INFRASTRUTTURE FERROVIARIE CALCOLO DELLA ROTAIA … · Dalla teoria delle travi su suolo elastico alla Winkler è noto che la linea elastica è definita dall’equazione differenziale:

Infrastrutture Ferroviarie

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© Prof. Giovanni Leonardi, 2009

INFRASTRUTTURE FERROVIARIE

CALCOLO DELLA ROTAIA E

TERMICA DEL BINARIO

A.A. 2008-09


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Generalità

Tradizionalmente la rotaia viene considerata come una trave a sezione costante,

ancorata alle traverse configurate come vincoli cedevoli.

La rotaia risulta sollecitata da forze normali e parallele al proprio asse geometrico ed in

particolare Ie forze normali sono costituite da:

- carichi verticali trasmessi dalle ruote;

- reazioni delle traverse;

- forze provocate dal moto di serpeggio;

- forze generate dalle oscillazioni trasversali del materiale rotabile;

mentre quelle parallele sono rappresentate da:

- trazione alle ruote;

- sforzo di frenatura;

- forze generate dalle variazioni termiche.


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Generalità

Le sollecitazioni agiscono su un piano che non contiene ne uno degli assi principali

d'inerzia della sezione trasversale, ne I'asse geometrico della rotaia, dando luogo a

sforzo normaIe, flessione deviata, taglio e torsione.

Tra Ie diverse caratteristiche di sollecitazione, la flessione deviata dovuta ai carichi

verticali e alle forze orizzontali risulta predominante rispetto alle altre sollecitazioni

che, per confronto, sono trascurabili.

In genere la rotaia si considera come una trave soggetta a flessione normale,

trascurando il contributo derivante delle forze orizzontali.

Ne consegue che il calcolo delle sollecitazioni indotte dai convogli ferroviari può essere

eseguito considerando la rotaia come una trave soggetta solamente a flessione retta e

a taglio.


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Stato tenso-deformativo dell'armamento

Per una valutazione analitica, di come il carico trasmesso dalle ruote dei veicoli

ferroviari impegni I'armamento, si può fare riferimento, in prima approssimazione, alla

teoria sviluppata da Winkler.

II modello di Winkler schematizza il binario come una trave di lunghezza infinita,

soggetta a carichi verticali P e disposta su appoggi elastici concentrati e discreti

rappresentanti I'elasticità dell'attacco, della massicciata e dell'eventuale subballast e

del rilevato.


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Analisi statica dell’armamento

La soluzione analitica può essere affrontata, nell'ipotesi di comportamento elastico

lineare del binario, di trascurabilità del contributo dell'azione tagliante sulla sua

deformata e di costanza sia della rigidezza flessionale, che della rigidezza del suolo alla

Winkler.

Con tali premesse, I'equazione che definisce I'andamento della deformata y(x), risulta

esprimibile nella seguente forma:

( ) sin cos2

xx P e x xK

- x coordinata lungo I'asse della trave;

- P carico concentrato in direzione normaIe all'asse della trave, applicato in x = 0;

- K = b· kw costante ottenuta come prodotto tra la larghezza b della trave e la costante di

Winkler kw [N/mm3], indipendente sia dalla forma della superficie di appoggio, sia dagli

elementi prossimi a quelli caricati;

- 4

4

K

EJ in cui E è il modulo d'elasticità dell'acciaio e J il momento d'inerzia della rotaia.


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Lunghezza caratteristica L:

4 41 4 4

w

E J E JL

K b k

Misura la capacità che ha il binario di distribuire il carico concentrato delle ruote sulla

rotaia.

Dalla teoria delle travi su suolo elastico alla Winkler è noto che la linea elastica è

definita dall’equazione differenziale:

4

40

dEJ K q

dx

Dove si è posto q = 0 perché la trave si considera priva di peso. Posto:

4

4

K

EJ


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Otteniamo:

44 0IV

Considerando la trave caricata da una forza concentrata P e ponendo l’origine delle

coordinate nel punto di applicazione della stessa le condizioni al contorno sono:

- per x = ∞ abbassamento = 0;

- per x = 0 rotazione ’ = 0.

L’equazione della linea elastica diventa:

( ) sin cos2

xx P e x xK

Da cui è possibile dedurre il momento flettente in una generica sezione:

M = - EJ ’’ = cos sin4

xP e x x


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Il cedimento massimo, in corrispondenza del punto di applicazione del carico ovvero

per x =0, è:

(0)2

PK


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La distanza pari a x = ±3/4 π L, rappresenta la prima sezione in cui si annulla lo

spostamento verticale e, a partire da questa distanza, la rotaia si sposta verso I'alto per

poi riabbassarsi, con, spostamenti sempre più attenuati, verso il valore nullo costante,

posto a circa ± 3/2 π L.

Nel caso siano presenti altri carichi a distanza ravvicinata, come nel caso di carrelli, se

ne tiene conto applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.


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Modellazione della sovrastruttura ferroviaria

II binario ferroviario può essere schematizzato con un modello più completo rispetto a

quello semplificato massa-molla.

Tale modello è soggetto ad una forzante periodica ed è in grado di tener conto sia dello

smorzamento isteretico dipendente dalla deformazione, sia dello smorzamento

viscoso dipendente dalla velocità di deformazione.

Complessivamente tali dissipazioni costituiscono il fattore di perdita meccanico.


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In Figura è riportato lo schema di un oscillatore semplice elasto-viscoso-isteretico, che

è alla base del modello. In particolare esso è caratterizzato da legami:

- elastici: per i quali sussiste la relazione lineare fra sollecitazione e deformazione,

individuata mediante la rigidezza elastica K misurata in kN/mm;

- viscosi: in grado di dissipare energia al crescere della velocità di applicazione dei

carichi. Tale capacità è espressa mediante il coefficiente di smorzamento viscoso C,

misurato in kN/mm s;

- isteretici: in grado di dissipare energia proporzionalmente alla deformazione in un

ciclo di deformazione in fase con la velocità. Tale capacità è espressa mediante il

coefficiente di smorzamento isteretico G, misurato in kN/mm.


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Il binario giuntato

Le rotaie sono collegate mediante organi di giunzione (ganasce e chiavarde) che permettono

loro un movimento relativo, di allontanamento fino ad una distanza massima fra le testate di 14

mm e di avvicinamento fino al contatto fra le testate stesse.

Il binario viene posato ad una temperatura di posa tp.

Se le testate per effetto della variazione termica tendono ad allontanarsi più di 14 mm nasce una

forza di trazione che le mantiene a questa distanza massima.

Se, invece, quando sono già a contatto per effetto della variazione termica tenderebbero a

compenetrarsi, nasce una forza di compressione che le mantiene a questa distanza.

In entrambi i casi il movimento delle testate è impedito.

Quando la distanza fra le testate delle rotaie è compresa fra 0 e 14 mm si parla di movimento

vincolato, in quanto esso è contrastato dalla:

- resistenza di attrito degli organi di giunzione Rg

- resistenza di attrito degli appoggi Rm


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Resistenza di giunzione

La resistenza Rg è considerata uguale per tutti i profili e pari a 58860 N, per una fissata modalità

di serraggio delle ganasce.

Per vincere la Rg occorre un salto termico tg tale che:

· tg = l/l = (Ng/A)/E = (Rg/A)/E

tg = Rg/ EA = Rg/237A [°C]

237

g

g

Rt

A [°C]

- Rg resistenza delle giunzioni in N;

- A sezione trasversale della rotaia in cm2.

Quando si vince la Rg la che ne consegue è pari a 58860/A [N/cm2].

A questo punto la rotaia è in grado di muoversi per effetto di ulteriori t.


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Resistenza degli appoggi

La resistenza degli appoggi comprende due aliquote: la resistenza degli attacchi Ra e la

resistenza della massicciata Rm.

La prima è dovuta alla forza di attrito che si manifesta fra suola e piastra d’appoggio:

La resistenza di attrito Ra fra piastra di appoggio e suola della rotaia, per attacco indiretto o

elastico vale per ciascun attacco:

Ra = 7,5 kN

Per un binario, e quindi per le due rotaie e i due corrispondenti attacchi sulla traversa, vale il

doppio:

Ra = 15 kN

Ripartendo questa forza nell’interasse fra le traverse (assunto pari a 0,6 m) si ha per la resistenza

specifica ra il valore:

ra = 15/0,6 = 25 kN/m


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La resistenza Rm della massicciata si esplica fra traverse e massicciata.

Per effetto delle variazioni termiche è tutto il binario (rotaie e traverse) che si muove sulla

massicciata.

La resistenza Rm di un tronco x di binario può essere espressa in funzione della resistenza

specifica rm per metro lineare di binario:

Rm = rm·x

dove rm assume i seguenti valori:

- rm = 8,8 kN/m attacchi indiretti o elastici + traverse in c.a.p. su massicciata di pietrisco;

- rm = 5,9 kN/m attacchi indiretti o elastici + traverse in legno su massicciata di pietrisco;

- rm = 3 kN/m attacchi diretti + traverse in legno su massicciata ghiaiosa.


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Il binario può considerarsi come un corpo unico solidale fra rotaie e traverse che scorre sulla

massicciata.

Nel binario senza massicciata montato direttamente sugli impalcati in ferro o in c.a.p. dei ponti

un elevato valore di ra costringerebbe il binario a seguire le deformazioni termiche della

struttura.

Per evitare ciò vengono usati attacchi diretti che realizzano una ra ≈ 2 kN/m e il binario può

considerarsi libero rispetto all’attacco.

La resistenza della massicciata interviene non appena si manifesta un allungamento l qualsiasi.

Infatti considerando una rotaia lunga l si ha che per un t uniforme lungo tutta l’estensione, la

rotaia varia di lunghezza uniformemente rispetto alla sua mezzeria M.

Quindi la rotaia si sposta ugualmente a destra e a sinistra del punto M.

Consideriamo perciò una delle due testate. Lo spostamento della testata per effetto termico

comporta che estensioni sempre maggiori di binario (di lunghezza x a partire dalla testata stessa)

scorrono fino ad interessare tutta la semilunghezza l/2 della rotaia.


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Si definisce salto termico tm [°C] la variazione di temperatura occorrente per innescare una

forza termica in grado di superare la resistenza complessiva della massicciata.

Il salto termico tm si ottiene imponendo l’uguaglianza tra forza termica e la resistenza Rm

complessiva che si regista nella mezzeria della rotaia:

2 237

mm

r Lt

A

con:

- rm resistenza unitaria della massicciata in kN/m;

- L lunghezza della rotaia in cm;

- A sezione trasversale della rotaia.


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Forze di attrito che si oppongono alla variazione di lunghezza del binario (movimento parallelo delle testate delle due rotaie):

RRgg == 5588886600 NN RReessiisstteennzzaa ddii aattttrriittoo ddeeggllii oorrggaannii ddii ggiiuunnzziioonnee

rraa == 2255 kkNN//mm RReessiisstteennzzaa ssppeecciiff iiccaa ddii aattttrriittoo ffrraa ppiiaassttrraa ee ssuuoollaa ddii

aappppooggggiioo ddeellllaa rroottaaiiaa rriippaarrttiittaa ssuullll’’iinntteerraassssee ddeellllee ttrraavveerrssee

rrmm == 88,,88 kkNN//mm RReessiisstteennzzaa ssppeecciiff iiccaa ddii aattttrriittoo ddeellllaa mmaassssiicccciiaattaa ddii ppiieettrriissccoo

ssoottttoo ttrraavveerrssee iinn cc..aa..pp.. ccoonn aattttaacccchhii iinnddiirreettttii oo eellaassttiiccii

rm = 5,9 kN/m RReessiisstteennzzaa ssppeecciiff iiccaa ddii aattttrriittoo ddeellllaa mmaassssiicccciiaattaa ddii ppiieettrriissccoo

ssoottttoo ttrraavveerrssee iinn lleeggnnoo ccoonn aattttaacccchhii iinnddiirreettttii oo eellaassttiiccii

rrmm == 33 kkNN//mm RReessiisstteennzzaa ssppeecciiff iiccaa ddii aattttrriittoo ddeellllaa mmaassssiicccciiaattaa gghhiiaaiioossaa

ssoottttoo ttrraavveerrssee iinn lleeggnnoo ccoonn aattttaacccchhii ddiirreettttii


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La prima fase di dilatazione della rotaia dopo la posa.

In conseguenza di un salto termico uniforme t su tutta la rotaia, si può assumere che essa si

muova a partire dalle due estremità, con un movimento che interessa progressivamente la rotaia

fino alla mezzeria, che rappresenta così un punto fisso.

Supponiamo che la rotaia dopo la posa subisca un incremento di temperatura (salto termico

rispetto alla temperatura di posa) progressivamente crescente.

A tale salto di temperatura corrisponde uno stato di coazione di compressione crescente perché

l’attrito fra gli organi di giunzione impedisce lo spostamento delle testate.

Le testate restano immobili finché la coazione non raggiunge il valore massimo della resistenza

di attrito delle giunzioni, con un salto termico tg:

N = Rg = EA tg

A questo punto le testate possono cominciare a muoversi.

Supponiamo che per un generico t oltre il valore tg sia interessata al movimento una certa lunghezza di rotaia a partire dalla testata.


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BINARIO GIUNTATO

Ciò comporta una sollecitazione ulteriore di compressione crescente dalla testata verso la

mezzeria a causa dell’attrito con la massicciata.

Considerando un elementino lungo dx di rotaia a distanza x dalla testata la variazione di

lunghezza d( l) che questo elementino subisce è data da:

d( l) = ·dx· t – (rm·x/EA)·dx

Il primo addendo è la variazione di lunghezza causata dalla libera dilatazione termica

dell’elementino dx mentre il secondo addendo è la variazione elastica contraria causata dalla

forza di attrito che nasce perché per far allungare l’elementino dx occorre che si muova tutto il

tronco x fino alla testata, opponendo una resistenza rm·x.

Integrando fra l’origine delle ascisse posto in corrispondenza della testata e la generica

posizione x dell’elementino dx si ha la variazione effettiva di lunghezza del tronco x:

0

2x

m mr xt

EA

r xl dx x t

EA


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Binario giuntato

Per valutare quanto è la distanza x interessata dal movimento in relazione al salto di temperatura si fa questo ragionamento.

Man mano che dalla testata ci si sposta verso la mezzeria la variazione elastica contraria cresce e

quindi vi sarà una posizione x in cui tale variazione elastica annulla la variazione termica

nell’elementino dx posto alla distanza x cercata.

Andando oltre la variazione termica non è in grado di vincere la resistenza della massicciata e la

restante parte di rotaia resta ferma:

d( l) = 0 = dx t – ( mx rEA

) dx

da cui:

t = (rm x/EA)

e quindi:

x = estensione di rotaia interessata dal movimento (per il salto di temperatura t) = EA t/rm


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Binario giuntato

Mettendo questo valore nell’espressione del l si ha lo spostamento subito dal tronco x che si è

mosso e quindi lo spostamento della testata:

2 2

2

m

m m m

rt t t EAl t EA EA

r EA r r

Il salto termico tm per cui viene interessata al movimento tutta la metà lunghezza della rotaia si

ottiene imponendo che la distanza x sia pari a L/2:

2 m

l EA t

r

avendosi quindi:

2 2 237

m mm

l r l rt

EA A

Essendo tm = salto di temperatura limite necessario per vincere la resistenza Rm complessiva della massicciata.


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Nella tabella sono riportati i valori dei salti di temperatura limite per i tre tipi di resistenza e la loro somma, suddivisi per profilo di rotaia e per tipo di resistenza della massicciata.

Tabella Salti termici limite

Profilo rotaia e sezione in [cm2] ↓ tg [°C] rm [N/cm] tm [°C] tm [°C] tm [°C] tm [°C] tm [°C]

Lunghezza → barra [m]

12 18 24 36 48

FS 46

A = 59,60 cm2 4,2 30 1,3 1,9 2,6 3,8 5,1

FS 46

A = 59,60 cm2 4,2 59 2,6 3,8 5,1 7,6 10,1

FS 46

A = 59,60 cm2 4,2 88 3,7 5,6 7,5 11,2 15,0

50 UNI

A = 63,50 cm2 3,9 30 1,2 1,8 2,4 3,6 4,7

50 UNI

A = 63,50 cm2 3,9 59 2,4 3,5 4,7 7,1 9,4

50 UNI

A = 63,50 cm2 3,9 88 3,5 5,3 7,0 10,6 14,1

60 UNI

A = 76,86 cm2 3,2 30 1,0 1,5 2,0 3,0 3,9

60 UNI

A = 76,86 cm2 3,2 59 2,0 2,9 3,9 5,8 7,8

60 UNI

A = 76,86 cm2 3,2 88 2,9 4,3 5,8 8,7 11,6


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Binario giuntato

È possibile costruire il diagramma dilatazione – temperatura di una rotaia relativo ad un binario

giuntato, riportando sull’asse delle ascisse le dilatazioni l.


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Binario giuntato

In assenza di vincoli il movimento è rappresentato dalla retta che esprime graficamente la

relazione:

l = l t

In loro presenza partendo dalla temperatura neutra la testata non si muove fino a che non si

raggiunge il salta termico tg capace di vincere la resistenza Rg delle ganasce.

Nel diagramma il fenomeno è rappresentato dal segmento OG che giace sull'asse delle ordinate.

L'aumento della temperatura oltre tg mette in movimento la testata con un legame fra t e l

del secondo ordine coinvolgendo tratti di binario linearmente proporzionali a t.

II fenomeno è rappresentato dal segmento di parabola GB e si arresta quando il movimento interessa, nei due sensi, l'intera rotaia.

II punto di mezzo della rotaia per simmetria, avendo ipotizzato la resistenza rm costante, rimane immobile.


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Binario giuntato

L’allungamento complessivo che subisce la mezza rotaia e lo spostamento della testata quando

tutta la mezza rotaia è interessata al movimento vale:

dx t – ( mx rEA

) dx

2 4

2 2

mm m

r lll t

EA 2 4

mm m

r lll t

EA

Osservando che:

2mm

tr EA

l

22 4 2 2

m mm m

t tl l ll t EA

l EA

Pertanto una rotaia che dopo la posa subisca un incremento complessivo di temperatura pari a

tg + tm subisce un allungamento complessivo lm a partire dalla sua mezzeria.


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Binario giuntato

Nel diagramma la dilatazione libera conseguente ad un salto termico tm è rappresentato dal

punto A, mentre la dilatazione parzialmente impedita corrispondente è rappresentata dal punto

B.

Un aumento di temperatura al di sopra di:

tg + tm

non produce, nel corpo della rotaia, alcun aumento di sollecitazione, in quanto, vinte ormai tutte

Ie resistenze, la rotaia si muove secondo Ie leggi della dilatazione libera.

Il fenomeno è rappresentato, quindi, da una retta parallela a quella che rappresenta la libera

dilatazione, passante per B.


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LA LUNGA ROTAIA SALDATA

Introduzione.

Allungando la rotaia aumenta la resistenza di attrito e la rotaia così può non essere tutta

interessata alla variazione di lunghezza.

Lunghezza limite lc: lunghezza della rotaia per la quale la somma delle resistenze d’attrito

eguaglia la forza termica indotta dal massimo valore dell’escursione stagionale.

La lunghezza critica lc è quella lunghezza per cui si ha:

Rg + rm lc/2 = Nmax = t AE

Essendo E = 237 si ha:

2372

cg m

lR r A t

2237c g

m

l A t Rr

essendo t l’escursione massima rispetto al valore medio della temperatura di esercizio.


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La lunga rotaia saldata

La lunga rotaia saldata è pertanto una rotaia in cui esiste un tronco centrale immobile (L – Lc) che

rimane ferma durante la massima escursione termica alla quale può essere soggetta.

Vantaggi della lunga rotaia saldata:

- riduce la resistenza a rotolamento per il ridotto numero di giunzioni e quindi riduce l’energia

complessivamente richiesta per la trazione;

- riduce i costi di manutenzione del binario e delle scorte di magazzino per la riduzione del

numero delle giunzioni.

- riduce i costi di manutenzione del materiale rotabile.

L’escursione di temperatura prevista è fra – 10 °C e + 60 °C

La massima sollecitazione di trazione è: E(60 + 10) = 9,48 kN/cm2

Temperatura di regolazione: 30 °C per linee ordinarie

La massima sollecitazione di compressione è: E(60 – 30) = 7,11 kN/cm2

Temperatura di regolazione: 35 °C per linee ad alta velocità

La massima sollecitazione di compressione è: E(60 – 35) = 5,93 kN/cm2

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