INFORMATIKA IIMATLAB 1. deo

Rudarsko-geološki fakultet Rudarski odsek

Šta je MATLAB?

Jezik koji nudi velike mogućnosti kada su u pitanju tehnička proračunavanja

Integriše proračunavanja sa vizuelizacijom i programiranjem kroz jedno okruženje koje je lako za korišćenje i u kome se i problemi i rešenja izražavaju

pomoću uobičajene matematičke notacije Naziv MATLAB je skraćenica od matrična

laboratorija (matrix laboratory)

Karakteristične oblasti

Matematika i proračunavanja Razvoj algoritama Prikupljanje podataka Modeliranje, simulacija i izrada

prototipova Analiza, istraživanje i vizuelizacija

podataka Naučna i inženjerska grafika Razvoj aplikacija, uključujući izgradnju

grafičkog korisničkog interfejsa

Razvoj i korišćenje

MATLAB se razvijao tokom godina na osnovu doprinosa koji su davali mnogi korisnici

Postao je standardno nastavno sredstvo na univerzitetima i to kako na uvodnim tako i na naprednim kursevima iz matematike i različitih inženjerskih i naučnih disciplina

U industrijskom okruženju MATLAB predstavlja alatku izbora u oblasti istraživanja, razvoja i analize

Glavni delovi MATLAB sistema (1)

Desktop alati i razvojno okruženje Ovo je skup alatki i funkcionalnosti koje

olakšavaju korišćenje MATLAB funkcija i datoteka Mnogi od ovih alata predstavljaju grafičke

korisničke interfejse Ovim skupom su obuhvaćeni MATLAB desktop i

komandni prozor, prozor s prethodnim komandama, editor i debager, analizator koda i ostali izveštaji, pretraživač za pregledanje sistema za pomoć (help), radni prostor, datoteke i putanja za pretraživanje

Glavni delovi MATLAB sistema (2)

MATLAB biblioteka matematičkih funkcija

Veoma širok skup algoritama za proračunavanje koji obuhvataju: elementarne funkcije: zbir, sinus, kosinus,

operacije sa kompleksnim brojevima... složene funkcije: invertovanje matrice,

izračunavanje sopstvenih vrednosti matrice, Beselove funkcije, brze Furijeove transformacije...

Glavni delovi MATLAB sistema (3)

MATLAB jezik Jezik matrica/niski visokog nivoa sa

naredbama za kontrolu toka, funkcijama, strukturama podataka, ulazom/izlazom i karakteristikama objektno orijentisanog programiranja

Omogućava kako "programiranje na malo" odnosno brzo kreiranje programa za jednokratnu upotrebu tako i "programiranje na veliko" odnosno kreiranje velikih i složenih aplikativnih programa

Glavni delovi MATLAB sistema (4)

Grafika MATLAB poseduje značajne mogućnosti za

prikazivanje vektora i matrica u obliku grafova, kao i za označavanje i štampanje ovih grafova

Obuhvata funkcije visokog nivoa za vizuelizaciju dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih podataka, obradu slike, animaciju i prezentaciju grafike

Takođe sadrži funkcije niskog nivoa koje omogućavaju potpuno podešavanje izgleda grafike kao i izgradnju kompletnog grafičkog korisničkog interfejsa za razvijenu MATLAB aplikaciju

Glavni delovi MATLAB sistema (5)

Spoljni MATLAB interfejsi/API Bilbioteka koja omogućava pisanje C i

Fortran programa koji se povezuju sa MATLAB-om

Obuhvaćene su funkcionalnosti za poziv rutina iz MATLAB-a (dinamičko povezivanje), pozivanje MATLAB-a kao mašine za proračunavanje, i za čitanje i ispisivanje MAT-datoteka

Alati za specifične primene

MATLAB sadrži i veći broj dodatnih rešenja vezanih za specifične primene predstavljenih u vidu panela sa alatima

Paneli sa alatima su sveobuhvatni skupovi MATLAB funkcija (M-datoteka) i pružaju mogućnost velikom broju korisnika MATLAB-a da lako savladaju primena neke specijalizovane tehnologije

Kroz panele sa alatima proširuje se MATLAB okruženje u cilju rešavanja određenih klasa problema

Oblasti za koje postoje paneli sa alatima obuhvataju obradu signala, kontrolne sisteme, neuronske mreže, fazi logiku, talasiće (wavelets), simulaciju i mnoge druge

Osnovni element podataka

MATLAB je interaktivni sistem u kome osnovni element podataka predstavlja niska koja ne zahteva dimenzionisanje

Korišćenje niski u MATLAB-u: omogućava rešavanje mnogih problema

vezanih za tehnička proračunavanja (posebno onih koji su formulisani pomoću matrica ili vektora)

omogućava korisniku da problem reši mnogo brže nego kada bi pisao odgovarajući program u nekom programskom jeziku kao što je C ili Fortran

Pokretanje MATLAB-a i njegovi prozori

Kada se program pokrene prikazuje se standardan izgled MATLAB-a koji sadrži tri prozora: komandni prozor (Command

Window prozor tekućeg direktorijuma

(Current Directory) prozor s prethodnim

komandama (Command History)

MATLAB sadrži još pet prozora koji se mogu aktivirati iz menija Desktop, preko stavke Desktop Layout

MATLAB-ovim alatkama i svojstvima se pristupa pomoću dugmeta Start u donjem levom uglu

MATLAB-ovi prozori i njihove namene

Prikazuje datoteke u tekućem direktorijumu.Prozor tekućegdirektorijuma (Current Directory)

Sadrži podatke o svim upotrebljenim promenljivama.Prozor radnog prostora(Workspace Window)

Sadrži komande unesene u komandnom prozoru.Prozor s prethodnimkomandama (Command History)

Omogućava pristupanje alatkama, demonstracijama i dokumentaciji.

Prozor za pokretanje(Launch Pad Window)

Sadrži pomoćne informacije.Prozor sistema za pomoć(Help)

Za pisanje skript datoteka i funkcijskih datoteka, te za otkrivanje i otklanjanje grešaka u njima.

Prozor za pisanje programa(Editor)

Sadrži rezultate grafičkih komandi.Grafički prozor (Figure)

Glavni prozor za unošenje promenljivih i izvršavanje programa.Komandni prozor(Command Window)

NamenaProzor

Komandni prozor (1)

Glavni MATLAB-ov prozor koji služi za: izvršavanje komandi otvaranje drugih prozora pokretanje programa koje je napisao korisnik upravljanje MATLAB-om

Komandni prozor (2)

Za rad je ponekad najpogodnije da samo komandni prozor bude vidljiv a da se ostali prozori zatvore

Kada se u meniju Desktop izabere DesktopLayout, a u podmeniju koji se otvara Command Window Only ostaje otvoren samo komandni prozor

Grafički prozor

Otvara se automatski kada se izvrši grafička komanda i u njemu se pojavljuje grafika koju je ta komanda generisala

Prozor za pisanje programa

U ovom prozoru se pišu i uređuju programi Ovaj prozor se koristi za pisanje skript

datoteka i za pisanje funkcijskih datoteka Prozor se otvara iz menija File u komandnom

prozoru

Prozor sistema za pomoć Prozor sistema za

pomoć (Help) sadrži ugrađenu pomoć, a može se otvoriti iz menija Help na traci menija svakog MATLAB-ovog prozora

Interaktivan je i služi za dobijanje pomoćnih informacija o bilo kojoj komponenti ili svojstvu MATLAB-a

Rad u komandnom prozoru

Da bi se upisala komanda kursor mora biti neposredno iza komandnog odziva (»)

Upisana komanda biće izvršena kada se pritisne <Enter>

Uvek se izvršava samo poslednja upisana komanda - prethodno izvršene komande ostaju nepromenjene

U isti red se može upisati više komandi ako se razdvoje zarezom

Kada se pritisne <Enter>, komande će biti izvršene redom, sleva nadesno

Rad u komandnom prozoru

Ne može se vraćati u prethodni red komandnog prozora da bi se izmenila i ponovo izvršila izmenjena komanda

Za ponovno izvršavanje prethodne komande pritisne se taster sa strelicom nagore i iza komandnog odzivnika (») će se prikazati prethodna komanda koja se sada može izmeniti (ako treba) i izvršiti

Pritiskom na strelicu nadole redom se prikazuju sve prethodno upisane komande

Ako je komanda preduga da bi stala u jedan red upišu se tri tačke (...) i pritisne <Enter> pa se nastavak komande piše u sledećem redu

Komanda se može protezati na više redova i sadržati do 4096 znakova

Tačka-zarez (;)

Kada se komanda upiše u komandni prozor i pritisne <Enter> i rezultat komande se prikazuje u komandnom prozoru

Ukoliko se na kraju komande unese tačka-zarez (;) njen rezultat se neće prikazati

Ova opcija može biti korisna kada je rezultat očigledan ili poznat ili kada je veoma veliki

Ukoliko se u isti red upiše više komandi, njihovi rezultati se neće prikazati ako se razdvoje znakovima tačka-zarez umesto zarezima

Znak procenta (%)

Kada se na početak reda upiše znak procenta (%) red se time označava kao komentar

Redovi označeni na ovaj način se ne izvršavaju Ukoliko se znak % i odgovarajući tekst

(komentar) upišu iza komande (u istom redu) to neće uticati na izvršavanje komande

Obično nema potrebe da se u komandnom prozoru pišu komentari ali se opisi i objašnjenja u vidu komentara često dodaju programima

Komanda clc

Komanda clc (clc<Enter>) briše sadržaj komandnog prozora

Ova opcija može biti korisna kada posle dužeg rada u komandnom prozoru njegov sadržaj postane predugačak

Komanda clc briše sadržaj komandnog prozora ali nema nikakvih drugih efekata

Posle izvršavanja komande clc sve prethodno definisane promenljive i dalje postoje i mogu se upotrebljavati

Prethodno upisane komande i dalje se mogu prikazati strelicom nagore

Aritmetičke operacije sa skalarima Operacije sa skalarima -

pojedinačnim brojevima Brojevi se u aritmetičkim

proračunima mogu upotrebljavati direktno (kao na kalkulatoru) ili se mogu pridružiti promenljivama, koje se potom koriste za izračunavanja

Simboli aritmetičkih operacija su dati u tabeli

Svi simboli (sem deljenjasleva) su isti kao na većinikalkulatora

Za skalare je deljenje slevaoperacija inverzna deljenju zdesna

Deljenje sleva se uglavnom upotrebljava za operacije sa nizovima

5^3 (znači 53 = 125)

^Stepenovanje

5 \3 = 3/5\Deljenje sleva

5/3/Deljenje zdesna

5*3*Množenje

5-3-Oduzimanje

5 + 3+Sabiranje

PrimerSimbolOperacija

Prioritet izvršavanja MATLAB izvršava operacije

prema sledećem redosledu prioriteta, koji je isti kao na većini kalkulatora

U izrazu koji sadrži više operacija, operacije višeg prioriteta izvršavaju se pre operacija nižeg prioriteta

Ako dve ili više operacija imaju isti prioritet, izraz se izračunava sleva udesno

Redosled izračunavanja se može promeniti zagradama

Sabiranje i oduzimanjeČetvrti po redu

Množenje, deljenje (jednak prioritet)Treći po redu

StepenovanjeDrugi po redu

Zagrade. Kada su zagrade ugneždene, prvo se izračunava unutrašnja zagrada

Najviši

Matematička operacijaPrioritet

Korišćenje MATLAB-a kao kalkulatora MATLAB je

najjednostavnije koristiti kao kalkulator, kada se u komandni prozor upiše matematički izraz i pritisne <Enter>

MATLAB će izračunati izraz, napisati ans = i prikazati numerički rezultat u sledećem redu

To je pokazano u vežbi

Korišćenje MATLAB-a kao kalkulatora

Obratitipažnju naredosledizvršavanja

Tri tačke (...) se upisuju da bi se izraz nastavio u sledećem redu

Formati prikaza rezultata

Korisnik može da izabere format u kojem MATLAB prikazuje rezultat na ekranu

U prethodnoj vežbi je za ispisivanje rezultata korišćen je fiksan zarez i 4 decimale; to je kratki (short) format koji je podrazumevani format za numeričke vrednosti

Izlazni format se zadaje komandom format, nakon čega se svi rezultati prikazuju u to formatu

MATLAB ima više formata za prikazivanje brojeva Pojedinosti o tim formatima se mogu dobiti ako se u

komandni prozor upiše help format Format prikaza na ekranu ne utiče na preciznost kojom

MATLAB izračunava i pamti brojeve. U svim primerima MATLAB koda i zadacima, umesto

decimalnog zareza koristi se decimalna tačka

Formati i njihov opis

Dodaje prazne redove (obrnuto od compact).format loose

Uklanja prazne redove da bi više redova sa sadržajem stalo na ekran.format compact

>> 290/7 ans =41.43

Dve decimale.format bank

>> 290/7 ans =41.4285714285714

Petnaest cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom.format long g

>> 290/7 ans =41.429

Pet cifara s fiksnim ili pokretnim zarezom.format short g

>> 290/7 ans = 4.142857142857143e+001

Naučna notacija sa 15 decimala.format long e

>> 290/7 ans = 4.1429e+001

Naučna notacija sa četiri decimale.format short e

>> 290/7 ans = 41.42857142857143

Fiksni zarez sa 14 decimala za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 <=broj<= 100. Izvan ovog opsega primenjuje se format long e.

format long

>> 290/7ans =41.4286

Fiksni zarez sa četiri decimale za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 <broj< 1000. Izvan ovog opsega primenjuje se format short e.

format short

PrimerOpisKomanda

Ugrađene elementarne matematičke funkcije

Sem osnovnih aritmetičkih operacija, izrazi u MATLAB-u mogu sadržati i funkcije

MATLAB ima veoma veliku biblioteku ugrađenih funkcija, a korisnik može definisati i svoje funkcije

Funkcija se poziva imenom i argumentom u zagradama

Na primer, funkcija sqrt (x) izračunava kvadratni koren (engl. square root) broja.

Ime joj je sqrt, a argument je x Argument funkcije može biti broj,

promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost, ili izraz koji sadrži brojeve i/ili promenljive

I argumenti i izrazi mogu sadržati funkcije

Vežba pokazuje primere korišćenja funkcije sqrt (x) kada se MATLAB upotrebljava kao kalkulator sa skalarima

Elementarne matematičke funkcije

>> factorial(5) ans =120

Faktorijel od x (x!) gde x mora biti pozitivan ceo brojfactorial(x)

>> log10(1000)ans = 3.000

Logaritam sa osnovom 10log10(x)

>> log(1000)ans = 6.907S

Prirodni logaritam - logaritam sa osnovom e (ln)log(x)

>> abs(24)ans = 24

Apsolutna vrednostabs(x)

>> exp(5)ans=148.4132

Eksponencijalna funkcija (ex)exp(x)

>> sqrt(81)ans=9

Kvadratni korensqrt(x)

PrimerOpisFunkcija

Trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije su asin(x), acos(x), atan(x) i acot(x)

Hiperboličke trigonometrijske funkcije su sinh(x), cosh(x), tanh(x) i coth(x)

Iz primera u tabeli se vidi dase kao oznaka zakonstantu koristi pi

>> cot(pi/6)ans =1.7321

Kotangens ugla x (u radijanima)

cot(x)

>>tan(pi/6)ans=0.5774

Tangens ugla x (u radijanima)

tan(x)

>> cos(pi/6)ans=0.8660

Kosinus ugla x (u radijanima)

cos(x)

>> sin(pi/6)ans =0.5000

Sinus ugla x (u radijanima)

sin(x)

PrimerOpisFunkcija

Funkcije za zaokruživanje

>> sign(5)ans =1

Funkcija signum: vraća 1 kada je x > 0, -1 kada je x < 0, i 0 kada je x = 0

sign(x)

>> rem(13,5)ans =3

Vraća ostatak deljenja x sa yrem (x,y)

>> floor(-9/4)ans=-3

Zaokruživanje na najbliži manji ceo brojfloor(x)

>> ceil(11/5)ans=3

Zaokruživanje navišeceil(x)

>> fix(13/5)ans=2

Zaokruživanje nanižefix(x)

>> round(17/5)ans=3

Zaokruživanje na najbliži ceo brojround(x)

PrimerOpisFunkcija

Definisanje skalarnih promenljivih Promenljiva je ime koje sadrži najmanje jedno slovo a

može biti i proizvoljna kombinacija slova i cifara (s tim da mora započinjati slovom), a kome je pridružena numerička vrednost

Promenljiva kojoj je pridružena numerička vrednost može se upotrebljavati u matematičkim izrazima, funkcijama i svim MATLAB-ovim iskazima i komandama

Promenljiva je zapravo ime određene lokacije u memoriji

Kada se definiše nova promenljiva MATLAB joj dodeljuje odgovarajuću lokaciju u memoriji gde se čuva njoj pridružena vrednost

Svaki put kada se upotrebi ime promenljive, MATLAB koristi njoj dodeljenu vrednost

Ako se promenljivoj dodeli nova vrednost, menja se sadržaj odgovarajuće lokacije u memoriji

Operator dodele U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele

(assignment operator) Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj Ime_promenljive = numerička vrednost ili izraz Levo od operatora dodele može biti samo jedno

ime promenljive. Desno može biti broj ili izraz koji sadrži brojeve

i/ili promenljive kojima su prethodno dodeljene numeričke vrednosti

Kada se pritisne taster Enter, numerička vrednost s desne strane dodeljuje se promenljivoj, a MATLAB u sledeća dva reda prikazuje promenljivu i njoj dodeljenu vrednost

Kako radi operator dodele? Poslednji iskaz

(x=3x-12) ilustruje razliku između operatora dodele i znaka jednakosti

Kada bi u tom iskazu znak = označavao jednakost, vrednost x bi bila 6 (kada se reši jednačina po x)

Primer

Upotreba prethodno definisane promenljive u definisanju nove promenljive

Primer sa tačka-zarezom

Ako se na kraj reda upiše tačka-zarez pa zatim pritisne <Enter>, MATLAB neće prikazati promenljivu i njoj dodeljenu vrednost, ali će joj vrednost ipak dodeliti i smestiti je u memoriju

Kada se upiše ime postojeće promenljive i pritisne <Enter>, u sledeća dva reda prikazaće se ime i vrednost te promenljive

Upisivanje nekoliko dodeljenih vrednosti i istom redu Dodeljivanje vrednosti se razdvaja zarezima (posle zareza se

može otkucati više razmaka) Kada se pritisne <Enter>, vrednosti se dodeljuju sleva

udesno, a promenljive i njima dodeljene vrednosti prikazuju se u sledećim redovima

Ukoliko se umesto zareza otkuca tačka-zarez, vrednosti promenljivih neće biti prikazane

Primer: dodeljivanje vrednosti promenljivama a, B i C u istom redu

Primer

Dodeljivanje nove vrednostipostojećoj promenljivoj

Primer

Upotreba već definisane promenljive kao argumenta funkcije

Pravila za imena promenljivih

Imena promenljivih u MATLAB-u mogu imati do 63 znaka, mogu sadržati slova, cifre i podvlake, i moraju počinjati slovom

MATLAB pravi razliku između velikih i malih slova, na primer, AA, Aa, aA i aa su imena četiri različitepromenljive

Treba izbegavati korišćenje imena rezervisanihreči, tj. nazive ugrađenih funkcija za promenljive(cos, sin, exp, sqrt itd.)

Funkcija čije je ime upotrebljeno za definisanjepromenljive, više se ne može koristiti

Unapred definisane promenljive Pojedine često korišćene promenljive automatski su definisane čim se

MATLAB pokrene Vrednost unapred definisanih promenljivih može biti proizvoljno

redefinisana Promenljive pi, eps i inf obično se ne redefinišu Ostale unapred definisane promenljive (i i j) ponekad se redefinišu

(obično unutar petlji za indeksne promenljive - brojače) ukoliko se ne koriste kompleksni brojevi

522

Skraćeno od Not-a-Number (nije broj) - upotrebljava se kada MATLAB ne može da izračuna numeričku vrednost (na primer, rezultat operacije 3/0)

NaN

Isto što i promenljiva ij

Definisano kao što je 0 + 1 .0000ii

Označava beskonačno veliku vrednostinf

Najmanja razlika izmedu dva broja koju MATLAB još uvek može da prepozna koja jejednaka je što je približno 2.2204e-016

eps

Konstanta pi

Promenljiva kojoj se dodeljuje vrednost poslednjeg izraza koji nije dodeljen nekoj drugojpromenljivoj - ako korisnik ne dodeli vrednost izraza nekoj promenljivoj MATLAB gaautomatski dodeljuje promenljivoj ans

ans

1

Komande za rad sapromenljivama Komande iz

tabele se koriste za uklanjanje promenljivih ili zadobijanje podataka o svim postojećim promenljivama

Kada se neka od njih upiše u komandni prozor i pritisne Enter prikazaće se podaci ili izvršiti jedan od navedenih postupaka

Prikazuje imena svih promenljivih koje postoje u memoriji, njihovu veličinu, klasu i veličinu u bajtovima

Whos

Prikazuje imena svih promenljivih koje postoje u memoriji

Who

Uklanja iz memorije promenljive x, y i zclear x y z

Uklanja sve promenljive iz memorijeClear

IshodKomanda

Vežba: Trigonometrijska formula

Trigonometrijska formula data je jednačinom:

xxxx

tan2sintan

2cos 2

Proveriti da li je formula ispravna izračunavanjem vrednost obe strane jednačine, uz zamenu x =/5

Vežba: Geometrija i trigonometrija Četiri kružnice su

smeštene kao na slici

U svakoj tački dodira kružnice su tangentne jedna na drugu

Odrediti rastojanje između centara C2i C4

Poluprečnici kružnica su: R1 = 16 mm, R2 = 6.5 mm, R3 = 12 mm i R4 = 9.5 mm

Vežba: Geometrija i trigonometrija

Linije koje povezuju centre kružnica čine četiri trougla

Poznate su dužine svih stranica dva takva trougla, ∆C1C2C3 i ∆C1C3C4

Taj podatak se koristi za izračunavanje uglova 1 i 2 tih trouglova pomoću kosinusne teoreme

Na primer, 1 se izračunava iz jednačine:

(C2C3)2 = (C1C2)2 + (C1C3)2-2(C1C2)(C1C3)cos

Zatim se izračuna dužina stranice C2C4 pomoću trougla ∆C1C2C4

I tu pomaže kosinusna teorema (poznate su dužine C1C2 i C1C3, a ugao 3 je zbir uglova 1 i 2

Programski kod

Provođenje toplote

Ako se telo čija je temperature T0 u trenutku t=0 smesti u prostor konstantne temperature Tc onda će se temperatura tela menjati prema jednačini:T=Tc + (T0-Tc) e-kt

gde je T temperatura tela u trenutku t a k je zadata konstanta Primer: konzerva piva temperature 120° F stavljena je u frižider

unutrašnje temperature 38° F - izračunati temperaturu konzerve posle tri sata (zaokruženo na najbliži stepen) uz pretpostavku da je k = 0.45

Najpre se definišu sve promenljive, a potom se izračuna temperatura jednom MATLAB-ovom komandom

Složeno obračunavanje kamate Ako je glavnica P uložena uz godišnju kamatnu stopu r, a kamata se

pripisuje n puta godišnje, stanje B na računu posle t godina štednje iznosi:

nt

nrPB

1

Ako se kamata pripisuje jednom godišnje, stanje na računu posle t godina štednje iznosi:

Na prvi račun je uloženo 5.000 € na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate

Na drugi račun uložen je isti iznos, ali uz mesečno pripisivanje kamate

Kamatna stopa za oba računa je 8.5% Koliko godina i meseci štednje na drugom računu treba da prođe

da bi njegovo stanje dostiglo stanje prvog računa nakon 17 godina štednje

trPB 1

Složeno obračunavanje kamate

Rešenje: Na osnovu druge jednačine izračunati B za 5.000 €

uloženih na 17 godina uz godišnje pripisivanje kamate

Za B izračunato u prethodnom koraku izračunati t pomoću prve formule (1) za mesečno pripisivanje kamate

Pretvoriti t u odgovarajući broj godina i meseci >> P=5000;r=0.085;ta=17;n=12; >> B=P*(1+r)^ta >> t=log(B/P)/(n*log(1+r/n)) >> godina=fix(t) >> meseci=ceil((t-godina)*12)

Programski kod

Vežbe za samostalan rad U pravouglom trouglu sa stranicama čije su katete 11 cm

i 21 cm izračunati hipotenuzu i uglove (u stepenima) (acos)

Rastojanje d tačke (x0,y0) od prave Ax+By+C=0 dato je formulom:

Izračunati rastojanje tačke (2,3) od prave 3x+5y-6=0 Prvo definisati promenljive A,B,C, x0, y0, pa potom izračunati d (abs,sqrt)

Izračunati:

22

00

BA

CByAxd

7

)8ln6

tan()

87sin()

65(cos2