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Infe 03 - 1 / 61
Lezione 6Inferenzastatistica
Infe 03 - 2 / 61
ERRATA CORRIGE
teorema 5.1:
• estraendo a caso un campione di numerosità n finita
da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X
con distribuzione normale, media e varianza 2,
la variabile casuale
segue una distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà
n
XT n
n
SX
Tn
n
Infe 03 - 3 / 61
parte 3Esercizi sulla stima della media e della varianza
Infe 03 - 10 / 61
• estraendo da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X avente distribuzione qualsiasi,
media e varianza 2,
un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili
casuali { X1, X2, …, Xn },
se n è sufficientemente grande
la media campionaria
- segue una distribuzione normale
- con media e varianza 2 / n
Distribuzione della media campionaria
n
j
jn Xn
X1
1
Infe 03 - 11 / 61
Distribuzione della media campionaria
• estraendo da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X con distribuzione normale,
media e varianza 2 finite,
un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di
variabili casuali { X1, X2, …, Xn },
per qualsiasi n
la media campionaria
- segue una distribuzione normale- con media e varianza 2 / n
n
j
jn Xn
X1
1
Infe 03 - 12 / 61
• Considerazioni già fatte ci permettono di affermare che la media campionaria, sotto determinate ipotesi, segue una
distribuzione normale con media e varianza 2 / n
• è quindi facile costruire una variabile casualecon distribuzione normale standard, cioè con media nulla e varianza unitaria. n
XZ n
Dalla media campionaria alla media campionaria standardizzata
Infe 03 - 13 / 61
possiamo sostenere che:
estraendo a caso un campione con un numero n sufficiente-mente elevato elementi da una popolazione per cui è definita
una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e
varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale
in cui z1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile
Z normale standardizzata
contenga il valore della media per l’intera popolazione.
Intervallo di confidenza per la media
2/11 an z
nXI
Infe 03 - 14 / 61
possiamo sostenere che:
estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione
per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale
in cui z1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile normale standardizzata
contenga il valore della media per l’intera popolazione.
Intervallo di confidenza per la media: n finito
2/11 an zn
XI
Infe 03 - 15 / 61
possiamo sostenere che:
estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione
su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale
in cui t1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile
T distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l.
contenga il valore della media della popolazione.
Intervallo di confidenza per la media: n finito e 2 sconosciuta
2/11 a
nn t
n
SXI
Infe 03 - 17 / 61
Intervallo di confidenza per la media: n < N
• se n 30 e la varianza per la popolazione 2 è nota:
• se n 30 , X è normale e la varianza per la popolazione 2 è nota:
• se X è normale:
1sup
N
nN
nzx Qn
1sup
N
nN
nzx Qn
1sup
N
nN
n
Stx nQn
Infe 03 - 18 / 61
Esercizio 1 stima della media
Infe 03 - 19 / 61
Esercizio 1
• Determinazione dei parametri statici di un OpAmp:misurazione della tensione di offset di ingresso
• La tensione di offset di ingresso è quella tensione continua che, in assenza di segnale utile, deve essere applicata all’ingresso di un operazionale per rendere nulla la tensione di uscita.
Infe 03 - 25 / 61
Esercizio 1
la tensione di offset di ingresso è quindi espressa dalla:
21
1outos RR
Rvv
1
2osout 1
R
Rvv
Infe 03 - 26 / 61
Esercizio 1
costituiamo un campione con 11 propotipi di un nuovo OpAmp e
misuriamo i valori delle tensioni vout in mV usando i resistori
R1 = 1 e R2 = 1 k:
{ + 17,87 ; + 18,16 ; + 17,80 ; + 17,99 ; + 18,16 ; + 17,97 ; + 18,12 ; + 17,98 ; + 17,99 ; + 17,84 ; + 17,99 }
da questi ricaviamo i valori delle tensioni di offset in V:
{ + 17,85 ; + 18,14 ; + 17,78 ; + 17,97 ; + 18,14 ; + 17,95 ; + 18,10 ; + 17,96 ; + 17,97 ; + 17,82 ; + 17,97 }
21
1outos RR
Rvv
Infe 03 - 27 / 61
Esercizio 1
Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X che
assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x coincidente con
il valore in V della tensione di offset dell’elemento (trasformazione lineare).
A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano
l’offset e per la linearità della trasformazione è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale.
Le immagini dei componenti il campione sono:
x1 = + 17,85 ; x2 = + 18,14 ; x3 = + 17,78 ;
x4 = + 17,97 ; x5 = + 18,14 ; x6 = + 17,95 ;
x7 = + 18,10 ; x8 = + 17,96 ; x9 = + 17,97 ;
x10 = + 17,82 ; x11 = + 17,97
Infe 03 - 28 / 61
Esercizio 1
utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio dell’offset per la intera popolazione mediante lo stimatore “media campionaria”:
11
111
1
j
jn xx
lo stimatore “media campionaria” ci fornisce il valore
97,17nx
Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per l’intera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V
Infe 03 - 29 / 61
Esercizio 1
dobbiamo ora trovare quanto il dato è “affidabile” stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore: dato che non conosciamo la varianza
della X per la popolazione degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzione“t di Student”:
attraverso cui individueremo l’intervallo di confidenza usando la:
n
SX
Tn
n
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
Infe 03 - 30 / 61
Esercizio 1
il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto l’altro percentile è simmetrico rispetto a zero.
la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile:
812,1sup Qt
da cui:
812,1inf Qt
Infe 03 - 31 / 61
Esercizio 1
Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard):
122,00147,010
111
1
22
n
j
njn sxxs
ricordando che vogliamo applicare la:
notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
nX
n
j
njn XXn
S1
22
1
1
Infe 03 - 32 / 61
pertanto sostituendo nella:
Esercizio 1
316,3
122,0812,1
316,3
122,0812,1 nx
07,007,0 nx
otteniamo:
da cui:
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
Infe 03 - 33 / 61
dalla:
Esercizio 1
07,007,0 nx
è facile ottenere:
da cui:
che rappresenta l’intervallo di confidenza al 90% per la
media della variabile casuale riferita all’intera popolazione
07,097,17
07,007,0 nn xx
Infe 03 - 34 / 61
Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore medio della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nell’intervallo di estremi:
Esercizio 1
μV04,18eμV90,17
Infe 03 - 35 / 61
Esercizio 2 stima per intervalli della media
Infe 03 - 36 / 61
Esercizio 2
costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo
i valori delle resistenze in k:
{ + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ;
+ 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ;
+ 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 }
Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità
della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente.
Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari
al valore in k della sua resistenza elettrica
(è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale)
si individui l’intervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza
della intera popolazione supponendo che la varianza della X per l’intera
popolazione sia 2 = 0,0256
Infe 03 - 37 / 61
Esercizio 2
risoluzione:
dato che la X è distribuita normalmente si costruisce la variabile
che segue una distribuzione normale standardizzata
46,1516
116
1
j
jn xx
n
XZ n
Infe 03 - 38 / 61
Esercizio 2
risoluzione (segue):
dalla tabella si ottiene:
46,1516
116
1
j
jn xx
96,196,1 infsup QQ zz
n
XZ n
04,04
16,016
0256,02
nn
08,046,1507,046,15 84sup n
zx Qn
Infe 03 - 39 / 61
Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nell’intervallo di estremi:
Esercizio 2
k54,15ek38,15
Infe 03 - 40 / 61
Esercizio 1bis stima della media
Infe 03 - 41 / 61
Esercizio 1bis
Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X
che assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x
coincidente con il valore in centesimi di V della tensione di offset dell’elemento diminuito di 1800 (trasformazione lineare):
A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano
l’offset è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale.
Le immagini dei componenti il campione sono pertanto
x1 = -15 ; x2 = + 14 ; x3 = -22 ;
x4 = - 3 ; x5 = + 14 ; x6 = - 5 ;
x7 = + 10 ; x8 = - 4 ; x9 = - 3 ;
x10 = - 18 ; x11 = - 3 ;
100
180018100
XvvX osos
Infe 03 - 42 / 61
Esercizio 1bis
utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio dell’offset per la intera popolazione mediante lo stimatore “media campionaria”:
11
111
1
j
jn xx
lo stimatore “media campionaria” ci fornisce il valore
18,3nx
Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per l’intera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V
100
180018100
XvvX osos
Infe 03 - 43 / 61
Esercizio 1bis
dobbiamo ora trovare quanto il dato è “affidabile” stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore:
dato che non conosciamo la varianza della X per la popolazione
degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzione “t di Student”:
n
SX
Tn
n
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
Infe 03 - 44 / 61
Esercizio 1bis
il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto l’altro percentile è simmetrico rispetto a zero.
la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile:
812,1sup Qt
da cui:
812,1inf Qt
Infe 03 - 45 / 61
Esercizio 1bis
Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard):
17,122,14810
1 11
1
22
nj
njn sxxs
ricordando che vogliamo applicare la:
notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
nX
n
j
njn XXn
S1
22
1
1
Infe 03 - 46 / 61
pertanto sostituendo nella:
Esercizio 1bis
316,3
17,12812,1μ
316,3
17,12812,1 nx
65,6μ65,6 nx
otteniamo:
da cui:
n
stx
n
st n
Qnn
Q supinf
Infe 03 - 47 / 61
dalla:
Esercizio 1bis
65,6μ65,6 nx
è facile ottenere:
da cui:
che rappresenta l’intervallo di confidenza al 90% per la
media della variabile casuale X riferita all’intera popolazione
65,618,3μ
65,6μ65,6 nn xx
65,665,6 nx
Infe 03 - 48 / 61
Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore tipico della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nell’intervallo di estremi:
Esercizio 1bis
μV04,18eμV90,17
0347,18100
180047,3;9017,17
100
180083,9100
180018100
supinf
osos
osos
vv
XvvX
65,618,3μ
Infe 03 - 49 / 61
Esercizio 2bis stima per intervalli della media
Infe 03 - 50 / 61
Esercizio 2bis
costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo
i valori delle resistenze in k:
{ + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ;
+ 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ;
+ 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 }
Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità
della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente.
Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari
a…
(è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale)
si individui l’intervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza
della intera popolazione supponendo che la varianza della X per l’intera
popolazione sia 2 = 0,0256 * ? 221
21 baXbX
Infe 03 - 51 / 61
Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nell’intervallo di estremi:
Esercizio 2
k55,15ek37,15
Infe 03 - 52 / 61
Esercizio 3 stima per intervalli della media
Infe 03 - 53 / 61
Esercizio 3
Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile
casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore
del diametro misurato in centimetri.
Un campione casuale costituito da 200 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la media della
variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Infe 03 - 54 / 61
Esercizio 3
risoluzione:
Dato che la varianza della X per l’intera popolazione è sconosciuta
si dovrebbe costruire una variabile casuale T definita:
per determinare la risposta al problema mediante la
n
stx
n
stxt
n
sx
t nQn
nQnQ
n
nQ supinfsupinf
n
XT n
Infe 03 - 55 / 61
Esercizio 3
risoluzione (segue): :
dato che n = 200 la distribuzione della t di Student (con 199 gdl) è approssimabile con la distribuzione normale standardizzata:
n
stx
n
stxt
n
sx
t nQn
nQnQ
n
nQ supinfsupinf
n
szx
n
szx n
Qnn
Qn supinf
200
042,0575,2824,0
200
042,0575,2824,0
Infe 03 - 56 / 61
Esercizio 3
risoluzione (segue):
E’ quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore tipico del diametro per l’intera popolazione è compreso fra i valori:
6565 007,0824,0007,0824,0
200
042,0575,2824,0
200
042,0575,2824,0
cm832,0ecm816,0
Infe 03 - 57 / 61
Esercizio 4 stima per intervalli della media
Infe 03 - 58 / 61
Ricalcolare l’intervallo di confidenza dell’esercizio precedente nell’ipotesi che il campione sia costituito da 20 sfere.
Un campione casuale costituito da 20 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la media della
variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Esercizio 4
Infe 03 - 59 / 61
Esercizio 4
risoluzione:
A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano il diametro di ciascuna sfera è plausibile ritenere che la popolazione abbia distribuzione normale.
E’ quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore medio del diametro per l’intera popolazione è compreso fra i valori:
n
stx
n
stx n
Qnn
Qn supinf
20
042,0861,2824,0
20
042,0861,2824,0
027,0824,0027,0824,0
cm851,0ecm797,0
Infe 03 - 60 / 61
Esercizio 5 stima per intervalli della media
Infe 03 - 61 / 61
Che risultato si sarebbe ottenuto nell’esercizio precedente usando, erroneamente, la teoria dei campioni numerosi?
Un campione casuale costituito da 20 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la media della
variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Esercizio 5
Infe 03 - 62 / 61
Esercizio 5
risoluzione:
mentre abbiamo visto che il risultato corretto è:
n
szx
n
szx n
Qnn
Qn supinf
20
042,0575,2824,0
20
042,0575,2824,0
024,0824,0024,0824,0
027,0824,0027,0824,0
Infe 03 - 63 / 61
Tecnica delle misurazioni applicate – Esame del 27 marzo 2008
Problema 1.
Microlè SpA è un’impresa che costruisce relè per la commutazione di segnali. Essa dichiara sul suo catalogo che la resistenza parassita dei contatti (chiusi) dei propri relè è garantita, tramite un controllo di qualità sul 100% della produzione, non superiore a 10,2 m.
Un nuovo progetto di un modello di relè in produzione da tempo sembra poter apportare benefici, ma l’ing. Tizio, Responsabile della Produzione, teme che la resistenza parassita dei contatti dei nuovi relè possa avere una elevata variabilità: ciò potrebbe riflettersi in un aumento della percentuale di dispositivi “fuori tolleranza” che dovranno pertanto essere scartati durante il controllo di qualità del prodotto.
L’ing. Tizio decide di condurre una valutazione, su di una preserie campione, del valore dello “scarto per fuori tolleranza” che il nuovo progetto potrebbe determinare.
Realizzata una preserie di 16 elementi Tizio misura con uno strumento di elevata qualità (tanto da poter ritenere trascurabile la incertezza di misura) la resistenza parassita Rp dei contati chiusi di ciascun relè ottenendo i seguenti risultati:
Rp1 = 9,5 m Rp2 = 9,6 m Rp3 = 9,6 m Rp4 = 9,7 mRp5 = 9,7 m Rp6 = 9,7 m Rp7 = 9,8 m Rp8 = 9,8 mRp9 = 9,8 m Rp10 = 9,8 m Rp11 = 9,9 m Rp12 = 9,9 mRp13 = 9,9 m Rp14 = 10,0 m Rp15 = 10,0 m Rp16 = 10,1 mSi chiede al candidato di determinare, sulla base dei risultati sopra riportati:
1. l’intervallo di valori della Rp che corrisponde all’intervallo di confidenza al 90% per la media della variabile casuale che si è adottata.
2. Il valore massimo e minimo dello scarto che può essere atteso per l’intera popolazione dei relè eventualmente prodotti in base al nuovo progetto (si operi con una confidenza del 90% nella determinazione della varianza della variabile casuale che si è adottata).