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Dra. Nancy Visairo Cruz
INGENIERÍA DE CONTROL I
Tema 1. Introducción a los sistemas de control
1.1 Definiciones y clasificación de control
1.2 Retroalimentación
1.3 Transformada de Laplace, funciones de
transferencia y diagramas de bloques
1.4 Respuesta transitoria y transformada
inversa de Laplace
Contenido
Fallas
Procesamiento de señales
Decisión
Cambio de operación
Paro de operación
Evaluación de la señal
Alarma
Protección
Detección de cambios
Diagnóstico de fallas
Evaluación de fallas
Reparación
Mantenimiento
Reconfi- guración
Control
Mediciones
U W
Esquema de supervisión Clase de daño Fallas Síntomas
Acciones
Y
Monitoreo
Supervisión con diagnóstico de fallas
Planta
Supervisón: Monitorear un sistema físico y tomar acciones
apropiadas para mantener la operación en el caso de fallas.
Monitoreo: Una tarea en tiempo real continua para
determinar las condiciones de un sistema físico registrando la
información y reconociendo e indicando anomalías en el
comportamiento.
Protección: En el caso de un comportamiento peligroso se
suspende el proceso para evitar consecuencias peligrosas.
CONTROL: Significa medir el valor de una variable
controlada del sistema y aplicar una variable manipulada para
corregir o limitar una desviación del valor medido, respecto
del valor deseado.
Definiciones básicas
La sociedad depende de procesos tecnológicos complejos.
Sistemas de manufactura deben satisfacer correctamente su propósito para asegurar una producción eficiente y de alta calidad.
La economía y vida diaria dependen de grandes redes de distribución de eléctrica y sistemas de transporte donde es necesaria la calidad y un buen desempeño del sistema global.
Importancia de sistemas controlados
Sistemas tecnológicos son vulnerables a fallas.
Actuadores reducen el desempeño de los sistemas de control.
Lecturas erróneas de los sensores causan que los puntos de operación estén lejos de los óptimos.
Importancia de sistemas controlados
SISTEMA DE CONTROL Objetivos Resultados
Objetivos de control: entradas, señales actuantes (u)
Sistema de Control: Planta o proceso
Resultados: Salidas
Definiciones básicas
Planta: es un equipo cuyo objetivo es realizar una operación
determinada. En control se llama planta a cualquier objeto que
deba controlarse.
Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente
el valor de la salida de un sistema.
Proceso
controlado
Entrada de
referencia
r
Variable
controlada
y
Controlador
Variable
manipulada
u
Sistemas controlados en lazo abierto
Características:
• Simplicidad
• Pobre desempeño
V ref
+
-
e(t) CONTROLADOR PLANTA
y(t) u(t)
TRANSDUCTOR
V s
Sistemas controlados en lazo cerrado
Características:
• Relativamente insensible a perturbaciones
• Robusto a variación de parámetros
Se define como la relación que existe entre la transformada de
Laplace (TL) de la salida y la TL de la entrada bajo la suposición
de que todas las condiciones iniciales son cero
.
.
.
.
.
.
u1
u2
un
y1
y2
yn
G(s)
Función de transferencia
)()(
...)()(
)()(
...)()(
01
11
011
1
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyd
m
n
mm
m
m
m
n
n
n
n
Función de transferencia
1 11 1 0 1 1 0... ( ) ( ... ) ( )n n m m
n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s
La función de transferencia se obtiene tomando la TL con c. i. cero:
Sea el sistema lineal invariante en el tiempo:
La representación externa Entrada – Salida del sistema queda
expresada como:
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sU
sYsG
n
n
n
m
m
m
m
Función de transferencia
)(
)()(
sU
sYsG
G(s) Y(s) U(s)
Las raíces del numerador se conocen como los CEROS
Las raíces del denominador conocen como los POLOS
Propiedades:
Está definida únicamente para sistemas lineales invariantes en
el tiempo
Las condiciones iniciales del sistema son cero
La función de transferencia es independiente de la entrada del
sistema
La función de transferencia se obtiene usualmente en función
de la variable s cuya parte imaginaria es la frecuencia.
Función de transferencia
Definiciones importantes:
Función de transferencia estrictamente propia: si el grado del
polinomio del numerador es mayor que el del numerador (n>m)
Función de transferencia propia: si n = m
Función de transferencia impropia: si n<m
Ecuación característica: es la ecuación que se obtiene al hacer el
denominador de la FT igual a cero
Función de transferencia
Transformada de Laplace
Ec. diferencial
para y(t)
Ec. algebraica
para Y(s)
Transformada
Y(s)
Función del
tiempo y(t)
Transformada de
Laplace
Transformada
inversa de
Laplace
Transformada inversa de Laplace
Considere la función de transferencia con polos reales y distintos
1 2
1 2
( ) ( )( )...( )( )
( ) ( )( )...( )
m
n
Y s s z s z s zG s
U s s p s p s p
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ...( ) ,
( ) ...
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s bG s m n
U s s a s a s a
1 2
( )( )
( ) n
Y s A B NG s
U s s p s p s p
Transformada inversa de Laplace
Considere la función de transferencia con polos reales y distintos
2
( ) 3 3( ) =
( ) 3 2 ( 1)( 2)
Y s s sG s
U s s s s s
( ) 2 1( )
( ) 1 2
Y sG s
U s s s
2( ) 2 t tg t e e
Transformada inversa de Laplace
Considere la función de transferencia con polos complejos conjugados
1 2
2 2
( ) ( )( )...( )( )
( ) ( )...( )
mY s s z s z s zG s
U s s as b s ps q
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ...( ) ,
( ) ...
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s bG s m n
U s s a s a s a
2 2
( )( )
( ) ( ) ( )
Y s As B Ps QG s
U s s as b s ps q
Transformada inversa de Laplace
Considere la función de transferencia con polos complejos conjugados
2
( ) 2 12 2 12( )
( ) 2 5 ( 1 2 )( 1 2 )
Y s s sG s
U s s s s j s j
( ) 5 (2 ) 2 cos(2 ) 0t tg t e sen t e t t
2 2 2
2 2 2 2
( ) 2 12 10 2( 1)( )
( ) 2 5 ( 1) 2
2 1 5 2
( 1) 2 ( 1) 2
Y s s sG s
U s s s s
s
s s
Transformada inversa de Laplace
Considere la FT con polos repetidos
1 2
1
1 2
1 1
( ) ( )( )...( )( )
( ) ( )
( )( )...( )
( ) ( )
m
n
m
Y s s z s z s zG s
U s s p
s z s z s z
s p s p
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ...( ) ,
( ) ...
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s bG s m n
U s s a s a s a
1
1 1 1
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )n n
Y s A B NG s
U s s p s p s p
Transformada inversa de Laplace
Considere la FT con polos repetidos
2
3 3 2
( ) 2 3( )
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
Y s s s A B CG s
U s s s s s
2 2( ) = ( +1) 0t t tg t t e e e t t
2
3 3 2
( ) 2 3 2 0 1( )
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
Y s s sG s
U s s s s s
Transformada inversa de Laplace
Solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo
( ) 2 ( ) 5 ( ) 3, (0) 0; (0) 0x t x t x t x x
2
2 2
3( ) 2 ( ) 5 ( )
3( )
( 2 5) 2 5
s X s sX s X ss
A Bs CX s
s s s s s s
Transformada inversa de Laplace
Solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo
2
2 2 2 2
3 65 1 5 5( )3 2 5
5 1 3 2 3 1
3 10 ( 1) 2 5 ( 1) 2
sX s
s s s
s
s s s
3 3 3( ) (2 ) cos(2 ) 0
5 10 5
t tx t e sen t e t t
Diagrama de bloques
Es una representación gráfica de las funciones realizadas por
cada componente y del flujo de las señales.
Procedimiento para trazar diagramas de bloques:
Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento
dinámico de cada componente
Cada TL representa individualmente un bloque.
Hacer la transformada de Laplace de cada ecuación con c.i. = 0
Se integran los elementos en un diagrama de bloques completo
G2(s) U(s)
G1(s)
Sistema en cascada
Diagrama de bloques
Y(s)
1 2
( )( ) ( )
( )
Y sG s G s
U s
Sistema en paralelo
G2(s)
G1(s) U(s) Y(s) +
+
1 2
( )( ) ( )
( )
Y sG s G s
U s
G1 G2
G3
+C1
-
C
C2
R1
R2
M
1 2C G M 1 1M G R 2 3 2C G R
1 2 1 3 2C G G R G R
Punto suma
Diagrama de bloques
+ -
CONTROLADOR PLANTA
TRANSDUCTOR
Sistemas en lazo cerrado
R(s)
G1(s)
Y(s)
1 2
1 2 3
( ) ( )( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
G s G sY s
R s G s G s G s
G2(s)
G3(s)
Diagrama de bloques
+ -
Sistemas en lazo cerrado sometido a una perturbación
En un sistema lineal, cada entrada puede tratarse de forma independiente y
las salidas correspondientes se pueden sumar para obtener la salida total
R(s) G1(s)
Y(s)
21
1 2 3
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
N RY s Y s Y s
G sG s R s N s
G s G s G s
G2(s)
G3(s)
Diagrama de bloques
+ +
N(s)
2
1 2 3
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
NY s G s
N s G s G s G s
1 2
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
RY s G s G s
R s G s G s G s
Diagrama de bloques
G1
H1
+ - + +
+ -
Y(s) R(s)
H2
Obtenga la función de transferencia por medio de la reducción de
bloques Y(s)/R(s)
G2
G1
H3
G2 G3 G4
H1 H2
+ + + + - - U(s) Y(s)
Diagrama de bloques
Obtenga la función de transferencia por medio de la reducción de
bloques Y(s)/U(s)
H2
G1 G2 G3
H1
+ + + + -
- U(s) Y(s)
Diagrama de bloques
Obtenga la función de transferencia por medio de la reducción de
bloques Y(s)/U(s)
Modelado de sistemas eléctricos
Las leyes básicas que rigen a los circuitos eléctricos son las leyes de
voltaje y de corriente de Kirchhoff:
• Para corriente, la suma algebraica de todas las corrientes que
entran y salen de un nodo es cero.
• Para voltaje, la suma algebraica de las tensiones a lo largo de una
malla es cero en cualquier instante.
Procedimiento:
• Definir la entrada y salida de la función de transferencia
• Aplicar las leyes de Kirchhoff
• Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones con c.i. 0
• Manipular algebraicamente para obtenerla
Modelado de sistemas eléctricos
( ) 1( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )LL C C R R
di tv t L v t i t dt v t Ri t
dt C
Otra alternativa: Considere el circuito con impedancias complejas
• Defina la entrada y la salida de la función de transferencia
• Resuelva por un divisor de voltaje
Modelado de sistemas eléctricos
1; z ; zL C Rz Ls R
Cs
Modelado de sistemas eléctricos
Modelado de sistemas eléctricos
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010
10
20
vo
lta
je (
Vo
lts)
Resultados con el diagrama del circuito RLC serie
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010
10
20
vo
lta
je (
Vo
lts)
Resultados con la función de transferencia del circuito RLC serie
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-4
-2
0
2x 10
-14
tiempo (seg)
vo
lta
je (
Vo
lts)
Error entre los resultados
vc(t)
vi(t)
vi(t)
vc(t)
2 1 1 21 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
( )( )
R L s R RG s
R R L C s R L R L s R R
Modelado de sistemas eléctricos
Respuestas de la tarea
2 3 2 32 2
2 2 1 3 2 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 1 3
( )( ) ( ) ( )
R R C s RG s
R C L R C L s R R C R R C R R C L s R R
3 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1( )
( ) 1G s
R R C C s R C R C R C s
Modelado de sistemas mecánicos
•Grúas
•Brazos de robots
•Sistemas
mecánicos
rotatorios
•Barcos
Modelado de sistemas mecánicos
SISTEMAS TRASLACIONALES
La ley que rige los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton
∑fuerzas es la suma de todas las fuerzas aplicadas a cada cuerpo (N)
M es la masa del cuerpo (kg)
a es el vector de la aceleración de cada cuerpo (m/s2)
Se define en términos de aceleración, velocidad y desplazamiento
Sus partes básicas son masas, resortes y amortiguadores
Mafuerzas
f(t)
y(t)
dt
tdvM
dt
tydMtMatf
)()()()(
2
M
Modelado de sistemas mecánicos
1. Masa: Es la propiedad de un elemento de almacenar
energía cinética del movimiento de traslación (análogo a la
inductancia)
Modelado de sistemas mecánicos
2. Resorte: La fuerza en un resorte ideal es proporcional a su
estiramiento y, es un elemento que almacena energía
potencial, su análogo eléctrico es un capacitor
( ) ( )f t ky t k constante de rigidez del resorte (N/m)
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ))
k
k
f t k y t x t
f t k y t x t
b
k
x y
m1 m2 u
Para m1 , la fuerza ejercida por el resorte es:
Para m2 ,la fuerza ejercida por el resorte es:
Modelado de sistemas mecánicos
3. Amortiguador: La fuerza de un amortiguador es
proporcional a la velocidad con la cual se comprime o
descomprime ( )
( )dy t
f t bdt
b constante de amortiguamiento
( ) ( )( )
( ) ( )( )
b
b
dy t dx tf t b
dt dt
dy t dx tf t b
dt dt
b
k
x y
m1 m2 u
Para m2 , fuerza ejercida por el
amortiguador:
Para m1 , fuerza ejercida por el
amortiguador:
Existen 3 tipos de fricción: Fricción viscosa, fricción estática y
fricción de coulomb
Modelado de sistemas mecánicos
3. Fricción: La fuerza producida por una fricción también es
proporcional a la velocidad
Modelado de sistemas mecánicos Procedimiento:
• Definir las coordenadas adecuadas para el movimiento del
cuerpo –posición, velocidad y aceleración- que determinan las
fuerzas que actúan sobre él
• Hacer los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo
• Escribir las ecuaciones de movimiento
• Obtener la transformada de Laplace de las ecuaciones resultantes
• Manipular algebraicamente para obtener la Función de
transferencia
Modelado de sistemas mecánicos
Suponga que se tiene
M u
Se supone que la inercia rotacional de las ruedas es despreciable y
que una fricción retarda el movimiento del carro
x
M u bf bx
u bx Mx
Ecuación de movimiento
Diagrama de cuerpo libre
Modelado de sistemas mecánicos
Considere dos masas interconectadas por un resorte y un
amortiguador
b
k
x y
m1 m2 u
•La fuerza del resorte actúa sobre ambas masas en proporción
a sus desplazamiento relativos
•El amortiguador ejerce una fuerza sobre cada masa
proporcional a su velocidad relativa
Modelado de sistemas mecánicos
Diagramas de cuerpo libre
x
m1 u
y
m2
( )k
b
f k y x
f b y x
( )k
b
f k y x
f b y x
1( )u k y x b y x m x
2( )k y x b y x m y
Ecuaciones de movimiento
Modelado de sistemas mecánicos
1
2
( )
( )
u k y x b y x m x
k y x b y x m y
2
1
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U s kY s kX s bsY s bsX s m s X s
kY s kX s bsY s bsX s m s Y s
Ecuaciones de movimiento
Transformada de Laplace con c. i. = 0
Se define u(t) como entrada y y(t) como salida, la función de
transferencia queda como:
4 3 2
1 2 1 2 1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Y s k bs
U s m m s b m m s k m m s
b k
y1 y2
m1 m2 u
x1
x0
y
k1
k2
b1
b2
Obtenga las ecuaciones de movimiento del siguiente sistema,
considere que la fricción de las llantas es despreciable.
Modelado de sistemas mecánicos
.
.
. . C2
R2 R1
v1 v0
C1
Obtenga las funciones de transferencia de cada uno de los sistemas
X0/X1 y V0/V1, respectivamente y demuestre que las FT son
idénticas
SISTEMAS ROTACIONALES
Considere el sistema que consiste en una carga inercial y un
amortiguamiento de fricción viscosa
J es el momento de inercia de la carga, Kg-m2
es la aceleración angular de la carga, rad/s2
T es el par aplicado al sistema, N-m (torque)
Modelado de sistemas mecánicos
T J
T
J
b
Modelado de sistemas mecánicos
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ECUACIÓN
DE MOVIMIENTO
( ) ( ) ( )J t b t T t
donde
J es el momento de inercia de la carga, Kg-m2
b es el coeficiente de fricción viscosa, N-m/rad/s
Es la velocidad angular, rad/s
T es el par aplicado al sistema, N-m (torque)
Modelado de sistemas mecánicos
Se puede reescribir como
( ) ( ) ( )J t b t T t
Considerando como entrada T(t) y salida (t) se puede obtener la
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
( ) 1
( )
s
T s Js b
Ω(s) T(s) 1
Js b
MODELADO DEL MOTOR DE CD
El motor se compone de una parte eléctrica y otra mecánica.
El torque en el rotor se expresa en términos de la corriente de
armadura y una constante del motor km
que proviene de la ecuación básica de uso de un campo magnético
para convertir energía eléctrica a partir de una fuente de corriente i
en energía mecánica haciendo que la fuerza F trabaje en algún
objeto mecánico (ley del motor)
l longitud del conductor, m
B campo de intensidad, Teslas
Modelado de sistemas mecánicos
m aT k i
F Bli
MODELADO DEL MOTOR DE CD
Para expresar el voltaje generado se considera la velocidad
rotacional del eje d/dt y una constante del generador kg
que se obtiene de la ley del generador que establece que un
conductor de longitud l se mueve a una velocidad v a través de un
campo constante B en ángulo recto a la dirección del campo,
entonces, el voltaje en sus extremos está dado por
l longitud del conductor, m
B campo de intensidad, Teslas
v velocidad, m/s
Modelado de sistemas mecánicos
ge k
e Blv
Y(s) R(s) ( )G s
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria y estabilidad
Base de comparación del comportamiento de diversos sistemas de
control:
•Sistemas de primer orden
•Sistemas de segundo orden
Señales de prueba:
o Rampa: para entradas que cambian gradualmente
o Escalón: si el sistema está sujeto a cambios repentinos
o Impulso: Si el sistema está sujeto a entradas de choque
Relación entre la ecuación característica y la estabilidad
Caso 1
)3)(2)(1(
20)(
ssssG
Ecuación
característica
La ecuación característica
tiene 3 polos ubicados en
s=-1; s=-2 y s=-3
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria y estabilidad
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.3 0.52 0.7 0.82 0.9 0.95
0.978
0.994
0.3 0.52 0.7 0.82 0.9 0.95
0.978
0.994
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5
Ubicacion de Polos
Eje Real
Eje
Im
ag
ina
rio
Cómo quedan ubicados los polos en el plano
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Cómo es su respuesta ante un escalón
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Caso 2
1
1)(
2
ssG
Ecuación
característica
La ecuación característica
tiene 2 polos ubicados en
s=-j y s=j
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Cómo quedan ubicados los polos en el plano
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.16 0.34 0.5 0.64
0.76
0.86
0.94
0.985
0.16 0.34 0.5 0.64
0.76
0.86
0.94
0.985
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Cómo es su respuesta ante un escalón
800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Caso 3
1
1)(
ssG
Ecuación
característica
La ecuación característica
tiene 1 polo ubicado en
s=1
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Cómo quedan ubicados los polos en el plano
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Root Locus
Real Axis
Ima
gin
ary
Axis
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Cómo es su respuesta ante un escalón
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden
1 21/
( )1/ 1/
K KTC s
s s T s s T
1
0
1/1
1/ s
TK
s T
2
1/
1/1
s T
TK
s
/( ) 1 t Tc t e
R C1
1Ts
Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s
-1/T 0
El primer término es la solución forzada debida a la entrada,
y el segundo es la solución transitoria debida a los polos del sistema.
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
T 4T
0.632
1
t
/( ) 1 t Tc t e
T 4T
0.368
1
/t Te
t
Constante de tiempo: Es el tiempo en segundos en que la respuesta se reduce al 36.8% de su
valor inicial.
La constante de tiempo de un sistema de primer orden 1/(Ts +1) es T segundos
El sistema toma 4T segundos para que la respuesta permanezca dentro del 2% del valor final.
Características importantes:
Para estabilidad, el polo – 1/T debe estar en el semiplano izquierdo del plano s.
Para incrementar la velocidad de respuesta del sistema (reducir su constante de tiempo T),
el polo -1/T debe moverse hacia la izquierda.
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden
2
2 2
1 1 1( )
1 1
T TC s
Ts s s s Ts
/( ) t Tc t t T e
R C1
1Ts
Para una entrada rampa unitaria R(s) = 1/s2
-1/T 0
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
/
( ) ( ) ( )
(1 )t T
e t r t c t
T e
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Conforme T tiende a ∞, se aproxima a cero; por lo tanto, e(∞)=T.
El error es igual a T para una t suficientemente grande.
Cuanto más pequeña sea T, menor será el error en estado estacionario.
/t Te
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
y(t) respuesta o salida
r(t) entrada rampa
error en estado estacionario
T
T
T
Sistemas de primer orden
1( )
1C s
Ts
/1( ) t Tc t e
T
R C1
1Ts
Para una entrada impulso unitario R(s) = 1
-1/T 0
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
2
2 2( )
2
n
n n
G ss s
n = Frecuencia natural no amortiguada
= Razón de amortiguamiento
Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s, la transformada de la salida es:
2
2 2( )
2
n
n n
C ss s s
Hay tres posibilidades, dependiendo de las raíces de la ecuación característica del sistema
2 22 0n ns s
Los polos del sistema dependen de :
2
1,2
1,2
2
1,2
1: Sobreamortiguado: 1
1: Críticamente amortiguado:
1: Subamortiguado: 1
n n
n
n n
s
s
s j
2
1,2 1n ns
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
j
21nj
n
n
n
Para los polos están en ambos lados de 1 n
Para los polos coinciden en 1 n
Para los polos se mueven a lo largo del
círculo de radio centrado en el origen 1
n
1/ 2
22 2
1,2 1n n ns
cos La razón de amortiguamiento
Para , cuando los polos son reales y distintos
la respuesta transitoria es la suma de dos
exponenciales que decaen, cada una con su
constante de tiempo. La exponencial
correspondiente al polo más cercano al origen
tiene la constante de tiempo más grande y toma
más tiempo en decaer. Éste es llamado POLO
DOMINANTE, y para incrementar la velocidad
de respuesta se debe mover a la izquierda.
1
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.1
0.2
0.4
0.7
1.0
2.0
8nt
( )c t
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Constante de tiempo T: Es el tiempo en segundos para que la amplitud de la oscilación
decaiga de su valor inicial: . Por lo tanto 1e 1nte e
1
n
T
Análogo a un primer orden, la amplitud decae al 2 % de su valor inicial
en 4T segundos
Correlaciones entre el comportamiento dinámico y la posición de los polos
1. Estabilidad absoluta: La parte real de los polos debe ser negativa para que el transitorio
decaiga. Los polos deben estar en la parte izquierda del plano s.
2. Estabilidad relativa: Para evitar sobretiros excesivos y comportamientos oscilatorios
indebidos , la razón de amortiguamiento debe ser adecuada.
3. Constante de tiempo: Se reduce incrementando la parte real de los polos.
4. Velocidad de respuesta: Se incrementa ampliando la distancia de los polos al origen.
5. Frecuencia natural no amortiguada : Es igual a la distancia de los polos al origen.
Moviendo los polos radialmente ( constante) se incrementa la velocidad de respuesta
mientras que el porcentaje de sobretiro se mantiene constante .
6. Frecuencia de oscilaciones transitorias : Esta frecuencia, también llamada
frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada, es igual a la parte imaginaria de
los polos.
n
n
n
21n
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Ejemplo
2
2 2( )
3 2 1 2G s
s s s s
Para una entrada escalón unitario
31 22
( )1 2 1 2
KK KC s
s s s s s s
2( ) 1 2 t tc t e e
Las constantes de tiempo T1 = 1 y T2 = 0.5 se pueden predecir
por inspección del diagrama de polos y ceros.
(T2 = 0.5) (T1 = 1)
-1-2
Polo dominante
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Asuma que el sistema es subamortiguado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t
)
5%2%
tolerancias permitidas
Mp
td
0.5
tr
tp
ts
Tiempo de retardo td
Tiempo de subida tr
Tiempo pico tp
Tiempo de asentamiento ts
Sobreimpulso Mp
2
1
1
1tan con
4 4 (criterio del 2%)
3 3 (criterio del 5%)
d
dr n
d
p
d
p
s
n
s
n
t
t
M e e
t
t
Sistemas de segundo orden
Sistemas con retroalimentación
Característica de la respuesta transitoria
Las especificaciones se dan en términos del factor de
amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada.
Mp se determina con
ts se determina con n
La duración de la respuesta
transitoria se puede variar sin
modificar el sobreimpulso máximo
Métodos para calcular la estabilidad de un sistema
1. Criterio de Routh Hurwitz: Representa un
método para determinar la localización de los polos
de un polinomio con coeficientes constantes reales
con respecto al semiplano izquierdo o derecho del
plano complejo s, sin obtener los ceros
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Tabulación de Routh
Considerar la siguiente ecuación característica de un sistema
lineal SISO e invariante en el tiempo
1 2 3 2
1 2 3 2 1 0( ) 0n n n n
n n n nF s a s a s a s a s a s a s a
Se deben ordenar los coeficientes de la ecuación anterior en
dos renglones. En el primero van el primero, tercero,
quinto,…, coeficientes y en el segundo van el segundo, cuarto,
sexto,…, coeficientes, todos contados desde el término de
orden más alto
2 4 6
1 3 5 7
n n n n
n n n n
a a a a
a a a a
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
El siguiente paso es formar el arreglo de ecuaciones en la
siguiente forma: suponer una ecuación de sexto orden
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6 asasasasasasa
0000
000
0000
000
00
0
00
01
002
5051533
0
5
605
5
1625
5
36454
135
5
0246
6
F
EFas
FE
CaEDs
C
ACa
C
ACaE
C
ADBCs
A
aAD
A
aaAaC
A
BaAas
aa
aaaB
a
aaaaA
a
aaaas
aaas
aaaas
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
De la tabulación anterior, el último paso en la aplicación
del criterio es:
Investigar los signos de los coeficientes de la primera
columna (sombreada) y se obtienen las siguientes
conclusiones:
•Las raíces de la ecuación están todas en el semiplano
izquierdo del plano s si todos los elementos de la primera
columna de la tabulación de Routh son del mismo signo.
•El número de cambios de signos en los elementos de la
primera columna es igual al número de raíces con partes
reales positivas en el semiplano derecho de s.
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Root Locus
Real Axis
Imag
inary
Axi
s
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Root Locus
Real Axis
Imag
inary
Axi
s
2
1( )
3 2H s
s s
2
1( )
3 2H s
s s
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Ejemplo 1. Considere la siguiente ecuación
065.2
)0)(4()6)(5.2(
05.24
)1)(6()1)(4(64
11
0
1
2
3
s
s
s
s
Cambio de signo
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
El sistema no es estable porque hay dos cambios de signo
Ejemplo 2. Considere la siguiente ecuación
010532 234 ssss
0010
0043.67
)10)(1()5)(7(
01071
)5)(2()3)(1(051
1032
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Cambio de signo
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
El sistema no es estable porque hay dos cambios de signo
Casos especiales:
1) Cuando el primer elemento en cualquiera de los renglones de
la tabulación es cero.
Solución: se propone un número arbitrario pequeño y positivo
y después se continúa con el arreglo.
1) Cuando los elementos en un renglón son todos cero
Solución: los coeficiente del renglón con ceros se sustituye
por los coeficientes de la derivada del polinomio formado con
el renglón anterior y se continúa con el arreglo.
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Ejemplo Caso 1. Considere la siguiente ecuación
0322 234 ssss
031
)3)(1(0
1
)2)(1()2)(1(021
321
2
3
4
s
s
s
Como en la fila de s2 hay un cero, en la fila correspondiente a s1
todos los coeficientes darían infinito. Es en este caso, se usa el
número positivo
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
0322 234 ssss
003
003)3)(1())(2(
03
021
321
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Continuación…..
Cambio de signo
Cambio de signo
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Caso especial 2: queda un renglón de ceros
Solución:
a) Formar la ecuación auxiliar A(s)=0 mediante el uso de los
coeficientes del renglón que se encuentra justo antes del renglón
de ceros.
b) Tomar la derivada de la ecuación auxiliar con respecto de s, esto
es: dA(s)/ds=0
c) Reemplazar el renglón de ceros con los coeficientes de
dA(s)/ds=0
d) Continuar con la tabulación de Routh en la forma usual con le
nuevo renglón de coeficientes reemplazando el renglón de ceros
e) Interpretar en la forma usual el cambio de signos.
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Ejemplo Caso 2. Considere la siguiente ecuación
047884 2345 sssss
000
044
066
484
781
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
Renglón
de ceros
• Se forma el polinomio
A(s)=0=4s2+4s
• Se obtiene la derivada:
08)(
sds
sdA
Con la derivada se sustituye el renglón de ceros, entonces la tabla
queda de la siguiente forma
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Continuación…..
047884 2345 sssss
004
008
044
066
484
781
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
08)(
sds
sdA
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Este criterio puede ayudar a encontrar los coeficientes para
estabilidad de un controlador en lazo cerrado.
Sea el sistema siguiente:
6
1
)3)(2(
12
ssss
Kp
U(s) Y(s)
+
-
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Se desea conocer el valor mínimo de Kp para garantizar estabilidad
al sistema en lazo cerrado
La función de transferencia en lazo cerrado es:
KpsssGsH
sG
sU
sY
6
1
)()(1
)(
)(
)(2
2 1 ( 6 )
1 1 0
0 ( 6 ) 0
6 0 6
s Kp
s
s Kp
Kp Kp
Esta condición deberá
cumplirse para que no
haya cambio de signo
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
Estabilidad: criterio de Routh Hurwitz
1.-Considere el sistema de control
2
( )
( ) ( 1)( 2)
Y s k
U s s s s s k
Determine el intervalo de k que hace estable el sistema.
2.-Determine el intervalo de k que hace estable el sistema con la
siguiente ecuación característica
4 3 22 (4 ) 9 25 0s s k s s
+ -
CONTROLADOR PLANTA R(s)
G1(s)
Y(s)
G2(s)
Sistemas con retroalimentación
E(s) U(s)
Proporcional ( ) ( ) ( ) ( )
Integral ( ) ( ) ( ) ( )
( )Derivativo ( )
p p
ii
d
u t k e t U s k E s
ku t k e t dt U s E s
s
de tu t k
dt
( ) ( )
PI ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )PID ( ) ( ) ( ) ( )
d
ip i p
ip i d p d
U s k sE s
ku t k e t k e t dt U s k E s
s
kde tu t k e t k e t dt k U s k k s
dt s
( )E s
Análisis de la respuesta en frecuencia: DIAGRAMAS DE
BODE Supóngase la siguiente entrada:
tXsentx )(
La función de transferencia puede escribirse
como:
)())((
)(
)(
)()(
321 ssssss
sp
sq
spsG
La transformada de Laplace de la salida es:
)()(
)()()()( sX
sq
spsXsGsY
Diagramas de Bode
Análisis de la respuesta en frecuencia: DIAGRAMAS DE
BODE Al llegar el sistema al estado estacionario y sustituyendo s =
j MMejG j)(
Ejemplo:
1)(
1)(
jT
KjG
j por sdosustituyen
Ts
KsG
221)(
T
KjG
TjG 1tan)(
Magnitud
Fase
Análisis de la respuesta en frecuencia: DIAGRAMAS DE
BODE
Un diagrama de Bode está formado por dos gráficas:
una es la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función
de transferencia y la otra es la gráfica del ángulo de fase;
ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica