. La frecuencia a la
cual se tiene la máxima ordenada corresponde a la frecuencia natural dominante del sistema. La reducción de
este valor está asociado a una reducción en la rigidez lateral del sistema debido al daño en la estructura. Con
base en lo anterior se propone un indicador de salud estructural global, 𝐼𝐻 , en términos de frecuencias naturales
dado por (Esteva at al, 2014; Aldama, 2016):
𝐼𝐻 = 1 −f𝑛1
f𝑛10 (6)
donde f𝑛10 y f𝑛1 son las frecuencias naturales dominantes del sistema sin daño y para una condición de daño
determinada, respectivamente. Para determinar dichas frecuencias se utilizaron las funciones de transferencia
del estado inicial o de referencia y de uno posterior a la ocurrencia de un sismo de intensidad 𝑦.
Alternativamente, para estimar dichas frecuencias, es posible utilizar diferentes criterios y métodos, apoyados
en los conceptos de identificación de sistemas encontrados en la literatura (He y Fu, 2001). En Aldama (2016)
se hace una descripción detallada del procedimiento utilizado en este trabajo para la obtención de dichas
frecuencias, utilizando funciones de transferencia entre los espectros de Fourier obtenidos en la azotea y la base
del edificio.
INDICADOR LOCAL
La identificación de daños locales se basa en cambios en las amplificaciones de distorsiones de entrepiso con
respecto a las amplitudes del movimiento en la base (Aldama, 2016). Para un edificio de 𝑁 pisos, sujeto a una
excitación de entrada, �̈�𝑔(𝑡) considerada como un proceso estocástico estacionario con media nula, la respuesta
en aceleración en el 𝑗-ésimo piso es igual a �̈�𝑗(𝑡) y, por lo tanto, la fuerza cortante en el 𝑗-ésimo entrepiso se
define como:
𝑉𝑗(𝑡) = ∑ 𝑚𝑖 (�̈�𝑖(𝑡) + �̈�𝑔(𝑡))𝑁𝑖=𝑗 (7)
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En la ecuación anterior, 𝑚𝑗 es la masa concentrada del 𝑗-ésimo piso. Por otra parte, sea 𝛿𝑒𝑗(𝑡) el desplazamiento
relativo del 𝑗-ésimo entrepiso, obtenido como sigue, a partir de los desplazamientos de piso:
𝛿𝑒𝑗(𝑡) = (𝑢𝑗(𝑡) − 𝑢𝑗−1(𝑡)) (8)
Aquí, 𝑢𝑗(𝑡) y 𝑢𝑗−1(𝑡) se obtienen de las correspondientes señales de aceleración, aplicando una doble
integración, en función del tiempo. Con la información de las ecuaciones 7 y 8, es posible determinar el
estimador 𝜅𝑖, que relaciona el cociente de las desviaciones estándar de 𝑉𝑗(𝑡) y 𝛿𝑒𝑗(𝑡) con la rigidez del entrepiso
𝑗, como sigue:
𝜅𝑗 =𝜎𝑉𝑗
𝜎𝛿𝑗 (9)
Donde
𝜎𝑉𝑗 = {𝑉𝑎𝑟[𝑉𝑒𝑗(𝑡)]}1
2 ; 𝜎𝛿𝑗 = {𝑉𝑎𝑟[𝛿𝑒𝑗(𝑡)]}1
2 (10a, 10b)
De esta forma, se define el indicador de salud estructural local, 𝐼𝐻𝐿𝑗, del 𝑗-ésimo entrepiso, que relaciona los
estados de daño 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 y 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 como:
𝐼𝐻𝐿𝑗 = 1 −(𝜅𝑗)
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
(𝜅𝑗)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
(11)
ESTIMACIÓN DE ÍNDICES DE DAÑO ACUMULADO CON BASE EN INFORMACIÓN DE MONITOREO DE SALUD ESTRUCTURAL
A partir de la información proporcionada por el indicador de salud estructural que se obtiene después de que
sucede un evento sísmico, es posible establecer la relación de dicho indicador con los niveles de daño en la
estructura. Dadas las incertidumbres asociadas a las propiedades mecánicas del sistema y las debidas a la
naturaleza aleatoria de las historias sísmicas, esta relación debe expresarse en función de la distribución de
probabilidad del daño acumulado, 𝐷𝐺 , dado un indicador de salud estructural, 𝐼𝐻 , 𝑓𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺).
Una forma práctica de obtener la relación anterior es mediante un proceso de simulación de Monte Carlo, de
acuerdo con la siguiente metodología (Esteva et al, 2014; Aldama, 2016):
a) Generar una muestra estructuras simuladas considerando las incertidumbres asociadas a dichas
propiedades mecánicas, funciones constitutivas y cargas gravitacionales.
b) Seleccionar un conjunto de valores de la intensidad sísmica, 𝑦𝑖 , que cubran un intervalo de interés
probable de ocurrencia dentro del ciclo de vida de la estructura en estudio.
c) Simular un conjunto de secuencias de sismos, utilizando los valores de intensidad incluidos en el
conjunto mencionado en b), los cuales se seleccionan de forma aleatoria y se consideran
estadísticamente independientes de los de las otras secuencias.
d) Someter cada sistema de la muestra generada de acuerdo con el párrafo a) a una secuencia de sismos
generados de acuerdo con los incisos b) y c). Obtener las historias de respuestas dinámicas del sistema
y calcular los índices de daño acumulado, tanto local como global.
e) Para cada sistema simulado, determinar el valor del indicador de la salud estructural seleccionado,
después de cada sismo.
f) Utilizar la información que se genera de acuerdo con los incisos d) y e) para obtener las funciones de
media y desviación estándar, 𝐸(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) y 𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), del índice 𝐷𝐺𝑖 , que se toma como el daño
acumulado, en función del indicador de la salud estructural 𝐼𝐻 , al final del i-ésimo sismo.
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
6
De los resultados que se obtienen del proceso de simulación de Monte Carlo anterior, la relación de los valores
esperados y desviación estándar del daño acumulado global con respecto al indicador del salud estructural, se
puede obtener la función de densidad de probabilidades, 𝑓𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺), del daño acumulado, 𝐷𝐺 , dado el indicador
de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 . Se puede aplicar el mismo criterio para obtener las relaciones probabilistas entre el
daño acumulado local y el indicador de salud estructural local, aplicando un procedimiento similar al anterior,
suponiendo para 𝐸(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) y 𝜎(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺)las formas propuestas por Esteva et al (2014):
𝐸(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) = 𝐴1𝐼𝐻𝐺𝑚 + 𝐴2 (
𝐼𝐻𝐺
1−𝐼𝐻𝐺)
2
(12)
𝜎𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) =𝐴3𝐼𝐻𝐺
𝐴4+𝐼𝐻𝐺 (13)
Aquí, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴4 son parámetros de ajuste.
En caso de que se presenten casos de falla, el ajuste de las ecs. 12 y 13 debe realizarse mediante un análisis de
máxima verosimilitud (Esteva & Ismael, 2003).
FUNCIONES DE CONFIABILIDAD SÍSMICA CONSIDERANDO INFORMACIÓN DE MONITOREO DE SALUD ESTRUCTURAL
En la sección anterior se presenta la determinación de la función de confiabilidad 𝛽(𝑦|𝐷𝑖)después del i-ésimo
temblor, asumiendo que el daño acumulado al final de ese sismo es igual a Di. El valor del indicador IHGi
determinado después de ese sismo puede ser usado para estimar los valores de la media y desviación estándar
de Di. Esto puede lograrse, de manera aproximada, representando la función de densidad de probabilidad de DGi
dado IHGi por medio de una distribución bipuntual (Rosenblueth, 1975): 𝐷𝐺𝑖1 = 𝐸(𝐷𝐷𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) −𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), 𝐷𝐺𝑖2 = 𝐸(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) + 𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), donde cada uno de esos valores está asociado a una
probabilidad igual a 0.5. Esta suposición conduce a lo siguiente (Esteva et al., 2014; Aldama, 2016):
𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝑖) = 0.5(𝛽(𝑦|𝐷𝐺𝑖1) + 𝛽(𝑦|𝐷𝐺𝑖2)) (14)
En este artículo, dado que se cuenta con la información del indicador de salud estructural, el cálculo de 𝛽(𝑦|𝐼𝐻)
se ha realizado de forma directa, utilizando la información de los indicadores de salud estructural 𝐼𝐻 .
La metodología para la determinación de 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) es la siguiente:
1. Obtener muestras de valores de 𝑈 = ln 𝐼𝑅𝑆𝑆 para diversos valores de intensidad sísmica, y, y un daño
acumulado inicial, d, resultante de la respuesta del sistema ante una secuencia de movimientos
sísmicos.
2. Emplear los datos generados en el paso 1 para obtener los parámetros 𝛼𝑈 que caracterizan la función
de valor esperado de 𝑈, denotada como �̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺).
3. Adoptar una forma algebraica adecuada para la función de confiabilidad 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) =
𝐹𝛽(𝑦│𝐼𝐻𝐺 , 𝛼𝛽), en donde αβ es el vector de parámetros por determinar.
4. Emplear los datos del punto 1 y los parámetros 𝛼𝑈 del punto 2 para obtener los parámetros 𝛼𝛽 del
punto 3, ajustando la desviación estándar de 𝑈, expresada como
𝜎𝑈(𝑦|𝑑) = −�̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺)
𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺)= −
�̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺)
𝐹𝛽(𝑦,𝐼𝐻𝐺 , 𝛼𝛽) (15)
Este planteamiento es aplicable también si se considera que el indicador de salud estructural es un vector
formado por 𝐼𝐻𝐺 y por un indicador de daño local (Aldama, 2016).
7
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FORMA MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN DE CONFIABILIDAD
Basados en los estudios de Esteva e Ismael (2003), se proponen las siguientes relaciones para 𝑈 y 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺)
para la determinación de la función de confiabilidad en términos del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 como
(Aldama, 2016):
𝑈(𝑦|𝐼𝐻𝐺) = 𝑎 + 𝑏ln(𝑦) + 𝑘𝐼𝐻𝐺𝑚 (16)
𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) = 𝐴 + 𝐵ln(𝑦) − 𝐶𝐼𝐻𝐺𝑛 (17)
La estimación de los parámetros que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones 16 y 17 se realiza
mediante regresión con las muestras de valores de 𝑈.
Análogamente, siguiendo el procedimiento descrito en la sección anterior para determinar 𝑓𝐷(𝑑|𝐼𝐻𝐺), es posible
establecer expresiones como las dadas en las ecuaciones 16 y 17 en función de un indicador compuesto, que
considera la información de la respuesta global del sistema y de la máxima local en un cierto entrepiso. De
acuerdo con los estudios de Aldama (2016), puede obtenerse una relación expresada como sigue:
𝑈(𝑦|𝐼𝐻𝐺 , 𝐼𝐻𝐿) = 𝑘1 + 𝑘2ln(𝑦) + 𝑘3𝐼𝐻𝐺𝑚1 + 𝑘4𝐼𝐻𝐺
𝑚2 (18)
𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺 , 𝐼𝐻𝐿) = 𝑘5 + 𝑘6ln(𝑦) + 𝑘7𝐼𝐻𝐺𝑛1 + 𝑘8𝐼𝐻𝐺
𝑛2 (19)
Tanto en la estimación de las ecs. 16 y 17, como en las ecs. 18 y 19, la existencia de los casos de falla pueden
ser considerados aplicando un análisis de máxima verosimilitud, partiendo de los conceptos expuestos en Ismael
y Esteva (2003). Es importante mencionar que en el ejemplo presentado más adelante se muestran los resultados
que toman en cuenta únicamente el indicador global 𝐼𝐻𝐺 .
PLANTEAMIENTO PARA LA ESTIMACIÓN DE LAS FUNCIONES DE VULNERABILIDAD A PARTIR DE INFORMACIÓN DE SALUD ESTRUCTURAL
En esta sección se presenta únicamente la formulación para tomar en cuenta la información del daño acumulado
en las funciones de vulnerabilidad. A partir de los conceptos expuestos en Esteva at al, 2002, se propone la
siguiente forma funcional para incorporar el efecto del daño acumulado en la función de vulnerabilidad
(Aldama, 2016):
𝛿(𝑦|𝑑) = 𝛿(𝑦|𝑆, 𝑑)[1 − 𝑝𝐹(𝑦|𝑑)] + 𝛿𝐹𝑝𝐹(𝑦|𝑑) (20)
En esta ecuación, 𝛿(𝑦|𝑆, 𝑑) es el valor esperado de las consecuencias bajo supervivencia del sistema, 𝛿𝐹 es el
costo de las consecuencias en caso de falla y 𝑝𝐹(𝑦|𝑑) es la probabilidad de falla del sistema obtenida a partir
de las ecs.16 y 17 como: 𝑝𝐹(𝑦|𝑑) = Φ(−𝛽(𝑦|𝑑)), asignando a Φ(. ) una distribución normal. Como antes, la
variable 𝑑, se reemplazará por el valor del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 .
A continuación, se muestra el planteamiento general de simulación Monte Carlo para la obtención de la función
de vulnerabilidad 𝛿(𝑦|𝐼𝐻𝐺) de un sistema estructural:
a) Simular las propiedades mecánicas del sistema estructural
b) Someter cada sistema simulado a secuencias de movimientos sísmicos considerando diferentes
combinaciones de intensidad y daño acumulado inicial
c) A partir de las respuestas de los sistemas simulados, calcular las distorsiones de entrepiso, 𝜓𝑖 , así como
sus correspondientes daños físicos, a través de la función g(. ), (Reyes, 1999; Esteva et al, 2002)
d) Definir los valores de 𝛿(𝑦|𝑆, 𝐼𝐻𝐺), 𝑝𝐹(𝑦|𝐼𝐻𝐺), 𝛿𝐹 y calcular 𝛿(𝑦|𝐼𝐻𝐺) como indica la ecuación 20.
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
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Es necesario mencionar que las variaciones en las ordenadas de la función de vulnerabilidad son sensibles a los
procesos de acumulación de daños, por lo que puede ser conveniente involucrar no solo los daños globales que
el sistema exhibe, sino también aquellos que reflejan las concentraciones de tal daño en los entrepisos o
segmentos del sistema (Aldama, 2016).
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Los criterios y metodologías propuestas en las secciones anteriores se aplican al estudio de la influencia de los
niveles de daño acumulado y su efecto en la evolución en las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad sísmica
de una estructura.
Se analiza un edificio de concreto reforzado de 10 niveles (ver figura 1), desplantado en la zona de suelo blando
de la ciudad de México, zona IIIb. La planta del edificio es de 18m de largo por 18m de ancho, cada lado tiene
tres crujías de 6m de ancho cada una, las alturas de entrepiso son de 4m en el primer entrepiso y 3m en el resto
de los entrepisos. El edifico cuenta con una cimentación mixta, un cajón desplantado a tres metros de
profundidad y pilotes de fricción de 50cm de diámetro y 21.5m de longitud. El edificio se analiza y diseña de
acuerdo con el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (RCDF, 2004) y sus Normas Técnicas
Complementarias para Diseño por Sismo (NTCDS, 2004) y concreto (NTCDEC, 2004).
En el cálculo de la respuesta de la estructura de la estructura se toma en cuenta el efecto de la interacción suelo-
estructura. También se considera la incertidumbre en las propiedades mecánicas y las cargas gravitacionales
(Alamilla, 2001).
EXCITACIONES SÍSMICAS
Para realizar los análisis de respuesta sísmica se tomó un conjunto de acelerogramas simulados. Estos
acelerogramas fueron representativos del sitio de desplante de la estructura. Los sismos se simularon utilizando
el método híbrido propuesto por Ismael y Esteva (2006), basado en el método de las funciones generalizadas
de atenuación de Alamilla et al (2001a) y el de las funciones de Green empíricas de Ordaz et al (1995). La
medida de intensidad que se tomó fue la dada por la ordenada del espectro de seudoaceleraciones para un
amortiguamiento del 5%, para el periodo fundamental de la estructura. En este ejemplo el periodo fundamental
del edificio fue de 1.12s. Las intensidades de los acelerogramas se tomaron dentro de un intervalo de valores
suficiente para generar diferentes niveles de daño en la estructura, basándose en la curva de peligro sísmico
correspondiente a la medida de intensidad elegida (ver figura 2).
Figura 1 Sistema estructural estudiado
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Figura 2 Curva de peligro sísmico
ANÁLISIS DE RESPUESTA
Para la estimación de los indicadores de respuesta estructural y funciones de vulnerabilidad de la estructura, se
realizaron los análisis en dos etapas.
Los análisis de la primera etapa se utilizaron para determinar las propiedades dinámicas de la estructura sin
daño y su evolución como consecuencia de la acumulación de daño después de ser sometida a un sismo de una
intensidad dada. Para esto se generó un conjunto de secuencias de tres movimientos sísmicos consistentes en
un microsismo, un sismo de intensidad dada y un microsismo. Estas secuencias se utilizaron para analizar la
respuesta de una estructura con propiedades simuladas. Con el primer microsismo se obtuvo la frecuencia
natural dominante del sistema sin daño f𝑛10 ; después se aplicó el sismo simulado con intensidad dada, el cual
llevó a la estructura a un cierto estado de daño representado por el indicador ISSR o D para la condición de que
no se tiene daño inicial; finalmente se sometió la estructura a un segundo microsismo, con el cual fue posible
calcular el valor de f𝑛1, la frecuencia natural dominante para una condición de daño determinada. Los
microsismos que se utilizaron corresponden a señales simuladas de un ruido blanco gaussiano. La duración e
intensidad de estas señales se tomaron de tal manera que proporcionaran la información necesaria para calcular
la frecuencia fundamental del sistema. Las intensidades de los sismos simulados en cada secuencia se eligieron
de tal forma que generaran diferentes daños dentro de un amplio intervalo. Estas intensidades estuvieron
asociadas a periodos de retorno comprendidos entre 10 y 10000 años.
En la segunda etapa de análisis se obtuvieron estimaciones de las propiedades dinámicas del sistema dada una
condición de daño inicial. Estos análisis se basaron en los resultados obtenidos en la primera etapa de análisis,
de la cual se eligió un conjunto de sistemas cuyo daño al final de la secuencia de movimientos cubriera un
intervalo de daños que pudieran ser tomados como los sistemas con daño inicial. En este caso, para cada
estructura simulada elegida de la etapa anterior se generó un conjunto de secuencias de sismos de cuatro
movimientos cada una: un sismo con la intensidad dada (el mismo que se utilizó en la etapa anterior), un
0.001
0.01
0.1
1
10
1 10 100 1000
Ta
sa
s d
e e
xc
ed
en
cia
, 1/a
ño
s
Intensidad espectral, en cm/s²
Ajuste de la curva de peligro
Curva de peligro para M01
Ajuste matemático
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
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microsismo, un sismo con una intensidad dada y un microsismo. De los análisis de respuesta de las estructuras
ante cada secuencia de sismos se obtuvieron los valores de IRRS, 𝐷𝐺 e IHG, después de cada sismo fuerte,
aplicando las ecs. 1, 5 y 6.
MEDICIÓN DE LOS INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL
En la figura 3 se presentan los resultados que se obtienen de las magnitudes de las funciones de transferencia
del sistema (aceleración en la base a distorsión global), utilizando la información de microsismos antes y
después de someter a la estructura a un sismo de intensidad 𝑦. Estos corresponden a tres de los casos estudiados
para diferentes condiciones iniciales de daño acumulado 𝐷𝐺𝑖 , en donde se puede observar el efecto del daño
acumulado en la forma de las funciones de transferencia.
Figura 3 Magnitud de las funciones de transferencia del sistema, para tres diferentes condiciones de
daño inicial: a) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0.007; b) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0; c) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0.031
En las figuras 4 y 5 se presentan, con fines de comparación, los ajustes a las funciones de transferencia utilizando
el método de Richardson y Formenti (1982). Los resultados muestran una buena aproximación del ajuste
considerando toda la información de la respuesta espectral que logra registrarse y por lo tanto una buena
estimación de la frecuencia fundamental del sistema.
Figura 4 Ajuste de las funciones de transferencia de la figura 3 para el primer microsismo
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
|H(w
)|
Frecuencias, en Hz
pre-sismo
post-sismo
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
|H(w
)|
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
11
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 5 Ajuste de las funciones de transferencia de la figura 3 para el segundo microsismo
En la tabla 1 se muestran las frecuencias fundamentales del sistema, identificadas antes y después de los eventos
sísmicos utilizados en los casos de ejemplo de la figura 3.
Tabla 1 Frecuencias fundamentales identificadas antes y después de un evento de intensidad 𝒚𝐢, para
las funciones de transferencia de la figura 3
SIM IHG,i VA1 (fi) SIS (cm/s²) VA2 (ff) IHG,f %VFi %VFf VF
1 0.007 0.855 170.19 0.805 0.058 0.70 5.85 5.15
2 0.05 0.757 415.15 0.708 0.065 5.00 6.47 1.47
3 0.02 0.83 387.6 0.488 0.412 2.00 41.20 39.20
IHG,i =daño inicial, fi=frecuencia fundamental inicial, yi=intensidad sísmica, IHG,f =daño final, ff=frecuencia fundamental final
De los resultados de la tabla 1, se puede observar que para las simulaciones seleccionadas, se partió de una
condición inicial de daño y se realizó una medición de la frecuencia fundamental del sistema, utilizando un
ruido ambiental, VA1. Posteriormente, la estructura se sometió a un sismo, SIS, de intensidad 𝑦, y
posteriormente se llevó a cabo una nueva medición de la frecuencia fundamental del sistema ante un ruido
ambiental, VA2. Los resultados muestran que, ante las excitaciones mostradas, el sistema experimentó una
degradación en su rigidez lateral. Esta hipótesis es correcta si se supone que su masa permanece constante. En
las columnas %VFi y %VFf se muestran los porcentajes de variación de frecuencia del sistema antes y después
de la exposición al sismo, los cuales van desde 6 a 41 por ciento. Por otro lado, dado que se presenta una
condición inicial de daño, se puede calcular el incremento efectivo del daño por efecto del último sismo, como
se aprecia en la última columna; estos porcentajes van desde 5 a 39 por ciento y representan un decremento en
la capacidad lateral del sistema.
RELACIONES ENTRE EL INDICADOR DE DAÑO ACUMULADO Y EL INDICADOR DE SALUD ESTRUCTURAL
De los resultados obtenidos en las dos etapas de análisis es posible calcular la relación entre el daño acumulado
DG y el indicador de salud estructural IHG. En la figura 6 se presentan los resultados para el caso de los
indicadores globales. En la misma figura se muestran los ajustes realizados utilizando las ecs. 12 y 13. En la
tabla 2 se dan los valores de los coeficientes ajustados.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Frecuencias, en Hz
Original
Ajuste
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a) Media (ec. 12) b) Desviación estándar (ec. 13)
Figura 6 Relación entre el indicador de daño acumulado D y el indicador de salud estructural IH
Tabla 2 Valores de los parámetros A1, A2, A3 y A4 para las ecuaciones 12 y 13
A1 A2 A3 A4
125.251 0.854 0.001 94.587
FUNCIONES DE CONFIABILIDAD
Las funciones de confiabilidad del sistema en función del indicador de salud estructural se calculan a partir de
las ecs. 16 y 17, utilizando la información generada a partir del esquema de simulación Monte Carlo descrito
en secciones anteriores, para una muestra de 40 estructuras simuladas y 10 condiciones de daño inicial. En la
figura 7 se muestran los resultados de la media y desviación estándar de las funciones de 𝑈(𝑦|𝐼𝐻), ajustados a
los resultados de los análisis de respuesta.
a) Media b) Desviación estándar
Figura 7 Media y desviación estándar de U, dada una intensidad y un valor de IHG, ajustadas a la
muestra de valores simulados
0
5
10
15
20
25
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
D
indicador IH
Ajuste
Datos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
|D-E
[D]|
indicador IH
0500
10001500 0
0.5
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
IH
y
mU(y
l I
H)
0500
10001500 0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
IH
y
U(y
l I
H)
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Utilizando la información de las gráficas anteriores, es posible calcular la función de confiabilidad de la
estructura, 𝛽(𝑦|𝐼𝐻), de acuerdo con la ecuación 17. Los resultados se muestran en la figura 8, para diferentes
intensidades y condiciones iniciales de daño, utilizando la definición del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 .
Figura 8 Funciones de confiabilidad: a) para diferentes valores de 𝒚; b) para diferentes valores de IH
Suponiendo que la distribución de probabilidades de la intensidad dada IH tiene una distribución Normal, en la
figura 9 se presenta la probabilidad de falla del sistema, para diferentes condiciones de daño inicial.
.
Figura 9 Probabilidades de falla considerando la influencia del daño acumulado
Los resultados anteriores se pueden utilizar para calcular la función de vulnerabilidad del sistema de acuerdo
con las expresiones dadas por las ecs. 5 y 6. En la figura 10 se presentan algunos de los resultados encontrados
para el sistema estudiado.
-5
-2.5
0
2.5
5
0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9
IH
b(y
|IH
)
y=333.26 cm/s²
y=401.28 cm/s²
y=534.13 cm/s²
y=668.76 cm/s²
y=730.557 cm/s²
y=842.3676 cm/s²
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 300 600 900 1200 1500
y, en cm/s²
b(y
|IH
)
IH=0
IH=0.25
IH=0.5
IH=0.75
IH=1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 250 500 750 1000 1250 1500
y, en cm/s²
pF
(y|I H
)
IH = 0
IH = 0.25
IH = 0.5
IH = 0.75
IH = 1
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Figura 10 Valores esperados de los costos de daños para diferentes valores de y
Los resultados de la figura 10 se obtuvieron a partir de las relaciones previamente establecidas entre la función
de vulnerabilidad y su relación con el nivel de daño físico. Para definir los límites de la función de daño físico,
se han utilizado los valores de distorsiones límite para marcos de concreto reforzado iguales a los que aparecen
en Reyes (1999). Se asoció a g(𝜓0(𝑦)|𝐷) un valor igual a 0.01, correspondiente a la distorsión que inicia el
agrietamiento, 𝜓0= 0.005. En los casos en que el marco se daña completamente, se tomó un valor de distorsión
ante falla inminente 𝜓𝐹= 0.040 y se estableció g(𝜓𝐹(𝑦)|𝐷) = 0.99, donde 𝐷, como se ha descrito previamente,
es la variable aleatoria representativa del daño acumulado. En Aldama (2016) se pueden encontrar más detalles
sobre la determinación de estas funciones.
CONCLUSIONES
Se analizó la eficiencia de diversos indicadores de daño acumulado y salud estructural para la obtención de las
funciones de vulnerabilidad de estructuras. Los indicadores propuestos mostraron un adecuado comportamiento
para representar la condición de daño en la estructura después de un evento sísmico. Los esquemas de
simulación de Monte Carlo propuestos permitieron establecer las relaciones probabilistas entre los indicadores
globales y locales de salud estructural y el índice de daño acumulado, así como obtener las funciones de
confiabilidad y vulnerabilidad del sistema en función de ambos indicadores.
Con los resultados de este trabajo es posible realizar estudios de optimización en un ciclo de vida que permitan
encontrar valores óptimos de los umbrales de daño para establecer estrategias de reparación y mantenimiento
dentro de un ciclo de vida. En Esteva et al. (2016) y Aldama (2016), se presenta un planteamiento para la
formulación de políticas de reparación y mantenimiento de sistemas estructurales expuestos a excitaciones
sísmicas a partir del marco de optimización en el ciclo de vida.
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0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
IH
d(y
|S,IH
)
y = 129cm/s²
y = 333.26cm/s²
y = 401.28cm/s²
y = 534.13cm/s²
y = 668.76cm/s²
y = 730.56cm/s²
y = 842.37cm/s²
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