Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov ... · Prof. Michal Fendek: Mikroekonomická analýza Folia č.6 3UtNODG Skúmajme funkciu užitočnosti dvoch tovarov T1,

Mikroekonomická analýza (Tézy k prenáške č. 4)

Téma prednášky

Optimálne rozhodovanie spotrebiteľa (Časť 1)

Prof. Dr. Michal Fendek

Katedra operačného výskumu a ekonometrie

Ekonomická univerzita Bratislava

Dolnozemská 1

852 35 Bratislava

Katedra operačného výskumu a ekonometrie, EU v Bratislave

Prof. Michal Fendek: Mikroekonomická analýza Folia č.2

Optimálne rozhodovanie spotrebiteľa - str.167

Rekapitulácia

Zovšeobecnenie funkcie užitočnosti

u( ) maxx

p x M

X

j jj

h

1

p x

x

T

pri ohraničení

kde

h - je počet tovarov,

x - je vektor spotrebiteľskej stratégie, x Rh,

p - je vektor cien, p Rh,

u(x) - je konkávna, spojitá a diferencovateľná funkcia

užitočnosti, u(x): RhR,

M - je dôchodok spotrebiteľa určený na nákup tovarov x Rh,

X - množina prípustných spotrebiteľských stratégií, X Rh .

Podmnožina X spotrebných stratégií, ktoré vyhovujú ohraničeniu úlohy reprezentuje množinu stratégií

spotrebiteľa, ktoré sú realizovateľné pri definovanej úrovni dôchodku -

Množina Rozpočtovo prípustných stratégií spotrebiteľa

x p x x XT M ,


Optimálne rozhodovanie spotrebiteľa

Všeobecné vyjadrenie zložiek vektora optimálnej spotrebnej stratégie x* možno interpretovať ako dopytové

funkcie spotrebiteľa po jednotlivých tovaroch

xk = dk (p,M) pre k=1, 2, ..., h

dk - je dopytová funkcia po k-tom tovare, dk (p,M): Rh+1R.

Dopytová funkcia závislosti dopytu od cien a dôchodku sa nazýva Marshallova dopytová funkcia.

Poznámka

Odvoďme Marshallove dopytové funkcie pre Cobbovu-Douglasovu funkciu užitočnosti, ktorej

analytický tvar je nasledovný

u x x x x( , )1 2 1 2

1

pričom (0,1)

ln ( , ) ln ( ) ln maxu x x x x1 2 1 21

Mxpxp 2211

L x x x x p x p x M( , , ) ln ( ) ln ( )1 2 1 2 1 1 1 11

1

2111 ),,(p

MMppdx

1

2122

1),,(

p

MMppdx



z x

Lokálne neuspokojenie spotrebiteľa. Pre každú prípustnú spotrebnú stratégiu xX a každé reálne číslo 0 existuje

prípustná spotrebná stratégia zX, pričom zN(x)[1] taká, že platí

.



Funkcia nepriamej užitočnosti

v(p,M): Rh+1R.

xp uMv max),(

p x

x

T

M

X

Funkciu nepriamej užitočnosti v(p1, p2, M) Cobbovej-Douglasovej funkcie

užitočnosti , pričom (0,1) získame dosadením Marshallových dopytových

funkcií do funkcie užitočnosti

v p p MM

p

M

p

M

p p( , , )

( )( )( )

( )1 2

1 2

1

1

1 2

1

11

Pr. 3.1, str. 171


Príklad 3.1

Skúmajme funkciu užitočnosti dvoch tovarov T1, T

2, ktorej analytický tvar je nasledovný

u x x x x( , )1 2 1

2

2

pričom ceny tovarov sú p1, p2 a dôchodok spotrebiteľa je M. Odvoďme Marshallove dopytové

funkcie a funkciu nepriamej užitočnosti

Riešenie:

Riešme úlohu voľby optimálnej spotrebnej stratégie pre monotónne transformovanú funkciu

užitočnosti

u x x u x x x x0

1 2 1 2 1 22( , ) ln ( , ) ln ln max

pri ohraničení

p x p x M1 1 2 2

Lagrangeova funkcia tejto úlohy na viazaný extrém má tvar

L x x x x p x p x M( , , ) ln ln ( )1 2 1 2 1 1 2 22

Na základe analýzy nutných podmienok extrému Lagrangeovej funkcie dostávame všeobecné

vyjadrenie dopytových funkcií

x d p p MM

p1 1 1 2

1

2

3 , ,

x d p p MM

p2 2 1 2

13 , ,

Analytické vyjadrenie funkcie nepriamej užitočnosti získame po dosadení dopytových

funkcií do analytického tvaru funkcie užitočnosti

v p p M u x x x xM

p

M

p

M

p p1 2 1 2 1

2

2

1

2

2

3

1

2

2

2

3 3

4

9, , max{ ( , )}



Funkcia minimálnych výdavkov spotrebiteľa

e u( , ) minp p xT

u u( )x

pri ohraničení

Príklad Skúmajme funkciu

užitočnosti dvoch tovarov T1, T2,

ktorej analytický tvar je nasledovný

u x x x x( , )1 2 1 2pričom ceny tovarov sú p1, p2 a

spotrebiteľ usiluje o dosiahnutie

stupňa uspokojenia svojich potrieb

na úrovni hodnoty funkcie

užitočnosti u.

e p p u p x p x( , , ) min1 2 1 1 2 2

uxx 21


Lagrangeova funkcia tejto úlohy na viazaný extrém má tvar

L x x p x p x x x u( , , ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2

Formulujme nutné podmienky extrému Lagrangeovej funkcie

L x x

xp x x

p( , , )1 2

1

1 2 2

10

L x x

xp x x

p( , , )1 2

2

2 1 1

20

L x xx x u

( , , )( )

1 2

1 2 0

Dosaďme vyjadrenia premenných x1, x2 do tretej nutnej podmienky a dostávame rovnice

pre premennú

p pu

p p

u

1 2 1 2

* =

Optimálnu hodnotu Lagrangeovho multiplikátora dosaďme do vyjadrenia premenných

x1, x2 a dostávame

xp up

p p

up

p1

2 2

2

1 2

2

1

xp up

p p

up

p2

1 1

2

1 2

1

2

Analytické vyjadrenie funkcie minimálnych výdavkov získame po dosadení dopytových

funkcií do analytického tvaru funkcie výdavkov spotrebiteľa

e p p u p x p x p p u1 2 1 1 2 2 1 22, , min( )


Všimnime si, že vyjadrenia premenných x1, x2 v predchádzajúcom príklade predstavujú

dopytové funkcie, v ktorých sa dopyt vypočítava na základe trhových cien p1, p2 a požadovanej

úrovne užitočnosti u a nie na základe cien a dôchodku ako to bolo v prípade Marshallových

dopytových funkcií. Dopytové funkcie tohto typu nazývame Hicksove dopytové funkcie

x h ui i ( , )p , kde i je index tovaru a funkcia hi : Rh+1

R

Dá sa ukázať, že Hicksova dopytová funkcia vypočítava výšku dopytu po i-tom tovare za

predpokladu minimalizácie výdavkov spotrebiteľa potrebných na obstaranie spotrebného koša

garantujúceho požadovanú úroveň užitočnosti a platí

x h ue u

pii i

i

( , )( , )

pp

pre (3.4)

Presvedčíme sa o správnosti vzťahu pre funkciu užitočnosti z príkladu 3.2. Vypočítajme

analytické tvary Hicksových dopytových funkcií

x h u

e u

p

p p u

p

p p u

p

p u

p1 1

1

1 2

1

1 2

12

1

2

1

2 2 ( , )

( , )p

p

= =

a analogicky ukážeme, že platí

x h u

e u

p

p p u

p

p p u

p

p u

p2 2

2

1 2

2

1 2

12

2

1

2

2 2 ( , )

( , )p

p

= =

Poznámka

Všimnime si, že analytický tvar funkcie minimálnych výdavkov môžeme odvodiť

z analytického tvaru funkcie nepriamej užitočnosti. Obidve funkcie totiž spolu úzko súvisia,

nakoľko funkcia nepriamej užitočnosti v(p,M) vypočítava maximálnu užitočnosť pri

definovaných výdavkoch a funkcia minimálnych výdavkov e(p,u) vypočítava minimálne

výdavky pri definovanej užitočnosti, v obidvoch prípadoch za predpokladu zadaného vektora

trhových cien tovarov p.



x h ue u

pii i

i

( , )( , )

pp

pre

1

2

1

21

21

1

21

1

11

2=

2=

),(),(

p

up

p

upp

p

upp

p

ueuhx

pp

2

1

2

21

21

2

21

2

22

2=

2=

),(),(

p

up

p

upp

p

upp

p

ueuhx

pp

v p p MM

p p1 2

3

1

2

2

4

9, ,

u v p p e p p uM

p pM

p p u

e p p up p u

1 2 1 2

3

1

2

2

3 1

2

2

1 2

1

2

23

4

9

9

4

9

4

, , ( , , )

( , , )

Hicksove dopytové funkcie

Transformácia v(p,M) e(p,u) .... Pr. 3.1

uppxpxpuppe 21221121 2min),,(



Identity optimálneho správania spotrebiteľa

v M uo( , ) ( ) maxp x

p xT Mo

min*),( xppTue

u u( ) *x



MMve )),(,( pp

Na dosiahnutie požadovanej užitočnosti v M( , )p

potrebujeme vynaložiť minimálne výdavky vo výške M.

Identita 1

Identita 2

v e u u( , ( , ))p p

Vynaložením výdavkov vo výške ),( ue p môžeme dosiahnuť maximálnu užitočnosť u.

Identita 4

d M h v Mi i( , ) ( , ( , ))p p p

Marshallov dopyt zodpovedajúci príjmu M je rovnaký ako Hicksov dopyt zodpovedajúci užitočnosti v M( , )p

h u d e ui i( , ) ( , ( , ))p p p

Hicksov dopyt zodpovedajúci očakávanej užitočnosti u je rovnaký ako Marshallov dopyt zodpovedajúci výdavkom e u( , )p

Identita 3



.

Zaujímavým a pri praktických analýzach správania spotrebiteľa často využívaným vzťahom vyjadrujúcim

súvislosť medzi Marshallovou dopytovou funkciou a funkciou nepriamej užitočnosti je Royova identita.

d M

v M

p

v M

M

i ni

i( , )

( , )

( , ), ,...,p

p

p

pre 1 2

22121 ),( xxxxu

v p p MM

p p1 2

3

1

2

2

4

9, ,

pre funkciu užitočnosti

potom existuje funkcia nepriamej užitočnosti v tvare

Na základe Royovej identity odvoďme Marshalove dopytové funkcie pre jednotlivé tovary - Poznámka str. 177

d M

v M

p

v M

M

M

p p

p

M

p p

M

M

p p

M

p p

M

p1

1

3

1

2

2

1

3

1

2

2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

4

9

4

9

8

9

12

9

2

3( , )

( , )

( , )p

p

p

d M

v M

p

v M

M

M

p p

p

M

p p

M

M

p p

M

p p

M

p2

2

3

1

2

2

23

1

2

2

3

1

2

2

2

2

1

2

2

2

4

9

4

9

4

9

12

9

3( , )

( , )

( , )p

p

p



.

Vplyv štátnych zásahov na rozhodovanie spotrebiteľa

Ovplyvnenie ceny tovarov

- zavedenie, zrušenie, zvýšenie alebo zníženie dane z pridanej hodnoty na konkrétny tovar, alebo

kategórie tovarov,

- zavedenie, zrušenie, zvýšenie alebo zníženie spotrebnej dane na konkrétny tovar, alebo

kategórie tovarov,

- zavedenie, zrušenie, zvýšenie alebo zníženie cla na konkrétny importovaný tovar,. alebo

kategórie tovarov,

- zavedenie, zrušenie, zvýšenie alebo zníženie dovoznej prirážky na konkrétny importovaný tovar,

alebo kategórie tovarov.

Ovplyvnenie dôchodku spotrebiteľa

- Do tejto skupiny opatrení treba zaradiť najmä znižovanie alebo zvyšovanie dane z príjmov

fyzických osôb.

- Podobné dôsledky na rozhodovanie spotrebiteľa má však aj definovanie a zmena výšky detských

prídavkov, študentských a doktorandských štipendií, dôchodkov, podpory v nezamestnanosti,

invalidných dôchodkov a podobne



.

u x x( , ) max1 2

p x p x M

X

1 1 2 2

x

Zavedenie nepriamej

dane

Zavedenie priamej dane



.

Príjmové a substitučné efekty v rozhodovaní spotrebiteľa

u x x( , ) max1 2

p x p x M

X

1 1 2 2

x

Predpokladajme teraz, že cena prvého tovaru sa zníži o hodnotu p1.

u x x( , ) max1 2

( )p p x p x M

X

1 1 1 2 2

x



.

Hicksova dekompozícia príjmového a substitučného efektu

Model M

Model M0

Model MHI



.

Hicksova dekompozícia príjmového a substitučného efektu

S M p p x p x ( ) max1 1 1 2 2

u x x u x x( , ) ( *, *)1 2 1 2

Xx

x h ue p p p u x x

pH

1 1

1 1 2 1 2

1

( , )( , , ( *, *)

p

x h ue p p u x x

pH

2 2

1 2 1 2

2

( , )( , , ( *, *)

p

S M e p p p u x x ( , , ( *, *))1 1 2 1 2

iCE

i i i id M d M x x i h ( , ) ( , ) * , ,...p p0 0 1 2 pre

iSE

i i i

H

ih u d M x x i h ( , *) ( , ) * , ,...p p0 1 2 pre

i

PE

i

CE

i

SE i h pre 1 2, ,...príklad. 3.4, str.189

tab. 3.1


Príklad 3.4

V príklade 3.2 sme skúmali správanie spotrebiteľa a odvodili sme Hicksove dopytové

funkcie h1(p1, p2, u), h2(p1, p2, u) a funkciu minimálnych výdavkov e(p1, p2, u) pre funkciu

užitočnosti u(x1, x2) = x1 x2. Pokračujme v skúmaní tohoto príkladu. Pre disponibilný

dôchodok spotrebiteľa o výške M = 400 a ceny tovarov p1 = 20 a p2 = 40 najprv vypočítame

optimálnu stratégiu spotrebiteľa na základe Marshallových dopytových funkcií

x d MM

p1 1

12 ( , )p = 10

x d MM

p2 2

22 ( , )p = 5

a hodnotu funkcie užitočnosti u(x1, x2) = x1 x2 = 50.

Predpokladajme ďalej, že trhová cena prvého tovaru klesla o 50%, t. j. o hodnotu

p1 = 10. Keby spotrebiteľ vyčerpal celý svoj rozpočet na obstaranie tovarov pri novej cene

prvého tovaru, tak by jeho optimálna spotrebná stratégia xN = (20, 5), ktorej výpočet

prenechávame na čitateľa, poskytovala hodnotu funkcie užitočnosti uN = 100, čo predstavuje

zvýšenie o 100%.



Za predpokladu, že spotrebiteľ považuje mieru uspokojenia zodpovedajúcu pôvodnej

optimálnej spotrebnej stratégii za postačujúcu, tak celkový efekt zo zníženia ceny prvého

tovaru rozdelí v súlade s Hicksovou schémou dekompozície na substitučný a príjmový efekt a

časť prostriedkov takto ušetrí a môže ich použiť iným spôsobom. Pripomeňme si analytické

tvary Hicksových dopytových funkcií a funkcie minimálnych výdavkov pre túto funkciu

užitočnosti

x h uup

p1 1

2

1

( , )p , x h uup

p2 2

1

2

( , )p , e u up p( , )p 2 1 2

Na základe týchto funkcií vypočítame spotrebnú stratégiu spotrebiteľa podľa

Hicksovej dekompozície a výšku jeho úspor. Dostávame hodnoty dopytu po tovaroch

14,142001020

4050*=

*)*,(,,(),(

11

2

1

2121111

pp

pu

p

xxupppeuhx

H

p

x h ue p p u x x

p

u p

pH

2 2

1 2 1 2

2

1

2

50 10

4012 5 3 54

( , )

( , , ( *, *) *, ,p

=

a veľkosť úspor spotrebiteľa.

S M e p p p u x x p p p u

( , , ( *, *)) ( ) *

, ,

1 1 2 1 2 1 1 2400 2 400 2 10 40 50

400 2 20000 400 282 84 117 16

Hodnota funkcie užitočnosti pre optimálnu spotrebnú stratégiu vypočítanú podľa

Hicksovej dekompozície je u(x1, x2) = 50,05, čo je v súlade s predpokladom o zachovaní

pôvodnej úrovne užitočnosti.






.

Slutského dekompozícia príjmového a substitučného efektu



.

Slutského dekompozícia príjmového a substitučného efektu

u x x( , ) max1 2

( ) ( ) * *p p x p x p p x p x

X

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

x

S M p p x p x ( ) * *1 1 1 2 2

x d M d p p p p p x p xS

1 1

0

1 1 1 2 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ,( ) * *)p

x d M d p p p p p x p xS

2 2

0

2 1 1 2 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ,( ) * *)p

iCE

i i i id M d M x x i h ( , ) ( , ) * , ,...p p0 0 1 2 pre

hixxMdd i

S

iii

SE

i ,...2,1 pre *),(*))(,( 00 pxppT

i

PE

i

CE

i

SE i h pre 1 2, ,...

príklad. 3.5, str.193

tab. 3.2


Vychádzajme zo zadania príkladu 3.4. Pre disponibilný dôchodok spotrebiteľa o výške M =

400 a ceny tovarov p1 = 20 a p2 = 40 vypočítame optimálnu stratégiu spotrebiteľa na základe

Marshallových dopytových funkcií x* = (10, 5) a u(x*) = 50.

Predpokladajme ďalej, že trhová cena prvého tovaru aj v tomto prípade klesla o 50%,

t. j. o hodnotu p1 = 10. V prípade vyčerpania celého rozpočtu na obstaranie tovarov pri novej

cene prvého tovaru, tak by jeho optimálna spotrebná stratégia xN = (20, 5) a hodnotu funkcie

užitočnosti uN = 100.

Keby však spotrebiteľ nakupoval pôvodný optimálny spotrebný kôš za nové ceny, tak

by jeho výdavky predstavovali iba sumu

y p p x p x* ( ) * * 1 1 1 2 2 10 10 40 5 300

a jeho úspora je v takom prípade vyjadrená sumou S = M - y* = 400 300 = 100.

Na základe Marshallových dopytových funkcií vypočítame spotrebnú stratégiu

spotrebiteľa podľa Slutského dekompozície pri nových cenách a redukovanom dôchodku y*.

Dostávame

x d yy

p pS

1 1

0

1 12

300

2015

( , *)

*

( )p

x d yy

pS

2 2

0

22

300

803 75 ( , *)

*,p

a hodnota funkcie užitočnosti je u(x1, x2) = 56,25.

Vidíme, že pri uplatnení Slutského dekompozície celkového efektu zo zmeny ceny na

substitučný a príjmový efekt v porovnaní s Hicksovou dekompozíciou na jednej strane vzrástla

užitočnosť, ktorú dosiahol spotrebiteľ, na druhej strane však klesli jeho úspory.




Documents

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov ... · Prof. Michal Fendek: Mikroekonomická analýza Folia č.6 3UtNODG Skúmajme funkciu užitočnosti dvoch tovarov T1,