COMPUESTOS DEL VANADIO

Prof.: Mendoza Trujillo, Elmer Controladores PID

Universidad Nacional del Callao

INTRODUCCIN

El control automtico desempea un papel importante en los procesos de manufactura, industriales, navales, aeroespaciales, robtica, econmicos, biolgicos, etc.

Como el control automtico va ligado a, prcticamente, todas las ingenieras (elctrica, electrnica, mecnica, sistemas, industrial, qumica, etc.), este documento ha sido desarrollado sin preferencia hacia alguna disciplina determinada, de tal manera que permita al lector construir un controlador PID con el funcionamiento del sistema, hallar el modelo matemtico del mismo por mtodos experimentales. Con la ayuda del software MATLAB hallar el Lugar de las Races del sistema, el cual le dar informacin importante sobre la dinmica del mismo. El conocimiento del funcionamiento del sistema junto con el anlisis de la funcin de transferencia de lazo abierto y del Lugar de las Races darn las bases necesarias para seleccionar el controlador, el cual se construir con elementos igualmente de fcil consecucin en el mercado local y de muy bajo costo.

FUNDAMENTO TEORICOEstructura del PIDConsideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID. P: accin de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funcin transferencia queda:

Donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeo limitado y error en rgimen permanente (off-set).

I: accin de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

La seal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la seal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en rgimen permanente es cero.

PI: accin de control proporcional-integral, se define mediante:

Donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la accin integral. La funcin de transferencia resulta:

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una accin de control distinta de cero. Con accin integral, un error pequeo positivo siempre nos dar una accin de control creciente, y si fuera negativa la seal de control ser decreciente.Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en rgimen permanente ser siempre cero.Muchos controladores industriales tienen solo accin PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinmica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escaln. PD: accin de control proporcional-derivativa, se define mediante:

Donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta accin tiene carcter de previsin, lo que hace ms rpida la accin de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las seales de ruido y puede provocar saturacin en el actuador.La accin de control derivativa nunca se utiliza por s sola, debido a que solo es eficaz durante perodos transitorios. La funcin transferencia de un controlador

PD resulta:

Cuando una accin de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una correccin significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error ea estado estacionario, aade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor ms grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisin en estado estable. PID: accin de control proporcional-integral-derivativa, esta accin combinada rene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuacin de un controlador con esta accin combinada se obtiene mediante:

Y su funcin transferencia resulta:

Mtodos clsicos de ajuste de Ziegler and Nichols

En esta seccin veremos dos mtodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el Mtodo de Oscilacin o Mtodo de Respuesta en Frecuencia y el Mtodo Basado en la Curva Reaccin o Mtodo de Respuesta al Escaln. El primero se basa en un lazo de control slo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al perodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro mtodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escaln unitario, se calculan algunos parmetros, como la mxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos mtodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la prctica para desarrollarlos.

2.1.1 Mtodo de Oscilacin

Este procedimiento es valido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:1. Utilizando slo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeo, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que estas deben ser observadas en la salida del controlador.2. Registrar la ganancia critica del controlador Kp = Kc y el periodo de oscilacin de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG( jw) cruza el punto (1, 0) cuando Kp = Kc).3. Ajustar los parmetros del controlador segn la Tabla 1:

Tabla 1: Parmetros de ajuste (mtodo de oscilacin)Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escaln de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:

Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por:

Determinar los parmetros de un controlador PID utilizando el mtodo de oscilacin de Z-N. Obtener un grfico de la respuesta a una entrada escaln unitario y a una perturbacin de entrada escaln unitario.Primero debemos calcular la ganancia crtica Kc y la frecuencia crtica Fc. Dichos valores deben satisfacer

De donde obtenemos Kc=8 y !c = p3. El periodo crtico es entonces Pc = 2/wc =3.63. Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores:Kp = 0.6 _ Kc = 4.8; Ti = 0.5 _ Pc = 1.81; Td = 0.25 _ Pd = 0.45De esta forma la funcin transferencia a lazo abierto resulta:

Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escaln unitario aplicada en el instante t = 0 y una perturbacin de entrada escaln unitario en el instante t = 10, obtenemos la Figura 4Como se puede apreciar en el grfico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el mtodo de Z-N nos ha

Proporcionado un punto de partida para una sintona ms fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempeo mejora. Sin embargo, el incremento de accin derivativa puede traer inconvenientes si estuviramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, y es recomendable verificar que el aumento de accin derivativa no amplifique ruido excesivamente.

2.1.2 Mtodo Basado en la Curva ReaccinMuchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo:

Una versin cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experimento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operacin normal. Digamos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0.2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escaln, desde u0 a u1 (esto debera ser en un rango de 10 al 20% de rango completo).3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operacin. Supongamos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5. Esta curva se llama curva de reaccin del proceso.Calcular los parmetros del modelo de la siguiente forma:

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios mtodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos tambin fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseo es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relacin de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escaln. Los parmetros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla 2.

2.2 MODIFICACIONES DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL PID

En los sistemas de control bsicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un escaln, debido a la presencia del trmino derivativo en la accin de control, la variable manipulada u(t) contendr una funcin impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del trmino derivativo TDs emplearemos:

Donde denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que Cuanto ms pequea es mejor es la aproximacin entre el trmino derivativo filtrado de la ecuacin anterior y el derivativo Tds, es decir son iguales en el limite:

Con la inclusin de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento clsico por el cual se elige es, adems de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales PID definen a como una fraccin fija de Td, en lugar de tomarlo como un parmetro independiente de diseo.

Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como funcin transferencia del controlador PID a:

Por lo que la funcin transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente

Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos parmetros del PID aplicando el mtodo de oscilacin de Z-N. Tomando a la funcin transferencia a lazo abierto resulta:

2.3 ASIGNACIN DE POLOS

La asignacin de polos es un mtodo de diseo de controladores cuando queremos que el desempeo del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diseo. En esta seccin veremos en detalle de que se trata y veremos tambin como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignacin de polos.

Consideremos el lazo nominal de la Figura 1 con las siguientes funciones transferencias:

Con P(s), L(s), B0(s) y A0(s) polinomios de grados np, nl, n - 1 y n respectivamente (asumimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado est dado por Alc. La pregunta que surge es:

Dado un Alc arbitrario, existir una funcin C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio caracterstico?

Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:

Ejemplo 2 (Asignacin de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma:

Podemos ver que Alc = A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = (s2 + 3s + 2)(l1s + l0) + (p1s + p0). Si igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendr solucin nica: l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. As el polinomio caracterstico es alcanzado para un controlador dado por la siguiente funcin transferencia:

En el ejemplo anterior vimos como la asignacin de polos a lazo cerrado depende de la no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matemticos.

Teorema 1 (Teorema de Sylvester). Consideremos los polinomios

Junto con la matriz:

Se dice que A(s) y B(s) son coprimos, es decir que no tienen factores en comn o races, si y solo si det(Me) 0

Con este resultado podemos ahora generalizar lo visto en el Ejemplo 2, para mostrar que la asignacin de polos es generalmente posible, cuando se cumplen algunos requerimientos mnimos.

Lema 1 (Asignacin de Polos SISO). Consideremos un lazo de realimentacin de un grado de libertad con un controlador C(s) y un modelo nominal G0(s) dado por (20). Suponiendo que A0(s) y B0(s) son coprimos y que sus grados son n y n - 1, respectivamente. Sea Alc un polinomio arbitrario de grado nc = 2n - 1. Entonces existen polinomios P(s) y L(s), con grados np = nl = n - 1 tal que:

Nota 1. El lema anterior establece bajo que condiciones existe solucin para el problema de asignacin de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un controlador estrictamente propio, el grado de P(s) y L(s) debera ser np = n - 1 y nl = n, respectivamente. De esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a lazo cerrado Alc(s) arbitrario, su grado debera ser igual a 2n.

Nota 2. No estn permitidas las cancelaciones del estilo polo-cero inestables. Cualquier cancelacin entre el controlador y la planta aparecer como factor en A0(s)L(s) y tambin en B0(s)P(s). Para que la condicin del lema 1 pueda ser satisfecha, el mismo factor deber aparecer en Alc(s), pero el polinomio caracterstico a lazo cerrado se debe elegir estable, por lo que ese factor comn deber ser estable. Slo de esta forma, el lazo cerrado nominal es garanta de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad sern estables.

En esta seccin, veremos una forma ms moderna que las anteriores para ajustar un controlador PID, basndonos en tcnicas de asignacin de polos. Durante esta seccin consideraremos un lazo de control de un grado de libertad con controladores PI de la siguiente forma

y la forma del controlador PID

..()

Para referencias futuras notamos la siguiente representacin alternativa de un controlador PID:

Lema 2. Cualquier controlador de la forma:

..()

Es idntico al controlador PID de (29) con los siguientes valores de los parmetros:

Demostracin. Desarrollando en fracciones simples () y comparndola con () se obtienen dichos coeficientes.

Si asumimos que la planta puede ser (por lo menos, aproximadamente) modelada por un modelo de segundo orden, entonces podemos utilizar asignacin de polos para sintonizar un controlador PID.Ejemplo 3. Una planta tiene un modelo nominal dado por:

Sintonizar un controlador PID para que a lazo cerrado alcance la dinmica dominada por: s2 + 4s + 9Resolvemos primero el problema de asignacin de polos, donde

El factor (s+4)2 ha sido agregado para asegurar que la asignacin de polos tenga solucin, es decir que el grado de Alc(s) debe ser 4. Notar que este factor genera modos (polos) que son ms rpidos que los originados por el polinomio deseado. De esta forma, la dinmica dominante ser la de los polos ms lentos.

Resolviendo la ecuacin de asignacin de polos, resulta que

de donde: Kp = 5.67; Ki = 8; Kd = 0.93; D = 0.11.

Una importante observacin es que la solucin de este problema tiene la estructura de un controlador PID para el modelo dado G0(s). Para un modelo de mayor orden, el controlador resultante no ser, en general, un controlador PID.

RESUMEN Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador. Descubrimientos empricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplicaciones.

El trmino bsico es el trmino proporcional, P, que genera una actuacin de control correctivo proporcional al error. El trmino integral, I, genera una correccin proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El trmino derivativo, D, genera una accin de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes. Los diferentes mtodos de sintonizacin de los parmetros de un controlador PID, van de acuerdo a la estructura que se utilice del mismo. Cabe recordar, que slo se mencion una estructura, dada en la ecuacin (29), y que los mtodos que se estudiaron se realizaron de acuerdo a dicha estructura. En caso de tener otra habr que analizar el mtodo equivalente.ANEXOEn este anexo mostramos brevemente ciertos trminos bsicos que vamos a utilizar en la mayor parte de este trabajo:

Seal de salida: es la variable que se desea controlar (posicin, velocidad, presin, temperatura, etc.). Tambin se denomina variable controlada. Seal de referencia: es el valor que se desea que alcance la seal de salida. Error: es la diferencia entre la seal de referencia y la seal de salida real. Seal de control: es la seal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal forma que se disminuya, o elimine, el error. Seal anloga: es una seal continua en el tiempo. Seal digital: es una seal que solo toma valores de 1 y 0. El PC solo enva y/o recibe seales digitales. Conversor anlogo/digital: es un dispositivo que convierte una seal analgica en una seal digital (1 y 0). Conversor digital/anlogo: es un dispositivo que convierte una seal digital en una seal analgica (corriente o voltaje). Planta: es el elemento fsico que se desea controlar. Planta puede ser: un motor, un horno, un sistema de disparo, un sistema de navegacin, un tanque de combustible, etc. Proceso: operacin que conduce a un resultado determinado. Sistema: consiste en un conjunto de elementos que actan coordinadamente para realizar un objetivo determinado. Perturbacin: es una seal que tiende a afectar la salida del sistema, desvindola del valor deseado. Sensor: es un dispositivo que convierte el valor de una magnitud fsica (presin, flujo, temperatura, etc.) en una seal elctrica codificada ya sea en forma analgica o digital. Tambin es llamado transductor. Los sensores, o transductores, analgicos envan, por lo regular, seales normalizadas de 0 a 5 voltios, 0 a 10 voltios o 4 a 20 mA. Sistema de control en lazo cerrado: es aquel en el cual continuamente se est monitoreando la seal de salida para compararla con la seal de referencia y calcular la seal de error, la cual a su vez es aplicada al controlador para generar la seal de control y tratar de llevar la seal de salida al valor deseado. Tambin es llamado control realimentado. Sistema de control en lazo abierto: en estos sistemas de control la seal de salida no es monitoreada para generar una seal de control.

BIBLIOGRAFA

Libros: Ogata, Katsuhiko (1998). Ingeniera de Control Moderna. Tercera Edicin. Prentice-Hall hispanoamericana, S.A. Franklin, Gene. Powell, David. Emami-Naeine, Abbas (1991). Control de Sistemas Dinmicos con Retroalimentacin. Addison-Wesley Iberoamericana. Chen,Chi-Tsong (1993). Analog & Digital. Control System Design. Saunders College Publishing. Hartcourt Brace Jovanovich College Publishers Smith, Carlos A. Corripio (1996). Control Automtico de Procesos. Teora y Prctica. Limusa Noriega Editores.Pginas de Internet:

http://www.monografias.com/controladores http://es.wikipedia.org/wiki/PID http://amtce.com.mx/config.

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