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INEGALITATI MATEMATICE provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
Editura Cartea VrรขnceanฤISBN 978-606-95212-2-9
2021
MIRELA PรRVU
MIRELA PรRVU
INEGALITฤศI MATEMATICE
provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
2021
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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MIRELA PรRVU INEGALITฤศI MATEMATICE: provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare ISBN 978-606-95212-2-9 EDITURA CARTEA VRรNCEANฤ Casa Corpului Didactic โSimion Mehedinศiโ Vrancea Str. Eroilor, nr.2, Focศani, Vrancea 2021 Tehnoredactare ศi corecturฤ: Mirela Pรฎrvu Coperte: Corina Simionescu ยฉ Mirela Pรฎrvu Toate drepturile rezervate
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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PREFAศฤ - Referat ศtiinศific
asupra cฤrลฃii intitulate INEGALITฤลขI MATEMATICE - provocฤri รฎn utilizarea programei scolare
autor: prof. (gr. I) Mirela Pรฎrvu
Lucrarea elaboratฤ de doamna profesoarฤ Mirela Pรฎrvu รฎลi propune sฤ ofere o bazฤ de cunoลtinลฃe necesarฤ
familiarizฤrii elevilor cu inegalitฤลฃile matematice. Cartea se adreseazฤ elevilor ลi profesorilor de matematicฤ din
รฎnvฤลฃฤmรขntul gimnazial ลi liceal ลi urmฤreลte programa ลcolarฤ dar ลi programa olimpiadelor ลcolare, putรขnd fi
utilizatฤ cu succes atรขt pentru pregฤtirea curentฤ a elevilor la clasฤ cรขt ลi รฎn cadrul cercurilor de excelenลฃฤ.
Volumul este structurat รฎn cinci capitole. Astfel, dupฤ un capitol introductiv intitulat โPrezenลฃa
inegalitฤลฃilor รฎn programele ลcolareโ, urmatoarele patru capitole trateazฤ fiecare cรขte un tip de inegalitฤลฃi:
โInegalitฤลฃi demonstrate prin inducลฃieโ, โInegalitฤลฃi geometriceโ, โInegalitฤลฃi exponenลฃiale ลi logaritmiceโ ลi
โInegalitฤลฃi cu numere complexeโ. Modul de abordare este clar ลi natural, pornind de la o scurtฤ prezentare a
principalelor noลฃiuni teoretice ลi continuรขndu-se cu demonstrarea riguroasฤ a unor inegalitฤลฃi clasice dar ลi mai
puลฃin cunoscute, รฎntre care se numฤrฤ ลi probleme date la Olimpiada Internaลฃionalฤ de Matematicฤ.
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Stilul de prezentare a lucrฤrii este clar, atractiv ลi riguros, bazรขndu-se pe noลฃiuni simple uลor de intuit.
รntreaga lucrare poartฤ amprenta experienลฃei didactice ลi profesionalismului autoarei ลi se adresezฤ nu numai
elevilor ลi profesorilor, dar ลi tuturor celor interesaลฃi de domeniul fascinant al inegalitฤลฃilor matematice.
รn concluzie, pe baza acestor argumente, recomand cu cฤldurฤ publicarea cฤrลฃii elaborate de doamna
profesoarฤ Mirela Pรฎrvu considerรขnd cฤ este o lucrare de referinลฃฤ รฎn domeniu, deosebit de utilฤ pentru
pregฤtirirea elevilor atรขt la nivel mediu cรขt ลi la nivelul olimpiadelor ลi concursurilor ลcolare.
2 aprilie 2021
Lector universitar dr. Marilena Jianu
Departamentul de Matematicฤ ลi Informaticฤ,
Universitatea Tehnicฤ de Construcลฃii Bucureลti
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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ARGUMENT
Scopul lucrฤrii de faศฤ este sฤ facฤ mai uศoarฤ trecerea de la litera manualului la cea a tratatului
ศtiinศific, sฤ รฎncurajeze elevii sฤ abordeze inegalitฤศile cรขt mai inovativ.
Programa ศcolarฤ este o parte a Curricumului naศional, termen care derivฤ din limba latinฤ ศi
รฎnseamnฤ drum cฤtre . Educaศia bazatฤ pe curriculum are ca element central la toate etajele sale activitatea de
proiectare.
Actualele programe ศcolare subliniazฤ rolul reglator al achiziศiilor elevilor รฎn plan formativ. Acestea
definesc รฎn termeni generali informaศiile necesare pentru formarea intelectualฤ, fฤrฤ a mai preciza timpul (unic)
necesar asimilฤrii fiecฤrei unitaศi de conศinut. Rฤmรขne la latitudinea fiecฤrui autor de manual alternativ ศi a
profesorului sฤ organizeze instruirea รฎn funcศie de obiectivele/competenศele ศi conศinuturile prevฤzute รฎn
programele ศcolare ศi de propriile opศiuni privind progresul , abordarea metodicฤ ศi interesele elevilor.
รn condiศiile noului curriculum, programa trebuie parcursฤ รฎn mod necesar de toศi, dar ea, ca ศi
manualele, se pliazฤ unei citiri personale si adaptate. Asupra conศinuturilor programei profesorul poate sฤ
intervinฤ prin regruparea lor sub temele unitฤศilor de รฎnvฤศare pe care le-a stabilit. Asupra unor unitฤศi sau
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elemente de conศinut din manual profesorul poate interveni รฎn diferite moduri โ adaptare, รฎnlocuire, omitere,
adฤugare - sau poate utiliza alte materiale -suport .
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Capitolul 1. Prezenศa inegalitฤศilor รฎn programele ศcolare
Sฤ urmฤrim acum modalitฤศile de familiarizare a elevilor de gimnaziu , dar
ศi de liceu cu inegalitฤศile.
La sfรขrศitul gimnaziului elevul va fi capabil : sฤ reprezinte numerele reale
pe axa numerelor, folosind aproximฤri sau construcศii geometrice, sฤ compare
numerele reale, sฤ stabileascฤ dacฤ un numฤr dat este sau nu soluศie a unei inecuaศii, sฤ
scrie mulศimea soluศiilor unei inecuaศii de tipul ๐๐ฅ + ๐ > 0 (<, โค, โฅ) , ๐ข๐๐๐ ๐, ๐ โ ๐ .
Nu este precizat nicฤieri รฎn programa de gimnaziu cฤ elevii trebuie sฤ
cunoascฤ inegalitatea mediilor. Numai cฤ e obligatoriu ca elevii sฤ ศtie sฤ calculeze
media aritmeticฤ, media aritmeticฤ ponderatฤ a douฤ sau mai multe numere precum ศi
media geometricฤ a douฤ numere pozitive. Coroborรขnd aceste noศiuni cu ceea ce elevii
ศtiu รฎn legaturฤ cu ordonarea numerelor, cรขt mai este panฤ la vestita inegalitate?
Cu totul altfel stau lucrurile dacฤ ne referim la programa olimpiadei de
matematicฤ (etapa judeศeanฤ sau naศionalฤ). รncฤ din clasa a VII-a elevii trebuie sฤ
cunoascฤ inegalitฤศi elementare, cum ar fi :
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๐2 + ๐2 โฅ 2๐๐ , ๐2 + ๐2 + ๐2 โฅ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ , โ๐, ๐, ๐ โ ๐ , ๐๐ก๐,
sฤ aplice inegalitatea mediilor, chiar รฎn cazul general, sฤ ศtie inegalitatea lui
Cauchy-Buniakowski-Schwartz .
Pe de altฤ parte, la geometrie, elevii de gimnaziu se familiarizeazฤ practic
cu inegalitฤศile triunghiului: nu pot construi un triunghi decรขt dacฤ fiecare laturฤ este
mai micฤ decรขt suma celorlalte douฤ, prin mฤsurare directฤ aflฤ cฤ รฎntr-un triunghi, la
unghiul mai mare se opune latura mai mare ศi reciproc sau cฤ รฎn orice triunghi ABC
are loc โ๐ โค ๐๐ โค ๐๐ .
Elevii din centrele de excelenศฤ au acces รฎnsฤ ศi la demonstraศiile
inegalitฤศilor de mai sus, precum ศi la problemele de minim ศi de maxim din
geometrie.
Cea mai largฤ paletฤ de inegalitฤศi: algebrice, geometrice ศi
trigonometrice se studiazฤ รฎn clasele IX-X. Inegalitฤศile clasice cum ar fi inegalitatea
mediilor, inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz, inegalitatea lui Minkovski,
precum ศi inegalitatea lui Cebรขศev, inegalitaea lui Bernoulli constituie puncte de
plecare รฎn deprinderea metodelor ศi tehnicilor de rezolvare a inegalitฤศilor รฎntรขlnite de
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elevi la olimpiade ศi concursuri. Nu trebuie minimalizat rolul inducศiei matematice รฎn
rezolvarea multor inegalitฤศi, mai ales รฎn trecerea acestora de la formele particulare la
cele generale.Totodatฤ mare parte din inegalitฤศile geometrice ศi cele trigonometrice se
pot aduce รฎn forme algebrice ศi reciproc cu ajutorul formulelor ce exprimฤ diverse
elemente ale triunghiului รฎn functie de laturile sale :
๐ =๐+๐+๐
๐ (semiperimetrul ); ๐บ = โ๐(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) (aria);
๐น =๐๐๐
๐๐บ (raza cercului circumscris ); ๐ =
๐บ
๐ (raza cercului รฎnscris) ,
๐ฌ๐ข๐ง๐จ
๐= โ
(๐โ๐)(๐โ๐)
๐๐ ; ๐๐จ๐ฌ
๐จ
๐= โ
๐(๐โ๐)
๐๐ , ๐๐ก๐.
Dacฤ รฎn clasa a IX-a formele numerelor reale au fost cele de nivel
gimnazial, ridicรขndu-se ศtacheta numai la modul de folosire al acestora, รฎn clasa a X-a
elevii fac cunoศtinศฤ cu puterile cu exponenศi reali, cu logaritmii, precum ศi cu
mulศimea numerelor complexe a cฤror imagine geometricฤ nu se mai gaseศte pe o
dreaptฤ ca in cazul numerelor reale, ci รฎn planul complex la care ne raportฤm prin
intermediul unui sistem de doua axe de coordonate.
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In clasele XI-XII , calculul diferenศial, respectiv integral face posibile
aproximฤri foarte fine ale numerelor iraศionale (cum ar fi ๐ , ๐ , ๐๐ก๐. ) prin numere
raศionale.Tot acum este posibilฤ studierea unor funcศii din punct de vedere cantitativ si
calitativ utilizรขnd diverse procedee: majorฤri, minorฤri pe un interval dat,
demonstrarea propritฤศilor algebrice ศi de ordine ale mulศimii numerelor reale รฎn
studiul calitativ local, aproximarea unor funcศii cu ajutorul altor funcศii mai simple,
cunoscute. Studiul monotoniei ศi al convexitฤศii devine unul la รฎndemรขna tuturor.
Inegalitatea lui Young, inegalitatea lui ๐ป๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐๐, dar ศi inegalitฤศile lui Jensen pot fi
demonstrate ศi utilizate de acum รฎn cadrul cercurilor de elevi.
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CAPITOLUL 2. Inegalitฤศi demonstrate prin inducศie
Raศionamentul inductiv este o metodฤ riscantฤ , dar frumoasฤ de a obtine
cunoศtinศe noi. Ne conduce pe baza unor situaศii particulare verificate la concluzii
generale, care pot รฎnsฤ sฤ nu fie adevฤrate. Prin corelare cu demonstraศii , ce pot sฤ
probeze valabilitatea rezultatului obศinut prin inducศie, metoda capฤtฤ valoare ศi este
numitฤ inducศie matematicฤ.
Iatฤ douฤ variante ale inducศiei matematice:
Fie ๐0 โ ๐ si propoziศia ๐(๐) , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ ๐0.
Varianta 1. Dacฤ
i) ๐(๐0) este adevaratฤ,
ii) Implicaศia ๐(๐) โ ๐(๐ + 1) este adevaratฤ pentru orice ๐ โ ๐ , ๐ โฅ ๐0
atunci ๐(๐) este adevaratฤ pentru orice ๐ โ ๐ , ๐ โฅ ๐0.
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Varianta 2. Dacฤ
i) ๐(๐0) este adevaratฤ,
ii) Implicaศia ๐(๐0), โฏ , ๐(๐ โ 1), ๐(๐) โ ๐(๐ + 1) este adevaratฤ pentru
orice ๐ โ ๐ , ๐ โฅ ๐0
atunci ๐(๐) este adevaratฤ pentru orice ๐ โ ๐ , ๐ โฅ ๐0.
Avem cรขteva inegฤlitฤศi mai puศin clasice care se demonstreazฤ cel mai nimerit
cu metoda inducศiei matematice, fฤrฤ sฤ mai fie nevoie de nimic altceva.
1.
๐
๐ + ๐+
๐
๐ + ๐+ โฏ +
๐
๐๐ + ๐> 1 , โ ๐ โ ๐, ๐ โฅ 1.
Soluศie. Fie ๐(๐):1
๐+1+
1
๐+2+ โฏ +
1
3๐+1> 1 , โ ๐ โ ๐, ๐ โฅ 1.
Pentru ๐ = 1 avem de verificat cฤ 1
2+
1
3+
1
4> 1
13
12> 1 (adevฤrat).
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Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ ศi demonstrฤm cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
๐(๐ + 1):1
๐ + 2+ โฏ +
1
3๐ + 1+
1
3๐ + 2+
1
3๐ + 3+
1
3๐ + 4> 1
Dar 1
๐+2+ โฏ +
1
3๐+1+
1
3๐+2+
1
3๐+3+
1
3๐+4=
1
๐+1+
1
๐+2+ โฏ +
1
3๐+1+
1
3๐+2+
1
3๐+3+
1
3๐+4โ
1
๐+1 .
Din ๐(๐) adevฤratฤ ศtim cฤ 1
๐+1+
1
๐+2+ โฏ +
1
3๐+1> 1 . Pentru a demonstra
cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ e suficient sฤ arฤtฤm cฤ:
1
3๐+2+
1
3๐+3+
1
3๐+4โ
1
๐+1> 0
2
3(๐+1)(3๐+2)(3๐+4)> 0 (adevฤrat).
Conform principiului inducศiei matematice, rezultฤ cฤ ๐(๐) este
adevฤratฤ, โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
2.
๐
๐โ
๐
๐โ
๐
๐โ โฏ โ
๐๐ โ ๐
๐๐โค
๐
โ๐๐ + ๐ , โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
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Soluศie. Fie ๐(๐):1
2โ
3
4โ
5
6โ โฏ โ
2๐โ1
2๐โค
1
โ3๐+1 , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Pentru ๐ = 1 avem de arฤtat cฤ 1
2โค
1
2 , inegalitate care se verificฤ cu egal, ceea
ce รฎnseamnฤ cฤ ๐(1) este adevaratฤ.
Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ ศi demonstrฤm cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
๐(๐ + 1): 1
2โ
3
4โ
5
6โ โฏ โ
2๐ โ 1
2๐โ
2๐ + 1
2๐ + 2โค
1
โ3๐ + 4
Din ๐(๐) adevฤratฤ ศtim cฤ:
1
2โ
3
4โ
5
6โ โฏ โ
2๐โ1
2๐โค
1
โ3๐+1
1
2โ
3
4โ
5
6โ โฏ โ
2๐โ1
2๐โ
2๐+1
2๐+2โค
1
โ3๐+1โ
2๐+1
2๐+2 .
Pentru a demonstra cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ e suficient sฤ arฤtฤm cฤ
1
โ3๐+1โ
2๐+1
2๐+2โค
1
โ3๐+4
โ3๐+4
โ3๐+1โค
2๐+2
2๐+1 3๐+4
3๐+1โค
4๐2+8๐+4
4๐2+4๐+1
12๐3 + 28๐2 + 19๐ + 4 โค 12๐3 + 28๐2 + 20๐ + 40 โค ๐ (adevฤrat).
Conform principiului inducศiei matematice, rezultฤ cฤ ๐(๐) este
adevฤratฤ, โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
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3. โ๐ + โ๐ + โ๐ + โฏ + โ๐ < 2 , unde numฤrul radicalilor este ๐ โ
๐ , ๐ โฅ 1.
Soluศie. Notฤm ๐ฅ๐ = โ2 + โ2 + โ2 + โฏ + โ2 , unde numฤrul radicalilor este
๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Oservam cฤ are loc relaศia de recurenศฤ ๐ฅ๐+1 = โ2 + ๐ฅ๐ , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Fie ๐(๐): ๐ฅ๐ < 2 , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Pentru ๐ = 1 avem de arฤtat cฤ ๐ฅ1 = โ2 < 2 (adevฤrat).
Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ ศi demonstrฤm cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
Din ๐ฅ๐ < 2 2 + ๐ฅ๐ < 4 ๐ฅ๐+1 = โ2 + ๐ฅ๐ < 2 , ceea ce trebuia
demonstrat.
Conform principiului inductiei matematice, rezultฤ cฤ ๐(๐) este adevaratฤ,
โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1
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4. โ๐ โ โ๐ โ โฏ โ โ๐ < 3 , โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2.
Soluศie. Pentru ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2, fixat , notam ๐ฅ๐ = โ๐ โ โ(๐ + 1) โ โฏ โ โ๐ ,
unde ๐ โค ๐ .
Avem de arฤtat cฤ ๐ฅ2 < 3 .
Demonstrฤm cฤ ๐ฅ๐ < ๐ + 1 ,โ๐ โ {2,3, โฏ , ๐}, mergรขnd inductiv รฎnapoi.
Pentru ๐ = ๐ avem de verificat cฤ โ๐ < ๐ + 1 (adevฤrat).
Presupunem ๐ < ๐ ศi ๐ฅ๐+1 < ๐ + 2 ศi demonstrฤm cฤ ๐ฅ๐ < ๐ + 1 .
รntr-adevฤr ๐ฅ๐ = โ๐ โ ๐ฅ๐+1 < โ๐(๐ + 2) < ๐ + 1, ceea ce trebuia demonstrat.
5. (๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐) โฏ (๐ โ ๐๐) > 1 โ ๐๐ โ ๐๐ โ โฏ โ ๐๐ ,
โ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐ โ (0; 1) , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2.
Soluศie. Fie ๐(๐): (1 โ ๐1)(1 โ ๐2) โฏ (1 โ ๐๐) > 1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐ ,
โ ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐ โ (0; 1) , ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2.
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Pentru ๐ = 2 avem de arฤtat cฤ:
(1 โ ๐1)(1 โ ๐2) > 1 โ ๐1 โ ๐2๐1๐2 > 0 (adevฤrat).
Demonstrฤm cฤ ๐(๐)๐(๐ + 1) .
๐(๐ + 1): (1 โ ๐1)(1 โ ๐2) โฏ (1 โ ๐๐+1) > 1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐+1 ,
โ ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐+1 โ (0; 1) .
Fie ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐+1 โ (0; 1).
Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ , adicฤ
(1 โ ๐1)(1 โ ๐2) โฏ (1 โ ๐๐) > 1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐ , รฎnmulศim ambii
membri ai inegalitฤศii cu 1 โ ๐๐+1 > 0 , obศinem
(1 โ ๐1)(1 โ ๐2) โฏ (1 โ ๐๐+1) > (1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐)(1 โ ๐๐+1) =
= 1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐ โ ๐๐+1 + ๐๐+1(๐1 + ๐2 + โฏ + ๐๐)
> 1 โ ๐1 โ ๐2 โ โฏ โ ๐๐+1,
deoarece ๐๐+1(๐1 + ๐2 + โฏ + ๐๐) > 0 ศi astfel rezultฤ cฤ ๐(๐ + 1) este
adevฤratฤ. Deci ๐(๐) este adevฤratฤ, โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2.
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6.
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐) โฏ (๐ + ๐๐)
๐โฅ
(๐๐ + ๐๐)(๐๐ + ๐๐) โฏ (๐๐ + ๐๐)
๐๐๐๐ โฏ ๐๐ + ๐๐๐๐ โฏ ๐๐
โ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐ , ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐ โฅ 1 ๐๐ข ๐ฅ๐ โฅ ๐๐ , ๐ โ {1,2, โฏ , ๐}, ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Soluศie.
Fie ๐(๐): (1+๐1)(1+๐2)โฏ(1+๐๐)
2โฅ
(๐1+๐ฅ1)(๐2+๐ฅ2)โฏ(๐๐+๐ฅ๐)
๐1๐2โฏ๐๐+๐ฅ1๐ฅ2โฏ๐ฅ๐
โ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐ , ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐ โฅ 1 ๐๐ข ๐ฅ๐ โฅ ๐๐ , ๐ โ {1,2, โฏ , ๐}, ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Pentru ๐ = 1 avem de arฤtat cฤ (1+๐1)
2โฅ
(๐1+๐ฅ1)
๐1+๐ฅ1๐1 โฅ 1(adevฤrat)
Demonstrฤm cฤ ๐(๐)๐(๐ + 1) .
๐(๐ + 1):(1 + ๐1)(1 + ๐2) โฏ (1 + ๐๐+1)
2โฅ
(๐1 + ๐ฅ1)(๐2 + ๐ฅ2) โฏ (๐๐+1 + ๐ฅ๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐+1 + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐+1
โ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐+1, ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐+1 โฅ 1 ๐๐ข ๐ฅ๐ โฅ ๐๐ , ๐ โ {1,2, โฏ , ๐ + 1} .
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Fie ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐+1, ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐+1 โฅ 1 ๐๐ข ๐ฅ๐ โฅ ๐๐ , ๐ โ {1,2, โฏ , ๐ + 1} .
Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ , adicฤ
(1+๐1)(1+๐2)โฏ(1+๐๐)
2โฅ
(๐1+๐ฅ1)(๐2+๐ฅ2)โฏ(๐๐+๐ฅ๐)
๐1๐2โฏ๐๐+๐ฅ1๐ฅ2โฏ๐ฅ๐ , รฎnmulศim ambii membri ai
inegalitฤศii cu 1 + ๐๐+1 > 0, obศinem
(1 + ๐1)(1 + ๐2) โฏ (1 + ๐๐+1)
2โฅ
(๐1 + ๐ฅ1)(๐2 + ๐ฅ2) โฏ (๐๐ + ๐ฅ๐)(1 + ๐๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐ + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐ (1)
Este suficient sฤ demonstrฤm cฤ
(2) (๐1 + ๐ฅ1)(๐2 + ๐ฅ2) โฏ (๐๐ + ๐ฅ๐)(1 + ๐๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐ + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐
โฅ(๐1 + ๐ฅ1)(๐2 + ๐ฅ2) โฏ (๐๐ + ๐ฅ๐)(๐๐+1 + ๐ฅ๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐๐๐+1 + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐๐ฅ๐+1
Care este echivalentฤ, dupฤ รฎmpฤrศirea prin
(๐1 + ๐ฅ1)(๐2 + ๐ฅ2) โฏ (๐๐ + ๐ฅ๐) > 0, cu inegalitatea
(1 + ๐๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐ + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐โฅ
(๐๐+1 + ๐ฅ๐+1)
๐1๐2 โฏ ๐๐+1 + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐+1
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๐๐+1(๐1๐2 โฏ ๐๐๐๐+1 + ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐๐ฅ๐+1) โฅ ๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐๐๐+1 + ๐1๐2 โฏ ๐๐๐ฅ๐+1
๐1๐2 โฏ ๐๐(๐๐+12 โ 1) + (๐ฅ๐+1 โ 1)(๐ฅ1๐ฅ2 โฏ ๐ฅ๐๐๐+1 โ ๐1๐2 โฏ ๐๐) โฅ 0
(adevฤrat).
Din (1) si (2) , rezulta cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
Deci ๐(๐) este adevฤratฤ, โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
7. (๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐)๐ โค ๐๐๐ + ๐๐
๐ + โฏ + ๐๐๐ ,
โ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ1 < ๐ฅ2 < โฏ < ๐ฅ๐, ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Soluศie. Fie ๐(๐): (๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐)2 โค ๐ฅ13 + ๐ฅ2
3 + โฏ + ๐ฅ๐3 ,
โ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐ โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ1 < ๐ฅ2 < โฏ < ๐ฅ๐, ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
Pentru ๐ = 1 avem de arฤtat cฤ ๐ฅ12 โค ๐ฅ1
3 , โ๐ฅ1 โ ๐ (adevฤrat).
Presupunem cฤ ๐(๐) este adevฤratฤ ศi demonstrฤm cฤ ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
๐(๐ + 1): (๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐ + ๐ฅ๐+1)2 โค ๐ฅ13 + ๐ฅ2
3 + โฏ + ๐ฅ๐3 + ๐ฅ๐+1
3 ,
โ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐+1 โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ1 < ๐ฅ2 < โฏ < ๐ฅ๐+1.
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21
Fie ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฏ , ๐ฅ๐+1 โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ1 < ๐ฅ2 < โฏ < ๐ฅ๐+1.
Avem (๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐ + ๐ฅ๐+1)2 =
= (๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐)2 + ๐ฅ๐+12 + 2๐ฅ๐+1(๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐) โค
โค ๐ฅ13 + ๐ฅ2
3 + โฏ + ๐ฅ๐3 + ๐ฅ๐+1
2 + 2๐ฅ๐+1(๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐) ,
din ๐(๐) adevaratฤ.
Este suficient sฤ demonstrฤm cฤ ๐ฅ๐+12 + 2๐ฅ๐+1(๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐) โค ๐ฅ๐+1
3 (โ).
Cum ๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐ โค 1 + 2 + โฏ + ๐ฅ๐ =๐ฅ๐(๐ฅ๐โ1)
2โค
๐ฅ๐+1(๐ฅ๐+1โ1)
2
2(๐ฅ1 + ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐) โค ๐ฅ๐+12 โ ๐ฅ๐+1 , de unde prin รฎnmulศire cu ๐ฅ๐+1 โ ๐
obศinem (โ) ศi astfel ๐(๐ + 1) este adevฤratฤ.
Conform principiului inducศiei matematice, rezulta cฤ ๐(๐) este
adevฤratฤ, โ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 1.
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CAPITOLUL 3. Inegalitฤศi geometrice
Sฤ รฎncepem cu inegalitฤศi pentru laturile ๐, ๐, ๐ > 0 ale unui triunghi. รn
demonstrarea unor astfel de inegalitฤศi vom folosi mai mereu inegalitatea
triunghiului, care apare รฎn patru forme echivalente:
(๐) ๐ + ๐ > ๐ ; ๐ + ๐ > ๐ ; ๐ + ๐ > ๐ .
(๐๐) ๐ > |๐ โ ๐| ; ๐ > |๐ โ ๐| ; ๐ > |๐ โ ๐| .
(๐๐๐) (๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐) > 0 .
(๐๐ฝ) โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐๐รข๐ก ๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ .
Demonstraศie. Pentru (๐) (๐๐) si (๐) (๐๐๐) demonstraศiile sunt imediate.
(๐)(๐๐) Dacฤ ๐ =๐+๐+๐
2 este semiperimetrul triunghiului cu laturile
๐, ๐, ๐ > 0 , atunci se verificฤ uศor cฤ ๐ = 2๐ โ (๐ + ๐) , ๐ = 2๐ โ (๐ + ๐) ศ๐
๐ = 2๐ โ (๐ + ๐) .
Notฤm ๐ฅ = ๐ โ ๐ > 0, ๐ฆ = ๐ โ ๐ > 0 ศ๐ ๐ง = ๐ โ ๐ > 0
๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ , ceea ce trebuia demonstrat.
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23
(๐๐)(๐) Din ๐ = ๐ฆ + ๐ง > 0 ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ > 0 ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ > 0 rezultฤ cฤ
๐ + ๐ โ ๐ = 2๐ง > 0 , ๐ + ๐ โ ๐ = 2๐ฅ > 0 ศ๐ ๐ + ๐ โ ๐ = 2๐ฆ > 0 .
Sฤ trecem รฎn revistฤ cateva formule importante de geometria triunghiului
ศi formele lor datorate lui (๐๐):
๐ =๐+๐+๐
๐= ๐ + ๐ + ๐ (semiperimetrul );
๐บ = โ๐(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) = โ(๐ + ๐ + ๐)๐๐๐ (aria );
๐น =๐๐๐
๐๐บ=
(๐+๐)(๐+๐)(๐+๐)
๐โ(๐+๐+๐)๐๐๐ (raza cercului circumscris );
๐ =๐บ
๐= โ
๐๐๐
๐+๐+๐ (raza cercului inscris).
Nu trebuie sฤ uitฤm nici urmatoarele doua teoreme:
Teorema sinusurilor. รn orice triunghi ABC are loc
๐
๐๐๐๐จ=
๐
๐๐๐๐ฉ=
๐
๐๐๐๐ช= ๐๐น .
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24
Teorema cosinusului. รn orice triunghi ABC are loc
๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐จ .
Aplicaศii
1. (A.Padoa) Dacฤ ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci
๐๐๐ โฅ (๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐) .
Avem egalitate dacฤ ศi numai dacฤ triunghiul este echilateral, adicฤ ๐ = ๐ = ๐.
Demonstraศie. Cum ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi,
conform (๐๐),
โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 ๐๐ ๐ก๐๐๐ รฎ๐๐รข๐ก ๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ ศi inegalitatea
devine
(๐ฆ + ๐ง)(๐ง + ๐ฅ)(๐ฅ + ๐ฆ) โฅ 8๐ฅ๐ฆ๐ง , pentru ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 .
Dar, din inegalitatea mediilor, pentru ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 avem
๐ฆ+๐ง
2โฅ โ๐ฆ๐ง ;
๐ง+๐ฅ
2โฅ โ๐ง๐ฅ ;
๐ฅ+๐ฆ
2โฅ โ๐ฅ๐ฆ ศi inmulศindu-le obศinem ceea ce trebuia
demonstrat.
Avem egalitate dacฤ ศi numai dacฤ ๐ฅ = ๐ฆ = ๐ง๐ = ๐ = ๐.
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25
2. ( Chapple 1746 , Euler 1765)
รn orice triunghi ABC are loc ๐น โฅ ๐๐ .
Avem egalitate dacฤ ศi numai daca triunghiul este echilateral.
Demonstraศie.
Metoda I. Aplicam inegalitatea lui A.Padoa.
๐ โฅ 2๐ ๐๐๐
4๐ โฅ
2๐
๐๐๐๐ โฅ
8๐2
๐๐๐๐ โฅ 8(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)
๐๐๐ โฅ (๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐) , adevฤrat.
Metoda a II- a. Folosim urmฤtoarea identitate :
๐(๐2 + ๐2 โ ๐2) + ๐(๐2 + ๐2 โ ๐2) + ๐(๐2 + ๐2 โ ๐2) =
= 2๐๐๐ + (๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)
Din aceasta ศi teorema cosinusului, รฎmpฤrศind prin 2๐๐๐ , obศinem
๐๐๐๐จ + ๐๐๐๐ฉ + ๐๐๐๐ช = ๐ +๐
๐น .
Vom arata cฤ ๐๐๐ ๐ด + ๐๐๐ ๐ต + ๐๐๐ ๐ถ โค3
2 , ceea ce implicฤ ๐ โฅ 2๐ .
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26
รntr-adevฤr,
๐ด + ๐ต + ๐ถ = ๐ โ cos ๐ถ = โ cos(๐ด + ๐ต) = โcos ๐ด cos ๐ต + sin ๐ด sin ๐ต โ
โ 3 โ 2(๐๐๐ ๐ด + ๐๐๐ ๐ต + ๐๐๐ ๐ถ)
= 3 โ 2๐๐๐ ๐ด โ 2๐๐๐ ๐ต + 2 cos ๐ด cos ๐ต โ 2 sin ๐ด sin ๐ต =
= (๐๐๐ ๐ด + ๐๐๐ ๐ต โ 1)2 + (๐ ๐๐๐ด โ ๐ ๐๐๐ต)2 โฅ 0 .
Altfel, putem folosi identitatea de mai sus ศi inegalitatea lui A.Padoa pentru a
obศine
๐(๐๐ + ๐๐ โ ๐๐) + ๐(๐๐ + ๐๐ โ ๐๐) + ๐(๐๐ + ๐๐ โ ๐๐) โค ๐๐๐๐ , valabilฤ
pentru laturile ๐, ๐, ๐ > 0 ale unui triunghi.
Mai departe, รฎmpฤrศind prin 2๐๐๐, rezultฤ ceea ce trebuia demonstrat.
Observatie. รn cele de mai sus am ajuns la trei inegalitฤศi echivalente, prima
geometricฤ, a doua algebricฤ ศi ultima trigonometricฤ:
๐น โฅ ๐๐๐๐๐ โฅ (๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)(๐ + ๐ โ ๐)
๐๐๐๐จ + ๐๐๐๐ฉ + ๐๐๐๐ช โค๐
๐ .
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3. ( Inegalitatea lui Mitrinovic)
รn orice triunghi ABC are loc ๐โ๐๐ โค ๐ โค๐โ๐
๐๐น .
Avem egalitฤศi dacฤ ศi numai dacฤ triunghiul este echilateral.
Demonstraศie. Prin ridicare la pฤtrat, prima inegalitate devine
27๐2 โค ๐227๐2
๐2โค ๐227(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) โค ๐3 (โ)
Din inegalitatea mediilor, avem
โ(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐)3
โค(๐ โ ๐) + (๐ โ ๐) + (๐ โ ๐)
3=
๐
3 ,
de unde, prin ridicare la cub , obศinem (โ) ศi prima inegalitate este astfel
demonstratฤ.
Pentru a demonstra a doua inegalitate aplicฤm teorema sinusurilor .
๐ โค3โ3
2๐
๐
2๐ +
๐
2๐ +
๐
2๐ โค
3โ3
2 ๐ ๐๐๐ด + ๐ ๐๐๐ต + ๐ ๐๐๐ถ โค
3โ3
2
๐ ๐๐๐ด + ๐ ๐๐๐ต + ๐ ๐๐๐ถ
3โค sin (
๐ด + ๐ต + ๐ถ
3) = sin
๐
3=
โ3
2 .
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28
Ultima inegalitate este adevฤratฤ, fiind justificatฤ de concavitatea functiei ๐ ๐๐
pe intervalul (0; ๐) .
Observฤm cฤ din inegalitatea lui Mitrinovic (3โ3๐ โค ๐ โค3โ3
2๐ ) rezultฤ
inegalitatea lui Euler (๐ โฅ 2๐).
Iatฤ acum o inegalitate รฎntre ceviene remarcabile รฎntr-un triunghi din care putem
obศine din nou inegalitatea lui Euler.
4. ( L.Panaitopol , Gazeta Matematicฤ,1983)
รn orice triunghi ABC are loc
(๐ท) ๐๐ โ ๐๐ โค ๐น โ ๐๐ ,
unde ๐๐ si โ๐ sunt lungimile bisectoarei ศi รฎnฤlศimii din ๐ด, iar ๐ ศi ๐ sunt razele
cercurilor circumscris ศi รฎnscris.
Soluศie. Fiind o inegalitate โliniarฤโ, este grea ศi trebuie sฤ fi dat multa bฤtaie de
cap rezolvitorilor Gazetei Matematice de atunci (cu siguranta ศi celor de acum). Ca รฎn
multe alte situaศii, รฎntarirea inegalitฤศii poate sฤ sugereze o cale de atac mai comodฤ.
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29
Cum ๐๐ โค โ๐(๐ โ ๐) ( majorare de โclasaโ ) , ne propunem sฤ studiem
valabilitatea inegalitฤศii รฎntฤrite
(๐โฒ) โ๐(๐ โ ๐) โ โ๐ โค ๐ โ 2๐ .
Avem โ๐(๐ โ ๐) โ โ๐ = โ๐๐ cos๐ด
2โ
๐๐
2๐ โค (๐ ๐๐๐ 2 ๐ด
2+
๐๐
4๐ ) โ
๐๐
2๐ =
= ๐ (๐ ๐๐2๐ต + ๐ถ
2โ sin ๐ต๐ ๐๐ ๐ถ) = ๐ ๐ ๐๐2
๐ต โ ๐ถ
2 .
Am demonstrat cฤ are loc
(๐โฒโฒ) โ๐(๐ โ ๐) โ โ๐ โค ๐ ๐ ๐๐2๐ต โ ๐ถ
2 ,
cu egalitate doar dacฤ ๐ ๐๐๐ 2 ๐ด
2=
๐๐
4๐ cos(๐ต โ ๐ถ) = 1 ๐ต = ๐ถ
(triunghiul ABC este isoscel de bazฤ [๐ต๐ถ] ).
รncheiem metoda intercalฤrii demonstrรขnd inegalitatea
(๐โฒโฒโฒ) ๐ ๐ ๐๐2๐ต โ ๐ถ
2โค ๐ โ 2๐ .
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
30
Dacฤ ๐ ศi ๐ผ sunt centrele cercurilor circumscris ศi รฎnscris, iar ๐ este proiecศia lui
๐ pe bisectoarea interioarฤ a unghiului ๐ต๐ด๐ถ , inegalitatea de mai sus este echivalentฤ
cu ๐๐2 โค ๐๐ผ2 , adicฤ
๐๐ โค ๐๐ผ ( adevฤrat ).
Avem egalitate รฎn (๐โฒโฒโฒ) dacฤ 2๐ = ๐ + ๐ .
Urmฤtoarea inegalitate a fost propusฤ de Klamkin ศi a fost atribuitฤ iniศial lui
E.Catalan.
5. ( OIM 1983)
๐๐๐(๐ โ ๐) + ๐๐๐(๐ โ ๐) + ๐๐๐(๐ โ ๐) โฅ ๐ ,
โ ๐, ๐, ๐ > 0 lungimile laturilor unui triunghi.
Soluศie. Cum ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi , conform (๐๐),
โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 ๐๐ ๐ก๐๐๐ รฎ๐๐รข๐ก ๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ ศi inegalitatea
de demonstrat devine
๐ฅ3๐ง + ๐ฆ3๐ฅ + ๐ง3๐ฆ โฅ ๐ฅ2๐ฆ๐ง + ๐ฅ๐ฆ2๐ง + ๐ฅ๐ฆ๐ง2 , pentru ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 .
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31
รmparศim prin ๐ฅ๐ฆ๐ง > 0 ศi obศinem
๐ฅ2
๐ฆ+
๐ฆ2
๐ง+
๐ง2
๐ฅโฅ ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง โบ (๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง) (
๐ฅ2
๐ฆ+
๐ฆ2
๐ง+
๐ง2
๐ฅ) โฅ (๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง)2 (โ) .
Ultima inegalitate este justificatฤ de CBS :
(๐12 + ๐2
2 + ๐32)(๐1
2 + ๐22 + ๐3
2) โฅ (๐1๐1 + ๐2๐2 + ๐3๐3)2 , โ๐๐, ๐๐ โ ๐ , ๐ โ {1,2,3} ,
Cu substituศiile โ๐ฅ = ๐1 , โ๐ฆ = ๐2, โ๐ง = ๐3 ,๐ง
โ๐ฅ= ๐1 ,
๐ฅ
โ๐ฆ= ๐2,
๐ฆ
โ๐ง= ๐3 ศ๐
๐1๐1 = ๐ง , ๐2๐2 = ๐ฅ , ๐3๐3 = ๐ฆ .
6. (Inegalitatea lui ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ )
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โฅ ๐โ๐๐บ ,
โ ๐, ๐, ๐ > 0 lungimile laturilor unui triunghi cu aria ๐บ .
Soluศie. Cum ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi , conform (๐๐),
โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 ๐๐ ๐ก๐๐๐ รฎ๐รข๐๐ก ๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ ศi inegalitatea
de demonstrat devine
(๐ฆ + ๐ง)2 + (๐ง + ๐ฅ)2 + (๐ฅ + ๐ฆ)2 โฅ 4โ3 โ โ(๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง)๐ฅ๐ฆ๐ง โบ
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โบ [(๐ฆ + ๐ง)2 + (๐ง + ๐ฅ)2 + (๐ฅ + ๐ฆ)2]2 โฅ 48๐ฅ๐ฆ๐ง(๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง)
Aplicฤm succesiv inegalitatea mediilor ศi inegalitatea
(๐ผ + ๐ฝ + ๐พ)2 โฅ 3(๐ผ๐ฝ + ๐ฝ๐พ + ๐พ๐ผ) , โ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ โ ๐ :
[(๐ฆ + ๐ง)2 + (๐ง + ๐ฅ)2 + (๐ฅ + ๐ฆ)2]2 โฅ 16(๐ฆ๐ง + ๐ง๐ฅ + ๐ฅ๐ฆ)2
โฅ 16 โ 3(๐ฆ๐ง โ ๐ง๐ฅ + ๐ง๐ฅ โ ๐ฅ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ โ ๐ฆ๐ง) =
= 48๐ฅ๐ฆ๐ง(๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง).
O inegalitate mai finฤ decรขt cea de mai sus dar care se demonstreazฤ la fel de
uศor este inegalitatea Hadwiger-Finsler:
7. ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โฅ ๐โ๐๐บ + (๐ โ ๐)๐ + (๐ โ ๐)๐ + (๐ โ ๐)๐ ,
โ ๐, ๐, ๐ > 0 lungimile laturilor unui triunghi cu aria ๐บ .
8. (G.Polya si G.Szego)
๐๐๐ โฅ (๐๐บ
โ๐)
๐
๐ , โ ๐, ๐, ๐ > 0 lungimile laturilor unui triunghi cu aria ๐บ .
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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Soluศie. Inegalitatea de demonstrat se scrie , echivalent
3โ๐2๐2๐23โฅ 4โ3๐ .
Folosim inegalitatea Hadwiger-Finsler
2(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) โ ( ๐2 + ๐2 + ๐2) โฅ 4โ3๐
ศi rฤmรขne sฤ demonstrฤm cฤ are loc
3โ๐2๐2๐23โฅ 2(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) โ ( ๐2 + ๐2 + ๐2) (โ) .
Aplicฤm inegalitatea Schur
๐ฅ๐(๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ โ ๐ง) + ๐ฆ๐(๐ฆ โ ๐ฅ)(๐ฆ โ ๐ง) + ๐ง๐(๐ง โ ๐ฅ)(๐ง โ ๐ฆ) โฅ 0 ,
โ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โฅ 0 , ๐ > 0 .
Pentru ๐ = 1 are loc:
๐ฅ3 + ๐ฆ3 + ๐ง3 + 3๐ฅ๐ฆ๐ง โฅ ๐ฅ๐ฆ(๐ฅ + ๐ฆ) + ๐ฆ๐ง(๐ฆ + ๐ง) + ๐ง๐ฅ(๐ง + ๐ฅ) , โ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โฅ 0 .
Pentru ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โฅ 0 , din inegalitatea mediilor, avem ๐ฅ + ๐ฆ โฅ 2โ๐ฅ๐ฆ, โฏ ceea ce
demonstreazฤ cฤ :
๐ฅ3 + ๐ฆ3 + ๐ง3 + 3๐ฅ๐ฆ๐ง โฅ 2(๐ฅ๐ฆโ๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ๐งโ๐ฆ๐ง + ๐ง๐ฅโ๐ง๐ฅ) (โโ) .
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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รn (โโ) luฤm ๐ฅ = โ๐23 , ๐ฆ = โ๐23
, ๐ง = โ๐23 ศi obศinem (โ)
9. ๐
โ๐๐๐+๐๐๐โ๐๐+
๐
โ๐๐๐+๐๐๐โ๐๐+
๐
โ๐๐๐+๐๐๐โ๐๐โฅ โ๐ ,
โ ๐, ๐, ๐ > 0 lungimile laturilor unui triunghi.
Soluศia I. Cum ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi , conform (๐๐),
โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 ๐๐ ๐ก๐๐๐ รฎ๐๐รข๐ก ๐ = ๐ฆ + ๐ง ; ๐ = ๐ง + ๐ฅ ; ๐ = ๐ฅ + ๐ฆ ศi inegalitatea
de demonstrat devine
โ๐ฆ + ๐ง
โ2(๐ง + ๐ฅ)2 + 2(๐ฅ + ๐ฆ)2 โ (๐ฆ + ๐ง)2๐๐ฆ๐
โฅ โ3 ,
imposibil de demonstrat elementar.
Soluศia a II-a. (Darij Grinberg)
Dacฤ ๐, ๐, ๐ > 0 sunt lungimile laturilor unui triunghi ABC , ale cฤrui mediane
sunt
๐๐ =1
2โ2๐2 + 2๐2 โ ๐2 , โฏ
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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inegalitatea de demonstrat devine
๐
๐๐+
๐
๐๐+
๐
๐๐โฅ 2โ3 .
Considerฤm un nou triunghi MNP cu laturile ๐๐ , ๐๐ , ๐๐ . รn acest triunghi
medianele au lungimile 3๐
4,
3๐
4 ศ๐
3๐
4 .
Inegalitatea din enunt se scrie pentru triunghiul MNP astfel
43 ๐๐
๐+
43 ๐๐
๐+
43 ๐๐
๐โฅ 2โ3 โบ
23 ๐๐
๐+
23 ๐๐
๐+
23 ๐๐
๐โฅ โ3 .
Revenim รฎn triunghiul iniศial ABC cu G centrul de greutate . Avem
๐บ๐ด =2
3๐๐ , ๐บ๐ต =
2
3๐๐ , ๐บ๐ถ =
2
3๐๐
ศi urmฤtoarea inegalitate de demonstrat
๐บ๐ด
๐+
๐บ๐ต
๐+
๐บ๐ถ
๐โฅ โ3 .
Ultima inegalitate se verificฤ รฎntr-un cadru mult mai larg:
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
36
๐๐ด
๐+
๐๐ต
๐+
๐๐ถ
๐โฅ โ3 , โ ๐ โ ๐ผ๐๐ก[๐ด๐ต๐ถ] .
10. (OIM 1991)
Dacฤ รฎntr-un triunghi ๐ด๐ต๐ถ, bisectoarele ๐ด๐ท, ๐ต๐ธ, ๐ถ๐น se intersecteazฤ รฎntr-un
punct ๐ฐ , atunci
๐ฐ๐จ
๐จ๐ซโ
๐ฐ๐ฉ
๐ฉ๐ฌโ
๐ฐ๐ช
๐ช๐ญโค
๐
๐๐ .
Soluศie.
Folosim teorema bisectoarei.
Bisectoarea unui triunghi รฎmparte latura opusa รฎntr-un raport egal cu raportul
celorlalte douฤ laturi.
Notฤm ๐ต๐ถ = ๐ , ๐ถ๐ด = ๐ , ๐ด๐ต = ๐ si ๐ท๐ต = ๐ฅ , ๐ท๐ถ = ๐ฆ .
Din [๐ด๐ท] bisectoare รฎn triunghiul ๐ด๐ต๐ถ avem ๐ฅ
๐ฆ=
๐
๐ โ
๐ฅ+๐ฆ
๐ฆ=
๐+๐
๐ ศi cum
๐ฅ + ๐ฆ = ๐ โ ๐ฆ =๐๐
๐+๐ .
MIRELA PรRVU, INEGALITฤศI MATEMATICE, provocฤri รฎn utilizarea programei ศcolare
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Din [๐ถ๐ผ] bisectoare รฎn triunghiul ๐ด๐ท๐ถ avem ๐ผ๐ด
๐ผ๐ท=
๐
๐ฆ โ
๐ผ๐ด
๐ผ๐ด+๐ผ๐ท=
๐
๐+๐ฆ ศi cum
๐ผ๐ด + ๐ผ๐ท = ๐ด๐ท โ ๐ผ๐ด
๐ด๐ท=
๐+๐
๐+๐+๐ .
Analog, se obศin ๐ผ๐ต
๐ต๐ธ=
๐+๐
๐+๐+๐ ศ๐
๐ผ๐ถ
๐ถ๐น=
๐+๐
๐+๐+๐ .
Avem de demonstrat cฤ (๐+๐)(๐+๐)(๐+๐)
(๐+๐+๐)3 โค8
27 .
Aplicฤm inegalitatea mediilor :
โ(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)3
โค(๐ + ๐) + (๐ + ๐) + (๐ + ๐)
3=
2(๐ + ๐ + ๐)
3โบ
โบโ(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)3
(๐ + ๐ + ๐)โค
2
3 ,
de unde , ridicรขnd la cub, obศinem ceea ce trebuia demonstrat.
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CAPITOLUL 4. Inegalitฤศi exponenศiale ศi logaritmice
Pentru รฎnceput vom aborda inegalitฤศile โelementareโ รฎn care apar funcศii
exponenศiale sau logaritmice. Ne vom feri sฤ apelฤm la noศiuni de analizฤ matematicฤ,
care nu sunt la รฎndemรขna elevilor de clasa a X-a. Avem la รฎndemรขnฤ regulile de
ordonare:
(๐) pentru ๐ > 1 ( bazฤ supraunitarฤ )
๐๐ฅ < ๐๐ฆ , โ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ < ๐ฆ ;
log๐ ๐ฅ < log๐ ๐ฆ , โ ๐ฅ, ๐ฆ > 0 ๐๐ข ๐ฅ < ๐ฆ .
(๐๐) pentru 0 < ๐ < 1 ( bazฤ subunitarฤ )
๐๐ฅ > ๐๐ฆ , โ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ ๐๐ข ๐ฅ < ๐ฆ ;
log๐ ๐ฅ > log๐ ๐ฆ , โ ๐ฅ, ๐ฆ > 0 ๐๐ข ๐ฅ < ๐ฆ .
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Aplicaศii
1. ๐๐๐+ ๐๐๐
+ ๐๐๐โฅ ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ , โ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ .
Soluศie. Fie ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ . Aplicฤm inegalitatea mediilor de douฤ ori :
2๐ฅ2+ 2๐ฆ2
โฅ 2โ2๐ฅ2โ 2๐ฆ2
= 2โ2๐ฅ2+๐ฆ2โฅ 2โ22๐ฅ๐ฆ = 2 โ 2๐ฅ๐ฆ ; โฏ
Adunรขnd inegalitฤศile de mai sus obศinem ceea ce trebuia demonstrat.
2. Dacฤ ๐, ๐, ๐ > 1 ๐๐ข ๐
๐โฅ
๐
๐ , atunci
๐ฅ๐ ๐
๐ฅ๐ ๐โฅ
๐ฅ๐ ๐
๐ฅ๐ ๐ .
Soluศie. Fie ๐, ๐, ๐ > 1 ๐๐ข ๐
๐โฅ
๐
๐ โ ๐2 โฅ ๐๐ โ lg ๐2 โฅ lg(๐๐) โ
2 lg ๐ โฅ lg ๐ + lg ๐ .
Cum ๐, ๐ > 1 โ lg ๐, lg ๐ > 0 . Din inegalitatea mediilor avem
lg ๐ + lg ๐ โฅ 2โlg ๐ โ lg ๐ .
Se obศine lg ๐ โฅ โlg ๐ โ lg ๐ , care prin ridicare la pฤtrat devine
๐๐2๐ โฅ lg ๐ โ lg ๐ , adicฤ lg ๐
lg ๐โฅ
lg ๐
lg ๐ .
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3. Dacฤ ๐, ๐, ๐ > 1 cu ๐ < ๐ , atunci ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ > ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐ .
Soluศie . Fie ๐, ๐, ๐ > 1 ๐๐ข ๐ < ๐ .
log๐ ๐ > log๐๐ ๐๐ โบ log๐ ๐ >log๐ ๐๐
log๐ ๐๐=
log๐ ๐ + log๐ ๐
1 + log๐ ๐โบ
โบ log๐ ๐ + log๐ ๐ โ log๐ ๐ > log๐ ๐ + log๐ ๐ โบ log๐ ๐ โ (log๐ ๐ โ 1) > 0 .
Ultima inegalitate este adevฤratฤ deoarece
๐, ๐ > 1 โ log๐ ๐ > 0 ศ๐ ๐ < ๐ โ log๐ ๐ > 1 .
4. Dacฤ ๐, ๐ > 1 cu ๐ < ๐ si ๐ > 0 , atunci ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ > ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐(๐ + ๐) .
Soluศie. Fie ๐, ๐ > 1 ๐๐ข ๐ < ๐ , ๐ > 0 โ๐
๐>
๐+๐
๐+๐ > 1 โ
log๐
๐
๐> log๐
๐ + ๐
๐ + ๐=
1
log๐+๐๐+๐
๐>
1
log๐+๐๐+๐
(๐ + ๐)= log๐+๐
๐ + ๐
๐ + ๐โ
log๐ ๐ โ 1 > log๐+๐(๐ + ๐) โ 1 , adicฤ log๐ ๐ > log๐+๐(๐ + ๐) .
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5. Dacฤ ๐, ๐ โ (0; 1) , atunci au loc inegalitฤศile:
(โ) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐
๐ + ๐+ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐
๐ + ๐โฅ ๐ ,
(โโ) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐
๐ + ๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐
๐ + ๐โฅ ๐ .
Soluศie. Fie ๐, ๐ โ (0; 1) . Aplicฤm inegalitatea dintre media armonicฤ ศi
media geometricฤ a numerelor ๐ , ๐ ศi ศinem cont cฤ bazele ๐ ศ๐ ๐ ale logaritmilor
sunt subunitare.
2๐๐
๐ + ๐โค โ๐๐ โ log๐
2๐๐
๐ + ๐โฅ log๐ โ๐๐ =
1
2(1 + log๐ ๐) ;
log๐2๐๐
๐+๐โฅ log๐ โ๐๐ =
1
2(1 + log๐ ๐) (โ) .
Pentru a demonstra (โ) adunฤm inegalitฤศile (โ):
log๐
2๐๐
๐ + ๐+ log๐
2๐๐
๐ + ๐โฅ
1
2(2 + log๐ ๐ + log๐ ๐) =
1
2(2 + log๐ ๐ +
1
log๐ ๐) โฅ 2.
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Pentru a justifica ultima inegalitate luฤm ๐ฅ = log๐ ๐ > log๐ 1 = 0 ศi folosim cฤ
๐ฅ +1
๐ฅโฅ 2 , โ๐ฅ > 0 .
Pentru a demonstra (โโ) รฎnmultim inegalitฤศile (โ):
log๐
2๐๐
๐ + ๐โ log๐
2๐๐
๐ + ๐โฅ
1
4(1 + log๐ ๐ + log๐ ๐ + log๐ ๐ โ log๐ ๐) =
=1
4(2 + log๐ ๐ +
1
log๐ ๐) โฅ 1 .
6. Dacฤ ๐, ๐, ๐ > 1 , atunci au loc inegalitฤศile :
(~) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐
๐+ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐
๐+ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐
๐โฅ ๐ ;
(โ) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ โฅ๐
๐ .
Soluศie. Fie ๐, ๐, ๐ > 1 .
Notฤm lg ๐ = ๐ฅ > 0 , lg ๐ = ๐ฆ > 0 , lg ๐ = ๐ง > 0 .
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Inegalitatea (~) se obศine direct din inegalitatea mediilor ๐+๐
2โฅ โ๐๐ , โฏศi
๐ฅ
๐ฆ+
๐ฆ
๐ฅโฅ 2 , โฏ .
Inegalitatea (โ) se scrie
๐ฅ
๐ฆ + ๐ง+
๐ฆ
๐ง + ๐ฅ+
๐ง
๐ฅ + ๐ฆโฅ
3
2 , ๐๐๐๐ก๐๐ข ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง > 0 .
Inegalitatea de mai sus este inegalitatea lui Nesbitt .
Deoarece variabilele sunt din ๐ , putem utiliza inducศia matematicฤ รฎn
demonstrarea inegalitฤศilor:
7. ๐๐ โฅ ๐๐ , โ๐ โ ๐ต , ๐ โฅ ๐ .
8. ๐ โฅ ๐ฅ๐ (๐๐ + ๐) , โ๐ โ ๐ต , ๐ โฅ ๐ .
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CAPITOLUL 5. Inegalitฤศi cu numere complexe
1. (Inegalitatea triunghiului)
|๐๐+๐๐| โค |๐๐| + |๐๐| , โ ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ .
Generalizare.
|๐๐+๐๐ + โฏ + ๐๐| โค |๐๐| + |๐๐| + โฏ + |๐๐| , โ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐ โ ๐ถ ,
๐ โ ๐ , ๐ โฅ 2.
Demonstraศie. Pentru ๐ = 2 , ridicฤm la pฤtrat ศi folosim proprietatea ๐ง โ ๐งฬ =
|๐ง|2 , โ ๐ง โ ๐ถ .
|๐ง1+๐ง2| โค |๐ง1| + |๐ง2| โบ |๐ง1+๐ง2|2 โค (|๐ง1| + |๐ง2|)2 โบ
โบ (๐ง1+๐ง2)(๐ง1+๐ง2ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ) โค |๐ง1|2 + |๐ง2|2 + 2|๐ง1| โ |๐ง2| โบ
โบ ๐ง1๐ง2ฬ + ๐ง2๐ง1ฬ โค 2|๐ง1๐ง2| .
Cum ๐ง1๐ง2ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ง1ฬ ๐ง2 โน ๐ง1๐ง2ฬ + ๐ง2๐ง1ฬ โ ๐ ๐ ๐ ๐ง1๐ง2ฬ + ๐ง2๐ง1ฬ =
= 2๐ ๐(๐ง1๐ง2ฬ ) โค 2|๐ง1๐ง2ฬ | = 2|๐ง1๐ง2| ,
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rezultฤ cฤ propoziศia este adevฤratฤ pentru ๐ = 2 .
Cazul de egalitate are loc dacฤ ๐ ๐(๐ง1๐ง2ฬ ) = |๐ง1๐ง2ฬ | , adicฤ ๐ง1๐ง2ฬ โ ๐ ๐๐ข ๐ง1๐ง2ฬ โฅ 0.
Interpretare geometricฤ. Fie ๐1 , ๐2 punctele din plan care au afixele ๐ง1 ,
respectiv ๐ง2 ศi ๐ originea sistemului de axe de coordonate, iar ๐ punctul de afix
๐ง1+๐ง2 .
รn triunghiul ๐1๐๐ , eventual degenerat, avem
๐๐ = |๐ง1+๐ง2| , ๐๐1 = |๐ง1| ศ๐ ๐๐1 = |๐ง2|.
Din ๐๐ โค ๐๐1 + ๐๐1 obศinem |๐ง1+๐ง2| โค |๐ง1| + |๐ง2| .
Acum trecem de la ๐ la ๐ + 1.
Presupunem cฤ are loc
|๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐| โค |๐ง1| + |๐ง2| + โฏ + |๐ง๐| ,
โ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐ โ ๐ถ
ศi trebuie sฤ demonstrฤm cฤ este รฎndeplinitฤ inegalitatea
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|๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐ + ๐ง๐+1| โค |๐ง1| + |๐ง2| + โฏ + |๐ง๐| +
|๐ง๐+1| , โ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐, ๐ง๐+1 โ ๐ถ.
Notฤm ๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐ = ๐ง .
Avem |๐ง + ๐ง๐+1| โค |๐ง| + |๐ง๐+1| , la care adฤugฤm
|๐ง| = |๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐| โค |๐ง1| + |๐ง2| + โฏ + |๐ง๐|
ceea ce demonstreazฤ cฤ propoziศia este adevaratฤ pentru ๐ + 1 numere.
Consecinศฤ. |๐๐| โ |๐๐| โค |๐๐+๐๐| , โ ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ .
รntr-adevฤr, |๐ง1| = |๐ง1+๐ง2 + (โ๐ง2)| โค |๐ง1+๐ง2| + |โ๐ง2| =
= |๐ง1+๐ง2| + |๐ง2| โ |๐ง1| โ |๐ง2| โค |๐ง1+๐ง2| .
2. (โ) |๐๐ + ๐| + |๐๐ + ๐| + |๐๐๐๐ + ๐| โฅ ๐ ,
โ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ ๐๐ข |๐ง1| = |๐ง2| = 1 .
Soluศie. Fie ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ ๐๐ข |๐ง1| = |๐ง2| = 1 .
Aplicฤm consecinศa de mai sus ศi obศinem
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|๐ง1 + 1| + |๐ง2 + 1| + |๐ง1๐ง2 + 1| โฅ
โฅ |๐ง1 + 1| + |(๐ง1๐ง2 + 1) โ (๐ง2 + 1)| =
= |๐ง1 + 1| + |๐ง2||๐ง1 โ 1| =
= |๐ง1 + 1| + |๐ง1 โ 1| โฅ |๐ง1 + 1 + ๐ง1 โ 1| = 2|๐ง1| = 2 .
Observaศia 1. Dacฤ ๐ง1 = ๐ง2 = ๐ง ๐๐ข |๐ง| = 1 ,
atunci inegalitatea (โ) devine
2|๐ง + 1| + |๐ง2 + 1| โฅ 2 .
Generalizare ( M. Bencze, Gazeta Matematicฤ 1998 )
๐|๐ + ๐| + |๐ + ๐๐| + |๐ + ๐๐| + |๐ + ๐๐| + โฏ + |๐ + ๐๐๐| +
+|๐ + ๐๐๐+๐| โฅ ๐๐ ,
โ๐ง โ ๐ถ ๐๐ข |๐ง| = 1 ๐ ๐ โ๐ โ ๐ ๐๐ข ๐ โฅ 1 .
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Observaศia 2. Dacฤ ๐ง1 = ๐ง , ๐ง2 = ๐ง2 ๐๐ข |๐ง| = 1 , atunci inegalitatea
(โ) devine
|๐ + ๐| + |๐ + ๐๐| + |๐ + ๐๐| โฅ ๐ .
Interpretare geometricฤ:
Dacฤ dintr-un punct ๐ต al unui cerc de razฤ unu se construiesc trei arce
congruente ๐ด1 , ๐ด1๐ด2 ศ๐ ๐ด2๐ด3 , iar ๐ด este punctul diametral opus lui ๐ต , atunci suma
vectorilor ๐ด๐ด1 , ๐ด๐ด2 ๐ ๐ ๐ด๐ด3 este mai mare decรขt diametrul cercului .
3. (Inegalitatea lui Hlawka)
|๐๐+๐๐| + |๐๐+๐๐| + |๐๐+๐๐| โค
โค |๐๐| + |๐๐| + |๐๐| + |๐๐+๐๐ + ๐๐| , โ๐๐, ๐๐, ๐๐ โ ๐ช .
Soluศie. Ridicam la pฤtrat ambii membri ai inegalitฤศii ศi folosim identitatea
(โ) |๐๐+๐๐|2 + |๐๐+๐๐|2 + |๐๐+๐๐|2 =
= |๐๐|2 + |๐๐|2 + |๐๐|2 + |๐๐+๐๐ + ๐๐|2 ,
care rezultฤ direct din proprietatea ๐ง โ ๐งฬ = |๐ง|2 , โ๐ง โ ๐ถ .
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Pe de altฤ parte,
2|๐ง1+๐ง2| โ |๐ง2+๐ง3| = 2|๐ง2(๐ง1+๐ง2 + ๐ง3) + ๐ง1๐ง3| โค
โค 2|๐ง2||๐ง1+๐ง2 + ๐ง3| + |๐ง1๐ง3| , โฏ
Adunรขnd inegalitฤศile de mai sus cu egalitatea (โ) , se obศine
(|๐ง1+๐ง2| + |๐ง2+๐ง3| + |๐ง3+๐ง1|)2 โคโค (|๐ง1| + |๐ง2| + |๐ง3| + |๐ง1+๐ง2 + ๐ง3|)2 ,
din care rezultฤ inegalitatea lui Hlawka .
4. Dacฤ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐ โ ๐ถโ ๐๐ข |๐ง1| = |๐ง2| = โฏ = |๐ง๐| = ๐ , atunci
(๐๐+๐๐ + โฏ + ๐๐) (๐
๐๐+
๐
๐๐+ โฏ +
๐
๐๐) โ [๐; ๐๐] , ๐ โ ๐โ .
Demonstraศie. Notฤm ๐ = (๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐) (1
๐ง1+
1
๐ง2+ โฏ +
1
๐ง๐) .
Aplicรขnd proprietatea ๐ง โ ๐งฬ = |๐ง|2 , โ๐ง โ ๐ถ ,
rezultฤ cฤ
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = (๐ง1ฬ + ๐ง2ฬ + โฏ + ๐ง๐ฬ ฬ ฬ ) (1
๐ง1ฬ ฬ ฬ +
1
๐ง2ฬ ฬ ฬ + โฏ +
1
๐ง๐ฬ ฬ ฬ ฬ ) =
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= ๐2 (1
๐ง1+
1
๐ง2+ โฏ +
1
๐ง๐) โ
1
๐2(๐ง1+๐ง2 + โฏ + ๐ง๐) = ๐ โ ๐ โ ๐ .
Mai departe, utilizฤm forma trigonometricฤ a numerelor ๐ง๐ , ๐ = 1, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ .
Dacฤ ๐ง๐ = ๐(cos ๐๐ + ๐๐ ๐๐ ๐๐) , ๐ = 1, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ,
atunci
๐ = [(โ cos ๐๐
๐
๐=1
) + ๐ (โ sin ๐๐
๐
๐=1
)] โ [(โ cos ๐๐
๐
๐=1
) โ ๐ (โ sin ๐๐
๐
๐=1
)] =
= (โ cos ๐๐
๐
๐=1
)
2
+ (โ sin ๐๐
๐
๐=1
)
2
โฅ 0 .
Pe de altฤ parte,
๐ = ๐ + 2 โ (cos ๐๐ cos ๐๐ + sin ๐๐ sin ๐๐)
1โค๐<๐โค๐
= ๐ + 2 โ cos(๐๐ โ ๐๐)
1โค๐<๐โค๐
โค
โค ๐ + 2(๐ โ 1 + ๐ โ 2 + โฏ + 1) = ๐ + ๐(๐ โ 1) = ๐2 .
Deci, 0 โค ๐ โค ๐2 .
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51
5. (Inegalitatea lui H. Bohr )
Dacฤ ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ si ๐ > 0 , atunci are loc
(โ) |๐๐+๐๐|๐ โค (๐ + ๐)|๐๐|๐ + (๐ +๐
๐) |๐๐|๐ ,
cu egalitate dacฤ ศi numai dacฤ ๐ง2 = ๐๐ง1 .
Generalizare.(J.W. Archbold)
Dacฤ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐ โ ๐ถ ศi ๐1 , ๐2, โฏ , ๐๐ > 0 astfel รฎncรขt
โ1
๐๐
๐๐=1 = 1 , atunci
(โโ) |๐๐+๐๐ + โฏ + ๐๐|๐ โค ๐๐|๐๐|๐ + ๐๐|๐๐|๐ + โฏ + ๐๐|๐๐|๐ .
Demonstraศie. Pentru ๐๐ > 0, ๐๐ โ ๐ , ๐ = 1, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ,cu
โ1
๐๐
๐๐=1 = 1 , avem , conform CBS,
โ ๐๐๐๐2
๐
๐=1
= (โ1
๐๐
๐
๐=1
) (โ ๐๐๐๐2
๐
๐=1
) โฅ (โ ๐๐
๐
๐=1
)
2
.
Luรขnd ๐๐ =|๐ง๐|
โ |๐ง๐|๐๐=1
, pentru = 1, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , avem
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52
(โโโ) โ ๐๐|๐ง๐|2 โ
๐
๐=1
(โ|๐ง๐|
๐
๐=1
)
2
โฅ 0 .
Din โ |๐ง๐|๐๐=1 โฅ |โ ๐ง๐
๐๐=1 | ศi (โโโ) , obศinem (โโ) .
รn [3] , Mitrinovic aminteศte cฤ A. Makowski a demonstrat un caz particular
( cรขnd ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ ) al inegalitatii (โ):
(๐ โ ๐)2 sin ๐ผ + (๐ + ๐)2 cos ๐ผ โค (1 + ๐|cos 2๐ผ|)๐2 + (1 +|cos 2๐ผ|
๐) ๐2
โค (1 + ๐)๐2 + (1 +1
๐) ๐2 , โ ๐, ๐, ๐ผ โ ๐ ศ๐ ๐ > 0 .
6. Dacฤ ๐ง1 , ๐ง2 โ ๐ถ ศ๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐ โ ๐๐ข ๐ข + ๐ฃ โ 0 ,
atunci:
(~) |๐๐+๐๐|๐
๐ + ๐โค
|๐๐|๐
๐+
|๐๐|๐
๐ , ๐๐๐๐ก๐๐ข
1
๐ข+
1
๐ฃ> 0 ;
(โ) |๐๐+๐๐|๐
๐ + ๐โฅ
|๐๐|๐
๐+
|๐๐|๐
๐ , ๐๐๐๐ก๐๐ข
1
๐ข+
1
๐ฃ< 0 .
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53
Egalitฤศile au loc dacฤ ศi numai dacฤ ๐ฃ๐ง1 = ๐ข๐ง2 .
Soluศie. Folosim identitatea
|๐๐|๐
๐+
|๐๐|๐
๐โ
|๐๐+๐๐|๐
๐ + ๐=
|๐๐๐ โ ๐๐๐|๐
๐๐(๐ + ๐) .
7. (Mitrinovic )
Dacฤ ๐ง1 , ๐ง2, โฏ , ๐ง๐, ๐1 , ๐2, โฏ , ๐๐ โ ๐ถ , ๐ โฅ 2 ๐ ๐ ๐ > 0 , atunci
โ|๐๐ โ ๐๐|
๐
๐=๐
< ๐ โ |โ ๐๐ โ โ ๐๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
| โค ๐บ โ ๐บ๐๐บ๐โ๐โ๐
๐โ๐
๐=๐
,
unde ๐๐ este ๐ ๐ โ ๐ funcศie simetricฤ de |๐1| , |๐2|, โฏ , |๐๐| .
Demonstraศie. Folosim metoda inducศiei matematice.
Pentru ๐ = 2 . Dacฤ |๐ง1 โ ๐1| + |๐ง2 โ ๐2| < ๐ , atunci
|๐ง1๐ง2 โ ๐1๐2| = |(๐ง1 โ ๐1)(๐ง2 โ ๐2) + ๐1(๐ง2 โ ๐2) + ๐2(๐ง1 โ ๐1)| โค
โค |๐ง1 โ ๐1||๐ง2 โ ๐2| + |๐1||๐ง2 โ ๐2| + |๐2||๐ง1 โ ๐1| < ๐(๐ + |๐1| + |๐2|) .
Deci, |๐ง1 โ ๐1| + |๐ง2 โ ๐2| < ๐ โ
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54
|๐ง1๐ง2 โ ๐1๐2| < ๐(๐ + |๐1| + |๐2|) .
Presupunem afirmaศia adevฤratฤ pentru ๐ โฅ 2 si arฤtฤm cฤ este adevaratฤ ศi
pentru ๐ + 1 .
Presupunem cฤ โ |๐ง๐ โ ๐๐|๐+1๐=1 < ๐ .
Folosim identitatea
โ ๐ง๐ โ โ ๐๐
๐+1
๐=1
๐+1
๐=1
= (โ ๐ง๐ โ โ ๐๐
๐
๐=1
๐
๐=1
) [(๐ง๐+1 โ ๐๐+1) + ๐๐+1] +
+ (โ ๐๐
๐
๐=1
) (๐ง๐+1 โ ๐๐+1) .
Obศinem
|โ ๐ง๐ โ โ ๐๐
๐+1
๐=1
๐+1
๐=1
| โค (๐ + |๐๐+1|) โ ๐๐๐๐โ๐
๐โ1
๐=0
+ ๐|๐๐+1|๐๐ =
= ๐๐+1 + โ(๐๐ + |๐๐+1|๐๐โ1)
๐
๐=1
๐๐โ๐ = ๐ โ ๐๐โ
๐
๐=0
๐๐โ๐ ,
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unde ๐๐โ este ๐ ๐ โ ๐ funcศie simetricฤ de |๐1| , |๐2|, โฏ , |๐๐|, |๐๐+1|.
Iatฤ acum o inegalitate interesantฤ, pe care o demonstrฤm folosind forma
geometricฤ a numerelor complexe.
8. (L.Panaitopol , Gazeta Matematicฤ ,1981 )
Sฤ se arate cฤ รฎn orice triunghi ๐ด๐ต๐ถ avem
๐น
๐๐โฅ
๐๐
๐๐ ,
egalitatea avรขnd loc numai รฎn cazul triunghiului echilateral.
Soluศie. ศtiind cฤ ๐ = ๐๐ , ๐ =๐๐๐
4๐ ๐ ๐ ๐ =
๐โ๐
2 , inegalitatea devine
2๐๐๐ โค ๐ โ๐ โบ 2 โ๐
๐โ ๐๐ โค ๐ โ
2๐
๐โบ ๐๐๐ โค ๐ ๐ .
Fie ๐ง1, ๐ง2, ๐ง3 โ ๐ถ afixele vรขrfurilor ๐ด , ๐ต , ๐ถ , รฎntr-un sistem de axe de
coordonate cu originea รฎn centrul cercului circumscris triunghiului ๐ด๐ต๐ถ.
Atunci:
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2๐๐๐ = 2|๐ง2 โ ๐ง3| โ |๐ง1 โ๐ง2 + ๐ง3
2| = |(๐ง2 โ ๐ง3)(2๐ง1 โ ๐ง2 โ ๐ง3)| =
= |๐ง2(๐ง1 โ ๐ง2) + ๐ง3(๐ง2 โ ๐ง3) + ๐ง1(๐ง3 โ ๐ง1)| โค
โค |๐ง2||๐ง1 โ ๐ง2| + |๐ง3||๐ง2 โ ๐ง3| + |๐ง1||๐ง3 โ ๐ง1| = ๐ (๐ + ๐ + ๐) = 2๐ ๐ โ ๐๐๐
โค ๐ ๐ .
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Bibliografie:
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Gil, 1996
[๐] BECHEANU M. , ENESCU B. Inegalitฤศi elementare โฆ ศi mai puศin
elementare- Zalฤu, Editura Gil, 2002
[๐] DRรMBE M. O. Inegalitฤศi- idei ศi metode- Zalฤu, Editura Gil, 2003
[๐] Colecศia revistei Gazeta Matematicฤ, seria B, 1970- 2021
[๐] POPESCU P. G., MAFTEI I. V., DIAZ- BARRERO J. L., DINCA M.
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Inequalities- Romรขnia, Editura University of Ploiesti, 2015
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[๐] CรRTOAJE V. Mathematical Inequalities, vol.2 Symmetric Rational and
Nonrational Inequalities- Romรขnia, Editura University of Ploiesti, 2015
[๐] CรRTOAJE V. Mathematical Inequalities, vol.3 Cyclic and Noncyclic
Inequalities- Romรขnia, Editura University of Ploiesti, 2015
[๐] CรRTOAJE V. Mathematical Inequalities, vol.4 Extensions and
Refinements of Jensen`s Inequality- Romรขnia, Editura University of Ploiesti, 2015
[๐๐] CรRTOAJE V. Mathematical Inequalities, vol.5 Other New Methods for
Creating and Solving Inequalities- Romรขnia, Editura University of Ploiesti, 2015
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CUPRINS
1. Prezenศa inegalitฤศilor รฎn programele ศcolareโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆ.. 7
2. Inegalitฤศi demonstrate prin inducศieโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 11
3. Inegalitฤศi geometriceโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆ 22
4. Inegalitฤศi exponenศiale ศi logaritmiceโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 38
5. Inegalitฤศi cu numere complexeโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 44
Bibliografieโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. 56
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Editura Cartea VrรขnceanฤISBN 978-606-95212-2-9
2021