INGENIERIA ECONOMICA II

PAGE 5Ing. Felipe de Jess Ontiveros Prez Ingeniera Econmica

INGENIERIA ECONOMICA (Unidad I)

UNO

Conceptos y criterios econmicos del dinero a travs del tiempo.

1.1 Introduccin.

1.1.1 Definicin y terminologa de Ingeniera Econmica.

1.1.2 Inters simple e inters compuesto.

1.1.3 Equivalencia.

1.1.4 Simbologa a utilizar.

1.1.5 Diagrama de flujo de efectivo.

1.2 Factores de inters y su empleo.

1.2.1 Factores de pago nico.

1.2.1.1 Factor valor presente (F/P)

1.2.1.2 Factor valor futuro (P/F)

1.2.2 Factor serie uniforme

1.2.2.1 Factor valor presente-serie uniforme (P/A)

1.2.2.2 Factor de recuperacin de capital (A/P).1.2.2.3 Factor valor futuro-serie uniforme (F/A)1.2.2.4 Factor fondo de amortizacin (F/A)

1.3 Factores gradiente.

1.3.1 Factores gradientes aritmtico.

1.3.2 Factor de gradiente geomtrico.

1.4 Factores mltiples.

DOS

Capitalizacin de inters

2.1 Tasa de capitalizacin.

2.1.1 Tasa nominal.

2.1.2 Tasa efectiva

2.2 Calculo de periodos de pago

2.2.1 Iguales a los periodos de capitalizacin.

2.2.2 Mayores a los periodos de capitalizacin.

2.2.3 Menores a los periodos de capitalizacin

2.3 Factores de capitalizacin de inters.

2.3.1. Factores de pago nico.

2.3.2 Factores de serie uniforme

TRES

Anlisis de alternativas de inversin

3.1 Mtodo Valor Presente.

3.1.1 Comparacin de alternativas con vidas tiles iguales.

3.1.2 Comparacin de alternativas con vidas tiles diferentes.

3.1.3 Costo capitalizado.

3.1.4 Comparacin de alternativas segn el costo capitalizado.

3.2 Mtodo valor anual.

3.2.1 Comparacin de alternativas con vidas tiles diferentes.

3.2.2 Mtodo Valor Presente de salvamento.

3.2.3 Mtodo de recuperacin de capital.

3.2.4 Comparacin de alternativas por CAUE

3.2.5 Valor anual de una inversin perpeta.

3.3 Mtodo de la tasa interna de retorno.

3.3.1 Calculo de la tasa interna de retorno.

3.3.1.1 Por medio de valor presente.

3.3.1.2 Por medio de valor anual

3.3.2 Anlisis incremental.

3.3.3. Comparacin de alternativas mutuamente excluyentes.

3.4 Evaluacin de la razn Beneficio / costo

3.4.1 Clasificacin y clculos de beneficios, costos y beneficios negativos para un proyecto nico.

3.4.2 Seleccin de alternativas mutuamente excluyentes utilizando anlisis beneficio / costo.

3.4.3 Seleccin de alternativas mutuamente excluyentes utilizando anlisis incremental.

3.5 Evaluacin de alternativas bajo condiciones de riesgo e incertidumbre.

3.5.1 Interpretacin de certidumbre, riesgo e incertidumbre.

3.5.2 Elementos importantes para la toma de decisiones bajo riesgo

3.5.2.1 Valor esperado

CUATRO

Depreciacin y anlisis despus de impuestos

4.1 Modelos de depreciacin.

4.1.1 Terminologa de la depreciacin

4.1.2 Depreciacin lnea recta.

4.1.3 Depreciacin suma de dgitos al ao.

4.1.4 Depreciacin saldos decrecientes dobles.

4.1.5 Mtodo de agotamiento.

4.1.6 Ley de impuestos sobre la renta

4.2 Anlisis despus de impuestos.

4.2.1 Terminologa bsica para los impuestos sobre la renta.

4.2.2 Ganancias y perdidas de capital

4.2.3 Efectos de los diferentes modelos de depreciacin.

4.2.4 Tabulacin del flujo de caja despus de impuestos.

4.2.5 Anlisis despus de impuestos

Utilizando los mtodos de valor presente, valor anual y tasa interna de retorno.

CINCO

Anlisis de reemplazo

5.1 Tcnicas de anlisis de reemplazo.

5.2 Conceptos de retador y defensor en anlisis de reemplazo.

5.3 Modelos de reemplazo de equipo

5.4 Anlisis de reemplazo utilizando un horizonte de planificacin especificado.

5.5 Cuando la vida til restante del defensor es igual a la del retador

5.6 Cuando la vida til restante del defensor es mayor a la del retador

5.7 Anlisis de reemplazo para retencin adicional de un ao.

5.8 Factores de deterioro y obsolescencia.

5.9 Determinacin del costo mnimo de vida til.

SEIS

Anlisis de sensibilidad e inflacin.

6.1 La sensibilidad en las alternativas de inversin.

6.1.1 Enfoque de anlisis de sensibilidad.

6.1.2 Determinacin de sensibilidad de estimaciones de parmetros.

6.1.3 Anlisis de sensibilidad utilizando tres estimaciones de parmetros.

6.2 Valor esperado y rbol de decisin.

6.2.1 Variabilidad econmica y valor esperado.

6.2.2 Calculo de valor esperado para alternativas.

6.2.3 Seleccin de alternativasUtilizando rboles de decisin

6.3 Efectos de inflacin en alternativas.

6.3.1 Terminologa de inflacin y su efecto.

6.3.2 Anlisis de alternativas considerando la inflacin

FUENTES DE INFORMACIN

Ingeniera Econmica (tercera, cuarta edicin hasta sexta edicin)

Leland T. Blank y Anthony J. Tarqun

Mc. Graw Hill

Fundamentos de Ingeniera Econmica Evaluacin de proyectos

Gabriel Baca Urbina

Mc. Graw Hill

Anlisis Econmico en Ingeniera

Donald G.Newman

Mc. Graw Hill

Ingeniera Econmica

Thuesen G. J. Fabrycky W.J. Thuesen H.G.

Tcnicas de anlisis Econmico para Administradores e Ingenieros

John R. Canada.

Ingeniera Econmica

Taylor.

Objetivo General:Al termino del curso el estudiante ser capaz, dentro de un proceso solucionador de problemas, de generar alternativas, analizar, evaluar y decidir entre las mismas, en lo que al aspecto econmico se refiere.

Definicin de la ingeniera econmica:

* Es una recopilacin de tcnicas matemticas que simplifican las comparaciones econmicas.

* Es una herramienta de ayuda para tomar decisiones mediante la cual se tomara el mtodo ms econmico.

Definicin de Alternativa:

Es una opcin independiente para una situacin dada. Las alternativas de Ingeniera generalmente incluyen factores tales como costo de compra del bien (costo inicial), La vida anticipada de reventa de bienes (valor de salvamento), la tasa de inters, (i) y el movimiento del dinero por periodo en la vida del activo (gastos utilidades).

Los estudios econmicos tienen que ver con la diferencias en los resultados econmicos de las alternativas. Este concepto de diferencias econmicos entre alternativas es bsico y de suma importancia en la elaboracin de estudios econmicos, si no hay alternativas no hay necesidad de hacer estudios econmicos.

Por que es importante la Ingeniera Econmica:

La ingeniera econmica es la disciplina que se preocupa de los aspectos econmicos de la ingeniera; implica la evaluacin sistemtica de los costos y beneficios de los proyectos tcnicos propuestos. Los principios y metodologas de la ingeniera econmica son parte integral de la administracin y operacin diaria de las compaas y corporaciones del sector privado, servicios pblicos regulados, unidades o agencias gubernamentales y organizaciones no lucrativas y hasta en el aspecto personal dentro de la economa del hogar o de las familias y sociedades.

Estos principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en relacin con las cualidades fsicas y la operacin de una organizacin. La ingeniera econmica es sumamente importante para usted y cualquier persona al evaluar los meritos econmicos de los usos alternativos de sus recursos personales.

Por lo tanto la ingeniera econmica se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que su empresa sea lucrativa en el mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeo (tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseo propuesto o la solucin del problema.

La misin de la ingeniera econmica es balancear esos cambios de la forma ms econmica, sin olvidar que economizar no significa adquirir equipos o maquinaria u objetos personales que no renan las condiciones ni las necesidades de utilidad para la compaa o personales.

De esta manera, la ingeniera econmica incluye el anlisis tcnico, con nfasis en los aspectos econmicos y tiene el objetivo de ayudar en las decisiones. Esto es cierto si quien toma las decisiones es un ingeniero que analiza alternativas de manera interactiva en una estacin de trabajo, que considera un nuevo proyecto.

El ingeniero (hombre o mujer) que no esta preparado para sobresalir en ingeniera econmica no esta adecuadamente habilitado para su trabajo.

Principio de inversin que s por el origen a la motivacin de las utilidades, y que se van a regir por las decisiones de aumento de ingresos o reduccin de costos.

Utilidad = Ingresos costos

EMBED Equation.3 Inters = Cantidad total acumulada Inversin Original.

Justificacin de las Evaluaciones Econmicas.Recursos Limitados (materia prima).

Procesos.

Bienestar

Naturaleza Biambiental de la Ingeniera.Los medios tecnolgicos y sociales en los que vivimos continan cambiando con rapidez. En las dcadas recientes, los avances de la ciencia y la ingeniera han hecho posible viajar en el espacio y transformar los sistemas de transporte; han revolucionado la practica de la medicina y miniaturizando los circuitos electrnicos de tal forma que pueden colocarse una computadora en un chip semiconductor. La lista de tales logros parece casi infinita. En sus cursos de ciencias e ingeniera aprender algunas leyes fsicas que fundamentan estas proezas.

Los ingenieros poseen para tratar con el medio fsico, un cuerpo de leyes sobre las cuales basar sus razonamientos. Leyes tales como la ley de Boyle, la ley de Ohm, las leyes de Newton sobre el movimiento se desarrollaron principalmente tomando y comparando numerosas situaciones similares y usando luego un proceso inductivo. Estas leyes pueden emplearse luego por deduccin en situaciones especificas. Estn suplementadas por muchas formulas y hechos conocidos, todos los cuales permiten el ingeniero llegar a conclusiones sobre el medio fsico y que abarcan los hechos dentro de limites cercanos. Se conoce mucho, con certeza, sobre el medio fsico.

Se conoce mucho menos, especialmente en el campo cuantitativo, sobre el medio econmico. Siendo as que la economa est asociada con las acciones del hombre, parece claro que las leyes econmicas no pueden ser ms exactas que la descripcin del comportamiento de los seres humanos, actuando individual o colectivamente.

El deseo de satisfaccin en el medio econmico y las propuestas de ingeniera en el medio fsico estn ligados entre si por los procesos de produccin

o construccin. La siguiente figura muestra las relaciones existentes entre las propuestas de ingeniera, produccin o construccin y el deseo de satisfaccin.

El comit de acreditacin para la ingeniera y tecnologa establece que la ingeniera Es la profesin en la que un conocimiento de las ciencias matemticas y naturales, adquirido mediante el estudio, la experiencia y la practica, se aplica con discernimiento para desarrollar formas de utilizar, de forma econmica, los materiales y fuerza de la naturaleza en beneficio de la humanidad.

En esta definicin los aspectos econmicos de la ingeniera se ponen de relieve tanto como los aspectos fsicos. Por supuesto, es esencial que la parte econmica de la prctica de la ingeniera se lleven bien.

bien

Organizacin como un mecanismo para el intercambio

Eficiencia fsica y econmica

Tanto los individuos como las empresas poseen recursos limitados lo cual hace indispensable producir los mayores resultados con un insumo dado, es decir, operar con una alta eficiencia. Entonces, la bsqueda no es simplemente por una oportunidad buena o razonable para el empleo de unos recursos limitados sino por la mejor oportunidad.

El hombre est buscando continuamente la manera de satisfacer sus deseos y al hacerlo hace a un lado ciertas utilidades con el fin de obtener otras que el valora mejor. Este es, esencialmente, un proceso econmico en el cual el objetivo es la maximizacin de la eficiencia econmica.

La ingeniera es principalmente una actividad productora que tiene su razn de ser en la satisfaccin de los deseos humanos. Su objetivo es alcanzar el mayor resultado final por unidad de recursos gastados. Este es esencialmente un proceso fsico cuyo objetivo es la maximizacin de la eficiencia fsica.

En segundo lugar esta la eficiencia que se expresan en unidades econmicas de resultados (salidas) divididas por unidades econmicas de insumos (entradas) cada una expresada en trminos de un medio de intercambio como el dinero. La eficiencia econmica puede expresarse como sigue:

Por lo que el objetivo de la ingeniera econmica es manejar los dos rendimientos. El fsico para producir bienestar y el que nos interesa es el rendimiento econmico.

EQUIVALENCIA

Para una lista de alternativas que pueden cuantificarse en trminos de dinero, es importante reconocer el concepto del valor del dinero en el tiempo. A menudo se dice que el dinero genera dinero. Esta aseveracin es correcta, si nosotros elegimos invertir dinero hoy (por ejemplo, en el banco o corporacin de ahorro y prstamo), maana habremos acumulado mas dinero que el que hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo de tiempo es llamado el valor del dinero en el tiempo, hay un aumento en la cantidad de dinero que originalmente se invirti o se presto, y ese aumento sobre la cantidad original es el inters. La inversin o prstamo original se denomina capital.

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de inters utilizada conjuntamente generan el concepto de equivalencia, esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor econmico. Por ejemplo, si la tasa de inters es 12% por ao, $ 100 hoy pueden ser equivalentes a $ 112 un ao despus, en vista de que:

Cantidad acumulada =100(1+0.12)=100(1.12)=112

As, si alguien ofrece darles $ 100 hoy o $ 112 un ao despus no habra diferencia en la oferta, ya que en ambos casos se tendran los $ 112 dentro de un ao. Las dos sumas de dinero son entonces equivalentes cada una si la tasa de inters es del 12% por ao. En ambos casos una tasa de inters mas alta o baja, hace que $ 100 hoy no sean equivalentes a $ 112 de un ao. Adicionalmente al considerar equivalencias futuras se pueden aplicar los mismos conceptos para determinar la equivalencia en aos previos. As, $ 100 hoy pueden ser equivalentes a 100/1.12 = $ 89.29 un ao antes si la tasa de inters es del 12% anual. Segn estos ejemplos, es claro que $ 89.29 l ultimo ao, $ 100 hoy y $ 112 dentro de un ao equivalentes si la tasa de inters es 12% anual.Inters simple y compuesto.El inters simple se calcula usando el capital solamente, ignorando cualquier inters que se pueda haberse acumulado en periodos precedentes. El total del inters puede calcularse usando la relacin:

Inters = (Capital)(Numero de periodos)(Tasa de inters) = Pni

El inters compuesto: Es el inters que genera intereses sobre los intereses o dicho de otra forma es el inters que es calculado del monto acumulado del periodo anterior.

Ejemplo:

Si usted solicita un prstamo de $ 1000 por 3 aos al 10% anual, cunto dinero deber al cabo de 3 aos s: a) El inters es simple b) El inters es compuesto

a) Inters simple:

PeriodoCantidad PrestadaIntersCantidad

AdeudadaCantidad

Pagada

0$ 1000---

11001100

21001200

310013001300

Total300

Porcentaje de la tasa de inters =

EMBED Equation.3 b) Inters compuesto:

PeriodoCantidad PrestadaIntersCantidad

AdeudadaCantidad

Pagada

0$ 1000---

11001100

21101210

312113311331

Total331

Porcentaje de la tasa de inters =

Ejemplos:

1. - Que significa valor del dinero en el tiempo?

2. - Calcule el inters adeudado por un crdito de $ 5000 si la tasa es de 12% anual simple en dos aos?3. - A que tasa de inters son equivalentes $ 450 de ahora y $ 550 dentro de un ao?

4.- Cmo se explica el hecho de que dos cantidades distintas de dinero puedan ser equivalentes entre s?

5. - Suponiendo que le han ofrecido la oportunidad de invertir $ 1000 al 7% de inters simple anual durante 4 aos, o los mismos $ 1000 al 6% anual de inters compuesto durante 4 aos qu inversin aceptara usted?

6. - Cuanto dinero deber una amiga dentro de 4 aos si solicito prestado $ 1000 ahora al inters anual del: a) 7% simple b) 7% compuesto.?

7. - Cuanto dinero deber una persona dentro de 1 ao si solicito prestado $600 al: a) 1% de inters simple mensual b)1% de inters compuesto mensual?

8. - Cuanto dinero podra tomar usted prestado ahora si le paga al prestamista $850 dentro de dos aos y la tasa de inters es: a) 6% de inters simple anual b) 6% de inters compuesto anual (inters capitalizable anualmente)?

9. - Si usted solicita prestado $ 1500 ahora y debe pagar $ 1800 dentro de dos aos, cual es la tasa de inters de su crdito?. Suponga que el inters es: a) simple anual b) compuesto anual.

10. - Un amigo cuenta que acaba de pagar un crdito que recibi hace 3 aos y el pago fue de $ 195 qu cantidad pidi prestada? Si el inters que le cobraron fue a) 10% de inters simple anual b) 10% de inters compuesto anual.

11. - A una tasa del 9% anual, estimar el tiempo requerido para duplicar su dinero si el inters es a) simple b) compuesto

12. - Se hacen cinco depsitos iguales de $ 1000 cada dos aos, empezando el prximo ao a una tasa de inters del anual y el monto total acumulado se retirara cuando se hace l ultimo deposito. Haga una lista de los smbolos econmicos y los valores involucrados en el problema as como su diagrama de flujo resultante.

13. - Supongamos que usted quiere retirar $50,000 dentro de 10 aos, y desea saber que cantidad igual debe ahorrar en los aos 5, 7 y ocho, si la tasa de inters es 10% a)simple y b) anual capitalizable anualmente. Dibuje los flujos netos de caja.

14. Una persona invierte de acuerdo a la siguiente informacin

Ao012345678

Cant.1000500300600

Qu cantidad tendr acumulada en el periodo 8? Si la tasa de inters es a) 10% simple por periodo b) 10% compuesto por periodo.

Factores de inters compuesto

Deduccin de las formulas.

La formula se desarrolla determinando el incremento del dinero acumulado (F) despus de n aos (o periodos) partiendo de una nica inversin (P) cuando el inters se computa una vez por ao (o periodo), para facilitar los clculos de equivalencia, se desarrollara una serie de formulas de inters. Se usaran las siguientes notaciones para simplificar la presentacin

.i = tasa de inters por periodo de inters. (Es decir 9% de inters es 0.09)

n = nmero de periodos de inters.

P = una cantidad presente de dinero.

F = una cantidad futura de dinero. La cantidad futura F es una cantidad, a n periodos del presente, que es equivalente a P con una tasa de inters i.

A = ingresos o desembolsos de fin de periodo de una serie uniforme (pagos iguales) que continua por n periodos, siendo la serie completa equivalente a P F con una tasa de inters i.

PeriodoPrincipalIntersMonto Acumulado

0P-P=

1i= PiP+Pi=P(I+i)=

2

=

3

=

----

N

Dicho de otra manera, la suma presente P aumenta n periodos a P(1+i). Por lo tanto, se tiene una relacin entre el valor de una cantidad presente P y el valor de la cantidad futura equivalente F.

Esta es la formula de la cantidad compuesta de un pago nico, y su notacin funcional es (uso de tablas):

Se puede observar que si se tuviera que encontrar el factor de inters compuesto P a partir del valor futuro F la ecuacin resultante seria:

y por tablas su notacin funcional seria:

Ejemplos:

1.-Si se depositan $ 500 en una cuenta de ahorros bancaria, cuanto habr en la cuenta tres aos despus si el banco paga 4% de inters compuesto anualmente?

i=4%

Ingresos F=?

0 1 2 3

desembolsos

P=500

= 500 (1+.04)= 500(1.124864)=562.432

=500=500(1.125)=562.22.- Si una persona deposita $ 1600 hoy, $ 1000 dos aos mas tarde y dentro de siete aos $ 1100, cunto tendr en su cuenta, al hacer su ultimo deposito si la tasa de inters es 5% anual?

3.- Encuentre el valor numrico de los siguientes factores a) por formula b) por tablas:

(

4.- En los diagramas siguientes, encuntrese P y F, suponiendo una tasa de inters del 10% y los periodos n cuatro.

5.- Que cantidad de dinero hoy, es equivalente a $ 8250 dentro de dos aos, si la tasa de inters 8% semestral?

6.- Se tiene un compromiso de pagar $ 2000 que vence en 90 das pero deseo pagarlo dentro de 180 das y cobran intereses del 4% cada 90 das cuanto espera pagar?

7.- Una seora acaba de ganarse $ 45000 en la lotera quiere depositar suficiente dinero de sus ganancias en una cuenta de ahorros con el fin de tener $ 1000 para la educacin de nivel superior de su hijo, supongamos que el hijo tiene 3 aos recin cumplidos y comenzara sus estudios de nivel superior a los 18 aos.

Cunto deber depositar la seora si puede ganar el 7% de inters anual sobre la inversin?

8. Se dice que un minero deposito $ 1 en un banco en 1849, a una tasa del 4% anual, dejando instrucciones para que se retirara y donara a una casa de descanso para mineros incapacitados al llegar a $ 1000. Al final de que ao se debe sacar el dinero?

FACTOR VALOR PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS IGUALES Y DEL FACTOR DE RECUPERACION.

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

P=?

Si F donde j=1......n y F=A

Ecuacin # 1

Multiplicando la ecuacin # 1 por queda:

Ecuacin # 2

Restando la ecuacin #2 menos la ecuacin # 1

.....

para

La formula queda: y para uso de tablas se usa, para el factor de recuperacin la formula quedara de la siguiente manera y para uso de tablas se usa

Ejemplos:

1. - Cuanto dinero puede solicitar prestado hoy si se compromete a pagar $ 600 anuales durante 7 aos, si la tasa de inters es 6%.

2. - Cual es el valor presente de $ 500 por semestre durante 52 semestres a una tasa de inters del 10% semestral.

3. - Un estudiante planea pedir prestado dinero para su ultimo ao de estudio para comprarse un automvil, y difiere sus pagos 6 meses, a partir de los cuales hace 36 pagos al final de cada mes. Si l pagare original es de $ 1800 y el inters es 2% mensual. A cuanto ascendern sus pagos?

4. Una persona recibe un prstamo de $ 1000 al 4% y piensa liquidar el prstamo en 10 pagos anuales. Cul seria el importe de los pagos si el primero lo efecta 3 aos despus de recibir el prstamo?

5. Un banco presta a una persona $ 1000 y recibir pagos de $ 47.50 mensuales, durante 36 meses y el primer pago debe hacerse dentro de 30 das. Cul es la tasa de inters de la transaccin que recibir el banco?

6. Un ejecutivo planea la educacin superior de su hijo que actualmente tiene 2 aos considera que a los 18 aos deber retirar $ 3000 por semestre durante 3 aos, l quiere saber cuanto debe ahorrar a partir del cumpleaos numero 3 hasta los 15 aos de su hijo si le proporcionan donde efecta la inversin un 6%semestral.

7.-Un estudiante de ingeniera compra un carro en un lote de automviles usados de la localidad. El precio total, incluyendo los impuestos y el seguro, fue $1500. Deba pagar en 12 pagos mensuales iguales, haciendo el primer pago de inmediato al primer mes. El inters sobre el prstamo era 1% mensual. Despus de haber hecho seis pagos, decidi vender el automvil. Un comprador acepto pagar una cantidad en efectivo que cubra por completo el prstamo hasta el momento en que debe hacerse el siguiente pago adems acepto pagar al estudiante $500 si no existan cargos penados por saldar la deuda antes de tiempo, cunto le costara el automvil al nuevo comprador?

FACTOR CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FACTOR DEL FONDO DE AMORTIZACION.

La manera mas simple de obtener la formula es empleando las formulas encontradas del valor presente conociendo el valor futuro y la del valor presente de una seria uniforme de flujos iguales:

F=?

0 1 2 3 4 n

por lo que se representara por: Y

Quedando de la siguiente manera: y despejando F quedara: por lo tanto y para uso de tabla y para la serie uniforme la formula quedara de la manera siguiente: y para uso de tablas

Ejemplos:

1. Un hombre al nacer su hijo , a los seis meses inicio hacindole depsitos cada seis meses, la tasa de inters que le otorgaron es del 5% semestral. Al cumplir 20 aos el hijo recibi $ 2000 que se haban acumulado cuanto debi haber depositado cada seis meses para haber acumulado esta cantidad?

2. Una persona pidi un prstamo de $ 4000 a 4 aos, comprometindose a pagar intereses del 6% semestralmente. Al termino de 2 aos recibi una gran cantidad de dinero y pidi saldar su adeudo. Cunto tuvo que pagar en total para liquidar el resto de su deuda?

3.- Una persona ahorra $ 8000 cada ao en un banco que paga el 12% de inters capitalizable anualmente, cuanto tendr ahorrado al finalizar el noveno ao?

4.- Un ejecutivo planea un fondo para financiar la educacin superior de su hijo calcula que necesitara $ 1000 dentro de 10 aos a partir de esta fecha y durante todo ese periodo puede hacer un deposito uniforme al final de cada seis meses. El fondo al que efecta sus pagos obtiene el 4% semestral, a cuanto deber ascender cada deposito.

5.- Una compaa de prestamos anuncia que una persona puede obtener un prstamo de $ 2000 y reembolsarlo en 65 pagos mensuales de $ 47.01. Cada uno. Que tasa de inters esta recibiendo la compaa de prestamos por su capital?

6.- Una persona pidi prestado $ 4000, comprometindose a reembolsar el prstamo por medio de 50 pagos iguales al final de cada mes, a una tasa de inters del 6% mensual. Despus de hacer el pago mensual numero 30se le permiti saldar su adeudo por medio de un solo pago en efectivo. De cuanto fue este ltimo pago?

7.- Un hombre de negocios, que actualmente tiene 40 aos, planea retirarse a los 65 aos y quiere con $ 8000 para entonces con el fin de comprar una casa en la playa. Si actualmente tiene $ 2000 disponibles para depositarlos en un banco, lograra su objetivo si el banco le abona intereses del 6% semestral?

FACTOR VALOR PRESENTE A PARTIR DE UN GRADIENTE UNIFORME

Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir, el flujo caja, ya sea ingresos o desembolsos, varia en la misma cantidad ao con ao. La cantidad del aumento o de la disminucin es el gradiente. Por ejemplo, si un fabricante de ropa predice que el costo de mantenimiento de una maquina cortadora aumentara en $ 500 anuales hasta dar de baja la maquina hay involucrada una serie de gradiente y la cantidad del gradiente es $ 500. As mismo, si la compaa espera que el ingreso disminuya en $ 3000 anuales durante los prximos cinco aos, el ingreso que disminuye representa un gradiente por la cantidad de $ 3000 anuales.

Las formulas desarrolladas anteriormente para los flujos de caja de serie uniforme se originaron con base en pagos de fin de ao de igual valor. En el caso de un gradiente, cada flujo de caja de fin de ao es diferente, de manera que debe deducirse una nueva formula. Al desarrollar una formula que pueda usar para gradientes uniformes, es conveniente suponer que el pago que ocurre al final del ao 1 no involucra un gradiente sino mas bien un pago base. En las aplicaciones reales, el pago es usualmente mayor o menor que el aumento o la disminucin del gradiente. Por ejemplo, si usted compra un auto nuevo con una garanta completa de 12000 Kilmetros, puede esperar razonablemente tener que pagar slo gasolina durante el primer ao de operacin. Supongamos que el costo es de $400; es decir, $400 es la cantidad base.

Sin embargo, despus del primer ao, usted tendra que absorber el costo de reparacin o remplazo de partes y se podra esperar, con toda razn que estos costos aumenten cada ao que tiene el auto en su poder. Por ello, si se calcula que sus costos de operacin aumentan en $ 25 anuales.

0 1 2 3 4 n-1 n

400

425 450

475

(n-2)25+400

(n-1)25+400

G= Cambio anual aritmtico en la magnitud de las entradas o los desembolsos.

El valor de G puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podramos construir un diagrama de flujo generalizado del flujo de caja de gradiente creciente uniforme, como se ilustra a continuacin:

0 1 2 3 4 n-1 n

G

2G

3G (n-2)G

P? (n-1)G

Despus de grficar el gradiente el inicio es en el periodo 2 y la cantidad base tiene un comportamiento de serie uniforme (A=400):

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

P? Serie uniforme A

Deduccin de la formula del gradiente:

EMBED Equation.3

Ecuacin # 1

Multiplicando la ecuacin #1 por quedara de la siguiente forma:

Ecuacin # 2

Restando la ecuacin # 2 menos la ecuacin # 1 queda:

La expresin entre parntesis cuadrados es el valor presente de una serie uniforme de 1 por n aos, podemos sustituir la expresin por el factor .

=

Quedando la formula del gradiente de la siguiente forma:

Al hacer uso de tablas se encontrara por el factor: y la formula para encontrar una serie uniforme a partir del gradiente usar la formula:

y para encontrar el valor en tabla el factor es

Ejemplos:

1.- Suponga que se tienen que hacer los siguientes pagos si la tasa de inters es 15%:

a)

b)

AoPagoAoPago

17000110000

2800029000

3900038000

41000047000

I) Encuentre el valor presente usando la aplicacin del gradiente.

II) Encuentre la serie uniforme (A).

2.- Se han invertido $ 32000 en un negocio que, segn los clculos, proporcionara ingresos de $ 7500 el primer ao, con incrementos de $ 500 anualmente, durante 5 aos. Al final de ese tiempo, los activos que queden de la inversin podran venderse en $ 5000. Si la tasa de inters es 15% anual, determine a) el valor presente b) La serie uniforme anual.

3.- El alcalde de un pequeo pueblo pens que era necesario reconstruir y reforzar el dique que protege al pueblo de un ro cercano. El ingeniero del pueblo estima que el costo del proyecto, al final del primer ao, ser de $85000. Estima que durante los aos siguientes, los costos de reparacin anuales disminuirn en $10000, de modo que los costos del segundo ao sean $75000; el tercer ao $65000, etc. El alcalde quiere saber cul ser el costo presente equivalente de los cinco primeros aos de trabajo, si el inters es de 4% anual.

4.- Se tiene los siguientes flujos de caja si la tasa de inters es 10%, encuentre:

a) El valor presente y b) El costo anual o serie uniforme.

Unidad II (Capitalizacin de inters)

Inters nominal Inters efectivo

En la primera unidad se presentaron los conceptos de tasa de inters simple y compuesto. La diferencia bsica entre los dos es que el inters compuesto incluye el inters sobre los intereses ganados en los periodos previos, mientras que el inters simple no. En esencia, las tasas de inters nominal y efectiva tienen la misma relacin entre si que el inters simple y el compuesto. La diferencia radica en que las tasas de inters nominal y efectiva se usan cuando el periodo de capitalizacin (o periodo de inters) es menor a un ao. As, cuando una tasa de inters se expresa sobre un periodo de tiempo menor que un ao, tal como 1% mensual, los trminos tasa de inters nominal y efectivo deben considerarse.

Un diccionario define la palabra nominal como aparente o pretendido

Estos sinnimos implica que una tasa de inters nominal no es correcto, real, genuina o tasa efectiva. Como lo veremos mas adelante, la tasa de inters nominal debe convertirse a una tasa de inters efectiva con el nimo de reflejar las consideraciones de tiempo- valor exactas. Sin embargo, debemos definir una tasa de inters nominal (r) como la tasa de inters del periodo por l nmero de periodos. En forma de ecuacin, se tiene:

=

Una tasa de inters nominal puede encontrarse para un perodo ms largo que el originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de inters del 1.5% mensual puede expresarse como 4.5% nominal trimestral (esto e 1.5% mensual x 3 meses del trimestre), 9% nominal semestral, 18% nominal anual en la misma forma que el calculo de tasas de inters anual a partir de tasas de inters peridicas, la tasa toma el nombre de tasa de inters efectiva. El clculo de la tasa de inters nominal evidentemente ignora el valor del dinero en el tiempo. Es importante reconocer que todas las formulas de esta unidad se basan en inters compuesto y, por lo tanto solamente tasas de inters efectiva pueden emplearse en las ecuaciones.

La tasa de inters nominal se puede encontrar como tasa de inters anual capitalizable en un periodo menor, donde se puede encontrar una tasa de inters efectiva del periodo menor o del periodo mayor, que para este caso seria el periodo anual. La formula para encontrar el periodo menor seria despejando:

y la formula para el periodo mayor es

Formulacin de la tasa de inters efectiva:

Para ilustrar la diferencia entre tasas de inters nominales y efectivas, se determina el valor futuro de $100 dentro de un ao utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de inters compuesto anualmente (anual capitalizable anualmente), el valor futuro de $100 utilizando una tasa de inters del 12% anual es:

=100(1+0.12)=112

Por otra parte, si el banco paga el inters compuesto semestralmente (anual capitalizable semestralmente), el valor futuro debe incluir el inters sobre el inters ganado durante el primer periodo. Una tasa de inters del 12% anual compuesto semestralmente (inters nominal ya que esta considerando dos periodos) significa que el banco pagara 6% de inters despus de cada 6 meses y otro 6% despus de 12 meses (es decir, cada 6 meses). Por lo que el resultado seria:

=100(1+0.06) =112.36

y usando la formula de inters mayor seria

=

por lo que usando la formula con inters efectivo del periodo mayor quedara:

=100(1+0.1236) =112.36

Ejemplos:

1.- Una compaa de crdito anuncia que su tasa de inters para prestamos es 1% mensual, a) Calcule la tasa de inters efectiva trimestralmente b) Calcule la tasa de inters efectiva anual c) Calcule la tasa de inters efectiva semestral.

2.- Si una persona deposita $500 cada 6 meses durante 7 aos. Cuanto dinero tendr en su cuenta despus de hacer su ltimo depsito, si la tasa de inters es a) 8% anual capitalizable semestralmente b) 8% anual capitalizable anualmente.

3.- Si una persona deposita $1000 hoy, $3000 dentro de 4 aos y $1500 dentro de 6 aos a una tasa de inters de 6% anual capitalizable semestralmente. Cuanto dinero tendr en su cuenta dentro de 10 aos?

4.- Cuanto dinero se acumulara en 8 aos si un inversionista deposita $2500 hoy a una tasa de inters del 8% anual capitalizable semestralmente.?

5.-Si una persona compra un automvil por $5500 y debe pagar mensualmente $200 durante 36 meses, a) Cul es la tasa de inters efectiva de esta transaccin? b) Cul es la tasa de inters efectiva anual?

6.- Cuanto estara usted dispuesto a pagar hoy por una anualidad que le proporcionara $300 trimestralmente durante 6 aos comenzando dentro de 3 meses si la tasa de inters es del 12% anual capitalizable anualmente?

7.- Si una persona deposita $75 en una cuenta de ahorros mensualmente. Cunto dinero habr acumulado dentro de 10 aos si la tasa de inters es del 12% anual capitalizable mensualmente?

8.- Si una persona solicita un prstamo por $3000 y debe cancelar la deuda en 2 aos, con cuotas mensuales iguales. Cual es la cuota mensual si la tasa de inters es 12% anual capitalizable anualmente?

9.- Si una persona hizo un depsito en una suma global hace 12 aos, que ha acumulado hoy $9500. Cunto fue su deposito original, si la tasa de inters recibida es de 4% anual capitalizable trimestralmente?

Pasos para encontrar la tasa de inters efectiva segn sea el movimiento de dinero

Formula para periodo mayor

Formula para periodo menor

1.- Si se tiene una tasa de inters nominal se puede obtener la tasa de inters efectiva periodo menor o bien la tasa de inters efectiva periodo mayor.

r= %periodo mayor capitalizable periodo menor

Si busca periodo mayor usar -

Si busca periodo menor usar

2.- Si se tiene una tasa de inters efectiva periodo mayor y se busca una tasa de inters efectiva periodo menor.

**Buscar t que es l numero de periodos menores que caben en el periodo mayor.

**Usar despejar r y se obtiene:

r= %periodo mayor capitalizable periodo menor

** como se busca periodo menor se usa formula

Se obtiene la tasa de inters efectiva del periodo menor.

3.- Si se tiene una tasa de inters efectiva periodo menor y se busca una tasa de inters efectiva periodo mayor.

**Buscar t que es l numero de periodos menores que caben en el periodo mayor.

**Usar despejar r y se obtiene:

r= %periodo mayor capitalizable periodo menor

**como se busca periodo mayor se usa formula

Se obtiene la tasa de inters efectiva del periodo mayor.

P

200

100 100 100 100

F

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

90

80

70

60

50

40

30

30

30

I.-

100

II.-

140

120

100

80

60

40

20

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

III.-

90

80

70

60

50

90

80

70

60

50

BIEN

40

IV.-

90

80

70

60

50

40

70

40

TRABAJO

SUELDO

PAGO

EMPRESA

CASA

ORGANIZACIN

50

80

60

V.-

65

60

55

50

45

40

40

55

45

50

Naturaleza Biambiental de la Ingeniera.

Satisfaccin de deseo

Produccin

Propuesta de Ingeniera

MEDIO AMBIENTE TOTAL

Medio Medio

FsicoEconmico

60

15

_1060865847.unknown

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_1060946296.unknown

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