Emmanuel Daro Acosta Daz NDICES DE MILLER Para poder identificar unvocamente un sistema de planos cristalogrficos se les asigna un juego de tres nmeros que reciben el nombre de ndices de Miller. Los ndices de un sistema de planos se indican genricamente con las letras (h k l) Los ndices de Miller son nmeros enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre s. El signo negativo de un ndice de Miller debe ser colocado sobre dicho nmero. Obtencin de los ndices de Miller Se determinan las intersecciones del plano con los ejes cristalogrficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parmetro de red sobre cada eje. Se consiguen los recprocos de las intersecciones. Se determinan los enteros primos entre s que cumplan con las mismas relaciones. Tienen que ser enteros Ejemplo Supongamos una red con parmetros de red: a b c Tenemos un plano que se interseca con los ejes x, y, z -estos ejes tambin se pueden designar con las letras a, b y c- en los puntos 1a 1/2b 2c respectivamente. Entonces realizamos el recproco de las intersecciones: 1a, 1/2b, 2c y de ahora en adelante trabajamos slo con los nmeros, es decir: 1, 1/2, 2. Determinamos los enteros primos entre s que cumplan las mismas relaciones: Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m. (mimimo comn mltiplo) es decir(1 1/2 2) = (2 1 4) (Ntese que cumplen con las caractersticas de los ndices de Miller: Enteros y primos entre s) Entonces los ndices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (2 1 4)

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PLANOS CRISTALOGRFICOS

En una red cristalina, un plano cristalogrfico es el que contiene diversos centros de tomos de la red. Puesto que la estructura cristalina se repite uniformemente en todas las direcciones, todos los planos paralelos que contengan la misma distribucin de tomos correspondern al mismo plano cristalogrfico. Una forma usual de identificar los planos cristalogrficos es mediante los ndices de Miller, que poseen la ventaja de poderse utilizar directamente en anlisis mediante rayos X. Para el caso de redes cbicas, la determinacin de los ndices de Miller se realiza, de acuerdo con la figura 3.36, con el siguiente proceso: 1. Se trazan los ejes de referencia cartesia-nos (x, y, z) coincidentes con los parmetros de una celdilla estructural. 2. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes de referencia cuantificadas en unidades del parmetro caracterstico. Ver figura 3.33, en cuyo ejemplo ser: ejes x y z Interseccin genrica x1 y1 z1 Interseccin ejemplo 2 3 1 3. Se determinan sus recprocas reducidas al mnimo comn denominador. Recproco genrico 1/x1 1/y1 1/z1 ejemplo 1/2 1/3 1/1. Recproco reducido h/x1 . h k/y1 . k l/z1 . l --3/6 2/6 6/6, de forma que: x1 .h = y1 .k = z1 .l. Estos nmeros son los ndices de Miller, es decir (h,k,l), y en el ejemplo es el (3, 2, 6). En definitiva, los ndices de Miller de un plano cristalogrfico son los menores nmeros enteros proporcionales a los recprocos de las intersecciones del plano a los ejes cristalogrficos, expresados en unidades del parmetro respective. As, el smbolo (h,k,l) representa la totalidad de los planos paralelos, familia de planos al de los ndices que hemos calculado. Si se desea indicar todos los planos cristalinos de un determinado tipo,

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prescindiendo de su orientacin, se expresan los ndices de Miller de cualquier plano de ellos encerrados en unas llaves, en la forma {h, k, l}. Este smbolo representa las familias de planos (h, k, l), (h, k, l), (h, k, l) y (h, k, l); donde h representa a -h. En la figura 3.37 se observan diversas familias de planos cristalogr-ficos denominadas por ndices de Miller.