ANEXO SOBRE SEGUIMIENTO Y EVALUACIÓN DE ESTRATEGIAS Y DE ESTUDIANTES

UNIVERSIDAD DEL VALLE - VICERRECTORÍA ACADÉMICA

PROYECTO UNIVERSIDAD Y CULTURAS

INFORME DEL CURSO PILOTO DE CÁLCULO I

PARA ESTUDIANTES DEL PLAN NIVELATORIO

SEMESTRE 02 DEL 2006

Escrito y re-escrito de manera interactiva a lo largo de un mes entre:

1. Los asistentes de docencia del curso – estudiantes

de la maestría en matemáticas

Liliana Posada Vera – Redactora del Informe inicial Johan Suarez Motato Yeferson Fernández

2. El docente del curso - Profesor César Augusto Delgado,

Ph. D. en Didáctica de las Matemáticas

3. La coordinadora del proyecto Universidad y Culturas María Cristina Tenorio, Ph. D. en Psicología de la

Comunicación: Interacciones educativas

Cali, julio del 2007

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Versión inicial del informe presentada por los asistentes de docencia del curso

LILIANA POSADA VERA – Redactora del Informe

JOHAN SUAREZ MOTATO YEFERSON FERNANDEZ

Guía para escribir el informe diagnóstico, elaborada entre María Cristina Tenorio y Liliana Posada

Informe del desempeño de los estudiantes en el curso piloto de Cálculo I Diagnóstico del grupo en su conjunto. Se parte del diagnóstico inicial, y se complementa con lo que el equipo docente comprendió y precisó a lo largo del semestre, a través de las diversas actividades – clases, talleres, tareas semanales, y tareas revisadas - , y con el seguimiento a casos. Aspectos que cubre el diagnóstico: Al inicio: - Nivel de los conocimientos matemáticos de los estudiantes al iniciar el curso, modalidad de aprendizaje de las matemáticas prevalente en ellos, y maneras de razonar con esos conocimientos previos. - Obstáculos epistemológicos asociados a los diferentes conceptos matemáticos que se estudiaron en el curso. - Hábitos iniciales de los estudiantes para estudiar y apropiarse de los conceptos matemáticos y de su aplicación. - Expectativas del equipo docente sobre conocimientos y habilidades de los estudiantes del grupo, y realidades de la situación.

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En el transcurso del curso: - ¿Cuál era el contrato docente y didáctico de los estudiantes, y cuál el del equipo docente? Expectativas de los estudiantes frente al tipo de enseñanza. Reacciones de desconcierto y molestia debido a que las clases no se dedicaban a hacer transmisión, y en cambio les exigían pensar y construir los conceptos; es decir, había violación del contrato docente. Contrato didáctico: Reglas implícitas que el estudiante y el docente deben asumir respecto al conocimiento. - ¿Qué estrategias usó el equipo docente para construir hábitos de estudio en los estudiantes? ¿Qué resultado se obtuvo? - ¿Qué estrategias de retroalimentación a los estudiantes usó el equipo y qué efecto tuvieron? * Hábito de volver en la casa sobre lo discutido en clase y el taller para hacer la tarea, hábito de trabajo personal. * Crear conciencia de dónde están y cuáles son sus dificultades, mediante la corrección minuciosa de cada ejercicio de la tarea. La entrega inmediata de la tarea corregida permite una meta cognición del proceso personal de aprendizaje. - Retroalimentación para el equipo docente sobre el nivel y el tipo de comprensión de los conceptos y sus aplicaciones. Esto lleva a modificar el ritmo de enseñanza y adaptarlo al nivel de conocimiento del grupo. - Seguimiento de casos. Cada asistente de docencia (3 en total) hizo el seguimiento a 3 casos a los largo del semestre. Informar sobre Nombre de cada uno, qué actitud tuvieron frente al curso, y cuál fue su desempeño y actitud a lo largo del semestre.

Resultados del curso piloto I Conocimientos construidos, conocimientos que no se alcanzaron a construir y que correspondían a Cálculo I Estudiantes que ganaron y estudiantes que perdieron. ¿Qué significa ganar o perder, en términos de otros aprendizajes que no aparecen reflejados en la calificación? Por ejemplo, ganancias en hábitos de estudio, en razonamiento…

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Problemas derivados de no haber visto los temas de Cálculo I y cómo se solucionan.

Conclusiones de la experiencia ¿Qué implica el diagnóstico respecto a medidas que la universidad debe tomar para hacer frente a los problemas de formación, obstáculos epistemológicos, y exigencias de cursos colaterales del currículo de ingenierías? Cali, junio 4 del 2007 - - - - -- - - Junio 13, carta a asistentes de docencia y a César Hola, Dediqué la tarde y buena parte de la noche a leer, pensar y anotar sugerencias y otras ideas que se me ocurrieron al informe que me envió Liliana esta tarde. Hizo un muy buen trabajo de organización y de reflexión a partir del esquema que establecimos conjuntamente. De mis anotaciones, lo que sea incorrecto, por favor lo desaparecen, o mejor aún lo transforman y lo escriben de la manera adecuada – yo sé de aprendizaje pero ¡no de matemáticas! Me parece que han hecho un trabajo muy interesante y que si se completa –ahora es el turno de César – tendremos finalmente un informe con el cual responder ante la vicerrectora, la Daca y el Comité de Currículo por lo que se hizo en el curso piloto. Pero además, y esto es muy importante, es fundamental poder aclarar a los estudiantes qué fue lo que se hizo en el curso, y por qué no se logró avanzar como estaba previsto. Si bien esa parte no la marqué claramente, estas aclaraciones sobre el escaso avance es lo tuyo, César:

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- dar cuenta de cuáles eran las deficiencias de conocimientos de estos muchachos,

- en qué eran diferentes o mayores sus dificultades de las de la mayoría de los estudiantes que ingresan a ingenierías,

- - por qué no asimilaban lo que se les explicaba o se les ayudaba a razonar.

Como dicen Liliana, Yeferson y Johan, ¿cuáles son las razones de que, a pesar de tantos esfuerzos, el avance haya sido tan escaso para la gran mayoría?

En cuanto a lo producido por los asistentes, la verdad en el único punto que me parece necesario un poco más de desarrollo es en los casos; es muy escueto y no me queda claro cómo estaban matemáticamente y por qué sus logros eran tan irregulares (parecen una rueda de Chicago: suben, bajan, vuelven a subir, etc.). No entiendo estas fluctuaciones; ustedes las anotan, pero no me queda claro qué indican estas respecto al conocimiento como tal. Por ejemplo, cuando Claudia inició el curso era totalmente ignorante en matemáticas. ¿De qué le sirvió el curso? Y si no le permitió avanzar en conocimientos, ¿qué se puede decir al respecto? Le gasté unas 8 horas a esta revisión inicial – al menos así no sienten que yo solo les pongo trabajo y no hago nada. Ciao y muchas gracias, María Cristina

VERSIÓN 2 DEL INFORME CON ADICIONES DE

MCTENORIO, y preguntas a César VERSIÓN 3 CON ADICIONES DE CÉSAR DELGADO

VERSIÓN 4 DE CÉSAR DELGADO, RESPONDIENDO A PREGUNTAS “PEQUEÑAS” DE MCTenorio

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INTRODUCCION No es nuevo decir que los cursos de matemáticas que se dan en la Universidad del Valle tienen una mortandad del 80 a 90%. Nuestro objetivo principal con este informe es mostrar las ventajas y desventajas que implica cambiar nuestros viejas formas de enseñanza y cómo nos podemos dar cuenta de que muchas veces una clase magistral, un taller o una consulta no son suficientes para garantizar el aprendizaje de nuestros estudiantes. Mostraremos que, a pesar de las dificultades y problemas surgidos al aplicar esta nueva metodología, la experiencia como tal resulta muy enriquecedora porque nos permite, a nosotros como profesores, evaluarnos sobre la forma como estamos enseñando, e incluso sobre la manera como estamos aprendiendo. Y si somos más conscientes de ello, nos lleva a preguntarnos ¿Será que nuestros alumnos realmente están aprendiendo?

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1. PLANEACIÓN DEL CURSO Para el curso piloto de Cálculo I el equipo docente estuvo conformado por el profesor César Delgado – doctor en Didáctica de las Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona -, y tres asistentes de docencia, estudiantes de 2º año en la maestría en Matemáticas, con dos niveles de formación en Práctica Docente: Johan Suárez, Yeferson Fernández y Liliana Posada Vera. El curso piloto del Plan Nivelatorio para estudiantes que ingresaron por cuota de excepción étnica se abrió con 100 cupos, pero debido a que solamente los estudiantes de Ingenierías (carreras profesionales y tecnologías), deben cursar Cálculo I en primer semestre de carrera - pues en otras carreras ven antes Matemática Fundamental - el número de primíparos indígenas y afrodescendientes en estas carreras resultó muy inferior a lo que esperábamos. Además, debido a que las tecnologías son carreras con un horario que inicia a las 6 pm no se podía matricular en un curso matutino a estos estudiantes. Por estas razones, se decidió incluir en el grupo a 30 estudiantes de ingeniería que habían ingresado por esta condición étnica, y quienes habían perdido una o dos veces Cálculo I habiéndolo matriculado nuevamente en repetición. De esta manera el grupo quedó conformado por cerca de 661 alumnos. El grupo completo tenía clase dos veces por semana – en la misma franja horaria de los otros cursos de Cálculo I –con el profesor Delgado (1 1/2 hora martes y jueves)2. Y un taller de dos horas, en subgrupos a cargo de los asistentes. Los asistentes quedábamos así a cargo de los talleres, y de la atención a estudiantes. Cada uno de nosotros tenía una asignación semanal de 10 horas para todas las actividades a nuestro cargo en el curso. A fin de tener un mejor conocimiento del nivel de los conocimientos matemáticos de los estudiantes, y de cómo eran sus razonamientos y argumentaciones, los 3 asistentes planeamos asistir a las dos clases semanales del profesor Delgado. Nos repartimos los estudiantes entre los asistentes, atendiendo a su disponibilidad horaria, por lo cual cada uno tendría a su cargo aproximadamente 22 estudiantes con los cuales haría el taller semanal, revisaría y corregiría sus tareas y pruebas cortas semanales, así como sus parciales. Ese decir, que cada uno de nosotros haría el seguimiento y la evaluación del mismo grupo de estudiantes a lo largo del semestre.

1 Algunos de estos estudiantes repitentes, que fueron matriculados de oficio en el curso piloto, no recibieron esta información por parte de su director de programa y nunca fueron al curso; por esto fue necesario modificar posteriormente su matrícula y no hicieron parte del grupo piloto. 2 Poco tiempo después de iniciado el curso, y ante la evidencia de que era necesario hacer un trabajo de formación que demandaba más dedicación de lo planeado, el profesor Delgado pasó a hacer las dos clases con una duración de 2 horas cada una.

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También se decidió que cada asistente haría un seguimiento especial a tres estudiantes de su grupo, en total 9 casos. De todas sus producciones - tareas y pruebas cortas - se sacaría semanalmente copia de lo que resolvieran y de las anotaciones evaluativas, y del informe respectivo. Tanto las copias como el informe debían archivarse en carpetas a su nombre. Además de las actividades anteriores se cuadraron horarios semanales de consulta para los estudiantes. Planear la evaluación En reuniones previas del equipo, antes de iniciar el curso, se hicieron acuerdos sobre cómo íbamos a evaluar el curso. Dado que el seguimiento del proceso de cada estudiante resultaba fundamental, se acordó que las tareas semanales debían ser diligenciadas y entregadas por los estudiantes al final de cada semana, y en la primera clase de la semana siguiente se les devolvería cada tarea revisada. Igualmente se les daría retroalimentación semanal sobre las pruebas cortas. El profesor diseñó dos “Hojas de seguimiento” que son guías para evaluar el proceso de aprendizaje, una a nivel individual y otra a nivel grupal (En el anexo 1 presentamos el modelo de ambas hojas). Semanalmente los asistentes debíamos producir un informe que diera cuenta de los obstáculos epistemológicos y las dificultades que tenían los alumnos al resolver las tareas y las pruebas cortas. Sistema de calificación Los porcentajes de estos distintos componentes de la evaluación se pactaron así:

Tareas y pruebas cortas

25%

Primer Parcial 25% Segundo Parcial 50%

En cuanto a la calificación, se acordó que las tareas y pruebas cortas se calificarían de la siguiente forma:

Tarea o Prueba corta realizado entre el 80 y 100%

A

Tarea o Prueba corta realizado entre el 60 y 79%

B

Tarea o Prueba corta realizado entre el 59% o menos

C

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2. LA ENSEÑANZA EN EL CURSO – CONDICIONES DEL APRENDIZAJE El curso Piloto de Cálculo I se inscribe en el marco del “Proyecto Universidad y Culturas”, adscrito a Vicerrectoría Académica de la Universidad del Valle. El objetivo es probar que bajo ciertas condiciones los estudiantes que ingresan por “régimen de excepción” tienen una oportunidad real de responder a las exigencias académicas, de alto nivel, que demanda la formación profesional en ingenierías. Estas condiciones consisten principalmente en: * la transformación de las prácticas de enseñanza tradicionales y, * la transformación de las prácticas de estudio de los alumnos. Además, se requiere cierta flexibilidad curricular para acompasar los ritmos de aprendizaje de los estudiantes, a medida que se operan ciertos cambios en sus concepciones sobre el aprendizaje y sobre las matemáticas - concepciones que son negativas y muy arraigadas. El contrato didáctico El contrato se fundamenta en cinco principios básicos, propios de un proceso de enseñanza-aprendizaje de un curso básico. Ellos son:

Primero: Sólo interesa aquello que es fundamental y básico.

Segundo : La necesidad es generadora de conocimiento. Tercero: La reflexión sobre el error es importante. Cuarto: Interesa la superación del error.

Quinto: Se aprende haciendo.

El objeto del contrato es el aprendizaje del saber matemático propuesto para la enseñanza. La obligación general de los contratantes se expresa, por parte del profesor, en enseñar el saber propuesto y, por parte el estudiante, consiste en aprender este saber. Las cláusulas que regulan el contrato son generalmente implícitas, pero siempre referidas al saber matemático, y las rupturas del contrato se resuelven invocando el saber matemático.

Las temáticas correspondientes al curso están estructuradas alrededor de Guías de trabajo y éstas constituyen su eje central. Las Guías están diseñadas con base en una transposición didáctica que consiste en proporcionarle al estudiante situaciones en las que el saber - objeto a enseñar - ha sido re-contextualizado. Las diversas situaciones que se le proponen en las Guías, exigen al estudiante pensar desde el saber matemático, con lo cual este saber cobra interés y aparece como necesario para dar significado y sentido a la situación. Es así como la necesidad de realizar acciones (i.e. disponer de conocimientos) bien adaptadas al contexto le

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impele a superar las dificultades y los conocimientos obstáculo -que le impiden alcanzar el éxito de la acción-, y le llevan a tomar conciencia respecto a los medios intelectuales de los que se sirve la acción exitosa.

Esta buena adaptación se logra por modificaciones de los conocimientos que inicialmente los alumnos emplean para tratar con la situación pero que, en la situación actual, les resultan insuficientes para alcanzar el éxito. Tal modificación no es atribuible a las Guías sino que es producto de la interactividad que se despliega en la clase, entre el profesor y los alumnos, en torno al saber contextualizado en las situaciones propuestas en las Guías, saber que cobra vida en un medio didáctico en el que gradualmente se construyen significados matemáticos socialmente compartidos. Las guías cumplen la función de focalizar las acciones (del profesor y del alumno) en torno a tareas que exigen ciertas “maneras de hacer” (técnicas) que se justifican por una teoría (tecnología) relativa a una clase de problemas considerados fundamentales y básicos. Una guía no proporciona por sí misma un aprendizaje autónomo, pero sí es una herramienta imprescindible en esta propuesta didáctica.

El desarrollo de una secuencia didáctica típica responde a los siguientes formas de interacción y situaciones :

I. Interacción individual Alumno-Situación, Situación de Acción, el estudiante inicialmente trata de resolver las preguntas de la guía individualmente empleando los conocimientos que posee.

II. Interacción social Profesor-Alumno-Pares, con sus producciones escritas participa en una primera sesión de taller de dos horas, en las cuales su actividad se distribuye aproximadamente así: veinte minutos (situaciones de formulación y validación) en los cuales tiene la oportunidad de plantear sus preguntas, dificultades, dudas, surgidas de su trabajo y además escucha las de otros compañeros, quienes tratan entre pares de resolverlas y aclararlas con base en la experiencia de los participantes. El profesor en este tiempo actúa como moderador, orientador y estimula la discusión y la argumentación (momento de devolución del problema) y del uso apropiado de lenguaje natural y del lenguaje matemático, interviniendo activamente con elementos teóricos sólo cuando éstos sean necesarios, pero no fundamentales en la solución del problema.

En un segundo encuentro (clase de dos horas) Se continúa con el trabajo en pequeños grupos (2 o 3 estudiantes) sobre las situaciones que se identifican como problemáticas, y el profesor recorre el salón de clase observando las interacciones y escuchando las dificultades y argumentaciones en cada grupo, teniendo cuidado de no intervenir directamente en el proceso mismo de construcción en que el estudiante está comprometido. Al final de la clase (situación de institucionalización), el profesor interviene en una puesta en común en la que en las producciones de los estudiantes reconoce un saber

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matemático y relaciona este saber observable con saberes ya establecidos y discutidos.

El estudiante se compromete a trabajar por cada sesión presencial, dos horas de trabajo individual en casa; por lo tanto a la siguiente sesión lleva escrita su producción de 2 horas. La siguiente sesión presencial (2 horas) tiene una estructura similar a la que acabamos de describir y también se continúa con 2 horas de trabajo en casa. El ciclo continúa hasta agotar las situaciones de la Guía, pero la sesión final se caracteriza porque está a cargo del profesor quien determina, de acuerdo con los niveles de comprensión del tema, si se plantean nuevas situaciones sobre aspectos puntuales, y si se ha de tomar más tiempo para institucionalizar el conocimiento, ahora en la modalidad de una clase magistral a cargo del profesor.

Al finalizar la semana, los estudiantes entregan su producción respecto a las preguntas de la Guía. Y al iniciar la siguiente sesión se le devuelven corregidas y comentadas, a fin de retroalimentar oportunamente a los estudiantes y al profesor para replanificar la obra matemática, de acuerdo con los aprendizajes que se observan en los estudiantes.

Además de la evaluación de las tareas semanales, que no tienen nota numérica, y cuya finalidad es la de evaluación diagnóstica y formativa, se realiza una evaluación corta cada viernes − esta nota forma parte de la evaluación sumativa del curso.

Compromisos del estudiante Se establece un acuerdo con el estudiante para que:

— Responda ordenadamente las preguntas de la guía.

— Escriba sus propias respuestas.

— Discuta estas respuestas con sus compañeros (se establecen grupos estables de dos o tres estudiantes).

— Vuelva, individualmente, a leer las preguntas e introducir cambios a sus respuestas, si lo cree necesario.

— No borre los "errores", pero en cambio escriba las modificaciones.

— Diferencie claramente el tiempo de estudio individual del tiempo de estudio en grupo.

Compromisos del profesor con el apoyo de los asistentes de docencia

— Realizar un seguimiento cuidadoso de las respuestas del estudiante.

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— Cuestionar y orientar, pero no dar respuestas. Éstas deben surgir de los propios estudiantes.

— Establecer los momentos en que se debe reunir todo el grupo para lograr, después del trabajo individual y de grupo, una puesta en común con respecto a los diferentes puntos de vista de los estudiantes y al asunto teórico que los ocupa.

— Construir nuevas situaciones didácticas, sí ello es necesario.

— Explicar aquellos conceptos distintos de ecuación, ecuación lineal, solución de una ecuación lineal, inecuación, solución de una inecuación, valor absoluto de un número real y función que el estudiante no recuerde o no conozca.

— Planificar y coordinar una reunión semanal, de 2 horas, entre el profesor y los asistentes de docencia para:

— Determinar y unificar criterios de evaluación. Se entiende que la evaluación se concibe y se utiliza por su función pedagógica; es decir: se trata de la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa.

— Informarse semanalmente de los informes de seguimiento de las producciones semanales de los estudiantes, elaborados por los asistentes de docencia.

— Fijar un horario de consulta, para atender preguntas de estudiantes fuera de clase (2 horas semana).

— Realizar un seguimiento cuidadoso de las producciones escritas del estudiante; orientar la corrección de tal manera que estimule la reflexión del estudiante sobre sus errores y que al mismo tiempo le orienten en la focalización de los aspectos centrales de su origen.

— Cuestionar y orientar; pero no criticar negativamente las respuestas de los estudiantes. Estas son el reflejo material del progreso en el conocimiento.

Materiales Los alumnos dispondrán de los siguientes materiales:

— Guías de trabajo

— Guías Teóricas

— Textos. (Cualquier texto universitario de Cálculo indicado por el Departamento de Matemáticas para todas las ingenierías, pero se recomienda el “Calculus” de Tom Apostol, tomo 1, Editorial Reverte)

— Lápiz y papel.

— Calculadora.

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3. LAS GUÍAS DE APOYO TEÓRICO Y LAS GUÍAS DE TRABAJO - Cómo son estas guías; - Qué función cumplen en la enseñanza; - Cómo y cuándo deben ser usadas – es decir, cómo cambia la función expositiva del docente cuando se entregan guías previamente a la clase; - En qué consiste la interacción docente alumnos que se establece en clase, a partir de la guía. El curso se desarrolló en torno a dos tipos de Guías: de “Apoyo Teórico” y guías de “Trabajo”. Desde una perspectiva constructivista, la gestión de los diferentes temas del programa se piensa en torno a problemas −prácticos y teóricos− que hacen necesario un saber matemático específico (C), que no poseen los estudiantes, pero que es posible alcanzar cuando el alumno trabaja sobre un conjunto fundamental de situaciones matemáticas S(C) = {S1, S2, S3, ..., Sn} −en las que se ha recontextualizado C− asociadas al saber C. El estudiante deberá aplicar sus conocimientos actuales (Ĉ), que en primera instancia son insuficientes para resolver cada una o algunas de las situaciones Si para i=1, 2, ..., n. Esta limitación de Ĉ plantea un problema (P) al alumno como consecuencia de la diferencia entre el saber C propuesto y los conocimientos C disponibles en el momento de iniciar la secuencia didáctica (P = C−Ĉ); el problema se resuelve cuando Ĉ iguala a C. La afirmación, a priori, que acabamos de hacer respecto a que a los estudiantes les es “posible alcanzar” el conocimiento C es relativa al estado de los conocimientos, Ĉ, que en el momento ellos dispongan, y a la mediación del profesor y de los orientadores del taller. Se trata, en la terminología de Lev Vigotski (1996, pp. 181-186), de construir una Zona de Desarrollo Próximo −distancia cognitiva entre lo que el sujeto puede hacer a solas y lo que realiza con la ayuda de un experto− en la que: “[...] los conceptos espontáneos, faltos de control consciente y volitivo, encuentran dicho control, ..., con la cooperación entre el niño y los adultos” (Ídem, p. 185); en nuestro caso el alumno y los profesores, en torno a S(C). En el escenario que acabamos de describir, La Guía de Trabajo define la estructura de la secuencia didáctica para enseñar C en torno al conjunto S(C). El papel de la Guía de trabajo es el de ser un instrumento que potencialmente puede mediar, las acciones didácticas del profesor en el proceso de enseñanza y las acciones de los estudiantes en su aprendizaje, cuando en torno al saber que implícitamente aparece como necesario para el éxito de la tarea se articulan las acciones del profesor con las acciones de los estudiantes −interactividad (c.f. Coll, C. 1995)− buscando influir en los procesos cognitivos del otro para construir dominios de significados socialmente compartidos −aprendizaje. Por otro lado, complementariamente dado el carácter potencial de la mediación, la Guía de Apoyo Teórico cumple dos funciones. La primera es proporcionar saberes matemáticos de acuerdo con las necesidades técnicas que demanda la construcción de C y, la segunda, proporcionar nuevas

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situaciones adidácticas3 que se ajusten más al estado de conocimientos del alumno −ligeramente por encima de los conocimientos actuales− cuando las situaciones propuestas en la Guía de Trabajo superan el desarrollo potencial del alumno. En resumen, el profesor ajusta sus acciones −elaborando Guías de Apoyo− de acuerdo con los análisis de los resultados que producen los alumnos al responder por la Guía de Trabajo, en contraste con los resultados esperados de acuerdo con ciertos supuestos a priori que definieron el tipo de situaciones. Esta estrategia de Guías de trabajo y Guías de Apoyo busca hacer operativa la ley fundamental del aprendizaje de Vigotsky, según la cual, todo lo que se enseñe por encima del desarrollo potencial del alumno −determinado por lo que puede realizar con la ayuda del experto− no se aprende; y todo lo que se enseña en su nivel actual de desarrollo−determinado por lo que el aprendiz puede hacer por sí mismo− ya lo sabe. La Guía de trabajo es el instrumento que potencialmente puede ser mediador de las acciones y, para que realmente lo sea, se complementa con las Guías de apoyo, para ajustar las acciones de acuerdo al estado real de conocimientos de los estudiantes. Nuestro modelo se diferencia del modelo tradicional que fundamenta la enseñanza en la lógica de la explicación en dos aspectos fundamentales:

1. La teoría y las técnicas matemáticas no son un producto acabado u obra muerta que se expone al estudiante para que aprenda y en algún momento aplique a la solución de situaciones fuera del aula, sino que son el producto de la solución de situaciones problema que enfrenta el estudiante con la mediación del profesor; una obra viva y siempre inacabada para responder a los problemas susceptibles de una matematización.

2. Se obliga a un cambio de las actividades tradicionales del profesor y del

estudiante: el primero no es más el poseedor del saber que centra la enseñanza en las “buenas explicaciones, sino es más un diseñador y gestor de situaciones adidácticas; y el segundo, no es un receptor de este conocimiento acabado y transformado por la explicación del profesor, sino un sujeto activo que construye su propio conocimiento.

El primer aspecto se relaciona fundamentalmente con la actividad del profesor y en particular con el diseño de La Guía de trabajo y la Guia de Apoyo Teórico. Como ya se dijo más arriba, la Guía de trabajo expresa el conjunto fundamental de situaciones S(C) que se construye considerando las variables didácticas −valores de

3 Situación matemática específica del conocimiento C “[...] tal que, por sí misma, sin apelar a razones didácticas y en ausencia de toda indicación intencional, permita o provoque un cambio de estrategia en el jugador. Este cambio debe ser (relativamente) estable en el tiempo y estable respecto a las variables de la situación.” (Chevallard, Y., Bosh, M., y Gascón, J, 1997. p. 214). El término se opone a situación didáctica que se refiere a “las relaciones establecidas explícitamente e implícitamente entre los alumnos, un cierto medio (que incluye instrumentos y objetos) y el profesor, con el objetivo de que los alumnos aprendan el conocimiento matemático C” (Ídem, p. 217). Sin embargo, las situaciones adidácticas artificiales que se plantean en el aula son parte del medio en el que se desarrollan las situaciones didácticas que le dan sentido y significado a la situación matemática específica del conocimiento C.

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la situación que obligan a un cambio de estrategia en una situación adidactica Si − que obliga a modificar un estado de conocimiento hacia otro mejor adaptado a la situación. Estas variables didácticas se determinan a partir de:

• un estudio de la naturaleza del conocimiento matemático − dimensión epistemológica;

• el estado de conocimiento actual de los estudiantes − dimensión cognitiva; y • la gestión de los medios y procesos de enseñanza y aprendizaje − dimensión

didáctica. El segundo aspecto se refiere tanto a la actividad de gestión del profesor como a la actividad constructiva del estudiante. Decimos que “se obliga a un cambio de las actividades tradicionales...” porque cuando el profesor evita proporcionar, directamente, el conocimiento que es necesario para resolver la situación adidáctica, el alumno ineludiblemente tendrá que aplicar su propio conocimiento y deberá actuar para alcanzar el éxito en la tarea −situación adidáctica de acción (SA)−; y luego, cuando se ve obligado a compartir con los otros el producto de su acción, verbaliza y simboliza sus acciones −situación adidáctica de formulación (SF)− y trata de convencer a los pares sobre la validez de sus resultados −situación adidáctica de validación (SV). En este conjunto de momentos o situaciones adidácticas de la enseñanza, el profesor toma cierta distancia, pero está atento para hacer que las situaciones adidácticas evolucionen de acuerdo con el aprendizaje del saber matemático C propuesto. El funcionamiento adidáctico es posible si el profesor genera un marco didáctico que tiene como función la regulación de la situación adidáctica. El profesor en situación didáctica observa las acciones de los estudiantes y en concordancia con ellas actúa produciendo retroalimentaciones (positivas o negativas) para llenar lagunas −carencia de ciertos conocimientos necesarios para alcanzar C (pero nunca el conocimiento C que es el objeto de aprendizaje)− o para generar conflictos cognitivos con respecto a los conocimientos obstáculo4 que estén presentes en el estudiante −situación didáctica de devolución de problema (SD). También el profesor actúa para reconocer que el conocimiento construido por el estudiante es un saber matemático de pleno derecho −situación de institucionalización (SI). Estas acciones del profesor siempre están articuladas con las acciones del aprendíz sobre la situación adidáctica y es una respuesta a ellas para provocar el cubrimiento de una laguna o la superación de un conocimiento obstáculo. En resumen se espera que como resultado de la operacionalización de los dos aspectos del modelo, el conocimiento C sea el resultado de satisfacer las variables de la siguiente función de conocimiento:

C= SA + SF + SV + SD + SI

4 Es un conocimiento que funciona en ciertas situaciones que ha tenido su éxito, pero que en otras resulta inadecuado, genera errores o resulta ineficiente. Es difícil de modificar y no es idiosincrásico, pero es necesario para construír el conocimiento nuevo.

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Y, en consecuencia, cada Guía define la estructura de la secuencia didáctica y cumple la función de instrumento mediador, de las acciones didácticas del profesor en el proceso de enseñanza y de las acciones de los estudiantes en su proceso aprendizaje. Cómo se usaban las guías: La metodología obligaba a los estudiantes a trabajar antes de la clase las situaciones de la Guía y a usar el encuentro con los asistentes de docencia en el Taller (2 h/s) para aclarar dudas y recibir retroalimentaciones a fin de realizar su obra matemática. En las clases (dos clases, espaciadas por un día, de 2 h/s cada una), el profesor también trabajaba con los estudiantes a partir de sus preguntas sobre el tema asignado en la Guía, y trataba de desarrollar una interactividad para afectar los procesos cognitivos que orientan las acciones de estos. Buscaba que se produjeran los aprendizajes, pero sin dar respuestas directas que fueran solución de la situación. Con estas ayudas el estudiante desarrollaba una producción escrita sobre situaciones de la Guía previamente asignadas - la tarea -, y la entregaba semanalmente a los asistentes de docencia para su corrección. En la siguiente reunión, los Asistentes de docencia devolvían a los estudiantes las tareas corregidas y comentadas. El profesor diseñaba una prueba corta semanal sobre los puntos de la tarea, la cual se realizaba el mismo día en que los estudiantes entragaban la tarea. Los resultados de la evaluación de la tarea y de la prueba corta se entregaban, a los estudiantes, en la siguiente sesión. A partir de los resultados logrados, y de las retroalimentaciones escritas por los asistentes en cada tarea o prueba, se discutían los puntos en los que se habían detectado aprendizajes deficientes. Luego los asistentes de docencia informaban al profesor en un formato especial (ver anexo) cuáles habían sido los resultados en términos de lagunas y obstáculos más frecuentes presentes en los estudiantes. Esta información era la base para planificar el trabajo de la semana siguiente. Inicialmente el curso se programó para cubrir siete Guías:

0. Números reales y Función 1. Construcción de las definiciones de Continuidad y Límite 2. Teoremas asociados al concepto de Limite 3. Teoremas asociados al concepto de Continuidad 4. Construcción de la definición de Derivada (una aplicación del concepto de

Límite 5. Teoremas asociados al concepto de Derivada 6. Aplicaciones de la derivada

La Guía 1 requiere de estar en posesión de cierto concepto de número real y funciones como objetos estructurados y no sólo como procesos. Para asegurar esto, dado que conocíamos de las limitaciones en cuanto a formación matemática de los

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estudiantes, propusimos una “Guía Cero” sobre Lógica y Operaciones sobre conjuntos. Se esperaba abordar los subconjuntos de los reales y observar el estado de conocimiento a nivel de identificación de los subconjuntos de los números reales y discriminación de sus propiedades. Respecto a esta actividad los Asistentes de Docencia comentan: A los estudiantes se les dejaba semanalmente una guía de trabajo o una guía de apoyo teórico, que organizaba el trabajo a realizar antes de venir a clase. Una vez en la clase, los estudiantes eran los encargados de hacer las preguntas sobre lo que no habían entendido de la guía; con base en esas preguntas se iban dando las clases. Pero nosotros no contestábamos sus preguntas, sino que hacíamos otras preguntas relacionadas, que les permitieran a ellos contestarse sus propias inquietudes y por ende comprender los conceptos dados. Pero para que el alumno lograra esto necesitábamos más tiempo del normal. Es decir, cuando se media en el aprendizaje bajo la lógica de la construcción y no con la lógica de la explicación necesariamente se avanza más lentamente: la comprensión es un proceso lento en el que se siembra la semilla del entendimiento y para que se convierta en fruto hay que realizar un cuidadoso seguimiento e invertir tiempo. 4. EXPECTATIVAS DEL EQUIPO DE TRABAJO Expectativas de los asistentes de docencia Todo estaba listo para el inicio del curso, eran muchas nuestras expectativas, sabíamos que con el pasar de los años, los alumnos que terminan secundaria habían caído en el nivel matemático y que las bases con que entraban los estudiantes eran malas, y que esto nos implicaría bastante trabajo. Iniciamos con bastante entusiasmo la primera semana, pero pronto nuestros ánimos se fueron al piso, porque parecía que el trabajo que se había hecho en la semana (clases, talleres y consulta) no hubiera valido la pena. El informe semanal por parte de los asistentes mostraba que las bases de estos estudiantes no eran malas, ¡eran pésimas! Nunca nos imaginamos que el nivel de estos estudiantes fuera tan bajo5. El profesor les dijo, desde el comienzo, que tenían que tomar conciencia de lo que estaban haciendo, que debían de cambiar sus hábitos de estudio y que las clases no eran suficientes para aprender, que dedicaran varias horas por fuera de clase para estudiar y pidió que lo que habían hecho mal lo corrigieran nuevamente. En la corrección de la primera tarea hubo una leve mejoría pero no fue mucha. Nos dimos cuenta de que ellos irían mejorando poco a poco, que el tiempo que se había

5 Los tres asistentes de docencia hemos tenido a nuestro cargo en la universidad otros cursos de Cálculo, por lo cual teníamos como referente para contrastar su nivel de conocimientos a otros estudiantes egresados de secundaria.

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planeado para darles bases en matemática fundamental iba a ser muy superior a lo que se supuesto. A pesar de que el grupo mejoraba, ello no significaba que lograran apropiarse completamente los conceptos, ni manejarlos y aplicarlos como esperábamos. Pero sí podemos decir que la entrega semanal de la tarea y quiz el hicieron que en la mayoría de los alumnos se creara cierta disciplina de trabajo intelectual y de hábito de estudio; y decimos la mayoría, porque notamos que varios entregaban la tarea sin mayor análisis, o no la entregaban completa. Como éstas no eran calificadas numéricamente, sino que entregarlas les permitía acumular un pequeño porcentaje por cumplimiento, algunos entregaban a sabiendas de que no estaban bien ejecutadas. A los estudiantes que presentaban esta conducta los asistentes les llamamos la atención, pero la situación se repetía: a veces por negligencia de ellos, otras veces porque sencillamente no entendían el tema y por este motivo la solución de la tarea era muy limitada. Nosotros sabíamos que el trabajo al principio iba a ser lento, mientras iban adquiriendo las bases, pero pensábamos que apenas lo lograran iban a avanzar rápidamente. Este supuesto estaba en la base de haber llamado el curso Cálculo I, pues el profesor creía, basado en experiencias previas, que luego de unas semanas de bases, podría entrar a desarrollar los temas y conceptos de Cálculo I. Pero no fue así, siempre hubo que dedicar mucho tiempo a los temas básicos – lógica, conjuntos, conjuntos numéricos, sistema de coordenadas, ecuaciones e inecuaciones -, y a pesar de que algunos concpetos ya se habían trabajado anteriormente, los alumnos volvían a cometer los mismos errores. Por otro lado, los asistentes sabíamos que habría bastante trabajo, pero nunca imaginamos que llegara a ser tan inmenso y a demandarnos el doble o más del tiempo a que nos habíamos comprometido. Las tareas y las pruebas cortas eran demasiado largas, y debido a la cantidad de errores que los estudiantes presentaban al solucionarlos, debíamos escribir muchas observaciones sobre los problemas que encontrábamos en sus procesos de razonamiento al resolver los ejercicios. Esto nos implicaba demorarnos muchas horas semanales solamente en evaluar y dar retroalimentación – por lo general 8 a 10 horas, pero a veces 12 – además de producir informes individuales y grupales. Lo cual nos exigió sacrificar tiempo del que debíamos dedicar a nuestro proyecto de investigación. El profesor siempre fue muy optimista en cuanto al desarrollo del curso, pues quería demostrar que una buena metodología permite un aprendizaje más sólido que el que se logra cuando sólo interesa cubrir contenidos. Él reconocía que había que darles tiempo para que asimilaran los conceptos, y estábamos de acuerdo; sin embargo, a los asistentes nos inquietaba que las semanas pasaban y no se lograban iniciar los temas de Cálculo I. Esto implicaba que no se terminaría el curso con los temas propuestos. Para nosotros, como asistentes, la experiencia como tal es muy demandante, pero igualmente muy interesante. Como estudiantes de matemáticas muchas veces no hemos reflexionado sobre algunos conceptos que supuestamente sabemos. No obstante, en la medida en que nuestros estudiantes nos hacen preguntas básicas nosotros también aprendemos y por primera vez comprendemos algunos conceptos

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que a lo mejor durante años hemos dictado y no les habíamos puesto el suficiente cuidado. Expectativas del profesor:

De acuerdo con la metodología expuesta, planeamos que este contenido se desarrollaría en torno a siete Guías, como explicamos más arriba (Ver Guías y Temas). Sin embargo, en la primera semana (ver informe semana 1, de los asistentes de docencia) tomamos conciencia de la inmensa brecha entre el estado de la formación matemática de los estudiantes y las demandas que planteaba el programa del curso de Cálculo 1, que pretendíamos cubrir en siete Guías. Esto nos obligó a elaborar Guías que se ajustaran a las condiciones de formación matemática de los estudiantes; por lo cual, más que trabajar sobre contenidos buscábamos incidir en el desarrollo de ciertas competencias para utilizar lenguaje matemático, razonar matemáticamente e imaginar y transformar la tendencia a pensar las matemáticas como aprendizaje de fórmulas y algoritmos. Las Guía se llamaron entonces “Guías de apoyo a la Guía 1” y se discriminan así:

A. LÓGICA: Proposiciones y conectores lógicos. Reglas de inferencia y métodos de demostración.

B. CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS. C. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Identificación de los conjuntos numéricos a

partir del conteo y los sistemas de numeración de valor de posición. D. ESTRUCTURA ALGEBRÁICA y ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES:

Presentación axiomática de los números reales. Potencias enteras, racionales y reales. Exponentes y logaritmos.

E. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES: Resolución de ecuaciones, Dominio de valores admisibles. Pérdida y ganancia de soluciones en procesos de transformación de una ecuación en otra más simple, ecuaciones equivalentes.

F. MÉTODO DE LAS COORDENADAS: Coordenadas en la recta. Segmento dirigido, magnitud de un segmento, distancia entre puntos, valor absoluto, resolución de inecuaciones. Coordenadas en el plano, estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado.

G. INTRODUCCIÓN A FUNCIONES: Función lineal, cuadrática, función exponencial y logarítmica.

Esta reprogramación se pensó que tomaría menos tiempo del que realmente tomó. Sin embargo, mi concepto como docente es que los estudiantes que tomaron el curso, aún los que lo perdieron, tuvieron una experiencia diferente con las matemáticas y lograron desarrollar las competencias de lectura y escritura de proposiciones matemáticas, de razonamiento matemático y de elaboración de conjeturas matemáticas. Nuestra hipótesis es que a medida que los estudiantes maduren en estos conocimientos y formas de hacer matemáticas podrán gradualmente alcanzar ritmos más acelerados de aprendizaje y más independientes de las explicaciones del profesor.

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Expectativas de los estudiantes Para los estudiantes no resultó fácil cambiar sus hábitos en la forma de aprender los conceptos. Tanto ellos como nosotros hemos aprendido las cosas con esquemas viejos de enseñanza, donde el profesor da la clase y los alumnos simplemente escuchamos, anotamos lo que él escribe, y hasta nos “tragamos” el cuento. Es decir, aceptamos lo que escribió y demostró como una verdad que no requiere ser pensada sino solamente aceptada. Y luego, ya fuera de la clase, sencillamente estudiamos – es decir, memorizamos los procedimientos, las fórmulas – y hacemos ejercicios que exigen aplicar eso que ya grabamos en la memoria. En este modelo de enseñanza ganar los exámenes significa que sí entendimos y aprendimos. Si para nosotros como asistentes llevó tiempo asimilar el nuevo modelo de enseñanza y de aprendizaje, para los estudiantes fue mayor la exigencia. Todo pareció empezar muy bien, pero a las pocas clases los alumnos comenzaron a desmotivarse, ya que en éstas no se avanzaba mucho y parecían volverse monótonas pues siempre se retomaban los mismos temas. Esta situación se complicaba aún más por el hecho de que muchos estudiantes llegaban por primera vez a clase después de varias semanas, y el profesor de alguna manera tenía que involucrarlos, lo que implicaba muchas veces volver a retomar los temas ya dados. Luego de varias semanas de incomodidad por fin hablaron, y se armó toda una discusión sobre el tema. Nos da la impresión de que el profesor así lo esperaba, pues él decía que esa era una reacción ante la impotencia de no comprender los conceptos. Él les enfatizó que en este curso se les pedía pensar, analizar todo lo que se estaba tratando de comprender y aprender y que eso es algo a lo que uno no está acostumbrado, más particularmente si se viene de colegios donde los profesores no han tenido una buena formación. El profesor les habló de lo necesario que es que ellos analicen lo que se les propone para aprender, que piensen y no simplemente memoricen, porque esto es provechoso no sólo para este curso sino para el resto de las materias, y en el futuro cuando sean ingenieros. Es evidente que la metodología sobre la cual se fundó todo el curso – la manera de hacer las clases como interacción entre el profesor y los estudiantes, los talleres basados en lo que según las tareas y pruebas cortas veíamos que aún no habían comprendido, la retroalimentación escrita como comentarios a sus procesos de razonamiento matemático en las tareas, y por tanto buscando que tomaran conciencia de sus errores y de sus dificultades como condición necesaria para poderlos superar - todo esto rompía el contrato docente sobre el cual se había basado toda su escolaridad. En el contrato escolar típico “aprender es memorizar, y enseñar es dictar contenidos, o copiar fórmulas y procedimientos en el tablero”; ni el profesor ni el alumno deben pensar, menos aún analizar para tratar de comprender. Varias veces fue necesario explicar por qué era importante seguir esta metodología y la influencia de ésta en el aprendizaje. Otro argumento que esgrimían y que luego hablaron con nosotros era su molestia respecto a por qué tenían que aprender todas estas cosas si ellos iban a ser ingenieros y no matemáticos. Nosotros les aclaramos que era muy importante que

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asimilaran y que comprendieran estas bases para que en los siguientes temas no tuvieran los problemas que generalmente tienen los estudiantes que están viendo Cálculo I. Notamos que para ellos nosotros habíamos hecho un rompimiento del contrato didáctico. Las objeciones de los estudiantes frente a lo que debían aprender o no hicieron que nosotros como equipo de trabajo les tuviésemos que explicar las reglas: por qué era importante construir conceptos sobre bases seguras, en lugar de avanzar en temas para los cuales ellos no habían logrado los razonamientos y los conocimientos necesarios. Parte de su inquietud se debía a que ellos comparaban lo que estaban viendo en el curso con lo que otros compañeros estaban ya viendo en otros cursos de cálculo; además de que algunos estudiantes del grupo ya habían visto Cálculo I, una o dos veces, y no entendían para qué les daban “temas y conceptos que no eran los que debían aprender”. El contraste era inevitable, pero se fueron habituando poco a poco a clases en las que el profesor no exponía temas, sino en las que ellos debían dar cuenta de lo que habían comprendido y cómo lo habían comprendido al leer la guía temática de la semana. Cada vez tomaban más conciencia del trabajo que tenían que desarrollar; podemos decir que el grupo se destacó por su constancia, aunque los resultados no siempre fueron los mejores. Sin embargo, no entendíamos por qué ellos deseaban que se avanzara si tampoco mostraban mejoría en los temas que se estaban estudiando, aunque sí había casos particulares de estudiantes muy sobresalientes que entendían rápidamente los conceptos y se desmotivaban muy fácilmente porque tenían que esperar a que los otros lograran desarrollar tal comprensión. Como asistentes teníamos un contacto más cercano con los estudiantes, razón por la cual ellos tenían más confianza para hacernos sus preguntas; participaban en los talleres, salían al tablero y trabajaban en equipos. Pero lo que siempre fue una incógnita para nosotros es la razón de las grandes diferencias entre ellos: algunos pocos casos se volvieron estudiantes muy sobresalientes, la gran mayoría se mantuvo en un nivel de comprensión intermedio, y hubo otros casos que ni con el tiempo suficiente y dándoles todas las posibilidades lograron despegar. ¿Por qué estas diferencias si afectivamente tratábamos de crearles confianza - las matemáticas no se les presentaban como un arma para “rajarlos”- y de enseñarlos a pensar matemáticamente? 5. EL SEGUIMIENTO Y LA EVALUACIÓN DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE Obstáculos epistemológicos Semanalmente, y con base en el examen detallado de los razonamientos del estudiante al ejecutar la tarea y la prueba corta, cada asistente de docencia elaboraba un informe en el cual, luego de corregir y retroalimentar a los estudiantes, daba cuenta al profesor de los obstáculos epistemológicos que habían sido más

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preponderantes como impedimiento para que resolvieran con éxito las tareas y situaciones resueltas. Los principales obstáculos que detectamos los asistentes a lo largo del semestre fueron:

1. No dotan de significado los conceptos y por eso no saben aplicarlos. Cuando hemos dictado otros cursos y vemos que a los estudiantes les va mal, siempre les preguntamos por la forma en que están estudiando cálculo, y la gran mayoría nos contesta que aprenden cálculo haciendo todos los ejercicios propuestos; pero si les preguntamos los conceptos, por ahí empiezan a fallar. Consideramos que este es uno de los principales obstáculos que presentó este grupo, porque sus trabajos nos muestran que no comprenden el significado y lo que cada concepto representa, por tanto no lo pueden aprender de manera significativa; por eso, a la hora de hacer la tarea, el quiz o el parcial - donde tienen que aplicar las definiciones y conceptos -, lo hacen mal o sencillamente no lo hacen.

2. Mala escritura Matemática. La Matemática es una ciencia que tiene su propio

lenguaje que la dota de significado, por eso aprender matemáticas exige aprender su leguaje, lo que cada signo quiere decir, y el orden en que se debe usar. La matemática exige ser rigurosos en la manera de escribir y representar los objetos matemáticos. Los estudiantes del curso piloto tienen serios problemas de notación, es decir como representan los objetos matemáticos; su manera de escribir es a veces tan confusa que ni ellos mismos entienden lo que están escribiendo. Ejemplo de ello era que confundían la notación que se usa para denotar coordenada y punto. La coordenada va con letra minúscula y el punto con letra mayúscula; y lo que esta diferencia de escritura representa es que a cada punto yo le puedo asociar una coordenada y viceversa, es decir que se asocian de manera biunívoca. También confundían la notación de longitud de un segmento con la magnitud del mismo.

3. Generalización de contextos. Los estudiantes aprenden ciertos

procedimientos que les permiten resolver cierto tipo de problemas. Pero cuando cambiamos de contexto el alumno acciona sus esquemas previos y trata de resolverlos aplicando los mismos procedimientos anteriores; y es ahí donde viene el error. Ejemplo de ello es que sabían resolver ecuaciones, y cuando vimos el tema de inecuaciones trataban de resolverlas de la misma manera que las ecuaciones.

Creemos que estos fueron los principales obstáculos que se evidenciaron a lo largo del semestre y que fueron una constante en los diferentes ejercicios, tareas, talleres y clases. Ahora haremos un breve comentario analítico del desempeño y actitud de los estudiantes a los cuales hicimos seguimiento individual.

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La evaluación permanente En nuestra enseñanza constructiva, el método de evaluación permanente y formativa era muy importante; con esto nos referimos a lo que tiene que ver con la elaboración y entrega semanal de tareas y la evaluación de pruebas cortas semanales. Se programó tarea y prueba corta semanalmente de manera que podríamos detectar cuáles eran sus errores y así hacerles caer en cuenta a ellos de lo que estaban haciendo incorrectamente para que lo corrigieran. Estas tareas y pruebas cortas eran la parte más importante del seguimiento que hacíamos, pues nos permitían evidenciar y evaluar qué tanto habían aprendido los estudiantes sobre ese tema, y cómo ellos iban o no enlazando los diferentes conceptos que estaban aprendiendo. Aún más, podíamos ver qué aplicaciones hacían en los diferentes contextos. Esto es fundamental, dado que los estudiantes, por lo general, creen que los conceptos no están relacionados, que son entes independientes; de ahí su dificultad para trabajar en las diferentes situaciones que se les plantean en las guías. Las matemáticas se rigen por conceptos, definiciones, teoremas, y de alguna manera esta teoría debe aplicarse a situaciones especiales. En el caso de estos estudiantes, las situaciones son ejercicios y problemas aplicativos al área de ingeniería. Pero en estas aplicaciones la gran mayoria tenía dificultades, pues muchas veces no entendían lo que leían (debido a limitaciones en su nivel de lectura comprensiva); o si lograban entender lo que se les pedía, no sabían cómo utilizar las herramientas que se les habían dado. Qué son los talleres y cómo funcionan En los talleres – 2 horas a la semana en grupos de 22 estudiantes, cada uno a cargo de un asistente - se trataba de seguir la misma metodología que se usaba en las clases y su finalidad era reafirmar los conceptos dados en clase. Aunque a veces debimos hacer el taller de manera magistral pues el tiempo era escaso para lo que se necesitaba trabajar en ese momento. Se trabajaban los ejercicios que se habían propuesto en las guías, y si tenían dudas se trabajaba sobre ello. Anotaciones sobre el seguimiento a casos individuales A partir del rendimiento inicial de los estudiantes matriculados en Cálculo I por primera vez, - respecto a lo que expresaban, preguntaban, escribían y respondían -, establecimos tentativamente tres niveles iniciales de rendimiento: nivel alto, nivel medio y nivel bajo. Cada uno de los asistentes de docencia seleccionó a 3 estudiantes a los que hizo un seguimiento especial a lo largo del curso de cálculo I. Ordenados según su nivel fueron: Estudiantes cuyo seguimiento hizo el asistente de docencia JOHAN SUAREZ 1. Viviana Maryuri Díaz

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La seleccioné porque en la primera prueba que se realizó en el curso, ella fue de menor nota y de rendimiento deficiente. Su rendimiento fue mejorando a medida que el curso fue avanzando debido a que siempre cumplió sus tareas y presentó todos las pruebas cortas. Su actitud hacia los talleres fue mejor en comparación con la actitud hacia la clase. Al final del curso su nota fue 3.3 lo que la ubica en un nivel medio pero satisfactorio en comparación con el inicio del curso. La relación asistente- estudiante fue muy buena y la disposición para trabajar, la mejor. Por ello mi opinión hacia ella es que es una estudiante que se esfuerza por mejorar y siempre está receptiva a aprender muchas cosas. Creo que de todas formas le falta prepararse mejor para los otros cursos matemáticos, ya que aunque su rendimiento fue satisfactorio, el nivel de ella en el curso fue bajo. 2. Sindy Rocío García La seleccioné porque ví en ella a una futura líder. Su rendimiento en la primera prueba fue regular. Estaba en un nivel intermedio, pero veía en ella las capacidades y sobre todo la actitud de mejorar, de aprender y de sobresalir. Aunque tiene muchas falencias en sus conocimientos matemáticos su actitud la llevó a ser una líder del grupo, siempre estuvo receptiva al conocimiento, buscó mejorar y el sentido de responsabilidad y compromiso con el curso fue siempre el mejor. Desafortunadamente en la última parte del curso, su rendimiento decayó notablemente6 y en las últimas semanas no volvió al curso; quizás por pena con los asistentes y el profesor, tomó esa decisión y por tanto perdió el curso. Mi opinión hacia ella es la mejor. Con su actitud sé que va a llegar muy lejos y creo que aunque tiene las capacidades y la voluntad de aprender más cosas, debe revisar sus conocimientos matemáticos ya que presenta muchas falencias. 3. Sugey Castro La seleccioné porque en la primera prueba le fue muy bien, ella fue la de mejor nota y a lo largo del curso su rendimiento fue constante y por encima de 4.0. Al comienzo del curso mostró ser una estudiante muy “pila” y receptiva al conocimiento nuevo. Muy responsable con sus tareas y presentó todas sus pruebas cortas. Al final del curso tuvo un “bache” de notas debido a que tenía otras actividades y tuvo también un momento de desmotivación con el curso porque observaba que no avanzaba y no le motivaba ir al curso. Sin embargo, gracias a la relación con los asistentes, pudo superar ese inconveniente y logró sacar adelante el curso con una nota final de 3.7.

6 Las condiciones económicas en las que Sindy había asumido la universidad le impedían tener siquiera el mínimo de tiempo necesario para estudiar exigido por el trabajo académico, y de descanso para reponer fuerzas,. Tan solo para poder asistir a clases se desgastaba físicamente pues debía recorrer a diario en bicicleta grandes distancias a las 4 de la mañana, antes de tomar el bus que la trajera a Cali; y de nuevo al anochecer hacer el viaje de regreso.

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Creo que, aunque su nivel fue bueno, debe mejorar su actitud hacia el siguiente curso, si continua en el proyecto, porque tiene las capacidades y sólo le falta un poco más de acompañamiento por parte del profesor. Estudiantes cuyo seguimiento hizo la asistente de docencia LILIANA POSADA VERA 1. Claudia Perlaza La escogí porque nunca había visto un nivel tan deficiente en un alumno. Su primera tarea fue un desastre, colocaba cosas que no eran coherentes con lo que se pedía. Su nivel durante el curso fue muy malo aunque hubo una leve mejoría en una tarea; en el resto su rendimiento fue muy bajo. Su calificación en el curso fue de 2,3. Pero a pesar de que perdió el curso fue una chica constante en su trabajo, entregó todas las tareas y pruebas cortas y su actitud frente a las clases y los talleres fue la mejor. Considero que le cuesta mucho trabajo comprender los conceptos. Ella me había comentado que su bachillerato lo realizó como bachillerato acelerado, y por eso sus bases tan malas; no obstante, a lo largo del smestre tuvo tiempo para asimilar y comprender los conceptos, pero ni asi pudo despegar. 2. Osías Mosquera Fue seleccionado porque lo consideraba entre el grupo que lo calificaba como de nivel intermedio. A medida de que el tiempo fue pasando noté en él un futuro líder que expresaba con mucha facilidad lo que pensaba. El, junto con Sindy, se convirtieron en dos líderes importantes en el curso, tanto para el equipo de trabajo como para sus propios compañeros. Empezó con un nivel un poco bajo, pero fue mejorando; tanto así que en la época en que Wilson desmejoró, Osías pasó a ser el mejor de los 3 estudiantes a los que les estaba haciendo seguimiento; pero luego bajó nuevamente. Su nota en el curso fue de 3.3. A pesar de ello él siempre fue constante con su trabajo, entregó la mayoría de sus tareas y pruebas cortas y fue muy participativo en las clases. 3. Wilson Rey Wilson se caracteriza por ser un estudiante un poco tímido y callado. Siempre fue muy responsable con las tareas y los pruebas cortas. Es un chico que se ha caracterizado por su constancia. El empezó como uno de los mejores en las primeras tareas, pero hubo un tiempo en que fue decayendo; creo que en parte porque el curso se fue complicando, pero quizá también fue producto de un poco de desmotivación. Pero al final se recuperó bastante y mejoró su trabajo. Aunque hay una mejoría, considero que tiene muchas falencias que debe mejorar. Su nota en el curso fue de 3.4. Estudiantes cuyo seguimiento hizo el asistente de docencia YEFERSON FERNANDEZ

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1. Patricia Pantoja Patricia inicialmente fue clasificada en el nivel bajo. Tuvo notas bajas en casi todas las tareas y pruebas cortas, con una leve mejoría en las dos últimas notas de este tipo. Asistía regularmente a los talleres y a las clases. Su participación era muy discreta respondiendo sólo cuando se le preguntaba directamente. Sus notas parciales fueron de 2.5 y 2.1. La nota definitiva fue de 2.8, en donde el porcentaje de tareas y pruebas cortas independiente de los resultados, fue de 4.5. Ella pasó el curso ya que ganó la habilitación. 2. Mauricio Yepez Mauricio fue clasificado en el nivel medio, aunque inicialmente se pudo considerar en el nivel III. Sus notas de tareas y pruebas cortas fueron de 5.0 y sus notas parciales de 1.7 y 1.6. Este es un caso donde el estudiante respondía bien en los talleres, las tareas y las clases pero en los exámenes escritos no. Desafortunadamente, Mauricio comenzó a presentar una disminución en su rendimiento. Se sentía desanimado con el curso. Por su rendimiento final se puede ubicar en el nivel bajo. Durante estos eventos, se le preguntaba el por qué de sus resultados e inconsistencias a los últimos talleres y él no respondía en concreto. Sólo manifestaba un “bajonazo” de ánimo e inconformidad con sus notas y además con las clases. 3. Diana Terán Diana fue clasificada, desde el inicio hasta el final en el nivel alto. Ella es una estudiante que recibe los consejos, las observaciones y las correcciones y las tiene muy en cuenta para mejorar. En las participaciones de los talleres y las clases fue muy concreta y clara. Sus escritos eran de buena calidad y rigurosidad matemática. En resumen ella es una estudiante sobresaliente. El seguimiento que hicimos a estos casos nos permite afirmar que, en general, los estudiantes no asimilaron los conceptos en forma ascendente, como esperábamos, salvo casos muy particulares como el de Diana Terán. Por experiencias anteriores, nuestra expectativa era que una vez comprendieran la matemática como un lenguaje y aprendieran a razonar matemáticamente, su avance en los temas específicos sería progresivo, ascendente y cada vez más seguro. No obstante, esa no fue la situación. Si revisamos los informes que semanalmente elaboramos, aparece que en algunos temas mejoraban, en otros descendían; y esto fue una constante no sólo para estos casos en seguimiento, sino para la mayoria de los alumnos. Parecía como si lograran apropiarse de ciertos temas, y de otros no. Igualmente queremos señalar que, incluso cuando los estudiantes de este curso logran manejar algunos temas, la comprensión y asimilación de estos no es total;

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es decir, no tienen un manejo completo de los conceptos; por tanto, a nivel matemático tienen mucho que mejorar. 6. LOS TEMAS ESTUDIADOS EN EL CURSO PILOTO DE CALCULO I Respecto al contenido del curso El programa oficial del curso de cálculo I presenta el siguiente contenido: Unidad 1: Números, funciones y gráficas La recta real y el plano coordenado. Fórmula de distancia. Ecuación de la recta. El círculo. Funciones y sus gráficas. Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inversa. Funciones algebraicas. Funciones trigonométricas y sus inversas. Función exponencial y función logarítmica. Unidad 2: Derivada de una función Definición de límite de una función. Límites laterales. Teoremas sobre límites. Límites infinitos y al infinito. Continuidad y discontinuidad de funciones. Álgebra de funciones continuas. Teorema de Bolzano y del valor intermedio. Definición de la velocidad y tasas de cambio. Derivada. Interpretación geométrica de la derivada. Reglas de derivación. Regla de la cadena. Derivación implícita. Derivada de la función inversa. Derivación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Derivadas de orden superior. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio.

Unidad 3: Aplicaciones de la Derivada Cálculo de derivadas. Incrementos diferenciales y aproximación lineal. Funciones crecientes y decrecientes. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Criterio de la primera derivada. Concavidad y puntos de inflexión. Criterio de segunda derivada. Dibujo de gráficas. Razones relacionadas. Problemas de máximos y mínimos. Si bien el curso Piloto debía sentar unas bases matemáticas en las primeras semanas, y luego estudir los temas que hacen parte de Cálculo I, esto no logró cumplirse, debido a que temas que normalmente se dan en poco tiempo, en el piloto tomaron muchísimo más de lo usual. Si nos referimos a los temas que cubrió el curso piloto encontramos algunos temas del curso de Matemática Fundamental y nada del curso de Cálculo I. Los siguientes cuadros muestran los contenidos del curso de Cálculo I coordinados por las profesoras Martha Pinzón y Daniela Vásquez del departamento de Matemáticas y el curso de Matemática Fundamental cuya programación fue algo tentativo que hicimos de acuerdo al programa. (Ver en Anexo los programas de Cálculo I y Matemática Fundamental). El objetivo es compararlo con los temas dados en este curso. El programa está propuesto por semanas.

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Semana CALCULO I MATEMATICA FUNDA- CALCULO I CONDICION DE MENTAL EXCEPCION

1 La recta real, plano Proposición, funciones Proposiciones, funciones cartesiano, distancia proposicionales, conecti- proposicionales, conectivos, entre dos puntos, ecua- vos, cuantificadores, tau- cuantificadores, ción de la circunferencia tologías y raciocinios. tautologías, raciocinios y la línea recta.

2 Números Complejos, Métodos de Demostración Métodos de Demostración, concepto de función, Conjuntos y sus propieda- conjuntos y sus propiedades dominio y rango. Formas des. de representar una función.

3 Ejemplos de gráficas de Los números naturales e Sigue el mismo tema funciones, álgebra de inducción matemática dado anteriormente. funciones, composición de funciones, funciones crecientes, decrecientes inversa de una función inyectividad y sobreye- ctividad.

4 Funciones polinómicas Los números reales y sus Conjuntos numéricos: (líneal y cuadrática), funcio- propiedades Representación de los nes racionales, raiz Productos notables, facto- números en diferentes n-ésima, exponentes rización. bases. Diferencia en- fraccionarios. Función tre número y numeral. exponencial.

5 Función Logaritmica, Los números complejos y Método de las coordenadas:

funciones trigonométricas sus propiedades. Definición de e inversas. Ecuaciones e segmento, segmento identidades trigonométricas orientado, longitud y magnitud de un segmento,

6 Idea de límite, recta normal Ecuaciones e Inecuaciones Razón dada entre Propiedades de segmentos. límites, límites laterales, Relación entre teorema del sandwich, Coordenadas y límites trigonométricos. puntos

7 Límites al infinito y límites Concepto de función, Se sigue con el método en infinito. funciones iguales inyectivi-dad de las coordenadas y se Continuidad. Teorema y sobreyectividad, trabajan desigualdades del valor intermedio, la función lineal. derivada de una función Coordenadas en el plano

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Razón de Cambio.

8 Reglas de Derivación. Parábola, Función cuadrática, Se siguen trabajando Derivada de funciones circunferencia. desigualdades. Trigonométricas Regla de la cadena. Aplicaciones de la razón de cambio Derivadas de funciones Algebraicas. Rectas tangentes verticales

9 Definición de extremos Concepto de funciones Preparación para el locales y absolutos. polinómicas, gráficas, teo- parcial. Teorema del extremo interior rema del residuo y el factor, Extremos absolutos Teorema del algoritmo en un intervalo cerrado y de la división. problemas.

10 Derivación Implícita. Ceros complejos y racio- Primer Parcial Razones relacionadas. nales, división sintética.

diferenciales y aproxima-ción lineal.

11 Recordar funciones cre- Funciones Racionales y Parcial Opcional y

cientes y decrecientes. función valor absoluto. refuerzo de los temas Teorema de Rolle, Teo- Definición de asíntotas vistos rema del valor medio y horizontales, verticales y consecuencias. Criterio oblicuas. de la primera derivada.

12 Derivadas de orden su- Funciones compuestas, Números Reales y sus perior y criterio de la inversas, simetrías, propiedades. segunda derivada Función par e impar, (problemas) Función creciente y Decreciente. Algebra De funciones

13 Segunda derivada, con- Funciones logaritmicas y Números reales y cavidad. Puntos de infle- exponenciales. ecuaciones, factorización xión. Trazado de curvas Ecuaciones logaritmicas y propiedades (def. de asíntotas hori- algebraicas. zontales, verticales y oblicuas. Ejemplos de trazados de curvas

14 Problemas de Optimiza- Funciones trigonométricas Parcial Final ción. y aplica ciones.

15 Ejercicios de preparación Ejercicios de preparación Parcial Opcional para el examen para el examen.

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Según estas programaciones, tanto en el curso de Cálculo I como en el de Matemática Fundamental la programación semanal no tiene en cuenta el tiempo para los parciales y opcionales, pues éstos se hacen en horarios diferentes al de clase. Hay que considerar que la forma en que se enseña Cálculo I en el departamento comprende 1 clase magistral semanal de 3 horas y 2 horas de taller. El curso de Matemática Fundamental tiene una intensidad horaria de 5 horas. Nuestro curso piloto de Cálculo se programó con 2 clases semanales a cargo del docente7 de 1:30 horas cada una (que pronto se convirtieron en clases de 2 horas, por tanto 4 horas semanales de clase) y 2 horas de taller. Podemos observar que en el curso de Cálculo I los temas que tienen que ver con números reales y funciones se dan de manera muy rápida, mientras que en el de matemática fundamental dura más tiempo y cubre más temas. También podemos observar que nuestro curso abarcó casi el 40% del curso de Matemática Fundamental y lo que nosotros propiamente llamamos Cálculo no se desarrolló. 7. RESULTADOS DEL CURSO PILOTO DE CÁLCULO I El desfase curricular La imposibilidad de estudiar los temas de Cálculo I, por falta de bases en los estudiantes del grupo, creó un desfase para los muchachos, pues sus programas académicos están diseñados de tal forma que el curso de Cálculo I es requisito para otras materias de segundo semestre. Los estudiantes que perdieron el curso no tienen este problema de desfase. Deben repetir Cálculo I, en un curso regular, pero aún en esta situación de no haber cubierto el programa de Cálculo I, ellos tienen una mejor oportunidad de superarlo, con la experiencia adquirida en el curso realizado. Por el contrario, para quienes aprobaron el curso, sí se presenta el desfase curricular, pues curricularmente pueden matricular en el semestre 02 diversas asignaturas – como Física I, Álgebra lineal - que requieren de los conceptos de Calculo I, que ellos no alcanzaron a cubrir. Así, quienes aprobaron el curso piloto, aunque habían trabajado con constancia y seriedad todo el semestre, no habían visto los temas que se requieren en particular para Física I, donde se necesita conocer sobre funciones, límites y derivadas. Creemos que ésta ha sido la desventaja más grande de que no se pudiera ver en Cálculo I lo que estaba planeado, y la verdad no sabemos cómo podría haberse solucionado este desfase, puesto que el ritmo lento de enseñanza de los temas se debió a las carencias que tenían los estudiantes por su deficiente formación previa.

7 Estas clases si bien reúnen a todos los estudiantes matriculados no son magistrales, pues el estilo de la docencia no es expositiva sino interactiva.

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Se espera que en el curso de Cálculo II se pueda cubrir el programa y en su defecto proponer la continuación del curso en el verano (intensivo) para cubrir los temas pendientes de Calculo I y II. Otra de las desventajas que se evidenciaron fue que no se les avisó a tiempo a los estudiantes repitentes que estaban matriculados en este curso8; por tanto, varios entre ellos llegaron a enterarse después de que el curso ya llevaba varias semanas de iniciado - los últimos alumnos que llegaron, aparecieron en la séptima semana de clase. Por otro lado, al terminar el semestre teníamos en el curso un número aproximado de 60 alumnos matriculados, de los cuales pasaron 29, es decir que estamos hablando de un 50% de alumnos que aprobaron la materia. (Ver en anexo la lista de estudiantes con su nota definitiva). Consideramos que este porcentaje se debió en parte a que las tareas les ayudaron a mejorar sus notas, pues recordemos que éstas eran calificadas con letras para el seguimiento del aprendizaje, pero en cuanto a calificación, con sólo entregarlas ya ellos tenían un 25% asegurado. El grupo empezó muy mal, y a medida que fue avanzando el semestre hubo unas mejorías muy leves en las tareas y pruebas cortas; pero el rendimiento general del grupo nunca pasó de C. Cómo vivieron los estudiantes la metodología del curso La verdad es que no esperábamos que los niveles de formación fueran tan bajos, lo que nos obligó a avanzar muy lentamente. Aún más, los alumnos están acostumbrados a otra forma de enseñanza en la que la actividad de estudio casi se restringe a la mera explicación del profesor, seguida de la memorización de un algoritmo para resolver cierto tipo de tarea que se regulariza a través de los ejercicios, con muy poca o ninguna justificación teórica. El reto fue entonces cambiar esta cultura de una actividad “matemática light” por otra en la que el alumno es el que reconoce los problemas y genera las preguntas, formula conjeturas y percibe la necesidad de justificar y probar sus “formas de hacer” ciertos tipos de tareas. De antemano sabíamos que este cambio requiere tiempo, por la resistencia natural de los alumnos a asumir el trabajo de realizar su propia “obra matemática”. Con los asistentes de docencia, se comentó esta situación y se predijo que ocurriría una crisis en la que los estudiantes reclamarían que el profesor “enseñara más”. Y, así ocurrió. Ellos exigen ir más rápido porque observan que en los otros cursos de

8 Debido a que los cupos que se habían creado en el curso piloto para los estudiantes de las tecnologías de ingenierías no fueron usados por ellos, debido a que su jornada tiene una diferente franja horaria, propusimos matricular en esos cupos a los estudiantes de Ingeniería de condición étnica que por haber perdido Cálculo I una o dos veces, lo tuvieran en ese momento matriculado, para darles la oportunidad de aprender y aprobar. Desafortunadamente, algunos directores de programa no les avisaron a sus estudiantes que su matrícula en Cálculo I se había modificado, por lo cual no se enteraron de esta oportunidad.

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Cálculo se cubre más tema en menos tiempo. Sin embargo cuando se intentó acelerar, aumentando las explicaciones del profesor, se comprobó que los estudiantes asimilaban muy poco, porque carecían de los esquema asimiladores en los cuales insertar los contendidos de la explicación. La lucha es entonces por la toma de conciencia respecto a que el aprendizaje es el resultado de la actividad propia, articulada con las ayudas del profesor y de los asistentes de docencia, cuando se aplica a desarrollar la obra matemática que se expresa en las Guías. Considero que esta toma de conciencia se logró parcialmente en un 60%, y completamente en el 10% de la población; pero el resto no fue afectado, y se resignó a avanzar de cualquier manera, sin realizar un verdadero esfuerzo. Entre los aspectos positivos del curso es necesario destacar que los muchachos llegaron sin hábitos de estudio, sin disciplina de trabajo intelectual y sin ni siquiera tener idea de cómo estudiar esta materia. Con este curso muchos de estos hábitos académicos se fueron construyendo y afianzando, pues con la entrega de tareas y pruebas cortas de manera periódica se crearon hábitos de estudio por fuera de clase. Además, comprendieron que estudiar no es memorizar y así, corregían sus errores hasta aprender el concepto, y desarrollaron formas de analizar y razonar matemáticamente. No obstante, implementar este tipo de metodología, y romper los malos hábitos de estudio, requiere tiempo y constancia, pues los muchachos deben interpretar, analizar e interiorizar los conceptos, y esto sólo se logra en la medida en que ellos – y no el profesor - los relacionen y sepan cómo aplicarlos. Por supuesto, quienes tuvieron un mayor avance con el curso fueron aquellos estudiantes que se apropiaron del método para acercarse al conocimiento: interrogando lo que se les explicaba e interrogándose, poniendo a prueba lo que habían comprendido, tratando de conceptualizar y no simplemente de retomar definiciones que no comprendían. 8. RECOMENDACIONES Por último, consideramos que los cursos de matemáticas que dicta el departamento son muy largos y densos. Son tantos temas por “digerir”, que no se da tiempo a que el estudiante los asimile y los comprenda en su totalidad. Si se hiciera una re-estructuración de los programas en el departamento de matemáticas, también debería haber una re-estructuración en los programas académicos de ingeniería. Esto debería ser un trabajo interdisciplinario donde se tomen en cuenta las dificultades que presentan actualmente los estudiantes en cuanto a su aprendizaje, y se hagan propuestas que permitan un mejoramiento de las mismas. Por otro lado, la universidad debería preparar a su personal docente; no dar por supuesto que un título de matemáticas o de ingeniería habilita para ser un docente que comprende a fondo todo lo que está en juego en el aprendizaje, y enseña a partir de esa comprensión. Y por supuesto, si la universidad quiere hacer docencia

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de calidad, debe crear cursos de formación y talleres que nos exijan a los profesores romper con nuestros viejos esquemas y prácticas no cuestionadas de enseñanza y aprendizaje. Como profesores debemos contribuir al desarrollo de las futuras generaciones de este país, lo cual nos exige darles formación, y no simplemente someterlos a una enseñanza repetitiva - que no les resulta significativa ni despierta en ellos interés en conocer, en pensar, en crear -, y que por tanto resulta frustrante, pues conduce al fracaso académico a un número demasiado alto de estudiantes. REFERENCIAS Coll, C. et al. (1995). ‘Actividad conjunta y habla.’ En Fernández B. & Melero Z. M.

(compiladores): La interacción social en contextos educativos. Siglo XXI. Madrid.

Chevallard, Y., Bosch, M., y Gascon, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón

perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. I.C.E.-Horsori. Universidad de Barcelona.

Vygotski, L. S. (1996). Pensamiento y lenguaje. Paidos, Barcelona.

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ANEXO 1:

UNIVERSIDAD DEL VALLE - FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO I: HOJA DE SEGUIMIENTO

CALIFICACIÓN DE TAREAS Y PRUEBAS CORTAS

GUIA INDIVIDUAL Nombre del Estudiante: Código: Plan de Estudios: Tarea N°: Calificación: Prueba Corta N°: Calificación: Tema: Obstáculos Cognitivos: Dificultades: Observaciones: Firma:

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UNIVERSIDAD DEL VALLE - FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO I: HOJA DE SEGUIMIENTO

PRUEBAS CORTAS REPORTE SEMANAL

GUIA GRUPAL GRUPO: RESPONSABLE: Errores más frecuentes: Conceptos matemáticos relacionados con el error: Estadística (del error y del acierto) Rendimiento del grupo: A B C Comentarios: Firma:

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ANEXO 2 Calificaciones de los estudiantes del grupo a cargo de Liliana Posada Vera

Nombre Parcial I Parcial II Talleres pruebas cortas Definitiva

Sinisterra Oriana 4.5 3.1 5 4 Tarapues Jaime 3.6 3 5 3.7 Riasco Andrea 3.7 2.5 5 3.5 Diaz Carol 3.4 1 5 2.6 Pantoja Yunny 3.1 2.7 5 3.5 Cuaran Jose Luis 3.6 2.6 5 3.5 Mosquera Osías 3.5 2.4 5 3.3 Giraldo Pablo 1.2 2.5 4.1 2.6 Rey Wilson 2.3 3.2 5 3.4 Estupiñan Lina 2.4 1.4 4.4 2.4 Perlaza Claudia 2.2 1 5 2.3 Rengifo Lizeth 1.2 1 3.8 1.8 Aponza Cesar 1 No presentó 3.8 1.2 Rosero Luis 1 No presentó 3.8 1.2 Piarpusan Carlos 1.4 1 3.2 1.7 Patiño Jesús 2.9 1.3 5 2.7 Vidal Diego 1.5 2.6 5 2.9 Anacona Diana 1.6 1 3.5 1.8 Moran José 1.4 1 5 2.1

Calificaciones de los estudiantes del grupo a cargo de Johan Suárez Motato

Nombre

Tareas pruebas cortas Parcial 1 Parcial 2 Definitiva

Sugey Andrea Castro 5 3,5 3 3,6 Viviana Mayuri Diaz 5 3,3 2,2 3,2 Sindy Rocio Garcia 4,4 1,2 0 1,4 Oscar A. Balanta 5 3,2 2,6 3,3 Diana C. Carvajal 4,7 1 1 1,9 Valery A. Rangel 4,7 1,9 1,9 2,5 Marisela Velasco 5 4,3 3,8 4,2 Jhonatan D. Marin 3,5 2,4 1 2 Jorge A. Carabali 3,5 1 1 1,6 Luis E. Montaño 5 1,6 2 2,6 Jeferson Olaya 5 2,3 3 3,3 Victor Ullune 3,2 1,2 1 1,6 Harold Rodriguez 3,5 3 0 1,6 Jesus Javier Ardila 5 4,5 3,4 4,1

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Isabel C. `Yangana 5 3,7 4,2 4,3 Alexis Chiran 4,4 3,8 4,1 4,1 German Arvey Ardila 3,8 2,8 2,5 3 Juan Manuel Hurtado 4,1 2,5 3,5 3,5 Juan Camilo Mestizo 3,5 3,8 2,7 3,2

Calificaciones de los estudiantes del grupo a cargo de Yeferson Fernández Ipia

NOMBRE

Tareas pruebas cortas Parcial 1 Parcial 2 Definitiva

Pantoja Patricia 4.5 2.5 2.1 2.8 Neira Julián 2 1 0 1 Imbachi Edgar 5 2.3 1.6 2.6 Anchico José 5 2.6 1 2.4 Quenorán Sandra 5 2.7 1 2.4 Hernández Liliana 5 1.6 2.5 3 Bastidas Claudia 5 1.7 2 2.7 Terán Diana 5 4 3.5 4 Cerón Victoria 5 1.6 2.1 2.7 Cerón Marcela 5 2 1.8 2.7 Hermann Leonardo 3 1 1 1.5 Oviedo Marisol 5 1.8 1 2.2 Riascos Carlos 5 3 2.2 3.1 Cabezas Brayan 5 3 3 3.5 Martínez Johao 5 3 3.6 3.8 Yépez Mauricio 5 1.7 1.6 2.5 Nascón Héctor 4.5 1.6 2.7 3 Guamanga Maribel 4 1 1 1.8 Burgos Héctor 5 1 1 2 Mosquera Wildy 4.5 2.5 1.5 2.5 Albornoz Guillermo 4 3 3.5 3.5 Amaya Christian 4 3.3 2.5 3.1 Giraldo Juan 3 3.5 3 3.1 Moreno James 3 1.1 1.6 1.8

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ANEXO 3

UNIVERSIDAD DEL VALLE - FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS1

PROGRAMAS

(050CI2004)

Cálculo I (111050M) (Opción Científico Tecnológico) (5 horas/semana) (4 créditos)

Objetivos del curso:

1. Capacitar al estudiante para manejar con destreza las técnicas propias del cálculo diferencial y sus aplicaciones a la resolución de problemas.

2. Ampliar y mejorar la capacidad para plantear, manejar e interpretar argumentos matemáticos, contribuyendo así al desarrollo de la disciplina mental y de trabajo de los estudiantes.

Contenido.

Unidad 1: Números, funciones y gráficas (6 semanas)

La recta real y el plano coordenado. Fórmula de distancia. Ecuación de la recta. El círculo. Funciones y sus gráficas. Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inversa. Funciones algebraicas. Funciones trigonométricas y sus inversas. Función exponencial y función logarítmica.

Unidad 2: Derivada de una función (6 semanas)

Definición de límite de una función. Límites laterales. Teoremas sobre límites. Límites infinitos y al infinito. Límites infinitos. Continuidad y discontinuidad de funciones. Álgebra de funciones continuas. Teorema de Bolzano y del valor intermedio. Definición de la velocidad y tasas de cambio. Derivada. Interpretación geométrica de la derivada. Reglas de derivación. Regla de la cadena. Derivación implícita. Derivación de función inversa. Derivación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Derivadas de orden superior. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio.

Unidad 3: Aplicaciones de la Derivada (3 semanas)

Cálculo de derivadas. Incrementos diferenciales y aproximación lineal. Funciones crecientes y decrecientes. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Criterio de la primera derivada. Concavidad y puntos de inflexión. Criterio de segunda derivada. Dibujo de gráficas. Razones relacionadas. Problemas de máximos y mínimos.

Texto.

Cálculo con geometría analítica. Edwars y Penney. 4ª. Edición. Editorial Pearsón. 1996.

Bibliografía.

1. Cálculo y Geometría Analítica. George F. Simmons. 1ª. Edición. McGraw-Hill. 2002.

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2. Cálculo y Geometría Analítica. Vol I. Sherman K. Stein, Anthony Barcellos. McGraw-Hill, 5° Edición. 1997.

3. Cálculo con Geometría Analítica. Louis Leithold. Editorial Harla, 7° Edición. 1998.

4. Calculo. Vol I. Larson / Hostetler / Edwards. Sexta Edición. McGraw-Hill, 6° Edicion. 1999.

5. Calculo I. Unidades de Apoyo y Complementación. Dpto de Matemáticas Univalle. 1995.

6. Cálculo, Vol I, Tom Apóstol. Editorial Reverté, 2° Edición.

7. Calculo de una Variable. Vol I. Thomas / Finney. Addison Wesley Longman, 9° Edición.

1Esta es una publicación del Departamento de Matemáticas de la Universidad del Valle, A.A. 25360, Cali, Colombia.

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Matemática Fundamental (111007M) (Opciones Científico--Tecnológica) (3 créditos)

Objetivos del Curso.

Complementar y nivelar la formación matemática que el estudiante trae del bachillerato para afrontar con éxito los cursos universitarios de matemáticas y la argumentación matemática de ayuda en otras disciplinas.

Contenido.

1. Breve introducción a las convenciones de la argumentación matemática: afirmaciones matemáticas; formalización de ``raciocinio''; propiedades y cuantificación; conjuntos de soluciones de propiedades.

2. Los sistemas numéricos y sus principales características: los naturales y el principio de inducción; el dominio ordenado de los enteros y el algoritmo de la división; el campo ordenado de los racionales y su caracterización como subcampo de R; el campo ordenado y completo R y las ecuaciones e inecuaciones en R; el campo no ordenado R, las representaciones de sus elementos, el Teorema de De Moivre.

3. El álgebra de las funciones de valor real (complejo) y varias variables reales (complejas): formalización de las llamadas ``expresiones matemáticas variables''; su estructura de álgebra.

4. Funciones polinómicas complejas: propiedad de dominio--álgebra, algoritmo de la división, división sintética, ceros racionales de polinomios ``enteros'', ceros complejos de polinomios ``reales''. Funciones de fracciones polinómicas.

5. Funciones de valor y variable real: construcción de funciones (dominio y rango) a partir de fórmulas; composición; función inversa; gráfica.

6. Funciones trigonométricas y sus aplicaciones: el círculo trigonométrico y las funciones de él derivadas; funciones inversas; identidades de las funciones trigonométricas; aplicaciones a solución de triángulos.

Texto:

El texto del curso es Matemáticas Fundamentales por Guillermo Restrepo, editado por la Universidad del Valle.

Bibliografía:

1. Swokowski. Algebra y trigonometría con Geometría Analítica. 2. Allendoerfer. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. 3. Jairo Álvarez (Editor). Técnicas y Conceptos Básicos en Matemáticas. Publicaciones

Facultad de Ciencias.