Inecuaciones con Valor Absoluto

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo

2006-2007

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Objetivos de la Lección• Mostrar ejemplos de inecuaciones con

valor absoluto

• Conocer las propiedades para resolver inecuaciones con valor absoluto

• Demostrar el proceso para resolver inecuaciones con valor absoluto

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto• | 2x + 1| > -2• | 3x - 2 | ≤ 12• 4 | x + 5 | ≥ 8• | x - 8 | < 20 2• Observa que la variable está dentro del

valor absoluto en un lado de la inecuación y al otro lado hay una constante, o sea, un número.

• Observa que la expresión utiliza los símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤

Explorar cómo es la solución de Inecuaciones con Valor Absoluto

Explorar cómo sería la solución| x | < 2 ¿Qué valores de x harían cierta la

ecuación? x = 1, 0, -1, ¼, ½, ¾, -¼, -½, -¾, ... ¿Qué valores de x harían falsa la

ecuación? x = 3, 4, -3, -4, 2, -2, mayores que 2,

menores que -2 ¿Cuál sería la solución gráfica?

-3 -2 -1 0 1 2 3

Explorar cómo sería la solución

| x | > 2 ¿Qué valores de x harían cierta la

ecuación? x = 3, 4, -3, -4, … ¿Qué valores de x harían falsa la

ecuación? x = 1, 2, -1, -2, menores que 2,

mayores que -2 ¿Cuál sería la solución gráfica?

-3 -2 -1 0 1 2 3

Propiedades para resolver inecuaciones con valor absoluto

Propiedades• Propiedad de Menor que: Si | x | < a, y a es positivo, entonces: -a < x < a • Propiedad de Mayor que: Si | x | > a, y a es positivo, entonces: x < -a ó x > a Observa que para poder aplicar la propiedad

tienen que darse los dos supuestos:1. El valor absoluto tiene que estar despejado.2. El número a al otro lado de la desigualdad

tiene que ser positivo.

Resuelve:| x | + 5 < 8

| x | < 8 - 5

| x | < 3• Ahora se puede aplicar la propiedad y

tenemos que la solución es:

-3 < x < 3

¿Qué hacer si después de despejar se obtiene un número negativo?

• Habría que resolverlo por lógica (no por cómputos, ni aplicando la propiedad)

• Tendríamos que hacernos las siguientes preguntas: – ¿Cuándo es un valor absoluto menor que un

número negativo? NUNCA Esto significa que no tiene solución.– ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un

número negativo? SIEMPRE Esto significa que la solución es todos los

números Reales

Solución de inecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10

-10 ≤ x + 5 ≤ 10

-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5

- 15 ≤ x ≤ 5• La solución gráfica sería:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Ejercicio 2• Resuelve: | -3x + 6 | > 18

-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18

-3x < -24 -3x > 12

x > 8 x < -4• La solución gráfica sería:

-4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 3• Resuelve: | 2x | - 5 < 11

| 2x | < 16

- 16 < 2x < 16

- 8 < x < 8• La solución gráfica sería:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 4• Resuelve: | x - 3 | ≥ -2• Como el valor absoluto está despejado y al

otro lado hay un número negativo, nos preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un número negativo?

• Como la contestación es siempre, sabemos que la solución es: Todos los números Reales

• La solución gráfica sería sombrear toda la recta numérica.

Ejercicios de Práctica

Instrucciones• Copia en tu libreta los ejercicios que

aparecen en la próxima pantalla.

• Resuelve las inecuaciones y traza la gráfica de la solución.

• Después de hacer la tarea, recuerda que si tienes preguntas o dudas puedes comunicarte con la profesora o plantear las dudas en el foro que estará disponible para estos propósitos.

Resuelve y Traza la gráfica de la solución

• | x - 2 | ≥ 3• < 4

• | -2x + 2 | - 1 > 5• | x - 7 | ≤ 5

2• | -3x + 6 | + 8 > 1 • | 2x | + 5 < 3

2

35 x

Fin de la Lección