Índice: 1. Introducción 6 - imem.unavarra.es · Xabier Iriarte Goñi Proyecto Ingeniería Industrial Universidad Pública de Navarra 1. Introducción 1.1. Antecedentes del proyecto

Xabier Iriarte Goñi

Proyecto Ingeniería Industrial Universidad Pública de Navarra

Índice:

1. Introducción __________________________________ 6

1.1. Antecedentes del proyecto___________________________________ 6

1.2. Objetivos del proyecto______________________________________ 7

1.3. Consideraciones previas ____________________________________ 7

1.4. Líneas de actuación ________________________________________ 7

1.5. Criterios de evaluación _____________________________________ 8

1.6. Metodología seguida en el desarrollo del proyecto_______________ 8

2. Teoría de simulación de mecanismos ______________ 9

2.1. Introducción ______________________________________________ 9

2.2. Sistemas de coordenadas____________________________________ 9

2.2.1. Coordenadas relativas _____________________________________ 9

2.2.2. Coordenadas naturales ___________________________________ 10

2.2.3. Elección del sistema de coordenadas ________________________ 11

2.3. Restricciones_____________________________________________ 11

2.3.1. Restricciones de sólido rígido______________________________ 12

2.3.2. Restricciones de pares cinemáticos__________________________ 13

2.4. Simulación Cinemática ____________________________________ 13

2.4.1. Problema de posición inicial_______________________________ 13

2.4.2. Problemas de velocidad y aceleración _______________________ 14

2.5. Simulación Dinámica______________________________________ 15

2.5.1. Formulación de matriz de masas y vector de fuerzas ____________ 15

2.5.1.1. Matriz de masas _____________________________________ 15

2.5.1.2. Fuerzas exteriores ___________________________________ 18

2.5.2. Formulaciones basadas en coordenadas dependientes ___________ 18

2.5.2.1. Método de los multiplicadores de Lagrange _______________ 19

Memoria Una nueva formulación para la simulación dinámica de mecanismos flexibles

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2.5.2.2. Método de la matriz de proyección R ____________________ 20

2.5.2.3. Método de penalización _______________________________ 22

2.5.3. Formulaciones basadas en coordenadas independientes__________ 23

2.5.3.1. Determinación de coordenadas independientes _____________ 24

2.5.3.2. Método de extracción (partición de coordenadas) ___________ 25

2.5.3.3. Métodos basados en la matriz de proyección R_____________ 26

3. Teoría de simulación de mecanismos flexibles ______ 27

3.1. Introducción _____________________________________________ 27

3.2. Cuatro grupos de métodos para la resolución del problema de

mecanismos flexibles __________________________________________________ 27

3.2.1. Modelos de parámetros concentrados (Lumped models) _________ 28

3.2.2. Elasto-dynamics ________________________________________ 28

3.2.3. Moving reference frame __________________________________ 28

3.2.4. Inertial reference frame___________________________________ 29

3.3. Modelos de parámetros concentrados ________________________ 30

3.3.1. Ejemplo de un modelo de parámetros concentrados_____________ 30

3.3.2. Ventajas e inconvenientes de los modelos de parámetros concentrados

33

3.4. The classical moving frame approach ________________________ 34

3.4.1. Cinemática del elemento flexible.___________________________ 34

3.4.2. Definición de los pares cinemáticos _________________________ 37

3.4.3. Ecuaciones de restricción _________________________________ 38

3.4.4. Dinámica del elemento flexible ____________________________ 38

3.4.5. Matrices de masa y rigidez de elementos finitos _______________ 40

3.4.6. Ensamblaje de las ecuaciones de la dinámica__________________ 42

3.4.7. Formulación de las ecuaciones dinámicas ____________________ 43

3.4.8. Resolución de problemas de dinámica inversa _________________ 43

3.4.9. Criterios para la elección de los modos estáticos y modos de vibración

44

3.4.10. Distintas variantes en la formulación _______________________ 49


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4. Métodos de integración numérica ________________ 50

4.1. Introducción _____________________________________________ 50

4.2. Transformación de las ecuaciones de la dinámica ______________ 51

4.3. Estabilidad de los métodos de integración numérica ____________ 52

4.3.1. Conditionally stable methods:______________________________ 52

4.3.2. Stiffly stable methods: ___________________________________ 52

4.3.3. Unconditionally stable methods (A-stability): _________________ 53

4.3.4. A(α)-stable methods: ____________________________________ 53

4.4. Métodos de resolución de EDO-s de 1er orden _________________ 54

4.4.1. Métodos Runge – Kutta __________________________________ 54

4.4.2. Métodos Multipaso ______________________________________ 55

4.5. Comparación entre los métodos Runge – Kutta y los métodos

Multipaso 58

4.6. Métodos de resolución de EDO-s de 2º orden __________________ 59

4.6.1. Método de Newmark_____________________________________ 59

4.6.2. Método HHT-α (Hilbert, Hughes y Taylor) ___________________ 60

4.6.3. Central difference method_________________________________ 60

4.7. Métodos de resolución de sistemas Stiff_______________________ 61

4.8. Ecuaciones Diferenciales Algebraicas (EDA) __________________ 62

4.9. Algoritmos de resolución de Matlab _________________________ 63

5. Modelo de una barra flexible ____________________ 66

5.1. Introducción _____________________________________________ 66

5.2. Descripción del problema __________________________________ 66

5.3. Diferentes modelos________________________________________ 67

5.3.1. Modelo 1: _____________________________________________ 69

5.3.2. Modelo 2: _____________________________________________ 69

5.3.3. Modelos 3, 4 y 5: _______________________________________ 69


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5.3.4. Modelo 6: _____________________________________________ 69

5.3.5. Modelo 7: _____________________________________________ 70

5.3.6. Modelos 8 y 9: _________________________________________ 70

5.3.7. Modelo 10: ____________________________________________ 71

5.4. Resultados_______________________________________________ 72

5.4.1. Modelo 1 – Modelo 2:____________________________________ 72

5.4.2. Modelo 3 – Modelo 4 – Modelo 5: __________________________ 74

5.4.3. Modelo 1 – Modelo 5:____________________________________ 76

5.4.4. Modelo 5 – Modelo 6:____________________________________ 77

5.4.5. Modelo 5 – Modelo 7:____________________________________ 78

5.4.6. Modelo 8 – Modelo 9:____________________________________ 80

5.4.7. Modelo 8 – Modelo 5:____________________________________ 84

5.4.8. Modelo 9 – Modelo 5: (w=4) ______________________________ 86

5.4.9. Modelo 10: ____________________________________________ 88

5.5. Conclusiones_____________________________________________ 88

6. Conclusiones_________________________________ 91

7. Referencias __________________________________ 94

7.1. MULTIBODY ___________________________________________ 94

7.1.1. LIBROS ______________________________________________ 94

7.1.2. ARTICULOS __________________________________________ 95

7.2. MEF____________________________________________________ 96

7.2.1. LIBROS ______________________________________________ 96

7.2.2. ARTICULOS __________________________________________ 98

7.3. METODOS NUMERICOS DE INTEGRACIÓN ______________ 98

7.3.1. LIBROS ______________________________________________ 99

7.4. SUBSTRUCTURING ____________________________________ 100

7.5. VIBRACIONES _________________________________________ 101

7.6. LUMPED MODELS _____________________________________ 101


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8. Anexo 1 ____________________________________ 103

9. Anexo 2 ____________________________________ 105


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1. Introducción

1.1. Antecedentes del proyecto

Este proyecto surge con la intención de evaluar diferentes formas de realizar el

cálculo en la simulación de mecanismos flexibles. Son muchas y muy variadas las maneras

en las que se puede modelizar un sistema multicuerpo (rígido o flexible) para realizar una

simulación. No obstante, no existe un criterio claro a la hora de elegir unos métodos u

otros. La eficiencia de los diferentes modelos depende en gran medida del problema

concreto que queramos resolver. La elección de coordenadas relativas, por ejemplo, puede

ser acertada si no vamos a atravesar ninguna posición singular o si las ecuaciones de

restricción no van a ser expresiones complejas de evaluar. Así mismo, el empleo de

coordenadas naturales puede ser más adecuado para simplificar la generación automática

de las ecuaciones o para lograr una mayor eficiencia de cálculo.

Existen varios tipos de formulaciones para la simulación de mecanismos flexibles.

Tomando solo uno de esos tipos, tenemos multitud de maneras de generar nuestro modelo.

Podemos utilizar coordenadas absolutas o relativas; podemos elegir diferentes

combinaciones de puntos y vectores para definir un sólido en el espacio; podemos elegir

distintas combinaciones de modos de vibración y deformadas estáticas para representar la

posibilidad de deformación de los sólidos; podemos escribir las ecuaciones de restricción

de muchas maneras diferentes; podemos elegir utilizar el método de multiplicadores de

Lagrange para plantear las ecuaciones dinámicas, podemos elegir el método de

penalizadores o cualquier otro de los existentes. Así mismo, podemos realizar la resolución

de las ecuaciones diferenciales con cualquiera de los múltiples métodos numéricos

disponibles.

Así pues, vemos que existen multitud de maneras de realizar la simulación

dinámica de mecanismos flexibles, y vamos a analizar algunas de ellas.


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1.2. Objetivos del proyecto

El principal objetivo de este proyecto es realizar una evaluación de algunas de las

diferentes maneras de resolver problemas de simulación de mecanismos flexibles. Para ello

se va a utilizar un mecanismo ejemplo que nos va a servir de banco de pruebas de las

diferentes formulaciones. Las distintas formulaciones se diferenciarán en la forma de

plantear las ecuaciones, y en la utilización de diferentes formas de calcular los modos de

vibración y deformadas estáticas. Se pretende evaluar las formulaciones en términos de

precisión y eficiencia computacional. Para evaluar la precisión deberemos comparar los

resultados de diferentes simulaciones y comprobar que son iguales. Para evaluar la

eficiencia se tendrá en cuenta el tiempo necesario para realizar la simulación y también el

número de evaluaciones de la función del sistema de ecuaciones diferenciales, (equivalente

al número de pasos de integración si utilizamos un integrador de paso fijo).

1.3. Consideraciones previas

Para realizar este proyecto deberá tenerse conocimiento de la teoría de simulación

de mecanismos que se expone en los capítulos 2 y 3 de este proyecto. De esta manera, será

preciso conocer tanto las técnicas de simulación cinemática y dinámica, como tener

conocimiento de los diferentes métodos de integración numérica existentes. Así mismo,

debe conocerse lo concerniente a la simulación dinámica de mecanismos flexibles

utilizando el método denominado “moving frame approach”.

Este conocimiento nos servirá de base para la elaboración de distintas

formulaciones, combinando diferentes algoritmos para cada fase de la obtención de las

ecuaciones y de la resolución de las mismas.

1.4. Líneas de actuación

El objetivo de este proyecto es hallar una o varias formulaciones que presenten

ventajas sobres las existentes, así como evaluarlas y compararlas utilizando un mecanismo

concreto como banco de pruebas, (mecanismo benchmark).

Las formulaciones se diferenciarán en la forma de plantear las ecuaciones.


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1.5. Criterios de evaluación

Para la evaluación de las diferentes formulaciones, se compararán tiempos de

cálculo para cada simulación. También se compararán los resultados que den las diferentes

formulaciones, y se harán diferentes grupos de comparación para dejar patente que las

diferencias se deben a una característica concreta que se quiere evaluar.

Asimismo, se van a realizar simulaciones con un programa de elementos finitos,

(MSC.Marc), para validar las soluciones de los modelos que se construyan.

Se dará una importancia notable a la forma en la que se calculan los modos de

vibración y las deformadas estáticas, ya que estas repercuten en la solución de la

simulación y no existe un criterio fijo para calcularlas.

Otra forma de validar la formulación será la comparación directa con los resultados

que para el mismo problema han dado diferentes autores en artículos de revistas

especializadas. Para ellos, deberemos tomar como banco de pruebas de nuestras

formulaciones un mecanismo de los denominados “benchmark”. Éstos son problemas

concretos que han sido resueltos de multitud de maneras y que además, presentan unas

características que resaltan la calidad de la formulación.

1.6. Metodología seguida en el desarrollo del proyecto

Los pasos a seguir en la elaboración de este proyecto han sido los siguientes:

- Adquirir el conocimiento necesario sobre teoría de la simulación cinemática y

dinámica de mecanismos, y posteriormente de dinámica de mecanismos

flexibles.

- Programación de un mecanismos benchmark, que nos sirva de banco de pruebas

para la evaluación de varias formulaciones.

- Configuración de las distintas combinaciones de algoritmos que nos ofrecen

distintas características.

- Realización de simulaciones y toma de datos de tiempo y número de

evaluaciones de una función del programa.

- Conclusiones.


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2. Teoría de simulación de mecanismos

2.1. Introducción

En este segundo capítulo, se van a explicar a grandes rasgos, las nociones básicas

sobre teoría de simulación de mecanismos. Primeramente se hará referencia a la manera en

la que se plantean las ecuaciones para la determinación de la posición del mecanismo en

todo momento. Posteriormente se abordará la simulación cinemática, para terminar el

capítulo con la simulación dinámica de mecanismos. [1]

2.2. Sistemas de coordenadas

Los diferentes sólidos que constituyen un mecanismo, pueden ser modelizados de

muchas y muy variadas maneras. Para determinar la posición de un sólido rígido en un

espacio tridimensional, deberemos de utilizar, al menos, 6 parámetros: uno por cada grado

de libertad del sólido. Además, los parámetros pueden referirse a una referencia absoluta,

(inercial), o a una referencia relativa como puede ser, por ejemplo, otro sólido del

mecanismo.

Las distintas maneras de resolver este problema se han clasificado para su análisis y

comparación, y aquí se van a presentar dos tipos de coordenadas que frecuentemente se

utilizan para determinar la posición de un sólido en el espacio, y para posteriormente

simular el movimiento de varios sólidos unidos entre sí mediante pares cinemáticos.

2.2.1. Coordenadas relativas

Las coordenadas relativas, definen la posición de cada elemento de un mecanismo

en relación al elemento anterior de la cadena cinemática, utilizando parámetros o

coordenadas correspondientes a los grados de libertad de la unión entre los dos sólidos. Por

ejemplo, en un par de revolución de un mecanismo en 2D, se define la posición de un

sólido respecto del otro con el valor del ángulo del par de revolución. En el caso de

mecanismos de cadena abierta, si se utilizan coordenadas relativas, se tiene tantas


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coordenadas como grados de libertad, y de esta manera no existen ecuaciones de

restricción.

Las coordenadas relativas presentan una serie de ventajas:

- El número de coordenadas es reducido y se puede lograr una buena eficiencia numérica.

- Son muy apropiadas para mecanismos de cadena abierta por poder usarse tantas

coordenadas como grados de libertad.

- La consideración de una coordenada por cada grado de libertad es muy apropiada cuando

se van a guiar grados de libertad o se van a aplicar fuerzas o momentos a un grado de

libertad. De esta manera pueden aplicarse directamente las fuerzas sobre la coordenada

relativa que representa el grado de libertad, sin necesidad de transformar las fuerzas para

distribuirlas por las distintas coordenadas consideradas.

Pero así mismo tiene varios inconvenientes:

- La formulación matemática de las coordenadas relativas es más complicada debido a la

dependencia de la posición de un cuerpo respecto del cuerpo anterior en la cadena

cinemática.

- Aunque el número de coordenadas sea menor y también lo sea la dimensión de las matrices

que componen el sistema de ecuaciones, las expresiones que aparecen en las ecuaciones,

son computacionalmente más costosas de evaluar, y pueden hacer la integración de las

ecuaciones más lenta.

- Las coordenadas relativas requieren un pre y post proceso antes y después de la resolución

de las ecuaciones, ya que no representan directamente la geometría del mecanismo.

2.2.2. Coordenadas naturales

Las coordenadas naturales, definen la posición de todos los puntos de un sólido

rígido mediante la posición, en coordenadas cartesianas, de alguno de sus puntos, y la

orientación de algún vector que consideraremos solidario al cuerpo. Existen varias formas

en las que con puntos y vectores podemos determinar la posición de un sólido rígido sin

que nos sobren puntos o vectores. Las ecuaciones de restricción de los pares cinemáticos

también se expresan en función de puntos y vectores. La utilización de coordenadas

naturales conlleva una serie de características que se detallan a continuación:


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- Las coordenadas naturales están compuestas por variables cartesianas, y por lo tanto, son

sencillas de definir y de representar geométricamente.

- La matriz de rotación de un sólido rígido cuyo movimiento está expresado en coordenadas

naturales es una función lineal de estas componentes; mientras que en coordenadas

relativas, las matrices contienen términos con senos y cosenos que son más caros de

evaluar.

- Las coordenadas naturales nos permiten introducir la geometría y la orientación de un

sólido rígido con un solo grupo de coordenadas relativas al sistema de referencia global.

Esto simplifica la formulación y reduce el número de variables.

- Las ecuaciones de restricción de sólido rígido con coordenadas naturales son cuadráticas (o

lineales), y por tanto, la matriz jacobiana (matriz de derivadas parciales de las ecuaciones

respecto de las variables), es una función lineal (o constante), de las coordenadas naturales.

- Las coordenadas naturales permiten la adición de alguna coordenada relativa cuando se

pretende guiar o aplicar una fuerza o momento sobre un grado de libertad.

2.2.3. Elección del sistema de coordenadas

A la hora de elegir un sistema de coordenadas u otro, nos hemos decantado por

utilizar las coordenadas naturales porque presentan ventajas respecto de las coordenadas

relativas, y son más adecuadas para llevar a cabo las diferentes formulaciones.

2.3. Restricciones

Desde el momento en el que se utilizan coordenadas naturales, y por lo tanto,

grupos de variables dependientes, existen relaciones entre las variables, y estas deben de

cumplirse. Por ejemplo, si utilizamos las 3 coordenadas de dos de los puntos de un sólido,

como parte del grupo de coordenadas necesario para determinar su posición, existirá una

relación entre esas 6 variables que deberá cumplirse en todo momento. Como el sólido se

considera indeformable (rígido), la distancia relativa entre cualquier par de puntos de un

mismo sólido permanece constante siempre.

Al conjunto de todas las ecuaciones de restricción que aparezcan en el problema las

denominaremos ( )qφ , y las escribiremos siempre en la forma ( ) 0=qφ .


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2.3.1. Restricciones de sólido rígido

Como ya hemos citado con anterioridad, utilizando coordenadas naturales existen

varias formas en las que con puntos y vectores podemos determinar la posición de un

sólido rígido. Deberemos utilizar estos puntos y vectores para fijar en el espacio los seis

grados de libertad que tiene un sólido rígido en el espacio tridimensional. 3 de las distintas

formas de determinar la posición de un sólido en el espacio son las siguientes:

- Utilizando tres puntos:

Siendo el vector que va desde el punto i al j, y es la distancia constante existente

entre los puntos i y j, las ecuaciones que deben cumplirse son tres ecuaciones de distancia

constante entre pares de puntos:

Éstas, son tres ecuaciones escalares. El número de variables que se está manejando

asciende a 9, (3 variables por cada uno de los 3 puntos). Por tanto, el número de grados de

libertad del sólido en el espacio es igual a: 9 variables – 3 ecuaciones = 6 gdl. Lo cual

concuerda con lo que ya sabíamos.

- Dos puntos y un vector no colineal:

En esta ocasión se utilizan dos puntos del sólido, y un vector solidario al sólido para

determinar la posición del sólido en base a ellos. Las ecuaciones que deberán cumplirse

entre estos dos puntos y el vector, son las siguientes:

donde

ijr ijL

0Lrr ij2ijij =−⋅

0Lrr jk2jkjk =−⋅

0Lrr ki2kiki =−⋅

0Lrr ij2ijij =−⋅

0cosLur ijmij =⋅−⋅ φ

01uu mm =−⋅ mu es el vector no colineal.


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Como en el caso de tres puntos, en este también tenemos tres ecuaciones escalares, y nueve

variables involucradas, por lo que el sólido tendrá 6 grados de libertad.

- Un punto y dos vectores:

Si la configuración elegida consta de un punto y dos vectores, las ecuaciones que deben de

cumplirse son las siguientes:

01uu mm =−⋅

01uu nn =−⋅

0cosuu mm =−⋅ φ

Por tanto, una manera de escribir todas y cada una de las ecuaciones de sólido

rígido para cada cuerpo, es elegir cual de estos tres conjuntos de ecuaciones se corresponde

mejor con la elección de coordenadas que previamente hayamos hecho, y posteriormente

escribir las ecuaciones tal y como vienen escritas aquí.

2.3.2. Restricciones de pares cinemáticos

Para extraer las ecuaciones que surgen debido a las restricciones de los pares

cinemáticos, solo tenemos que relacionar entre sí las coordenadas de los puntos y vectores

que están involucrados en ese par cinemático.

Por ejemplo, en un par esférico, la relación existente entre los dos cuerpos

involucrados, es que ambos comparten un punto común. Si el punto i pertenece a un

cuerpo, y el j al otro, la ecuación vectorial que los relaciona es: 0rr ji =−

En un par de revolución entre dos cuerpos, ambos comparten un punto y giran el

uno respecto del otro según un eje que podrá venir determinado por un vector común. Las

ecuaciones serán las siguientes: 0rr ji =− 0cos =−⋅ θji uu

2.4. Simulación Cinemática

2.4.1. Problema de posición inicial

Una vez que tenemos las ecuaciones de sólido rígido y las de los pares cinemáticos,

disponemos de las herramientas necesarias para determinar la posición del mecanismo en


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función de los valores de sus grados de libertad. Por tanto, solo debemos fijar las

coordenadas de los grados de libertad y resolver el sistema de ecuaciones. El problema

radica en que el sistema de ecuaciones resultante es no lineal, y no podemos resolverlo

directamente. Para la resolución de este y otro tipo de sistemas no lineales, podemos

utilizar el método de Newton – Raphson.

Si nuestro sistema de ecuaciones no lineal es de la forma:

( ) 0=qφ

deberemos formular el siguiente método iterativo

( ) ( ) ( ) 01 =−⋅+ + iiiqi qqqq φφ

donde ( )qqφ es la matriz jacobiana del vector de ecuaciones φ , y es el vector de

incógnitas. Para iniciar este método iterativo, deberemos elegir un vector q que no se

aleje mucho de la que será nuestra solución ( q ), para que el método converja. El criterio

de parada para el algoritmo puede ser el de que

q

0

( ) TOLq <φ .

2.4.2. Problemas de velocidad y aceleración

La simulación cinemática de un mecanismo, nos da la información de la posición,

velocidad, y aceleración del mecanismo en cada instante de tiempo.

El problema de posición inicial nos proporciona la posición del mecanismo en el

instante t=0. Así mismo, para conocer la posición del mecanismo en cualquier instante de

tiempo, lo único que debe hacerse, es resolver el problema de valor inicial, pero el valor de

la variable t actual, utilizando la posición del instante de tiempo anterior como primera

aproximación para aplicar el método de Newton-Raphson.

Para conocer cual es el valor de velocidad de cada una de nuestras variables,

deberemos derivar las ecuaciones de restricción respecto del tiempo para llegar a una

ecuación en la que las velocidades dependen, en general, de la posición del mecanismo, y

del tiempo. Si derivamos las ecuaciones de restricción respecto del tiempo, obtenemos lo

siguiente:

( ) 0,=

∂Φ∂

+⋅∂Φ∂

≡Φ

tdtdq

qdttqd ( ) 0, =Φ+⋅Φ tq qtq &


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Si ninguna de las restricciones depende explícitamente del tiempo, entonces,

. Di se da esta condición, habiendo resuelto previamente el problema de posición,

solo tendremos que resolver un sistema lineal de ecuaciones para hallar el vector de

velocidades dependientes.

0=Φ t

Así, el cálculo de aceleraciones se realiza de la misma manera. Se derivan dos

veces las ecuaciones de restricción respecto del tiempo, y se obtiene un sistema de

ecuaciones lineales, de las que se despeja el vector aceleración. Las ecuaciones son las

siguientes:

02

2=Φ+⋅Φ+⋅Φ≡

Φtqq qq

dtd &&&&& ⇒ qq qtq &&&&& ⋅Φ−Φ−=⋅Φ

Tanto en el problema de velocidades como en el de aceleraciones, alguna

componente del vector velocidad y aceleración será previamente conocido, ya que

debemos conocer la evolución en el tiempo de los grados de libertad del mecanismo. De

esta manera, deberemos multiplicar, los valores conocidos de los vectores velocidad y

aceleración, por la matriz jacobiana, para tener un vector conocido en la ecuación. Este

vector lo pasaremos al lado derecho de la igualdad como término independiente. Así

obtendremos, en general, un sistema lineal de ecuaciones cuadrado, con tantas ecuaciones

como incógnitas, con una única solución.

2.5. Simulación Dinámica

Las ecuaciones de la dinámica de un sistema multicuerpo las podemos obtener a

través de varios procedimientos matemáticos como: el principio de los desplazamientos

virtuales, el principio de Hamilton, las ecuaciones de Lagrange, o el método de las

potencias virtuales. De esta manera, podremos llegar a distintas expresiones con las que

podremos modelar y simular sistemas dinámicos multicuerpo.

2.5.1. Formulación de matriz de masas y vector de fuerzas

2.5.1.1. Matriz de masas

En esta sección se va a explicar la forma en la que se construye la matriz de masas

de un sólido, para que multiplicándola por las aceleraciones, obtengamos el vector de las


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fuerzas de inercia. La forma que tomará la matriz de masas, depende indudablemente de

las coordenadas que se utilicen para representar el mecanismo. Nuestro desarrollo se

realizará para una de las distintas configuraciones en coordenadas naturales que se pueden

utilizar.

Se trata de escribir la potencia virtual debida a las fuerzas de inercia de la siguiente

manera:

∫Ω

Ω⋅⋅⋅−=⋅⋅−= drrqMqW TT &&&&&& *** ρ

donde q son las coordenadas utilizadas para la representación de nuestro sólido, M es la

matriz de masas que buscamos, el * denota que es una variable virtual, r es la posición

genérica de un punto material del sólido, ρ es la densidad volumétrica del sólido, y Ω es el

volumen del sólido. De esta forma, para hallar la matriz de masas, debemos expresar las

coordenadas de un punto cualquiera del sólido, r, en función de las coordenadas que hemos

elegido para representar el sólido, q. Además, tendremos que realizar la integral pertinente.

A la hora de elegir las coordenadas q que representarán nuestro sólido, podemos elegir

entre varias diferentes opciones. Las distintas configuraciones deberán asegurar que

tenemos perfectamente determinada la posición de todos y cada uno de los puntos del

sólido. Podemos escribir la matriz de masas con relación a:

- dos puntos y dos vectores no coplanares

- tres puntos y un vector no coplanar

- cuatro puntos

- dos puntos y un vector no colineal

- etc

Se puede formar la matriz de masas de forma diferente para las distintas

configuraciones, pero solo vamos a exponer los pormenores de uno de los desarrollos. No

obstante, siempre podemos cambiar de una de estas configuraciones a otra sin problemas;

por ejemplo creando un vector que vaya de uno de los puntos a otro, y deshaciéndonos de

uno de los puntos.

La matriz de masas que vamos a desarrollar va a estar relacionada con dos puntos y

dos vectores:

Si los vectores r , , y son no colineales y no coplanares, entonces forman

una base del espacio tridimensional. Por tanto, podemos expresar la posición de cualquier

ij r− u v


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punto del sólido como una combinación lineal de los vectores vurr ji ,,, , siendo y

los dos puntos y, u y v los dos vectores. La posición de un punto cualquiera del sólido se

puede escribir de la siguiente manera:

ir jr

v

( )c11

dCCTΩ⋅⋅r&& ⋅⋅ Ω

irjr

( ) cucrrcrr iji ⋅+⋅+−⋅+= 321

o lo que es lo mismo:

[ ] qC

vurr

IcIcIcIzyx

r j

i

⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅−=

= 3332313

donde I3 es la matriz identidad de tamaño 3. Como la matriz C es una matriz constante,

podemos escribir las siguientes igualdades:

qCr && ⋅= qCr &&&& ⋅=

qqdqCCqdr TTTT &&&&&&& ⋅ ⋅⋅−=Ω⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅− ∫∫∫

ΩΩΩρρρ ***

y por lo tanto:

∫Ω

Ω⋅⋅⋅= dCCM Tρ

Para realizar la integración, la coordenada c1 será la que sigue la dirección − ;

la coordenada c2 será la que tenga la dirección ; y la coordenada cu 3 será la que tenga la

dirección v . Se recomienda construir la matriz C en función de las coordenadas c1, c2, y c3

de forma simbólica y realizar la integración en el volumen del sólido con algún programa

de cálculo simbólico como Mathematica, o el módulo simbólico de Matlab.

Si elegimos como variable q la configuración con 2 puntos y 1 solo vector,

deberemos crear un vector perpendicular al plano que forman los dos puntos y el vector,

como combinación de estos. Para ello deberemos realizar un producto vectorial entre el

vector, y la diferencia de las coordenadas entre los puntos. Siguiendo esta formulación,

llegaremos a que la matriz de masas no es constante, y depende le la posición de los dos

puntos y el vector para los que está definida. Por tanto habrá de calcularse la matriz a cada

paso de integración.


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2.5.1.2. Fuerzas exteriores

A la hora de aplicar fuerzas externas a nuestro sistema multicuerpo, debemos

expresar éstas de forma coherente con las coordenadas que estamos utilizando, q. De esta

forma, para escribir cualquier fuerza o momento aplicado en un punto genérico p,

deberemos transformar estas fuerzas para aplicarlas a nuestras coordenadas q de forma que

la resultante de fuerzas y momentos sea equivalente.

De la misma manera que hemos transformado el lugar de la aplicación de la masa,

de todos los puntos r del sólido, a nuestro vector , (q qCr ⋅= ), podemos transformar las

fuerzas aplicadas en un punto p : ppext fCQ ⋅= donde el subíndice p significa que la matriz

está evaluada para el punto p del sólido donde está aplicada la fuerza. La fuerza está

expresada en el sistema de coordenadas espacial, mientras que Q son las fuerzas

exteriores expresadas en relación a las variables

pf

ext

p .

Para introducir un momento sobre un sólido, deberemos hacerlo como la suma de

dos fuerzas en direcciones opuestas, que provoquen un momento igual al que queramos

aplicar. Después de ello, deberemos realizar la transformación explicada en el párrafo

anterior para este par de fuerzas.

2.5.2. Formulaciones basadas en coordenadas dependientes

Para la construcción de las tres formulaciones que se van a mostrar a continuación,

se ha de partir de los desarrollos de las ecuaciones dinámicas que provienen de la

formulación Lagrangiana y del método de las potencias virtuales.

La formulación Lagrangiana nos lleva a la siguiente expresión:

extTq Q

qL

qL

dtd

=⋅Φ+∂∂

−

∂∂ λ&

Sustituyendo la expresión para el Lagrangiano, L=T-V, donde T es la energía

cinética del mecanismo, y V es su energía potencial, se obtiene la siguiente ecuación:

qMLQqM qextTq &&&& ··· −+=Φ+ λ

Utilizando el método de las potencias virtuales, llegamos a la siguiente ecuación

para la dinámica:


Pag 18



( ) 0·* =−⋅ QqMq T &&& Ecuación dinámica

donde son las velocidades virtuales, que deben cumplir la siguiente ecuación para las

restricciones:

Tq*&

( ) 0, * =⋅Φ qtqq & Ecuación de las restricciones

No se puede deducir de la ecuación dinámica, que la resta entre paréntesis sea igual

a cero, ya que las fuerzas que se hacen unos cuerpos a otros no aparecen en la formulación

de potencias virtuales. Para arreglar este problema, se transpone la ecuación de las

restricciones, y se multiplica por un factor λ para introducirla en la ecuación de la

dinámica, de forma que lleguemos a la siguiente ecuación:

( ) 0·* =⋅Φ+−⋅ λTq

T QqMq &&&

En esta ecuación, siempre podemos hallar un valor de λ que haga que el interior

del paréntesis sea nulo. De esta forma, llegamos a la ecuación que finalmente utilizaremos:

QqM Tq =⋅Φ+ λ&&·

donde Q son las fuerzas externas aplicadas sobre el mecanismo.

2.5.2.1. Método de los multiplicadores de Lagrange

Utilizando la ecuación resultado de la formulación de potencias virtuales, y

derivando dos veces respecto del tiempo la ecuación de restricciones, ( ) 0=qφ , llegamos al

siguiente sistema de ecuaciones:

qq qtq &&&&& ⋅Φ−Φ−=⋅Φ QqM Tq =⋅Φ+ λ&&·

que expresado en forma matricial queda de la siguiente manera:

⋅Φ−Φ−=

⋅

ΦΦ

qQqM

qtq

Tq

&&&&&

λ0

Para poder calcular las aceleraciones, habrá que calcular a su vez los

multiplicadores de Lagrange, λ . Estos valores, son directamente, las fuerzas que actúan en

cada uno de los grados de libertad que restringen las ecuaciones de restricción, por lo que,

a la vez que las aceleraciones, se están calculando todas las reacciones que surgen en el

mecanismo. Esta formulación presenta esta gran ventaja, siempre que se quieran conocer


Pag 19



los valores que toman las reacciones. Si no, pudiera tener un coste computacional mayor

que otras formulaciones.

2.5.2.2. Método de la matriz de proyección R

Este método se basa en la utilización de una matriz que denotaremos con la letra R,

que cumple la ecuación:

0=⋅Φ Rq

Todos los vectores velocidad compatibles con las ecuaciones de restricción

, cumplen por definición, la ecuación en velocidades:

q&

0)( =Φ q

0=⋅Φ qq & (si 0=Φ t )

Por otra parte, si un mecanismo tiene grados de libertad, variables, y

ecuaciones, (con ), entonces podemos elegir de las n variables dependientes

para formar un vector de variables independientes y escribir la velocidad ese vector

en función de , de la siguiente manera:

f n m

z

mnf −=

z

f

q

qBz && ·=

La matriz B proyecta las variables de sobre . Elige cuales de entre todas las

variables vamos a elegir como independientes. Es una matriz rectangular con más

columnas que filas, llena de unos y ceros.

q& z&

Si tomamos las dos ecuaciones anteriores, podemos crear el siguiente sistema:

=⋅

Φ=⋅

zq

BqP q

&&&

0

La elección de las coordenadas independientes, cumple que las filas de la matriz

B sean linealmente independientes, pero además, deben ser independientes respecto de la

matriz jacobiana. De esta manera, la matriz P es inversible y podremos despejar en

función de , para obtener:

q&

z& zRq && ·=

Es inmediato demostrar que la matriz R cumple la ecuación , ya que: 0=⋅Φ Rq

0· =⋅Φ=⋅Φ=⋅Φ RzRq qqq && , donde hemos podido eliminar las porque son

independientes. Además, podemos deducir que las columnas de la matriz

z&

R forman una

base para el subespacio nulo de la matriz qΦ .


Pag 20



Así pues, una vez calculada la matriz R , sustituimos la ecuación , en la

ecuación dinámica de las potencias virtuales,

zRq && ·=

( ) 0· =−⋅ QqM &&*q T& , para obtener la siguiente

ecuación:

( ) 0··* =−⋅ QqMRz TT &&&

Pero como las velocidades virtuales son independientes, esta ecuación debe ser cierta

para cualquier vector , por lo que podemos suprimir este vector de la ecuación para

obtener:

*z&*z&

( ) 0· =−⋅ QqMRT &&

Asimismo, el producto , por lo que podemos tomar como base la formulación

de Lagrange de la que se deduce la ecuación y premultiplicarla a ambos

lados de la igualdad por la matriz

0=Φ⋅ Tq

TR

QqM Tq =⋅Φ+ λ&&·

TR para obtener de nuevo la ecuación:

( ) 0· =−⋅ QqMRT &&

Añadiendo a esta ecuación, la ecuación que forma la segunda derivada temporal de

las ecuaciones de restricción, Φ , se puede crear el siguiente sistema

de ecuaciones:

cqq qtq =⋅Φ−Φ−=⋅ &&&&&

=⋅

Φ=⋅

QRc

qMR

qS TTq &&&&

del cual podemos despejar las aceleraciones para integrarlas y conocer las posiciones y

velocidades en el instante de tiempo siguiente.

El único momento en la construcción de esta formulación, en el que podemos tomar

alguna decisión, es el momento en el que elegimos los valores de la matriz B , y por tanto,

el momento en el que realizamos la elección de cuales de entre todas las variables van a

formar nuestro conjunto de coordenadas independientes. Puede que en algunos momentos

de la simulación, las coordenadas independientes que se estén utilizando, no sean

adecuadas, de modo que la matriz no sea inversible. Esto hace que no se pueda calcular

la matriz

S

R o que esté muy mal condicionada, por lo que no se podrá continuar simulando

con ese conjunto de coordenadas independientes y habrá que elegir otro diferente. Para

verlo mejor, vamos a escribir la ecuación en velocidades desglosada dividiendo las


Pag 21



variables independientes y las dependientes en grupos diferentes que denotaremos con los

superíndices i y respectivamente: d

( [ ]B = )

=

⋅

ΦΦzq

qI i

diq

dq

&&

& 00

I0

Si la parte de la matriz jacobiana correspondiente a las variables dependientes no es

inversible, la matriz entera tampoco lo será, y no podremos calcular la matriz R . Por tanto

al utilizar éste método, o cualquier otro que se base en el cálculo de la matriz R ,

deberemos calcular ésta matriz a cada paso de integración, para cerciorarnos de que sea

inversible en todo momento.

Cuando tras la diagonalización de Φ , alguno de sus pivotes se acerque a ser nulo,

la matriz estará perdiendo su inversibilidad. Para arreglar este problema, deberemos

elegir un nuevo grupo de variables independientes e incluir la variable asociada al pivote

cercano a cero en ese nuevo grupo de variables.

dq

S

Existen varios métodos para descubrir cuando debemos de cambiar de grupo de

coordenadas, y para saber qué variables deben formar el nuevo grupo de variables

independientes. Los métodos de “Descomposición por valor singular”, “Descomposición

QR”, y “Triangularización de Gauss”, son los métodos más utilizados para la resolución

del problema de cambio de grupo de coordenadas.

2.5.2.3. Método de penalización

Este método no utiliza los multiplicadores de Lagrange ni las ecuaciones de

restricción para su formulación. Obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales de un

orden considerablemente menor, donde son las únicas incógnitas. Esencialmente, este

método introduce las ecuaciones de restricción como un sistema dinámico, penalizado por

un factor muy alto. Viene a sustituir la ecuación de una distancia constante, por un muelle

con una constante de rigidez muy alta, sumado a un amortiguador. Cuanto más alto es este

factor penalizador (rigidez del muelle), más se parece está aproximación al modelo

“exacto” de los multiplicadores de Lagrange. No obstante, cuanto mayor es el factor,

matemáticamente peor condicionadas están las matrices del sistema, y por tanto, el

problema se convierte en un problema “stiff”. Esto es debido a que el sistema que

realmente se está simulando, es un muelle muy rígido con un amortiguador que,

q&&


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obviamente, es un sistema que tiene una frecuencia natural de vibración muy alta. Esto

hace que en la solución aparezca un rizado superpuesto a una solución generalmente suave.

La formulación con penalizadores se construye añadiendo tres términos al

Lagrangiano:

ΦΩ⋅Φ⋅= ··21 2* αTV

Φ⋅⋅Ω⋅⋅−= &µα2kG

Φ⋅⋅Φ⋅= && αTT21*

donde α, µ, y Ω son parámetros de penalización, y V , , y * G *T , son el potencial ficticio,

las fuerzas disipativas de Rayleigh, y la energía cinética ficticia, respectivamente. Así,

utilizando la formulación Lagrangiana, (con la nueva expresión para el Lagrangiano),

obtenemos la siguiente ecuación:

( ) ( )Φ⋅Ω+Φ⋅⋅Ω⋅+Φ+⋅Φ⋅⋅Φ−=⋅Φ⋅⋅Φ+ 22 &&&&&& µαα tqTT qQqM

de la que podremos despejar las aceleraciones, e integrarlas en el tiempo como en el resto

de formulaciones. Unos valores adecuados para los parámetros de penalización son los

siguientes: , , y 710=α 10=Ω 1=µ .

2.5.3. Formulaciones basadas en coordenadas independientes

Cuando se utilizan coordenadas independientes en la formulación dinámica de un

sistema multicuerpo, además de estar utilizando el menor número posible de variables para

su determinación, se están suprimiendo las ecuaciones de restricción. Esto hace que se pase

de resolver un problema de ecuaciones diferenciales algebraicas, (EDA), a resolver un

problema de ecuaciones diferenciales ordinarias, (EDO), lo cual facilita la resolución del

problema. No obstante, las ecuaciones se vuelven más complicadas y más no lineales, y

por ejemplo, la implementación de algoritmos de integración implícitos es más

complicada.

La correcta elección de un conjunto de coordenadas independientes es muy

importante, ya que puede llegarse a posiciones del mecanismo en las que una mala

elección de las coordenadas haga imposible la resolución del problema.


Pag 23



2.5.3.1. Determinación de coordenadas independientes

Con las dos siguientes figuras, se intenta explicar la razón por la que es necesario,

en algunas circunstancias, el cambio de coordenadas independientes.

Como es bien conocido, el cuadrilátero articulado en el plano, es un mecanismo de

un solo grado de libertad; por lo tanto, solo necesitaremos una coordenada independiente

para determinar la posición de cualquier punto del mecanismo. En la primera de las dos

figuras, la velocidad de x1 es una variable independiente adecuada para representar el

movimiento del cuadrilátero. Sin embargo, en la segunda figura, la velocidad de la variable

x1 será inevitablemente nula, y por el contrario la velocidad del punto 2 podrá ser

cualquiera, siempre que tenga dirección perpendicular a la barra. Por tanto, la variable x1

no puede determinar el movimiento del mecanismo, y de esta forma, habrá que cambiar de

coordenada independiente antes de llegar a esa posición singular.

De este ejemplo pueden extraerse dos conclusiones importantes:

- No hay un sistema de coordenadas independientes válido para todo el rango de

movimiento de un mecanismo dado.

- Un grupo de coordenadas independientes puede ser el más adecuado en una

posición concreta del mecanismo, pero puede no ser válido en alguna otra

posición.

Por ello, deberemos tener una manera sistemática para saber cuando un grupo de

coordenadas independientes se está convirtiendo en inadecuado, y asimismo, cómo se halla

el nuevo grupo de coordenadas independientes más adecuado para la posición actual. Por

suerte, algunas propiedades de la matriz jacobiana de las ecuaciones de restricción, nos da

la información de si nuestra elección se está volviendo inadecuada, y también nos dice,

cual es el mejor grupo de coordenadas para seguir con la integración.


Pag 24



2.5.3.2. Método de extracción (partición de coordenadas)

Lo que hace este método es reducir el número de coordenadas utilizadas hasta

hacerlo igualar al número de grados de libertad, pero solo en el paso de la integración

numérica. Esto es: calcula la aceleración de todas las coordenadas dependientes en el paso

actual de integración t , y tras seleccionar sólo algunas de entre todas las variables, (un

grupo de variables independientes), integra éstas para hallar su posición en el siguiente

paso de integración . tt ∆+

ttTi

Titt

doret

Ti

Tit qqyqqy ∆+∆+ ≡ →≡ ,, graint &&&&&

donde el subíndice i significa “independiente”. Posteriormente, resuelve el problema de

posición y velocidad en el paso tt ∆+ para hallar la posición y velocidad del resto de las

variables, y así poder calcular de nuevo, las aceleraciones de todas las variables y repetir el

ciclo.

El problema de velocidades, es un problema lineal, como se explica en el Capítulo

2.4.2.: Problemas de velocidad y aceleración. Sin embargo, el problema de posición es un

problema no lineal, y por lo tanto será mucho más costoso de calcular que el problema de

velocidades. Por esta razón, en vez de integrar las aceleraciones y velocidades

independientes, otra forma de resolver el problema, se basa en integrar las aceleraciones

independientes y todas las velocidades:

ttTT

ittdore

tTT

it qqyqqy ∆+∆+ ≡ →≡ ,, graint &&&&&

De esta forma, después de la integración numérica, solo debe resolverse el

problema lineal de velocidades.

Al resolver el sistema lineal de ecuaciones con el método de Gauss de pivotaje

total, podemos ver si tiende a cero alguno de los pivotes de la parte de Φ que se

corresponde con variables dependientes. Si es así, esta coordenada dependiente deberá

pasar a formar parte del grupo de coordenadas independientes. Existen otros métodos de

factorización más precisos de la matriz jacobiana, como son el método QR y el SV, pero el

método de Gauss es el más rápido para utilizarlo a cada paso de integración.

q


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2.5.3.3. Métodos basados en la matriz de proyección R

En el Capítulo 2.5.2. Formulaciones basadas en coordenadas dependientes, se ha

explicado la formulación basada en la matriz R para coordenadas dependientes. Se puede

utilizar casi todo el razonamiento hecho allí para crear una formulación en coordenadas

independientes.

Esta vez, no vamos a suponer que 0=Φ−= tb a la hora de plantear la ecuación en

velocidades, por lo que obtenemos un sistema de ecuaciones genérico de la forma:

=⋅

Φ=

zb

qB

qS q

&&&· de la que se deduce [ ] zRbN

zb

RNzb

Bq q &

&&& ··

1

+=

⋅=

⋅

Φ=

−

Si derivamos la ecuación de velocidad respecto del tiempo, obtenemos:

=⋅

Φ=

zc

qB

qS q

&&&&&&· de la que se deduce [ ] zRcN

zc

RNzc

Bq q &&

&&&&&& ··

1

+=

⋅=

⋅

Φ=

−

donde . qc qt &&& ⋅Φ−Φ−=

Si sustituimos la expresión para las aceleraciones q en la ecuación dinámica para

coordenadas dependientes, , obtenemos la siguiente expresión para la

ecuación dinámica en coordenadas independientes:

&&

QRqMR TT ⋅=⋅ &&·

cNMRQRzMR TTT ··· ⋅−⋅=⋅ &&

Al igual que en la formulación basada en la matriz R para coordenadas

dependientes, en ésta formulación, también hay que vigilar la inversibilidad de la matriz

, y realizar un cambio en el grupo de coordenadas independientes cuando el grupo

utilizado ya no sea adecuado.

S


Pag 26



3. Teoría de simulación de mecanismos flexibles

3.1. Introducción

En el Capítulo 2: Teoría de simulación de mecanismos, hemos explicado

ampliamente algunas de las distintas maneras que existen de realizar la simulación de

mecanismos. En todas ellas se ha realizado la suposición de que los sólidos son rígidos, y

por lo tanto no existe movimiento relativo entre dos puntos cualesquiera de un sólido. Esta

suposición no es cierta en realidad, ya que todo sólido es deformable aunque las

deformaciones que presente sean pequeñas. No obstante, en la mayoría de los casos, esta

suposición es perfectamente válida, y nos sirve para modelizar el mecanismo de una forma

relativamente simple.

Hay algunos problemas dinámicos de mecanismos en los que la deformación de los

cuerpos juega un papel muy importante. Es el caso de manipuladores y estructuras ligeras

para naves espaciales, y maquinaria de alta velocidad. La dinámica de estos mecanismos

está fuertemente condicionada por la deformación de los cuerpos, y por lo tanto, una

modelización como sólido rígido no daría resultados correctos.

La complejidad de las ecuaciones para la modelización de sólidos deformables

aumenta considerablemente, así como el número de variables a considerar. En este

capítulo, se va a hacer una breve introducción a algunas de las distintas maneras de

modelizar un mecanismo flexible, y se va a desarrollar en profundidad una de ellas. Para

esta formulación se plantearán algunas alternativas que se evaluarán posteriormente.

3.2. Cuatro grupos de métodos para la resolución del

problema de mecanismos flexibles

Existen cuatro grandes grupos de métodos para la modelización de mecanismos en

los que se va a considerar la flexibilidad de los sólidos. Como en la gran mayoría de los

problemas, los modelos más sencillos son los que dan resultados más groseros; y los

modelos que mejores resultados proporcionan, son los más complicados de formular y más

costosos computacionalmente. Los cuatro grupos se explican someramente a continuación.


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3.2.1. Modelos de parámetros concentrados (Lumped models)

Estos modelos se caracterizan por concentrar la masa y la rigidez de cada sólido en

un número finito de puntos del sólido. De esta forma, los modelos están constituidos por,

masas puntuales, cuerpos indeformables de masa nula, y muelles y amortiguadores que

actúan entre pares de puntos del modelo. Al fin y al cabo, es una manera de realizar la

discretización de un modelo continuo. Existen muchas formas de realizar las

discretizaciones, y se mostrará un ejemplo en el Capítulo 3.3.: Ejemplos de parámetros

concentrados. [37], [38]

3.2.2. Elasto-dynamics

Consiste en tomar como independientes el movimiento de gran amplitud del

mecanismo y las pequeñas deformaciones de los elementos flexibles. De esta manera, se

calcula el movimiento de gran amplitud del mecanismo, y a partir de las fuerzas que

aparecen sobre cada sólido, se calcula la deformación que este experimentaría. La sencillez

de este método radica en que, éstas deformaciones no tienen influencia sobre el

movimiento de gran amplitud, y por lo tanto, no se contemplan los cambios en la

trayectoria de los cuerpos debidos a considerar la deformabilidad de los sólidos.

En esta misma categoría se incluyen métodos en los que una vez calculado el

movimiento de gran amplitud y la deformación que sufriría el cuerpo, ésta información se

realimenta y se modifica la posición del sólido, y por tanto su movimiento de gran

amplitud. No obstante estos métodos solo son eficaces cuando la deformación es muy

pequeña.

3.2.3. Moving reference frame

En esta familia de métodos, el movimiento del cuerpo flexible se expresa como

suma de dos términos: el primero define el movimiento de gran amplitud mediante el

movimiento de un sistema de referencia definido localmente en el elemento flexible; y el

segundo corresponde a las deformaciones elásticas expresadas en dicho sistema de

referencia local y medidas respecto de la configuración indeformada, que se toma como

referencia. [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10].


Pag 28



Tanto las deformaciones sufridas por el sólido como sus desplazamientos por

deformación, se consideran pequeños, de forma que podemos aplicar la teoría lineal de la

elasticidad. Pueden tomarse como variables de deformación, las variables nodales de una

modelización por elementos finitos. Esta elección, daría como resultado un amplio número

de variables que utilizar. Por ello, asumiendo que durante la simulación sólo se van a

activar algunos de los modos de vibración de la estructura, podemos agrupar las variables

nodales en modos de vibración y tomar como variables de nuestro problema, las

amplitudes de esos modos de vibración.

La mayor ventaja de este método de modelización, es que hace uso de la

ampliamente utilizada modelización por elementos finitos, lo que constituye una gran

ventaja a la hora de modelizar los sólidos con un paquete estandar MEF, y posteriormente

introducir los resultados del MEF en nuestro modelo de simulación de mecanismos

flexibles.

No obstante, la condensación modal tiene la desventaja de que no permite

introducir un modelo no lineal para modelizar la deformación de un sólido. Esto hace que

para mecanismos de grandes desplazamientos, o grandes deformaciones, en los que el

modelo elástico lineal no es válido, el presente modelo no sea adecuado.

3.2.4. Inertial reference frame

Este tercer método se basa en el uso de un conjunto de coordenadas que permite

expresar simultáneamente el movimiento de gran amplitud y la deformación de los

elementos flexibles en el sistema de referencia inercial. Se toman como variables las

posiciones globales de los nudos de la discretización por elementos finitos. El mayor

objetivo de estos métodos, es la introducción de elementos finitos no lineales en la

formulación, de forma que se pueda tener en cuenta la rigidez geométrica que presentan los

cuerpos al sufrir grandes desplazamientos y deformaciones. [17], [19], [20], [21], [21]. No

obstante, este método no es el más utilizado porque necesita utilizar tantas variables como

grados de libertad tengan los sólidos, lo cual es computacionalmente muy costoso.


Pag 29



3.3. Modelos de parámetros concentrados

Este tipo de modelos pueden constituir una primera aproximación para la

modelización de un sistema multicuerpo flexible. Son modelos fáciles de construir y

pueden ser muy útiles para tener una idea de cómo va a comportarse el mecanismo.

Además, puede servirnos como referencia para validar otros modelos más complicados que

sean más difíciles de construir.

Existen muchas maneras de crear modelos de parámetros concentrados. A

continuación se va a describir un método que utiliza estos parámetros.

3.3.1. Ejemplo de un modelo de parámetros concentrados

Lo explicado en este apartado se ha recogido de la referencia [37]. En el citado

artículo, se aplica el modelo a una viga biapoyada y se extraen los modos y frecuencias de

vibración para compararlas con resultados analíticos, y así, validar el modelo. La forma en

la que se lleva a cabo la discretización, viene expresada en la siguiente figura:

La viga se divide en N partes de longitud l . A cada una de ellas se le asigna una

masa, a la que denotaremos por , que será proporcional a su longitud según la

expresión:

n

nm

nn lhbm ⋅⋅⋅= ρ , donde ρ es la densidad volumétrica del material, y donde b y


Pag 30



h son el grosor y la altura de la barra respectivamente. Asimismo, se calcula su inercia al

giro como: . nJ ))·(12/( 22nnn lhmJ +=

∑ F

∑ →= ·0 nJM

δ

n nK

Entre cada par de masas, se coloca un muelle torsional y un muelle lineal en la

dirección vertical. Estos muelles modelizarán la rigidez a flexión y a cortante

respectivamente.

Para calcular cuales son las ecuaciones que rigen el movimiento de este modelo,

vamos a aislar uno de los bloques y vamos a aplicarle las fuerzas y momentos que los

bloques adyacentes van a ejercer sobre él.

La siguiente figura expresa todas las variables que entran en juego en el problema:

−=→= + nnnn SSym 1·0 &&

++−= ++ ))·(2/( 11 nnnnnn SSlMMθ&&

Las variables de posición y las constantes de rigidez se relacionan de la siguiente

manera:

nnn VS δ⋅=

( )1−−⋅= nnnn KM θθ

donde n es la distancia entre el extremo derecho de una barra y el extremo izquierdo de

las siguiente; y V y son las rigideces de los muelles lineal y torsional,

respectivamente.


Pag 31



Para obtener un modelo completo, solo nos falta dar valores a las rigideces de los

muelles. Para ello, tomamos el modelo análogo continuo, y calculamos una expresión

analítica para una barra deformada en la que, entre dos puntos, existe una diferencia en la

orientación, 1−− nn θθ , y una diferencia en la altura, 1−− nn yy , que son distintas de cero.

Obtendremos expresiones en función de los parámetros geométricos y de rigidez del

modelo continuo. Igualamos estas expresiones a las obtenidas para el modelo de

parámetros discretos, y así, llegamos a la conclusión de que las rigideces deben tomar los

siguientes valores:

lIEKn

·=

lGAk

IElGAklGAkVn

····12/···1

1···2 ≅

+=

donde I es el momento de inercia de la sección, E es el módulo de Young, k es la

sección efectiva a cortante, y G es el módulo de elasticidad transversal. Dado que la parte

de rigidez del muelle debida a la flexión, es pequeña, y además, todo el efecto cortante es

también pequeño respecto del efecto de flexión con los muelles torsionales, se puede hacer

la simplificación que se expresa en la ecuación para V sin que esto represente una gran

pérdida de precisión en el modelo.

A·

n

Así pues, solo nos queda poner condiciones de contorno a nuestro modelo de viga,

y determinar las condiciones iniciales para poder llevar a cabo la simulación. La capacidad

de movimiento de la viga modelizada de esta forma se puede apreciar en la siguiente

figura.


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En este modelo, las variables que se utilizan, son el ángulo que gira cada uno de los

bloques, y lo que se deforma cada uno de los muelles lineales entre los bloques. El modelo

no está estructurado como si de un problema multisólido se tratara. Este mismo modelo

pudiera tratarse como un problema de varios sólidos. Podríamos programarlo con

coordenadas naturales que fueran las posiciones de los extremos de cada barra, imponiendo

como ecuaciones de restricción, la propiedad de sólido rígido entre pares de puntos de cada

barra. A su vez, aplicaríamos fuerzas y momentos a cada bloque, debidas a los resortes,

como fuerzas exteriores dependientes de la posición relativa de los diferentes sólidos. Este

diferente planteamiento de las ecuaciones de un mismo modelo, nos debiera llevar al

mismo resultado.

3.3.2. Ventajas e inconvenientes de los modelos de parámetros

concentrados

Éste tipo de modelos, es bastante sencillo de programar debido a que es posible

modelar una sola de las barras, y después ensamblar todas las barras para formar cada

sólido. Nos permite modelizar barras con facilidad, pero es mucho más complicado

modelizar placas y láminas, y poco menos que imposible modelizar sólidos deformables en

tres dimensiones. La localización discreta de la masa y la rigidez, hace que la

discretización deba de ser muy fina para que tenga semejanza con el medio continuo, por

lo que la simulación se hace computacionalmente costosa. En estos modelos, aún sabiendo

la solución en un número finito de puntos, no podemos conocer la solución en los puntos

intermedios del sólido, y deberá suponerse como solución intermedia, una interpolación

lineal. Sin embargo, en el método de los elementos finitos, podemos suponer funciones de

interpolación de todo tipo, y así conocer la solución en puntos intermedios de la malla.

Además, podremos imponer continuidad en las variables a estudio y en cualquiera de sus

derivadas.

Estas y algunas otras circunstancias, hacen que los métodos de parámetros

concentrados, sean menos precisos y menos adecuados que los MEF para la simulación

dinámica de mecanismos flexibles.


Pag 33



3.4. The classical moving frame approach

Evaluando las ventajas e inconvenientes de los distintos grupos de métodos, se

puede llegar a la conclusión de que el presente método, “The classical moving frame

approach”, es el más indicado para la simulación dinámica de mecanismos flexibles. La

aplicabilidad de toda la teoría de elementos finitos, y la capacidad del método para utilizar

la condensación modal, hacen que sea un método rápido, preciso, y relativamente fácil de

implementar con la ayuda de un programa de elementos finitos. Además, podemos

introducir cualquier geometría sin coste añadido a la hora de programar la simulación

dinámica, ya que el trabajo de crear el elemento flexible, y la generación de algunos modos

de vibración, se realiza en el programa de elementos finitos, con un interfaz generalmente

muy amigable. Además, el cálculo por elementos finitos, solo deberá hacerse una vez para

calcular las matrices de masa, rigidez, modos de vibración y deformadas estáticas.

En el presente apartado, se va a realizar una descripción detallada de todos los

pasos a seguir a la hora de modelizar cualquier mecanismo que contenga elementos

flexibles. [4]

3.4.1. Cinemática del elemento flexible.

Para el elemento flexible de la figura, se define un sistema de referencia local,

solidario a uno de sus puntos, mediante la posición de un punto básico del sólido, , y tres

vectores ortonormales , , y . Éstos tres vectores apuntan en la dirección de los ejes

locales del sólido deformable. Éstas variables constituyen el conjunto de coordenadas

naturales que definen la cinemática del sólido flexible.

0r

u v w

Este conjunto de coordenadas es suficiente para representar los movimientos del

cuerpo como sólido rígido, pero puede aumentarse con más puntos y vectores, para

utilizarlos en la definición de los pares cinemáticos que relacionan su movimiento con el

de los sólidos adyacentes.


Pag 34



Empleando el conjunto de coordenadas naturales, la posición deformada de un

punto genérico P del sólido, r , se expresa respecto del sistema de referencia inercial,

mediante la siguiente expresión:

( )fn qrArrArr +⋅+=⋅+= 00

donde es la matriz de rotación del sólido respecto del sistema inercial, y [ wvuA ||= ] r es

la posición del punto P en el sistema de referencia local. A su vez, el vector r , puede

expresarse como suma de la posición del punto en la configuración indeformada nr , más el

desplazamiento debido a la deformación elástica fq .

Cuando realicemos la discretización del sólido, estos desplazamientos fq , serán los

desplazamientos que sufra nuestro modelo de elementos finitos, y por lo tanto, nuestras

variables nodales. Podemos considerar todas estas variables como variables de nuestro

problema a integrar, o podemos condensarlas en modos de vibración y deformadas

estáticas para reducir el número de variables del modelo de una forma sustancial. Con esta

condensación, estamos expresando las deformaciones de todas las variables nodales, como

una combinación lineal de los modos de vibración. Esto significa que el sólido tendrá

tantas formas de deformarse, como modos de vibración (y deformadas estáticas)

consideremos. En el Capítulo 3.4.9. Criterios para la elección de los modos estáticos y

modos de vibración, se explica con detalle todo lo concerniente a la condensación modal.

[36].

En la siguiente expresión, realizamos la condensación de las variables nodales en

amplitudes modales:


Pag 35



∑∑∑===

⋅=⋅Ψ+⋅=vde n

kk

Pk

n

jj

Pj

n

ii

Pifq

111ξφηµϕ

donde ϕ y son las deformadas estáticas y modos de vibración, y Ψ µ y ξ sus

amplitudes.

Como en todo el desarrollo matemático vamos a utilizar indiferentemente modos de

vibración y deformadas estáticas, vamos a unirlos en una única matriz φ que

denominaremos matriz de modos, con un único vector de amplitudes ξ que llamaremos

vector de amplitudes modales.

Las coordenadas naturales y las amplitudes modales van a ser nuestras únicas

variables, ya que con ellas podemos determinar la posición de cualquier punto del sólido

deformable en cualquier instante de tiempo.

Asimismo, también deberemos conocer la orientación de los puntos frontera del

mecanismo en función de las coordenadas naturales y las amplitudes modales, para

conocer a su vez la orientación de los pares cinemáticos. En este caso, para expresar el giro

de un sistema de coordenadas respecto de su posición indeformada, se nos presenta el

problema de que no podemos girar el sistema en todas las direcciones a la vez. El orden de

aplicación de los giros, altera el resultado. No obstante, asumiendo que los giros de un

sistema de coordenadas respecto de su posición indeformada van a ser pequeños, sí que se

pueden sumar los giros para dar la nueva orientación del sistema de coordenadas. Este giro

se va a realizar mediante una matriz de giros denominada Gp y que cumple la siguiente

expresión:

wvuIG pzpypxp~~~ ⋅+⋅+⋅+= ηηη

donde I es la matriz identidad 3x3, ξφη ·pgiroxpx = es la suma de los giros en x de cada

uno de los modos de vibración y deformadas estáticas en el punto p . u~ es la matriz que

hace la misma función que el vector multiplicado vectorialmente por otro vector; esto

es:

u

⋅

−−

−=⋅=×

z

y

x

xy

xz

yz

bbb

uuuu

uububu

00

0~


Pag 36



De esta manera, podemos conocer la nueva posición deformada de un vector con

solo premultiplicarlo por la matriz G. Por tanto, para calcular la orientación del vector

en función de u , tomamos el vector en coordenadas locales, (1,0,0), lo

premultiplicamos por la matriz G para obtener u en coordenadas locales, y después lo

premultiplicamos por la matriz de cambio de referencia. Este razonamiento da lugar a

las siguientes ecuaciones de restricción:

4u

3 3u

4

3A

0001

322 =−

⋅⋅ uGA 0

001

433 =−

⋅⋅ uGA

En nuestra formulación, no se van a utilizar los grados de libertad de giros de la

misma manera que los de traslación. Esto es debido a que no se pueden sumar los giros por

deformación con los giros de gran amplitud. Por ello, para calcular las pxη se va a utilizar

un método no muy ortodoxo. Vamos a utilizar los modos de vibración y deformadas

estáticas sólo con grados de libertad traslacionales, aunque vamos a calcularlos y

almacenarlos con todos los grados de libertad. Así durante la simulación, cuando sabemos

la amplitud modal de cada modo de vibración, podemos ir al modo de vibración con todos

los grados de libertad, multiplicarlo por la amplitud modal, y conocer cuanto vale el ángulo

girado. Es lo mismo que calcular el ángulo como la pendiente entre los dos últimos nudos

de la barra, pero de una forma más precisa. Esto nos es válido para los dos giros a flexión

en los que el giro de la barra está relacionado con la traslación de los nodos en el plano de

flexión. No obstante no va a sernos válido para el giro de torsión, porque éste es un

problema independiente de todos los demás grados de libertad. Como consecuencia,

tenemos que no podemos modelizar la deformación a torsión de la viga, y por lo tanto,

hacemos la simplificación de suponer que la rigidez a torsión es infinita.

3.4.2. Definición de los pares cinemáticos

Como nuestras únicas variables son las coordenadas naturales y las amplitudes

modales, deberemos ser capaces de definir los pares cinemáticos en función de éstas

variables.


Pag 37



Si queremos definir, por ejemplo, un par esférico entre dos puntos de dos sólidos

diferentes, deberemos hacer coincidir esos puntos en todo instante de tiempo. Esta

condición debe cumplirse para cualquier estado de deformación del sólido, luego deberá

cumplirse que: la posición deformada de uno de los puntos deberá ser la misma que la

posición deformada del punto del otro sólido. Esta ecuación podrá escribirse de la siguiente

manera:

( ) ( ) 22222021111011 rrArrArr nn =⋅+⋅+=⋅+⋅+= ξφξφ

Nótese que esta será una ecuación de restricción que dependerá de las amplitudes

modales, y de las coordenadas naturales.

Si el par cinemático es un par de revolución, deberemos calcular las orientaciones

de los ejes respecto de los que gira cada sólido, y plantear una ecuación que los iguale. Las

orientaciones de los ejes de giro dependerán del estado de deformación de cada sólido.

3.4.3. Ecuaciones de restricción

En la formulación dinámica de mecanismos con sólidos rígidos, obtenemos dos

tipos de ecuaciones de restricción: las debidas a los pares cinemáticos, y las ecuaciones de

sólido rígido. Ya hemos visto que las ecuaciones debidas a los pares cinemáticos son

ligeramente diferentes en la formulación de mecanismos flexibles.

Las ecuaciones que en sólidos rígidos nos relacionan las posiciones de diferentes

puntos del sólido, ahora ya no tienen sentido, ya que esas distancias podrán variar debido a

la deformabilidad del sólido. No obstante, deberemos de mantener las ecuaciones que

hacen que los vectores del sistema de referencia relativo al sólido formen en todo momento

una base ortonormada.

0··· === uwwvvu 1=== wvu

3.4.4. Dinámica del elemento flexible

En esta sección se desarrollan las expresiones de la energía cinética y potencial

elástica de un elemento flexible en el conjunto de coordenadas elegido para definir su

movimiento, . Para la obtención de la ecuación de la

dinámica, se parte de la ecuación de la cinemática que expresa la posición de un punto

=modales Amplitudesnaturales Coordendas

q


Pag 38



cualquiera del sólido en función de las coordenadas naturales y las variables de

deformación. ( )*0 · fn qNrArr +⋅+=

donde *fq son los desplazamientos elásticos de los nodos de la discretización por

elementos finitos, y son las funciones de interpolación. (El superíndice N , hace

referencia a que el vector está expresado en coordenadas locales). Aplicando la

interpolación en desplazamientos *· fqNr = para las velocidades, se llega a la siguiente

expresión: , donde la velocidad de un punto genérico del sólido, *·vNr =& r& , se expresa

como una combinación lineal de las funciones de interpolación, ponderada con los valores

de las velocidades nodales v . Empleando éste resultado, la energía cinética del elemento

flexibles es la siguiente:

*

******

21

21

21

21 vMvvdmNNvdmvNNvdmrrT MEFT

V

TT

V

TT

V

T ⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ &&

Para expresar la energía cinética en función de nuestras variables, (coordenadas

naturales y amplitudes modales), tomamos la ecuación cinemática para un nodo con la

transformación modal, y la derivamos respecto del tiempo para obtener:

( )( ) ( ) ( )ξφξφξφ &&& ⋅⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+== iiniiniii ArArrAr

dtdv

dtdr

00*

*

Teniendo en cuenta que las columnas de la matriz son los vectores [ ] , y

agrupando todas las velocidades nodales v en un solo vector , se llega a las siguiente

expresión matricial:

A wvu ||*

i*v

qBwvur

AAIcIcIcI

AAIcIcIcI

AAIcIcIcI

v

nm

bnm

bbbb

inm

iiii

nm

&

&M

&&

&

&

&

L

MMMMMM

L

MMMMMM

L

·

1

0

1321

1321

111131211

* =

⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

ξ

ξφφ

φφ

φφ


Pag 39



siendo el número de nodos empleados en la discretización, b b⋅3 el número de filas de la

matriz B , el número de modos empleados en la condensación modal e nm I la matriz

identidad de tamaño 3. Los coeficientes c se calculan de la siguiente manera: ij

ξφ ⋅+

=

= i

nzi

nyi

nxi

i

i

i

i

rrr

ccc

c

3

2

1

donde nxir es la posición de la coordenada x del nudo i del sólido en el sistema de

referencia local del sólido, y iφ es la matriz de modos que solo contiene las componentes

del nudo i . Si sustituimos la ecuación en la expresión para la energía cinética,

obtenemos la energía cinética en función de las coordenadas naturales y las amplitudes

modales:

qB &·v* =

qMqqBMBqvMvT TMEFTTMEFT ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ⋅

21·

21

21 **

La energía potencial elástica del elemento flexible puede escribirse en términos de

la deformada elástica de los nudos y de la matriz de rigidez, tal como se indica a

continuación:

** ·21

fMEFT

f qKqV ⋅=

y las deformaciones elásticas de los nudos, a su vez, se pueden expresar como combinación

lineal de los modos: qXwvurf ··0·0·0·0 0* =⋅++++=⋅= ξφξφq , donde X es la siguiente

matriz con 12 columnas de ceros:

[ ]nmX φφ LL 1121 00=

Así pues, podemos escribir la energía potencial elástica como una función de las

coordenadas naturales y amplitudes modales:

qKqqXKXqV TMEFTT ··21···

21

=⋅=

3.4.5. Matrices de masa y rigidez de elementos finitos

Como ya se ha explicado anteriormente, la ecuación dinámica de un mecanismo, o

de un sólido deformable, se puede escribir de la siguiente manera: . Si esta 0=⋅+⋅ uKuM &&


Pag 40



ecuación representa la dinámica de un elemento flexible discretizado por elementos finitos,

entonces cada una de las componentes del vector representa el desplazamiento de una

variable nodal. Como nosotros hemos preparado para esta formulación una matriz

u

B que

proyecta nuestras coordenadas naturales y amplitudes modales en las variables nodales de

un modelo de elementos finitos, v , podemos insertar directamente las matrices de

masa y rigidez del modelo de elementos finitos en la formulación. Hay que tener cuidado

especial en ordenar las filas y columnas de las matrices de masa y rigidez, de tal manera

que los grados de libertad en la matriz

qB &·* =

B estén ordenados de la misma manera.

Am [ ]ek

a

aa

−1327

2278

··

−

z

a

aaIE

−3

33

33

··2·

−

−−

3

En el presente proyecto se van a realizar dos modelos de mecanismos flexibles

cuyos componentes son modelizables como vigas. Por ello, se va a mostrar a continuación

cual es la forma de la matriz de masas y de rigidez para un elemento viga plana según el

modelo de Bernoulli. [12], [15]

[ ]axile

aAm =

=

2112

·3

··ρ Aaxil k

aAE

=

−

−=

1111

··2·

[ ] Fflexion

e m

aaaaa

aaaaa

Am =

−−−−

=

22

22

82262278136138132722

105·ρ

[ ] Fflexion

e k

aaaaa

aaaaa

k =

−−=

22

22

43233

234333


Pag 41



Las filas de las matrices para el esfuerzo axil se corresponden con las variables

y u . Las filas de las matrices para el esfuerzo a flexión se corresponden con las variables

1xu

2x

1, zy 221 ,, zyuu θθ . La longitud del elemento es . a2

Así las matrices de masa y rigidez elementales quedan de la siguiente manera:

[ ]

=

)4,4()3,4(0)2,4()1,4(0)4,3()3,3(0)2,3()1,3(0

00)2,2(00)1,2()4,2()3,2(0)2,2()1,2(0)4,1()3,1(0)2,1()1,1(0

00)2,1(00)1,1(

FFFF

FFFF

AA

FFFF

FFFF

AA

e

mmmmmmmm

mmmmmmmmmm

mm

m

[ ]

=

)4,4()3,4(0)2,4()1,4(0)4,3()3,3(0)2,3()1,3(0

00)2,2(00)1,2()4,2()3,2(0)2,2()1,2(0)4,1()3,1(0)2,1()1,1(0

00)2,1(00)1,1(

FFFF

FFFF

AA

FFFF

FFFF

AA

e

kkkkkkkk

kkkkkkkkkk

kk

k

donde las filas y columnas se corresponden con los grados de libertad:

. 222111 ,,,,, zyxzyx rotuurotuu

Solo nos quedará ensamblar las matrices elementales en el modelo de elementos

finitos para obtener las matrices de masa y rigidez del conjunto.

Para la programación de los mecanismos que aparecen en éste proyecto, las

matrices de masa y rigidez se van a extraer del programa Ansys con un programa diseñado

para esta labor. El programa se llama “rdsubs1.exe” y extrae la información preparada para

ser interpretada por Matlab. Este programa ha sido desarrollado por el profesor Javier Gil

Soto, perteneciente al departamento IMEM de la UPNa. La manera en la que se utiliza este

programa se detalla en el Anexo 1.

3.4.6. Ensamblaje de las ecuaciones de la dinámica

Una vez que hayamos construido las ecuaciones para cada elemento flexible, (y

rígido si lo hubiere), del mecanismo, debemos ensamblar las ecuaciones de todos los

cuerpos en una sola ecuación en la que se relacionen todas las variables. El ensamblaje se


Pag 42



realiza igual que con las matrices de elementos finitos; es decir, los términos que deben ir

colocados en el mismo lugar de la matriz, se suman. Las expresiones para las energías

cinética y potencial quedan de la siguiente manera:

qBMBqqBMBqT MEFTTns

iii

MEFi

Ti

Ti

&))))&)&& ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∑=

·21·

21

1

qXKXqqXKXqV MEFTTns

iii

MEFi

Ti

Ti

)))))⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∑

=

·21·

21

1

3.4.7. Formulación de las ecuaciones dinámicas

Una vez que tenemos las expresiones para las energías cinética y potencial elástica,

podemos proceder a la construcción de las ecuaciones de equilibrio dinámico. En este

apartado, solo vamos a escribir las expresiones que se deducirían de utilizar la expresión

lagrangiana. Las ecuaciones siguientes son las ecuaciones de equilibrio dinámico

expresadas en términos de penalizadores, y en términos de los multiplicadores de

Lagrange:

- Penalizadores:

[ ]ext

MEFTtq

Tq

MEFTq

Tq

MEFT

QqXKXq

qBMBqBMB))))))&)&)&)&))

&)&)))&&))))

)) =⋅⋅+

Φ⋅Ω+Φ⋅⋅Ω⋅+Φ+⋅Φ⋅⋅Φ+

+⋅⋅+⋅ΦΦ+⋅

·2

··

2µα

α

- Multiplicadores de Lagrange:

0·0

·=

⋅Φ

−⋅⋅⋅+⋅⋅+

⋅

ΦΦ⋅

qQqXKXqBMBqBMB

q

extMEFTMEFT

q

Tq

MEFT

&)&)

)))))&)&)))&&))

))))

))

)

λ

3.4.8. Resolución de problemas de dinámica inversa

En este subapartado, se va a explicar la forma en la que hay que proceder para

resolver un problema en el que alguna de las coordenadas naturales está guiada a lo largo

del tiempo, y por lo tanto, no es una variable sino un parámetro conocido. Aun no siendo

una variable, es aconsejable no tomarla como un parámetro y no sacarla de la formulación

general hasta que hemos obtenido las ecuaciones de equilibrio dinámico.


Pag 43



En un problema como este, tendremos una parte del vector que será conocida,

(las coordenadas guiadas), y otra parte que será desconocida, (nuestras variables).

Debemos percatarnos de que para guiar una variable, habrá que aplicar en ese grado de

libertad una fuerza, que en principio será desconocida. Así pues, aparecerán incógnitas en

el vector de fuerzas, y desaparecerán incógnitas en el vector de aceleraciones. Vamos a

dividir ambos vectores en sus partes conocida y desconocida, para tener escrita la ecuación

de equilibrio dinámico de la siguiente manera:

q

=

⋅

c

d

d

c

FF

qq

MMMM

&&)&&)

2221

1211 → ccd

d qMM

FqF

MMI &&)

&&) ⋅

−

=

⋅

−

21

11

22

12 00

donde I es la matriz identidad. De esta forma, volvemos a tener todas las incógnitas

multiplicadas por la nueva “matriz de masas”, y todos los términos independientes son

conocidos.

Debe hacerse notar que las únicas variables que pueden guiarse de esta manera son

las coordenadas naturales, ya que sobre los grados de libertad que representan es posible

aplicar fuerzas y momentos. Esto no lo podemos hacer sobre las amplitudes modales a no

ser que tuviéramos un aplicador de fuerzas en cada uno de los grados de libertad del

modelo de elementos finitos.

3.4.9. Criterios para la elección de los modos estáticos y modos

de vibración

En la formulación que estamos exponiendo, uno de los pasos clave es la

condensación modal. Como ya hemos explicado, éste método nos sirve para reducir el

número de variables de nuestro problema dinámico de una forma sustancial. Esto nos

permitirá realizar la simulación con un coste computacional menor, y nos permitirá simular

modelos con más cuerpos que en una formulación de elementos finitos y coordenadas

nodales como variables.

Razonamiento matemático:

Suponiendo que no actúan cargas exteriores sobres un sólido deformable, y

suponiendo que no existen términos disipativos, las ecuaciones diferenciales de equilibrio


Pag 44



se reducen a: ( ) ( ) 0=⋅+⋅ txKtxM && . Debido a razonamientos energéticos, podemos deducir

que la matriz de masas es una matriz definida positiva, y la matriz de rigidez es definida

positiva (cuando no son posibles movimientos de sólido rígido), o semidefinida positiva

(cuando sí lo son). Estas propiedades de las matrices de masa y rigidez nos permiten

resolver el problema de valores y vectores propios generalizado, para obtener una matriz

de vectores propios X y una matriz diagonal de valores propios λ . Estas matrices

cumplen la propiedad de que con el cambio de base xXx ~·= , desacoplan el problema

dinámico y hacen las ecuaciones diferenciales independientes unas de las otras: n

0~~ =⋅+ iii xx λ&& , i∀

Interpretación física:

Los vectores propios (columnas de X ), se corresponden con los modos de

vibración, y los valores propios (valores de la diagonal de la matriz λ ), son los cuadrados

de las frecuencias naturales de vibración asociadas a cada modo. Todos los vectores de la

matriz X son ortogonales entre sí. Esto deriva en que los modos de vibración están

totalmente desacoplados, y que la excitación de un solo modo, no transmite energía a los

otros modos. Por ello, si excitamos todos los modos con un impacto, el movimiento será

una superposición de vibraciones de modos, en los que cada modo vibrará a su frecuencia

natural. [36].

Elección del conjunto de modos:

A la hora de realizar la condensación modal, tenemos que elegir un grupo de modos

de vibración que formen una base ortogonal para la deformación del sólido. Si eligiéramos

todos los modos que se extraen del problema de valores y vectores propios, tendríamos

tantos modos como variables nodales teníamos en el modelo de elementos finitos. Los

modos de más alta frecuencia son únicamente errores numéricos, debido a que esos modos

no se pueden representar adecuadamente con la discretización realizada. Por tanto no hay

que utilizar números de modos que sean cercanos a la dimensión de la matriz, (ordenados

por frecuencias de menor a mayor). Además, los últimos modos tienen valores propios

muy altos, lo que proporciona al problema una rigidez matemática considerable. El

problema se convierte en un problema “stiff”.


Pag 45



El no utilizar la condensación por modos de vibración, es equivalente a utilizar

como matriz de modos la matriz identidad . Al igual que utilizando todos los modos, si

no realizamos la condensación, (usar como matriz de modos ), llegaremos a un sistema

“stiff” que conllevará problemas numéricos. Así pues, la buena elección de unos pocos

modos de vibración, además de reducir considerablemente el número de variables, nos

transforma un problema matemático con mucha rigidez, en un sistema de ecuaciones que

no nos dará problemas numéricos.

nI

nI

La elección de los modos a utilizar para formar una base del movimiento del sólido

se puede hacer de varias maneras. Si sabemos de antemano a qué frecuencias vamos a

excitar nuestro sólido, deberemos introducir en el grupo de modos, los que vibren a esa

frecuencia natural, o a frecuencias parecidas. Si el rango de frecuencias de excitación es

muy reducido, puede que nos baste con muy pocos modos para representar el movimiento

del sólido, (los que tengan la frecuencia natural de vibración en ese rango). Lo más común

es utilizar los modos de frecuencias más bajas y vigilar el rango de frecuencias que cubren.

Así, no podremos modelizar movimientos a mayor frecuencia que la más alta de las

elegidas. Además, ésta frecuencia nos servirá para conocer una cota superior de tamaño de

paso de integración a utilizar; ya que si no damos, por lo menos, dos pasos de integración

por cada periodo a la frecuencia más alta, no podremos representar los efectos de ese modo

de vibración en el movimiento global del sólido.

Condiciones de contorno para el cálculo de modos de vibración:

Otro aspecto fundamental en la condensación modal, son las condiciones de

contorno que tiene nuestro sólido en el mecanismo al que pertenece. Esto deriva en que al

calcular los modos y frecuencias naturales de vibración, debemos poner unas condiciones

de contorno adecuadas a nuestro sólido deformable. Estas restricciones son diferentes de

las restricciones de una estructura, porque una estructura tiene como contorno el suelo,

mientras que una barra flexible en un mecanismo, está sujeta a un cuerpo móvil. Por tanto,

aunque el par cinemático que los una no permita desplazamientos de algún grado de

libertad, la barra adyacente quizá pueda moverse para permitir el desplazamiento del

cuerpo flexible en la dirección de ese grado de libertad.


Pag 46



Por tanto, estos pares, no impiden los desplazamientos pero tampoco los permiten

sin oponer resistencia. Para que el sólido flexible pueda vibrar en la dirección de un grado

de libertad de los que restringe el par cinemático que lo une a otro sólido, tendrá que

vencer una fuerza que en general, será de valor desconocido. Así, las condiciones de

contorno del eslabón acoplador de la figura 2, a lo largo de la simulación, se podrán

representar como en la siguiente figura, siendo todos los valores de rigidez variables con el

tiempo y desconocidos.

Si el parámetro de rigidez k fuera de valor infinito, el grado de libertad al que

afecta quedaría impedido. Por el contrario, si su valor fuera nulo, tendríamos un grado de

libertad sin restricción, o sea libre. Pero en algunos casos no tenemos ninguna de las dos

situaciones, por lo que deberemos elegir una configuración que no se corresponde

exactamente con las condiciones de contorno de la barra flexible en el mecanismo.

El criterio que se sigue en el presente proyecto para la determinación de las

condiciones de contorno con las que se va a calcular los modos de vibración, es el

siguiente:

- Los grados de libertad que se guíen por desplazamientos, se considerarán

impedidos.

- Los grados de libertad en los que se apliquen fuerzas, y en los que aparezca un

par cinemático a través del cual, el sólido adyacente pueda ejercer fuerzas y

momentos sobre nuestro sólido, se considerarán libres.

- Los grados de libertad que no estén atados a ningún otro sólido, también se

considerarán libres.

Para ilustrar este criterio se van a dar dos ejemplos en los que se decide las

condiciones de contorno con las que se van a calcular los modos de vibración:


Pag 47



En este primer ejemplo, el eslabón acoplador

es un elemento flexible. En el primer nudo se

aplicará un momento que dependerá del tiempo.

Pero según nuestro criterio, esto no va a afectar a las

condiciones de contorno. Asimismo, los pares

cinemáticos que lo unen a los otros dos sólidos, solo

le permiten el giro respecto de ellos.

Pero como estos sólidos pueden moverse para dejar deformarse al acoplador,

consideraremos los grados de libertad que restringen las uniones, (desplazamientos en las

direcciones x e y, en ambos nudos), como libres a la hora de calcular los modos de

vibración. Por tanto, las condiciones de contorno para éste sólido, son de libertad para

todos sus grados de libertad.

En el segundo ejemplo, tenemos el mismo

cuadrilátero pero con el eslabón seguidor flexible.

Además, estamos guiando el giro de este eslabón,

por lo que conoceremos el ángulo en cada

momento ( )tθ , y el valor de sus derivadas

temporales, .

Los dos grados de libertad (en x e y), que están restringidos por estar la barra unida al

suelo mediante una articulación, deberán ser restringidos para obtener las condiciones de

contorno. Asimismo, como el grado de libertad de giro está guiado, este grado de libertad

también deberá estar restringido. En las condiciones de contorno del par cinemático que

une el seguidor con el acoplador en el punto 2, no aparece ningún grado de libertad guiado,

por lo que todos permanecerán libres. La configuración será por tanto: empotrado-libre.

Condiciones de contorno para el cálculo de las deformadas estáticas:

Aunque los modos de vibración formen una base de todos los posibles estados de

deformación del sólido flexible, la decisión de truncar el número de modos elegidos

quedándonos sólo con unos pocos, hace que debamos buscar una base acertada para

representar el estado de deformación del sólido. Por eso, vamos a introducir deformadas

estáticas como una lista de estados de deformación, que vamos a añadir a los m

θ& y θ&&

odos de


Pag 48



vibración que ya tenemos. Con éstas deformadas estáticas, podemos crear una base para

representar todos los estados de deformación posibles debidos a fuerzas exteriores. Para la

elección de las condiciones de contorno que vamos a utilizar para el cálculo de las

deformadas estáticas, vamos a tener que diferenciar grados de libertad sobre los que

pueden aparecer fuerzas, y grados de libertad sobres los que no aparecerán. Para

calcularlas, se impiden todos los grados de libertad sobre los que aparecen fuerzas, menos

uno de ellos al que aplicamos un desplazamiento unitario. Esto mismo habrá que hacerlo

una vez por cada grado de libertad sobre el que puedan actuar fuerzas. [12].

En los ejemplos de las figuras 1 y 2, los grados de libertad en los que aparecen

fuerzas son los siguientes:

- Ejemplo 1: x2, y2, rotz2, x3, y3.

- Ejemplo 2: x1, y1, rotz1, x2, y2.

3.4.10. Distintas variantes en la formulación

A lo largo de todo el Capítulo 3, se ha venido dando una descripción de una

formulación de mecanismos flexibles. No obstante, cabe hacer algunas variaciones en la

formulación. Por ejemplo, en lo que concierne a las distintas maneras en las que podemos

introducir las matrices de masa y rigidez, y los modos de vibración que de ellas se pueden

deducir. En el Capítulo 5: Modelo de una barra flexible, se va a realizar la programación

de una barra flexible con un movimiento impuesto, y se va a analizar la influencia que

tienen en los resultados la elección de distintas formas de utilizar las matrices de masa y

rigidez.


Pag 49



4. Métodos de integración numérica

4.1. Introducción

Una parte importante de la simulación de mecanismos es la adecuada utilización de

métodos de integración. Las distintas formas de plantear el problema dinámico, dan como

consecuencia diferentes problemas matemáticos a resolver, con diferentes características.

Es por ello que hay que conocer el problema al que nos enfrentamos, así como saber elegir

adecuadamente el método de integración que nos va a proporcionar una solución correcta

con un error conocido.

De esta manera, podemos ver que, por ejemplo, la formulación con penalizadores

nos genera un problema matemático en el cual tendremos una gran dispersión entre los

distintos valores propios de la matriz del problema. A estos problemas se los llama

problemas “stiff”, o rígidos. Esta dispersión en los valores propios hace que los métodos de

integración deban ser muy estables para no dar soluciones erróneas; y por lo tanto, la

elección de un integrador numérico adecuado es vital para llegar a una solución correcta.

No obstante, no es la formulación con penalizadores la única fuente de “rigidez” que

genera problemas “stiff”. La propia estructura del sistema multicuerpo puede constar de

muelles, amortiguadores u otros elementos que generen muy diferentes valores propios en

la matriz, y por tanto, rigidez en el sistema de ecuaciones diferenciales. La discretización

de un sólido deformable mediante el método de elementos finitos, es también una fuente de

rigidez en los problemas dinámicos.

Existe otra característica notable de los problemas de dinámica multicuerpo que

hace que la elección del integrador sea importante. En la gran mayoría de los problemas,

nos encontraremos con que las matrices del sistema de ecuaciones diferencial no son

constantes, y por lo tanto, nos encontramos ante un problema no lineal. De esta manera, los

valores propios de las matrices del sistema tampoco van a ser constantes, y habrá

intervalos de tiempo de la simulación en las que un tamaño de paso pueda ser adecuado, y

otras en las que habrá que reducirlo o aumentarlo. Si no cambiáramos el tamaño de paso en

esas circunstancias, el método numérico de integración pudiera volverse inestable y la


Pag 50



solución sería errónea y de carácter exponencial. Por tanto, habrá de tenerse cuidado a la

hora de elegir el integrador si el problema a resolver es no lineal.

Por otra parte, pueden modelizarse discontinuidades del sistema que darán como

resultado discontinuidades en la solución. Estas discontinuidades, podrán darse en el vector

posición o en cualquiera de sus dos derivadas temporales. Algunos métodos de integración

numérica no pueden calcular bien estas discontinuidades o son ineficientes al calcularlas,

por lo que habrá de elegirse el integrador adecuado en base a la no linealidad del problema.

El grado de no linealidad del problema habrá de tenerse también en cuenta, ya que

una leve no linealidad puede ignorarse utilizando métodos diseñados para sistemas

lineales.

4.2. Transformación de las ecuaciones de la dinámica

Sea cual sea la formulación con la que se construyan las ecuaciones de la dinámica,

siempre podremos escribirlas de la siguiente manera:

QqKqCqM =⋅+⋅+⋅ &&&

0

0

)0()0(

qqqq&& =

=

Para la resolución de estas ecuaciones, podemos utilizar métodos de integración de

segundo orden, como el método de Newmark; o podemos transformar las n ecuaciones de

2º orden por 2n ecuaciones de 1er orden, y utilizar métodos de integración numérica de 1er

orden. Para ello, solo tenemos que añadir la variable y tomar la ecuación s qs &= . Así

tendremos también la ecuación qs &&& = y podremos transformar el sistema original en el

siguiente:

=

+

− 00

00

Qsq

IK

sq

IMC

&

&

=

=

0

0

0

0)0(qq

sq

sq

&

Con esta transformación, hacemos que todos los métodos de integración numérica

de 1er orden nos sean útiles para la integración de nuestras ecuaciones, y por tanto nos


Pag 51



podemos aprovechar de las ventajas que ofrece Matlab para la utilización de diferentes

algoritmos de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

4.3. Estabilidad de los métodos de integración numérica

La estabilidad es la propiedad de un método de integración numérico de mantener

acotado el error respecto de la solución real a lo largo de la integración numérica. Un

método inestable, haría aumentar el error respecto del tiempo de una forma exponencial y

nos llevaría a soluciones erróneas.

La estabilidad de una integración numérica no depende solo del método elegido,

sino también del problema a resolver. Es por eso que se utiliza una ecuación prueba para

conocer el conjunto de valores de λ y de ∆t que hacen a un método estable o inestable. La

ecuación es la siguiente:

yy ⋅= λ&

Se plantea esta ecuación genérica donde λ es cualquier valor del plano complejo.

Así, la región de absoluta estabilidad, es el conjunto de valores de λ para los que el método

es estable al resolver la ecuación yy ⋅= λ& [1]

4.3.1. Conditionally stable methods:

Se dice de los algoritmos que son estables para un rango concreto de valores de

λ·∆t. Al utilizar estos métodos, hay que elegir el valor del tamaño de paso de integración

∆t en función de los valores de λ del problema. Cuanto menor sea λ·∆t, mayor será la

región de estabilidad para el método. En el caso de problemas no lineales en los que

λ=λ(t), el método podrá ser estable en una parte de la integración, e inestable en otra. Por

ello habrá de regularse el tamaño de paso en función de λ. Por ejemplo, para el método de

Euler, para que la integración sea estable, debe cumplirse que: t,2/t ∀< λ∆

4.3.2. Stiffly stable methods:

Se denomina así a los algoritmos cuya región de absoluta estabilidad es el conjunto

de números del plano complejo con parte real negativa menor que un valor dado. Esto


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significa que si los valores propios del problema (λ) pertenecen a esta región, entonces el

algoritmo se comportará de forma estable.

Estos métodos no son adecuados para la resolución de problemas “stiff”, dado que

requerirían de un tamaño de paso muy pequeño que haría lenta la integración, e incluso

incorrecta debido al redondeo numérico. Además, el eje imaginario del plano complejo no

pertenece a la región de estabilidad, por lo que no pueden integrarse adecuadamente

sistemas con vibración pura que tiene sus valores propios en dicho eje.

4.3.3. Unconditionally stable methods (A-stability):

Un método de integración es A-estable si aplicándolo a la ecuación yy ⋅= λ& ,

cuando n→0, entonces y→0, ∀λ, con 0≥Re(λ). La región de estabilidad para estos

métodos, es por tanto, todo el semiplano izquierdo junto con el eje imaginario. Es muy

importante hacer notar que esta estabilidad no depende del tamaño de paso, lo cual es muy

adecuado para la resolución de sistemas stiff lineales.

4.3.4. A(α)-stable methods:

Son aquellos métodos cuya región de estabilidad es una parte del semiplano

izquierdo barrida por un ángulo α. Ver figura.

En las siguientes figuras se muestra la región de estabilidad de cada tipo de método.


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4.4. Métodos de resolución de EDO-s de 1er orden

4.4.1. Métodos Runge – Kutta

Son un conjunto de métodos de un paso que evalúan una o varias veces la función

de la EDO de 1f er orden en el intervalo ( )ttt ∆+, :


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),( ytfy =&

Existen métodos de distinto orden que nos proporcionan distintos ordenes de

convergencia. [29]. Cada uno de ellos tiene su propia región de estabilidad que habrá de

conocerse a la hora de elegir uno u otro método. La estructura general de un método RK es

la siguiente:

⋅⋅∆+∆⋅+= ∑

=

r

jjijnini katytctfk

1,

∑=

+ ⋅⋅∆+=r

iiinn kbtyy

11

donde aij, bi y ci son los coeficientes del método, y ki son coeficientes que se calculan a

partir de los coeficientes del método. Los coeficientes ki se pueden calcular de forma

implícita o explícita en función de los valores que tomen los coeficientes aij. Si aij =0 ∀ j≥i,

el método será explícito. Si no, deberemos resolver un sistema de ecuaciones no lineal para

poder calcular los coeficientes ki. Los métodos explícitos son fáciles de programar porque

solo requieren evaluaciones de funciones. No obstante solo son condicionalmente estables.

Los métodos implícitos son más estables y mucho más precisos que los explícitos. Un

método implícito de r etapas, es de orden 2r y además resulta ser A-estable. No obstante,

estos métodos son más difíciles de programar y son también computacionalmente más

caros de usar. Esto es debido a que necesitan de la resolución de un sistema no lineal de

ecuaciones a cada paso de integración.

Uno de los métodos RK más comúnmente utilizados es el explícito de 2º orden:

( )211 2kktyy nn +⋅

∆+=+

( )nn ytfk ,1 =

( )12 , ktyttfk nn ⋅∆+∆+=

4.4.2. Métodos Multipaso

Se denominan métodos multipaso, a los algoritmos de integración numérica que

requieren información de más de uno de los pasos anteriores para poder calcular el valor de


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la función en el siguiente instante de tiempo. [29], [1]. Los métodos se generan fácilmente

integrando la ecuación diferencial ),( ytfy =& .

∫+

−

+= −+

1

)·,(1

n

pn

t

tpnn dtytfyy

donde p es el número de pasos anteriores que se utiliza. Así, se calcula el valor de en

función de y . Con i=0, … , p+1; y j=0, … , k.

1+ny

iny −+1 ),( 11 jnjn ytf −+−+

La expresión general para los métodos multipaso se puede escribir de la siguiente

manera:

∑ ∑+

= =−+−+−+ =⋅⋅∆+⋅

1

0 0111 0),(

p

i

k

jjnjniini ytfty βα

Los métodos multipaso tienen tres características importantes a destacar:

- No existe ningún método multipaso lineal explícito que sea A-estable.

- El orden de precisión de un método multipaso lineal A-estable no es nunca

mayor que 2.

- La regla trapezoidal es el método multipaso lineal de segundo orden A-estable

con el menor coste de error.

Si β0 =0, el método será explícito, si no, es implícito.

Si 1,0 ≥∀= iiβ , entonces obtenemos los métodos denominados Backwards

Difference Methods, (BDF).

Los métodos que utilizan p=0, son los denominados Adams-Bashforth (explícitos),

y Adams-Moulton (implícitos).

Las fórmulas de cuarto orden para estos algoritmos son las siguientes:

- Adams-Bashforth: ( )3211 ·9·37·59·5524 −−−+ −+−⋅∆

+= nnnnnn fffftyy ,

- Adams-Moulton: ( )2111 ·5·19·924 −−++ +−+⋅∆

+= nnnnnn fffftyy

Con los siguientes errores de truncamiento respectivamente.

)(·720251 5 ξIVfte ⋅∆

=


Pag 56



)(·72019 5 ξIVfte ⋅∆

−=

Ambos métodos son condicionalmente estables y por tanto no garantizan la

estabilidad en la resolución de sistemas stiff.

Para poder aplicar el método de Adams-Moulton o cualquier otro de carácter

implícito, al integrar la ecuación entre tn y tn+1, debemos tener un valor inicial aproximado

para comenzar con el proceso iterativo de resolución del sistema de ecuaciones no lineal.

Para ello, se utiliza el método de Adams-Bashforth, que nos dará un valor aproximado a la

solución, y posteriormente aplicaremos el algoritmo de Adams-Moulton hasta que

soluciones sucesivas cumplan la siguiente desigualdad:

TOLy

yykn

kn

kn <

−

+

−++

1

111

Entonces, habremos calculado . Para dar el siguiente paso de integración,

deberemos volver a aplicar el método de Adams-Bashforth una vez para tener un predictor

de , y después iterar con Adams-Moulton para hallar el valor de que daremos por

bueno.

1+ny

2+ny 2+ny

Este algoritmo se denomina “predictor – corrector” y es equivalente a la iteración

del punto fijo. El orden de convergencia del método en la cercanía de la solución es lineal.

En vez del punto fijo, puede utilizarse el método de Newton-Raphson, siempre que

podamos proporcionar al algoritmo la matriz tangente , o una aproximación de esta. El

orden de convergencia de este método es cuadrático si se proporciona la matriz tangente

exacta.

yf

El método predictor-corrector (Adams-Bashforth Adams-Moulton) es muy

adecuado para añadir al algoritmo capacidad para cambiar el tamaño de paso. Esto es

debido a que en el mismo algoritmo, estamos introduciendo dos métodos con el mismo

orden de convergencia, y por lo tanto, uno nos puede servir como estimador del error del

otro método. El algoritmo tiene la siguiente estructura:

- Se toman dos métodos multipaso que tengan un error de truncamiento del

mismo orden; uno explícito y otro implícito.

- Así, el error estimado es proporcional a la diferencia de predicciones de ambos

métodos (d), e inversamente proporcional al tamaño de paso (h).


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hd

⋅= ατ

- Si queremos tener un error menor que un valor dado (e), deberemos multiplicar

nuestro tamaño de paso por un factor (q) que se calcula de la siguiente manera:

41

·2

⋅<

dehq

- De esta manera nuestro nuevo tamaño de paso será q . Como el cambio de

tamaño de paso exige calcular los nuevos valores anteriores en los que se basa

el método, resulta caro computacionalmente realizar la operación y solo se

realiza el cambio de tamaño de paso cuando la predicción de error de

truncamiento (τ) se sale del intervalo (e/10,e).

h⋅

- Además se suele limitar el tamaño de paso superiormente para evitar cálculos

erróneos.

4.5. Comparación entre los métodos Runge – Kutta y los

métodos Multipaso

Ambos métodos pueden ser utilizados perfectamente para la resolución de las

ecuaciones de movimiento de sistemas multicuerpo. [1].

Los métodos RK son métodos de un solo paso, y por tanto autoiniciables. Así

mismo, necesitan de un menor espacio para almacenamiento. No obstante, necesitan

muchas evaluaciones de la función en cada paso de integración, (4 en el método de cuarto

orden). Debido a que es difícil estimar el error local de truncamiento, solo podrá realizarse

el control del error integrando dos veces con un tamaño de paso diferente, lo cual es

computacionalmente caro.

Los métodos multipaso necesitan un número menor de evaluaciones de la función

por cada paso de integración; sobre todo si se elige un tamaño de paso que mantenga el

número de iteraciones predictor – corrector por debajo de 2 o 3. La estimación del error

local de truncamiento es bastante sencilla y el cambio de tamaño de paso puede realizarse

sin dificultad. Debido a que los métodos multipaso requieren información de pasos

anteriores, no son autoiniciables, y requieren de otro método para dar los primeros pasos,

como puede ser, por ejemplo, un método RK.


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En problemas de dinámica multicuerpo, puede haber discontinuidades o saltos en la

solución. En estos puntos la predicción no puede hacerse en base a puntos anteriores y por

lo tanto, debemos reiniciar el método de integración si es que este es un método multipaso.

Los métodos RK se adaptan bien a las discontinuidades, pues predicen el siguiente valor

únicamente a partir del estado actual del sistema.

No obstante, dado a que la mayor parte del coste computacional se debe a

evaluaciones de la función , y dado que los métodos RK evalúan más veces la función

, los métodos Adams-Bashforth y Adams-Moulton son los más utilizados en la

resolución de ecuaciones de problemas multicuerpo, siempre que no se prevean

discontinuidades.

f

f

4.6. Métodos de resolución de EDO-s de 2º orden

4.6.1. Método de Newmark

Es uno de los algoritmos más utilizados en la resolución de problemas de dinámica

estructural. [23], [1]. Se basa en la siguiente interpolación de posición, velocidad y

aceleración:

( )[ ]11 1 ++ ⋅+⋅−⋅∆+= nnnn aatvv γγ

( )[ ]1

2

1 2212 ++ ⋅+⋅−⋅

∆+⋅∆+= nnnnn aatvtxx ββ

donde γ y β son los parámetros del método. El método es A-estable siempre que se cumpla

212 ≥≥ γβ . La regla trapezoidal es el método de Newmark cuyos parámetros son:

21,41 == γβ . Estos parámetros implican que se considera la aceleración constante en

todo el intervalo ( )1, +nn tt , e igual a: ( ) 2/1++= nn aaa .

Utilizando las ecuaciones de interpolación de posición y velocidad, junto con las

ecuaciones de la dinámica del problema [ )(),()·( tFqqPqqM =+ &&& ], se llega a un sistema de

ecuaciones de las que podemos obtener xn+1, vn+1, y an+1.

El método A-estable más preciso de la familia Newmark es la regla trapezoidal que

conserva la energía para sistemas lineales. No amortigua ninguna de las frecuencias

características del problema.


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Si 21>γ , el método sigue siendo A-estable aunque la convergencia es de orden

lineal. Además, se introduce un amortiguamiento artificial en la resolución del sistema.

Este amortiguamiento artificial puede ser aconsejable cuando debido a características del

modelo matemático, se crean falsas altas frecuencias que hay que eliminar.

4.6.2. Método HHT-α (Hilbert, Hughes y Taylor)

Dado que no se puede introducir intencionadamente amortiguamiento numérico sin

reducir el orden de precisión del método, (utilizando el método de Newmark), Hilbert,

Hughes y Taylor propusieron una familia de métodos que introducían ese amortiguamiento

sin dejar de tener convergencia cuadrática. [23], [1]. Además, puede introducirse un

amortiguamiento variable en función del parámetro α y el método sigue siendo A-estable.

En este método se utilizan las mismas ecuaciones de interpolación que en el método

de Newmark, pero las ecuaciones de la dinámica se escriben de forma diferente:

)(),(·),()·1()·( 1111 ααα +++++ =−++ nnnnnnn tFqqPqqPqqM &&&&

donde nnn ttt ⋅−+= ++ ααα 1)·1( .

Para α=0, el método resulta ser simplemente el método de Newmark. El mejor

intervalo para el parámetro α es el (-1/3, 0). Puede reducirse el número de parámetros, de

tres a solo uno utilizando las siguientes relaciones:

2/)21( αγ −=

4/)1( 2αβ −=

Esta elección de parámetros, nos lleva a un conjunto de métodos A-estables, con

orden cuadrático de convergencia, y con diferente grado de amortiguamiento dependiendo

del parámetro α. Cuanto menor es el valor de α (por debajo de 0), mayor es el

amortiguamiento.

4.6.3. Central difference method

Este método para la resolución de ecuaciones de 2º orden utiliza información sobre

la posición del sistema en tres instantes de tiempo para calcular la primera y segunda

derivada de la posición en un instante dado. [23], [1]. Las ecuaciones que utiliza son las

siguientes:


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( ) ( )

( ) ( )112

11

2121

−+

−+

+⋅−==

−==

nnnnn

nnnn

xxxh

xtx

xxh

xtx

&&&&

&&

Se llama “Método de las diferencias centradas”, porque para calcular la velocidad y

aceleración en el instante tn, utiliza información del instante anterior tn-1, y del siguiente

tn+1. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la dinámica, obtenemos una

expresión para xn en función del valor de x en los instantes anteriores:

QxKxCxM =⋅+⋅+⋅ &&&

122122 ·211·2·

211

−−− +

+−+

−=

+ nnnn fxC

hM

hxKM

hxC

hM

h

La estabilidad del método depende de la elección del tamaño de paso h. Para

obtener una solución estable, h deberá de cumplir π/nTh < . Donde Tn es el menor periodo

natural del sistema. Esto significa que habrán de darse dos pasos de integración por cada

periodo Tn como mínimo, para poder representar bien la aportación de esa frecuencia.

4.7. Métodos de resolución de sistemas Stiff

Como ya se ha explicado en el Capítulo 4.1., los problemas stiff son aquellos en los

que existe una gran dispersión en los valores propios de la matriz del sistema de

ecuaciones diferenciales. Es por esto por lo que los algoritmos de resolución utilizados

deberán gozar de buenas propiedades de estabilidad. [27], [28], [1].

Es aconsejable que el método de resolución utilizado para estos problemas sea al

menos A-estable. De esta forma, para sistemas lineales, la estabilidad está garantizada. No

obstante, problemas stiff fuertemente no lineales pueden ser inestables si son resueltos con

integradores solo A-estables. Aunque no vamos a enfrentarnos a problemas de este estilo

en el presente proyecto, no está de sobra decir que existe al menos otro nivel de estabilidad

llamado B-estabilidad, y que algoritmos B-estables son capaces de resolver este tipo de

problemas. Los algoritmos de Runge-Kutta-Gauss gozan de esta clase de estabilidad, y son

utilizados para resolver sistemas stiff fuertemente no lineales.


Pag 61



4.8. Ecuaciones Diferenciales Algebraicas (EDA)

El problema original de dinámica multicuerpo con restricciones, no es realmente un

problema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO); sino que es un problema de

ecuaciones diferenciales algebraicas (EDA). [28], [1]. Se denomina así a los problemas en

los que se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas variables están sujetas a

restricciones algebraicas. La forma general que toman estos problemas es la siguiente:

( ) 0,, =yytF & , con 00 )( yty = problemas implícitos

( )(

==

yztgyztfy

,,0,,&

) , con problemas semi-explícitos

==

00

00

)()(

ztzyty

Las ecuaciones diferenciales algebraicas se clasifican según su orden diferencial.

Éste orden se refiere al número de veces que hay que derivar las EDA para obtener un

sistema EDO estándar. A mayor orden, mayor dificultad para resolver el problema.

Dos de las distintas formulaciones para la constitución de las ecuaciones de la

dinámica, multiplicadores de Lagrange, y penalizadores, son de hecho, dos formas de

transformar un problema de EDA en uno de EDO.

En la formulación de los multiplicadores de Lagrange, se derivan dos veces las

ecuaciones de restricción respecto del tiempo, para acoplarlas al sistema de ecuaciones

diferenciales original y obtener así un sistema de ecuaciones diferenciales mayor que

incluye las segundas derivadas de las restricciones.

Con los penalizadores, se utiliza otra estrategia diferente. Se da libertad a cada una

de las variables de la EDO para moverse libremente, (de modo que las ecuaciones

algebraicas desaparecen), pero se aplican fuerzas que se oponen fuertemente a que las

variables tomen valores fuera del subespacio que generarían las ecuaciones de restricción.

Así, se sustituyen por ejemplo, distancias constantes, por muelles muy rígidos con

amortiguadores de orden normal.


Pag 62



4.9. Algoritmos de resolución de Matlab

Matlab dispone de varios algoritmos de resolución de sistemas de ecuaciones

diferenciales de primer orden con valor inicial. [22], [24]. Cada uno de ellos está dirigido a

resolver un tipo concreto de problemas de una forma más eficiente de lo que lo resolvería

cualquiera de los demás algoritmos. Estos algoritmos están programados de tal forma, que

sus opciones se utilizan de la misma manera, y se pueden utilizar indistintamente uno u

otro con solo cambiar la cabecera de la llamada a la función. Esta propiedad hace que este

conjunto de algoritmos sea muy adecuado en su conjunto para analizar cómo resuelve cada

uno de ellos un problema concreto. Este conjunto de algoritmos se ha dado en llamar The

Matlab Ode Suite. Algunos de estos algoritmos son los siguientes:

- ode45: se basa en una fórmula explícita de Runge Kutta (4,5), el par Dormand-

Price. Es un método de un paso, por lo que para calcular la solución en tn solo

necesita utilizar la solución en el instante anterior. Generalmente, la ode45 es el

mejor método para realizar una primera prueba a la mayoría de los problemas.

- ode23: se basa en una fórmula explícita de Runge Kutta (2,3), el par Bogacki-

Shampine. Puede ser más eficiente que la ode45 cuando se pretenden

tolerancias groseras y cuando el problema presenta una moderada “rigidez”. Al

igual que la ode45, la ode23 es un algoritmo de un paso.

- ode113: es un algoritmo Adams-Bashforth-Moulton de orden variable. Puede

ser más eficiente que la ode45 cuando las tolerancias a conseguir son rigurosas,

y cuando la función es particularmente costosa de evaluar. La ode113 es un

algoritmo multipaso, y normalmente utiliza la solución en varios puntos

anteriores para calcular la solución en el siguiente instante de tiempo.

- ode15s: es un algoritmo de orden variable basado en las Fórmulas de

Diferenciación Numérica (NDF). Opcionalmente, puede utilizar las BDF,

(también llamadas Método de Gear), que son generalmente menos eficientes. Al

igual que la ode113, la ode15s es un algoritmo multipaso. Es aconsejable


Pag 63



utilizar este algoritmo cuando se cree que el problema puede ser un problema

“stiff”, o cuando la función ode45 es muy ineficiente o no resuelve el problema.

Este algoritmo tiene la opción de resolver problemas EDA directamente, sin

necesidad de reconvertir las ecuaciones.

- ode23s: se basa en una fórmula de Rosenbrock modificada de orden 2. Al ser un

método de un solo paso, suele ser más eficiente que la ode15s cuando se

pretenden tolerancias groseras. Es capaz de resolver algunos tipos de problemas

“stiff” para los que la ode15s no es efectiva.

- ode23t: es una implementación de la regla trapezoidal utilizando un

interpolador libre. Esa función es adecuada para resolver problemas

moderadamente “rígidos”, en los que no se necesite amortiguamiento numérico.

- ode23ts: es una implementación de TR-BDF2. Una fórmula implícita de Runge-

Kutta, en la que en una primera etapa utiliza la regla trapezoidal, y en una

segunda etapa, utiliza las BDF de orden 2. Se utiliza la misma matriz de

iteración en ambas etapas. Al igual que la ode23s, la ode23ts puede ser más

eficiente que la ode15s cuando se requieren tolerancias groseras.

En el siguiente cuadro se muestra las diferentes características de los métodos y su

aplicabilidad.

Algo

ritmo

Tipo de problema

Orden de precisión Cuando usarlo

ode45 No stiff Media La mayoría de las veces. Este

algoritmo debe ser la primera opción.

ode23 No stiff Baja Para tolerancias groseras y problemas

moderadamente rígidos.


Pag 64



ode113 No stiff Todo tipo de

precisión

Para tolerancias rigurosas y problemas

con función muy cara de evaluar.

ode15s Stiff De baja a

media

Cuando la ode45 es lenta (stiff), o

cuando existe una matriz de masas.

Para problemas EDA.

ode23s Stiff Baja Para resolver problemas stiff con

tolerancias groseras, o para problemas

con matriz de masa constante.

ode23t Moderadamente

Stiff

Baja Si el problema es solo moderadamente

stiff y se necesita una solución sin

amortiguamiento numérico.

ode23tb Stiff Baja Para resolver problemas stiff con

tolerancias groseras, o para sistemas

con matriz de masa.


Pag 65



5. Modelo de una barra flexible

5.1. Introducción

En este capítulo se va a presentar un mecanismo flexible que va a servir de ejemplo

para la aplicación de la formulación “Moving frame approach”. [4], [5]. Este problema no

ha sido elegido al azar. Es uno de los mecanismos prueba, (benchmark), que se utilizan

para validar y contrastar diferentes formulaciones para mecanismos flexibles. Muchos

artículos de revistas especializadas hacen referencia a este problema y lo resuelven de

diferentes maneras. De esta forma, nosotros también, utilizaremos este ejemplo y los

resultados que se dan en diferentes artículos, para validar nuestro modelo y además

cerciorarnos de conocer de cavo a rabo los pormenores de esta formulación.

Este mecanismo, sirve de ejemplo para la implementación de la formulación

denominada “Moving frame approach”. Además, se van a aplicar diferentes

modificaciones a las que da libertad la formulación. La manera en la que se eligen las

matrices de masa y rigidez, y la forma en la que se calculan los modos de vibración, hace

que podamos analizar diferentes variantes del método. Así, podremos compararlas para

conocer la medida en la que éstas modificaciones afectan al resultado.

Éste mecanismo flexible es relativamente fácil de programar, ya que consta de un

solo cuerpo, y un solo par cinemático. Los pormenores del problema se detallan a

continuación.

5.2. Descripción del problema

El problema consiste en una viga horizontal, libre en un extremo, y empotrada en el

otro en un eje vertical. Éste eje gira con una velocidad angular que es función del tiempo:

( )

≥

−⋅

<

−

⋅

+⋅⋅

=

ss

s

ss

s

s

s

TtTtw

TtT

tTtTw

t

; 2

; 1··2cos22

1 22 π

πθ


Pag 66



donde es la velocidad a la que va a girar la barra a partir del tiempo , tiempo en el

que la función

sw sT

( )tθ pasa a ser lineal, ( )tθ& constante, y ( )tθ&& cero.

Los parámetros de la viga son su

longitud, L, su densidad, µ , su módulo de

elasticidad, E, la inercia respecto del eje z

de la sección, Izz, la altura de la barra, ,

y el grosor de esta, .

h

b

Estos parámetros vienen

debidamente representados en la figura.

La simulación se realiza para un valor de 15=sT segundos, siendo el tiempo total

de la simulación de 20 segundos. En el estado inicial, la posición del ángulo ( )tθ es cero,

al igual que su velocidad y aceleración. Por tanto las fuerzas existentes en el estado inicial

son iguales a cero.

Las coordenadas naturales que vamos a utilizar constan solamente de un punto, tres

vectores. El número de amplitudes modales que se utilice será diferente en los distintos

modelos. será el vector nulo, asociado a la posición del origen de la barra; u , , y

son los vectores solidarios al origen de la barra que en la posición inicial siguen las

direcciones de los ejes

0r v w

x , , y respectivamente. Los modos de vibración de la

estructura se calculan con el origen de la viga empotrado; según el criterio establecido en

el Capítulo 3.4.9.: Criterios para la elección de los modos estáticos y modos de vibración.

La simulación podría realizarse en 2D, con sólo variables en el plano

y z

xy , pero se ha

realizado en 3D para no perder generalidad con el método.

La barra se ha discretizado de la misma manera en todos los modelos. Se han

utilizado 10 elementos finitos tipo viga. Estos elementos tienen una formulación lineal en

todos menos en el modelo número 9.

5.3. Diferentes modelos

Para ver cómo afectan distintas formulaciones a los resultados y tiempos de cálculo

del problema, vamos a construir un total de 10 modelos que resuelven el mismo problema.


Pag 67



De esta manera, vamos a compararlos en grupos para extraer conclusiones sobre las

razones por las que éstos modelos dan diferentes resultados.

Las dos primeras formulaciones van a utilizar toda la información del modelo.

Éstas tendrán un coste computacional alto pero sus resultados serán todo lo precisos que se

le puede exigir a la discretización por elementos finitos.

Las tres siguientes formulaciones (3-4-5), se van a construir utilizando la reducción

de Guyan y la extracción de modos de vibración. La única diferencia entre ellos será que

cada uno utiliza un número diferente de modos de vibración. Así podremos conocer el

número adecuado de modos de vibración que nos dará una mejor relación de precisión

frente a tiempo de cálculo.

En la formulación número 6, se invierte el orden de las operaciones de extracción

de modos y condensación de Guyan. Se aplica la extracción de modos a las matrices con 6

grados de libertad por nudo, y posteriormente, se aplica la condensación de Guyan a las

matrices de masa y rigidez, y se eliminan las filas de los modos asociadas a giros.

La formulación número 7 es un método no muy ortodoxo que nos va a permitir dar

cuenta de la influencia que tiene la masa asociada a los giros en el resultado final de la

simulación. Es la única formulación en la que no utilizaremos la reducción de Guyan para

deshacernos de los grados de libertad rotacionales.

Los modelos 8 y 9 son solamente la utilización de un programa de elementos finitos

para la resolución de este problema. En vez de imponer una rotación a la barra, se

sustituyen las fuerzas de inercia debidas a la aceleración angular, por fuerzas variables en

el tiempo aplicadas a cada nudo.

El último modelo, el 10, es un ejemplo de lo que sucede si en vez de realizar la

condensación de Guyan para deshacernos de los giros, los eliminamos directamente. Se ha

introducido con el único objetivo de mostrar que esta formulación es errónea.

A continuación se va a dar una caracterización más concreta de cada uno de los

modelos. En las 7 primeras formulaciones las matrices de masa y rigidez se extraen de

Ansys con 6 grados de libertad por nudo.


Pag 68



5.3.1. Modelo 1:

En este modelo se toman las matrices de masa y rigidez y se les aplica la

condensación de Guyan para deshacernos de los grados de libertad rotacionales. Además,

se utiliza la matriz identidad como matriz de modos de vibración con tantos modos como

grados de libertad tiene el modelo de elementos finitos.

5.3.2. Modelo 2:

Al igual que en el anterior, en este modelo se aplica la condensación de Guyan a las

matrices de masa y rigidez. La diferencia está en que se calcula la matriz de modos de

vibración como solución al problema de valores y vectores propios, y ésta se utiliza con

todos los modos. Tendrá tantos modos como grados de libertad el modelo de elementos

finitos.

5.3.3. Modelos 3, 4 y 5:

En estos modelos, se utilizará la reducción de Guyan, y sólo alguno de los modos

de vibración que se calculen como resultados del problema de valores y vectores propios.

En el modelo 3 sólo se utilizará el primero de los modos de vibración. En el modelo 4 se

utilizarán los dos primeros, y en el modelo 5, los tres primeros.

5.3.4. Modelo 6:

Este modelo se construye igual que el modelo número 5, (utilizando 3 modos de

vibración). La diferencia está en que se altera el orden de las operaciones de condensación

de Guyan y extracción de los modos de vibración. En éste modelo, se extraen los modos de

vibración desde las matrices de masa y rigidez con 6 grados de libertad por nudo. Así, para

deshacernos de los giros en la matriz de modos de vibración, simplemente se eliminan las

filas correspondientes a giros. Para reducir el orden de las matrices de masa y rigidez, se

aplica la condensación de Guyan.


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5.3.5. Modelo 7:

Éste es el único modelo entre los presentados hasta ahora en el que vamos a

prescindir de la condensación de Guyan para deshacernos de los grados de libertad

rotacionales.

Se toman las matrices de masa y rigidez con 6 grados de libertad por nudo, y se

extraen los modos de vibración. Para la introducción de la matriz de masas en la

formulación, es preciso que no exista masa asociada a los giros. Es por esto que

eliminamos las filas y columnas de la matriz de masas asociadas a giros, y utilizamos la

submatriz asociada a traslaciones como si se tratase de la matriz de masas resultados de la

condensación de Guyan. Por otro lado, resulta que no es necesario eliminar los grados de

libertad asociados a giros en la matriz de rigidez, ya que podemos escribir las fuerzas

debidas a energía elástica de deformación como , sin importar que qXKX T ··· X y K

contengan grados de libertad rotacionales o no los tengan. La dimensión del producto

, no depende de si se contemplan grados de libertad rotacionales; sólo depende

del número de modos de vibración que se utilicen, y del número de coordenadas naturales.

qXKX T ···

5.3.6. Modelos 8 y 9:

Los modelos 8 y 9 son solamente los resultados de resolver este mismo problema

utilizando el programa de elementos finitos MSC.Marc. La diferencia entre el modelo 8 y

el 9 radica en que en el modelo 9 se considera que van a existir grandes desplazamientos, y

en el modelo 8 solo se van a considerar pequeñas deformaciones y pequeños

desplazamientos. El modelo 8 es un modelo lineal, y el modelo 9 es un modelo no lineal.

Para resolver éste problema en Marc, se ha tenido que hacer un cambio en el

sistema de referencia y así, hacer balance de las fuerzas en el sistema de referencia no

inercial solidario al origen de la barra. Como no existen fuerzas exteriores, las únicas

fuerzas existentes, son las de arrastre. Si despreciamos la aceleración centrípeta, la fuerza

que habrá de aplicarse a cada punto en dirección perpendicular a la barra será la siguiente:

( ) ( ) drrtdmrtdF ⋅⋅=⋅⋅= αµα ·

kg/m 2.0·· ==== ALVLM ρρµ


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donde , y ( ) ( )tt θα &&= r es la distancia a la que se encuentra el diferencial de masa del

origen de coordenadas.

dm

µ es la densidad lineal de la barra. Como tenemos una fuerza

distribuida, para adecuarla y aplicarla en unos pocos nudos del modelo de elementos

finitos, se han buscado pares de fuerzas equivalentes que ejercieran la misma suma de

fuerzas y suma de momentos sobre cada uno de los 10 elementos finitos en los que está

discretizada la barra.

( )∫∫++ ⋅⋅⋅==+ +11

1i

i

i

i

r

r

r

rii drrtdFFF µα

( ) ( )∫∫++ −⋅⋅=−=−++11 ·)·()·(· 11

i

i

i

i

r

r i

r

r iiii drrrrtdFrrrrF µα

Resolviendo el sistema de ecuaciones para cada elemento, y sumando las fuerzas en un mismo nodo debidas a los

elementos de ambos lados, se llega a la siguiente lista de fuerzas que debe aplicarse a cada nudo:

Nº de nudo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1Fi /(α·µ) 0 0.64 1.28 1.92 2.56 3.2 3.84 4.5 5.12 5.76 3.09

1

Por tanto, solo queda multiplicar cada una de estas fuerzas por la aceleración

angular y por la densidad lineal, para obtener las fuerzas a aplicar en cada nudo.

5.3.7. Modelo 10:

Se ha relevado este modelo hasta el último lugar porque su utilización lleva a

resultados equivocados. Se ha querido introducir este modelo para dar cuenta de la

diferencia que existe entre eliminar las filas y columnas de la matriz de masas asociadas a

giros, (como en el modelo 7), y eliminar las filas y columnas también en la matriz de

rigidez. Por tanto, en este modelo, se utilizan las matrices de masa y rigidez provenientes

de Ansys con 6 grados de libertad por nudo, y se eliminan directamente las filas y


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columnas asociadas a giros, quedándonos con las submatrices restantes. De éstas se

extraerán los modos de vibración pertinentes.

5.4. Resultados

Cada uno de los modelos que se han presentado en el apartado anterior nos va a

servir para simular el problema de la barra flexible. Las distintas características de los

modelos nos va a proporcionar diferentes resultados con los que vamos a poder deducir

características inherentes a cada formulación. Las citadas comparaciones son las

siguientes:

5.4.1. Modelo 1 – Modelo 2:

Se van a comparar estos dos modelos porque son los dos que utilizan tantos modos

de vibración como grados de libertad tiene el modelo de elementos finitos. Dado que

utilizan un gran número de amplitudes modales como variables de estado, la integración

del sistema de ecuaciones diferenciales subyacente requiere de mucho tiempo de cálculo

para su resolución. Además, como ya se explicó en el Capítulo 3.4.9.: Criterios para la

elección de los modos estáticos y modos de vibración, el problema adquiere un carácter

“stiff” cuando se introducen modos con valores propios muy dispares, y hace el problema

aún más costoso de resolución. El tiempo de cálculo para resolver estos modelos es del

orden de 9000 segundos, (2.5 horas).

Dado que estos son los modelos que contemplan el mayor número de variables,

deberán ser asimismo, los que consideremos como “resultados correctos” respecto de los

cuales comparar los demás modelos.

En la siguiente figura se pueden ver los resultados que da cada una de estas dos

simulaciones para nuestro problema. No se pueden apreciar diferencias porque ambos

modelos dan exactamente los mismos resultados. Esto es debido a que las posibilidades de

movimiento para el modelo son exactamente las mismas, aunque estén expresadas en bases

diferentes.


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Ambas simulaciones están calculadas para un valor de velocidad rad/s. 1=sω


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5.4.2. Modelo 3 – Modelo 4 – Modelo 5:

Estos tres modelos tiene la característica común de utilizar sólo unos pocos de los

muchos modos de vibración de la barra flexible. Esta comparación pretende dar a conocer

la influencia que tiene cada modo de vibración en la solución final, y cual es el error que se

comete al no tomar en cuenta algunos de los primeros modos de vibración de la estructura.

Suponiendo la solución del Modelo 1 como la solución “real” del problema, según

fuéramos añadiendo modos a la simulación, debiéramos ir acercándonos gradualmente a la

solución real. Asimismo, al utilizar cada vez más modos, el tiempo de cálculo debe ser

inevitablemente mayor. Por ello, estos tres modelos nos pueden servir para hallar un valor

para el número de modos que haga el modelo lo suficientemente preciso, y

computacionalmente asequible. Los resultados obtenidos al realizar la simulación a

velocidad de rad/s 1=sω son los siguientes:


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Podemos observar como los tres modelos dan prácticamente el mismo resultado.

Por lo que llegamos a la conclusión de que los modos 2 y 3 no aportan apenas


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desplazamiento al movimiento por deformación de la barra. En las gráficas anteriores

podemos observar como la curva roja correspondiente al modelo con un solo modo, es la

curva más suave de las tres. Las curvas azul y verde tienen un rizado añadido debido a la

aportación de los modos 2 y 3, que tienen una frecuencia mayor de vibración.

Los tiempos de cálculo para cada una de las 3 formulaciones son:

- Modelo 3: tiempo de cálculo = 2.4 segundos.



El Modelo 3 es casi 7 veces más rápido que el Modelo 5, y la diferencia entre las

soluciones no sobrepasa en ningún momento el 0.01% de la longitud total de la barra.


Una vez comparados los tres Modelos con 1, 2 y 3 modos de vibración, vamos a

comparar el más preciso de estos con el Modelo 1 que utiliza todos los modos de vibración

disponibles. Con esta comparación vamos a ver que la utilización de sólo 3 de los 30

modos de vibración es más que suficiente para la correcta modelización de la barra. Los

resultados de la comparación se pueden apreciar en la siguiente gráfica:


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Podemos ver que no existen diferencias entre ambos modelos, por lo que a partir de

ahora, vamos a realizar las comparaciones con el Modelo 5, que es computacionalmente

mucho más rentable, y sólo una infima parte más preciso que los Modelos 3 y 4.


En esta nueva comparación, se trata de investigar las posibles diferencias a la hora

de calcular los modos de vibración. Si existe alguna diferencia entre calcular los modos de

vibración antes o después de la condensación modal, con estas simulaciones, las podremos

advertir. La simple comparación de la matriz de modos en un caso y en otro sería

suficiente para saber si existen diferencias. No obstante se han programado las dos formas

de calcular la matriz de modos, y se ha llegado a la representación gráfica de los resultados

que nos revela claramente, que ambas formas son equivalentes. Las gráficas se comparan

en la siguiente figura:

Aunque los resultados nos dicen que el resultado es el mismo, se adoptará el

criterio de calcular las matrices reducidas de Guyan antes de extraer los modos de

vibración.


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Esta comparación de los Modelos 5 y 7 tiene un especial interés porque, una

formulación no muy ortodoxa, el Modelo 7, nos va a dar información de cómo influye en

la solución la masa asociada a los grados de libertad rotacionales. La eliminación de las

filas y columnas de la matriz de masas asociadas a los giros, pudiera hacer que la

simulación diera resultados muy alejados de los de otras formulaciones. Sin embargo, la

rigidez asociada a los giros que todavía se conserva en la formulación hace que los

resultados sean bastante parecidos a los que dan otros Modelos. Los resultados de las

simulaciones se pueden apreciar en las siguientes gráficas:


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Entre estos dos Modelos existen considerables diferencias en los resultados. Por

tanto, podemos deducir que la influencia de la masa asociada a los grados de libertad


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rotacionales es notable, aunque no pone en compromiso la estabilidad de la simulación ni

da resultados claramente erróneos. No obstante, debemos tomar como menos precisa esta

formulación, sobre todo, después de haber observado como convergen los Modelos 3, 4 y 5

hacia el Modelo 1 en el que se contemplan todos los modos de vibración.


Como ya se ha explicado anteriormente, los Modelos 8 y 9 son únicamente los

resultados de simular el problema de la barra flexible utilizando el programa de elementos

finitos MSC.Marc. Ésta comparación se ha realizado para hacer notar las diferencias

existentes entre formulaciones que tomen como hipótesis la existencia de pequeños

desplazamientos y pequeñas deformaciones, y formulaciones en las que las matrices de

masa y rigidez dependen del estado de la barra, y por lo tanto, convierten la formulación en

no lineal. El objetivo es hacer notar que la formulación lineal tiene sus limitaciones.

Además, podemos ver como, según se aumenta la velocidad de giro de la barra, llega un

momento en el que la formulación lineal no sólo no da resultados precisos, sino que se

vuelve inestable y provoca una solución divergente.

Los resultados que se presentan a continuación, muestran los Modelos lineales y no

lineales para varias velocidades de giro.


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El tiempo aproximado que requiere el programa MSC.Marc para el cálculo de este

problema es de 150 segundos, (2.5 minutos). Si realizamos las simulaciones con

velocidades de 4 y 8 rad/s, aumentan las diferencias entre el resultado de la formulación

lineal y la no lineal. Esta característica es debida a que las no linealidades se vuelven tanto

más importantes e influyentes cuanto mayor es la deformación que sufre la estructura. Y

dado que las únicas fuerzas existentes en este problema son las fuerzas de inercia, las no

linealidades se vuelven tanto más importantes cuanto mayor es la aceleración con la que se

hacer girar a la barra. Esta circunstancia se puede apreciar en las siguientes figuras:


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Podemos representar todos los modelos en conjunto para poder apreciar así, que la

diferencia entre el modelo lineal y el no lineal aumenta con la velocidad.


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La comparación entre los Modelos 8 y 9 nos ha servido para ver las diferencias

entre los modelos lineal y no lineal que se han utilizado con MSC.Marc. No obstante, no

nos podía servir para validar cualquiera de los dos modelos, ya que no lo hemos

comparado con ningún modelo que sepamos sea correcto. Por ello, en esta ocasión se va a

comparar el modelo lineal utilizado en Marc, con el modelo número 5 cuya validez ha

quedado sobradamente demostrada.

Así pues, si enfrentamos las curvas de los Modelos 1 y 8 (con w=1), podemos

comparar ambos modelos mediante la siguiente gráfica:


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Las diferencias, son notables entre ambas soluciones. Aún así no parece haber

motivo para pensar que las diferencias no se deban sino a una forma diferente de realizar

los cálculos. La solución que da Marc, parece sin embargo, que puede ser más acertada,

puesto que a partir de t=15, (cuando las fuerzas de inercia se anulan), tiene forma de una

senoide que no cambia de frecuencia ni de amplitud; sin embargo, el Modelo 1 tiene una

forma senoidal en la que la amplitud se vuelve cada vez mayor. Una simulación con el

Modelo 5 realizada hasta t = 30 segundos, revela que la oscilación, aunque irregular, sigue

acotada en una amplitud de ± 4 mm.

5.4.8. Modelo 9 – Modelo 5: (w=4)

En ésta comparación se va a mostrar los resultados que da un modelo lineal cuando

se le aplican aceleraciones que van a violar las hipótesis de pequeños desplazamientos.

Así, si aplicamos una velocidad de 4 rad/s al Modelo 5, éste no es capaz de proporcionar la

solución correcta y diverge. El modelo de Marc que tiene en cuenta las no linealidades,

Modelo 9, converge sin problemas a la solución. En las siguientes figuras, se representan la

solución errónea que da el Modelo 5, y se compara esta solución con la que da el Modelo

de Marc:


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Este ejemplo debe servirnos para saber que los modelos lineales tienen unas

limitaciones en cuanto a desplazamientos y deformaciones se refiere, y por tanto, debemos


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tener presente en todo momento que las hipótesis de linealidad pudieran no estar

cumpliéndose, y por lo tanto, la solución que nos de el modelo puede no ser correcta.

5.4.9. Modelo 10:

En este último apartado, se va a mostrar cual es el resultado de simular el Modelo 5

utilizando las matrices reducidas, habiendo eliminado los grados de libertad rotacionales

directamente, sin hacer uso de la reducción de Guyan. Esta es una práctica nada

recomendable, ya que da resultados erróneos. La siguiente gráfica representa el

desplazamiento del extremo de la barra en función del tiempo. No es necesario compararla

con ninguno de los anteriores modelos para cerciorarnos de que los resultados no son

correctos. Es suficiente con mirar la escala del gráfico.

5.5. Conclusiones

A quedado claro que este ejemplo, en sus diferentes variantes, nos ha servido para

el análisis de muchas características de los modelos para la simulación dinámica de

mecanismos flexibles. Se han podido comparar características para tomar una


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determinación a la hora de elegir un método u otro, en función de la situación en la que nos

encontremos y el problema que hayamos de resolver.

Todos los modelos presentados, excepto el último, (Modelo 10), nos han dado

resultados que podemos considerar correctos, y además ligeramente diferentes, en

consonancia con la forma diferente en la que han sido calculados.

En la primera comparación del Capítulo: 5.4. Resultados hemos podido ver que dos

bases para el movimiento que engendran el mismo subespacio, dan como resultado el

mismo movimiento. Esto es, las bases que forman todos los modos de vibración por un

lado, y la matriz identidad de igual tamaño por otro, son bases ortonormales que engendran

el mismo subespacio, y por tanto dan el mismo resultado para la simulación de la barra.

Además hemos podido comprobar que resulta enormemente costoso de calcular un

sistema en el que se han contemplado todos los modos de vibración.

En la segunda comparación, la que involucra a los Modelos 3, 4 y 5, hemos podido

extraer conclusiones importantes. La solución que nos da el modelo de un solo modo de

vibración es realmente muy precisa, y además, solo con la utilización de 3 modos, tenemos

una solución exactamente igual que la que da el modelo con todos y cada uno de los modos

de vibración. Por tanto, podemos concluir que la utilización de unos pocos modos no

repercute en la precisión del modelo, aunque sí lo hace, de una forma drástica, en los

tiempos de cálculo. Es realmente extraordinario que utilizando el Modelo 3 con un tiempo

de cálculo 4000 veces menor que el Modelo 1, se consiga un resultado con un 0.01% de

error respecto de la solución con el Modelo 1. Esta circunstancia nos muestra el gran

potencial de la condensación modal. Además, hemos verificado la viabilidad de realizar

varias simulaciones con unos pocos modos. Así, podemos llegar a utilizar un modelo con

un pequeño número de modos en el que sepamos que la adición de más modos no nos va a

alterar significativamente la solución y sin embargo nos va a aumentar considerablemente

el tiempo cálculo. O sea, podemos llegar a un modelo con un número óptimo de modos de

vibración seleccionados.

La utilización de la formulación genérica “Moving frame approach”, nos ha

condicionado a la hora de utilizar los modelos de elementos finitos. Hemos debido de

deshacernos de los grados de libertad rotacionales, y por ello se han comparado diferentes

formas de afrontar este problema. La conclusión es que la condensación de Guyan es una


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herramienta muy adecuada para la condensación de los grados de libertad rotacionales.

Además, esta técnica, puede utilizarse también para la condensación de grados de libertad

traslacionales con el único objetivo de reducir la dimensión del modelo de elementos

finitos y utilizar sólo los grados de libertad que hacen frontera con otros cuerpos. Esta es

una herramienta muy útil cuando se utilizan modelos con varios cuerpos flexibles y con

muchos grados de libertad en el modelo de elementos finitos.

En la comparación de los modelos 8 y 9 hemos podido apreciar que existen

limitaciones para la formulación lineal que presupone pequeñas deformaciones y pequeños

desplazamientos. A quedado patente que según los desplazamientos se van haciendo más y

más grandes, la solución del modelo lineal se va desviando cada vez más del modelo no

lineal. La mayor complejidad y verosimilitud del modelo no lineal, debe hacernos pensar

que el modelo lineal deja de ser válido. Por tanto, deberemos tener siempre presente que en

una simulación dinámica de mecanismos flexibles con una formulación lineal, pueden estar

violándose las hipótesis de pequeños desplazamientos, y la solución que estemos

obteniendo puede ser errónea. Para cerciorarnos de que el modelo lineal es válido,

deberemos inspeccionar los desplazamientos para ver si efectivamente son pequeños, o

deberemos tener otro modelo no lineal que nos demuestre la validez del modelo lineal.

Hemos podido comprobar también, que algunos problemas sencillos pueden ser

resueltos de una forma alternativa siempre que se sepa cuales van a ser las fuerzas de

inercia a las que va a ser expuesto el mecanismo. Los modelos 8 y 9 han sido calculados

transformando el movimiento de rotación de una viga con aceleración angular conocida, en

un problema de una viga empotrada en uno de sus extremos con cargas variables en el

tiempo, y diferentes en cada una de las secciones de la viga. Hemos podido comprobar que

la transformación es adecuada y da resultados similares.

El modelo 10, aunque no ha resuelto el problema ni tampoco se ha acercado a dar

una solución correcta, nos ha servido para saber que no podemos eliminar drásticamente

los grados de libertad rotacionales de las matrices de masa y rigidez. Además, nos ha

reafirmado en la convicción de que la reducción de Guyan es una herramienta muy

adecuada para ello.


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6. Conclusiones

En éste proyecto fin de carrera se ha realizado un exhaustivo estudio de las

diferentes formas de realizar la simulación de mecanismos flexibles. Algunas alternativas

han sido estudiadas a fondo, mientras que otras han sido estudiadas de una forma muy

superficial.

Se han utilizado formulaciones dinámicas como los multiplicadores de Lagrange, el

método de los penalizadores, y el método de la matriz R. Se han realizado ejemplos de

mecanismos programados por métodos de parámetros discretos y se han utilizado

programas de elementos finitos que incorporan la formulación Inertial reference frame. No

obstante, el peso del proyecto ha recaído en la forma en la que se calculan y utilizan los

modos de vibración, las deformadas estáticas y la reducción de Guyan. Todas las

simulaciones de la barra flexible han ido dirigidas a conocer estos detalles, por ello se le ha

dedicado un apartado de conclusiones en el Capítulo 5. No obstante, además de todas esas

conclusiones, existen otros aspectos de la simulación dinámica de mecanismos flexibles

que son dignas de mención:

- Existen muchas y muy diversas formulaciones para la simulación de mecanismos.

Todas son igualmente válidas, pero algunas se comportan mejor que otras en algunas

circunstancias. Esta es una razón por la que los investigadores de simulación de

mecanismos no se ponen de acuerdo en cual es LA MEJOR formulación de entre las

múltiples opciones existentes.

- De la misma manera, existen varios grupos de métodos para la simulación

dinámica de mecanismos flexibles. Cada uno de los cuatro métodos que se han presentado

en éste proyecto tiene bien definida su utilidad:

Los modelos de parámetros discretos son tremendamente sencillos en

algunos casos, pero no son capaces de proporcionar solución a problemas complejos, ni

pueden hacer predicciones con mucha precisión.

Los modelos denominados Elasto-dynamics, nos sirven para saber cuanto se

deformarían los cuerpos sometidos a las fuerzas que soportan como parte del mecanismo,

lo cual no simula realmente la dinámica de un mecanismo flexible.


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Los modelos basados en el método Moving Reference Frame, son los

modelos más adecuados cuando se requiere tomar en cuenta las deformaciones de los

cuerpos flexibles, y se quiere precisión en los resultados. Es un método muy válido

siempre que los desplazamientos y las deformaciones sean pequeñas. Tiene la gran ventaja

de que puede hacer uso de toda la teoría de elementos finitos, y además, puede utilizarse la

condensación modal.

Los modelos denominados Inertial Reference Frame, son la alternativa al

Moving Reference Frame para problemas en los que los desplazamientos y las

deformaciones son grandes y el modelo lineal se vuelve inválido. Tiene la ventaja de que

puede utilizar modelos de elementos finitos no lineales, pero deben usarse todos los grados

de libertad del modelo MEF sin poder recurrir a la condensación modal.

- La resolución de problemas de guiado de sólido y de dinámica inversa tienen un

carácter especial porque hay un cambio de papeles entre las coordenadas y los términos

independientes. Son problemas en los que las fuerzas aplicadas son desconocidas mientras

que las posiciones, velocidades y aceleraciones, normalmente desconocidas, vienen ahora

impuestas. Es de destacar la necesidad de añadir términos de fuerzas desconocidas, y de

realizar un cambio de papeles, entre ellas para adecuar el sistema de ecuaciones a un

sistema lineal de la forma A·x=b.

- La forma en la que se calculan y eligen los modos de vibración y las deformadas

estáticas, es una característica importante a la hora de realizar la simulación. Se ha

dedicado un apartado entero a explicar el criterio que se sigue en éste proyecto para su

determinación. Sin embargo, sin dejar de ser un criterio arbitrario, no es ni la única ni la

mejor de las formas de calcular y elegir los modos. Por encima de todos los criterios físicos

para la determinación y elección de los modos, está el hecho de que los modos, sin

importar cómo estén calculados, forman una base para los posibles estados de deformación

del sólido flexible. E inevitablemente, cuanto mayor es el subespacio que engendra esa

base, mayor son las posibilidades de movimiento del sólido flexible, y por lo tanto, más

cerca estaremos de representar su verdadera deformación. No obstante, siempre que

podamos acercarnos a representar la deformación del sólido, con una base lo más reducida

posible, mayor eficiencia computacional tendrá el método, y podremos decir que hemos

elegido los modos de una forma más adecuada.


Pag 92



- Por último, se va a realizar una reflexión sobre las propiedades matemáticas que

tienen los problemas de simulación multisólido. La primera propiedad, y quizá la más

importante, es que éstos problemas son sistemas de Ecuaciones Diferenciales Algebraicas.

La teoría matemática que se ha desarrollado para la resolución de éstos problemas es muy

reciente y no está completada. Matlab ha incorporado en su versión 6, un algoritmo de

EDA-s para resolver éstos problemas sin necesidad de una transformación previa. Otra

característica importante es la no linealidad de las ecuaciones. Esto hace que los valores

propios de las matrices no sean iguales lo largo de la simulación, además de poder crear

bifurcaciones en la solución. Además, las ecuaciones se convierten en ecuaciones “stiff”

cuando se introducen discretizaciones por elementos finitos, existe dispersión en los

valores propios de la matriz, se resuelve el problema por penalizadores, o simplemente, el

mecanismo tiene subsistemas con muelles y amortiguadores que tienen muy dispares

frecuencias naturales de vibración. Todas estas fuentes de “rigidez”, junto con las no

linealidades y las ecuaciones de restricción algebraicas, hacen que los problemas de

simulación dinámica de mecanismos flexibles sean uno de los problemas dinámicos más

difíciles de resolver.


Pag 93



7. Referencias

7.1. MULTIBODY

7.1.1. LIBROS

[1]

AUTOR: García de Jalón, Javier

TITULO: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems : the real-time

challenge / Javier García de Jalón, Eduardo Bayo

Springer-Verlag, cop. 1994

SERIE: Mechanical engineering series (Springer-Verlag)

ISBN: 0-387-94096-0

http://mat21.etsii.upm.es/mbs/bookPDFs/bookGjB.htm

[2]

AUTOR: Haug, Edward J.

TITULO: Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems /

Edward J. Haug

Allyn and Bacon, cop. 1989 v.1. Basic methods

ISBN: 0-205-11669-8 (V. 1)

[3]

AUTOR: Shabana, Ahmed A.

TITULO: Dynamics of multibody systems / Ahmed A. Shabana

Cambridge University Press, 1998

ISBN: 0-521-59446-4


Pag 94

http://mat21.etsii.upm.es/mbs/bookPDFs/bookGjB.htm



7.1.2. ARTICULOS

[4]

AUTOR: Antonio Avello, José Manuel Jiménez, Javier Urruzola

TITULO: Una formulación eficiente para la simulación dinámica de mecanismos

flexibles

PUBLICACION: XII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica.

[5]

AUTOR: Sung-Soo Kim, Edward J. Haug

TITULO: A recursive formulation for flexible multibody dynamics, Part I: Open-

Loop Systems

PUBLICACION: Computer methods in applied mechanics and engineering, 71

(1988) 293-314

[6]

AUTOR: Sung-Soo Kim, Edward J. Haug

TITULO: A recursive formulation for flexible multibody dynamics, Part II: Closed-

Loop Systems


(1989) 251-269

[7]

AUTOR: I. Romero, C.L. Kirk

TITULO: Dynamic Analysis of a flexible deployable robotic manipulator for space

station operation

PUBLICACION: Department of Aerospace Science, Cranfield University

[8]

AUTOR: N. Vucasovic, J. T. Celigüeta, J. García de Jalón

TITULO: Flexible Multibody Dynamics Based on a Fully Cartesian System of

Support Coordinates


Pag 95



PUBLICACION: Journal of mechanical design, June 93, Vol 115, pág. 294-299

[9]

AUTOR: W. H. Sunada, S. Dubowsky

TITULO: On the dynamic analysis and behavior of industrial robotic manipulators

with elastic members

PUBLICACION: Journal of mechanisms, transmissions, and automation in design,

March 1983, Vol. 105, 42-51

[10]

AUTOR: José L. Escalona Franco, Juana M. Mayo Núñez, Jaime Domínguez

Abascal

TITULO: Formulación dinámica de mecanismos flexibles en coordenadas nodales

absolutas.

PUBLICACION: XIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica

7.2. MEF

[11]

Página web con recursos de elementos finitos

http://my.dreamwiz.com/acm/

7.2.1. LIBROS

[12]

AUTOR: Jesús Zurita Gabasa

TITULO: Teoría de Estructuras. Estructuras de barras y sólidos tridimensionales

[13]

AUTOR: O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor

TITULO: The Finite element method


Pag 96



NOTA: Contiene: v.1. The basis -- v.2. Solid mechanics -- v.3. Fluid dynamics

[14]

AUTOR: O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor

TITULO: El Método de los elementos finitos

NOTA: Contiene: v. 1. Formulación básica y problemas lineales -- v. 2. Mecánica

de sólidos y fluidos : dinámica y no linealidad

ISBN: 84-481-0178-2 (obra completa)

TEMA: Análisis estructural (Ingeniería)

TEMA: Mecánica de medios continuos

TEMA: Método de elementos finitos

[15]

AUTOR: Petyt, Maurice

TITULO: Introduction to finite element vibration analysis

ISBN: 0-521-63417-2

[16]

Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) - Fall 2002

Department of Aerospace Engineering Sciences

University of Colorado at Boulder

http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/Home.html

[17]

Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 5107) - Fall 2001

Department of Aerospace Engineering Sciences

University of Colorado at Boulder

http://caswww.colorado.edu/courses.d/NFEM.d/Home.html

[18]

Advanced Finite Element Methods (ASEN 5367) - Spring 2003


Pag 97

http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/Home.html

http://caswww.colorado.edu/courses.d/NFEM.d/Home.html



Aerospace Engineering Sciences - University of Colorado at Boulder

http://caswww.colorado.edu/courses.d/AFEM.d/Home.html

7.2.2. ARTICULOS

[19]

AUTOR: J.C. Simo

TITULO: A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic

problem. Part I


(1985) 55-70

[20]

TITULO: 3.1. Large Strain

PUBLICACION: ANSYS Theory Reference. Release 5.6.

TEMA: No linealidades geométricas

[21]

AUTOR: E. Petrov and M. Géradin

TITULO: Finite element theory for curved and twisted beams based on exact

solutions for three-dimensional solids Part 1: Beam concept and geometrically exact

nonlinear formulation


(1998) 43-95

7.3. METODOS NUMERICOS DE INTEGRACIÓN

[22]

TITULO: Matlab Function Reference

http://mathlab.usc.edu/matlab/techdoc/ref/ode45.html


Pag 98

http://caswww.colorado.edu/courses.d/AFEM.d/Home.html

http://mathlab.usc.edu/matlab/techdoc/ref/ode45.html



[23]

AUTOR: Henri Gavin

TITULO: Numerical Integration for structural dynamics

FUENTE: http://www.duke.edu/~hpgavin/ce283/newmark.pdf

[24]

AUTOR: Lawrence F. Shampine, Mark W. Reichelt

TITULO: The matlab ode suite

http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SISC/articles/27642.pdf

[25]

TITULO: Dynamic analysis by numerical integration

http://www.csiberkeley.com/Tech_Info/20.pdf

[26]

AUTOR: Klopfenstein, R.W.

TITULO: Numerical differentiation formulas for stiff systems of ordinary

differential equations.

PUBLICACIÓN: RCA Review. Año: 1971, Vol. 32, Pág. 447-462

7.3.1. LIBROS

[27]

AUTOR: Miranker, Willard L.

TITULO: Numerical methods for stiff equations and singular perturbation problems

ISBN: 90-277-1107-0

TEMA: Ecuaciones diferenciales - Soluciones numéricas

TEMA: Perturbación (Matemáticas)

TEMA: Ecuaciones diferenciales rígidas


Pag 99

http://www.duke.edu/~hpgavin/ce283/newmark.pdf

http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SISC/articles/27642.pdf

http://www.csiberkeley.com/Tech_Info/20.pdf



[28]

AUTOR: E. Hairer, G. Wanner

TITULO: Solving ordinary differential equations

NOTA: Contiene: I. Nonstiff problems -- II. Stiff and differential-algebraic

problems

ISBN: 3-540-56670-8 (v. 1)

ISBN: 3-540-60452-9 (v. 2)

TEMA: Ecuaciones diferenciales ordinarias - Soluciones numéricas

[29]

AUTOR: Richard L. Burden, J. Douglas Faires

TITULO: Análisis numérico

ISBN: 968-7529-46-6

TEMA: Análisis numérico

7.4. SUBSTRUCTURING

[30]

TITULO: Large scale eigenvalue problems

http://twist.lib.uiowa.edu/vibrations/Lect4-30.pdf

[31]

TITULO: 17.6 Substructuring Analysis

PUBLICACION: ANSYS Theory Reference. Release 5.6.

TEMA: Reducción de modelos dinámicos mediante el método de Guyan

[32]

AUTOR: C. T. Dyka, R.P. Ingel, L.D. Flippen

TITULO: A new approach to dynamic condensation for FEM

PUBLICACION: Computers & Structures, Vol. 61, Nº 4, pág. 763-773, 1996


Pag 100

http://twist.lib.uiowa.edu/vibrations/Lect4-30.pdf



[33]

AUTOR: H.G. Natke

TITULO: Condensation methods for the dynamic analysis of large models

PUBLICACION: Nuclear Engineering and Design 111 (1989) 265-271

[34]

AUTOR: Scott Gordon

TITULO: The Craig-Bampton Method

http://femci.gsfc.nasa.gov/presentations/CB-pres.pdf

[35]

AUTOR: M.I. Friswell

TITULO: Model reduction using dynamic and iterated IRS techniques

http://www.swan.ac.uk/mecheng/staff/mfriswell/PDF_Files/J22.pdf

7.5. VIBRACIONES

[36]

AUTOR: Jesús María Pintor Borobia

TITULO: Documentación de la asignatura: Elementos de máquinas y vibraciones

http://www.imem.unavarra.es/EMyV/download_page.php

7.6. LUMPED MODELS

[37]

AUTOR: S.A. Neild, P.D. McFadden, M.S. Williams

TITULO: A discrete model of a vibrating beam using a time-stepping approach

PUBLICACION: Journal of Sound and Vibration (2001) 239(1), 99-121


Pag 101

http://femci.gsfc.nasa.gov/presentations/CB-pres.pdf

http://www.swan.ac.uk/mecheng/staff/mfriswell/PDF_Files/J22.pdf

http://www.imem.unavarra.es/EMyV/download_page.php



[38]

AUTOR: S.L. Chen, M. Géradin

TITULO: An exact model reduction procedure for mechanical systems


(1997) 69-78


Pag 102



8. Anexo 1

8.1. Procedimiento para extraer matrices de masa y rigidez

de ANSYS

Este es el procedimiento que debe seguirse para poder extraer las matrices de masa

y rigidez de un modelo cualquiera de Ansys. Las matrices se escriben en un fichero de

texto en la forma en la que deben estar escritas para que Matlab pueda interpretarlas.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1 Crear el modelo de ANSYS y aplicarle las condiciones de contorno procedentes.

2 Ir a Solution/New Analysis-> Substructuring

3 Ir a Analysis Options:

.- Name: prueba (es absolutamente necesario que se llame así).

.- SEMATR: Stiffnes + Mass

.- OK.

4 Ir a Master DOF-> elegir los grados de libertad que se desee que sean Master. De esta

forma, se da la opción condensar grados de libertad que no se necesiten. Nunca

deberemos condensar los constituyan la frontera del cuerpo en nuestro modelo

dinámico.

.- Tener cuidado en la elección y comprobar que se han elegido los grados de liberta

deseados con la orden MLIST, (listado de Masters).

5 Correr el caso de carga. Current LS.

6 Guardar y cerrar la sesión de ANSYS.


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7 Copiar el programa Rdsubs1.exe al directorio en el que se haya desarrollado el modelo

de ANSYS.

8 Abrir una ventana de MS-DOS, e ir al directorio en el que se haya desarrollado el modelo

de ANSYS.

9 Escribir en la ventana de MS-DOS: rdsubs1.exe prueba.sub > lista.dat

10 En el fichero lista.dat (nombre opcional solo para este fichero), se tiene la información

de las matrices de masa y rigidez, así como la información de los grados de

libertad elegidos, y su criterio de indexación.

11 Copiar estas matrices a un fichero de Matlab (*.m ó *.mat) y utilizarlas desde allí.


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9. Anexo 2


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Documents

Índice: 1. Introducción 6 - imem.unavarra.es · Xabier Iriarte Goñi Proyecto Ingeniería Industrial Universidad Pública de Navarra 1. Introducción 1.1. Antecedentes del proyecto