Ing. Petrolera AIPM

8/17/2019 Ing. Petrolera AIPM

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Órgano de Divulgación Técnica e Información de laAsociación de Ingenieros Petroleros de México A.C.

Vol. 53 No. 11 NOVIEMBRE DE 2013www.aipmac.org.mx/web/revista

Foto de portada:Pajaritos, Veracruz, México.

Editorial

Una nueva metodología para calcular el comportamiento de auencia en pozos que operan con

sistema arcial

Ing. Uriel Salazar Verbitzky

Caracterización de yacimientos naturalmente fracturados analizando datos de producción, caso

Caparroso–Escuintle-Pijije

Ing. Rafael Pérez Herrera

Ing. Oscar Morán Ochoa

Método para elaborar una envolvente de fases para mezclas mul-componente opmizando la

solución en la cercanía del punto críco

Ing. Héctor Erick Gallardo Ferrera

M. en I. Alfredo León García

Dr. Fernando Samaniego Verduzco

Aplicación de estudio geotécnico para la perforación de pozos en aguas profundas y ultraprofundas

Ing. Aciel Olivares Torralba

Ing. Agusn Jardinez Tena

638

640-647

648-666

667-682

683-693

PetroleraIngenierí a

Contenido

INGENIERÍA PETROLERA.- Publicación mensual de la Asociación de Ingenieros Petroleros de México A.C., Av. Melchor Ocampo 193 Torre “A“ Piso 12. Col. VerónicaAnzures C.P. 11300, México D.F., Tels: 5260 2244 y 5260 7458. Solicitada la Autorización como Correspondencia de Segunda Clase de Administración de Correosnúm. 1 de México D.F. Distribuido por la Asociación de Ingenieros Petroleros de México, A.C. Publicación editada e impresa por 4AM FOR ADVERTISING ANDMARKETING S.A. DE C.V., Enrique J. Palacios No. 108, Col. Prado Ermita, C.P. 03590, Del. Benito Juárez, México D.F., Tels: 5601 7571 y 55 3211 6077. Edición:1000 ejemplares. Certicado de licitud de título núm. 8336 y Certicado de licitud contenido núm. 5866 ante la Comisión Calicadora de Publicaciones y RevistasIlustradas. Certicado de reserva de Derechos al Uso Exclusivo núm. 003322 ante la Dirección General del Derecho de Autor. Toda la correspondencia debe dirigirsea la Asociación de Ingenieros Petroleros de México A.C. EL CONTENIDO DE LOS ARTÍCULOS TÉCNICOS ES RESPONSABILIDAD DEL AUTOR. ISSN 0185-3899. RevistaIndizada en LATINDEX y PERIÓDICA.


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Directiva Nacional 2012-2014

Presidente MI. José Ángel Gómez Cabrera

Vicepresidente Ing. Sergio Humberto Mariscal BellaSecretario MC. Pablo Arturo Gómez Durán

Tesorero Ing. Jesús A. Mora Moreno

Coordinador Nacional de Ayuda Mutua Ing. José Luis Fernández Cadó

Coordinador Nacional de Fondo de Retiro Ing. Juan Manuel Flores Martínez

Directora de la Comisión de Estudios Dra. Alma América Porres Luna

Director de la Comisión Editorial MI. Mario Becerra Zepeda

Director de la Comisión Legislativa Ing. Antonio Sandoval Silva

Director de la Comisión Membresía Ing. Oscar Ulloa Lugo

Coordinador de Relaciones Públicas Ing. Mario Cruz Riego

Consejo Nacional de Honor y Justicia

M. Carlos Rasso ZamoraIng. Javier Hinojosa PueblaM. Javier Chávez Morales

M. Adán E. Oviedo PérezM. José Luis Fong Aguilar

Revista Ingeniería Petrolera

Director Editorial MI. Mario Becerra Zepeda

Coordinación Editorial Laura Hernández Rosas email: [email protected]

Delegación Ciudad del Carmen

Ing. José Del Carmen Pérez Damas

Delegación Coatzacoalcos

M I. Eleuterio Oscar Jiménez Bueno

Delegación Comalcalco


Delegación México

Ing. Luis Francisco Sánchez León

Delegación Monterrey

Ing. Carlos Miller Farfán

Delegación Poza Rica

Ing. Luis Lauro De La Garza Saldívar

Delegación Reynosa

Ing. José Adalberto Ríos Espit

Delegación Tampico

Ing. Jorge Alberto Hernández Cantú

Delegación Veracruz

Ing. Juan Echavarría Sánchez

Delegación Villahermosa

Ing. Jorge Rodríguez Collado

Presidentes Delegacionales


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Ingeniería Petrolera | 637 Ingeniería Petrolera | 637

Consejo Editorial

Roberto AguileraUniversity of Calgary

Víctor Hugo Arana Ortiz

Pemex

Jorge Alberto Arévalo Villagrán

Pemex

José Luis Bashbush Bauza

Schlumberger

Thomas A. BlasingameTexas A&M University

Rodolfo Gabriel Camacho Velázquez

Pemex

Héber Cinco Ley

UNAM

Yuri Valerievich Fairuzov

UNAM

Faustino Fuentes Nucamendi

Pemex

Néstor Martínez Romero

CIPM

Michael PratsConsultor EUA

Edgar R. Rangel Germán

CNH

Fernando J. Rodríguez de la Garza

Pemex

Fernando Samaniego Verduzco

UNAM

Francisco Sánchez SesmaUNAM

César Suárez Arriaga

UMSNH

César Treviño Treviño

UNAM

Jaime Urrutia Fucugauchi

UNAM

Surendra Pal Verma Jaiswal

UNAM

Robert A. Wattenbarger

Texas A&M University

Lic. Eva Myriam Soroa Zaragoza

Consultora Editorial*

Lic. Franco Vázquez

Asistencia técnica

*Asesoría durante el proceso de revitalización de la revista Ingeniería Petrolera


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638 | Ingeniería Petrolera

Editorial

El ensayo “Paradojas de la cultura” del reconocido escritor Gabriel Zaid fue publicado en noviembre en el periódico Reforma. Por la

importancia y pertinencia de los conceptos que en él se exponen, a continuación se incluyen los más relevantes casi de la manera como

fueron expresados por su autor.

En 1993, cuando Canadá, los Estados Unidos y México negociaban el Tratado de Libre Comercio, los canadienses conociendo la

tradición cultural de México buscaron a los mexicanos con el fin de ponerse de acuerdo y lograr que se diera trato aparte a la cultura,

frente a la oposición de los Estados Unidos, que se oponía a tal salvedad.

La sorpresa de los canadienses fue mayúscula, pues en apariencia a los negociadores mexicanos del Tratado poco o nada les importaba

la cultura, lo que llamó la atención. México había tenido gobiernos sin interés por la cultura, pero ninguno que lo proclamara.

Por el contrario, la tradición era utilizar la cultura como bandera. Desde la época de Porfirio Díaz la monocracia se legitimaba de

muchas maneras, y la más alta era la singularidad nacional frente al poder externo, en el marco de una historia, una cultura y un

territorio propios, que justificaban la autonomía del país (y, de paso, la hegemonía interna).

En el siglo XIX, las intervenciones militares de los Estados Unidos y Francia, y el despojo de una gran parte del territorio nacional,

reforzaron el nacionalismo cultural. En el siglo XX, el nacionalismo revolucionario del Estado justificó su independencia, no sólo por

su capacidad de imponer la violencia legítima internamente y frente a los invasores, sino por encarnar una cultura nacional.

México se adelantó a lo que Francia (en las negociaciones del mercado común europeo) llamó la “excepción cultural”: la doctrina de

que el fomento de la cultura es de especial interés para el Estado, y merece trato aparte en los tratados internacionales, la legislación,

los impuestos y el presupuesto. Por esta doctrina, en Irlanda las regalías autorales de escritores, músicos y pintores están exentas delimpuesto sobre la renta, los libros no pagan IVA, etc.

La excepción cultural se entiende especialmente de países como Irlanda y México, que tienen situaciones análogas: vecindad con

una gran potencia imperial; economías dependientes del poder vecino, notable patrimonio cultural; mayoría católica frente a mayoría

protestante, lengua diferente (irlandés y español), frente al inglés que los invade.

Hay quienes creen que, en esas circunstancias, no hay más camino que marginarse, encerrarse y estatizar para resistir el peligro de

acabar como Puerto Rico: un “Estado libre asociado”. Hay quienes, por el contrario, creen que lo único realista para salir de pobres es

seguir el ejemplo de Puerto Rico, que tenía un PIB por habitante inferior al de México y hoy lo duplica.

Los salinistas (1088-1994) tenían doctorados en el extranjero, una fe ciega en sí mismos y, sobre todo, la convicción íntima de que tenerel poder es tener la razón. Se sentían más allá de la tradición, como fundadores de una modernidad necesaria. Un periodista extranjero

que cubrió su campaña presidencial y hablaba perfectamente español contaba -con extrañeza- que no sólo hablaban en inglés con él,

sino entre sí.

La baja prioridad cultural de los modernizadores (de entonces y de ahora) no se tradujo en recortar los presupuestos educativos y

culturales, que se multiplicaron, sino en administrarlos sin interés por la cultura para negociar con los sindicatos, gobernadores y

grupos de presión. Nunca se había gastado tanto en educación como en estos 20 años, pero ni las primarias, ni las secundarias, ni las

preparatorias, ni las universidades enseñan a leer.


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Según la Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos 2004 del INEGI, 8.8 millones de mexicanos habían hecho estudios universitarios

(incompletos, completos o de posgrado). De acuerdo con la Encuesta nacional de lectura 2006 del Conaculta, el 23% de esa población

universitaria dijo que no lee libros de ningún tipo, el 40%, que no lee periódicos, el 48%, que no lee revistas y el 7% (más de medio

millón de universitarios) que no lee nada: ni libros, ni periódicos, ni revistas.

Si así está la población universitaria, es de imaginarse la situación general, que va de mal en peor. Desgraciadamente, no se ha hecho

una encuesta de lectura entre los maestros. Sería reveladora. Leer por gusto es algo que se contagia, como todos los gustos.

El foco de contagio en México era la escuela: los maestros, compañeros ya amigos, no la casa. Así como no abundaban los médicos

hijos de médicos, pocos grandes lectores eran hijos de grandes lectores. Hoy una encuesta centrada en el mundo escolar y universitario

mostraría que los maestros no leen, y que su falta de interés se reproduce en los alumnos, por lo cual multiplicar el gasto en escuelas y

universidades sirvió para multiplicar a los graduados que no leen.

Paradójicamente, en estos mismos años, la cultura avanzó notablemente. La paradoja se explica porque muchos avances culturales

dependen del interés en la cultura de muy pocas personas. Las librerías han venido desapareciendo porque los mexicanos no leen,

porque los locales comerciales pueden cobrar mayores rentas a los que venden otra cosa y porque a los funcionarios (que tampoco leen)

no les importa.

Las burocracias institucionales y los sindicatos educativos, universitarios, artísticos y culturales, no sólo se llevan la mayor parte

del presupuesto: estorban para el desarrollo de la cultura. Pero hay muchas actividades culturales que pueden producirse en casa, en

microempresas o en el extranjero, al margen de las burocracias y de los sindicatos.

Irse de México ha sido fructífero en muchos casos, y no necesariamente malo para el país. El apoyo de las grandes empresas a las

microempresas culturales ha demostrado su viabilidad y deberá multiplicarse. Siempre hay salida para las vocaciones creadoras. Lo

lamentable es la situación general.

A mediados del siglo XX, el gabinete presidencial tenía una escolaridad promedio que apenas llegaba a la licenciatura. Sin embargo,(¡lo que es el subdesarrollo!) muchos funcionarios de entonces creían en los libros, en el arte, en la cultura como algo importantísimo

para la vida personal y nacional. Algunos fueron grandes escritores. Ahora hay funcionarios con doctorados en el extranjero a los cuales

no es fácil explicarles que la cultura sí nos importa.

Una vez que la educación superior produce millones de ignorantes de su propia ignorancia, como si fuera natural, y universitarios que

no leen, como si fuera natural, la incultura se vuelve el paradigma del éxito porque la clase política está formada por universitarios.

Por eso el ogro filantrópico se ha vuelto omiso o destructivo para el desarrollo cultural. Algunos atribuyen el daño resultante a

intenciones siniestras, sórdidos intereses o rencores inconscientes. Una explicación más sencilla está en las buenas intenciones que no

saben de qué se trata.

¿Qué conclusiones podremos sacar de lo anterior los asociados de la AIPM?

Fraternidad y Superación


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640 | Ingeniería Petrolera VOL. 53 No. 11, NOVIEMBRE 2013 · ISSN 0185-3899

Una nueva metodología para calcular el comportamiento de afluencia en

pozos que operan con sistema artificial


Pemex

Información del artículo: Recibido enero 2013-aceptado noviembre de 2013

Resumen

Hablar del comportamiento de afluencia de un pozo implica hablar del concepto de índice de productividad, sin embargo,generalmente es información que solamente se asocia con pozos fluyentes por la naturaleza del flujo.

Para el caso de pozos intermitentes o en su caso, no fluyentes, se complica el estudio del aporte del yacimiento puesto queéstos pudieran no aportar de manera constante a superficie o incluso nunca alcanzar la misma.

No obstante, en este trabajo se proponen una serie de consideraciones y metodologías para determinar el comportamientode afluencia de pozos que operan con sistema artificial de bombeo mecánico, electrocentrífugo o de cavidades progresivas,donde el gasto en superficie no es una medida directa del aporte del yacimiento, sino que se encuentra en función de laproducción que recupera el sistema y la capacidad del yacimiento para llevar esa producción a la profundidad de acción dela bomba.

Palabras clave: Comportamiento de afluencia, sistemas artificiales, índice de productividad, optimización de la producción.

A nouvelle methodology to calculate inflow performance of artificiallift wells

Abstract

Talking about inflow performance implies to talk about the productivity index (PI); however, the PI is often associated tonaturally flowing wells.

For intermittent or non flowing wells, it gets complicated to study the inflow performance because of the discontinuous

flowing parameters (or the lack of it) as observed on the surface.

Nevertheless, this paper proposes several considerations and methodologies to determine the inflow performance of anartificial lift well with Sucker Rod Pumping, Electric Submersible Pumping or Progressive Cavity Pumping, where the producedvolume is not a direct measure of the reservoir contribution but of how much the artificial lift system produces and thecapability of the reservoir to lift that production to the pump depth.

Keywords: Inflow performance, Artificial Lift Systems (ALS), productivity index, production optimization.

Artículo arbitrado


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VOL. 53 No. 11, NOVIEMBRE 2013 · ISSN 0185-3899

Introducción

En la Industria Petrolera, así como en cualquier otraingeniería, el objetivo principal del ingeniero es optimizarlos recursos para maximizar los beneficios. Con base en lo

anterior, se entiende que la optimización de las condicionesde operación de los sistemas artificiales de producción(SAP), es una de las tareas del ingeniero petrolero, y paralograr ese objetivo es necesario conocer el comportamientode afluencia.

Después de una investigación en la literatura publicada (OnePetro, SPE, JPT ), no se encontró ninguna prueba de campoque permitiera determinar el comportamiento de afluenciapara un pozo que opera con sistema artificial, derivado deque el gasto en superficie es función del sistema artificial yno directamente de la formación. Los trabajos más cercanos

a este tema, han recurrido a pruebas complejas y costosaspara describir el fenómeno de la “intermitencia” de unpozo. Por otro lado, muchas veces para optimizar se recurreal método por ensayo y error.

En consecuencia, se desarrolló un modelo y una serie depruebas que permiten determinar, con buena precisión,

el comportamiento de afluencia de un pozo no fluyente,con la finalidad de encontrar las condiciones óptimas deoperación del sistema de bombeo artificial, y así maximizarla producción en superficie.

Desarrollo teórico

El pozo como un sistema cerrado

La definición de un pozo fluyente cita que es “Aquel cuyaenergía es suficiente para llevar la producción a través delsistema integral de producción”. Esta definición, si bien essuficiente para caracterizar un pozo, resulta insuficientepara el modelo a presentar.

En consecuencia, se propone definir a un pozo fluyente

como aquel cuya presión de fondo fluyendo correspondea una columna hidrostática mayor que la profundidad delpozo. Esta definición permite entonces caracterizar trestipos de pozos: fluyentes, intermitentes y no fluyentes,Figura 1.

Figura 1. Pozo fluyente, intermitente y no fluyente conforme a la definición de columnahidrostática equivalente.


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Una nueva metodología para calcular el comportamiento de auencia en pozos que operan con sistema artifcial, p.p 640-647


Si la columna hidrostática equivalente es mayor quela profundidad del pozo, esto significa que el pozo semanifiesta en superficie. Si la columna del pozo cerrado esmayor, y la del pozo fluyendo también, entonces el pozofluye en superficie de manera continua (fluyente). Para el

caso en que la columna del pozo cerrado es mayor que laprofundidad y la del pozo fluyendo resulta menor, entoncesel pozo se considera intermitente; éste fluye solamentedespués de un cierto tiempo de cierre, cuando recuperapresión. Finalmente, el caso de un pozo no fluyente es aquelcuya columna se encuentra por debajo de la superficie, esdecir, el nivel estático es menor.

Se conoce que el aporte del yacimiento se encuentragobernado, entre otros factores, por la caída de presión

D p entre la formación ( pyac

) y el fondo del pozo ( pwf

). Conbase en lo anterior, se entiende que un pozo siemprepodrá caracterizarse por su comportamiento de afluencia,independientemente de que sea un pozo fluyente,intermitente o no fluyente.

Ahora bien, la ley de conservación de la materia estableceque la masa que entra en un sistema cerrado debe saliro acumularse dentro del mismo. Desde otro punto devista, la diferencia entre las masas que ingresan y salende un sistema, será equivalente al cambio de masa en elsistema durante el tiempo que sucedió ese intercambio,Figura 2.

Figura 2. La diferencia de las masas que ingresan y salen de un sistema serán equivalentesal cambio de volumen en el sistema durante el tiempo que sucedió el intercambio.

Por lo que:

= q (entrada) – q (salida) (1)

Simplificando el modelo de un pozo, se puede considerarcomo un sistema cerrado, entonces:

= q (yacimiento) – q (superficie) (2)

Para el caso de un pozo fluyente:

= 0 (3)

Puesto que lo que aporta el yacimiento es lo que se obtieneen superficie.

q (yacimiento) = q (superficie) (4)


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Para un pozo que opera con sistema artificial, Figura 3.

Figura 3. La diferencia entre el aporte del yacimiento y laproducción del sistema artificial se manifestará como un

cambio de nivel en el espacio anular.

DV /Dt = q (yacimiento) – q (SAP) (5)

Donde:

q (SAP) es la producción en superficie (durante el tiempode referencia) del sistema artificial, por lo que es unavariable conocida.

DV /D

t se puede determinar conociendo el comportamientode Dn.

q (yacimiento) se puede calcular al conocer las demásvariables.

D es el nivel dinámico del aceite en las tuberías

Dt es el cambio en el tiempo

Despejando q (yacimiento):

q (yacimiento) = q (SAP) + (6)

Considerando DV/ Dt en función del nivel dinámico en elespacio anular

(7)

Donde:

= Área del espacio anular, (cte)


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=

es el cambio de nivel referenciado a un intervalode tiempo

Entonces:

(8)

Tomando en cuenta la ecuación 8, se propone entoncesuna prueba que permita medir la variación de nivel yla producción del sistema artificial durante periodos detiempo controlados. Así mismo, aplicando el concepto decolumna hidrostática equivalente, se puede determinar lapresión fluyente de fondo p

wf.

Así pues, calculando varios puntos del gasto instantáneo

del yacimiento y la presión de fondo fluyendo, es posibleobtener los parámetros necesarios para ajustar esos puntosa un modelo de comportamiento de afluencia.

Para el caso del índice de productividad J, para yacimientosbajosaturados, con un par de puntos de p

wf,q

o , se

determinará J y pws

.

En el caso del índice de productividad relativo de Vogel,para yacimientos saturados:

Con un par de puntos de pwf ,

qo,

se determinará qo max

y pws

Metodología para determinar el aporte

del yacimiento en pozos que operan consistema artificial

El desarrollo de la prueba requiere de un equipo de mediciónen superficie, de una pistola de ecómetro y de muestreoconstante a la salida del equipo de medición.

La prueba requiere tomar una serie de datos de nivelcontra producción del sistema artificial y muestras del corte

de agua, para así determinar, con buena precisión, variasparejas de puntos de q

yac vs p

wf .

Para el caso de t 0, considerando que el sistema artificial ha

operado por un tiempo suficiente como para que el niveldinámico n

0 se encuentre estabilizado, se entiende que:

qy = q

SAP

Por lo que a ese tiempo de referencia se tomará un ecómetropara obtener n

0 y así obtener el primer punto p

wf0 , q

yac0,

donde qyac0

es igual a qSAP0

.

Posteriormente, se generará un cambio en las condiciones

de operación con la finalidad de alterar el equilibrio del niveldinámico y se tomarán una serie de ecómetros a intervalosde una hora cada uno (pudiendo ser mayor, pero siempreigual entre disparo y disparo), buscando medir los cambiosde nivel referenciándolos a un Dt constante.

Expresando la ecuación 1 en términos de la informacióndisponible, para el primer disparo:

(9)

donde:

qy

= es la producción del yacimiento en [bpd ].

qSAP

= es el gasto medido del sistema artificial duranteel tiempo entre disparo y disparo, proyectado a24 horas.

Dt = es el tiempo entre disparo y disparo; para estecaso será igual a una hora.

n = es el nivel dinámico de aceite medido con elecómetro.

Posteriormente, se repetirá el disparo del ecómetro sincambiar las condiciones de operación del sistema artificial,obteniendo así un segundo dato para el aporte delyacimiento y la presión de fondo:

(10)

Se recomienda que al menos se generen tres disparos paraevaluar los niveles con mayor certidumbre y garantizar quemuestre una tendencia a la baja (en caso de abatir nivel), o

a la alta (en caso de recuperar nivel).

El modelo será válido hasta que Dn sea igual otienda a cero, lo que significará que qy

n= q

SAP1

y nuevamente se alcanzó una condición de estabilidad.Esto se cumplirá siempre que el nivel dinámico logremantenerse por encima de la profundidad de la bomba, sino resultará que qy

n< q

SAP1.


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Para el cálculo de la presión de fondo fluyente pwf

asociadaal nivel, se toma el nivel promedio entre cada prueba paracalcular la presión hidrostática, obteniendo así una p

wf

equivalente y asociada al qy gasto calculado aportado por

el pozo.

Lo anterior derivará en una serie de parejas de datosde q

yaccontra p

wf , permitiendo así adaptar un modelo

de comportamiento de afluencia al pozo que opera consistema artificial.

Cálculo del comportamiento de afluencia

Para el cálculo de los parámetros pws

, J (yacimientobajosaturado) y q

omax (yacimiento saturado), se requiere

solamente una pareja de datos de qyac

contra pwf

, por

lo cual se procede a despejar la pws de los modelos decomportamiento de afluencia.

Para yacimientos bajo saturados:

(11)

(12)

Para yacimientos saturados:

(13)

(14)

Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a un punto y el puntosiguiente.

A partir de ello, se pueden trazar las curvas delcomportamiento de afluencia para el pozo en estudio.

Optimización del sistema artificial

Una vez conocida la forma de la curva del comportamientode afluencia, se puede identificar el aporte máximo del pozoen función de la profundidad de la bomba. Esto se lograasociando la p

w , con la altura de la columna hidrostática

equivalente, donde la profundidad de la bomba será de unaaltura de la columna de fluido de determinada densidadque ejerce una presión hidrostática a la formación de p

wf .

Entonces, en la curva de comportamiento de afluencia, ala p

wf encontrada, se tendrá el aporte máximo del pozo que

opera con un sistema artificial, Figura 4.

Figura 4. Curva de IP contra profundidad (por presión hidrostática equivalente),mostrando que el máximo aporte del SAP se obtiene al mantener el nivel estabilizado

lo más cercano a la profundidad de la bomba.


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Una vez conocido el comportamiento de afluencia, sepueden analizar el aporte y el nivel del pozo para optimizar

las condiciones de operación y llevarlas al punto de máximarecuperación del yacimiento, Figura 5.

Figura 5. Cambio de condiciones de operación en un pozo con bombeo mecánico.

Conclusiones

El concepto de presión hidrostática equivalente resultamuy conveniente para caracterizar los pozos fluyentes,intermitentes y los no fluyentes. Así mismo, con la ayuda de

un ecómetro se puede evaluar la presión de fondo cerraday fluyente. Por otro lado, al entender que el pozo es unsistema cerrado, los cambios de nivel en el espacio anularson indicadores de la diferencia entre lo que produce elsistema artificial y lo que aporta el yacimiento.

La prueba propuesta se ve favorecida por su simplicidad; sinembargo, requiere que se cumplan ciertas condiciones conrespecto al estado mecánico del pozo:

1. Es necesario que el espacio anular se encuentre

comunicado con la formación para poder evaluarel nivel dinámico.

2. La tubería de producción no debe presentar roturaso comunicación con la TR a la profundidad en quese localiza la bomba.

3. Tal como se presenta, el método propuesto esaplicable para pozos que operan con bombeo

mecánico, bombeo electro centrífugo y bombeode cavidades progresivas.

4. Aplicando ciertas consideraciones es válido paracalcular el empo de recuperación de un pozo de

bombeo neumáco intermitente. En consecuencia,también permite calcular el comportamiento deauencia de ese po de pozos.

Nomenclatura

qy = gasto del yacimiento calculado con el modelo

qsap

= aporte del sistema artificial

J = índice de productividad lineal

ni = nivel dinámico al tiempo i

Referencias

1. Brown, K. y Beggs, D. 1977. The Technologyof Artificial Lift Methods. PennWell PublishingCompany.


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2. Gallice, F. y Wiggins, M.A. 1999. Comparison ofTwo-Phase Inflow Performance Relationships.Artículo SPE 52171, presentado en SPE Mid-Continent Operations Symposium, OklahomaCity, Oklahoma, EUA, marzo 28-31.

http://dx.doi.org/10.2118/52171-MS.

3. McCoy, J.N., Podio, A.L. y Huddleston, K.L. 1988.Acoustic Determination of Producing BottomholePressure. SPE Form Eval 3 (3): 617-621. SPE-14254-PA. http://dx.doi.org/10.2118/14254-PA.

4. McCoy, J.N., Podio, A.L., Huddlestone, K.L., etal. 1985. Acoustic Static Bottomhole Pressures.Artículo SPE 13810, presentado en SPE

Production Operations Symposium, OklahomaCity, Oklahoma, EUA, marzo 10-12.http://dx.doi.org/10.2118/13810-MS.

5. Vogel, J.V. 1968. Inflow Performance Relationship

for Solution-Gas Drive Wells. J. Pet Tech 20 (1):83-92. SPE-1476-PA.http://dx.doi.org/10.2118/1476-PA.

6. Wiggins, M.L., Russell, J.E. y Jennings, J.W. 1996.Analytical Development of Vogel-Type InflowPerformance Relationships. SPE J. 1 (4): 355-362.SPE-23580-PA.http://dx.doi.org/10.2118/23580-PA.

Semblanza


Ingeniero Petrolero egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México, se graduó en el año 2011 con menciónhonorífica.

Se ha desarrollado como Supervisor de Campo (puesto que actualmente ocupa), en los Activos de Producción PozaRica - Altamira (APPRA), y Aceite Terciario del Golfo (ATG), así como Ingeniero de Diseño de Sistemas Artificiales en elAPPRA, siendo responsable de emitir los diseños y recomendaciones para todas las intervenciones con y sin equipo de

los sectores Poza Rica, San Andrés y Faja de Oro.

En el año 2012 presentó el trabajo “Una nueva metodología para calcular el comportamiento de afluencia en pozos queoperan con sistema artificial”, en las Jornadas Técnicas de la AIPM, Delegación México. Así mismo, en 2013 asistió alTaller ARPEL de “Tecnologías para el rejuvenecimiento de campos maduros” por su trabajo de “Mejores prácticas paramaximizar el valor de la instalación, operación y reparación de los pozos con sistema artificial de bombeo mecánico ybombeo de cavidades progresivas en campos maduros”, en la ciudad de Bucaramanga, Colombia.


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648 | Ingeniería Petrolera VOL. 53 No. 11, NOVIEMBRE 2013 · ISSN 0185-3899

Caracterización de yacimientos naturalmente fracturados analizando datos

de producción, caso Caparroso–Escuintle-Pijije


Ing. Oscar Morán Ochoa

Pemex

Información del artículo: Recibido: enero 2013–aceptado: noviembre de 2013

Resumen

Se presenta la aplicación de técnicas y procedimientos sencillos, prácticos y novedosos que permiten la caracterizacióndinámica de un yacimiento naturalmente fracturado y diagnosticar sus condiciones actuales de explotación. Estas técnicas sebasan en la aplicación de estadística y análisis de datos de producción.

A las técnicas establecidas se le aplicaron modificaciones que mejoran lo establecido, como son:

• La adaptación de las ecuaciones de tiempo de balance de materia para contabilizar la entrada de agua al yacimiento

• Normalización de la producción máxima de los pozos en función del tiempo o período de explotación, al aplicar elmétodo de Nelson para clasificar el medio poroso.

• Generación de gráficas estadísticas comparativas

Palabras clave: Rendimiento fracturado embalse, material tiempo equilibrado, el análisis de la producción moderna,accionamiento hidráulico, análisis de parcelas especializadas.

Characterization of naturally fractured reservoirs analyzing production data,

case - Escuintle - Caparroso – Pijije

Abstract

Presents the application of simple and practical techniques as well as novel procedures for the dynamic characterization of anaturally fractured reservoir and diagnosis of its current operating conditions.

These techniques are based on the application of statistics and analysis of production data.

Were applied modifications to standard techniques to improve to:

• Adapting equations of material balance time to estimate the reservoir water inflow.

• Classify the porous medium applying the method of Nelson through the normalization of high well production vs.time or period of operation.

• Comparative statistics through specialized plots analysis.

Keywords: Fractured reservoir performance, material balanced time, modern production analysis, Hydraulic drive, Specializedplots analysis.

Artículo arbitrado


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Ing. Rafael Pérez Herrera, Ing. Oscar Morán Ochoa, Ing. Manuel Antonio Olán Zárate


Introducción

El complejo es un tren estructural formado por loscampos Caparroso, Escuintle y Pijije (CEP), los cuales estándelimitados por fallas inversas con orientación NW–SE. Las

rocas productoras son calizas altamente fracturadas debidoa fuertes intrusiones de sal.

La producción del Complejo Caparroso–Escuintle-Pijije sedivide en cuatro etapas:

Etapa 1 (1987-1992): Inicia el desarrollo del campoincorporando en promedio dos pozos por año. Alcanzó unaproducción máxima de 15 mbpd.

Etapa 2 (1992-2001): 10 pozos productores. Plataforma deproducción entre 15 y 20 mbpd.

Etapa 3 (2001-2008): Inicia el desarrollo hacia el bloquenorte del Campo Pijije. Dos pozos con producción superior alos 4 mbpd, (Pijije-2 y Pijije-22).

Etapa 4 (2004-2013): Inicia el desarrollo intensivo haciael bloque norte del Campo Pijije. Incorporación de pozos,resultando en una producción mayor a los 10,000 bpd (Pijije101 y Pijije 103), producción máxima alcanzada de 69.1mbpd, (julio de 2011).

El comportamiento histórico de la producción del Complejose muestra en la Figura 1.

La presión inicial del yacimiento fue de 822 kg/cm2 en mayode 1982. Actualmente la presión del yacimiento es 430 kg/cm2 y produce del orden de los 26.5 mbpd, con 13 pozos.

Figura 1. Comportamiento de la producción.

El objetivo de este trabajo es proponer técnicasy procedimientos estadísticos novedosos para lacaracterización dinámica de un yacimiento naturalmentefracturado, y diagnosticar sus condiciones actuales deexplotación.

Estas técnicas y procedimientos estadísticos aplicadospermiten definir:

•

Volumen original de hidrocarburos.• Volumen de hidrocarburos móvil o recuperable de

acuerdo a la estrategia actual de explotación.

• Características y grado de heterogeneidad del

medio poroso.

• Gasto óptimo de producción para un yacimiento.


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Caracterización de yacimientos naturalmente fracturados analizando datos de producción, caso Caparroso–Escuintle-Pijije, p.p.648-666


Se presentan metodologías especiales, modificadas yadaptadas a las características del caso.

Desarrollo

Para entender el comportamiento del yacimientoCaparroso–Escuintle–Pijije, es necesario tener presente laclasificación de los yacimientos carbonatados en funcióndel medio poroso y el tipo de fluido, tomando en cuentalas características que controlan la recuperación final dehidrocarburos:

1. Yacimientos de aceite pesado y viscoso, en los cualesel factor de recuperación está controlado por lasvariaciones de viscosidad del fluido, tamaño delyacimiento y aplicación de la perforación horizontal.

2. Yacimientos de aceite en carbonatos fracturados, enlos cuales el factor de recuperación está controladopor la intensidad de las fracturas, permeabilidad dela matriz, mojabilidad y los mecanismos de empuje.

3. Yacimientos de aceite en carbonatos convencionales,en los cuales el factor de recuperación está controladopor la conectividad del yacimiento, permeabilidad yrelación de movilidades.

4. Yacimientos de aceite en crecimientos orgánicos, enlos cuales el factor de recuperación está controladopor la naturaleza y el tamaño de los crecimientosorgánicos y sus modificaciones diagenéticas.

5. Yacimientos de gas y condensado, en los cuales elfactor de recuperación está determinado por laentrada de agua y depositación de condensados.

El tipo 2 corresponde al yacimiento Caparroso - Escuintle- Pijije.

Los métodos y análisis que se desarrollaron en este trabajopresentan un amplio espectro de aplicación para yacimientosnaturalmente fracturados, de acuerdo al sistema poroso ypara el tipo de yacimientos de aceite que tienen presionessuperiores a la de saturación, para yacimientos volumétricos

y con entrada de agua.

A continuación se describe la aplicación de los conceptos ymétodos de:

a) Tiempo de balance de materia

b) Métodos de clasificación del sistema poroso enfunción de la distribución estadística del gastomáximo por pozo.

c) Normalización de la producción máxima de

los pozos en función del tiempo o período deexplotación, al aplicar la metodología de Nelsonpara clasificar el medio poroso.

d) Métodos gráficos para estimar el gasto óptimopor yacimiento.

Se aplicaron a un yacimiento naturalmente fracturadoperteneciente al Activo de producción Samaria–Luna y enparticular al proyecto Delta del Grijalva. El yacimiento estácompuesto por los campos Caparroso, Escuintle y Pijije, esteúltimo es de mayor productividad.

Las técnicas de análisis de datos de producción aplicadasson eficaces y oportunas para la toma de decisiones, debidoa que se pueden programar y/o aplicar en el corto plazo.

Un análisis gráfico simple del comportamiento históricode la productividad promedio por pozo indica la calidaddinámica de flujo de un yacimiento, la cual, analizadaadecuadamente, permitirá tomar decisiones oportunaspara optimizar la productividad del yacimiento, Figura 2.


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1. Tiempo de balance de materia

La cantidad N p /Q

o se conoce como tiempo de balance de

materia, el cual se aplica rigurosamente para yacimientoscon flujo dominando la frontera externa, y representa

una muy buena aproximación para flujo transitorio. Acontinuación se muestran las ecuaciones matemáticas delTiempo de Balance de Materia (TBM), para dos casos:

a) Yacimiento volumétrico bajosaturado.

b) Yacimiento con entrada de agua bajosaturado.

a) Análisis del tiempo de balance de materia en función de

la caída de presión, yacimiento volumétrico, bajosaturado.

La expresión matemática que define al TBM, (ref. 3) es:

(1)

La expresión anterior representa la ecuación de una línearecta, donde:

(2)

La pendiente m de la recta se expresa por medio de la Ec. 3:

(3)

La ordenada al origen,

(4)

El tiempo de balance de materia se define como:

(5)

Figura 2. Comportamiento de la productividad promedio por pozo.


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b) Análisis del tiempo de balance de materia en función

de la caída de presión, yacimiento con entrada de agua,

bajosaturado

Con base en la ecuación para un yacimiento volumétrico

bajosaturado, se desarrolló una ecuación que considera lapresencia de un acuífero, (entrada de agua):

(6)

Donde la entrada neta del agua al yacimiento se definecomo:

(7)

La aplicación del método de tiempo de balance de materiaconsiste en los siguientes pasos:

1. Selección de la historia de producción, delintervalo de análisis para cuando el gasto es

aproximadamente constante

2. Generar una gráfica de diagnóstico (P i –P

wf )/Q

o vs

N p /Q

o en escala doble logarítmica.

3. Si se observa pendiente unitaria implica uncomportamiento de flujo en el yacimientodominado por las fronteras, Figura 3. Por lo tanto,es posible estimar el volumen del yacimiento, encaso contrario no aplica este método de TBM.

Figura 3. Gráfica especializada, (tiempo de balance de materia).

Aplicando el concepto de tiempo de balance de materia,para este caso de un yacimiento de aceite ligero con presiónmayor a la de la burbuja, se determinó que el volumenoriginal de hidrocarburos es del orden de los 900 MM bls @c.s., (inverso de la pendiente de la recta de ajuste), Figura 4.

El volumen de hidrocarburos a recuperar está en función delos ritmos de explotación, debido a que se altera la eficienciade desplazamiento a nivel de poro. Mediante el método detiempo de balance de materia y otras gráficas especializadasse estima que el volumen de hidrocarburos móvil orecuperable de acuerdo a la estrategia actual de explotaciónserá no mayor a los 260 MM bls @ c.s. (N

p máxima).


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Figura 4. Tiempo de balance de materia. Gasto aproximadamente constante.

La Figura 5 compara el comportamiento del gasto contrala producción acumulativa de aceite, observándose dostendencias de ajuste. La primera corresponde al período degasto de aceite aproximadamente constante y la segundacorresponde al período de declinación máxima. Del primerajuste se nota que la extrapolación de los datos (líneapunteada) hasta cruzar el eje horizontal, proporciona un

valor de N p máxima de 300 MM bls. Del segundo ajuste

(declinación máxima), la extrapolación de los datos hasta eleje horizontal proporciona un valor de N

p máxima de 250

MM bls. Esto implica notablemente que la recuperaciónde hidrocarburos sería mayor (50 MM bls adicionales), siel yacimiento se hubiera explotado con una plataforma degasto aproximado de 20 000 bpd.

Figura 5. Gráfica especializada. Determinación de la Np máxima.


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Otro método de análisis con base en el tiempo de balancede materia se muestra en las Figuras 6 y 7, en las que segrafica el comportamiento de 1/Q

o vs N

p/Q

o para los datos

del yacimiento. De acuerdo a la literatura (ref. 2), del inversode la pendiente de la línea recta de ajuste de los datos se

obtiene la N p máxima. La Figura 6 muestra el caso para el

período histórico de gasto estable en donde se obtieneuna N

p máxima de 368 MM bls. La Figura 7 corresponde

al período histórico de declinación máxima del gasto, en elcual se obtiene una N

p máxima de 243 MM bls.

Figura 6. Tiempo de balance de materia. Determinación dela Np máxima. Período de gasto estable.

Figura 7. Tiempo de balance de materia. Determinación dela Np máxima. Período de gasto a máxima declinación.


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Apoyados en el comportamiento del flujo fraccionalde aceite vs N

p, Figura 8 se generó una gráfica de N

p

máxima vs flujo fraccional de aceite, Figura 9. Con baseen esta figura se puede determinar que para recuperar lareserva original estimada (N

p máxima de 300 MM bls), se

requerirá manejar en el campo flujos fraccionales de aguade 60% (flujo fraccional de aceite de 40%). Esta gráfica dediagnóstico (ref. 2), permite planear con anticipación losrequerimientos de infraestructura que se necesiten para laproducción futura.

Figura 8. Flujo fraccional de aceite vs Np.

Figura 9. Np máxima vs flujo fraccional de aceite.


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II. Caracterización dinámica del sistemaporoso

La clasificación de los yacimientos fracturados de acuerdo aNelson (ref. 4), es:

Tipo I: Las fracturas proporcionan la capacidad dealmacenamiento y la permeabilidad en el yacimiento. Lamatriz tiene poca porosidad o permeabilidad.

Tipo II: La matriz proporciona principalmente la capacidadde almacenamiento y las fracturas proporcionanesencialmente la permeabilidad en el yacimiento. La matriztiene baja permeabilidad pero puede tener baja, moderadao aún alta porosidad.

Tipo III: Las fracturas participan en la permeabilidad en unyacimiento que tiene buena porosidad y permeabilidadde matriz.

Tipo IV: Pozos con bajo comportamiento, acorde a la

capacidad de la matriz, las fracturas crean barreras de flujo.

Al definir las características y grado de heterogeneidad delmedio poroso del yacimiento, se determinó que es altamenteheterogéneo; apoyándose en gráficos de la distribución delgasto máximo por pozo, Figuras 10, 11, 12 y 13. Para el casodel análisis conjunto de todos los campos del Complejo, sedefine una distribución fuertemente asimétrica, con unadesviación de datos extendida aproximadamente cuatroveces el valor de la mediana del gasto de producciónmáximo, lo cual es indicativo de una alta heterogeneidad,Figura 10.

Figura 10. Distribución del gasto máximo por pozo,total Complejo.

Figura 11. Distribución del gasto máximo por pozo,Campo Caparroso.

Figura 12. Distribución del gasto máximo porpozo, Campo Escuintle.


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Figura 13. Distribución del gasto máximo por pozo,Campo Pijije.

De acuerdo a los análisis de caracterización dinámica delsistema poroso, el Complejo Caparroso–Escuintle–Pijije seencuentra entre el tipo II y I, con tendencia hacia el tipo I deacuerdo a la clasificación de Nelson. En este método gráficose compara el % de N

p vs % de pozos ordenados. El grado de

heterogeneidad del yacimiento se estima en función de la

diferencia de la curva de comportamiento con respecto alde una línea recta (coeficiente de asimetría), Figuras 14, 15,16 y 17. Se desarrolló un nuevo método gráfico adaptado apartir de Nelson, aplicando el concepto de N

p normalizada

en función del tiempo, el cual también indica que se trata deun yacimiento con tendencia hacia el tipo I, Figura 18.

Figura 14. Caracterización dinámica del sistema poroso,Campo Caparroso.

Figura 15. Caracterización dinámica del sistema poroso,Campo Escuintle.


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Figura 16. Caracterización dinámica del sistema poroso,Campo Pijije.

Figura 17. Caracterización dinámica del sistema poroso,total complejo.

Figura 18. Caracterización dinámica del sistema poroso, Npnormalizada. total complejo.

De acuerdo a este análisis, este tipo de yacimientos presenta

las características siguientes:

a) Declinación rápida después de alcanzar el gasto máximob) Entrada temprana de agua (requiere control de gastos

de producción)c) Cierre de fracturas en el yacimiento (alta presión)d) Factor de recuperación difícil de determinar y bastante

variablee) Muchos pozos de desarrollo agregan gasto, pero no

reserva adicional

Otra forma de determinar el grado de heterogeneidad delyacimiento se logra al estimar la interferencia entre pozos,graficando profundidad de la cima del intervalo disparadoen cada pozo vs la producción acumulada de aceite (Np).La Figura 19 muestra que los pozos encerrados en la elipserepresentan el 30% del total, los cuales han recuperado el80 % de la producción acumulada de aceite, resultado quees característico de un yacimiento tipo I.


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Figura 19. Interferencia entre pozos, Campo Pijije.

III. Diagnóstico de las condiciones deexplotación de los yacimientos

Para el diagnóstico de las condiciones de explotaciónde los yacimientos se aplicaron una serie de métodosestadísticos gráficos; estos métodos que a continuación sepresentan y desarrollan, permiten obtener una estimación

para la reserva remanente del gasto de producción óptimopara un yacimiento en función del volumen original dehidrocarburos y/o la reserva remanente, del potencial actualde los yacimientos y de la eficiencia en la recuperación delos hidrocarburos en función de la terminación de los pozos.

En los primeros métodos se utiliza la información de variosyacimientos del sistema, con características similares enfunción del tipo de fluido y del medio poroso.

La Figura 20 muestra el comportamiento del gasto de

aceite vs la reserva remanente. La línea “A” resultantedel ajuste de los puntos (cuadrados), en el período deproducción controlada indica que bajo estas condiciones deexplotación, la recuperación total de aceite sería mayor a lareserva oficial.

Figura 20. Estimación de la reserva remanente,total complejo.


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En la Figura 22 se muestra un diagrama de barras, en dondese compara el potencial de los yacimientos del ComplejoCaparroso–Escuintle–Pijije, con otros campos del proyectoDelta del Grijalva en función de los barriles que se producen

actualmente con respecto a la reserva probada (1P)remanente. De acuerdo a este análisis, el Campo Escarbadotendría el mejor rendimiento de barriles producidos porcada barril de reserva 1P.

La línea “B” resultante del ajuste de los puntos (círculos),en el período de declinación máxima, que es la estrategiaactual de explotación a gasto máximo, indica que la reservano se podrá recuperar debido a que se redujo la eficienciade desplazamiento de los hidrocarburos en el yacimiento.

Otro análisis interesante es el comparativo del gastomáximo histórico contra el volumen original de aceite @c.s., del Complejo Caparroso-Escuintle-Pijije y yacimientosgigantes del sistema petrolero mexicano, Figura 21, seobserva la tendencia alineada de los campos, con pendiente

unitaria. Se concluye que existe una relación directa entre elvolumen original del yacimiento y su gasto máximo.

Figura 21. Gasto máximo vs volumen original deaceite, yacimientos del sistema.

Figura 22. Potencial de los yacimientos, reserva 1P.


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El comparativo del gasto máximo histórico contra el volumenoriginal de aceite @ c.s., para el Complejo Caparroso–Escuintle–Pijije y otros yacimientos de Delta del Grijalvacon propiedades de los fluidos muy semejantes, se muestraen la Figura 23; se observa perfectamente la tendencia no

alineada de los campos Terra, Sen y en particular al Complejo

Caparroso–Escuintle–Pijije. Esta tendencia está acorde conlas estrategias de explotación de gasto máximo a las que sesometieron estos campos. Los demás campos se explotarona un gasto moderado, por lo tanto, no existe una relacióndirecta entre el volumen original y el gasto máximo.

En la Figura 24 se compara el gasto máximo histórico contrala reserva probada de aceite, del Complejo Caparroso–Escuintle–Pijije y otros yacimientos de la Región Sur. Se

observa que el Complejo Caparroso–Escuintle–Pijije ajustaa la tendencia general.

Figura 23. Gasto máximo vs N. Delta del Grijalva.

Figura 24. Gasto máximo vs reserva probada de aceite, yacimientos de la Región Sur.


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Figura 26. Gasto actual vs reserva remanente 1P, Delta del Grijalva.

El gasto máximo histórico contra la reserva probada deaceite, para el Complejo Caparroso–Escuintle–Pijije y otrosyacimientos de Delta del Grijalva se muestra en la Figura25. Se observa que el complejo Caparroso–Escuintle–Pijije

al igual que el Campo Terra se salen de la tendencia normal:debido a que en estos yacimientos se ha aplicado laestrategia de explotación de gasto máximo.

Figura 25. Gasto máximo vs reserva probada de aceite, Deltadel Grijalva.

De igual forma, la Figura 26 compara el gasto de producciónde aceite actual contra la reserva probada remanentede aceite, para yacimientos de Delta del Grijalva. La líneapunteada indica la tendencia del gasto óptimo en funciónde la reserva remanente, la cual se determinó de un análisis

estadístico de varios campos petroleros de México, loscuales se han explotado en forma regulada óptima. Loscampos que se encuentran arriba de esta tendencia hanreducido su eficiencia de desplazamiento de hidrocarburos.


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Figura 28. Np por pozo vs espesor abierto al flujo, Campo Pijije.

Para definir la eficiencia de la recuperación de hidrocarburosen función del tipo de terminación de los pozos, segeneró la Figura 27 en la cual se compara la producciónacumulada (MM bls) por cada metro abierto al flujo vs eltipo de terminación (tubería de revestimiento ranurada,

agujero descubierto, y disparos). Se determina medianteeste análisis que existe mayor eficiencia de recuperaciónde hidrocarburos al conectar al yacimiento con el pozomediante disparos.

Finalmente, en la Figura 28 se muestra el comportamientode la producción acumulada por pozo vs el espesorabierto al flujo, para el caso de terminación del pozo enagujero descubierto en el Campo Pijije. El comportamientomuestra un valor máximo en la producción acumulada

por pozo, el cual indica que el espesor máximo abierto alflujo recomendable para maximizar la recuperación dehidrocarburos es de 200 m.

Figura 27. Producción vs espesor abierto al flujo en función

del tipo de terminación, Campo Pijije.


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Conclusiones

Dentro de las contribuciones más importantes de estetrabajo, se aplicaron modificaciones a las técnicasestablecidas para mejorarla como son: a) La adaptación

de las ecuaciones de tiempo de balance de materiapara contabilizar la entrada de agua al yacimiento, b)Normalización de la producción máxima de los pozos enfunción del tiempo o período de explotación, al aplicar elmétodo de Nelson para clasificar el medio poroso.

Con base en la aplicación del tiempo de balance de materia,el volumen original de hidrocarburos en el Complejo CEP esdel orden de los 900 MM bls @ c.s.

El ritmo de explotación en un yacimiento naturalmente

fracturado incide en el factor de recuperación finalde hidrocarburos, debido a que se afecta la eficienciade desplazamiento a nivel de poro. El volumen dehidrocarburos móvil o recuperable en el Complejo CEPde acuerdo a la estrategia actual de explotación a gastomáximo (Np máximo) será del orden de los 260 MM bls@ c.s. que implica una reducción en la recuperación de lareserva original del 13%.

La caracterización del medio poroso mediante laaplicación de las gráficas de diagnóstico en función de ladistribución del gasto máximo por pozo indica que es un

medio altamente heterogéneo De acuerdo a los análisis decaracterización dinámica del sistema poroso, el complejoCaparroso-Escuintle-Pijije se encuentra entre el tipo II y I,con tendencia hacia el tipo I, de acuerdo a la clasificaciónde Nelson adaptada (% máximo de N

p normalizada vs %

pozos ordenados).

Este resultado implica que la comunicación limitada entrela porosidad de la fractura y la matriz conduce a unarecuperación reducida de hidrocarburos de la matriz. Espoco factible la recuperación secundaria de hidrocarburosde la matriz.

El análisis estadístico-gráfico que se presenta en estetrabajo permite estimar el gasto de producción óptimopara un yacimiento en función de su volumen original dehidrocarburos y/o su reserva remanente.

Nomenclatura

A = área (pie2)

b = ordenada al origen

Bo = factor de volumen del aceite @ Py, Ty (bls @c.y./bls @c.s.)

Boi

= factor de volumen del aceite original @ Pi, Ty(bls @c.y./bls @c.s.)

Bw

= factor de volumen del agua @ Py, T

y (bls @c.y./

bls @c.s.)

CA = factor geométrico

ct = compresibilidad total del sistema (psi-1)

ey = constante de Euler

h = espesor de la formación (pie)

k = permeabilidad efectiva (md)

m = pendiente de la recta

MM bls = millones de barriles

N = volumen original de aceite (MM barriles)

Np = producción acumulada de aceite (MM barriles)

Pwf = presión de fondo fluyendo (kg/cm2)

Pi = presión inicial del yacimiento (kg/cm2)

Py = presión del yacimiento (kg/cm2)

Qo = gasto de aceite (barril/día)

rw = radio del pozo (pie)

S = daño

t = tiempo de balance de materia (días)

Ty = temperatura del yacimiento

μo = viscosidad del aceite (cp)

We = entrada de agua del acuífero (MM barriles)

Wen = entrada neta de agua de acuífero (MM barriles)

Wp = producción acumulada de agua (MM barriles)

Δp = diferencia de presión (kg/cm2)

˜


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Agradecimientos

Agradezco al personal técnico de la Coordinación de Diseñodel proyecto Delta del Grijalva por todas las facilidadesproporcionadas para la realización de este trabajo.

Referencias

Blasingame, T.A. 2006. Performance-Based ReservoirCharacterization-State-of-the-Technology. Presentadocomo SPE distinguished 2005-06 lecturer season. http://www.pe.tamu.edu/blasingame/data/z_zCourse_Archive/P663_09B/P663_09B_Reference/060420_TBlasingame_SPE_DL_Pres_(60_min_version).pdf(descargado 2 de enerode 2013).

Bondar, V.V. y Blasingame, T.A. 2002. Analysis andInterpretation of Water-Oil-Ratio Performance. Artículo SPE77569, presentado en SPE Annual Technical Conference and

Exhibition, San Antonio, Texas, EUA, septiembre 29-octubre2.http://www.pe.tamu.edu/blasingame/data/0_TAB_Public/TAB_Publications/SPE_077569_(Bondar)_WOR_Analysis.pdf (descargado 2 de enero de 2013).

IIk, D., Anderson, D.M., Stotts, G.W.J., Mattar, L. y Blasingame,T.A. 2010. Production-Data Analysis- Challenges, Pitfalls,Diagnostics. SPE Res Eval & Eng 13 (3): 538-552. SPE-102084-PA. http://dx.doi.org/10.2118/102048-PA.

Morán Ochoa, O. 2012. Caracterización de YacimientosNaturalmente Fracturados Mediante el Análisis de Datos deProducción. Foro Técnico de Intercambio de Experienciasen Yacimientos Naturalmente Fracturados. Villahermosa,Tabasco, octubre.

Narr, W., Schechter, D.S. y Thompson, L.B. 2006. Naturally

Fractured Reservoir Characterization. Richardson, Texas:SPE.

Semblanza de los autores


Ingeniero Petrolero egresado de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura del Instituto Politécnico Nacional,

obteniendo su título en julio de 1988.

Ingresó a Petróleos Mexicanos en febrero de 1988, asignado a un programa de inducción de un año de duración en elDistrito Villahermosa.

A partir de febrero de 1989 laboró en el Distrito Comalcalco en el Departamento de Ingeniería de Yacimientos; enfebrero de 1994 colaboró en el Equipo Interdisciplinario Sen de la Superintendencia de Producción del mismo Distrito;en julio de 1997 fue asignado al área de Ingeniería de Yacimientos en el Activo de Producción Luna; de diciembre de2004 a julio de 2008 fue Líder del Proyecto Integral Delta del Grijalva en la Coordinación de Diseño de Explotacióndel Activo Integral Samaria Luna y desde agosto de 2008 a la fecha, se desempeña como Coordinador de Diseño deExplotación del mismo Activo.

Ha efectuado varios estudios de comportamiento primario de los campos petroleros de la Región Sur, de simulaciónnumérica de yacimientos y de caracterización de fluidos. De mayo del 2000 a octubre del 2001 fue comisionado a laCiudad de Denver, Colorado, para supervisar el estudio integral del Campo Sen.

Ha participado con la presentación de trabajos técnicos en los Congresos XXXI, XXXII, XXXVII, XXXVIII y XLII de la AIPM;en las Jornadas Técnicas de la AIPM Delegación Villahermosa y Comalcalco.

Es miembro de la AIPM y del CIPM.


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M. en I. Oscar Morán Ochoa

Realizó sus estudios superiores en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. Estudió la

carrera de Ingeniero Geólogo en el período 1983 – 1985 y la carrera de Ingeniero Petrolero en el período 1985 – 1988.Obtuvo el título de Ingeniero Petrolero en mayo de 1989.

De agosto de 1997 a julio de 1999 realizó estudios de Maestría en Ingeniería Petrolera, en el área de yacimientos,en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México,obteniendo el título con mención honorífica.

Ingresó a Petróleos Mexicanos en octubre de 1988 en el Distrito Agua Dulce (actualmente Activo de Producción CincoPresidentes), en el Departamento de Ingeniería Petrolera, realizando actividades en el Área de desarrollo de camposy operación, hasta mayo de 1991.

Posteriormente fue transferido al Departamento de Ingeniería de yacimientos, donde desempeñó actividades en las

áreas de comportamiento primario, explotación de yacimientos y mantenimiento de pozos, hasta julio de 1997. Laboróen el Área de diseño de explotación del Activo de Producción Cinco Presidentes hasta octubre del 2000.

De noviembre del 2000 a junio de 2003 laboró en la Dirección general del Programa estratégico de gas, en la Gerenciade yacimientos y producción, como Especialista en el Área de yacimientos, con sede en Villahermosa, Tabasco.

De julio de 2003 a diciembre de 2008 se desempeñó en la Subdirección de la Coordinación técnica de explotación deyacimientos, en la Subgerencia de modelado de yacimientos de la Gerencia de explotación de yacimientos.

De enero de 2009 a diciembre de 2011 laboró en la denominada Subdirección técnica de explotación, en la Gerencia deproyectos de explotación sur, con sede en Villahermosa, Tabasco. Sus actividades estuvieron enfocadas a la ingenieríade yacimientos y en particular en el área de simulación de yacimientos.

De enero del 2012 a agosto del presente, pertenece a un grupo de especialistas técnicos dependientes de la ahoradenominada Subdirección de gestión de recursos técnicos, apoyando y dando asesoría técnica a personal del ActivoSamaria–Luna, Proyecto Delta del Grijalva.

De septiembre del 2013 a la fecha desempeña el cargo como Encargado de despacho de la Coordinación de gruposmultidisciplinarios de especialistas técnicos de diseño de proyectos, del Activo de producción Litoral de Tabasco,SPRMSO.

Ha presentado trabajos en diferentes foros en México y en el extranjero como los congresos de la Asociación deIngenieros Petroleros, en el Colegio de Ingenieros Petroleros de México, Congreso Mexicano del Petróleo y en laSociety of Petroleum Engineers, (SPE).

Del año 2007 a mayo del 2013 se desempeña como catedrático en la Universidad Olmeca en la carrera de Ingenierodel petróleo y gas natural en el área de yacimientos.


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Ingeniería Petrolera | 667VOL. 53 No. 11, NOVIEMBRE 2013 · ISSN 0185-3899

Método para elaborar una envolvente de fases para mezclas multi-

componente optimizando la solución en la cercanía del punto crítico

Ing. Héctor Erick Gallardo Ferrera

M. en I. Alfredo León García

Dr. Fernando Samaniego Verduzco

UNAM

Información del artículo: Recibido: enero 2013–aceptado: noviembre 2013

Resumen

En este trabajo se discute una metodología para la construcción completa de una envolvente de fases vapor-líquido demanera estable y precisa mediante una modificación al método de Newton-Raphson (N-R). Se presentan algunos casos para la validación de este método, utilizando para ello un algoritmo computacional desarrollado en este estudio parasimplificar los cálculos y facilitar el análisis.

Palabras clave: Equilibrio de fases de fluidos, envolvente de fases, constantes de equilibrio, cálculos flash, cálculos deequilibrio en las cercanías al punto crítico.

A phase envelope constructing method for multi-component mixtures by

optimizing the solution near the critical point

Abstract

This work discusses a stable and accurate methodology for constructing a complete vapor-liquid phase envelope with amodified Newton-Raphson (N-R) method. Some cases are presented for the validation of the method, for which a computeralgorithm was developed to simplify the calculations and facilitate the analysis.

Keywords: Fluid phase equilibria, liquid-vapor phase envelope, K-values, equilibrium constants, flash calculations, nearcritical point equilibrium calculations.

Introducción

Conocer el comportamiento de las fases de los fluidospetroleros es indispensable para poder llevar a cabodiversas actividades en la industria, como el diseño deinstalaciones de producción, la estimación de los volúmenesoriginales de hidrocarburos en un campo, o la simulacióndel comportamiento de los yacimientos, por mencionaralgunas1. Por ello, al ingeniero petrolero le resulta de graninterés contar con un diagrama presión – temperatura (p – T)representativo de los fluidos que existen en un yacimiento,

el cual es esencial para determinar el tipo de yacimiento al

que corresponde el campo en estudio.

Para obtener estas envolventes de fase es necesariorealizar mediciones costosas de laboratorio, empleandoequipos para la realización de experimentos de presión–volumen–temperatura (PVT)2. Aunado a esto, dado quela explotación de un campo petrolero se realiza mediantela extracción de hidrocarburos, los resultados obtenidosen el laboratorio serán estrictamente válidos mientras seconserve la composición de la mezcla utilizada para las

Artículo arbitrado


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Método para elaborar una envolvente de fases para mezclas multi-componente optimizando la solución en la cercanía del punto crítico,p.p.667-682


mediciones. En la práctica, esto únicamente se cumpleen los yacimientos de gas y en los de aceite bajo-saturado, ya que al emerger una nueva fase en la mezclade hidrocarburos, la otra comenzará a experimentar unproceso de empobrecimiento que ocasiona cambios en la

composición de los fluidos del yacimiento1

.

Dadas las herramientas de cómputo actuales (una vezque se cuenta con los resultados de un experimentoPVT representativo de los fluidos de los hidrocarburosdel yacimiento3, 4), es posible, partiendo del análisiscomposicional de los fluidos y caracterizando a la fracciónC

7+, resolver las ecuaciones de equilibrio termodinámico y

generar las envolventes p – T .

Este trabajo presenta una modificación al método de N-Rde una variable para el cálculo del equilibrio de fases en la

vecindad del punto crítico, misma que está basada en elcomportamiento de las constantes de equilibrio y la relaciónentre las fugacidades de los componentes. Otro objetivo esmostrar algunas expresiones requeridas para calcular lafunción derivada del método.

Planteamiento del problema

Se han presentado diversas metodologías en la literaturapara la construcción de envolventes de fases mediante eluso de Ecuaciones de Estado Cúbicas (EDEC’s)5, 6, 7. 8. No

obstante, los cálculos de equilibrio líquido–vapor paramezclas multi-componentes suelen presentar dificultadesen las regiones cercanas al punto crítico, debido a ladificultad para discernir entre una solución única4, 5, 7, 9.

Para corregir los problemas de convergencia en las regionescríticas y retrógradas, es común utilizar métodos iterativosmulti-variables, los cuales generan algoritmos de solución

robustos7. Otra manera de resolver estos problemas seencuentra, para métodos iterativos de una sola variable, alreducir el tamaño del paso de la variable independiente enlas cercanías al punto crítico.

Sin embargo, de acuerdo a la complejidad de la mezclaanalizada, al utilizar el método de N-R es común encontrarque los errores de convergencia persisten pese al tamañodel paso elegido. Esto se debe a la inestabilidad numéricaque puede presentarse en la función derivada utilizada porel método. Adicionalmente, este el método de N-R requierede una correcta inicialización de los paramétros.

Como una alternativa adicional, partiendo del análisis delcomportamiento de las constantes de equilibrio a lo largode la trayectoria descrita por el proceso, se propone el usode una función derivada más estable.

Para facilitar los cálculos requeridos, se desarrolló unaaplicación capaz de calcular la envolvente de fases de unamezcla mediante las EDEC’s de Soave–Redlich–Kwong (SRK)y Peng–Robinson (PR), empleándose los coeficientes deinteracción binaria y de traslación volumétrica reportadospor Whitson y Brulé4.

Análisis del problema

Usualmente el comportamiento de las constantes

de equilibrio se realiza graficándolas en escala doblelogarítmica contra la presión (considerando para ello unatemperatura constante), como se muestra en la Figura1. Este gráfico permite identificar dos característicasnotorias: ( 1 ) Que a bajas presiones la pendiente delas curvas es aproximadamente menos uno, y ( 2 ) queconforme la presión incrementa las constantes tienden aconverger a la unidad.

Figura 1. Comportamiento dealgunas constantes de equilibriodeterminadas a 780°R para un

sistema de hidrocarburos.


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Ing. Héctor Erick Gallardo Ferrera, M. en I. Alfredo León García, Dr. Fernando Samaniego Verduzco


En realidad, las constantes de equilibrio sólo convergen sila temperatura corresponde a la del punto crítico, pues lacomposición de las fases del sistema a estas condicioneses la misma; en otro caso, cuando la temperatura nocorresponde a la del estado crítico de la mezcla, es imposible

que las curvas converjan a una presión.

En la construcción de un diagrama de fases, los cálculosrealizados para determinar las condiciones de equilibriode una mezcla no representan un proceso isotérmico.El objetivo en este caso es determinar las condicionesa las que existe una cierta cantidad de moles en estadolíquido y gaseoso. Usualmente los cálculos flash para

la construcción de un diagrama de fases se inician acondiciones de baja presión y temperatura y se terminanen el punto crítico, por lo que las constantes de equilibrioconvergen a la unidad.

Las Figuras 2a y 2b muestran las gráficas para las constantesde equilibrio a lo largo de la curva de burbujeo de unaenvolvente, mientras que las Figuras 3a y 3b las presentana través de la curva de rocío; puede observarse que, noobstante el efecto de la región retrograda, las constantesconvergen en el punto crítico, y en su vecindad (regióncrítica en adelante), las constantes se encuentran muypróximas entre sí.

(1)

(2)

(3)

(4)

Metodología de cálculo

Partiendo de la composición molar de un mol de la mezcla ( z 1 , z

2 , …, z

n), constituida de 1 - F moles de composición

( x1 , x

2 , … , x

n) en una fase l (líquido) y F moles de composición ( y

1 , y

2 , …, y

n) en una fase v (vapor), las siguientes

expresiones deben ser satisfechas a condiciones de equilibrio de presión y temperatura5:


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El proceso descrito por las Ecs. 1–4 puede expresarse como una combinación lineal de las Ecs. 3 y 4, en función de lasvariables de iteración y las restricciones establecidas para cada solución:

Figura 2. Comportamiento de las constantes de equilibrio para la mezcla 2A en la curva deburbujeo respecto a: a. la temperatura y b. la presión.

(5)

(6)

donde∝ es el vector de variables dependientes, cuya solución describe un punto de la envolvente, y β a las especificaciones:

(7)

(8)


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La Ec. 6 usualmente es referida como la ecuación de Rachford–Rice.

Figura 3. Comportamiento de las constantes de equilibrio para la mezcla 2A en la curva de rocíorespecto a: a. la temperatura y b. la presión.

Simplificando la problemática anterior para, obtener únicamente la curva de los puntos de burbuja (cuando F = 0), se tiene que

(9)

y para la de los puntos de rocío (cuando F = 1), se tiene que

(10)

Para obtener una solución particular, debe agregarse una ecuación de restricción en términos de las variables independientes

(11)

y proponer una estimación inicial ∝(m) del vector solución.


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Partiendo del método iterativo de N-R, se plantea que una mejor estimación del vector solución ∝(m+1) se obtiene por mediode la Ec. 12:

(12)

donde J es la matriz Jacobiana en ∝(m) .

Para asegurar la estabilidad del algoritmo de Michelsen debe usarse la función derivada de mayor magnitud en la iteración,es decir, aquella presente la mayor variación respecto a las variables de presión o temperatura.

Esta metodología puede simplificarse para un algoritmo de iteración de una variable mediante la pendiente adimensional dela envolvente:

(13)

De acuerdo al criterio establecido por Ziervogel y Poling, se asegura que en los cálculos de las presiones de burbuja o de rocíola mayor variación de la función objetivo se tiene respecto a la presión cuando σ20 los cambios mayores

se presentan con respecto a la temperatura. Entonces, la Ec. 12 puede simplificarse para resolver un algoritmo de una solavariable en la forma siguiente:

(14)

en el que la variable de iteración θ es la presión o temperatura que queda libre de la restricción en la Ec. 11. Así, las ecuaciones

requeridas para obtener una solución en el punto de burbuja son las siguientes:

(15)

(16)

y para las soluciones en el punto de rocío,

(17)

(18)


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Los valores de dK i /d θ pueden obtenerse de manera analítica

de las definiciones de las fugacidades para cada EDEC, o deforma numérica mediante diferencias finitas centradas.Aquí debe señalarse que, si bien pueden utilizarse métodosprogresivos o regresivos para obtener el valor de la derivada

de manera numérica, por la inestabilidad asociada no serecomienda su uso para estos problemas.

En el Apéndice A se discute un procedimiento de cálculopara la derivada dK

i /d θ; el Apéndice B incluye las

expresiones requeridas para obtener las derivadas analíticasde la EDEC de SRK (EDEC utilizada durante el análisis deltrabajo de Ziervogel y Poling); y el Apéndice C describe unalgoritmo para el cálculo numérico de la derivada dK

i /d θ

por diferencias finitas centrales.

La convergencia local del método elegido depende de la

elección correcta de la variable a iterar y de la calidad dela estimación inicial del vector de variables dependientes,∝(0), por lo que debe analizarse el comportamiento de lapendiente adimensional de la envolvente p – T previo a cadanuevo cálculo.

Se recomienda iniciar el proceso de construcción de laenvolvente a condiciones de presión y temperatura bajas,donde el método es más estable y converge rápidamentea la solución. Además, dado que a estas condicionesel comportamiento de las constantes de equilibrio es

semejante al ideal, una buena aproximación para elvalor inicial requerido por el algoritmo puede obtenersemediante la correlación de Wilson1, 3, 5, 6, 7, 10. Además, dadoel comportamiento suave de las curvas, se aproxima elvector de soluciones en cada nuevo ciclo iterativo con losresultados de los cálculos previos.

Descripción del proceso

Para calcular una envolvente de fase, se estableció comovariable de iteración inicial a la presión en los cálculos para

la curva de burbujeo, y a la temperatura para los puntos derocío. La aplicación incluyó rutinas para el cálculo analíticoy numérico de las funciones derivadas. La tolerancia sedefinió de 1 × 10-10 lejos del punto crítico, disminuyendo a1 × 10-5 en la región crítica.

La cercanía a la región crítica se determinó en función de los valores de los factores de compresibilidad Z de las fases líquiday vapor, como:

(19)

donde, las vecindades al punto crítico se ubicaron cuando ϖ

tuviera valores menores o iguales a 0.2. Este criterio partedel análisis del comportamiento de fases para componentes

puros (utilizados para probar el programa), como se muestraen la Figura 4.

Figura 4. Envolvente de fase p – Z del n-octano en escala semi-logarítmica, y diagrama de lapresión de vapor.


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El paso de la variable independiente se fijó –en función deϖ – en una unidad (psia o °R según el caso), disminuyendo

hasta 0.5 unidades en la región crítica. Las coordenadas delpunto crítico se encuentran mediante la intersección de lascurvas de rocío y burbuja.

El algoritmo de cálculo puede resumirse en los siguientespasos:

1. Determinar la región de cálculo (ϖ, iniciar con unvalor lejano a 0).

2. Calcular al menos seis puntos mediante un métodode substitución sucesiva para comenzar con unbuen estimado para el algoritmo de N-R.

3. Elegir la variable de iteración para el método de

N-R mediante la pendiente adimensional. Si σ < 2usar a la presión, y si σ < 20 a la temperatura.

4. Establecer las condiciones flash, fijando un valorpara la variable independiente (τ), y proponiendo

uno para la variable de iteración (θm).

5. Proponer un valor para las constantes deequilibrio de los componentes de la mezcla. Parael primer cálculo puede utilizarse la correlaciónde Wilson y posteriormente se usan los últimos

valores obtenidos del proceso de iteración comonuevo supuesto.

6. Calcular la composición de las fases ( x e y ).

7. Calcular los factores de compresibilidad ( Z ) yfugacidades de las fases mediante una EDEC. Losfactores de compresibilidad de cada fase deberánseleccionarse de acuerdo a los criterios de mínimaenergía libre de Gibbs.

8. Calcular la función objetivo del método de N-R y lafunción derivada. En la región crítica (ϖ ≤ 0.2), usar

la función derivada propuesta.

9. Evaluar la convergencia. Si no converge obtener

k i

m+1 e iterar con θm+1 desde 4 con θm=θ(m+1) .

Resultados

Al computar los datos con la metodología descrita para lasmezclas multi-componente listadas en la Tabla 1; las mezclasmás complejas mostraron inestabilidades que dificultabanla convergencia del método en la región crítica de laenvolvente. Las propiedades críticas y el factor acéntrico dela fracción C

7+ utilizadas para los cálculos de las mezclas 2A a

4 se muestran en la Tabla 2.

Tabla 1. Composiciones de los sistemas multi–componente estudiados.

ComponenteMezcla (fracciones molares)

1 2A – 2B 3 4

N2

0.01320 0.00340 0.00230

CO2

0.01640 0.02150 0.02446

H2S 0.00260 0.00700 0.00893

C1

0.29580 0.30840 0.34029

C2

0.08630 0.09850 0.11138

C3 0.20000 0.06370 0.07050 0.07565i-C

40.10000 0.01180 0.01330 0.01313

n-C4

0.15000 0.03070 0.03600 0.03756

i-C5

0.01600 0.01310 0.01326

n-C5

0.55000 0.02170 0.01970 0.01838

n-C6

0.02890 0.03640 0.03010

n-C7+

0.41290 0.37220 0.32456


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Tabla 2. Propiedades del pseudo–componente C7+.

PropiedadMezcla

2A 2B 3 4

pc [psia] 426.40 215.76 550.54 548.43

T c [°R] 986.40 1248.8 1141.2 1119.6

ω 0.3900 0.2960 0.2915 0.2676

De acuerdo a la metodología de Ziervogel y Poling, sedisminuyó el paso de la variable independiente en la regióncrítica hasta 0.01 unidades, además, se modificaron loscriterios de ω, ampliando la ventana crítica para evitar

inestabilidades debidas a la propagación de errores en el

algoritmo; no obstante, los problemas de convergenciapersistieron en mezclas cuyas composiciones incluíancomponentes no hidrocarburos. La Figura 5 muestra elintento realizado para obtener la envolvente de la mezclados con un paso de 0.01 unidades.

Figura 5. Intento de cálculo de la envolvente de la mezcla 2A con el algoritmo deZiervogel y Poling y paso en la variable independiente de 0.01 unidades,

(EDEC PR).

Para resolver la problemática se modificó el método deN-R de acuerdo al comportamiento de las constantes deequilibrio discutido en la región crítica.

Se observó que la pendiente de las curvas en la región crítica

era similar entre los componentes, y que la mayor variación

de la función derivada al hacer los cálculos se observabaen aquellos componentes cuya relación de fugacidadesnormalizada era menor. Esto relaciona la variación de laderivada con la afinidad de un componente por alguna delas dos fases.

Con base en lo anterior, se plantea que en los cálculos de la curva de burbuja en la región crítica:

(20)


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VOL. 53 No. 11, NOVIEMBRE 2013 · ISSN

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