INFO-F-305 Modélisation et Simulation TP2 : Introduction à ... · INFO-F-305 Modélisation et Simulation TP2 : Introduction à SIMULINK et cas d’étude 1 Introduction Simulink

INFO-F-305 Modélisation et Simulation

TP2 : Introduction à SIMULINK et cas d’étude

1 Introduction

Simulink est une extension graphique de Matlab permettant de repré-senter des systèmes sous forme de diagrammes en blocs, et de simuler lefonctionnement de ces systèmes. Ces blocs se combinent entre eux pour for-mer des systèmes complexes, auxquels on pourra soumettre divers signauxd’entrée, et dont on pourra visualiser la sortie.

2 Les briques de base

Simulink se lance en tapant simplement simulink sur le terminal deMatlab. Un nouveau modèle se crée avec File -> New -> Model, qui afficheune fenêtre blanche, sur laquelle on pourra déposer les différents blocs (pardrag and drop) et les lier entre eux à l’aide de la souris.

Les blocs sont groupés dans différents groupes :– Sources : permet de spécifier des sources d’input à un systèmes (sinu-

soïde, constante, rampe, séquence répétée...).– Sinks : permet de spécifier des outputs. Nous utiliserons principale-

ment To Workspace, qui permet d’envoyer le résultat au workspace deMatlab, et Scope qui permet d’afficher le résultat directement dans ungraphique.

– Divers : le bloc Fcn (Groupe User-Defined Functions) permet de dé-crire soi-même une fonction, le bloc State-Space (Groupe Continuous)un système simple d’équations différentielles. Le bloc DEE (“Differen-tial equation editor”) permet d’utiliser des équations différentielles ar-bitraires. Pour pouvoir l’utiliser, taper dee sur le terminal Matlab.

3 Un premier exercice

– Créer un modèle simple avec une entrée u(t) sinusoïdale, et une sortiey(t) telle que

{

x(t) = u(t)

y(t) = x(t)

1

Utiliser les blocs Sine-wave et State-space à cet effet. Visualiser l’en-trée et la sortie à l’aide de deux blocs Scope.

– Paramétrer le temps de la simulation : Simulation -> Configuration,ex : de 0 à 10.

– Lancer la simulation : Simulation -> Play, et visualiser le résultatdans les “scopes”.

– Recommencer avec une autre source, par exemple Pulse Generator.

4 Références

– Tutoriels Matlab et Simulink de Mathworks (en anglais) :http://www.mathworks.nl/academia/student_center/tutorials/

– Aide-mémoire des commandes Matlab (en anglais) :http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/calcul/quikref.ps

– Un tutoriel plus complet pour Matlab (en anglais) :http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/calcul/matlabintro.pdf

– Un tutoriel de Matlab et Simulink en français :http://www.gel.ulaval.ca/%7Elehuy/intromatlab/

– Une page de liens vers des tutoriels Matlab/Simulink :http://www.site.uottawa.ca/%7Emyagoub/EEGIntroMatlab.html

– Page de liens de Mathworks :http://www.mathworks.com/company/events/archived_webinars.html

– Le manuel officiel de Simulink (en anglais) :http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/modsim/Simulink_Manual.pdf

5 Introduction aux cas d’étude

Les scripts référencés dans les cas d’étude sont disponibles sur la pageweb : www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/modsim/casetud/. Après les avoir en-registrés dans votre dossier courant de matlab (tapez pwd dans le terminalMatlab pour identifier votre dossier courant), ils peuvent être lancés direc-tement en tapant leur nom sur le terminal Matlab. Ces fichiers font appel àdes fichiers .mdl contenant les modèles, et que vous pouvez visualiser en lesouvrant directement à partir de Simulink. Pour chaque script, veillez à biencomprendre à la fois le script et le modèle.

2

http://www.mathworks.nl/academia/student_center/tutorials/

http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/calcul/quikref.ps

http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/calcul/matlabintro.pdf

http://www.gel.ulaval.ca/%7Elehuy/intromatlab/

http://www.site.uottawa.ca/%7Emyagoub/EEGIntroMatlab.html

http://www.mathworks.com/company/events/archived_webinars.html

http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/modsim/Simulink_Manual.pdf

www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/modsim/casetud/

6 Le format des cas d’étude

Fiche

1. Description: texte

2. Applications pratiques: texte

3. Hypothèses, assomptions et connaissance au préalable

4. Structure

(a) Dimensionnalité: nombre n de variables d’état, nombre m de vari-ables d’entrée, nombre p de variables de sortie

(b) Contraintes sur la fonction d’entrée u(t) (si m > 0)

(c) Temps: discret ou continu

(d) Espace d’état: discret ou continu

(e) Paramètres: nom

(f) Formalisme: EDO, équations aux différences, EDP, automate...

(g) Équations.

5. Simulations (plusieurs simulations peuvent être envisagées)

(a) Simulation 1

i. Conditions initiales: notons que x(0) dénote la valeur initialedu vecteur x.

ii. Valeurs des paramètres

iii. Intervalle de temps de simulation [t0, tf ].

iv. Fonction(s) d’entrée.

v. Résolution numérique: algorithme d’intégration numérique,générateur de nombre aléatoires, ...

vi. Implémentation: langage d’implémentation et nom fichier.

vii. Visualisation: diagrammes temporelles (entrées, états, sor-ties), portrait de phases (état si n > 1).

(b) Simulation 2

(c) Simulation 3

(d) Simulation ...

6. Analyse quantitative et qualitative du comportement: texte supportépar des visualisations

7. Suggestions pour un étude ultérieur: texte

3

7 Cas d’étude 1 : intégrateur simple

7.1 Le cas d’étude

1. Description: le modèle décrit l’évolution d’une quantité en fonctiond’une entrée.

2. Applications pratiques: le modèle peut décrire l’évolution de la quan-tité de marchandise d’un entrepôt sur la base du débit en entrée, lechangement de concentration d’un milieu, le changement de la tailled’une population suite à un phénomène d’émigration ou d’immigration(qui ne prend pas en considération la taille de la population), oul’évolution du niveau d’un réservoir d’eau.

3. Hypothèses, assomptions et connaissance au préalable:

– aucun feedback de l’état sur le taux de changement est présent.– Le changement d’état est complètement déterminée par le flux en

entrée.– Le taux de changement peut être aussi positif que négatif.– L’état est observable.

4. Structure:

(a) Dimensionnalité: n = 1 état, m = 1 entrée, p = 1 sortie

(b) Contraintes sur la fonction d’entrée u(t) (si m > 0): fonction àvaleurs finies

(c) Temps: continu

(d) Espace d’état: continu

(e) Formalisme: EDO

(f) Équations:{

x(t) = cu(t),

y(t) = x(t)

(g) Paramètres: c ∈ R

5. Simulations

(a) Simulation 1

i. Conditions initiales: x(0) = 1

ii. Valeurs paramètres: c = 1

iii. Temps de simulation: [0, 10]

iv. Fonction(s) d’entrée: u(t) = sin(t)

v. Résolution numérique: default MATLAB

vi. Implémentation: script MATLAB cas11.m (et mod11.mdl)

4

vii. Visualisation

viii. Analyser la relation entre le signe de u(t) et la dérivée de x(t)

0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u

0 2 4 6 8 101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

t

x

Cas d’étude 1: simulation 1

0 2 4 6 8 101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

t

y

(b) Simulation 2


ii. Valeurs paramètres: c = 0.1


iv. Fonction(s) d’entrée: u(t) = t

v. Résolution numérique: algorithme d’intégration numérique

vi. Résolution numérique: default MATLAB

vii. Implémentation: script MATLAB cas12.m (et mod12.mdl)

viii. Visualisation

0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

u

0 5 100

1

2

3

4

5

6

t

x


0 5 100

1

2

3

4

5

6

t

y

(c) Simulation 3




iv. Fonction(s) d’entrée: Linéaire par morceaux


vi. Implémentation: script MATLAB cas13.m (et mod13.mdl)

5

vii. Visualisation

0 10 20 30 40 50−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

u

0 10 20 30 40 50−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

t

x


0 10 20 30 40 50−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

t

y

6. Analyse quantitative et qualitative du comportement: l’évolution del’état x(t) peut être obtenue de manière analytique en calculant l’integralde la fonction u(t), c.-à-d.

x(t) = x(0) +

∫ t

0cu(t)dt (1)

Les effets dus aux fluctuations de l’entrée sont lissés par l’état (voirSimulation 3).

7. Suggestions pour une étude ultérieur:

(a) Tester le cas c < 0

(b) Valider la formule 1 pour une fonction u(t) que vous êtes capablesd’intégrer à la main (linéaire, quadratique,. . . ).

(c) Imaginer un système réel qui puisse être représenté par cette dy-namique.

Le cas d’étude précédent (l’intégrateur simple) consistait en un systèmefort simple, où le taux de changement de l’état ne dépendait que de l’entréeu(·). En règle générale, les systèmes sont plus complexes, et introduisentdu feedback dans le taux de changement de l’état, ç.-à-d. que le taux dechangement dépend de l’état lui-même. Les cas d’étude suivant illustrent ceconcept. Le premier illustre un système sans entrée, où le taux de change-ment de l’état ne dépend que de l’état lui-même, le deuxième un système oùle taux dépend à la fois d’une entrée et de l’état du système, et le troisième unsystème sans entrée mais plus complexe, avec des phénomènes non-linéairesde seuil.

6

8 Cas 2: croissance et décroissance exponentielle

1. Description: dans ce système la valeur de l’état détermine le taux dechangement de l’état-même (feedback). Ceci amène à la formationd’une dynamique exponentielle indépendemment de la présence d’uneentrée (facteur externe ou exogène).

2. Applications pratiques: un exemple typique est l’évolution d’une pop-ulation (par exemple des lapins) en absence de prédateurs: si la popu-lation augmente à un taux de 10% cela signifie que le nombre de lapinsadditionnels à la fin du mois peut être calculé sur la base du nombreactuel. Notons que le taux de 10% peut être obtenu comme la dif-férence entre le taux de naissance et le taux de décès de la population.D’autres systèmes peuvent être modélisés de la même façon: l’évolutionde l’intérêt dans un compte en banque, la croissance économique, ladésintégration radioactive (decay).

3. Hypothèses, assomptions et connaissance au préalable:

– le changement d’état est complètement déterminé par l’état-même.– aucune entrée exogène.

4. Structure

(a) Dimensionnalité: n = 1 variables d’état, m = 0 variables d’entrée,p = 1 variable de sortie

(b) Contraintes sur la fonction d’entrée u(t); néant

(c) Temps: continu


(e) Paramètres: c: le signe de ce paramètre détermine le signe dufeedback et par conséquent la stabilité (c < 0) ou l’instabilité dela dynamique (c > 0). La valeur absolue |c| détermine la vitessede la croissance ou de la décroissance exponentielle.

(f) Formalisme: EDO

(g) Équations:{

x(t) = cx(t)

y(t) = x(t)(2)

5. Simulations

(a) Simulation 1



iii. Intervalle de temps de simulation [0, 10].

iv. Fonction(s) d’entrée: néant

7

v. Visualisation:

0 2 4 6 8 101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

t

x


0 2 4 6 8 101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

t

y

vi. Résolution numérique: default MATLAB.

vii. Implémentation: script MATLAB cas21.m (et mod2.mdl).

(b) Simulation 2


ii. Valeurs paramètres: c = −0.1


iv. Fonction(s) d’entrée: néant.

v. Visualisation:

0 2 4 6 8 10

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

x


0 2 4 6 8 10

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

y



(c) Simulation 3


ii. Valeurs paramètres: c = −1


iv. Fonction(s) d’entrée: néant.

v. Visualisation:

8

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

x


0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y



6. Analyse quantitative et qualitative du comportement:

– La solution analytique a la forme

x(t) = x(0)ect

– τ = 1/c est appelée la constante de temps du système.– Si c > 0, le temps requis par le système pour doubler la valeur de

l’état est égale à ln 2/c.– Si c < 0 le temps requis par le système pour couper en deux la valeur

de l’état est égale à − ln 2/c.

7. Suggestions pour une étude ultérieure :

– Imaginer un système réel qui puisse être représenté par cette dyna-mique.

9

9 Cas 3: système avec retard d’ordre 1

1. Description: l’évolution de l’état dépend de la combinaison d’une décrois-sance exponentielle et d’une entrée. Ceci amène à un oubli progressif del’histoire du système et à une adaptation avec retard au signal exogène.

2. Applications pratiques:

– modéliser la dynamique d’un réservoir caractérisé par un débit d’entréeet un débit de sortie lié au niveau de l’eau.

– modéliser un système mécanique soumis à une force et à une frictionqui dépende de la vitesse du système.

3. Hypothèses, assomptions et connaissance au préalable

4. Structure

(a) Dimensionnalité: n = 1 état, m = 1 entrée, p = 1 sortie

(b) Contraintes sur la fonction d’entrée u(t) : finie

(c) Temps: continu


(e) Paramètres: c > 0 constante de décroissance exponentielle

(f) Formalisme: EDO

(g) Équations:{

x(t) = u(t) − cx(t)

y(t) = x(t)

5. Simulations

(a) Simulation 1


ii. Valeurs paramètres: c = 2


iv. Fonction(s) d’entrée: u(t) = 1 pour t > 0.

v. Visualisation:

0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

u

0 5 100.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

t

x


0 5 100.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

t

y

10

Une fois définie la constante de temps τ = 1/c il est possiblede vérifier que

x(t) = x(0) exp−t/τ +τ(1 − exp−t/τ )

.



(b) Simulation 2

Cette simulation a été supprimée.

(c) Simulation 3


ii. Valeurs paramètres c = 0.02


iv. Fonction(s) d’entrée: u(t) = Gt, où G = 0.1.

v. Visualisation:

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

u

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25Cas d’étude 3: simulation 2

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

t

y

Il est possible de vérifier que

x(t) = x(0) exp−t/τ +Gτ [t − τ(1 − exp−t/τ )]

.




– La dynamique est déterminée par deux taux de changement dif-férents : une exponentielle négative à taux constant −c et un tauxu(t) dépendant du temps mais indépendant de l’état du système.

– Pour un u(t) constant, le paramètre c détermine l’état d’équilibrex = u/c.

11

– la valeur τ = 1/c est la constante du temps du système. Le systèmes’adapte d’autant plus vite au taux de changement exogène que lavaleur c est grande. Donc plus la valeur de c est grande, plus leretard du système est petit. Pour voir ceci comparer la simulation 1et la 3.

– Analyse pour u(t) = G constant. Nous obtenons une solution généraleà l’équation non-homogène x = u − cx en prenant la somme d’unesolution générale de l’équation homogène associée x = −cx et unesolution particulière de l’équation non-homogène (voit TP1 sur leséquations différentielles) . Nous savons qu’une solution de l’équationhomogène est donnée par Ae−ct (voir TP 1). Dans quel cas pouvonsnous avoir une solution particulière de la forme x(t) = k (avec k con-stante) pour l’équation x = u − cx ? Simplement quand 0 = u − ckdonc quand k = u/c. Une solution particulière est donc x = u/c. Lasolution générale de l’équation non-homogène est donc

x(t) = Ae−ct +u

c

Nous voulons à présent faire apparaître x(0). Cela donne

x(0) = A +u

c

et donc A = x(0) − u/c. En remplaçant A par x(0) − u/c dans lasolution générale, on obtient

x(t) = x(0)e−ct +u

c(1 − e−ct)

et donc (en reformulant par rapport à G et τ)

x(t) = x(0)e−t/τ + Gτ(1 − e−t/τ )

Le premier terme étant une exponentielle négative, on converge versun comportement dépendant uniquement de u et de c, d’où le phénomènede retard. La fonction vers laquelle on tend correspond donc àl’entrée u, avec un facteur d’amplification 1/c.

– Analyse pour u(t) = t. A nouveau, nous obtenons une solutiongénérale à l’équation non-homogène x = u−cx en prenant la sommed’une solution générale de l’équation homogène associée x = −cxet une solution particulière de l’équation non-homogène (voit TP1sur les équations différentielles) . Nous savons qu’une solution del’équation homogène est donnée par Ae−ct (voir TP 1). Dans quel caspouvons nous avoir une solution particulière de la forme x(t) = Q +R · t (avec Q,R constants) pour l’équation x = u− cx ? En insérantx(t) = Q+ R · t dans l’équation nous obtenons R = t− c(Q + Rt) et

12

donc

R + cQ + cRt − t = 0

⇐⇒ R + cQ + t(cR − 1) = 0

Une solution particulière peut être obtenue à partir de l’équationci-dessus en imposant

{

cR − 1 = 0 et

R + cQ = 0

ce qui donne{

R = 1c et

Q = −Rc = −1

c2

Notre solution particulière est donc x(t) = c−2 + t/c. La solutiongénérale de l’équation non-homogène est donc

x(t) = Ae−ct − c−2 + t/c

Nous voulons à présent faire apparaître x(0). Cela donne

x(0) = A + −c−2

et donc A = x(0) + c−2. En remplaçant A par x(0) + c−2 dans lasolution générale, on obtient

x(t) = (x(0) + c−2)e−ct − c−2 + t/c

= x(0)e−ct + c−1(t + c−1e−ct − c−1)

= x(0)e−ct + c−1(t + c−1(e−ct − 1))

et donc (en reformulant par rapport à τ)

x(t) = x(0)e−t/τ + τ(t − τ(1 − e−t/τ ))

A nouveau, le premier terme étant une exponentielle négative, onconverge vers un comportement dépendant uniquement de u et de c,d’où le phénomène de retard.

7. Suggestions pour une étude ultérieure:

– étudier la réponse du système pour des lois d’entrée différentes etpour d’autres valeurs de c.

– imaginer un système réel qui puisse être représenté par cette dy-namique. .

13

10 Cas 4: croissance logistique

1. Description: le modèle (2), pour c > 0 est une représentation simplisted’une population croissante. En réalité, dans les processus physiques,aucune croissance ne peut continuer à l’infini. Certains processuss’arrêtent quand le seuil supérieur est atteint, dans d’autres la crois-sance est ralentie en fonction du niveau. Ce deuxième exemple decroissance est dénommé la croissance logistique. Le système est nonlinéaire.

2. Applications pratiques: dynamique des populations, systèmes prèsde la saturation. La validité du modèle logistique a été testée dansplusieurs expériences en laboratoire où des colonies de bactéries, levureou d’autre organismes simples ont été cultivées dans des conditions declimat constant, présence de nourriture et absence de prédateurs. Lesrésultats expérimentaux ont montré une très bonne correspondanceentre le modèle mathématique et la réalité expérimentale. Par con-tre la validation à été moins convaincante dans le cas de populationsd’organismes plus complexes.

3. Hypothèses, assomptions et connaissance au préalable: le modèle lo-gistique s’appuie sur deux hypothèses:

(a) si la population est petite, le taux de croissance est presque di-rectement proportionnel à la taille de la population.

(b) si la population est trop grande, le taux de croissance devientnégatif.

4. Structure

(a) Dimensionnalité: n = 1 état, m = 0, p = 1 sortie

(b) Contraintes sur la fonction d’entrée u(t): néant

(c) Temps: continu


(e) Paramètres: seuil k > 0 et constant exponentielle c > 0. Leparamètre c représente le taux de croissance quand la taille x estpetite. La paramètre k représente une sorte de taille idéale ou decapacité du système.

(f) Formalisme: EDO

(g) Équations:{

x(t) = cx(t)(1 − x(t)k )

y(t) = x(t)(3)

Notons que si x est petit l’équation revient à x(t) = cx(t) et six > k alors x < 0.

14

5. Simulations

(a) Simulation 1

i. Conditions initiales: x(0) = 0.3

ii. Valeurs paramètres: k = 1.5, c = 0.2




vi. Implémentation: script MATLAB cas41.m (et mod41.mdl).

vii. Visualisation:

0 10 20 30 40 500.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

x


0 10 20 30 40 500.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

y

(b) Simulation 2


ii. Valeurs paramètres: k = 1.5, c = 0.2




vi. Implémentation: script MATLAB cas42.m (et mod41.mdl).

vii. Visualisation:

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

x


0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

y


15

– Si x(0) > 0 la solution analytique est connue et a la forme

k

be−ct + 1

où b > 0 est déterminé selon la condition initiale.– évolution temporelle de l’état a une forme en S.– le taux de croissance diminue au fur et à mesure que l’état se rap-

proche de la valeur limite k.– pour x(0) = k et x(0) = 0 nous avons des solutions d’équilibre– si nous traçons le graphique de la fonction cx(t)(1− x(t)

k ) en fonctionde x nous observons que la dérivée est positive pour 0 < x < k etnégative pour x < 0, x > k.

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

x

f(x)

Ceci signifie que la solution tend à s’éloigner de x = 0 (noeud insta-ble) et à converger sur x = k (noeud stable).

7. Suggestions pour un étude ultérieure:

– une variation intéressante du modèle (4) est obtenue en ajoutant unterme négatif qui dépend de l’état

{

x(t) = cx(t)(1 − x(t)k ) − gx(t)

y(t) = x(t)(4)

Cette équation peut être utilisée pour modéliser la croissance de ladensité d’une population (par exemple de poissons) où le taux decapture dépend de la densité même ou l’évolution des impôts enfonction de l’activité productive.

– imaginer un système réel qui puisse être représenté par cette dy-namique.

16

Documents

INFO-F-305 Modélisation et Simulation TP2 : Introduction à ... · INFO-F-305 Modélisation et Simulation TP2 : Introduction à SIMULINK et cas d’étude 1 Introduction Simulink