universidad nacional de ingeniera

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

INFORME PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER

Apellidos y Nombres:Cdigo:Vilcahuaman Tovar Carlos20140280KContreras Chvez Josu20107510k

Curso:Fsica II (MB224)

Profesor:Ing. Pachas Salhuana, Jos

Fecha de realizacin de la experiencia:09 de setiembre del 2014

INTRODUCCIN

El presente informe tiene como objetivo cuantificar y analizar el movimiento oscilatorio de un cuerpo alrededor de uno o varios puntos a lo largo del mismo. El movimiento oscilatorio es un fenmeno mecnico repetitivo que por lo general nos es conocido, por ejemplo cuando tenemos un pndulo, o cuando un baln oscila en una superficie curva, antes de detenerse. Esto ltimo se da en un marco real, con varias fuerzas de friccin que dificultan el movimiento.

Un movimiento oscilatorio, se debe a fuerzas internas de un sistema fsico, las cuales realizan un trabajo que limitan un movimiento originado debido a un impulso, y a su vez aparecen fuerzas recuperadoras que lo reinician, inicindose as un movimiento peridico, del cual existe una clase del mismo llamado movimiento armnico simple (M.A.S), que es el ms sencillo de todos y que tiene particulares caractersticas y parmetros.

Adems, tambin conocer el periodo de oscilacin (M.A.S) de un cuerpo slido en general alrededor de algn punto suyo nos permite hallar su momento de inercia, que es una medida de cunta energa hace falta para poner en rotacin un cuerpo alrededor de un eje dado.

En este informe se vern aspectos tericos de los movimientos oscilatorios, y como ya se mencion, las mediciones hechas en laboratorio, estudiar los diferentes comportamientos del fenmeno al modificar los parmetros, para luego comparar el resultado prctico con el matematizado, y establecer nuestras conclusiones.

INDICE

INFORME PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER1INTRODUCCIN2OBJETIVOS4REPRESENTACIN ESQUEMATICA5FUNDAMENTO TERICO7Pndulo7Periodo de oscilacin :8Momento de inercia:8El teorema de Steiner9HOJA DE DATOS10CLCULOS Y RESULTADOS11OBSERVACIONES18CONCLUSIONES18RECOMENDACIONES19BIBLIOGRAFIA20

OBJETIVOS

Verificar aproximada y experimentalmente el modelo matemtico del pndulo fsico.

Corroborar el teorema de los ejes paralelos en dicha expresin.

Presenciar cmo el pndulo fsico acta en un marco no ideal.

Medir los parmetros de dicho fenmeno fsico modificndolos para su estudio y el clculo del momento de inercia.

Hallar los momentos de inercia, utilizando el teorema de Steiner.

Comprender que es el movimiento de un pndulo.

Hallar la variacin del T (periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila.

Determinar el tipo de movimiento respecto al ngulo de giro de la barra metlica.

REPRESENTACIN ESQUEMATICA

MATERIALES:

Figura 1. Barra metlica con agujeros circulares.

Figura 2. Soporte de madera con cuchilla.

Figura 3.

Mordaza simple.

Figura 4. Cronmetro digital.

Figura 5. Regla milimetrada.

Figura 6.

Balanza.

Figura 7.

FUNDAMENTO TERICO

PnduloEl principio del pndulo fue descubierto por el fsico y astrnomo italiano Galileo, quien estableci que el periodo de la oscilacin de un pndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia mxima que se aleja el pndulo de la posicin de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del pndulo s depende de ella). Sin embargo, como el movimiento del pndulo depende de la gravedad, su periodo vara con la localizacin geogrfica, puesto que la gravedad es ms o menos intensa segn la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un pndulo dado ser mayor en una montaa que a nivel del mar. Por eso, un pndulo permite determinar con precisin la aceleracin local de la gravedad. El movimiento pendular es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas fsicos como aplicacin prctica al movimiento armnico simple. A continuacin hay dos caractersticas del movimiento pendular que son: pndulo simple y pndulo fsico. Pndulo simple:Se define como una partcula de masa suspendida del punto por un hilo inextensible de longitud y de masa despreciable. Si la partcula se desplaza a una posicin (ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar. El pndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio .Estudiaremos su movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal.Las fuerzas que actan sobre la partcula de masa son dos: El peso y la tensin del hilo.

Pndulo fsico:Tambin llamado pndulo compuesto, es un sistema integrado por un slido de forma irregular, mvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila solamente por accin de su peso. Otro ejemplo de pndulo fsico sera el de la barra metlica de longitud con huecos mostrado en la grfica siguiente, el cual se utilizara en la prctica de laboratorio.

Figura 8.

Periodo de oscilacin : Es el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de una oscilacin. Es el mnimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Por ejemplo, en una onda, sera el tiempo transcurrido entre dos crestas o entre dos valles, mientras que en un pndulo seria el tiempo de transcurrido entre los extremos del movimiento.

Momento de inercia:O inercia rotacional representa la inercia de un cuerpo a rotar; es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido; es una magnitud que refleja la distribucin de masas de un cuerpo o un sistema de partculas, respecto de un eje, en un movimiento de rotacin. El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; este concepto desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme.

Dnde: es la masa del punto es la distancia mnima entre ella y el eje de rotacin.El teorema de Steiner: Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Dnde: es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa. es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad. es la distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

HOJA DE DATOS

CLCULOS Y RESULTADOS1. Llene la tabla 1 con las siguientes caractersticas:# de hueco# de oscilaciones Perodo (promedio)

150.1033.8533.9834.01201.697

245.0932.7632.7432.77201.636

340.0832.6132.6632.51201.630

435.0732.0832.0931.84201.600

530.0631.9032.0031.88201.596

625.0532.1632.2132.10201.608

720.0433.7233.6033.52201.680

815.0317.7117.6217.99101.777

910.0220.9220.8220.64102.079

105.01027.2927.0127.18102.716

2. a) Grafique , ( en el eje vertical y en el eje horizontal)

b) A partir de la ecuacin (14.1), con dada por la ecuacin (14.2), encuentre el valor de para que el periodo tenga el mnimo valor.

Dadas Ec. (14.1)

Ec. (14.2)

Despejando obtenemos

Aplicando el criterio de la primera derivada, derivamos respecto a

Para mnimo entonces

Resultando

Pero es igual a:

Donde:

Reemplazando en tenemos:

Reemplazando los datos obtenemos:

c) Compare el valor de obtenido en (b) con el que obtiene de la grfica en (a)

Los resultados obtenidos son

d) Cul es el periodo para esta distancia?

e) De su grfico, puede deducir dos puntos de oscilacin con el mismo periodo? Indquelos.

Para deducir dos puntos con el mismo periodo, trazamos una recta horizontal, (en la grfica de ) y afirmamos que son correspondientes al hueco # 4 y hueco # 6

3. Con el valor de conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relacin (14.1), el valor de y llene la tabla 2 con las siguientes caractersticas:

De la ecuacin 14.1 obtenemos:

# de huecoEje de oscilacin,

Momento de inercia

150.102.8806697.1122510.01

245.092.6815612.1462033.11

340.082.6554939.9501606.41

435.072.5604167.3681229.91

530.062.5473554.192903.60

625.052.5843004.663627.50

720.042.8242627.005401.60

815.033.1582203.028225.90

910.024.3222010.309100.40

105.0107.3771715.47125.100

4. Haga el grafico , y ajstelo por el mtodo de mnimos cuadrados cuando lo puntos obtenidos estn muy dispersos.

5. Del grafico anterior, y por comparacin con la ecuacin (14.2), determine y .

Del grafico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos:

Donde

Reemplazando queda:

Comparando con la Ec. (14.2)

Tenemos:

6. Compare el valor de obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analtica para una barra de longitud y ancho , . Qu error experimental obtuvo? Qu puede decir acerca de la masa?

Aplicando la frmula para una barra homognea dada:

Donde:

Reemplazando los datos tenemos:

El error experimental seria

7. Halle la longitud del pndulo simple equivalente, para este clculo solicite al profesor del aula que le asigne el nmero de hueco.(Hueco #3)

El perodo del pndulo simple es:

Pero para el pndulo fsico el perodo es:

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Siendo la longitud del pndulo simple equivalente para el hueco #3, entonces:

8. Demuestre en forma analtica las relaciones (14.1) y (14.2)

Demostracin de la Ecuacin 14.1

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la grfica, el peso mg causa un momento de torsin de restitucin:

El signo negativo implica que el momento de torsin es horario si el desplazamiento es anti horario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S. porque el momento de torsin es proporcional a , no a , pero si es pequeo podemos aproximar por en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S.

Quedando:

Pero la ecuacin de movimiento es:

Reemplazando:

Pero

Entonces queda demostrado

Demostracin de la Ecuacin 14.2 (Teorema de Steiner)

El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto , cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del slido respecto de un eje que pasa por es.

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por es:

Para relacionar e hay que relacionar y , en la figura tenemos que:

El trmino intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posicin del centro de masa desde el centro de masa. Quedando:

Demostrando que:

OBSERVACIONESEn los diferentes casos las oscilaciones que dio el pndulo simple, el ngulo inicial con el que se solt no es el mismo, tiene una ligera variacin.El tiempo medido para cada caso de oscilacin sufre variaciones debido a la precisin del cronometro.La cuchilla q sostiene a la barra metlica no es un eje fijo (como se indica tericamente) tiene pequeas vibraciones, esto provoca una propagacin de errores.El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilacin (terico y experimental) es diferentes debido a que no se consideran los huecos que tiene la barra.

CONCLUSIONESEn un pndulo fsico, cuanto ms se acerca el eje de oscilacin al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.En el experimento se pudo hallar la longitud de un pndulo simple equivalente a la barra metlica, utilizando previamente el periodo experimental.El clculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometra conocida, es ms fcil calcularlo utilizando el pndulo fsico.En el experimento se pudo poner a prueba las frmulas de pndulo fsico hechas en clases.El momento de inercia de un cuerpo depende de donde est situado el eje alrededor del cual se va a mover.En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de friccin del aire.El clculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometra conocida, es ms fcil calcularlo utilizando el pndulo fsico.

RECOMENDACIONESTener cuidado al momento de realizar las mediciones para obtener mejores resultados en los clculos solicitados para el presente informe.Para tener una mejor precisin a la hora de medir el tiempo de oscilacin con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.Para que los resultados sean ms precisos se recomienda tener en cuenta las masas de los huecos de la barra.

Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.

BIBLIOGRAFIA Facultad de Ciencias. (Universidad Nacional de Ingeniera), Manual de laboratorio de fsica general, 2004, Pg. 81.

Mecnica Racional (Dinmica), editorial Libros Tcnicos, Jorge Das Mosto; Pg. 233.

www.sociedadcolombianadefisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/pdf/3601056.pdf

www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf

http://www.mat.ucm.es/~rrdelrio/documentos/rrrescorial2002.pdf

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