INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA
INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA
INTRODUCCIN
En este informe se presentan, de manera sencilla, los conceptos
bsicos ms comunes relacionados con el tema que se desarrolla, de
tal forma que el lector haga una remembranza de los tpicos que debe
conocer y tenga una motivacin inmediata. Ello facilitar que las
aplicaciones sean ms expeditas y amenas, porque ver con satisfaccin
que obtiene resultados tan exactos como los que tendra con los
mtodos analticos, cuando sea posible hacerlos de esa
forma.Referente a las tcnicas para resolver problemas,
representados por ecuaciones algebraicas y trascendentes, se
describen siete mtodos entre los que destacan, por su sencillez:
Biseccin, Regla Falsa, Punto Fijo, Newton-Raphson y Secante.
MARCO TEORICO1. CONCEPTOS PREVIOS.
1.1. Funciones 1.1.1. Definicin :
Una funcin f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que
hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A,
uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f,
que se denota y=f (x). En smbolos, se expresa f: AB, siendo el
conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el codominio.1.1.2.
Tipos de funciones
Los mtodos numricos en este captulo estudiaremos la resolucin de
funciones NO LINEALES.
1.2. Cifras SignificativasNmero de dgitos que se pueden usar con
confianza. Incluyen enteros y decimales.Ejemplos:2,2 1,768 (2
cifras significativas) 2,2 1,768 = 0,432 0,41.3. Error En ciertos
mtodos numricos, se usan esquemas iterativos para calcular
resultados, y se hace la aproximacin en base a la aproximacin
anterior, para calcular ms y mejores aproximaciones.
En esta ltima, normalmente se repite hasta que su valor absoluto
sea menor que una tolerancia prefijada ES, donde
Quedando entonces definido el criterio de aceptacin:
|Ea| < ESEl resultado ser correcto en al menos n cifras
significativas1.4. Qu son los mtodos numricos?Los mtodos numricos
son una clase de tcnicas para resolver una gran variedad de
problemas matemticos. Estos problemas pueden, naturalmente, tener
su origen como modelos matemticos o situaciones fsicas. Este tipo
de mtodos son extraordinarios puesto que solamente son empleadas
operaciones aritmticas y lgicas; de esta manera los clculos pueden
hacerse directamente o usando una computadora digital.Aunque en el
sentido estricto del trmino, cualquier cosa, desde los dedos hasta
un baco, pueden ser considerados como una computadora digital, sin
embargo, aqu usaremos este trmino para referirnos a computadoras
electrnicas, las cuales han sido usas razonablemente y en forma
difusa, desde a mediados de 1950. Actualmente los mtodos numricos
preceden a las computadoras electrnicas por muchos aos y, en
realidad, muchos de los mtodos usados generalmente datan, en forma
virtual, desde el inicio de las matemticas modernas; mas sin
embargo, el uso de estos mtodos fue relativamente limitado hasta el
advenimiento de la calculadora mecnica de escritorio y
posteriormente dramticamente incrementada.En un sentido real, los
mtodos numricos vinieron a revolucionar las tcnicas de solucin, de
varios problemas complejos, con la introduccin de la computadora
electrnica.La combinacin de mtodos numricos y las computadoras
digitales han creado una herramienta de inmenso poder en el anlisis
numrico. Por ejemplo, los mtodos numricos son capaces de manejar la
no linearidad, la geometra compleja y sistemas grandes de
ecuaciones simultneas que son necesarios para la simulacin perfecta
de muchas situaciones fsicas reales. Las matemticas clsicas, junto
con las matemticas aplicadas ms ingeniosas no pueden competir con
muchos de estos problemas en el nivel requerido por la tecnologa de
hoy en da. Como resultado, los mtodos numricos han desplazado el
anlisis con las matemticas clsicas en muchas aplicaciones
industriales y de investigacin; sin que ello signifique que las
instituciones deban dejar de incluir, en la formacin de los
estudiantes, esta temtica.
1.5. Lenguaje de Programacin.La mayora de los lectores de este
informe, tendr en mente alguna idea en programacin, en un lenguaje
de alto nivel para computadora, tal como MATLAT, MAPLE entre muchos
ms. Esos lenguajes de programacin permiten al usuario escribir
programas en una forma en la que incluye frmulas algebraicas y
proposiciones lgicas en ingls, para instrucciones de entrada y
salida. Tales lenguajes de alto nivel son virtualmente
independientes de la mquina en la cual correr el programa. Mediante
el uso de un programa de computadora llamado compilador, el
programa de alto nivel puede ser convertido al cdigo fundamental de
la mquina con lo que el programa ser actualmente ejecutado.La
aparicin de cada nuevo lenguaje de programacin es bien recibida por
un buen promedio de usuarios. Estos lenguajes imponen nuevas reglas
que tienen que ser aprendidas y posiblemente confundidas con otros
lenguajes. Sin embargo, cualquier perdona razonablemente flexible
encontrar pocas dificultades en adaptarse a un nuevo lenguaje si es
necesario. Lo ms importante es la economa, los programas de
computadora largos son muy caros y la conversin de esos programas a
otro lenguaje puede ser la mejor tarea, pero involucrar muchos
meses de trabajo. Esta es una de las razones principales por las
que MAPLE es el lenguaje estndar en aplicaciones de la ciencia y
nicamente debe desplazarse hacia el futuro.1.6. Mtodo de
aproximaciones sucesivasEste mtodo consiste en proponer un valor
inicial, aproximado a la solucin y, a partir de l obtener un valor
mejorado de la raz que es sometido a una prueba de convergencia, es
decir, de aproximacin y, si dicha prueba es superada, entonces, el
valor obtenido es la respuesta buscada; en caso de que no se cumpla
la condicin de convergencia, con el nuevo valor se repite el
proceso, tantas veces como sea necesario.2. RESOLUCIN DE ECUACIONES
NO LINEALES Los mtodos estndar para encontrar races, en general
caen en dos reas de problemas parecidas en principio, pero
fundamentalmente diferentes:a) La determinacin de races reales de
ecuaciones algebraicas y trascendentales. Estas tcnicas se disearon
para determinar el valor de una raz simple de acuerdo a un
conocimiento previo de su posicin aproximada.b) La determinacin de
todas las races reales y complejas de un polinomio.Estos mtodos se
disearon especficamente para polinomios. Determinan sistemticamente
todas las races del polinomio en lugar de simplemente una, dada una
posicin aproximada.2.1. METODOS QUE USAN INTERVALO.En este captulo
sobre races de ecuaciones se analizan los mtodos que aprovechan el
hecho de que una funcin, tpicamente, cambia de signo en la vecindad
de una raz. A estas tcnicas se les llama mtodos que usan intervalos
porque se necesita de dos valores iniciales para la raz. Como su
nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de cada
lado de la raz. Los mtodos particulares descritos sobre este punto
emplean diferentes estrategias para reducir sistemticamente el
tamao del intervalo y as, converger a la respuesta correcta.Adems
de la utilidad de los mtodos grficos para determinar valores
iniciales, tambin son tiles para visualizar las propiedades de las
funciones el comportamiento de los mtodos numricos.
2.1.1. METODO BISSECCIN.El mtodo de Biseccin para la resolucin
de la ecuacin f(x) = 0 es uno de los mtodos ms antiguos y
elementales de bsqueda de races y se basa en el Teorema de Bolzano
que nos asegura la existencia de, al menos, una raz de una funcin
f(x) en un cierto intervalo [a; b], bajo ciertas condiciones.
TEOREMA DE BOLZANO
Sea una funcin continua en [a; b] tal que f(a)*f (b) < 0.
Entonces existe tal que f(c) = 0.
El mtodo consiste en que una vez identificados los puntos a y b
(con signos opuestos) se construye la primera aproximacin de la
forma . Luego si , entonces los puntos tienen signos opuestos y por
ende la solucin se encuentra en , por lo que para la siguiente
iteracin se toma . Si , quiere decir que la solucin se encuentra en
por lo tanto .Por ltimo, si es la raz de la ecuacin.CRITERIO DE
PARO
Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cundo debe
terminar el mtodo.
Una sugerencia inicial sera finalizar el clculo cuando el error
cometido en la i-sima iteracin sea menor que el error
prefijado:
Dnde: n es el nmero de cifras significativas exactas
Error cometido en la i - sima iteracin en general:
Si: xi es la raz actual y xi-1 es la raz anterior.Error cometido
en la i - sima iteracin:
En sntesis:
ALGORITMO DEL METODO DE BISSECCIN
I. Ingresamos la , y n el que ser el nmero de cifras
significativas. II. En este segundo paso evaluamos III. Evaluamos
si (entonces continuamos, pero de no ser as se regresara al paso
I.IV. Una vez cumplida la condicin anterior se escribir .V. La
forma iterativa para aproximarse a la raz se determina de la forma
VI. En este paso evaluaremos .VII. VIII. adems si , de cumplirse
esto ser la raz buscada y se parara el programa.IX. De no cumplirse
lo anterior se evaluara el error en la ensima iteracin:.X. Para el
pare del programa se evaluara si se cumple esta condicin entonces
la raz buscada ser , pero de no ser as y se regresa al paso numero
V.
2.1.2. METODO DE REGLA FALSA.
El mtodo de la Regula Falsi (regla falsa), es una modificacin
del mtodo de la biseccin con la esperanza de obtener una
aproximacin de la raz de forma ms rpida. Consiste en utilizar el
punto de corte c de la secante que une los extremos de la curva y =
f(x) en a y b en vez del punto medio, para dividir el intervalo y
despus iterar el proceso quedndonos con los subintervalos en los
que f cambie de signo.En los siguientes grficos podemos observar
distintas etapas de este mtodo:Para describir el algoritmo,
recordar que la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (a, u)
y (b, v) es
Si ahora hacemos y = 0 en esa expresin para determinar la
abscisa de corte de la recta con el eje de abscisas se tiene
Modificando el algoritmo del mtodo de la biseccin en la
definicin de c tomando el corte de la secante a la curva y = f(x)
en los extremos de los intervalos con el eje de abscisas en vez de
considerar el centro del intervalo, obtenemos el siguiente
algoritmo: (Enmarcada sobre fondo gris, est la modificacin
efectuada)ALGORITMO DEL METODO REGLA FALSA I. Ingresamos la , y n
el que ser el nmero de cifras significativas. II. En este segundo
paso evaluamos III. Evaluamos si (entonces continuamos, pero de no
ser as se regresara al paso I.IV. Una vez cumplida la condicin
anterior se escribir .V. La forma iterativa para aproximarse a la
raz se determina de la forma VI. En este paso evaluaremos .VII.
VIII. adems si , de cumplirse esto ser la raz buscada y se parara
el programa.IX. De no cumplirse lo anterior se evaluara el error en
la ensima iteracin:.X. Para el pare del programa se evaluara si se
cumple esta condicin entonces la raz buscada ser , pero de no ser
as y se regresa al paso numero V.2.2. METODOS ABIERTOS.En los
mtodos anteriores que usan intervalos, la raz se encuentra dentro
del mismo, dado por un lmite inferior y otro superior. La aplicacin
repetida de estos mtodos siempre genera aproximaciones ms y ms
cercanas a la raz. A tales mtodos se les conoce como convergentes
ya que se acercan progresivamente a la raz a medida que crece el
nmero de iteraciones.
En contraste con stos, los mtodos abiertos que se describen en
este captulo, se basan en frmulas que requieren de un solo valor x
o de un par de ellos pero que no necesariamente encierran a la raz.
Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la raz a medida
que crece el nmero de iteraciones. Sin embargo, cuando los mtodos
abiertos convergen, en general lo hacen mucho ms rpido que los
mtodos que usan intervalos. Se empieza el anlisis de los mtodos
abiertos con una versin simple que es til para ilustrar su forma
general y tambin para demostrar el concepto de convergencia.2.2.1.
METODO DE ITERACIN DE PUNTO FIJO.Este mtodo de iteracin de un punto
fijo es un mtodo iterativo que permite resolver sistemas de
ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede
utilizar para determinar races de una funcin de la forma , siempre
y cuando se cumplan los criterios de convergencia. Como se mencion
anteriormente, los mtodos abiertos emplean una frmulaQue predice
una aproximacin a la raz. Tal frmula se puede desarrollar para la
iteracin de punto fijo, reordenando la ecuacin 0 de tal forma que x
quede del lado izquierdo de la ecuacin:
Esta transformacin se puede llevar a cabo mediante operaciones
algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuacin
original.Por ejemplo
Se puede reordenar para obtener:
Mientras que puede transformarse en la forma de la ecuacin
anterior sumndole x a ambos lados para obtener:
La utilidad de la ecuacin anterior es que proporciona una frmula
para predecir un valor de en funcin de . De esta manera, dada un
aproximacin inicial a la raz , la ecuacin anterior se puede usar
para obtener una nueva aproximacin, expresada por la frmula
iterativa:
Como con otras frmulas iterativas del libro el error aproximado
de esta ecuacin se puede calcular usando el estimador de error:
ALGORITMO DEL METODO DE PUNTO FIJO
I. Ingresamos la , y n el que ser el nmero de cifras
significativas. II. En este segundo paso evaluamos la funcin y la
reescribimos de la forma para lo cual existen diferentes mtodos
tales como , agregndole x a cada lado de la ecuacin inicial. III.
Una vez encontrado el , lo derivamos y obtenemos IV. Evaluamos la ,
y continuamos V. Evaluamos la convergencia con la condicin si se
cumple esta condicin entonces se sigue , pero de no ser as se
regresa al paso nmero II, y avaluamos un nuevo .VI. Una vez
cumplida la condicin anterior se escribir .VII. La forma iterativa
para aproximarse a la raz se determina de la forma
VIII. el error en la ensima iteracin:IX. Para el pare del
programa se evaluara si se cumple esta condicin entonces la raz
buscada ser , FIN. Pero de no ser as y se regresa al paso nmero
VII.
2.2.2. METODO DE NEWTON RATSON.Dentro de todas las frmulas para
encontrar races el mtodo de Newton-Raphson es la ms usada.Para el
mtodo de NEWTON-RAPHSON si el valor inicial de la raz es un
entonces se puede trazar una tangente desde el punto [,f()].El
punto donde esta tangente intersecta el eje x representa una
aproximacin mejorada de la raz.
Por lo tanto diremos que la raz est dada por la siguiente
formula
Error el mtodo de Newton-Raphson en:
Para calcular el error en el mtodo de Newton-Raphson tenemos que
tener en cuenta que el mtodo sea convergente cuadrticamente. El
error es aproximadamente proporcional al cuadrado al cuadrado del
error anterior, dado por:
ALGORITMO DEL METODO DE NEWTONI. Ingresamos la n el que ser el
nmero de cifras significativas. II. Calculamos seguimos,III. Se
evala IV. Si se cumple la siguiente condicin se sigue al siguiente
paso de no ser as se regresan al paso I, se pide un nuevo .V. Una
vez cumplida la condicin anterior se escribir .VI. Evaluamos VII.
La forma iterativa para aproximarse a la raz se determina de la
forma
VIII. el error en la ensima iteracin:IX. Para el pare del
programa se evaluara si se cumple esta condicin entonces la raz
buscada ser , FIN. Pero de no ser as y se regresa al paso nmero
VI.
2.2.3. METODO DE LA SECANTE.Un problema fuerte en la
implementacin del mtodo de Newton-Raphson es el de la evaluacin de
la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios
y para muchas otras funciones, existen algunas de estas cuyas
derivadas pueden ser extremadamente difciles de evaluar. En estos
casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia
dividida como se muestra en la figura.
Tabla
Esquema grafico del mtodo de la secante. Esta tcnica es similar
a la del mtodo de Newton-Raphson en el sentido de que una
aproximacin a la raz se calcula extrapolando una tangente de la
funcin hasta el eje x. Sin embargo, el mtodo de la secante usa una
diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.
Esta aproximacin se puede sustituir en la ecuacin obteniendo la
ecuacin iterativa:
Esta ecuacin es la frmula para el mtodo de la secante. Ntese que
el planteamiento necesita de dos puntos iniciales de x. sin
embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre
estos valores, a este mtodo no se le clasifica como aquellos que
usan intervalos.ALGORITMO DEL METODO DE NEWTONI. Ingresamos la n el
que ser el nmero de cifras significativas. II. Una vez cumplida la
condicin anterior se escribir .III. Evaluamos IV. La forma
iterativa para aproximarse a la raz se determina de la forma
V. el error en la ensima iteracin:VI. Para el pare del programa
se evaluara si se cumple esta condicin entonces la raz buscada ser
, FIN. Pero de no ser as y se regresa al paso nmero III.
METODOS NUMERICOS
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