Inženjerska grafika

geometrijskih oblika(3. predavanje, tema 3)

Prva godina studija

Mašinskog fakulteta u Nišu

Predavaĉ:

Dr Predrag Rajković

Mart 5, 2013 3. predavanje, tema 3

KONUSNI PRESECI

(CONICS)

I

ODGOVARAJUĆE

POVRŠI I TELA

KONUSNI PRESECI

(CONICS)

Konusni preseci su krive koji nastaju kao ravni

preseci obrtne konusne površi.

PARABOLA

Parabola je presek obrtnog konusa i ravni koja je

paralelna samo jednoj izvodnici konusa.

PARABOLA

Parabola je presek obrtnog konusa i ravni koja je

paralelna samo jednoj izvodnici konusa.

Postupak crtanja ravni seĉenja

1. Izabrati taĉku A na bazisnoj kružnici

2. Postaviti kroz vrh konusa V pravu VA

3. Postaviti novu ravan crtanja normalno na VA

kroz taĉku A

4. Nacrtati ravan seĉenja konusa kroz VA

normalnu na ravan crtanja

5. Svaka ravan paralelna sa ovom ravni seĉe

konus po paraboli

HIPERBOLA

Hiperbola je presek obrtnog konusa i ravni koja je

paralelna dvema izvodnicama konusa.

HIPERBOLA

Hiperbola je presek obrtnog konusa i ravni koja je

paralelna dvema izvodnicama konusa.

Postupak crtanja ravni seĉenja

1. Izabrati dve razliĉite taĉke A i B na bazisnoj

kružnici

2. Postaviti ravan vrh konusa V i AB

3. Svaka ravan paralelna sa ravni ABV seĉe konus

po hiperboli

ELIPSA

Elipsa je presek obrtnog konusa i ravni koja seĉe

sve izvodnice konusa.

Kružnica nastaje kao specijalan sluĉaj elipse kada

je ravan normalna na osu konusa.

ELIPSA

Elipsa je presek obrtnog konusa i ravni koja seĉe

sve izvodnice konusa.

Postupak crtanja ravni seĉenja

1. Izabrati dve razliĉite taĉke A i B u projekcijskoj

ravni koja ne sadrži bazisnu kružnicu

2. Postaviti ravan kroz AB normalnu na tu

projekcijsku ravan (Curve-Plane-CuttingPlane)

3. Svaka ravan paralelna sa ravni seĉe konus po

elipsi

Crtanje koniĉnih krivih

Neke koniĉne krive se crtaju pomoću posebnih opcija u

meniju Curve

1. Circle.

2. Ellipse.

3. Parabola.

KONUSNI PRESECI KAO

GEOMETRIJSKO MESTO TAĈAKA

Konusni presek je geometrijsko mesto

taĉaka u ravni koje imaju stalan koliĉnik

rastojanja od neke date taĉke (žiže) i date

prave (vodilje).

Ovaj koliĉnik je ekscentricitet e konusnog

preseka

Elipsa ima e<1

Parabola ima e=1

Hiperbola ima e>1.

KONUSNI PRESECI KAO

GEOMETRIJSKO MESTO TAĈAKA

cose

p

1

Opšta polarna jednaĉina konusnih preseka

glasi

2222 21 pepxyx)e(

Opšta jednaĉina konusnih preseka u

Decartesovim koordinatama glasi

ELIPSA

Elipsa je geometrijsko mesto taĉaka ĉiji je zbir rastojanja od

dveju datih taĉaka F1 i F2 stalan: PF1 +P F2 =2a.

Taĉke F1 i F2 su fokusi (žiže) elipse.

Centar elipse je središte duži F1F2 .

222bae

Ako su poznate

ose elipse onda

je elipsa potpuno

odreĊena.

Žižno odstojanje

ELIPSA

Tetiva elipse je svaka duž koja spaja dve taĉke na elipsi.

Preĉnik elipse je svaka tetiva koja prolazi kroz centar elipse.

Za dati preĉnik, spregnuti preĉnik ĉine sredine njemu

paralelnih tetiva.

Jedini normalni

spregnuti

preĉnici jesu

velika i mala

osa

Afinost kružnice i elipse

NALAŽENJE OSA POMOĆU

SPREGNUTIH PREĈNIKA

Data su dva spregnuta preĉnika AB i CD.

Centar elipse je taĉka O=ABCD

Neka je CO1 normala AB I CO1=A0.

Nacrtajmo paralelogram

EFGH ĉija središta strana su

A,B,C i D.

Tražena elipsa je afina

kružnici K(O1,AB) .

Osa afinosti je GHPravac afinosti OO1

Nacrtajmo simeralu duži OO1

Njen peresek sa GH je S

Kružnica L(S, SO) GH ={ P,Q}

Velika osa je na pravcu QO

Mala osa je na pravu PO

CRTANJE TAĈAKA ELIPSE METODOM

“PARĈETA PAPIRA”

Dat je centar elipse i velika i mala osa.

Napraviti lenjir

podeljen na dve

duži dužine a i b.

Prisloniti lenjir uz

veliku i malu osu.

Taĉka koja deli

lenjir na dva dela

odreĊuje

taĉke elipse.

ELIPSA

Taĉke elipse se mogu crtati tako što se uzme proizvoljna

taĉka P na velikoj osi i naĊu preseci kružnica K(F1,A1P) i

K(F 2,A2P)

aQFQF1 22

PARABOLA

Parabola je geometrijsko mesto taĉaka podjednako

udaljenih od date taĉke (žiže parabole) i date prave

(vodilje parabole).

Teme parabole je taĉka

na normali direktrise

podjednako udaljena od

žiže i direktrise.

Ako su poznati teme i žiža

parabole onda je parabola

potpuno odreĊena.

HIPERBOLA

Hiperbola je geometrijsko mesto taĉaka ĉija je razlika

odstojanja od dveju datih taĉaka F1 i F2 stalna.

Taĉke F1 i F2 su žiže hiperbole.

a2QFQF 12

Krivina krive (Curvature)

Krivina krive je brzina promene pravca

tangente krive.

Krug krivine je krug koji najbolje

aproksimira krivu u datoj tacki.

Krivina prave je K=0.

Krivina kruga poluprecnika R je K=1/R i

on se poklapa sa svojim krugom krivine.

Krugovi krivine u temenima elipse

Uoĉimo pravougaonik AOBV. Na duž AB iz

taĉke V postavimo normalu. Ona seĉe AO u

taĉki S, a BO u taĉki T. Krugovi krivine su

K(S,SA) i K(T, TB).

Krug krivine u temenu parabole

Uoĉimo taĉku S centralno simetriĉnu

temenu A u odnosu na žižu F.

Krug krivine je K(S,SA).

Crtanje koniĉnih krivih

Koniĉne krive se crtaju pomoću opcije Curve - Conic

1. Uneti poĉetnu taĉku krive.

2. Uneti krajnju taĉku krive.

3. Uneti srednu taĉku krive.

Ove tri taĉke definišu i ravan kojoj kriva pripada.

4. Krivinu krive (Curvature) odreĊujemo birajući još jednu taĉku na

krivoj ili

vrednost krivine krive, tj. broj veći od 0 i manji od 1

za elipsu - vrednost veću od 0.0 i manju od 0.5.

za parabolu - vrednost jednaku 0.5.

Za hiperbolu - vrednost veću od 0.5 i manju od 1.

Koniĉne cilindriĉne površi

(Conic Cyllinders)

12

2

2

2

b

y

a

xy

a

x2

2

2

Koniĉne cilindriĉne površi nastaju linijskim pomeranjem

koniĉnih krivih

Eliptiĉki cilindar

Paraboliĉki cilindar

Hiperboliĉki cilindar.

12

2

2

2

b

y

a

x

Koniĉne cilindriĉne površi

Primer. Telo

nastalo

izvlaĉenjem

elipse koja leži u

horizontalnoj

ravni u smeru

z-ose

Na koniĉnu krivu primeniti

Solid-Extrude planar curve

Elipsoid (Ellipsoid)

)1,0(),2,0(,

sin

sincos

coscos

wvu

uwcz

vuwby

vuwax

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Paraboloid

)1,0(w,v),2,0(u

wcz

usinwvby

ucoswvax

2

22

2

2

2

c

z

b

y

a

x

• Površ Solid-Parabolid.

• Telo Solid- Cap Planar Hole

Hiperboloid

)1,0(w,v),2,0(u

wcz

usinwvby

ucoswvax

2

22

2

2

2

c

z

b

y

a

x

• Kriva Curve-Conic

• Površ Surface-Revolve

• Telo Solid-Cap Planar Hole

Koniĉne taĉke

na obrtnim površima

• Elipsna tačka površi je tačka površi koja je jedina zajednička tačka tangentne ravni i površi u nekoj njenoj okolini.

Parabolna taĉka površi

• Parabolna taĉka površi je taĉka površi takva da

tangentna ravan seĉe površ po krivoj za koju je taĉka

dodira povratna.

Hiperbolna taĉka površi

• Hiperbolna taĉka površi je

taĉka površi takva da

tangentna ravan seĉe površ po

krivoj za koju je taĉka dodira

dvostruka.