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Codifica binaria:- valori logici e algebra di Boole -

Ingegneria Meccanica e dei Materiali

Università degli Studi di Brescia

Prof. Massimiliano Giacomin

Tipologie di codici

Informatica e Programmazione – Università di Brescia 2Docente: M. Giacomin

• Per la rappresentazione di:

– caratteri alfabetici e testi

– valori logici

– numeri naturali

– numeri interi relativi [val assoluto e segno, complemento a due]

– numeri “reali” [virgola fissa e virgola mobile]

– suoni, immagini e sequenze video

• Codici per la rilevazione e correzione di errori

• Codici di compressione (senza | con perdita)

4

Le radici

GEORGE BOOLE (1815-1864)

An Investigation of the Laws of Thought(1854)

ALGEBRA BOOLEANA

Una riflessione sull’algebra “numerica”- Costanti (valori)- Variabili- Operatori

Elementi di Informatica e Programmazione – Università di Brescia 5Docente: M. Giacomin

ESPRESSIONE-(x + y)

• Le variabili denotano (contengono) valori numerici (es. interi)• Operatori binari (es. +) e unari (es. –)• Valore dell’espressione determinabile da valori delle variabili,

mediante applicazione operatori• Equivalenza di espressioni:

-(x + y) = -(x) - y

uguale valore per qualunque coppia di valori assunti da x, y

OBIETTIVO: introdurre un formalismo per esprimere FATTI


ESEMPIO:- r1 contiene l’età di un utente acquisita da tastiera- si vuole fare in modo che r2 indichi se è maggiorenne

SE(r1>=18)

r2←”VERO”

SE(r1<18)

r2←”FALSO”

I fatti possono essere “veri” o “falsi”

Dato un fatto, dobbiamo codificare i suoi possibili valori logici.

2 “oggetti” da rappresentare

V (vero) F (falso)

E’ quindi sufficiente 1 bit, ad esempio con la codifica:

- falso: 0

- vero: 1


Valore logico: esprime il “valore di verità” di un determinato fatto

ES: Il voto del compito di informatica è sufficiente (F1)

F1 è vero oppure falso, non entrambi

Valori logici e codifica binaria

• Variabile booleana: variabile binaria che può assumere uno dei due valori logici denotati con 0 e 1 (oppure Falso e Vero)

Variabile booleana

• Così come si usano variabili “numeriche” per memorizzare valorinumerici (es. temperatura_aria) in modo simile si possono usarevariabili booleane per memorizzare il valore di verità di un fatto

Esempio: uso una variabile F1 per il fatto che il compito sia suff. se (voto>=18) allora F1 = V

Definizione

DOMINIO: {0, 1} (oppure: {F, V})


Espressione booleana (informalmente)


• I fatti possono essere composti a partire da altri fatti mediantecongiunzione, disgiunzione, negazione, …

“ho_l’automobile e ho_la_benzina”

“ho_l’automobile o ho_la_bicicletta”

“non ho_l’automobile”

• Il loro “valore di verità” dipende da quello dei fatti elementari

ES: se ho_l’automobile è VERO, ho_la_benzina è FALSO,“ho_l’automobile e ho_la_benzina” è FALSO

• Definizione degli operatori booleani…

Operatori booleani

• Così come per le variabili numeriche esistono operatori aritmetici(es: +, -, *, …), allo stesso modo per le variabili booleane esistono operatori booleani

OPERATORI BINARI (due argomenti)

V F

V F

op V F

OPERATORI UNARI (un argomento)

op V FV F


NOT Negazione Logica not(x), x, ~xAND Prodotto Logico x and y, x • y, xyOR Somma Logica x or y, x + y

Operatori booleani più importanti

x1 x0 x1 • x00 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

x1 x0 x1 + x00 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

AND OR

Tabelle di verità (NB: 0 equivale a F, 1 equivale a T)

x x

0 1

1 0

NOT


1. Le costanti 0 e 1 e le variabili (simboli a cui possono

essere associati i valori 0 e 1) sono formule booleane

2. Se E, E1 ed E2 sono formule booleane lo sono anche

(E1+E2), (E1·E2) e (E)3. Non esistono altre formule oltre a quelle che possono

essere generate da un numero finito di applicazioni delle

regole 1 e 2

Formule (o espressioni) booleane (formalmente)Esempi:

x + y

Definizione:

((x+y)·z)


Riassumendo…

• Per elaborare numeri (es: gli interi relativi)- Costanti (valori)- Variabili- Operatori

•Anche in questo contesto abbiamo gli stessi concetti- FALSO e VERO sono i valori elaborati- ho_l’automobile, … sono variabili che assumono questi valori- (Non ho_l’automobile) o (Non ho_la_bicicletta)

sono ESPRESSIONI costruiti con gli operatori non, o, e


ESPRESSIONI

Tabelle di verità di formule booleane

Valore di verità per ogni combinazione di valori delle variabili

ESEMPIO

auto·bici

auto bici auto·bici 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0



Equivalenza di espressioni booleane (1)

• Espressioni diverse possono indicare il medesimo fatto

“Non (ho_l’automobile e ho_la_bicicletta)”

“(Non ho_l’automobile) o (Non ho_la_bicicletta)”

• Come si può verificare formalmente?Cfr. il concetto di espressioni equivalenti nel contesto “numerico”!

Equivalenza di espressioni booleane (2)

Formule equivalenti: per ogni combinazione di valori delle variabilile formule restituiscono lo stesso valore

ESEMPIO 1

auto·bici = auto+bici

auto bici auto·bici auto·bici auto bici auto+bici 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Un modo per verificare l’equivalenza: tabella di verità


x y x+y x(x+y) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Assorbimento: x(x+y) = x

ESEMPIO 2


x y x+y x(x+y) F F F F F V V F V F V V V V V V

Assorbimento: x(x +y) = x

NB: potevamo usare anche una diversa simbologia per i valori…


x y x OR y x AND (x OR y) F F F F F V V F V F V V V V V V

Assorbimento: x AND (x OR y) = x

…o per gli operatori


x1 + x2 + x2x3 + x2x3 = x1 + x2 + x3

x3 x2 x1 x2 x2x3 x2x3 x1+x2+x2x3+x2x3 x1+x2+x3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1

ESEMPIO 3


Il concetto di algebra

• Per elaborare numeri (es: i numeri relativi Z) si utilizzano

operatori che elaborano i valori appartenenti al dominio considerato •L’impianto formale “sottostante” è il concetto di algebra


- insieme di supporto (i valori utilizzati) - insieme degli operatori fondamentali

(devono essere chiusi rispetto all’insieme di supporto)Es: (Z, {+, -}) è un’algebra, (N, {+, -}) non lo è

Algebra di Boole

•Una specifica algebra che include:

– un insieme di supporto A (l’insieme {0,1} o {V,F})

– due operatori binari: AND (·) e OR (+)

– un operatore unario: NOT (¯)

[operatori definiti da un insieme di assiomi]•E’ lo strumento matematico su cui si fonda il funzionamento dei circuiti digitali


Forma AND Forma OR

Commutatività AB = BA A+B = B+A

Distributività A+BC=(A+B)(A+C) A(B+C)=AB+AC

Identità 1A = A 0+A = A

Inverso AĀ = 0 A+Ā = 1

Assiomi dell’algebra di Boole


Forma AND Forma OR

Elemento nullo 0A = 0 1+A = 1Idempotenza AA = A A+A = AAssorbimento A(A+B) = A A+AB=AAssociatività (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)De Morgan AB = A+B A+B = A B

Proprietà dell’algebra di Boole (deducibili dagli assiomi)

Altre proprietà della negazione logica

• 1 = 1• 0 = 0


Equivalenza tra formule booleane via algebra di Boole

auto·bici = auto+bici direttamente dalla proprietà di De Morgan

• ESEMPIO 1 precedente


x1 + x2 + x2x3 + x2x3 = x1 + x2 + x3(x2+x2) = x1 + x2 + x3



x(x+y) = x direttamente dalla proprietà di assorbimento

x1x2 + x1x2x3 + x1x2 e x1x2


ESERCIZIO 0

Giustificando in modo preciso la risposta, si dica se le seguenti espressioni booleane sono tra loro equivalenti:

x1x2 + x1x2x3 + x1x2 = x1x2 + x1x2x3 = x1x2 (1 +x3) = x1x2


ESERCIZIO 0

Giustificando in modo preciso la risposta, si dica se le seguenti espressioni booleane sono tra loro equivalenti:

Soluzione 1

Si costruiscono le tabelle di verità e si verifica che sono equivalenti(serve la tabella di verità completa)

Soluzione 2


ESERCIZIO 1

Giustificando in modo preciso la risposta, si dica se le seguenti espressioni booleane sono tra loro equivalenti (ovvero, identificano la stessa funzione delle variabili booleane x, y e z):

xy + xy + x y e x + y


Soluzione 1

Si costruiscono le tabelle di verità e si verifica che sono equivalenti(serve la tabella di verità completa)

Soluzione 2

xy + xy + x y =

xy + xy + x y + x y =

(x+x) y + x(y+y) =

x + y

ESERCIZIO 2


Giustificando in modo preciso la risposta, si dica se le seguenti espressioni booleane sono tra loro equivalenti (ovvero, identificano la stessa funzione delle variabili booleane x, y e z):

xy + x+z e x+y + x z [5]


Soluzione

Si costruiscono le tabelle di verità (anche parziali) e si riportano uno

o più casi (non occorre tutti) in cui non danno lo stesso valore,

quindi non sono equivalenti.

Volendo, per trovare un caso ci si può aiutare con l’algebra booleana

notando che i due termini a destra sono equivalenti…

(ma vedi soluzione errata)

P.es. x=0, y=1, z=1 (la prima è 1, la seconda 0)


Soluzione ERRATA

xy + x+z e x+y + x z

e quindi, verificando che i due termini xy e x+y non sonoequivalenti, concludere che le formule non lo sono.

NB: è vero che le formule non sono equivalenti, ma questometodo non lo dimostra perché in altri casi non funziona

(cfr la regola “i gol in trasferta valgono doppio” nelle coppe)


NOTA IMPORTANTE

Poichè il dominio non è illimitato, per dimostrare che due formule

NON sono equivalenti non si possono trascurare termini equivalenti!

Esempio

?stabilire se x+1 è equivalente a x+1

� Ovviamente sì (valgono entrambe 1)

x Ma ragionando come in algebra numerica si direbbe che

sono equivalenti sse x=x, cosa non vera!


Esempio precedente leggermente modificato….

xy + z+z e x+y + z z

xy + z+z e x+y + z z

Sono equivalenti, perché danno 1 in tutti i casi (il II termine è 1),

invece procedendo come prima:

e quindi, verificando che i due termini xy e x+y non sono

equivalenti, si concluderebbe che le formule non lo sono.

VADEMECUM PER TEMI D’ESAME


A) VERIFICARE CHE DUE FORMULE SONO EQUIVALENTI:

bisogna dimostrare che danno lo stesso valore in tutti i casi

- via tabella di verità, oppure

- dimostrando con proprietà algebriche che sono equivalenti a

due formule sintatticamente uguali

L’algebra booleana consente praticamente tutte le operazioni cui

si è abituati con l’algebra dei numeri, p.es.

- raccogliere termini comuni

- 0*x=0, 1*x=xed anche molte altre (es. prop. De Morgan, 1+x=1, ecc.)


B) DIMOSTRARE CHE DUE FORMULE NON SONO

EQUIVALENTI:

bisogna e basta trovare un caso in cui danno risultato diverso

- Errore frequente: semplificare un termine e dimostrare che

“i termini rimasti” sono equivalenti. Questo NON dimostra nulla

NB: trovare la risposta esatta con un procedimento sbagliato

è valutato come se la risposta fosse sbagliata!

CODIFICA ED ELABORAZIONE DI

VALORI LOGICI

NEI LINGUAGGI

DI PROGRAMMAZIONE

Linguaggio macchina (cenno)

• Il verificarsi (o meno) di determinate condizioni (es. ultima operazionearitmetica ha dato risultato nullo) sono segnalate ponendo a 1/0 unospecifico bit di un particolare registro

• Sono tipicamente disponibili istruzioni per la manipolazione di bitcorrispondenti agli operatori booleani


Esempio

and $r1, $r2, $r3 # $r1 = $r2 AND $r3 (bit a bit)

or $r1, $r2, $r3 # $r1 = $r2 OR $r3 (bit a bit)

Linguaggio C

• In C non esiste il tipo booleano e quindi neppure le variabili booleane• Esistono però gli operatori logici…• Cfr. “Operatori” in C


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