5. Electrónica DigitalSistemas de numeración y códigos binariosIntroducción

A través del tiempo el hombre ha tenido contacto con un sistema; en cierta parte también con los Sistemas de Numeración. De éstos se esquematizará su significado, tipos; Sistema Binario, Decimal, Octal y el Hexadecimal.

Se estudiará además los Sistemas de Medidas, como: Bit, Byte, Megabyte, Terabyte, y Gigabyte, sus definiciones y respectivos ejemplos que completarán el análisis del mismo.

En el presente trabajo habrán otros puntos interesantes como los Sistemas de Unidades que están conformados por: Hertzio, Megahertzio, Nanosegundos, Milisegundos y Microsegundos; estos también se complementan con ejemplos. Se expondrá el concepto de Software Libre, su utilidad, Funcionamiento y varios tipos que existen en la actualidad con el fin que se conozcan un poco más acerca de ellos.

Desarrollo

Sistemas de Numeración:

El Sistema Binario: Es el sistema de numeración que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales. Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por lo tanto, es base 2 (Numero de dígitos del sistema)

Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT (Contracción de Binary Digit).

Ejemplo: Suma Binaria: Es semejante a la suma decimal, con la diferencia de que se manejan solo 2 dígitos (0 y 1), y que cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente hacia la izquierda. Las tablas de sumar son:

Se observa que no se ha tenido ningún acarreo en las sumas parciales.

Sumar 11001 (25) y 10011 (19).

1 1 1 Acarreos

1 1 0 0 1…………..25

1 0 0 1 1…………+19

1 0 1 1 100………. 44

El Sistema Octal: Es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza símbolos para la representación de cantidades, estos símbolos son:

01234567.

Este sistema también es de los llamados posicionales y la posición de sus cifras se mide con relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del número.

La aritmética en este sistema es similar a la de los sistemas decimal y binario, por lo tanto entraremos en su estilo.

Ejemplo:

¿Qué número decimal representa el numero octal 4 701 utilizando el TFN?

4*83 + 7*82 +1*80= 2048+ 448+ 0+ 1= 2497.

El Sistema Decimal: Es uno de los denominados sistemas posicionales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha.

Utiliza como base el 10, que corresponde al número de símbolos que comprende para la representación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son:

123456789

Una determinada cantidad, que denominaremos número decimal, se puede expresar de la siguiente forma:

N° =∑ (dígito)i X (base)i

Donde:

Base= 10

I= Posición respecto a la coma,

D= n° de dígitos a la derecha de la coma,

N= n° de dígitos a la izquierda de la coma -1,

Dígito= cada uno de los que componen el número.

La representación de cantidades 1992 y 3, 1416 es:

1992= 1*103+ 9*102+ 9*101+ 2*100

3.1416= 3*100+ 1*101+ 4*102+ 103+ 6*104

Teorema Fundamental de la Numeración. (TFN).

Se trata de u teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

Ejemplo: Supongamos la cantidad 201.1 expresada en el sistema de numeración de base tres que utiliza los dígitos para la representación de cantidades0, 1 y 2, ¿Cuál será la representación de la misma cantidad en el sistema decimal?

2*32+ 0*31+ 1*3-1= 18+0+1+0.333=19.333

El Sistema Hexadecimal: Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizará 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son:

0123456789ABCDEF

Se le asignan los siguientes valores absolutos a los símbolos A, B, C, D, E, F:

SIMBOLO VALOR ABSOLUTO

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

La suma aritmética es similar a las anteriores.

Ejemplo: ¿Qué número decimal representa el número hexadecimal 2CA utilizando el TNF?1*162+ C*161+ A*160= 1*162+ 12*161+10*160= 512+192+10= 714Conversiones en el Sistema de Numeracióna) Conversión Decimal - Binario: Para convertir números enteros de decimal a binario, la forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 2, hasta que el cociente en una de las divisiones se haga 0.La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso nos proporciona el número inicial expresado en el sistema binario.Ejemplos:

Convertir el número decimal 10 a binario.

Solución: 10(10)= 1010(2) Convertir el número decimal 1992 a binario.

Solución: 1992(10)= 11000001000(2)b) Conversión Binario – Decimal: Consiste en rescribir el número en posición vertical de tal forma que la parte de la derecha quede en la zona superior y la parte de la izquierda quede en la zona inferior. Se repetirá el siguiente proceso para cada de los dígitos comenzando por el inferior:Se suma el dígito al producto de 2 por el resultado de la operación anterior, teniendo en cuenta que para el primer dígito, el resultado de la operación anterior es 0. El resultado será el obtenido en la última operación.Ejemplo:

Convertir en decimal el número binario 101011.

Solución: 43Unidades de Información; Bit, Byte, Kilobyte, Megabyte, Gigabyte y Terabyte: Definición:a. Bit: Dígito binario. Es el elemento más pequeño de información del ordenador. Un

bit es un único dígito en un número binario (0 o 1). Los grupos forman unidades más grandes de datos en los sistemas de ordenador – siendo el Byte (ocho Bits) el más conocido de éstos.

b. Byte: Se describe como la unidad básica de almacenamiento de información, generalmente equivalente a ocho bits, pero el tamaño del byte del código de información en el que se defina. 8 bits. En español, a veces se le llama octeto. Cada byte puede representar, por ejemplo, una letra.

c. Kilobyte: Es una unidad de medida utilizada en informática que equivale a 1.024 Bytes. Se trata de una unidad de medida común para la capacidad de memoria o almacenamiento de las microcomputadoras.

d. Megabyte: es una unidad de medida de cantidad de datos informáticos. Es un múltiplo binario del byte, que equivale a 220 (1 048 576) Bytes, traducido e efectos como 106 (1 000 000) bytes.

e. Gigabyte: Es la unidad de medida más utilizada en los discos duros. También es una unidad de almacenamiento. Debemos saber que un byte es un carácter cualquiera. Un gigabyte, en sentido amplio, son 1.000.000.000 bytes (mil millones de bytes), ó también, cambiando de unidad, 1.000 megas (MG ó megabytes). Pero con exactitud 1 GB son 1.073.741.824 bytes ó 1.024 MB. El Gigabyte también se conoce como "Giga"

f. Terabyte: Es la unidad de medida de la capacidad de memoria y de dispositivos de almacenamiento informático (disquete, disco duro CD-ROM, etc). Una unidad de almacenamiento tan desorbitada que resulta imposible imaginársela, ya que coincide con algo más de un trillón de bytes (un uno seguido de dieciocho ceros). El terabyte es una unidad de medida en informática y su símbolo es el TB. Es equivalente a 240 bytes.

Álgebra de Boole

La función lógica puede ser bastante larga y compleja, por lo que interesa simplificarla lo más posible. La simplificación se puede obtener a partir de ciertas reglas básicas o propiedades de Algebra de Boole. Las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa son bastante intuitivas, puesto que existen igualmente en la suma de números naturales a la que estamos acostumbrados; lo mismo ocurre con la propiedad a · 0 = 0. El resto de propiedades tal vez sí necesiten de una mayor explicación.

Ejemplos de simplificación de funciones lógicas utilizando el álgebra de Boole.

Propiedad conmutativa:a + b = b + a a·b = b·a

Propiedad asociativa:a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · cPropiedad distributiva:

a (b + c) = ab + ac a + bc = (a + b)(a + c)Propiedades de la inversión:

a + a' = 1 a · a' = 0Idempotencia:

a + a = a a · a = aAbsorción:

a + a·b = a a (a + b) = aOtras propiedades:

a + 1 = 1 a · 0 = 0

Señales analógicas y digitales Una señal analógica es continua, y puede tomar infinitos valores. Una señal digital es discontinua, y sólo puede tomar dos valores o estados: 0 y 1, que pueden ser impulsos eléctricos de baja y alta tensión, interruptores abiertos o cerrados, etc.

De binario a decimal

De decimal a binario

Procedimiento para construir una tabla de verdad 1. Identifica cuáles son las entradas y salidas.2. Introduce en la tabla todas las combinaciones de entradas siguiendo la secuencia de los números binarios. 3. Introduce los valores de la salida según las diferentes combinaciones

Operaciones lógicas básicasSuma: interruptores en paralelo. S = A + B + C Producto: interruptores en serie. S = A · B · C Negación: pulsador normalmente cerrado. S = A'

Obtención de la tabla de verdad a partir de la función lógica1. Construir una tabla con el número de variables que tiene la función y la salida. 2. Introducir los valores de las entradas según el orden lógico. 3. Interpretar en cada sumando cuáles son los casos en los que la función vale 1 4. Completar con ceros.

Tablas de VerdadUna tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos Como construcción de un sistema matemático puro Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental. En simbologia "^" hace referencia a el conector "y"

Disyunción

La disyunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor

de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Número de combinacionesPartiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por Combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: Nc, que se pueden presentar es:

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: Nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir Cp circuitos posibles con n variables de entrada, donde:

Que da como resultado la siguiente tabla:

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a las distintas Nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las combinaciones posibles Cp, que pueden darse para el número de variables dado.

Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: Nc= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, Cp= 16, cada una de las cuales seria una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de Nc, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles Cp, resulta ya complejo para n= 3.Para cero variablesUn circuito sin variables, puede presentar una combinación posible: Nc=1, con dos circuitos posibles: Cp=2. Que serían el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente.

1 2

·

V FEn este caso se puede ver que no interviene ninguna variable.Cada uno de estos circuitos admite una única posición y hay dos circuitos posibles.Para una variable

El caso de una variable binaria, que puede presentar dos combinaciones posibles: Nc=2, con 4 circuitos posibles: Cp=4.

1 2 3 4

A ·A ·A ·A ·A

V V V F F

F V F V FLos casos 1 y 4 coinciden con los de cero variables, el caso 2 la salida es la de la variable y el caso 3 la negación de la variable.Para dos variablesConsidérese dos variables proposicionales A y B.2 Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A B A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V FLas dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función "·".De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposiciones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:

.

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C.(Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas. (Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F.

Contradicción

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.

Tautologías

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.

Mapas de KarnaughEl mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas, ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora.

Formato del mapa de Karnaugh

El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de

mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:

1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables.

La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.

2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma

manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente).

Note que cada cuadrado del renglón superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglón inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglón superior es adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna.

3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha:

4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.

Agrupamiento

La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento.

Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre sí; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B.

Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X.

Para resumir lo anterior:

El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes

entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí.

Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 - 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es X = AD

Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.

El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:

El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos.

Cuando porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14.

Para resumir:

El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.

6. Compuertas LógicasUna puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico con una función booleana. Suman, multiplican, niegan o afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Se pueden aplicar a tecnología electrónica, eléctrica, mecánica, hidráulica y neumática. Son circuitos de conmutación integrados en un chip. La

tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.

En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que haga posible la miniaturización de circuitos.

Puerta SÍ o BUFFER

Símbolo de la función lógica SÍ: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés).

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta SI

Entrada  Salida 

0 0

1 1

Puerta AND

Puerta AND con transistores

Símbolo de la función lógica Y: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND ( ), realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta AND

Entrada  Entrada  Salida 

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Así, desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la compuerta AND implementa el producto

módulo 2.

Puerta OR

Puerta OR con transistores

Símbolo de la función lógica O: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR ( ), realiza la operación de suma lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta OR

Entrada Entrada Salida

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1.

Puerta OR-exclusiva (XOR)

Símbolo de la función lógica O-exclusiva: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es (signo más "+" inscrito en un círculo). En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta XOR

Entrada Entrada Salida

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Se obtiene cuando ambas entradas tienen distinto valor.

Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla de verdad sería:

XOR de tres entradas

Entrada Entrada Entrada Salida

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la puerta XOR implementa la suma módulo 2,

pero mucho más simple de ver, la salida tendrá un 1 siempre que el número de entradas a 1 sea

impar.

Puerta NOR-exclusiva (XNOR)

Símbolo de la puerta lógica XNOR

La puerta NOR exclusive, Conocida por su referencia en inglés XNOR, es el complemento de la

puerta OR exclusiva, siendo su función booleana AB + A’B’. Se utiliza el mismo símbolo que la

puerta OR exclusiva (signo más “+” inscrito en un círculo) y su representación en el diseño de

circuitos lógicos y ecuación que la describe.

o también como:

Las tablas de verdad para dos y tres entradas o variables son las siguientes:

Tabla de verdad Puerta XNOR 2 Entradas

Entrada Entrada

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Entrada Entrada Entrada

Salida

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Esta puerta al ser el complemento de la puerta OR exclusiva (XOR), sus resultados son uno (1) cuando sus entradas, para el caso de 2, son iguales, ya sean con valor 0 o valor 1 (0 y 0, ó 1 y 1). Para más de 2 entradas, si el número de unos de entradas es par, la salida es 1 y si es impar, la salida es 0. Si todas las entradas son 0, la salida es 1, como puede comprobarse en la tabla de verdad de tres entradas.

La puerta lógica XNOR se identifica como función par, en tanto que la puerta lógica XOR se identifica como función impar.

Implementación de una función lógica con puertas básicas

Una vez obtenida y simplificada la función que relaciona la salida con las entradas en un sistema electrónico, dicha función puede implementarse, es decir, llevarse a la práctica, mediante un circuito de puertas lógicas básicas.La simplificación de la función es importante porque nos ahorra el uso de puertas lógicas.Ejemplo: Obtención del circuito de la función S = A' B' C + A B' C'Comenzamos por dibujar las tres entradas, A, B y C, y situar al lado de ellas tres puertas NOT que nos permitan obtener las funciones negadas A', B', C'.

Para obtener A' B' C debemos multiplicar las variables correspondientes mediante puertas AND

Hacemos lo mismo para obtener el producto A B' C' mediante puertas AND

Por último, mediante una puerta OR sumamos A B' C' y A' B' C, obteniendo ya la función de salida S.

7. Multiplexores y Codificadores

Multiplexores

Los multiplexores son circuitos combinacionales con varias entradas y una única salida de datos, están dotados de entradas de control capaces de seleccionar una, y sólo una, de las entradas de datos para permitir su transmisión desde la entrada seleccionada hacia dicha salida.En el campo de la electrónica el multiplexor se utiliza como dispositivo que puede recibir varias entradas y transmitirlas por un medio de transmisión compartido. Para ello lo que hace es dividir el medio de transmisión en múltiples canales, para que varios nodos puedan comunicarse al mismo tiempo.

Ejemplo de un Multiplexor

multiplexor comercial TTL 74150 que tiene las siguientes características:

Consta de 16 entradas de datos.

Tiene una única salida invertida w (pin 10).

Posee cuatro entradas selectoras de datos de A a D (pin 15 al 11).

Tiene una entrada de habilitación denominada STROBE que se considera como un conmutador ON-OFF.

Figura 2: Selector de datos 74150

La tabla de verdad del selector de datos 74150 nos muestra en su primera línea la entrada de habilitación (STROBE) en alto lo cual no habilita ningún dato, sea cualquiera la entrada de selección, como resultado obtendremos en la salida una tensión alta. En la segunda línea tenemos las entradas de habilitación en bajo lo cual habilita las entradas selectoras de datos que en este caso están en bajo por lo cual en la salida obtendremos la entrada E.

Circuitos multiplexoresCircuitos que envían por un solo canal de salida alguna de las informaciones presentes en varias líneas de salida

Circuito Multiplexor En CascadaEjemplo: Hacer un multiplexor de 8 entradas con multiplexores de 4 entradasPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Estudio del multiplexor 74151 con 8 entradasSímbolo Lógico

Diagrama de conexionesEntradas de datos Selección de datosPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Tabla de verdad

C B A strobe d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 y wx x x 1 x x x x x x x x 0 10 0 0 0 0 x x x x x x x 0 10 0 0 0 1 x x x x x x x 1 00 0 1 0 x 0 x x x x x x 0 10 0 1 0 x 1 x x x x x x 1 00 1 0 0 x x 0 x x x x x 0 10 1 0 0 x x 1 x x x x x 1 00 1 1 0 x x x 0 x x x x 0 10 1 1 0 x x x 1 x x x x 1 01 0 0 0 x x x x 0 x x x 0 11 0 0 0 x x x x 1 x x x 1 01 0 1 0 x x x x x 0 x x 0 11 0 1 0 x x x x x 1 x x 1 01 1 0 0 x x x x x x 0 x 0 11 1 0 0 x x x x x x 1 x 1 01 1 1 0 x x x x x x x 0 0 11 1 1 0 x x x x x x x 1 1 0

ConclusionesComo se puede ver en la tabla de la verdad la entrada Strobe está a 0 siempre por lo tanto lo vamos a colocar en 0v del entrenador para ahorrar un interruptor.

La W es la negada de la Y, la casa que construye este circuito es la única que da 2 salidas, todas las otras dan una unia salida de datos, esta opción te permite ahorrar el tener que poner otro circuito integrado inversor.

Circuitos demultiplexores

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiorUtilizan la función inversa de los demultiplexores. La información de la entrada se transmite a la línea de salida seleccionada mediante las entradas de control. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a b S0 S1 S2 S30 0 x 0 0 00 1 0 x 0 01 0 0 0 x 01 1 0 0 0 x

Estudio del demultiplexor 74138 con 1 entrada y 8 salidas.Simbolo LógicoPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Diagrama de conexionesPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Tabla de la verdad

E1 E2 E3 A0 A1 A2 D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D71 x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1x 1 x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1x x 0 x x x 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 10 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 10 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

ConclusionesEste circuito hace la función inversa del multiplexor. Dos de sus entradas de datos són negadas, por lo tanto las conectaremos a la masa de 5v del entrenador para poder conseguir 1.

Codificadores

Un codificador es un circuito combinacional integrado que tiene hasta 2n entradas y n salidas y la función que desempeña es mostrar en la salida la combinación correspondiente al código binario de la entrada activada.

Imagen 01. Elaboración propiaSe entenderá mejor con un ejemplo: En una calculadora cuando pulsamos cualquiera de las diez teclas numéricas de una calculadora estamos marcando un número decimal, pero la calculador opera con número en binario. Para expresar en binario del 1 al 10, necesitamos al menos cuatro bits, ya que con tres solamente podríamos establecer 23 =8 combinaciones posibles (es decir del 0 al 7) y no podríamos codificar los diez dígitos necesarios (faltarían el 8 y el 9).Por tanto emplearemos 4 salidas. Como con 4 salidas (4 bits) tenemos 16 combinaciones y empleamos 10 (del 0 al 9), o bien dejaremos seis combinaciones sin emplear, o las utilizaremos para codificar cualquier otra función representada en alguna de las teclas de la calculadora (el +, el -, el ·, el ÷, el = y la √; por ejemplo)La tabla de verdad del codificador será:

A partir de la tabla se deduce que la salida S1 será 1 si lo es la entrada A9, ó la A7, ó la A5, ó la A3, ó la A1, de ahí que la ecuación lógica que corresponde a esta salida sea la suma de las entradas 1, 3, 5, 7 y 9. Si seguimos analizando la tabla obtendremos, de forma análoga, las ecuaciones que tienen que cumplir las salidas S2, S3 y S4.En el caso de se activasen más de una entrada estaríamos ante el dilema de ¿qué entrada debería codificarse?, o se produciría una señal de error en la salida, por ello los codificadores pueden ser sin prioridad, (no suelen emplearse), y los codificadores con

prioridad, generalmente a la entrada más significativa, en este caso la tabla de verdad sería:

Es decir si por cualquier circunstancia se activase más de una entrada simultáneamente, el codificador presentará en la salida la correspondiente al código de la entrada que tenga asignado un mayor peso, es decir la más significativa, resultando indiferente los valores que tomasen las otras entradas menos significativas.En la figura adjunta se muestra el circuito integrado combinacional correspondiente a un codificador con prioridad de 9 entradas y cuatro salidas.

Imagen 02. texas instruments. ©Como ya explicamos en el tema anterior las puertas lógicas y los circuitos que explicaremos en este tema se comercializan en circuitos integrados (CI), que son como una "pastilla de plástico" de la que salen unas patillas de conexión llamadas "pines", cada uno de los cuales corresponde a una entrada o salida de datos, alimentación o tierra; y cuya identificación se hace a partir de una pequeña muesca en la cápsula que marca el número de patilla. En las llamadas datasheet de los fabricantes de chips,

dibujos como el siguiente indican la y correspondencia entre los pins de CI y las entradas y salidas del circuito, en este caso el codificador.

Imagen 03. Elaboración propia

Imagen 04. Elaboración propiaEste tipo de codificadores se emplean en la codificación de los teclados convencionales, así mismo en los circuitos conversores analógico-digital, y para controlar posibles perturbaciones en los ordenadores.

Aunque la aplicación más significativa de este tipo de circuitos integrados es en la construcción de multiplexadores, que son unos circuitos combinacionales que estudiaremos posteriormente.

Bibliografía

www.lawebdelprogrmador.com/diccionario www.wikipedia.org/wiki/linux http://html.rincondelvago.com/mapa-de-karnaugh.html http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esotecnologia/

quincena5/4q2_contenidos_4d.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_verdad http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esotecnologia/quincena6/

index_4quincena6.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Puerta_l%C3%B3gica http://www.monografias.com/trabajos14/multiplexor/multiplexor.shtml#comparad http://electronica1erparcial.blogspot.pe/2012/01/codificadores-multiplexores-

y.html