ingmat2 2015 - Startsida | Åbo Akademi · Title: ingmat2_2015.dvi Created Date: 11/10/2016 12:43:28 PM

Ingenjörsmatematik II

Föreläsningsmaterial

sammanställt av

Tom Fredman

Fakulteten för naturvetenskaper ochteknik, Åbo Akademi

Femte och omarbetade upplagan 2015

1

Dessa föreläsningsanteckningar är avsedda för kursen “Ingenjörsmatematik II”(5 sp. ECTS) vid Fakulteten för naturvetenskaper och teknik, Åbo Akademi.

Materialet är baserat på nedanstående litteraturförteckning och kan betrak-tas som en fortsättning på motsvarande material för kursen “Ingenjörsmate-matik I” (5 sp. ECTS).

Åbo, mars 2015,

2

Litteraturförteckning

[1] T. M. Apostol. Calculus, volume I, one-variable calculus with an intro-duction to linear algebra. John Wiley & Sons, New York, 2nd edition,1967.

[2] R. A. Adams. Calculus. a complete course. Pearson Education/AddisonWesley, Toronto, 6th edition, 2006.

[3] K.-E. Häggblom Matematik I och II, föreläsningsanteckningar. Labora-toriet för Reglerteknik, Åbo Akademi, 2002.

[4] P. Jönsson MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap. Stu-dentlitteratur, Lund, 2010.

[5] P. Jönsson Modeller och beräkningar med GNU Octave. Studentlittera-tur, Lund, 2007.

[6] E. Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons,Inc., New York, 8th edition, 1999.

3

4 LITTERATURFÖRTECKNING

Innehåll

1 Vektorer, determinanter och matriser 7

1.1 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Skalärprodukt och projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Vektorprodukt och determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Vektorprodukten som determinant . . . . . . . . . . . 201.4 Matrisalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2 Determinanter och matrisinverser . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Linjära ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Partiell derivering 33

2.1 Funktioner av flera variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Grafiska representationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Gränsvärde och kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Notation för partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Partiella derivator av högre ordning . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1 Kedjeregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.2 En oberoende variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.3 Flera oberoende variabler . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 Gradient och riktningsderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Riktningsderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Relativ förändringshastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10 Gradienten i flera dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Tillämpningar på partiell derivering 59

3.1 Extremvärden för flervariabla funktioner . . . . . . . . . . . . 593.2 Klassificering av kritiska punkter . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5

6 INNEHÅLL

3.3 Extremvärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Extremvärden på begränsade områden . . . . . . . . . . . . . 67

4 Multipel integrering 73

4.1 Dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.1 Riemann-summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2 Dubbelintegral över allmänt område . . . . . . . . . . . 784.1.3 Dubbelintegralens egenskaper . . . . . . . . . . . . . . 824.1.4 Beräkning av dubbelintegraler med inspektion . . . . . 83

4.2 Iteration av dubbelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Oegentliga (generaliserade) dubbelintegraler . . . . . . . . . . 894.4 Trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Sekvenser och serier 95

5.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Följder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.1 Följders konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3.1 Partialsumma och konvergens . . . . . . . . . . . . . . 1035.3.2 Geometriska serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3.3 Speciella serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3.4 Satser om serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.5 Positiva serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.6 Absolut och betingad konvergens . . . . . . . . . . . . 1205.3.7 Konvergens hos alternerande serier . . . . . . . . . . . 1225.3.8 Potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.9 Taylor- och MacLaurinserier . . . . . . . . . . . . . . . 1365.3.10 MacLaurin-serier för elementära funktioner . . . . . . . 1385.3.11 Andra MacLaurin- och Taylor-serier . . . . . . . . . . . 140

5.4 Tillämpningar på Taylor- och MacLaurin-serier . . . . . . . . 1425.4.1 Funktioner definierade av integraler . . . . . . . . . . . 1425.4.2 Obestämda former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4.3 Taylor-polynom och Taylors formel . . . . . . . . . . . 1465.4.4 Binomialsatsen och binomialserien . . . . . . . . . . . . 151

Kapitel 1

Vektorer, determinanter och

matriser

1.1 Vektorer

En vektor är en storhet som har både magnitud (storlek, längd) och riktning.Exempelvis rörelsen hos en bil kan beskrivas med en vektor; bilen har en visshastighet och rör sig i en bestämd riktning. Om bilen rör sig från en punktA till en punkt B kan dess rörelse representeras med en vektor v =

−→AB

Anmärkning 1.1.1. I tryckt text betecknas vektorer vanligen med fet stilenligt ovan och i handskrift vanligen med pil ovanför variabelnamnet, somovan i

−→AB.

Två vektorer betraktas som identiska ifall deras riktning och belopp (mag-nitud) sammanfaller, vilket betyder att de är parallella, pekar i samma rikt-ning och är lika långa. Därför kan man oftast parallellförskjuta (flytta den så

A

B

X

Y

−→AB =

−−→XY

Figur 1.1: Identiska vektorer.

7

8 KAPITEL 1. VEKTORER, DETERMINANTER OCH MATRISER

att längd och riktning bibehålls) en vektor så att man låter dess startpunktvara i origo (vektorn brukar då ibland kallas orts- eller positionsvektor). Det-ta tillåter en fullständig beskrivning av vektorn enbart med koordinaternaför dess slutpunkt. För vektorerna

−→AP och

−−→OX gäller:

y

xO = (0,0) p− a

p− a

q − b

A = (a,b) q − b

X = (p− a,q − b)−−→OX

P = (p,q)−→AP

Figur 1.2: Parallellförskjutning av vektorer i ett koordinatsystem.

Längd: |−→AP | =√

(p− a)2 + (q − b)2 = |−−→OX| .

Lutning−→AP =

q − b

p− a= Lutning

−−→OX ,

vilket innebär att−→AP =

−−→OX = (p− a, q − b).

Anmärkning 1.1.2. Såsom ovan antyds, betecknar |v| eller |−→AB| längden ellermagnituden av vektorn v eller

−→AB.

Definition 1.1.1. VektoradditionSumman av två vektorer, med startpunkterna placerade i origo, fås genom

addition av vektorernas koordinater, enligt:

u = (a,b) ,

v = (c,d) ,

u+ v = (a+ c,b+ d) .

Definition 1.1.2. Multiplikation med en skalärOm v är en vektor och t är ett reellt tal (d.v.s. en skalär), så är t · v en

vektor, vars magnitud är |t · v| = |t| · |v| och som har samma riktning som

1.1. VEKTORER 9

x

y

a c a+ c

d

b

b+ d u+ v

v

u

v

u

Figur 1.3: Addition av vektorer i ett koordinatsystem.

v om t > 0 och motsatt riktning om t < 0. För vektorns komponenter gällerdå:

v = (a,b) ,

tv = (ta,tb) .

Om t = 0 har vi tv =−→O = (0,0), nollvektorn, som saknar riktning.

v

O x

y

1

ey

1ex

Figur 1.4: Uppdelning av en vektor i R2 i komponenter med hjälp av basvek-torerna.

Definition 1.1.3. Basvektorer (enhetsvektorer)


I xy-planet (R2) har vi två (standard)basvektorer, nämligen

ex = (1,0) ,

ey = (0,1) .

I xyz-rummet (R3) har vi tre (standard)basvektorer, nämligen

ex = (1,0,0) ,

ey = (0,1,0) ,

ez = (0,0,1) .

Anmärkning 1.1.3. Andra beteckningar för basvektorer förekommer också,exempelvis e1, e2, e3, . . . , en, som är speciellt lämpligt om antalet dimensionerär större än tre, n > 3. I litteraturen används ofta i, j och k, istället för ex,ey och ez.

Alla vektorer kan skrivas som linjära kombinationer av basvektorerna. Envektor v = (x,y) i R2 kan då skrivas i formen

v = xex + yey ,

och en allmän vektor v = (vx,vy,vz) i R3 kan skrivas i formen

v = vxex + vyey + vzez ,

där vx, vy och vz, d.v.s. vektorns x-, y- och z-koordinater, kallas vektornskomponenter.

Som framgår av definitionerna ovan uttrycks summor och skalära mul-tipler av vektorer enkelt med hjälp av vektorernas komponenter. Om t är enskalär och

u = uxex + uyey + uzez ,


så har vi

u+ v = (ux + vx)ex + (uy + vy)ey + (uz + vz)ez ,

tu = (tux)ex + (tuy)ey + (tuz)ez .

1.1. VEKTORER 11

Exempel 1.1.1. Vi uttrycker vektorn 2−→AC − 3

−−→CB med basvektorerna i R2,

då A = (2,−1), B = (−1,4) och C = (0,2). Eftersom en vektor kan parallell-förskjutas, så länge riktning och längd bibehålls, kan vi uppfatta vektorernasom startande från origo (sådana brukar ibland kallas ortsvektorer). Vi kandå bilda

−→AC = (0− 2)ex + (2− (−1))ey = −2ex + 3ey ,−−→CB = (−1− 0)ex + (4− 2)ey = −1ex + 2ey ,

2−→AC − 3

−−→CB = 2 · (−2ex + 3ey)− 3 · (−1ex + 2ey)

= −1ex + 0ey = −ex .

En enhetsvektor har längden 1. Basvektorerna är exempel på enhetsvek-torer. För varje vektor v kan vi bilda en enhetsvektor ev med samma riktningsom v genom att multiplicera med skalären 1

|v| . Vi har då

ev =1

|v|v , |ev| =∣∣∣∣

1

|v|v∣∣∣∣=

|v||v| = 1 .


I kursen Ingenjörsmatematik I definierade vi variabelvärden i Octavemed kommandot

x = 0:0.01:1;

vilket ger en radvektor x med första elementet 0, andra 0,01, tred-je 0,02 o.s.v. till och med det sista elementet 1,0. Om man vill specifi-cera radvektorns element direkt, är kommandot t.ex. v = [1 5 3 0];.En kolumnvektor med samma element fås med v = [1 ; 5 ; 3 ; 0];

eller med transponering bara v’ eller [1 5 3 0]’ . Addition ochsubtraktion samt multiplikation av vektorer med skalär fungerarmed operatorerna +, - och * på vanligt sätt. Exemplet med upp-delningen av 2

−→AC − 3

−−→CB kan utföras enligt:

clear all; % tömmer arbetsminnet

OA = [2 -1]; % ortsvektorn från origo till A

OB = [-1 4]; % ortsvektorn från origo till B

OC = [0 2]; % ortsvektorn från origo till C

AC = OC - OA; % vektorn AC

CB = OB - OC; % vektorn CB

2*AC - 3*CB % slutresultatet; komponenterna

% som koefficienter för basvektorerna

norm(2*AC - 3*CB) % |2*AC - 3*CB|

Om man vill multiplicera eller dividera elementvis, vilket gjordesupprepade gånger i exemplen för Ingenjörsmatematik I, skall mananvända operatorerna .* eller ./ .

Vektorer kan även ritas in i ett xyz-koordinatsystemet enligtexemplet nedan.

clear all;

a = [2 3 5]; % ändpunktskoordinater

b = [1 1 0];

c = a+b; % vektorsumma av ovanstående

starts = zeros(3,3); % utgår från Origo

ends = [a;b;c]; % ändpunkter

% ritar vektorerna

quiver3(starts(:,1), starts(:,2), starts(:,3), ends(:,1), ...

ends(:,2), ends(:,3))

axis equal

1.2. SKALÄRPRODUKT OCH PROJEKTION 13

1.2 Skalärprodukt och projektion

Definition 1.2.1. SkalärproduktOm u och v är vektorer

u = uxex + uyey + uzez ,


så är skalära produkten u · v det reella talet (skalären)

u · v = uxvx + uyvy + uzvz .

Från definitionen ovan kan vi rutinmässigt verifiera följande aritmetiskaegenskaper:

u · v = v · uu · (v +w) = u · v + u ·w(tu) · v = u · (tv) = t (u · v) , t ∈ R

u · u = |u|2

Följande resultat ger en geometrisk tolkning av skalära produkten:

Sats 1.2.1. SkalärproduktOm θ, 0 ≤ θ ≤ π, är vinkeln mellan (riktningarna för) vektorerna u och

v, så gälleru · v = |u||v| cos (θ) .

u− v

C

−vO

DBu

θ v

A

u− v

Figur 1.5: Cosinussatsen tillämpad på två vektorer u och u i R2 med mellan-liggande vinkeln θ, 0 ≤ θ ≤ π .


Bevis. Betrakta vektorerna i figuren 1.5. Addition av vektorerna u och −v

ger vektorn−−→OD = u − v. Vektorn

−→BA är identisk med denna eftersomn−−→

OD och−→BA har samma längd och riktning. Tillämpning av cosinussatsen på

triangeln OBA (se exempelvis tabellerna eller repetitions-/skolkursen) gernu

|u− v|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos (θ)= (u− v) · (u− v)

= u · (u− v)− v · (u− v)

= u · u− u · v− v · u+ v · v= |u|2 − 2u · v + |v|2 .

Jämförelse av högra leden i den första och den sista likheten ger

u · v = |u| |v| cos (θ) .

Exempel 1.2.2. Vi bestämmer vinkeln mellan vektorerna u = 2ex+ey−2ezoch v = 3ex − 2ey − ez. Mellanliggande vinkel, θ, 0 ≤ θ ≤ π, kan bestämmasmed användning av skalärprodukten enligt

u · v = |u||v| cos (θ) ⇔cos (θ) =

u · v|u||v| ⇔

θ = arccos

(u · v|u||v|

)

= arccos

(

2 · 3 + 1 · (−2) + (−2) · (−1)√

22 + 12 + (−2)2√

32 + (−2)2 + (−1)2

)

= arccos

(6

3 ·√14

)

= arccos

(2√14

)

≈ 1,0069 (rad).

Definition 1.2.2. Skalär projektionSkalära projektionen s av vektorn u i riktning av vektorn v 6= 0 är

s =u · v|v| = |u| cos (θ) ,

där θ, 0 ≤ θ ≤ π, är vinkeln mellan u och v.

1.2. SKALÄRPRODUKT OCH PROJEKTION 15

vs

uv

u

θ

Figur 1.6: Projektionen av vektorn u på vektorn v.

Definition 1.2.3. VektorprojektionVektorprojektionen uv av vektorn u i riktning av vektorn v 6= 0 är

uv = sev = sv

|v| =u · v|v|2 v ,

där s är den skalära projektionen.

u

v

ex + ey

3ex + ey

Figur 1.7: Uppdelning av vektorn 3ex + ey i komponenterna u och v.

Exempel 1.2.3. Vi uttrycker vektorn 3ex + ey som en summa u + v, därvektorn u är parallell med vektorn ex + ey och vektorn v är vinkelrät motu. Vi konstaterar att eftersom u skall vara parallell med ex + ey ges den av


vektorprojektionen av 3ex + ey på vektorn ex + ey.

u =(3ex + ey) · (ex + ey)

|ex + ey|2(ex + ey)

=3 · 1 + 1 · 112 + 12

(ex + ey)

= 2ex + 2ey .

Emedan 3ex + ey = u+ v fås

v = 3ex + ey − u = 3ex + ey − 2ex − 2ey = ex − ey .

1.3 Vektorprodukt och determinant

Definition 1.3.1. Vektorprodukt (kryssprodukt)

θ

u

v

|v| sin (θ)

u× v

Figur 1.8: Högertriaden u, v och u× v.

Vektorprodukten (även kallad kryssprodukten) u × v av två vektorer u

och v i R3 är den entydiga vektor som uppfyller villkoren

(i) (u× v) · u = 0 och (u× v) · v = 0, d.v.s. (u× v) ⊥ u och v.

(ii) |u× v| = |u||v| sin θ,1 där θ är vinkeln mellan vektorerna u och v.

(iii) Vektorerna u, v och u× v bildar en högertriad.

1|u||v| sin θ är arean av parallellogrammet som uppspänns av vektorerna u och v.

1.3. VEKTORPRODUKT OCH DETERMINANT 17

Sats 1.3.1. Vektorproduktens komponenterOm {

u = uxex + uyey + uzezv = vxex + vyey + vzez

så är

u× v = (uyvz − uzvy) ex

+ (uzvx − uxvz) ey

+ (uxvy − uyvx) ez .

som minnesregel kan man använda cykliska permutationen

x

ւ տy → z

Bevis. Utgående från definitionen på kryssprodukten kan dess egenskapervisas gälla även satsens uttryck för u× v.

Exempel 1.3.2. Beräkning av vektorprodukter för basvektorer.

ex × ex = 0 , ex × ey = ez , ey × ex = −ez ,

ey × ey = 0 , ey × ez = ex , ez × ey = −ex ,

ez × ez = 0 , ez × ex = ey , ex × ez = −ey .

Anmärkning 1.3.1. Vektorprodukten har följande algebraiska egenskaper : Omu, v och w är vektorer och t ∈ R är en skalär så gäller

(i) u× u = 0.

(ii) u× v = −v × u.

(iii) (u+ v)×w = u×w + v ×w.

(iv) u× (v +w) = u× v + u×w.

(v) (tu)× v = u× (tv) = t (u× v).

(vi) u · (u× v) = v · (u× v) = 0.


(vii) u×(v ×w) 6= (u× v)×w, utom i specialfall då de ingående vektorernaråkar ha särskilda egenskaper.

Vissa av formlerna ovan som innehåller vektorprodukten kan förenklasmed hjälp av determinanten.

Definition 1.3.2. Determinanten av 2× 2- och 3× 3-matriser.En 2× 2 matris är en slags tabell, innehållande reella tal enligt

A =

[a b

c d

]

, a, b, c, d ∈ R .

Idén med matriser är att man kan utföra beräkningar med sådana som hel-heter i stället för med de i matrisen ingående elementen separat, eftersommånga räkneoperationer, egenskaper och resultat som gäller för enskilda talkan generaliseras till att gälla även för matriser. Determinanten av en 2× 2-matris är

det (A) =

∣∣∣∣

a b

c d

∣∣∣∣= ad− bc .

Determinanten av en 3× 3-matris

B =

a b c

d e f

g h i

, a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R ,

är

det (B) =

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= aei+ bfg + cdh− ceg − bdi− afh .

Gruppering av termerna i uttrycket ovan för determinanten av en 3 × 3-matris ger

det (B) = a(ei− fh)− b(di− fg) + c(dh− eg) .

Om parenteserna identifieras som determinanter av 2× 2-matriser fås∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= a

∣∣∣∣

e f

h i

∣∣∣∣− b

∣∣∣∣

d f

g i

∣∣∣∣+ c

∣∣∣∣

d e

g h

∣∣∣∣.


Detta kallas en utveckling i underdeterminanter enligt första raden för deter-minanten det (B) av 3 × 3-matrisen B. En utveckling i underdeterminanterkan göras enligt vilken rad eller kolumn som helst. Om ett element som mantar som koefficient i utvecklingen (a, b och c i utvecklingen ovan) befinner sigi rad i och kolumn j i matrisen B, fås den tillhörande underdeterminantengenom att man stryker rad i och kolumn j i matrisen B som utvecklas. Dess-utom skall en viss term i utvecklingen ha negativt förtecken om i+ j för denaktuella koefficienten är udda och positivt förtecken om i+ j för den aktuellakoefficienten är jämnt.

Exempel 1.3.3. Utveckling av matrisen B ovan enligt andra kolumnen∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= − b

∣∣∣∣

d f

g i

∣∣∣∣

︸︷︷︸

+ e

∣∣∣∣

a c

g i

∣∣∣∣

︸︷︷︸

− h

∣∣∣∣

a c

d f

∣∣∣∣

︸︷︷︸i = 1 , j = 2

i + j = 3i = 2 , j = 2

i + j = 4i = 3 , j = 2

i + j = 5

= − b (di− fg) + e (ai− cg) − h (af − cd)= a (ei− fh) − b (di− fg) + c (dh− eg) ,

vilket överensstämmer med definitionen.

Exempel 1.3.4. Vi beräknar 3× 3-determinanten med utveckling andra ra-den eller tredje kolumnen emedan dessa innehåller en nolla (vi behöver dåendast beräkna två 2× 2-determinanter, då koefficienten för en av dessa blirnoll). I allmänhet lönar det sig alltid att tillämpa denna strategi vid utveck-ling i underdeterminanter; välj alltid den rad eller kolumn som innehållerflest nollor! I detta fall ger utveckling enligt andra raden resultatet

∣∣∣∣∣∣

1 4 −2−3 1 02 2 −3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+1(−3)

∣∣∣∣

4 −22 −3

∣∣∣∣+ (−1)2+2

∣∣∣∣

1 −22 −3

∣∣∣∣

= 3 (4(−3)− (−2)2) + ((−3)− (−2)2)

= −24 + 1 = −23 .

Anmärkning 1.3.2. Egenskaper hos determinanter.

(i) Om två rader eller kolumner i determinanten byter plats så byter de-terminanten tecken

∣∣∣∣∣∣

d e f

a b c

g h i

∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

.


(ii) Om två rader eller kolumner är lika, så är determinanten lika med noll∣∣∣∣∣∣

a b c

a b c

g h i

∣∣∣∣∣∣

= 0 .

(iii) Om en multipel av en rad (eller kolumn) adderas till en annan rad (ellerkolumn) så förblir determinanten oförändrad

∣∣∣∣∣∣

a b c

d+ ta e+ tb f + tc

g h i

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

, t ∈ R .

(iv) Om en rad (eller kolumn) multipliceras med en konstant t ∈ R så blirdeterminanten densamma som fås då determinanten av den ursprungli-ga matrisen multipliceras med konstanten t determinanten oförändrad

∣∣∣∣∣∣

a tb c

d te f

g th i

∣∣∣∣∣∣

= t

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

, t ∈ R .

Dessa egenskaper följer av definitionen på determinant.

1.3.1 Vektorprodukten som determinant

För {u = uxex + uyey + uzezv = vxex + vyey + vzez

hade vi enligt definitionen på vektorprodukt

u× v = (uyvz − uzvy) ex

+ (uzvx − uxvz) ey

+ (uxvy − uyvx) ez .

Vi kan nu notera följande samband

uyvz − uzvy =

∣∣∣∣

uy uz

vy vz

∣∣∣∣,

uzvx − uxvz =

∣∣∣∣

uz ux

vz vx

∣∣∣∣= −

∣∣∣∣

ux uz

vx vz

∣∣∣∣,

uxvy − uyvx =

∣∣∣∣

ux uy

vx vy

∣∣∣∣.


Detta leder till att vi kan uttrycka vektorprodukten som en determinantenligt

u× v =

∣∣∣∣

uy uz

vy vz

∣∣∣∣ex −

∣∣∣∣

ux uz

vx vz

∣∣∣∣ey +

∣∣∣∣

ux uy

vx vy

∣∣∣∣ez

=

∣∣∣∣∣∣

ex ey ezux uy uz

vx vy vz

∣∣∣∣∣∣

.

Den första raden i den fulla determinanten innehåller således basvektorernaex, ey och ez i stället för skalärer.

u

v×w

θ

v

w

Figur 1.9: Parallellepipeden som uppspänns av de tre vektorerna u, v ochw..

Exempel 1.3.5. Vi bestämmer volymen av parallellepipeden som uppspännsav de tre vektorerna u, v och w. Volymen ges av arean av en sida hos pa-rallellepipeden multiplicerad med höjden vinkelrätt mot denna sida. Arean avden sida som uppspänns av vektorerna v och w är |v ×w|. Höjden mot den-na sida ges av skalära projektionen av vektorn u längs med vektorn v × w,d.v.s.

∣∣∣∣

u · (v ×w)

|v ×w|

∣∣∣∣= |u| |cos θ| ,

där θ är vinkeln mellan vektorerna u och v×w. Då fås volymen som areanav den sida som utgör bas gånger höjden enligt

V = |v×w| |u| |cos θ| = |u · (v ×w)| .


Definition 1.3.3. Skalär trippelprodukt.Storheten u · (v ×w) kallas skalära trippelprodukten av vektorerna u, v

och w.

Den skalära trippelprodukten kan uttryckas med determinanter

u · (v ×w) = ux

∣∣∣∣

vy vzwy wz

∣∣∣∣− uy

∣∣∣∣

vx vzwx wz

∣∣∣∣+ uz

∣∣∣∣

vx vywx wy

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

ux uy uz

vx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣

.

Från determinantens egenskaper kan man härleda sambanden

u · (v ×w) = v · (w× u) = w · (u× v) ,

u · (v ×w) = −u · (w× v) .


I Octave kan skalär- och vektorprodukterna beräknas med komman-dona

dot(u,v); % skalärprodukten av vektorerna u och v

cross(u,v); % vektorprodukten av vektorerna u och v

Beaktas bör här att skalärprodukten är definierad även för komplexavektorer i Cn, enligt:

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn ,

där uk betecknar komplexa konjugatet av den aktuella vektorkom-ponenten. Vi betraktar nu punkterna A, B och C som definierar ettplan (vi kan alltså placera in en plan yta i R3 som går igenom allatre punkterna). En normalvektor till planet ges av:

n =−→AB ×−→

AC .

En punkt P = (x,y,z) ligger i planet precis då vektorn−→AP är vinkel-

rät mot vektorn n, vilket innebär att n ·−→AP = 0. Detta är samtidigtekvationen för planet, eftersom likheten i så fall gäller för godtyck-liga värden på x, y och z. Vi beräknar nu n enligt


A = [0 1 2]; % definerar komponenterna hos vektorn A

B = [3 2 1]; % samma för B

C = [4 -1 0]; % samma för C

AB = B - A; % bildar vektorn AB

AC = C - A; % bildar vektorn AC

n = cross(AB,AC) % AB kryss AC

Vektorn−→AP är således

−→AP = (x− 0)ex + (y − 1)ey + (z − 2)ez

och planets ekvation således

−4(x− 0) + 2(y − 1)− 10(z − 2) = 0 .


1.4 Matrisalgebra

1.4.1 Matriser

En m × n-matris är en rektangulär tabell med mn element grupperade i mrader och n kolumner. Om aij är elementet i i:te raden och j:te kolumnen imatrisen A så är

A = (aij) , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ,

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

, aij ∈ R .

Om antalet rader är detsamma som antalet kolumner, d.v.s. m = n, kal-las matrisen kvadratisk. Den transponerade matrisen, AT, till matrisen A

definieras

AT =

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

.... . .

...a1n a2n · · · amn

, aij ∈ R .

Matrisens AT rader är alltså matrisens A kolumner. En n-vektor x kan be-traktas som en n× 1-matris

x =

x1

x2...xn

, xi ∈ R ,

och kallas kolonnvektor. Dess transponerade vektor

xT =[x1 x2 · · · xn

], xi ∈ R ,

är en 1× n-matris och kallas en radvektor.

Definition 1.4.1. Matrismultiplikation

1.4. MATRISALGEBRA 25

Om A = (aij) är en m× n-matris och B = (bij) är en n× p-matris, så ärprodukten AB en m× p-matris

AB = C = (cij) ,

med elementen

cij =

n∑

k=1

aikbkj ,

{i = 1, . . . , m ,

j = 1, . . . , p .

Elementet cij är således skalärprodukten av rad i i matrisen A med kolumn j

i matrisen B.

Vi kan på basen av definitionen ovan formulera en tumregel för matris-multiplikation, som illustreras grafiskt i Figuren 1.10.

Figur 1.10: Multiplikation av två matriser.

Observation 1.4.1. Matrismultiplikationen AB kan utföras endast om ma-trisen A har lika många kolumner som matrisen B har rader!

Egenskap 1.4.2. För matrismultiplikation gäller följande

(i) AssociativitetA (BC) = (AB)C = ABC .

(ii) Ej kommutativitetAB 6= BA .


(iii) Transponering(AB)T = BTAT .

Exempel 1.4.3. Vi visar att matriserna

A =

[1 23 0

]

, B =

[1 −11 1

]

inte kommuterar, d.v.s. att AB 6= BA. Vi kan bilda matrisprodukterna

AB =

[1 23 0

] [1 −11 1

]

=

[1 · 1 + 2 · 1 1 · (−1) + 2 · 13 · 1 + 0 · 1 3 · (−1) + 0 · 1

]

=

[3 13 −3

]

,

BA =

[1 −11 1

] [1 23 0

]

=

[1 · 1− 1 · 3 1 · 2− 1 · 01 · 1 + 1 · 3 1 · 2 + 1 · 0

]

=

[−2 24 2

]

.

Definition 1.4.2. MatrisadditionOm A och B är två m× n-matriser så är deras summa A+B en m× n-

matrisA+B = C = (cij)

där

cij = aij + bij ,

{i = 1, . . . , m ,

j = 1, . . . , n .

Summeringen sker alltså elementvis.

1.4.2 Determinanter och matrisinverser

Determinanten för en kvadratisk n× n-matris A betecknas

det (A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Determinanten kan beräknas genom successiv utveckling i underdeterminan-ter, enligt en rad eller en kolumn, ända tills man når underdeterminanter avstorleken 2 × 2 (eller 3 × 3) som enkelt kan bestämmas med givna formler.Från definitionen på determinant kan man också verifiera följande

Egenskap 1.4.4. Om A och B är n× n-matriser gäller


(a)det (kA) = kn det (A) , k ∈ R .

(b)det(AT)= det (A) .

(c)det (AB) = det (A) det (B) .

En matris sägs vara singulär om det (A) = 0, annars är den icke-singuläreller inverterbar. En n× n-matris är singulär om raderna (eller kolumnerna)betraktade som vektorer (rad- eller kolumnvektorer) x1,x2, . . . ,xn satisfieraren eller flera linjära ekvationer

c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn = 0 .

där åtminstone en av koefficienterna c1, c2, . . . , cn är olika noll. Vektorerna,d.v.s. raderna eller kolumnerna, sägs i detta fall vara linjärt beroende eftersomen av dem då alltid kan uttryckas med hjälp av de övriga. Exempelvis i falletc1 6= 0 har vi

−x1 =c2

c1x2 +

c3

c1x3 + · · ·+ cn

c1xn .

Den kvadratiska matrisen I, med dim(I) = n × n, vilket betyder attmatrisen har n rader och n kolumner

I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

,

med ettor på diagonalen och nollor för alla andra element, kallas identitets-matrisen. Identitetsmatrisen kommuterar med alla matriser av samma di-mension (storlek), d.v.s. alla n× n-matriser. Vi har då, för dim(A) = n× n,att

AI = IA = A .

Identitetsmatrisen spelar alltså samma roll i matrisalgebran som talet 1 görför de reella talen.


Inversen till en icke-singulär n× n-matris A är den icke-singulära n× n-matris A−1 som uppfyller

A ·A−1 = A−1 ·A = I .

Dessutom har vi resultatet:

Sats 1.4.5. Varje icke-singulär matris A har en unik invers A−1 med egen-skaperna

(a)

det(A−1

)=

1

det (A),

(b)(A−1

)T=(AT)−1

.

Bevis. Vi utnyttjar tidigare behandlade egenskaper hos matriser.

(a) Vi konstaterar, att det (I) = 1. Från egenskaperna hos determinantenfås då

1 = det (I) = det(AA−1

)= det (A) det

(A−1

),

och division med det (A) 6= 0 ger påståendet.

(b) Från definitionen på inversa matrisen, identitetsmatrisen samt egenska-perna hos matrismultiplikation har vi

I = (I)T

=(AA−1

)T

=(A−1

)TAT .

Multiplikation, i båda leden av likheten ovan, från höger med den icke-singulära matrisen

(AT)−1

ger då påståendet.

Exempel 1.4.6. Vi visar att matrisen

A =

[1 −11 1

]


är icke-singulär och bestämmer dess invers. Matrisens determinant är

det (A) =

∣∣∣∣

1 −11 1

∣∣∣∣= 1 · 1− (−1) · 1 = 2 6= 0 .

d.v.s. A är icke-singulär och således också inverterbar. Låter nu den inversamatrisen A−1 vara

A−1 =

[a b

c d

]

.

Eftersom AA−1 = I har vi då matrislikheten

AA−1 =

[1 −11 1

] [a b

c d

]

=

[1 00 1

]

= I ,

eller [a− c b− d

a + c b+ d

]

=

[1 00 1

]

.

Detta är en likhet mellan två matriser och måste således gälla elementvis.Vi kan då jämföra elementen i samma positioner i respektive matriser ochkomma fram till ekvationssystemet

a− c = 1b− d = 0a+ c = 0b+ d = 1

.

Om vi adderar den första och den tredje ekvationen elimineras c och vi får2a = 1 och om vi adderar den andra och den tredje ekvationen elimineras d

och vi får 2b = 1. De eliminerade variablerna fås genom insättning av a = 12

och b = 12

i den första respektive andra ekvationen. Resultatet av detta blirc = −1

2och d = 1

2. Den inverterade matrisen kan då skrivas ner enligt

A−1 =1

2

[1 1

−1 1

]

.

1.4.3 Linjära ekvationssystem

Ett system av n linjära ekvationer med n obekanta x1, x2, . . ., xn har formen

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

. . ....

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn .


Ekvationssystemet kan i kompakt form skrivas som ekvationssystemet Ax =b, där

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

, x =

x1

x2...xn

, b =

b1b2...bn

.

Om matrisen A är icke-singulär har systemet den entydiga lösningen

x = A−1b ,

vilket kan enkelt verifieras; Ax = AA−1b = Ib = b. Om däremot A ärsingulär saknar systemet unik lösning.

Exempel 1.4.7. Vi löser ekvationssystemet{

x1 − x2 = 1 ,

x1 + x2 = −1 .

I matrisform har vi systemet Ax = b, med

A =

[1 −11 1

]

, x =

[x1

x2

]

, b =

[1

−1

]

.

Eftersom vi från tidigare exempel vet att A är icke-singulär och således in-verterbar kan vi använda den tidigare bestämda matrisinversen till att direktskriva upp systemets lösning enligt x = A−1b, eller

x =

[x1

x2

]

= A−1b =1

2

[1 1

−1 1

] [1

−1

]

=

[0

−1

]

.

Linjära ekvationssystem med n ekvationer och n obekanta som har enunik lösning kan även lösas med användning av

Sats 1.4.8. Cramer’s regelLåt A vara en icke-singulär n × n-matris. Då har lösningsvektorn x till

systemet Ax = b komponenterna xi =det (Ai)det (A)

, där

det (Ai) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1(i−1) b1 a1(i+1) · · · a1,na21 a22 · · · a2(i−1) b2 a2(i+1) · · · a2,n...

.... . .

......

.... . .

...an1 an2 · · · an(i−1) bn an(i+1) · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

d.v.s. kolumn nummer i ersätts med vektorn b.


Bevis. Vi utnyttjar kända egenskaper hos determinanter. Från tidigare vetvi att om en multipel av en rad (eller kolumn) adderas till en annan rad(eller kolumn) så förblir determinanten oförändrad. Dessutom vet vi att omen kolumn multipliceras med en konstant så blir determinanten densammasom fås då determinanten av den ursprungliga matrisen multipliceras medkonstanten. Vi kan då granska det (Ai) genom omskrivning med ekvationernai systemet Ax = b som vi skall lösa

det (Ai) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1(i−1) (a11x1 + · · ·+ a1nxn) a1(i+1) · · · a1,na21 · · · a2(i−1) (a21x1 + · · ·+ a2nxn) a2(i+1) · · · a2,n...

. . ....

......

. . ....

an1 · · · an(i−1) (an1x1 + · · ·+ annxn) an(i+1) · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Om vi nu subtraherar från kolumn i kolumn 1 multiplicerad med x1, kolumn2 multiplicerad med x2, . . ., kolumn i−1 multiplicerad med xi−1, kolumn i+1multiplicerad med xi+1, . . . samt kolumn n multiplicerad med xn så kommerdeterminantens värde inte att ändras och vi får determinanten i formen

det (Ai) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1(i−1) a1ixi a1(i+1) · · · a1,na21 · · · a2(i−1) a2ixi a2(i+1) · · · a2,n...

. . ....

......

. . ....

an1 · · · an(i−1) anixi an(i+1) · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, 1 ≤ i ≤ n .

Eftersom kolumn i nu är multiplicerad med faktorn xi, så ser vi att determi-nanten kan skrivas som

det (Ai) = xi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1(i−1) a1i a1(i+1) · · · a1,na21 · · · a2(i−1) a2i a2(i+1) · · · a2,n...

. . ....

......

. . ....

an1 · · · an(i−1) ani an(i+1) · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= xi det (A) , 1 ≤ i ≤ n .

Division med det (A) 6= 0 ger påståendet.


Det flesta tänkbara funktioner för matris- och vektorberäkningarfinns tillgängliga i Octave. Låt oss definiera matriserna


A = [1 -5 1;4 1 2]; % en 2x3-matris, raderna skrivs in

% som sådana och skiljs åt med ;

B = A’; % transponerade, alltså en 3x2-matris

A + A % exempel på addition/subtraktion

eye(2) % 2x2-enhetsmatrisen

C = A*B % multiplikation, ger i detta fall

% en 2x2-matris

D = B*A % multiplikation, ger i detta fall

% en 3x3-matris

D = D + eye(3) % adderar till 3x3-enhetsmatrisen

det(D) % determinanten av resultatet ovan

inv(D) % inversen av 3x3-matrisen D

Linjära ekvationssystem kan också lösas i Octave, betrakta exem-pelvis systemet i exemplet ovan:


A = [1 -1;1 1]; % 2x2-koefficientmatrisen

% i vårt ekvationssystem

b = [1;-1]; % vektorn i högra ledet

det(A) % kontrollerar determinanten

Ai = inv(A) % inverterar A-matrisen

x1 = Ai * b % multiplicerar inversen med b

x2 = A\b % snabbare, direkt metod med

% backslash-operatorn

Den direkta metoden är dubbelt snabbare än användning av inver-sen.

Kapitel 2

Partiell derivering

2.1 Funktioner av flera variabler

Definition 2.1.1. Flervariabel funktionEn funktion f av n variabler x1, x2, . . ., xn är en regel som tilldelar

varje punkt (x1, x2, . . . , xn) i en delmängd D(f) av Rn ett unikt reellt talf (x1, x2, . . . , xn). D(f) kallas funktionens definitionsmängd och mängden avde reella talen f (x1, x2, . . . , xn) erhållna från punkter i D(f) kallas funktio-nens värdemängd R(f).

f : D(f) ⊂ Rn → R(f) ⊂ R .

Med vektorbeteckningen x = (x1, x2, . . . , xn), x ∈ D(f) kan funktions-värdet skrivas f (x).

Exempel 2.1.1. Volymen V av en cylinder med basradien r och höjden h

är en funktion av dessa två variabler, d.v.s.

V = f(r,h) , där f(r,h) = πr2h , (r > 0 , h > 0) .

2.2 Grafiska representationer

En funktion f (x1, x2, . . . , xn) kan representeras med sin graf

(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)) .

33

34 KAPITEL 2. PARTIELL DERIVERING

Exempel 2.2.1. FunktionsytorGrafen (x, y, z = f(x,y)) för funktionen f(x,y) är ytan z = f(x,y) i rum-

met R3. Grafen för funktionen f(x,y,z) är en tredimensionell hyperyta i R4

och grafen för funktionen f (x1, x2, . . . , xn) är en n-dimensionell yta i Rn+1.

Ett alternativt sätt att grafiskt representera en funktion f(x,y) av tvåvariabler x och y är att ange dess nivåkurvor i xy-planet.

f(x,y) = C , C = konstant.

Nivåkurvorna utgör vertikala projektioner av skärningskurvorna mellan gra-fen z = f(x,y) och de horisontella planen z = C. I praktiken väljer man ettlämpligt antal nivåkurvor med givna värden på C.

Exempel 2.2.2. Man kan få en bild av nivåskillnader i terrängen på en kartagenom att rita in höjdkurvor. Sådana förekommer på t.ex. orienteringskar-tor och beskriver då den tredimensionella terrängen på den tvådimensionellapapperskartan.

Exempel 2.2.3. Funktionen f(x,y) = x2 + y2 har grafen z = x2 + y2 ochnivåkurvorna z = x2+ y2 = C. Nivåkurvorna är alltså cirklar med mittpunkti origo.

En funktion f(x,y,z) av tre variabler har nivåytor i tredimensionella rum-met R

3, som definieras av ekvationerna

f(x,y,z) = C , C = konstant .

2.2. GRAFISKA REPRESENTATIONER 35

√2

0

−√2

−10

1

0

2

4

6

z

x y

z

Figur 2.1: Grafen med tillhörande nivåkurvor för funktionen f(x,y) = x2+y2.


Funktionsytan för z = f(x,y) kan ritas i ett (x,y,z)-koordinatsystempå området (x,y) ∈ [a,b]× [c,d] genom att först skapa ett rutnät

(xij , yij) , i = 1, 2, . . . , m , j = 1, 2, . . . , n.

Med dessa kan man därefter beräkna funktionsvärdena zij = f (xij , yij)och förbinda dessa till ett nätverk som approximerar ytan. Ju finarerutnät, desto bättre kommer intrycket av en sammanhängande ytaatt bli. Betrakta exempelvis funktionen

z = f(x,y) =1

0,2x2 + y2 + 0,3+

1

(x− 2)2 + (y + 2)2 + 0,5,

Vi ritar funktionsytan, nivåkurvorna samt funktionsytan förseddmed nivåkurvor i (x,y)-planet med Octave enligt:


x = -2:0.2:4; % x-skala

y = -4:0.2:2; % y-skala

[X,Y] = meshgrid(x,y); % rutnät, X och Y är

% matriser med identiska

% rader eller kolumner

% funktionsvärden, räknas

% elementvis

Z = 1./(0.2*X.^2+Y.^2+0.3) + ...

1./((X-2).^2+(Y+2).^2+0.5);

mesh(X,Y,Z); % funktionsytan

xlabel(’x’); % märker koordinataxlarna

ylabel(’y’);

zlabel(’z’);

figure; % ny figur

contour(X,Y,Z); % nivåkurvor

figure; % ny figur

meshc(X,Y,Z); % funktionsyta med nivå-

% kurvor i xy-planet

Observera att graferna i R3 för funktionsytorna kan vridas för attfå bästa infallsvinkel.

2.3. GRÄNSVÄRDE OCH KONTINUITET 37

2.3 Gränsvärde och kontinuitet

Definition 2.3.1. GränsvärdeFunktionen f(x,y) av två variabler har gränsvärdet L när (x,y) närmar

sig punkten (a,b) från en godtycklig riktning, och vi skriver

lim(x,y)→(a,b)

f(x,y) = L ,

om det för varje ǫ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att

|f(x,y)− L| < ǫ om 0 <√

(x− a)2 + (y − b)2 < δ ,

där√

(x− a)2 + (y − b)2 är avståndet från punkten (x,y) till punkten (a,b).

Definitionen ovan kan utvidgas till funktioner av flera variabler än tvåoch de vanliga gränsvärdesreglerna kan generaliseras till att gälla för allaflervariabla funktioner.

Anmärkning 2.3.1. Kravet att funktionen f(x,y) skall närma sig sammagränsvärde L oberoende av hur (x,y) närmar sig punkten (a,b) kan varaproblematiskt.

Exempel 2.3.1. Vi undersöker gränsvärdet

lim(x,y)→(0,0)

2x2y

x4 + y2.

Vi konstaterar, att funktionen f(x,y) = 2x2y

x4+y2är definierad överallt utom just

i punkten (a,b) = (0,0).

(i) Vi ser att f(x,y) = 0 på koordinataxlarna (x = 0 eller y = 0) menskillt från origo, där funktionen är odefinierad. Ifall gränsvärdet över-huvudtaget existerar måste det då gälla att

lim(x,y)→(0,0)

2x2y

x4 + y2= 0 ,

ty vi kan ju närma oss origo längs någon av koordinataxlarna.

(ii) För punkter (x,y) på en rät linje genom origo med riktningskoefficien-ten k, d.v.s. y = kx, k 6= 0, fås

lim(x,kx)→(0,0)

2kx3

x4 + k2x2= lim

x→0

2kx

x2 + k2= 0 .


(iii) Längs parabeln y = x2 fås emellertid

lim(x,x2)→(0,0)

2x4

x4 + x4= lim

x→0

2x4

2x4= 1 .

Detta visar således att

lim{

(x,y) → (0,0) ,

y = x2 .

f(x,y) = lim{

(x,y) → (0,0) ,

y = x2 .

2x2y

x4 + y26= 0

och gränsvärdet lim(x,y)→(0,0) f(x,y) kan alltså inte existera.

Definition 2.3.2. KontinuitetFunktionen f(x,y) är kontinuerlig i punkten (a,b) om

lim(x,y)→(a,b)

f(x,y) = f(a,b) .

2.3. GRÄNSVÄRDE OCH KONTINUITET 39

Gränsvärden av flervariabla funktioner kan undersökas med Octavepå samma sätt som vi gjorde i kursen Ingenjörsmatematik I för enva-riabla funktioner. Man håller helt enkelt de icke-berörda variablernakonstanta. Vi studerar följande funktion:

f(x,y) =x2y

(x2 + y)2

På samma sätt som ovan kan man påvisa, att gränsvärde i origosaknas. Vi ritar ut funktionsytan och motsvarande nivåkurvor förnivåerna z = −4,−4 + ∆z, . . . , 2:


x = -4:0.1:4; % x-skala

y = -4:0.1:4; % y-skala

[X,Y] = meshgrid(x,y); % rutnät, X och Y är

% matriser med identiska

% rader eller kolumner

% funktionsvärden, räknas

% elementvis

Z = Y .* X.^2 ./ ( X.^2 + Y ).^2;

mesh(X,Y,Z); % funktionsytan


ylabel(’y’);

zlabel(’z’);

axis([-4 4 -4 4 -4 4]);

figure;

contour(X,Y,Z,[(-4:0.1:2)]);


ylabel(’y’);

Vi konstaterar att nivåkurvorna är diskontinuerliga i närheten avorigo, vilket är en följd av att gränsvärdet i origo saknas. Det före-faller även som om nivåkurvorna vore parabelformade utanför origo.Detta kan också påvisas analytiskt från funktionen f(x,y). Nämna-ren hos funktionen är noll längs en parabel som går igenom origooch grafen av funktionen f(1,k) har en diskontinuitet för k = −1.Dessa riktningar för att gå mot origo är således uteslutna, vilketbetyder att gränsvärdet i origo inte existerar.


2.4 Partiella derivator

Definition 2.4.1. Partiell derivata av första ordningenPartiella derivatorna av första ordningen av funktionen z = f(x,y) med

avseende på den oberoende variabeln x respektive y är funktionerna

f1(x,y) = limh→0

f(x+ h,y)− f(x,y)

h,

f2(x,y) = limh→0

f(x,y + h)− f(x,y)

h,

under förutsättning att gränsvärdet ifråga existerar.

Observation 2.4.1. Indexen “1” och “2” används här för att beteckna parti-alderivatan med avseende på funktionens “första” respektive “andra” variabel(d.v.s. x resp. y).

Observation 2.4.2. f1(x,y) är en ordinär (vanlig) derivata av f(x,y) be-traktad som funktion av endast x med y konstant. Analogt för f2(x,y).

Exempel 2.4.3. Vi bestämmer partialderivatorna av funktionen f(x,y) =x2 sin (y). Derivatan med avseende på x då y hålls konstant blir

f1(x,y) = 2x sin (y) ,

och derivatan med avseende på y då x hålls konstant blir

f2(x,y) = x2 cos (y) .

Observera att i den senare derivatan ingår ingen inre derivata (y′), emedany här är en oberoende variabel, precis som x.

Anmärkning 2.4.1. Partiella derivatan f1(a,b) anger förändringshastighetenför f(x,y) med avseende på x i punkten x = a med y fixerad i punkten y = b.Analog tolkning av f2(a,b).

2.5 Notation för partiella derivator

Olika beteckningar förekommer för partiella derivatorna av z = f(x,y):

f1(x,y) = fx(x,y) =∂

∂xf(x,y) =

∂z

∂x= D1f(x,y) ,

f2(x,y) = fy(x,y) =∂

∂yf(x,y) =

∂z

∂y= D2f(x,y) ,

2.5. NOTATION FÖR PARTIELLA DERIVATOR 41

där ∂ motsvarar differentialen d för ordinära (vanliga) derivator av funktionerav en variabel. Partiella derivatornas värden i en punkt (a,b) betecknas påliknande sätt:

f1(a,b) = fx(a,b) =

(∂

∂xf(x,y)

)

(a,b)

=∂z

∂x

∣∣∣∣(a,b)

= D1f(a,b) ,

f2(a,b) = fy(a,b) =

(∂

∂yf(x,y)

)

(a,b)

=∂z

∂y

∣∣∣∣(a,b)

= D2f(a,b) .

De vanliga deriveringsreglerna (för summa, produkt, kvot samt kedje-regeln) gäller för partiella derivator. Man bör givetvis hålla reda på medavseende på vilken variabel man deriverar, vara konsekvent, och betraktaövriga variabler som konstanta.

Exempel 2.5.1. Vi beräknar partialderivatan f1(0,π) för funktionen

f(x,y) = exy cos (x+ y) .

Med användning av produktregeln för derivering fås då vi deriverar med av-seende på x och betraktar y som konstant:

f1(x,y) = yexy cos (x+ y) + exy (− sin (x+ y))

= exy (y cos (x+ y)− sin (x+ y)) .

Insättning av x = 0, y = π ger slutresultatet

f1(0,π) = e0·π (π cos (0 + π)− sin (0 + π))

= 1 · (π cos (π)− sin (π))

= 1 · π · (−1) = −π .

Definitionen ovan av partiella derivatan kan utvidgas till funktioner avn variabler, f (x1, x2, . . . , xn), varvid fås n partiella derivator enligt:

f1 (x1, x2, . . . , xn) ,

f2 (x1, x2, . . . , xn) ,

...

fn (x1, x2, . . . , xn) .


Exempel 2.5.2. Vi bestämmer partialderivatan med avseende på z för funk-tionen

w(x,y,z) =2xy

1 + xz + yz.

Regeln för derivering av en reciprok funktion och kedjeregeln ger direkt resul-tatet (då x och y betraktas som konstanta)

∂w

∂z= − 2xy

(1 + xz + yz)2(x+ y) .

Exempel 2.5.3. Vi bestämmer alla partialderivator av första ordningen tillfunktionen

w(x,y,z) = ln (1 + exyz)

och evaluerar derivatorna i punkten (x,y,z) = (2,0, − 1). Derivering medanvändning av kedjeregeln ger nu

w1(x,y,z) =yzexyz

1 + exyz, w1(2,0,− 1) =

0 · (−1) · e01 + e0

= 0 ,

w2(x,y,z) =xzexyz

1 + exyz, w2(2,0,− 1) =

2 · (−1) · e01 + e0

= −1 ,

w3(x,y,z) =xyexyz

1 + exyz, w3(2,0,− 1) =

2 · 0 · e01 + e0

= 0 .

2.6 Partiella derivator av högre ordning

Om vi har en funktion av två variabler, z = f(x,y), så kan vi med uppre-pad partiell derivering bestämma följande fyra partiella derivator av andraordningen

∂2z

∂x2=

∂

∂x

∂z

∂x= f11(x,y) = fxx(x,y) ,

∂2z

∂y2=

∂

∂y

∂z

∂y= f22(x,y) = fyy(x,y) ,

∂2z

∂y∂x=

∂

∂y

∂z

∂x= f12(x,y) = fxy(x,y) ,

∂2z

∂x∂y=

∂

∂x

∂z

∂y= f21(x,y) = fyx(x,y) .

De två första är rena och de två senare är blandade partialderivator av andraordningen.

2.6. PARTIELLA DERIVATOR AV HÖGRE ORDNING 43

Observation 2.6.1. f12 (fxy) anger att f först deriveras partiellt med av-seende på sin “första” variabel x och därefter med avseende på sin “andra”variabel y. f21 (fyx) avser motsatt deriveringsordning.

Exempel 2.6.2. Vi bestämmer de fyra partialderivatorna av andra ordning-en för funktionen f(x,y) = x3y4.

f1(x,y) =∂

∂xx3y4 = 3x2y4

f11(x,y) =∂

∂x3x2y4 = 6xy4

f12(x,y) =∂

∂y3x2y4 = 12x2y3

f2(x,y) =∂

∂yx3y4 = 4x3y3

f22(x,y) =∂

∂y4x3y3 = 12x3y2

f21(x,y) =∂

∂x4x3y3 = 12x2y3 .

Vi noterar nu, att f12(x,y) = f21(x,y), d.v.s. de blandade partialderivatornaav andra ordningen är lika. Detta är i själva verket en egenskap som gällermera allmänt.

Sats 2.6.3. Blandade partialderivator är likaAntag att två blandade partialderivator av n:te ordningen för en funktion

f innehåller samma deriveringar, men i olika ordning. Om partialderiva-torna är kontinuerliga i en punkt P , och om alla partialderivator av lägreordning (< n) är kontinuerliga i en omgivning av P , så är de två blandadepartialderivatorna av ordningen n lika i punkten P .

Bevis. (Specialfall) Vi låter P = (a,b) och bevisar specialfallet f12(a,b) =f21(a,b) för funktionen f(x,y). Antag att f12 och f21 är definierade och f1, f2samt f är kontinuerliga på en cirkelskiva med medelpunkt i P . Antag vidareatt f12 och f21 är kontinuerliga i P . Vi väljer nu en punkt (a + h, b + k)med tillräckligt små |h| och |k| så att punkten ligger inne i cirkelskivan. Dåkommer också motsvarande rektangel som bildas av punkterna P , (a+ h,b),(a,b+ k) och (a + h, b+ k) att ligga inne i cirkelskivan. Låt nu

Q = f(a+ h,b+ k)− f(a+ h,b)− f(a,b+ k) + f(a,b) .


Då kommer hjälpfunktionerna

u(x) = f(x,b+ k)− f(x,b) ,

v(y) = f(a+ h,y)− f(a,y)

att karakteriseras av u(a+ h)− u(a) = Q = v(b+ k)− v(b). Enligt differen-tialkalkylens medelvärdessats (för envariabla funktioner) existerar ett tal θ1,0 < θ1 < 1 sådant att a + θ1h ligger mellan a och a+ h och

Q = u(a+h)−u(a) = hu′ (a+ θ1h) = h [f1 (a+ θ1h, b+ k)− f1 (a+ θ1h, b)] .

Om vi nu tillämpar medelvärdessatsen en gång till, denna gång så att vibetraktar f1 som en funktion av sin andra variabel så existerar ett annattal θ2, 0 < θ2 < 1 sådant att b+ θ2k ligger mellan b och b+ k och

f1 (a + θ1h, b+ k)− f1 (a+ θ1h, b) = kf12 (a+ θ1h, b+ θ2k) .

Genom kombination av ovanstående samband fås Q = hkf12 (a+ θ1h, b+ θ2k).Två liknande tillämpningar av medelvärdessatsen på likheten Q = v(b+k)−v(b) leder till Q = hkf21 (a+ θ3h, b+ θ4k), där θ3 och θ4 är två tal mellannoll och ett. Likställer man dessa två uttryck för Q och förkortar bort dengemensamma faktorn hk fås

f12 (a + θ1h, b+ θ2k) = f21 (a+ θ3h, b+ θ4k) .

Eftersom f12 och f21 enligt antagande är kontinuerliga i P , kan vi låta h ochk närma sig noll, vilket leder till påståendet, f12(a,b) = f21(a,b).

2.6.1 Kedjeregeln

Vi studerar kedjeregeln för sammansatta funktioner av flera variabler. Detfinns två versioner av regeln, en för en oberoende variabel och en för fleraoberoende variabler.

2.6.2 En oberoende variabel

Låt z vara en funktion av x och y, d.v.s.

z = f(x,y) ,

2.6. PARTIELLA DERIVATOR AV HÖGRE ORDNING 45

där x och y är deriverbara funktioner av t, enligt

x = u(t) ,

y = v(t) .

Dessa ekvationer för x och y kallas parametriska ekvationer. Kedjeregeln tardå formen

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt.

Den oberoende variabeln (parametern) t påverkar alltså z via x och y ochden totala påverkan ges av formeln ovan.

Anmärkning 2.6.1. Formeln ovan för en oberoende variabel är den “gamlabekanta” kedjeregeln för bestämning av derivatan av den sammansatta funk-tionen

d

dtf (u(t), v(t)) .

Exempel 2.6.4. Vi bestämmer totala derivatan dzdt

, då

z = f(x,y,t) , x = g(t) och y = h(t) .

Notera att den oberoende variabeln t påverkar z tre olika vägar, direkt eme-dan z = f(x,y,t) indikerar att f beror av t och indirekt via x och via y.Generalisering av kedjeregeln för en oberoende variabel leder nu till resultatet

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt+

∂z

∂t

=∂f

∂x

dg

dt+

∂f

∂y

dh

dt+

∂f

∂t

=∂f

∂xg′(t) +

∂f

∂yh′(t) +

∂f

∂t.

2.6.3 Flera oberoende variabler

Om z är en funktion av x och y, d.v.s.

z = f(x,y) ,


där x och y är deriverbara funktioner av två variabler s och t, enligt

x = u(s,t) ,

y = v(s,t) .

Kedjeregeln ger i detta fall derivatan

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s,

∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t.

x och y kan här betraktas som “primära” variabler för z, medan s och t är“sekundära” variabler.

Observation 2.6.5. Till skillnad från kedjeregeln för en oberoende variabelanvänds då man hanterar funktioner av flera oberoende variabler partialderi-vator av z, x och y, eftersom dessa påverkas av mer än en variabel, nämligenav både s och t.

z

u v r

x y r x y r x y

yxyx

(1) (3) (5)

(4)(2)

Figur 2.2: Påverkan av oberoende variabeln x på den flervariabla funktio-nen z = f(u,v,r), där u, v och r beror av x.

Exempel 2.6.6. Användning av beroendeschemataVi undersöker derivatan ∂z

∂xdå

z = f(u,v,r) , u = g(x,y,r) , v = h(x,y,r) och r = k(x,y) .

Vi kan skissera beroendeschemat i Figuren 2.2. Emedan det finns fem vägarfrån oberoende variabeln x till beroende variabeln z, fås

∂z

∂x=

∂z

∂u

∂u

∂x+

∂z

∂u

∂u

∂r

∂r

∂x+

∂z

∂v

∂v

∂x+

∂z

∂v

∂v

∂r

∂r

∂x+

∂z

∂r

∂r

∂x.

2.7. GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA 47

2.7 Gradient och riktningsderivata

Definition 2.7.1. GradientI varje punkt (x,y) där partialderivatorna f1 och f2 till funktionen f(x,y)

existerar, definieras gradienten av funktionen f(x,y) som vektorn

∇f(x,y) = grad(f(x,y)) = f1(x,y)ex + f2(x,y)ey .

Symbolen ∇ kallas nabla(-operatorn) och är en vektoriell differentialoperator,som för verkar (opererar) på en funktion f(x,y) och kan skrivas i den s.k.operatorformen som

∇ = ex∂

∂x+ ey

∂

∂y.

x

y

y = −12x+ 5

2

k1 = −12

k2 = 2

2ex + 4ey

x2 + y2 = 5

(1,2)

Figur 2.3: Gradienten ∇f(1,2) för funktionen f(x,y) = x2 + y2, nivåkurvanx2 + y2 = 5 och dess tangent i punkten (1,2).

Exempel 2.7.1. Vi bestämmer gradienten till funktionen

f(x,y) = x2 + y2

i punkten (1,2) och undersöker dess förhållande till funktionens nivåkurvoroch motsvarande tangenter. Vi börjar med att bestäma partialderivatorna

f1(x,y) = 2x ,

f2(x,y) = 2y ,


och gradienten i punkten (1,2)

∇f(x,y) = grad(f(x,y)) = f1(x,y)ex + f2(x,y)ey

= 2xex + 2yey ,

∇f(1,2) = 2 · 1ex + 2 · 2ey= 2ex + 4ey .

Vi betraktar nu den nivåkurva till funktionen f(x,y) = x2+y2 som går genompunkten (1,2), d.v.s. cirkeln

f(1,2) = 5 ⇒ x2 + y2 = 5 .

Tangentlinjen genom punkten (1,2) till denna cirkel har ekvationen y − 2 =y′(1)(x− 1) och dess riktningskoefficient fås genom implicit derivering enligt

d

dx

(x2 + y2

)= 2x+ 2yy′ =

d

dx5 = 0 ,

y′ = −x

y⇒ y′|(x,y)=(1,2) = −1

2.

Tangentlinjens ekvation för den angivna nivåkurvan är således

y = y′|(x,y)=(1,2) (x− 1) + 2 ,

= −1

2(x− 1) + 2 = −x

2+

5

2.

Vi noterar nu att denna linje har lutningskoefficienten k1 = −12

och är alltsåvinkelrät mot gradienten ∇f(x,y) = 2ex + 4ey, som motsvarar en linje medriktningskoefficienten k2 = 2. Se Figuren 2.3. Villkoret k1 · k2 = −1 förortogonalitet uppfylls. Det visar sig att denna ortogonalitet mellan gradientoch nivåkurva gäller allmänt.

Sats 2.7.2. Ortogonalitet mellan gradient och nivåkurvaOm funktionen f(x,y) är deriverbar i punkten (a,b) och gradienten upp-

fyller villkoret ∇f(a,b) 6= 0 så utgör gradienten ∇f(a,b) normalvektor till(tangenten till) nivåkurvan f(x,y) = f(a,b).

Bevis. Beviset är i princip en generalisering av resonemanget i exemplet ovan.Vi börjar med fallet f2(a,b) 6= 0, under antagandet att ∇f(a,b) 6= 0. Gradi-enten är

∇f(x,y) = grad(f(x,y)) = f1(x,y)ex + f2(x,y)ey ⇒∇f(a,b) = f1(a,b)ex + f2(a,b)ey .

2.8. RIKTNINGSDERIVATA 49

För att bestämma tangentlinjen till nivåkurvan f(x,y) = f(a,b) behöver viy′|(x,y)=(a,b), som fås med implicit derivering av likheten f(x,y) = f(a,b) enligt

d

dxf(x,y) = f1(x,y) + y′f2(x,y) =

d

dxf(a,b) = 0

⇒ y′(x,y) = −f1(x,y)

f2(x,y)⇒ y′|(x,y)=(a,b) = −f1(a,b)

f2(a,b).

Vi ser nu att vårt tilläggsantagande säkerställer att riktningskoefficientenk1 = −f1(a,b)

f2(a,b)är väldefinierad (nämnaren blir olika noll). Tangentlinjens ek-

vation är därmed

y − b = −f1(a,b)

f2(a,b)(x− a) .

Gradienten genom punkten (a,b) motsvarar å andra sidan en linje med rikt-ningskoefficienten k2 =

f2(a,b)f1(a,b)

, vilket medför att k1 · k2 = −1 och ortogonali-teten är ett faktum. I specialfallet f2(a,b) = 0 är gradienten genom punkten(a,b) lika med ∇f(a,b) = f1(a,b)ex 6= 0 och således horisontell. Tangentlin-jens ekvation y − b = k1(x − a) kan skrivas i formen x = 1

k1(y − b) + a och

eftersom 1k1

= −f2(a,b)f1(a,b)

= 0 fås den vertikala tangenten x = a.

2.8 Riktningsderivata

Definition 2.8.1. RiktningsderivataLåt u = uxex + uyey vara en enhetsvektor, så att |u| =

√u2x + u2

y = 1.Riktningsderivatan av funktionen f(x,y) i punkten (a,b) i riktning av enhets-vektorn u är förändringshastigheten för f i punkten (a,b) med avseende påavstånd i riktningen av vektorn u. Denna riktningsderivata ges av

Duf(a,b) = limh→0+

f(a+ hux,b+ huy)− f(a,b)

h.

Om funktionen f(x,y) är deriverbar (med avseende på båda oberoende vari-ablerna x och y) i punkten (a,b) gäller

Duf(a,b) =d

dtf(a+ tux,b+ tuy)

∣∣∣∣t=0

.


Observation 2.8.1. Vi ser nu att för u = 1 · ex + 0 · ey = ex ges, undersamma antaganden som i definitionen ovan, riktningsderivatan av

Dexf(a,b) = limh→0+

f(a+ h,b)− f(a,b)

h=

∂f

∂x

∣∣∣∣(a,b)

= f1(a,b) .

På samma sätt fås

Deyf(a,b) = limh→0+

f(a,b+ h)− f(a,b)

h=

∂f

∂y

∣∣∣∣(a,b)

= f2(a,b) .

Sats 2.8.2. Beräkning av riktningsderivata med hjälp av gradientenOm f(x,y) är deriverbar i (a,b) så är riktningsderivatan av f i (a,b) i

riktning av enhetsvektorn u

Duf(a,b) = u · ∇f(a,b) = |∇f(a,b)| cos θ ,

där θ är vinkeln mellan u och ∇f(a,b).

Bevis. Vi utnyttjar definitionen på riktningsderivatan, kedjeregeln för de-rivering samt definitionen och egenskaperna hos skalära produkten för attfå

Duf(a,b) =d

dtf(a+ tux,b+ tuy)

∣∣∣∣t=0

definitionen

= uxf1(a,b) + uyf2(a,b) kedjeregeln

= u · ∇f(a,b) skalärprodukt

= |u| · |∇f(a,b)| · cos θ= 1 · |∇f(a,b)| · cos θ (|u| = 1)

= |∇f(a,b)| · cos θ

Exempel 2.8.3. Vi bestämmer förändringshastigheten för funktionen

f(x,y) = y4 + 2xy3 + x2y2

i punkten (0,1) i riktningen ex + ey. Gradienten är

∇f(x,y) = ex∂f(x,y)

∂x+ ey

∂f(x,y)

∂y

=(2y3 + 2xy2

)ex +

(4y3 + 6xy2 + 2x2y

)ey ⇒

∇f(0,1) = 2ex + 4ey .

2.8. RIKTNINGSDERIVATA 51

Enhetsvektorn u i den önskade riktningen ex + ey är

u =ex + ey

|ex + ey|=

ex + ey√12 + 12

=

√2

2(ex + ey) .

Den sökta riktningsderivatan blir således

Duf(0,1) = u · ∇f(0,1)

=

√2

2(ex + ey) · (2ex + 4ey)

=

√2

2(2 · 1 + 4 · 1) = 3

√2 .

Observation 2.8.4. Eftersom Duf(a,b) = |∇f(a,b)| cos θ och −1 ≤ cos θ ≤1 måste förändringshastigheten för funktionen f(x,y) i punkten (a,b) uppfyllaolikheten

− |∇f(a,b)| ≤ Duf(a,b) ≤ |∇f(a,b)| .

Med beaktande av sambandet mellan riktningsderivatan och gradientenkan vi då på basen av denna observation härleda följande geometriska egen-skaper hos gradienten.

Egenskap 2.8.5. (i) I punkten (a,b) växer funktionen snabbast i riktningav gradienten ∇f(a,b) eftersom cos θ = 1 för θ = 0. Den maximalatillväxthastigheten är |∇f(a,b)|.

(ii) I punkten (a,b) avtar funktionen snabbast i riktning av negativa gradi-enten −∇f(a,b) eftersom cos θ = −1 för θ = π. Den maximala minsk-ningshastigheten är |∇f(a,b)|.

(iii) I punkten (a,b) är förändringshastigheten för f(x,y) noll i riktningartangerande nivåkurvan f(x,y) = f(a,b), eftersom cos θ = 0 för θ = π

2.

Exempel 2.8.6. Temperaturen i punkten (x,y) i ett område av xy-planetbeskrivs (i grader Celsius) av funktionen T (x,y) = x2e−y. Betrakta punk-ten (2,1). I vilken riktning ökar i denna punkt temperaturen snabbast och hurmycket?

Med beaktande av egenskaperna ovan kan vi direkt konstatera att den snab-baste ökningen i punkten (a,b) = (2,1) kommer att ske i riktning av den posi-tiva gradienten med en maximal tillväxthastighet om |∇T (2,1)|. Gradienten


kan bestämmas enligt

∇T (x,y) = ex∂T (x,y)

∂x+ ey

∂T (x,y)

∂y

= 2xe−yex +(−x2e−y

)ey ⇒

∇T (2,1) =4

e(ex − ey) .

Den sökta riktningen ges således av enhetsvektorn√22(ex − ey) och maximala

tillväxthastigheten blir

|∇T (2,1)| = 4

e|ex − ey| =

4√2

e

( ◦C

avståndsenhet

)

.

2.9 Relativ förändringshastighet

Antag att vi rör oss i xy-planet med hastighetsvektorn v i exemplet ovan,vilken temperaturförändring upplever vi i så fall?

Mer allmänt, hur upplever en observatör som rör sig med hastigheten v ixy-planet att en storhet f(x,y) förändras i tiden?

Vi ser att observatören rör sig i en riktning som beskrivs av enhetsvek-torn v

|v| . Förändringshastigheten för f(x,y) i punkten (a,b) i denna riktningges av riktningsderivatan

D v

|v|f(a,b) =

v

|v| · ∇f(a,b) ,

där enheten är storhetens f enhet per avståndsenhet. För att erhålla föränd-ringshastigheten uttryckt i storhetens f enhet per tidsenhet bör ovanståendeuttryck multipliceras med observatörens fart |v|, som ju har enheten avståndper tid. Detta ger

|v| v

|v| · ∇f(a,b) = v · ∇f(a,b) = Dvf(a,b) ,

där den sista likheten följer av vår tidigare behandling av riktningsderivatan.Noteras bör att riktningsderivatan i detta nya sammanhang då inte bestämsi riktning av en enhetsvektor, utan i riktning av hastigheten v hos observa-tören. Detta resonemang har således bevisat resultatet:

2.10. GRADIENTEN I FLERA DIMENSIONER 53

Sats 2.9.1. Förändringshastighet enligt observatör i rörelseFörändringshastigheten hos f(x,y) i punkten (a,b), enligt en observatör

som rör sig i xy-planet genom punkten (a,b) med hastigheten v, ges av

Dvf(a,b) = v · ∇f(a,b) ,

uttryckt i storhetens f enhet per tidsenhet.

Exempel 2.9.2. Temperaturen T (x,y) i ett område av xy-planet ges av

T (x,y) = x2 − 2y2 (◦C) .

En myra i punkten (2,−1) rör sig med farten k i riktning av vektorn −ex−2ey.Vilken förändringshastighet i temperaturen upplever myran?

Myran är alltså vår observatör i rörelse och vi kan inleda med att bildahastigheten v, då vi känner riktningen −ex−2ey

|−ex−2ey | och beloppet k, enligt

v = k−ex − 2ey|−ex − 2ey|

= − k√5(ex + 2ey) .

Å andra sidan behövs även gradienten av temperaturfältet, vilken fås i denaktuella punkten som

∇T (x,y) = ex∂T (x,y)

∂x+ ey

∂T (x,y)

∂y

= 2xex − 4yey ⇒∇T (2,− 1) = 4 (ex + ey) .

Den sökta förändringshastigheten blir därmed

DvT (2,− 1) = v · ∇T (2,− 1) = − k√5(ex + 2ey) · 4 (ex + ey) = −12k

√5

5.

2.10 Gradienten i flera dimensioner

Gradienten av en funktion f(x,y,z) av tre variabler x, y och z är

∇f(x,y,z) = ex∂f(x,y,z)

∂x+ ey

∂f(x,y,z)

∂y+ ez

∂f(x,y,z)

∂z.


För fler än tre dimensioner utökas antalet termer i högra ledet med en term,bestående av partialderivata multiplicerad med motsvarande basvektor, förvarje dimension.

Gradienten evaluerad i punkten (a,b,c) betecknas ∇f(a,b,c) och är normaltill nivåytan (hyperytan)

f(x,y,z) = f(a,b,c)

för funktionen f(x,y,z) genom punkten (a,b,c).Förändringshastigheten för f i punkten (a,b,c) i riktning av enhetsvek-

torn u ärDuf(a,b,c) = u · ∇f(a,b,c) .

Som följande exempel illustrerar, kan gradienten utnyttjas för bestämning avekvationen för ett tangentplan till en yta i rummet R3.

√6

0

−√6

√60−

√6

√6

0

−√6

z

x

y

z

√6

0

−√6

√60−

√6

√6

0

−√6

z

x

y

z

Figur 2.4: Sfären x2 + y2 + z2 = 6 med tillhörande tangentplan.

Exempel 2.10.1. Vi bestämmer ekvationen för tangentplanet till sfären

x2 + y2 + z2 = 6


i punkten (−1,1,2). Betrakta nu sfären som en nivåyta f(x,y,z) = f(a,b,c)för (a,b,c) = (−1,1,2). Då kan funktionen f identifieras som

f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 .

Enligt teorin är då gradienten ∇f(−1,1,2) normal till sfären i punkten (a,b,c) =(−1,1,2). Gradienten kan bestämmas enligt

∇f(x,y,z) = ex∂f(x,y,z)

∂x+ ey

∂f(x,y,z)

∂y+ ez

∂f(x,y,z)

∂z

= 2xex + 2yey + 2zez

∇f(−1,1,2) = −2ex + 2ey + 4ez .

För att få ett tangentplan till sfären i den aktuella punkten kan vi utnyttjaortogonaliteten mellan normalen, definierad av gradienten ovan, och tangent-planet. Ett godtyckligt plan i R3 beskrivs av vektorn

xex + yey + zez

och om vi dessutom kräver att punkten (a,b,c) skall ligga i planet måste dettamodifieras till vektorn

(x− a)ex + (y − b)ey + (z − c)ez = (x+ 1)ex + (y − 1)ey + (z − 2)ez ,

vilket innebär att vektorn, istället för origo, har punkten (a,b,c) = (−1,1,2)som startpunkt. Detta plan är vinkelrätt (ortogonalt) mot normalen ∇f(a,b,c)om kravet

∇f(a,b,c) · ((x− a)ex + (y − b)ey + (z − c)ez) = 0

uppfylls. Enligt definitionen på skalära produkten leder detta till ekvationen

f1(a,b,c)(x− a) + f2(a,b,c)(y − b) + f3(a,b,c)(z − c) = 0 ,

som således är en formel för tangentplanet till nivåytan f(x,y,z) = f(a,b,c)i punkten (a,b,c). I vårt aktuella fall, med (a,b,c) = (−1,1,2), fås

−2(x+ 1)− 2(y − 1) + 4(z − 2) = 0 ⇔−x+ y + 2z = 6 .

Se Figuren 2.4.


Exempel 2.10.2. Grafen av en funktion f(x,y) är grafen av ytan som de-finieras av ekvationen z = f(x,y) i det tredimensionella rummet R3. Dennayta är samtidigt nivåytan g(x,y,z) = 0 av funktionen

g(x,y,z) = f(x,y)− z .

Denna funktion har gradienten i punkten (x,y,z) = (a,b,c)

∇g(a,b,c) = ∇f(a,b)− ∇z|z=c

= f1(a,b)ex + f2(a,b)ey − ez∂

∂zz

∣∣∣∣z=c

= f1(a,b)ex + f2(a,b)ey − ez .

Gradienten ∇g(a,b,c) är ortogonal mot (normal till) ytan g(x,y,z) = 0 i punk-ten (x,y,z) = (a,b,c). På samma sätt som i föregående exempel fås ekvationenför tangentplanet genom punkten (a,b,c) = (a,b,f(a,b)) enligt

∇g(a,b,c) · ((x− a)ex + (y − b)ey + (z − c)ez) =

(f1(a,b)ex + f2(a,b)ey − ez) · ((x− a)ex + (y − b)ey + (z − f(a,b))ez) =

(x− a)f1(a,b) + (y − b)f2(a,b) + (f(a,b)− z) = 0

⇔ z = f(a,b) + (x− a)f1(a,b) + (y − b)f2(a,b) .


Partiella derivator kan approximeras med differenskvoter på samma sätt som vid numeriskderivering av envariabla funktioner i kursen Ingenjörsmatematik I. Ett alternativ till detta äratt använda funktionen gradient, som även kan användas för att beräkna gradientvektorn iolika punkter (x,y) för vår tidigare definierade funktionsyta

z = f(x,y) =1

0,2x2 + y2 + 0,3+

1

(x− 2)2 + (y + 2)2 + 0,5,


% definierar funktionen

f = @(x,y) 1./(0.2*x.^2+y.^2+0.3) + ...

1./((x-2).^2+(y+2).^2+0.5);

x = -4:0.1:4.2; % x-skala

y = -4:0.1:2; % y-skala

[X,Y] = meshgrid(x,y); % rutnät

% gradientfunktion, ger

% grad.vektorns komponenter

[px,py] = gradient(f(X,Y),.1,.1);

contour(x,y,f(X,Y)); % nivåkurvorna

hold on; % ritar in gradientvektorer

quiver(x,y,px,py); % i samma figur


ylabel(’y’);

hold off; % återställer figurerna

Vi konstaterar nu att gradientverktorerna alltid är vinkelräta mot nivåkurvornas tangenteroch att de pekar i riktning av stigande nivåvärden z. Jämför med den tidigare figuren avnivåytan i R3.

Från resultaten ovan kan man även plocka ut exempelvis ∂f(x,y)∂x

och ∂f(x,y)∂y

i punktenx = 4,0, y = 0 med kommandona

% vilket index i x-vektorn motsvarar x = 4,0

ind_x = find( ( x > 4.0-0.1/2 & x < 4.0+0.1/2 ) );

% vilket index i y-vektorn motsvarar x = 0

ind_y = find( ( y > 0-0.1/2 & y < 0+0.1/2 ) );

% gradientens x-komponent i motsvarande punkt

px(ind_y,ind_x)

% gradientens y-komponent i motsvarande punkt

py(ind_y,ind_x)

Observera, att matrisernas px och py radnummer motsvarar positionen i y-led, varför de tvåsista anropen har “omsvängda” argument jämfört med vanlig praxis för koordinaterna. Gradi-entfunktionen i Octave kan även användas för att beräkna derivator av envariabla funktioner,exempelvis f ′(x) = 2x för f(x) = x2 fås med kommandona:


x = -2:0.01:2; % oberoende variabel

f = @(x) x.^2; % funktionen f(x)

% derivatan f’(x), med dx som andra

% argument

df = gradient(f(x),0.01);

% ritar kurvorna

plot(x,[f(x);df]);


Kapitel 3

Tillämpningar på partiell

derivering

3.1 Extremvärden för flervariabla funktioner

Sats 3.1.1. Nödvändiga villkor för extremvärdenEn funktion f(x,y) av två variabler x och y har ett lokalt eller globalt

( absolut) extremvärde i punkten (a,b) ∈ Df endast om (a,b) är någonderaav följande:

(a) En kritisk punkt för f , d.v.s. ∇f(a,b) = 0.

(b) En singulär punkt för f , d.v.s. ∇f(a,b) existerar ej.

(c) En randpunkt för f , d.v.s. (a,b) ligger på randen av definitionsmäng-den Df .

Bevis. Om (a,b) inte är en kritisk, singulär eller randpunkt så gäller att∇f(a,b) 6= 0 och då gäller att

- f har en positiv riktningsderivata i riktning av ∇f(a,b)

- f har en negativ riktningsderivata i riktning av −∇f(a,b)

d.v.s. f växer i någon riktning och avtar i motsatt riktning då man rör sigbort från punkten (a,b). Funktionen kan således inte ha ett maximum ellerett minimum i den aktuella punkten (a,b).

59

60 KAPITEL 3. TILLÄMPNINGAR PÅ PARTIELL DERIVERING

Anmärkning 3.1.1. Föregående sats kan formuleras för en funktion av n va-riabler med samma resultat och bevis.

Observation 3.1.2. Föregående sats säger inte om en funktion har någotextremvärde, utan endast var ett sådant måste finnas, ifall det existerar. Ex-istensen ingår i satsens utgångsantaganden.

Sats 3.1.3. Tillräckliga villkor för extremvärdenOm f(x1, x2, x3, . . . , xn) är en kontinuerlig funktion av de n variablerna

x1, x2, x3, . . . , xn och definitionsmängden Df ⊂ Rn är sluten och begränsad,så finns det punkter i Df där f har (absolut) maximum och minimum.

Bevis. Vi skisserar beviset genom att först bevisa hjälpresultatet: Värde-mängden Rf för f(x1, x2, x3, . . . , xn) med egenskaper enligt antaganden ärbegränsad. Antag att så inte är fallet (antites) och utför en successiv uppdel-ning av definitionsmängden Df . Om denna halveras så är enligt vår antitesf obegränsad på åtminstone en av halvorna som vi kallar D1. Halvera i sintur denna. Om vi fortsätter på detta sätt m gånger erhålls en sekvens avmängder Dm ⊂ Dm−1 ⊂ · · · ⊂ D2 ⊂ D1 ⊂ Df . Låter vi m → ∞ kommer Dm

att gå (konvergera) mot en punkt c ∈ Df i funktionens definitionsmängd.Eftersom f är kontinuerlig finns det då en mängd B, som innehåller punktenc, sådan att funktionen f är begränsad på denna mängd (kontinuitet hosen funktion implicerar alltid att denna även är begränsad, ifall mängden fårväljas lämpligt). Men vår antites medförde ju att f skulle vara obegränsadpå mängderna Dm ⊂ Dm−1 ⊂ · · · ⊂ D2 ⊂ D1 ⊂ Df för varje m ∈ N! Vi harsåledes en motsägelse, vilket leder till att antitesen måste vara falsk. Såledeshar vi visat att f måste vara begränsad och därmed måste hjälpresultatetgälla.

För vårt egentliga bevis utgår vi återigen från en antites; antag att vårkontinuerliga funktion inte har något maximum på Df . Eftersom enligt an-tagande f är begränsad på Df måste dess värdemängd Rf ha en minsta övregräns, som vi kan kalla M , som f enligt antitesen aldrig antar. Betrakta nufunktionen g = 1

f−M. Denna funktion är kontinuerlig och därmed även be-

gränsad , vilket betyder att funktionsvärdet för f aldrig kommer godtyckligtnära M . Detta motsäger vårt val av M som den minsta övre gränsen förRf . Antitesen måste alltså vara falsk och påståendet för fallet att f har ettmaximum är bevisat.

Beviset för fallet att f har ett minimum är analogt.

3.1. EXTREMVÄRDEN FÖR FLERVARIABLA FUNKTIONER 61

Exempel 3.1.4. Funktionen

f(x,y) = x2 + y2

illustrerad i Figuren 2.1 har en kritisk punkt i origo, emedan

∇f(x,y) = 2xex + 2yey ⇒ ∇f(0,0) = 0 .

Eftersom f(x,y) > 0 = f(0,0) om (x,y) 6= (0,0) måste f ha ett absolutminimum i origo.

2

0

−2

−20

2

-4

-2

0

2

4

z

x

y

z

Figur 3.1: Ytan z = y2 − x2.

Exempel 3.1.5. Funktionen

g(x,y) = y2 − x2


illustrerad i Figuren 3.1 har också en kritisk punkt i origo, men har varkenminimum eller maximum i denna punkt. Vi noterar att g(0,0) = 0, meng(x,0) < 0 ∀x 6= 0 och g(0,y) > 0 ∀y 6= 0. Den kritiska punkten (0,0) kallasen sadelpunkt.

2

0

−2

−2

0

2

-4-2024

z

x

y

z

Figur 3.2: Ytan z = −x3.

Sadelpunkter behöver inte alltid se ut som “sadlar”. Exempelvis funktio-nen h(x,y) = −x3, illustrerad i Figuren 3.2 har en linje av kritiska punk-ter längs med y-axeln, men saknar minimum och maximum. Dessa punkterliknar inflexionspunkter för funktioner av en variabel (jmf. med funktionenf(x) = −x3).

Allmänt kan man säga att varje kritisk punkt i det inre (d.v.s. inte på ran-den) av definitionsmängden för en funktion av flera variabler är en sadelpunktom funktionen inte har ett lokalt maximum eller minimum i punkten.

3.2. KLASSIFICERING AV KRITISKA PUNKTER 63

3.2 Klassificering av kritiska punkter

Vi kan klassificera (de inre) kritiska punkterna (a,b) för en funktion f(x,y)genom att betrakta differensen

∆f = f(a+ h,b+ k)− f(a,b) ,

för små värden på h och k. Vi har då följande

(a) Om ∆f ≥ 0, ∀h, k så har f lokalt minimum i (a,b).

(b) Om ∆f ≤ 0, ∀h, k så har f lokalt maximum i (a,b).

(c) Om ∆f > 0 för några h, k och ∆f < 0 för andra h, k så har f ensadelpunkt i (a,b).

Denna metod är inte särskilt elegant och den är fullt tillförlitlig endast förkategorin sadelpunkter. Den ligger dock till grund för följande resultat:

Sats 3.2.1. AndraderivatatestetOm (a,b) är en inre kritisk punkt för funktionen f(x,y) och partialderi-

vatorna av andra ordningen är kontinuerliga i en omgivning av punkten ochhar värdena

A = f11(a,b) , B = f12(a,b) = f21(a,b) , C = f22(a,b) ,

så gäller

(a) Om B2 − AC < 0 och A > 0 så har f lokalt minimum i (a,b).

(b) Om B2 − AC < 0 och A < 0 så har f lokalt maximum i (a,b).

(c) Om B2 − AC > 0 så har f en sadelpunkt i (a,b).

(d) Om B2 − AC = 0 så erhålls ingen information.

Bevis. Då (a,b) är en inre kritisk punkt för funktionen f(x,y) gäller attf1(a,b) = 0 = f2(a,b). Beteckna omgivningen till punkten (a,b) med R ochbetrakta en punkt (a+ h,b+ k) ∈ R. Vi drar ett linjesegment mellan de tvåpunkterna och låter parametriseringen

x = a+ th , y = b+ tk , 0 ≤ t ≤ 1


beskriva rörelse längs linjesegmentet mellan de två punkterna. Om vi bildarfunktionen F (t) = f(a+ th,b+ tk), så ger kedjeregeln för derivering

F ′(t) = f1dx

dt+ f2

dy

dt= hf1 + kf2 .

Emedan f1 och f2 är deriverbara (enligt antagande är partialderivatorna avandra ordningen kontinuerliga) så kan vi derivera F (t) en gång till och få,med beaktande av att de blandade partialderivatorna av andra ordningen ärlika enligt tidigare sats, resultatet

F ′′(t) =∂F ′

∂x

dx

dt+

∂F ′

∂y

dy

dt

= h∂

∂x(hf1 + kf2) + k

∂

∂y(hf1 + kf2)

= h2f11 + hkf21 + hkf12 + k2f22

= h2f11 + 2hkf12 + k2f22 .

Nu är både F och F ′ kontinuerliga på definitionsmängden DF = {t : 0 ≤ t ≤ 1}och F ′ är dessutom deriverbar på motsvarande öppna mängd ]0,1[, vilket be-tyder att vi kan tillämpa Taylor’s formel1 för en funktion med två variablerutvecklad kring origo. Vi får då uttrycket

F (1) = F (0) + F ′(0)(1− 0) + F ′′(c)(1− 0)2

2f(a+ h,b+ k) = f(a,b) + hf1(a,b) + kf2(a,b)

+1

2

(h2f11 + 2hkf12 + k2f22

)

(a+ch,b+ck)

f(a+ h,b+ k) = f(a,b) +1

2

(h2f11 + 2hkf12 + k2f22

)

(a+ch,b+ck).

Eventuellt extremvärde för f(x,y) i punkten (a,b) bestäms2 nu av tecknethos differensen f(a+ h,b+ k)− f(a,b), som enligt ovan uppfyller likheten

f(a+ h,b+ k)− f(a,b) =1

2

(h2f11 + 2hkf12 + k2f22

)

(a+ch,b+ck)= Q(c) .

1Behandlas senare i kursen i samband med serier.2Enligt samma resonemang som använts i tidigare kurser för envariabla funktioner.

3.2. KLASSIFICERING AV KRITISKA PUNKTER 65

Om Q(0) 6= 0 kommer tecknet på Q(c) att sammanfalla med tecknet på Q(0)för tillräckligt små värden på h och k. Vi kan beskriva tecknet på

Q(0) = h2f11(a,b) + 2hkf12(a,b) + k2f22(a,b)

utgående från tecknen på f11(a,b) och f11(a,b)f22(a,b) − f 212(a,b) om vi no-

terar att multiplikation av likheten ovan med f11 och omformning leder tilluttrycket

f11Q(0) = (hf11 + kf12)2 +

(f11f22 − f 2

12

)k2 ⇒

f11(a,b)Q(0) = (hf11(a,b) + kf12(a,b))2 +

(f11(a,b)f22(a,b)− f 2

12(a,b))k2 ⇔

AQ(0) = (hA + kB)2 −(B2 − AC

)k2 .

Från den sista likheten ovan observeras nu slutresultatet

(a) Om A > 0 och B2 − AC < 0 så är Q(0) > 0 för alla tillräckligt småvärden (olika noll) på h och k. Följaktligen har f ett lokalt minimum i(a,b).

(b) Om A < 0 och B2 − AC < 0 så är Q(0) < 0 för alla tillräckligt småvärden (olika noll) på h och k. Följaktligen har f ett lokalt maximumi (a,b).

(c) Om B2−AC > 0 så finns det kombinationer av godtyckligt små värden(olika noll) på h och k, för vilka Q(0) < 0 och andra för vilka Q(0) > 0.Godtyckligt nära punkten P = (a,b,f(a,b)) på ytan z = f(x,y) finnsdet således punkter ovanför P och punkter nedanför P , vilket betyderatt (a,b) är en sadelpunkt för f .

(d) Om B2 − AC = 0 så är det möjligt att Q(0) = 0 och vi kan inte draslutsatser om tecknet hos Q(c). Ingen information erhålls alltså.

Exempel 3.2.2. Vi bestämmer och klassificerar de kritiska punkterna förfunktionen

f(x,y) = 2x3 − 6xy + 3y2 .

De kritiska punkterna satisfierar ekvationen ∇f(x,y) = 0, som ger systemet{

f1(x,y) = 6x2 − 6y = 0 ,

f2(x,y) = 6y − 6x = 0 ,


med lösningarna (x1,y1) = (0,0) och (x2,y2) = (1,1), som således utgör dekritiska punkterna. Partialderivatorna av andra ordningen är

A = f11(x,y) = 12x , B = f12(x,y) = f21(x,y) = −6 , C = f22(x,y) = 6 .

I punkten (x1,y1) = (0,0) har vi följaktligen B2 − AC = 36 > 0 och denaktuella punkten är en sadelpunkt. I punkten (x2,y2) = (1,1) har vi A > 0samt B2 − AC = −36 < 0, vilket betyder att f har ett lokalt minimum idenna punkt.

3.3 Extremvärdesproblem

Följande exempel visar hur extremvärdesproblem med en viss typ av bivillkorkan lösas.

x

y

z

Figur 3.3: Rektangulär låda med given volym och minimal begränsningsyta.

Exempel 3.3.1. Vi bestämmer dimensionerna för en rektangulär låda medvolymen V , med minsta möjliga begränsningsarea S. Om lådans sidlängderbetecknas, enligt Figuren 3.3, med x, y och z är vi alltså ute efter att mini-mera den flervariabla funktionen

S(x,y,z) = 2 (xy + yz + xz) ,

3.4. EXTREMVÄRDEN PÅ BEGRÄNSADE OMRÅDEN 67

med bivillkoret (tvånget)xyz = V ,

där volymen V är given. Vi kan nu utnyttja bivillkoret för att reducera an-talet variabler i funktionen som skall minimeras. Med substitutionen z = V

xy

elimineras variabeln z och vi får en funktion av två variabler:

S(x,y) = 2

(

xy + (y + x)V

xy

)

= 2

(

xy +

(1

x+

1

y

)

V

)

.

Definitionsmängden för denna funktion är DS = {(x,y) | x > 0 , y > 0}.Vi konstaterar att (x,y) → 0, ∞ leder till att S → ∞. Detta innebär attfunktionens S(x,y) minimum måste ligga i en inre kritisk punkt. Singulärapunkter saknas. De kritiska punkterna satisfierar systemet

{S1(x,y) = 2

(y − V

x2

)= 0 ⇒ x2y = V ,

S2(x,y) = 2(

x− Vy2

)

= 0 ⇒ xy2 = V ,

vilket ger likheten x = y. Då är x3 = V , vilket ger x = y = z = 3√V och

arean av lådans begränsningsyta S(

3√V ,

3√V)

= 63√V 2. Lådan är alltså en

kub.

3.4 Extremvärden på begränsade områden

Satsen om tillräckliga villkor för extremvärden garanterar att en kontinuerligfunktion definierad på ett slutet och begränsat område har både minimumoch maximum. För att finna dessa måste vi undersöka funktionen i följandepunkter:

- Inre kritiska punkter

- Singulära punkter

- Randpunkter

Vi har redan berört kritiska och singulära punkter. I det följande skall vibehandla undersökning av randpunkter.


Exempel 3.4.1. Vi bestämmer maximum och minimum för f(x,y) = 2xypå cirkelskivan x2 + y2 ≤ 4. Konstaterar direkt att f (polynom i x och y)är kontinuerlig och deriverbar och att definitionsmängden (cirkelskivan) ärsluten och begränsad. Således måste f ha maximum och minimum. Partial-derivatorna av första ordningen är

f1(x,y) = 2y , f2(x,y) = 2x .

Emedan derivatorna är definierade överallt saknas singulära punkter och denenda kritiska punkten i origo, (0,0), är en sadelpunkt, ty f(0,0) = 0 medanf < 0 för xy < 0 och f > 0 för xy > 0. Maximum och minimum måstedå finnas i definitionsmängdens randpunkter, d.v.s. på cirkeln x2 + y2 = 22.Vi bör alltså undersöka hur funktionsvärdet varierar då vi rör oss på dennacirkel. Detta kan göras med parametriseringen

x = 2 cos t ,

y = 2 sin t , −π ≤ t ≤ π .

Vi försöker alltså beskriva variationen i båda variablerna x och y längs cir-keln x2 + y2 = 22 med en variabel t enligt ovan. Om vi lyckas med detta harparametriseringen uppnått sitt syfte och vi ersätter alltså variationen i x ochy med en substitution som innehåller parametern t. Notera, att

x2 + y2 = (2 cos t)2 + (2 sin t)2 = 4(sin2 t+ cos2 t

)= 4 = 22

och cirkelns ekvation satisfieras. Alltså representerar vår beskrivning enligtovan med parametern t rörelse längs cirkeln. Vi kan nu sätta in de paramet-riska ekvationerna x = 2 cos t och y = 2 sin t i den aktuella funktionen somundersöks

f(x,y) = f (2 cos t, 2 sin t) = 4 · 2 sin t cos t = 4 sin (2t) ,

där det sista steget följer av en viss trigonometrisk identitet (se t.ex. Ingen-jörsmatematisk formelsamling). Funktionen g(t) = 4 sin (2t) är kontinuerlig,deriverbar och definierad på mängden Dg = {t ∈ [−π,π]} och har kritiskapunkter, där

g′(t) = 8 cos (2t) = 0 ⇒ 2t = ±π

2∨ 2t = ±3π

2.


Alltså finns det kritiska punkter i t = ±π4

och t = ±3π4

och motsvarandefunktionsvärden för hjälpfunktionen g(t) är

g(

±π

4

)

= 4 sin(

±π

2

)

= ±4 ,

g

(

±3π

4

)

= 4 sin

(

±3π

2

)

= ∓4 .

Vi noterar då att t = π4

samt t = −3π4

(−π

4± π

2

)ger maximum 4 och att

t = −π4

samt t = 3π4

(π4± π

2

)ger minimum −4 för hjälpfunktionen g.

Vi konstaterar då att den aktuella funktionen f(x,y) = 2xy har maximum4 i punkterna

x = 2 cos t = 2 cos(

−π

4± π

2

)

= 2

(

± 1√2

)

= ±√2 ,

y = 2 sin t = 2 sin(

−π

4± π

2

)

= 2

(

± 1√2

)

= ±√2 ,

eller i punkterna(√

2,√2)

och(−√2,−

√2).

Funktionen f(x,y) = 2xy har minimum −4 i punkterna

x = 2 cos t = 2 cos(π

4± π

2

)

= 2

(

∓ 1√2

)

= ∓√2 ,

y = 2 sin t = 2 sin(π

4± π

2

)

= 2

(

± 1√2

)

= ±√2 ,

eller i punkterna(√

2,−√2)

och(−√2,√2).

Exempel 3.4.2. Vi bestämmer extremvärdena för den kontinuerliga (ochderiverbara) funktionen f(x,y) = x2ye−(x+y) på det slutna, triangulära områ-det T = {(x,y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ 4}. Funktionens kritiska punktersatisfierar systemet

{f1(x,y) = (2− x)xye−(x+y) = 0 ,

f2(x,y) = (1− y)xye−(x+y) = 0 ,

eller{

(2− x)xy = 0 ,

(1− y)xy = 0 ,⇒

x = 0 , y godtyckligy = 0 , x godtyckligx = 2 , y = 1 .


T

(2,1)

y

4

xO

x+ y = 4

Figur 3.4: Definitionsmängden T för funktionen f(x,y) = x2ye−(x+y).

De kritiska punkterna är således (0,y), där y kan väljas godtyckligt, alternativt(x,0) där x kan väljas godtyckligt och (2,1). Endast den senare, (2,1), är eninre punkt och vi får funktionsvärdet f(2,1) = 22e−(2+1) = 4

e3≈ 0,199. Singu-

lära punkter saknas, emedan f är deriverbar överallt (består av en produktav polynom och exponentialfunktioner), men randpunkterna bör undersökas.Randen till området T består av tre räta linjesegment. På koordinataxlarna(x = 0 ∨ y = 0) är f = 0. Det tredje linjesegmentet bestäms av motsva-rande linjes ekvation begränsad på lämpligt sätt; y = 4 − x, 0 ≤ x ≤ 4.Om vi utnyttjar detta som en parametrisering kan vi bilda hjälpfunktioneng(x) = f(x,4− x) = x2(4− x)e−4, definierad på mängden 0 ≤ x ≤ 4.

Kritiska punkterna för hjälpfunktionen g fås från

g′(x) =(8x− 3x2

)e−4 = x (8− 3x) e−4 = 0 ,

d.v.s. x = 0 och x = 83= 22

3. I dessa punkter har hjälpfunktionen värdena

g(0) = 0 ,

g

(8

3

)

=64

9

(

4− 8

3

)

e−4 =44

33e−4 ≈ 0,174 < 0,199 = f(2,1) .

I sina randpunkter har hjälpfunktionen värdet noll, ty g(0) = 0 = g(4), ochdäremellan har den positiva värden (x2(4− x)e−4 > 0, då 0 ≤ x ≤ 4). Dettamedför att f på området T har maximum enligt f(2,1) = 4

e3och minimum

enligt f(x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ 4 eller f(0,y) = 0, 0 ≤ y ≤ 4.


Extremvärdesproblem kan lösas numeriskt i Octave för funktioner med såväl begränsade somobegränsade definitionsmängder. Enklast görs detta genom att anropa relevanta inbyggdafunktioner för de olika beräkningsfallen, men man kan även “derivera funktionen numeriskt”med användning av rutiner för beräkning av gradienten och dess nollställen.

Vi behandlar inte algoritmerna eller de numeriska detaljerna bakom rutinerna i Octave,utan dessa lämnas till kurser i numerisk matematik.

I Octave finns rutinen fminbnd, som är en funktion för sökning av lokalt minimum hosen envariabel funktion definierad på ett slutet intervall. Denna har behandlats i sambandmed envariabla funktioner i kursen Ingenjörsmatematik I. För flervariabla funktioner finnsmotsvarande rutiner i paketet “optimization-package” som ingår i standardinstallationen förOctave.

Funktioner definierade på begränsade områden kan minimeras med rutinen sqp, somutnyttjar s.k. sekventiell kvadratisk programmering (vi går inte in på vad detta betyder idenna kurs) för att lösa problemet:

minx

f(x) , g(x) = 0 , h(x) ≥ 0 , xa ≤ x ≤ xb ,

där bivillkoren kan vara såväl olikheter som ekvationer. Den sista olikheten formulerar grän-ser för komponenterna i variabelvektorn x. Vi prövar rutinen på exemplet ovan med attmaximera funktionen f(x,y) = x2ye−(x+y) definierad på det slutna, triangulära områdetT = {(x,y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≤ 4}. Detta kan formuleras enligt ovan med

x =

(

x

y

)

,

x

y

4− x− y

≥

000


% definierar funktionen, obs att vi minimerar

% negationen av f för att få maximum

f = @(x) - ( x(1)^2 * x(2) * exp(-x(1)-x(2)) );

% olikhet som definierar området T

h = @(x) [ x(1) ; x(2) ; 4 - x(1) - x(2) ];

% startgissning för variablerna x och y

x0 = [ 10 ; 10 ];

% anropar minimeringsrutinen, x ger maximistället,

% -obj ger maximum, iter antalet iterationer och de

% övriga tilläggsinformation, se help sqp för dessa

[x, obj, info, iter, nf, lambda] = sqp(x0, f, [], h)

Funktioner definierade på obegränsade områden kan minimeras med rutinen fminunc, somär en förkortning av “ f minimize unconstrained ”. Denna rutin kan även utnyttja gradientenav den aktuella funktionen för att ge snabbare konvergens till ett minimum.

Vi betraktar exemplet ovan, med f(x,y) = 2x3 − 6xy + 3y2 och gradienten ∇f(x,y) =(

6x2 − 6y, 6y − 6x)

. I detta fall ger följande kod i Octave det lokala minimet:clear all; % tömmer arbetsminnet

% definierar funktionen och gradienten, som

% tas i bruk om switchen nedan aktiveras

function [f,g] = minfun(x)

f = 2*x(1)^3 - 6*x(1)*x(2) + 3*x(2)^2;

if nargout > 1

g(1) = 6*x(1)^2 - 6*x(2);

g(2) = 6*x(2) - 6*x(1);

end

endfunction;

% switch för användning av gradienten

options = optimset(’GradObj’,’on’);


x0 = [ 10 ; 10 ];

% anropar rutinen för minimering, svaret

% är variabelvärdena och minimet

[x,fval] = fminunc(’minfun’,x0,options)


Kapitel 4

Multipel integrering

4.1 Dubbelintegraler

x

y

z

z = f(x,y)

D

Figur 4.1: Volymen som bildas av basytan D och höjden f(x,y) i en visspunkt (x,y).

4.1.1 Riemann-summa

Man kan tolka en dubbelintegral som en volym med tecken (jämför detta medbegreppet integralarea med tecken, som berördes i samband med funktionerav en oberoende variabel). Volymen mellan området D och ytan z = f(x,y)

73

74 KAPITEL 4. MULTIPEL INTEGRERING

i Figuren 4.1 ges av dubbelintegralen∫∫

D

f(x,y)dA ,

där ytdifferentialen dA = dxdy är ett areaelement och funktionen f(x,y) ärpositiv.

D

R11

y1

y2

yn = d

y

y0 = c

yn

y0

x0 = a x2x1 xm−1 xm = bx

Figur 4.2: Partition av det rektangulära området D.

I specialfallet att D är en rektangel, enligt

D : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d ,

kan vi bilda en partition P av D, bestående av små delrektanglar, se Figu-ren 4.2,

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm−1 < xm = b ,

c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn−1 < yn = d .

Partitionen P består då av m · n rektanglar Rij , (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n),som består av punkterna (x,y) sådana att xi−1 ≤ x ≤ xi och yj−1 ≤ y ≤ xj .Rektangeln Rij har arean

∆Aij = ∆xi∆yj = (xi − xi−1) (yj − yj−1)

och diametern (egentligen i detta sammanhang längden av diagonalen i endelrektangel, men vi använder termen diameter som en allmän benämning)

diam (Rij) =

√

(∆xi)2 + (∆yj)

2 =

√

(xi − xi−1)2 + (yj − yj−1)

2.

4.1. DUBBELINTEGRALER 75

Normen, ‖P‖, av partitionen P är den största diametern bland alla delrek-tanglar

‖P‖ = maxi,j

(diam (Rij)) .

z = f(x,y)z

x

y

Rij

(

x∗ij ,y∗ij

)

f(

x∗ij,y∗ij

)

Figur 4.3: Delrätblock i partitionen för Riemann-summa.

Vi kan välja en godtycklig punkt(x∗ij , y

∗ij

)i varje delrektangel Rij , enligt

Figuren 4.3, och bilda Riemann-summan

R(f,P ) =

m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij .

Riemann-summan består av mn termer, en för varje delrektangel. Vi fårvolymen, d.v.s. integralen, om vi förfinar partitionen i det oändliga. Dettabetyder att Riemann-summan kommer att närma sig värdet på integralen dåpartitionen blir finare.

Definition 4.1.1. Dubbelintegral över rektangelFunktionen f(x,y) sägs vara integrerbar över rektangeln

D : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d ,

och ha dubbelintegralen

I =

∫∫

D

f(x,y)dA

(

=

∫∫

D

f(x,y)dxdy

)


om det för varje ǫ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att

|R(f,P )− I| < ǫ ,

för varje partition P av D för vilken ‖P‖ < δ och för alla tänkbara val avx∗ij och y∗ij.


Vi konstruerar nu en funktion i Octave för beräkning av en Riemann-undersumma till engodtycklig funktion av två variabler. Följande funktion formuleras med valfri editor och sparasi en teckenfilen stapelarea2.m på samma filområde som Octave körs från (aktuellt filområdefås med kommandot pwd , “present working directory”)

% deklarerar funktionen, indata är integrandfunktionens namn,

% intervallen [a,b] för x, [c,d] för y samt antalet

% delintervall m resp. n, utdata är I som är summans värde

function I = stapelarea2(fun2,a,b,c,d,m,n)

dx = (b-a)/m; % delintervallens bredd

dy = (d-c)/n; % delintervallens bredd

I = 0; % nollställer summans värde

xl = a; % vänster ändpunkt för ett

% delinterval i x-led

xr = a + dx; % höger ändpunkt

% repetitionsslinga som går

% igenom varje delintervall,

% söker funktionens minimum

% där och adderar underskattnings-

% rektangeln till Riemann-summan

for i = 1:m

yl = c; % vänster ändpunkt för ett

% delinterval i y-led

yr = c + dy; % höger ändpunkt

for j = 1:n % minimisökning

% funktion som definierar randvillkoren, sökområdet är

% i den aktuella delrektangeln, se kap. om extr.värden

h = @(x) [ x(1) - xl ; xr - x(1) ; x(2) - yl ; yr - x(2) ];


x0 = [ (xl+xr)/2 ; (yl+yr)/2 ];

% anropar minimeringsrutinen, x ger minimistället,

% obj ger minimum, iter antalet iterationer och de

% övriga tilläggsinformation, se help sqp för dessa

[x, obj, info, iter, nf, lambda] = sqp(x0, fun2, [], h);

I = I + obj*dx*dy; % bidraget till summan

yl = yr; % flyttar fram till nästa

yr = yr + dy; % delintervall i y-led

end;

xl = xr; % flyttar fram till nästa

xr = xr + dx; % delintervall i x-led

end;

Om man nu vill beräkna Riemann-undersumman till dubbelintegralen över rektangeln [0,1]×[1,2]: I =

∫ 10

dx∫ 21(4 − x− y) dy, så kan man anropa funktionen ovan med:

I = stapelarea2(@(x,y) 4-x-y,0,1,1,2,5,5)

Ifall man däremot önskar en Riemann-översumma så kan man åstadkomma detta med sammakod, genom att editera andra raden i repetitionsslingan till:

I = I - obj*dx*dy; % bidraget till summan

och anropa med:

I = stapelarea(@(x,y) x+y-4,0,1,1,2,5,5)

Med rutinen ovan kan man således numeriskt verifiera, att nedre och övre Riemann-summornanärmar sig varandra då man successivt förfinar indelningen av [a,b] × [c,d] i allt fler delrek-tanglar.


4.1.2 Dubbelintegral över allmänt område

Definition 4.1.2. Dubbelintegral över allmänt områdeDen begränsade funktionen f(x,y) sägs vara integrerbar över det begrän-

sade området D, inneslutet i rektangeln R vars sidor är parallella med koor-dinataxlarna, och ha dubbelintegralen

∫∫

D

f(x,y)dA =

∫∫

R

f̂(x,y)dA ,

om utvidgningen av f

f̂(x,y) =

{f(x,y) , (x,y) ∈ D ,

0 , (x,y) 6∈ D ,

är integrerbar över R.

R

D

y

x

Figur 4.4: Basytor för dubbelintegral över allmänt område.

Denna definition är meningsfull, emedan f̂ = 0 i den del av R som liggerutanför D, se Figuren 4.4. f̂ är inte nödvändigtvis kontinuerlig, men om f

och D inte har alltför krångliga egenskaper så existerar integralen. Vi har dåresultatet:

Sats 4.1.1. Om f är kontinuerlig på ett slutet och begränsat område D, varsrand består av ett ändligt antal kurvor av ändlig längd, så är f integrerbarpå D.


Bevis. Vi skisserar beviset och inskränker oss till fallet att f är positiv (ifallså inte skulle vara fallet kan man t.ex. övergå till att studera funktioneng(x,y) = f(x,y) + C, med en tillräckligt stor positiv konstant C). BetraktaRiemann-summan

R(f,P ) =m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij ,

för en indelning av området D i rektanglar. På samma sätt som för Riemann-summor till funktioner med en oberoende variabel kan man då konstrueraen under- (en sammanhängande mängd av rektanglar som faller innanförområdet D) och en översumma (en sammanhängande mängd av rektanglarsom överlappar området D) som approximerar integralen

∫∫

D

f(x,y)dA .

För en allt noggrannare förfining och lämpliga egenskaper hos funktionen f

samt randen till området D kommer då under- och översummorna att närmasig ett och samma värde, nämligen integralens. Vi börjar dock med en allmänbetraktelse av Riemann-summan ovan. För våra antaganden kan man visaatt denna konvergerar (går mot) ett ändligt värdet då partitionen förfinas,detta värde definieras då som integralens värde och f sägs vara integrerbar.Inledningsvis konstaterar vi att enligt beviset ovan av satsen om tillräckligavillkor för extremvärden gäller att värdemängden Rf för f(x,y) med egen-skaper enligt antagandena är begränsad. Detta innebär att funktionsvärdenaf(x∗ij , y

∗ij

)i summan har undre (Lij) och övre begränsning (Uij). Vi har

således olikhetenm∑

i=1

n∑

j=1

Lij∆Aij ≤m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij ≤

m∑

i=1

n∑

j=1

Uij∆Aij .

Vidare kommer summorna i vänstra respektive högra ledet ovan att varabegränsade uppåt respektive nedåt enligt

s ≥ smn =m∑

i=1

n∑

j=1

Lij∆Aij ,

S ≤ Smn =

m∑

i=1

n∑

j=1

Uij∆Aij ,

smn ≤ s ≤ S ≤ Smn .


Eftersom f är kontinuerlig och begränsad på det slutna och begränsade om-rådet D gäller att för varje ǫ > 0 kan man finna ett tal δ > 0 sådant att

Uij − Lij < ǫ ,

om ‖P‖ < δ, där δ då beror av funktionen f och ǫ. Vi får därmed

S − s ≤ Smn − smn =

m∑

i=1

n∑

j=1

(Uij − Lij)∆Aij < ǫ

m∑

i=1

n∑

j=1

∆Aij

Då S och s är oberoende av ǫ och summan∑m

i=1

∑n

j=1∆Aij är ändlig följeratt ǫ kan väljas godtyckligt liten och likheten S = s måste gälla i gränsenǫ → 0. Eftersom olikheten

smn ≤m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij ≤ Smn

gäller för alla partitioner fås att även

smn ≤ s ≤m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij ≤ S ≤ Smn

gäller och därmed är

s = lim{

m → ∞ ,

n → ∞

m∑

i=1

n∑

j=1

f(x∗ij , y

∗ij

)∆Aij = S ,

under förutsättning att området D är mätbart, d.v.s. att

area (D) = lim{

m → ∞ ,

n → ∞

m∑

i=1

n∑

j=1

∆Aij .

Detta är ekvivalent med att funktionen f(x,y) ≡ 1 är integrerbar på D

och kan i princip visas genom att konstruera en lämplig uppdelning av D isektioner enligt de ingående ändliga delkurvorna. Då kan delintegralerna överde respektive sektionerna återföras på Riemannintegralen för en envariabelfunktion, vars existens baserar sig på de reella talens fullständighet.


I Octave kan en dubbelintegral över ett rektangulärt område beräknas med rutinen dblquad.Vi betraktar ett exempel med den i samband med Riemann-summor behandlade integralen:


% funktionsanrop, först funktionen,

% sedan gränserna

I = dblquad(@(x,y) 4-x-y,0,1,1,2)

Enligt teorin ovan för dubbelintegraler över godtyckliga områden kan man beräkna dessa ge-nom att integrera över en rektangel som innesluter det relevanta integreringsområdet, där manlåter integrandfunktionen vara lika med noll i irrelevanta punkter. Detta kan åstadkommasmed lämplig funktion, exempelvis för dubbelintegralen

I =

∫∫

D

xey

ydA ,

på området D : 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ x, se Figuren 4.8.Som ovan anropas integreringsrutinen med dblquad(fun2,a,b,c,d), där fun2 är en två-

variabel funktion där x är en vektor och y en skalär. Vi får då denna funktion för de aktuellagränserna

% Denna funktion tar som indata en vektor x och en

% skalär y och returnerar vektorn med värdena

% z = x e^y / y om (x,y) ligger inom området D och

% noll annars

function z = fun2(x,y)

% bestämmer längden på vektorn x

m = length(x);

% allokerar utrymme för vektorn z, så att

% default-värdet för ett element är noll

z = zeros(1,m);

% slinga som går igenom alla element i

% x och kontrollerar om (x,y) tillhör D

for i = 1:m

if ( y <= x(i) && y >= x(i)^2 )

z(i) = x(i) * exp(y) / y;

end;

end;

Nu kan integralen beräknas med anropet

I = dblquad(@fun2,0,1,1e-5,2)

Observera att vi anropar med en nedre gräns c för y som inte är lika med noll, för attundvika division med noll. Detta är således en oegentlig dubbelintegral motsvarande den ikursen Ingenjörsmatematik I behandlade oegentlig integralen av typ II. Förfarandet ovan ärett alternativ till situationen där det går att beräkna ett gränsvärde och ersätta integrandenmed detta i den aktuella punkten. Ifall man har att göra med en oegentlig dubbelintegralmotsvarande typen I i Ingenjörsmatematik I så kan man välja värden på gränserna som ärtillräckligt stora/små för att ge en bra approximation (man kan ju undersöka detta medupprepad beräkning).


4.1.3 Dubbelintegralens egenskaper

Under förutsättning att f och g är integrerbara på området D följer fråndefinitionen egenskaperna för dubbelintegralen:

(a) Om integrationsområdets area är noll, d.v.s. area (D) = 0, gäller∫∫

D

f(x,y)dA = 0 .

(b) Arean av området D kan bestämmas med integralen∫∫

D

1dA = area (D) .

(c-d) Integraler kan representera volymer : Om f(x,y) ≥ 0 (resp. f(x,y) ≤ 0)på D så är

∫∫

D

f(x,y)dA = V ≥ 0 (resp. = −V ≤ 0) ,

där V är volymen av kroppen vertikalt över (resp. under) D och under(resp. över) ytan z = f(x,y).

(e) Linjäritet : Om L och M är konstanter gäller∫∫

D

(Lf(x,y) +Mg(x,y)) dA = L

∫∫

D

f(x,y)dA+M

∫∫

D

g(x,y)dA .

(f) Olikheter bevaras: Om f(x,y) ≤ g(x,y) överallt på D gäller∫∫

D

f(x,y)dA ≤∫∫

D

g(x,y)dA .

(g) Triangelolikheten:∣∣∣∣

∫∫

D

f(x,y)dA

∣∣∣∣≤∫∫

D

|f(x,y)|dA .

(h) Additivitet av områden: Om f är integrerbar på varje icke-överlappandeområde D1, D2, . . ., Dk så är f även integrerbar på unionen D =D1 ∪D2 ∪ · · · ∪Dk och

∫∫

D

f(x,y)dA =k∑

i=1

∫∫

Di

f(x,y)dA .


4.1.4 Beräkning av dubbelintegraler med inspektion

Man kan ibland evaluera dubbelintegraler genom att tolka dem som kändavolymer och genom att använda symmetriargument (kallas inspektion).

x2 + y2 = 1

x

D

y

O 1

Figur 4.5: Integrationsområdet D som begränsas av enhetscirkeln.

Exempel 4.1.2. Vi beräknar dubbelintegralen

I =

∫∫

D

(sin x+ y3 + 3

)dA ,

där D är området som begränsas av enhetscirkeln x2+y2 = 1, se Figuren 4.5.Integrationsområdet är alltså en cirkelskiva med radien 1 och medelpunkt iorigo. Enligt egenskapen (e) (linjäritet) gäller

I =

∫∫

D

sin x+ y3 + 3 dA =

∫∫

D

sin x dA +

∫∫

D

y3 dA+

∫∫

D

3 dA .

Vi konstaterar nu att området D är symmetriskt med avseende på origo.Eftersom sin x och y3 är udda funktioner, d.v.s.

sin (−x) = − sin x , (−y)3 = −(y3),

så får vi integralerna, ifall vi integrerar först i y-led från den nedre halvcirkeln


till den övre och sedan i x-led över intervallet [−1,1],

∫∫

D

sin x dA =

∫ 1

−1

∫ √1−x2

−√1−x2

sin x dy dx = 2

∫ 1

−1

√1− x2 sin x dx = 0 ,

∫∫

D

y3dA =

∫ 1

−1

∫ √1−x2

−√1−x2

y3 dy dx =

∫ 1

−1

√1−x2/

−√1−x2

y4

4dx = 0 .

Slutresultatet blir således

I =

∫∫

D

3 dA = 3

∫∫

D

dA = 3area(D) = 3 · π · 12 = 3π ,

där tolkningen av integralen som cirkelns D area följer av egenskap (b).

4.2 Iteration av dubbelintegraler

Eftersom dubbelintegralen

I =

∫∫

D

f(x,y) dA

kan tolkas som en volym, så kan den beräknas genom skivning. Vi betraktaren situation där integrationsområdet

D : {a ≤ x ≤ b , c(x) ≤ y ≤ d(x)

är y-enkelt, d.v.s. en linje parallell med y-axeln skär området D i endast ettintervall. Ett tvärsnitt av volymen I i det vertikala planet vinkelrätt motx-axeln har i punkten x arean

A(x) =

∫ d(x)

c(x)

f(x,y) dy .

Vi får då volymen I genom att summera volymerna för tunna skivor med

4.2. ITERATION AV DUBBELINTEGRALER 85

x

y

z

z = f(x,y)

b

y = d(x)y = c(x)

xa

Figur 4.6: Beräkning av dubbelintegral genom skivning.

arean A(x) och tjockleken dx mellan x = a och x = b, se Figuren 4.6,

I =

∫∫

D

f(x,y) dA

=

∫ b

a

A(x) dx

=

∫ b

a

(∫ d(x)

c(x)

f(x,y) dy

)

dx

=

∫ b

a

dx

∫ d(x)

c(x)

f(x,y) dy

︸︷︷︸

inre integral (vanlig bestämd integral)︸︷︷︸

yttre integral (itererad integral)

Denna kalkyl motiverar följande resultat:

Sats 4.2.1. Iteration (upprepad integration) av dubbelintegralerOm f(x,y) är kontinuerlig på det begränsade y-enkla området D : a ≤

x ≤ b , c(x) ≤ y ≤ d(x), så är dubbelintegralen

∫∫

D

f(x,y) dA =

∫ b

a

dx

∫ d(x)

c(x)

f(x,y) dy .


Analogt, om f(x,y) är kontinuerlig på det begränsade x-enkla området D :c ≤ y ≤ d , a(y) ≤ x ≤ b(y), så är dubbelintegralen

∫∫

D

f(x,y) dA =

∫ d

c

dy

∫ b(y)

a(y)

f(x,y) dx .

Anmärkning 4.2.1. Ofta är området D både x-enkelt och y-enkelt, så mankan välja endera formeln i satsen ovan. Lämpligen väljes den som ger enklarebestämning av primitiv funktion till integranderna, ibland underlättas sö-kandet av primitiv funktion ifall man väljer integrationsordningen klokt.

y

2

1

O 1

x

Q

Figur 4.7: Integrationsområdet Q som begränsas av en kvadrat.

Exempel 4.2.2. Vi bestämmer volymen av den kropp som ligger ovanförkvadraten Q : 0 ≤ x ≤ 1 , 1 ≤ y ≤ 2 och under planet z = 4 − x − y, seFiguren 4.7. Området Q är både y-enkelt och x-enkelt, d.v.s. linjer parallellamed koordinataxlarna skär Q i endast ett intervall. Integralen

V =

∫∫

Q

z(x,y) dA

kan enligt teorin ovan tolkas som den sökta volymen. Vi beräknar för klar-hets skull integralen på båda möjliga sätten, om vi börjar med den y-enklalösningen fås (notera att gränserna i den inre integralen i detta fall inte be-ror av integrationsvariabeln i den yttre integralen, eftersom området Q är

4.2. ITERATION AV DUBBELINTEGRALER 87

rektangulärt)

V =

∫∫

Q

(4− x− y) dA =

∫ 1

0

dx

∫ 2

1

(4− x− y) dy

=

∫ 1

0

2/

1

(

4y − xy − y2

2

)

dx =

∫ 1

0

(

4 · 2− 2x− 22

2− 4 · 1 + x+

12

2

)

dx

=

∫ 1

0

(5

2− x

)

dx =

1/

0

(5

2x− x2

2

)

= 2 .

Å andra sidan, fås den x-enkla lösningen (samma notering som ovan beträf-fande integrationsgränserna) enligt

V =

∫∫

Q

(4− x− y) dA =

∫ 2

1

dy

∫ 1

0

(4− x− y) dx

=

∫ 2

1

1/

0

(

4x− x2

2− xy

)

dy =

∫ 2

1

(

4 · 1− 12

2− 1 · y

)

dy

=

∫ 2

1

(7

2− y

)

dy =

2/

1

(7

2y − y2

2

)

=7

2· 2− 22

2−(7

2· 1− 12

2

)

= 2 .

Exempel 4.2.3. Vi bestämmer dubbelintegralen

I =

∫∫

D

xey

ydA ,

på området D : 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ x, se Figuren 4.8. Eftersomområdet är både y-enkelt och x-enkelt kan vi alternativt uttrycka det enligtD : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ √

y och vi kan således välja integrationsordningenfrån

I =

∫∫

D

xey

ydA =

∫ 1

0

dx

∫ x

x2

xey

ydy ,

=

∫ 1

0

dy

∫ √y

y

xey

ydx .


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y

xFigur 4.8: Integrationsområdet D : 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ x.

Vi noterar nu att det senare uttrycket är lämpligare än det förra, som förut-sätter att vi integrerar först i y-led och söker primitiva funktionen till ey

y(x

hanteras ju som en konstant här). En sådan primitiv funktion kan dessvärreinte beskrivas med elementära funktioner (se t.ex. Ingenjörsmatematisk for-melsamling), så detta alternativ för integrationsordningen är inte gångbart.Om vi däremot använder den andra formeln ser vi att

I =

∫ 1

0

dy

∫ √y

y

xey

ydx

=

∫ 1

0

√y/

y

x2ey

2y

dy

=

∫ 1

0

((√y)2

ey

2y− y2ey

2y

)

dy

=

∫ 1

0

(ey

2− yey

2

)

dy

4.3. OEGENTLIGA (GENERALISERADE) DUBBELINTEGRALER 89

=

1/

0

(ey

2− (y − 1)ey

2

)

(se tabeller)

=e1

2− (1− 1)e1

2−(e0

2− (0− 1)e0

2

)

=e

2− 1 .

4.3 Oegentliga (generaliserade) dubbelintegra-

ler

Ifall integrationsområdet D är obegränsat eller integranden f är obegränsadvid randen av D, så har vi en oegentlig dubbelintegral.

Antag att funktionen f(x,y) är positiv1, d.v.s. f(x,y) ≥ 0, på D. Enoegentlig dubbelintegral

∫∫

Df(x,y) dA måste då antingen

- existera, d.v.s. konvergera till ett ändligt värde, eller

- vara oändlig, d.v.s. divergera till oändligheten.

Vilket av dessa som inträffar kan avgöras genom iteration av integralen ochbestämning av konvergens eller divergens för de resulterande envariabelinte-gralerna.

Exempel 4.3.1. Vi bestämmer dubbelintegralen I =∫∫

DdAxy

för området Di Figuren 4.8. Denna integral är oegentlig emedan 1

xy→ ∞ när (x,y) →

(0,0). Vidare är integranden positiv på D, ty 1xy

> 0 då x ≥ 0 , y ≥ 0.Vi kan beräkna integralen med iteration och substitution i den resulterande

1Ifall så inte är fallet kan man dela upp integrationsområdet enligt integrandens teckenoch studera motsvarande integraler för funktionen g(x,y) = −f(x,y) över de områden därf(x,y) är negativ


envariabelintegralen enligt:

I =

∫∫

D

dA

xy=

∫ 1

0

dx

x

∫ x

x2

dy

y=

∫ 1

0

dx

x

x/

x2

ln |y|

=

∫ 1

0

(ln |x| − ln |x|2

) dx

x=

∫ 1

0

(ln |x| − 2 ln |x|) dxx

= −∫ 1

0

ln |x|dxx

= −∫ 1

0

ln x

xdx

= limε→0+

∫ ε

1

ln x

xdx , u = ln x , du =

dx

x

= limε→0+

∫ ln ε

0

u du = limε→0+

ln ε/

0

u2

2

=1

2limε→0+

(ln ε)2 =1

2

(

limε→0+

ln ε

)2

= ∞ .

Integralen divergerar således.

Exempel 4.3.2. Vi bestämmer dubbelintegralen I =∫∫

Te−

yx

x3 dA för områ-det T : x ≥ 1 , 0 ≤ y ≤ x, d.v.s. området till höger om x = 1 mellanpositiva x-axeln och den räta linjen i Figuren 4.8. Integrandfunktionen e−

yx

x3

är begränsad, men integrationsområdet T är obegränsat. Vi kan trots dettautnyttja iteration av integralen för att överföra dubbelintegralen till lämpligaenvariabelintegraler:

I =

∫∫

T

e−yx

x3dA = lim

M→∞

∫ M

1

dx

∫ x

0

e−yx

x3dy

= limM→∞

∫ M

1

(x/

0

−e−yx

x2

)

dx

= limM→∞

∫ M

1

1− e−1

x2dx

=e− 1

elim

M→∞

M/

1

−1

x

=e− 1

elim

M→∞1− 1

M=

e− 1

e.

Integralen konvergerar alltså.

4.4. TRIPPELINTEGRALER 91

4.4 Trippelintegraler

Utvidgning till integration i tre eller flera dimensioner sker på samma sättsom generaliseringen från en till två dimensioner.

För en begränsad funktion f(x,y,z) av tre (oberoende) variabler x, y ochz, definierad på en rektangulär låda

B :

x0 ≤ x ≤ x1 ,

y0 ≤ y ≤ y1 ,

z0 ≤ z ≤ z1 ,

definieras trippelintegralen

I =

∫∫∫

B

f(x,y,z) dV =

∫∫∫

B

f(x,y,z) dxdydz

som ett gränsvärde av Riemann-summor svarande mot partitionen av områ-det B i “dellådor”.

Trippelintegraler över allmänna områden kan definieras genom att görautvidgningen av f

f̂(x,y,z) =

{f(x,y,z) , (x,y,z) ∈ D ,

0 , (x,y,z) 6∈ D ,

och inneslutning av D i en låda B.Trippelintegraler har egenskaper som är analoga med egenskaperna för

dubbelintegraler. Exempelvis om f(x,y,z) = 1 på området D så är trippelin-tegralen volymen av D

Volym(D) =

∫∫∫

D

dV .

Trippelintegraler kan tillämpas exempelvis på beräkning av massor: Om den-siteten i en viss punkt (x,y,z) för en kropp är ρ(x,y,z), så fås kroppens totalamassa m som summan av (differentiella) masselementen dm = ρ(x,y,z)dV ,där dV är masselementets volym i en viss punkt (x,y,z). Denna summa av(oändligt små) differentiella masselement kan uttryckas som en trippelinte-gral:

m =

∫∫∫

D

dm =

∫∫∫

D

ρ(x,y,z) dV .

Allmänt kan trippelintegraler beräknas genom skivning och iteration på sam-ma sätt som för dubbelintegraler.


O

x

y

z1

1

1

Tz = 1− x− y

y = 1− x , z = 0

yx

T (x)

Figur 4.9: Integrationsområdet T som begränsas av en tetraeder.

Exempel 4.4.1. Vi beräknar trippelintegralen I =∫∫∫

Ty dV , där T är tet-

raedern med hörnpunkterna (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1). Tetraedernfinns illustrerad i Figuren 4.9 och bildas av planen som spänns upp av ko-ordinataxlarna samt planet x

a+ y

b+ z

c= 1 som har skärningspunkterna a, b

och c med koordinataxlarna. I vårt fall är för enkelhets skull a = b = c = 1.Vi kan nu betrakta en skiva i yz-planet vinkelrätt mot x-axeln. En sådan ski-va har en area T (x) som beror av positionen i x-led och vi kan då uttryckatrippelintegralen som skivningen av volymen T enligt

I =

∫∫∫

T

y dV =

∫ 1

0

(∫∫

T (x)

y dA

)

dx .

Den inre dubbelintegralen beräknas först

∫∫

T (x)

y dA =

∫ 1−x

0

dy

∫ 1−x−y

0

y dz =

∫ 1−x

0

1−x−y/

0

yz

dy

=

∫ 1−x

0

y (1− x− y) dy =

1−x/

0

(1− x)y2

2− y3

3

=(1− x)3

6.

4.4. TRIPPELINTEGRALER 93

Insättning av mellanresultatet i skivningsformeln ger då slutresultatet

I =

∫∫∫

T

y dV =

∫ 1

0

(∫∫

T (x)

y dA

)

dx

=

∫ 1

0

dx

∫ 1−x

0

dy

∫ 1−x−y

0

y dz

=

∫ 1

0

(1− x)3

6dx , s = 1− x , ds = −dx

=

∫ 1

0

s3

6ds =

1/

0

s4

24=

1

24.


I Octave kan en trippelintegral över ett rätblocksformat område beräknas med rutinen triplequad.Vi betraktar exemplet ovan med det tetraederformade integreringsområdet T och konstruerarintegrandfunktionen som har argumenten x (vektor), y (skalär) och z (skalär):

% Denna funktion tar som indata en vektor x och

% skalärerna y och z och returnerar vektorn med

% värdena intgnd = y om (x,y,z) ligger inom

% tetraedern T och noll annars

function intgnd = fun3(x,y,z)

% bestämmer längden på vektorn x

m = length(x);

% allokerar utrymme för integrandvektorn, så

% att default-värdet för ett element är noll

intgnd = zeros(1,m);

% slinga som går igenom alla element i

% x och kontrollerar om (x,y,z) tillhör T

for i = 1:m

if ( z >= 0 && z <= 1-x(i)-y ) && ( y >= 0 && y <= 1-x(i) )

intgnd(i) = y;

end;

end;

Nu kan integralen beräknas med anropet

J = triplequad(@fun3,0,1,0,1,0,1)

Beräkningstiden blir lång till följd av att iterationer måste göras i tre dimensioner, en dimen-sion i fun3 och två ytterligare i triplequad. Överensstämmelsen med det exakta värdet 1

24är

dock god.

Kapitel 5

Sekvenser och serier

5.1 Introduktion

En sekvens är en följd av element som bildar en ordnad lista. Elementenkallas termer och ifall dessa adderas kumulativt får man en serie ifall antalettermer är oändligt och en summa ifall antalet termer är ändligt. Kompliceradefunktioner f(x) kan ofta uttryckas som serier innehållande termer av enklarefunktioner. Många transcendenta (se Ingenjörsmatematik I) funktioner kanuttryckas som potensserier1 i x och liknar därför polynom av oändligt höggrad. Sådana serier kan deriveras och integreras term för term och spelar enfundamental roll i det område av matematiken som brukar kallas analys.

5.2 Följder

Definition 5.2.1. En (oändlig) följd är en ordnad lista av reella tal (termer)

{an} = {a1, a2, a3, . . .}

som kan tolkas som en funktion från mängden av positiva heltal, Z+, tillmängden av rella tal, R, d.v.s. f : Z+ → R, sådan att

f(n) = an ∀n ∈ Z+ .

1En potensserie kan betraktas som en oändlig summa av termer som består av potenseri x. Således kan serien liknas vid ett polynom av oändligt högt gradtal och oändligt mångatermer.

95

96 KAPITEL 5. SEKVENSER OCH SERIER

I praktiken definieras en följd vanligen genom att man anger en formelför den allmänna termen an som funktion av n, eller rekursivt som funktionav en eller flera föregående termer an−1, an−2, . . . tillsammans med givnavärden på motsvarande antal inledande termer i serien.

Exempel 5.2.1. Följder

(a) {n} = {1, 2, 3, . . .}

(b){(

−12

)n}={−1

2, 14,−1

8, 116, . . .

}

(c){

n−1n

}={0, 1

2, 23, 34, . . .

}

(d) {(−1)n−1} = {cos ((n− 1)π)} = {1,−1, 1, . . .}

(e){

a1 = 1 , a2 = 1 ,

an+2 = an+1 + an ,eller {an} = {1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .}, även kallad Fi-

bonaccis följd, är en rekursivt (eller induktivt) definierad talföljd.

Definition 5.2.2. Terminologi för följderFöljden {an} är

(a) begränsad om L ≤ an ≤ M , ∀n; begränsad nedåt av L respektive be-gränsad uppåt av M (om endast den ena gränsen gäller).

(b) positiv om an ≥ 0, ∀n.

(c) växande (icke-avtagande) om an+1 ≥ an, ∀n; avtagande (icke-växande)om an+1 ≤ an, ∀n. En växande eller avtagande följd är monoton.

(d) alternerande om an+1an < 0, ∀n.

Exempel 5.2.2. Beskrivning av följder

(a) Följden {n} = {1, 2, 3, . . .} är positiv, växande och begränsad nedåt.En nedre gräns är 1, eller vilket tal som helst som är mindre än ett.Följden är inte begränsad uppåt.

(b) Följden{(

−12

)n}={−1

2, 14,−1

8, . . .

}är begränsad och alternerande.

−12

är en nedre gräns och 14

är en övre gräns.

(c) Följden{

n−1n

}={0, 1

2, 23, . . .

}är positiv, begränsad och växande. 0 är

en nedre gräns och 1 är en övre gräns.

5.2. FÖLJDER 97

Exempel 5.2.3. Vi visar att följden {n}, an = nn2+1

är avtagande. Vi kanbetrakta motsvarande kontinuerliga funktion

f(x) =x

x2 + 1, 1 ≤ x < ∞ ,

som är deriverbar på hela definitionsmängden. Derivering ger

f ′(x) =1− x2

(x2 + 1)2≤ 0 , 1 ≤ x < ∞ .

Funktionen f(x) är således avtagande, vilket medför att även följden{

nn2+1

}

är avtagande.

Anmärkning 5.2.1. Följder kan även vara slutligen positiva/växande/avtagande/alternerandeom respektive egenskap gäller för n ≥ N men inte nödvändigtvis för n < N .

5.2.1 Följders konvergens

a1 a2 a3 a4

1 2 3 4 N n

x

y

L+ ǫ

L− ǫ

L

Figur 5.1: Schematiskt beteende för en konvergent talföljd.

Definition 5.2.3. Gränsvärde för en följdFöljden {an} sägs konvergera till gränsvärdet L om för varje givet reellt

tal ǫ > 0 det existerar ett heltal N sådant att om n > N så gäller

|an − L| < ǫ .


Vi skriver i detta falllimn→∞

an = L ,

se Figuren 5.1.

Anmärkning 5.2.2. En följd måste antingen konvergera till ett gränsvärdeeller divergera.

Exempel 5.2.4. Konvergenta och divergenta följder

(a){

n−1n

}konvergerar till 1, ty limn→∞

n−1n

= 1.

(b) {n} = {1, 2, 3, . . .} divergerar till ∞.

(c) {−n} = {−1,−2,−3, . . .} divergerar till −∞.

(d) {(−1)n} = {−1, 1,−1, . . .} divergerar (men inte till ±∞).

(e) {n(−1)n} = {−1, 2,−3, . . .} divergerar (men inte till ±∞).

Vi kan konstatera att gränsvärdet för en följd {an} är ekvivalent medgränsvärdet för en funktion f(x) när x → ∞. Vi har alltså följande:

Omlimx→∞

f(x) = L och an = f(n) ,

så ärlimn→∞

an = L .

Gränsvärdesreglerna för funktioner gäller således också för följder. Omföljderna {an} och {bn} konvergerar så gäller exempelvis

limn→∞

{an ± bn} = limn→∞

an ± limn→∞

bn

limn→∞

{anbn} =(

limn→∞

an

)(

limn→∞

bn

)

,

och så vidare.

Exempel 5.2.5. Vi bestämmer gränsvärdet av följden{n arctan

(1n

)}

limn→∞

n arctan

(1

n

)

.

5.2. FÖLJDER 99

Enligt ovan kan vi ersätta den n:te termen i följden med kontinuerliga funk-tionen f(x) och få en obestämd form som l’Hôpitals regler kan tillämpas på,enligt

limn→∞

n arctan

(1

n

)

= limx→∞

x arctan

(1

x

)

, [∞ · 0]

= limx→∞

arctan(1x

)

1x

,

[0

0

]

= limx→∞

11+ 1

x2

(− 1

x2

)

− 1x2

, l’Hôpitals regel I

= limx→∞

1

1 + 1x2

= 1 .

Alltså konvergerar följden{n arctan

(1n

)}till 1.

Förhållandet mellan följders konvergens och begränsning beskrivs av detvå följande resultaten:

Sats 5.2.6. Om följden {an} konvergerar så är den även begränsad.

Bevis. Vi kan, med användning av triangelolikheten, relatera beloppet hosett godtyckligt element av följden till definitionen av gränsvärdet för en följdenligt

|an| = |an − L+ L|≤ |an − L|+ |L|< ǫ+ |L| , ∀n ∈ N ,

< ∞ .

Emedan det enligt konvergensdefinitionen för varje ǫ > 0 existerar ett N

sådant att n > N leder till att |an − L| < ǫ, måste det även omvänt för varjen ∈ N existera ett ǫ > 0 så att olikheten gäller.

Anmärkning 5.2.3. Notera, att en begränsad följd inte nödvändigtvis be-höver vara konvergent. Exempelvis följden {(−1)n} är begränsad men intekonvergent. Satsen ovan gäller alltså inte omvänt.

Sats 5.2.7. Om följden {an} är (slutligen) växande/avtagande så är följ-den antingen begränsad uppåt/nedåt och således konvergent, eller så är denobegränsad och divergerar till +∞/−∞.


Bevis. En godtycklig följd måste vara antingen begränsad uppåt/nedåt ellerobegränsad. Vi betraktar situationen där följden är växande samt begränsaduppåt, den andra ifrågakommande situationen bevisas analogt. Ifall vi haren följd som är slutligen växande kan alltid ett ändligt antal termer i följdensbörjan lämnas bort för att vi skall erhålla en äkta växande följd. Då följdenär begränsad uppåt finns det en minsta övre gräns2 som vi betecknar G =supn an < ∞. Vi väljer ett ǫ > 0, man kan då visa att det finns ett elementanǫ

i följden med egenskapen G − ǫ < anǫ≤ G. Då {an} är växande gäller

dessutom attG− ǫ < anǫ

≤ an ≤ G , ∀n > nǫ ,

vilket innebär att |G− an| < ǫ för n > nǫ. Detta betyder att limn→∞ an = G

och följden är konvergent.

Sats 5.2.8. Speciella gränsvärden för följder

(a) Om |x| < 1, så gällerlimn→∞

xn = 0 .

(b) Om x ∈ R, så gäller

limn→∞

xn

n!= 0 ,

där n! = n(n− 1) · · ·2 · 1.

Bevis. Utgående från definitionen på gränsvärde

(a) Vi måste visa att det för varje ǫ > 0 existerar ett tal N så stort att|xn| < ǫ för alla n > N . Emedan limn→∞ ǫ

1n = 1 ser vi att då |x| < 1

existerar ett tal N för vilket ǫ1N > |x| och

∣∣xN∣∣ = |x|N < ǫ .

Vidare, om |x| < 1 gäller att

|xn| <∣∣xN∣∣ = |x|N < ǫ ∀N > n .

2Detta faktum brukar postuleras som ett axiom, d.v.s. ställas upp som ett mer ellermindre självklart antagande som man bygger teorin för reell analys på. Axiomatiska ut-sagor skall vara intuitivt så pass klara att de inte behöver bevisas desto vidare.

5.2. FÖLJDER 101

(b) Om x ∈ R, så har vi den dubbelsidiga olikheten

−|x|nn!

≤ xn

n!≤ |x|n

n!.

Om vi nu kan visa, att limn→∞|x|nn!

= 0 så kan instängningssatsentillämpas för att få önskat resultat. Välj nu ett tal N ⊃ M > |x|så att |x|

M< 1. Enligt (a) gäller då, att limn→∞

(|x|M

)n

= 0. Vi betraktarnu värden på n för vilka n > M och vi har

|x|nn!

=|x|n

n(n− 1) · · · (M + 2)(M + 1)︸︷︷︸

(n−M) faktorer

M · · · 2 · 1

≤ |x|nM !Mn−M

=|x|nMM

M !Mn=

MM

M !

( |x|M

)n

.

Vi har således olikheten

0 ≤ |x|nn!

≤ MM

M !

( |x|M

)n

.

Konstanten MM

M !är oberoende av n. Om vi nu tillämpar instängnings-

satsen står det klart att limn→∞|x|nn!

= 0, vilket bevisar påståendet.


Precis som vid beräkning av gränsvärden, krävs viss försiktighet då man undersöker sekvensernumeriskt genom att successivt beräkna elementen. Man måste vara säker på att gränsvärdetexisterar före man kan dra några slutsatser av en numerisk beräkning, vilket betyder attman strängt taget behöver ett existensbevis. Det är dock inte nödvändigt att veta vilketgränsvärdet är och inget hindrar att man utnyttjar numerisk beräkning för preliminära studierav sekvensens beteende.

Betrakta t.ex. sekvensen

an+1 = 1+1

1 + an, a1 = 1 .

Vi demonstrerar med beräkning av de första 8 elementen av denna sekvens att av dessaingår varannat element i en avtagande sekvens och varannat i en växande sekvens. Dessutomförefaller elementen att närma sig värdet

√2:


N = 8; % antalet element som beräknas

a = zeros(1,N); % allokerar (noll)vektor för dessa

a(1) = 1; % första elementet givet

% slinga som beräknar N första elementen

for i = 1 : (N-1)

a(i+1) = 1 + 1 / ( 1 + a(i) );

end;

% figur med tre delfigurer, först med alla

subplot(3,1,1); % element och sedan vartannat växande och avt.

plot((1:N),a(1:N),’o’);

subplot(3,1,2);

plot((1:2:N),a(1:2:N),’*’);

axis([1 N 1.395 1.42]); % justerar skalorna för bättre resolution

subplot(3,1,3);

plot((2:2:N),a(2:2:N),’+’);

axis([1 N 1.41 1.5]);

Man kan analytiskt bevisa, att de två delföljderna med växande resp. avtagande beteendeär konvergenta (genom att påvisa att de är växande resp. avtagande samt begränsade uppåtresp. nedåt). Gränsvärdet a∞ = limn→∞ an kan därefter bestämmas med kalkylen

limn→∞

an = 1 +1

1 + limn→∞ an⇔ a∞ = 1 +

1

1 + a∞⇔ · · · a∞ =

√2 .

Detta betyder att vi kan representera det irrationella talet√2 med ett s.k. kedjebråk, då vi

itererar formeln ovan och till slut beaktar gränsvärdet limn→∞ an =√2:

an+1 = 1 +1

1 + an, a1 = 1

= 1 +1

1 + 1 + 11+a

n−1

= 1 +1

1 + 1 + 11+1+ 1

1+an−2

⇒√2 = 1 +

1

2 + 12+ 1

2+ 12+···

.

5.3. SERIER 103

5.3 Serier

En serie är en oändlig summa

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + · · ·

som kan betraktas som bildad genom addition av termerna i en följd {an}.

Exempel 5.3.1.∞∑

n=1

n− 1

n= 0 +

1

2+

2

3+ · · ·

5.3.1 Partialsumma och konvergens

Definition 5.3.1. Seriers konvergensSerien

∑∞n=1 an sägs konvergera till summan S, och vi skriver

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + · · · = S

omlimn→∞

Sn ,

där Sn är den s.k. n:te partialsumman

Sn =

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an .

Serien∑∞

n=1 an konvergerar således om och endast om följden {Sn} konver-gerar.

5.3.2 Geometriska serier

Definition 5.3.2. Geometriska serienEn geometrisk serie har formen

∞∑

n=1

arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·


d.v.s. n:te termen är an = arn−1. Talet r kallas seriens gemensamma kvot(ration), ty

an+1

an=

arn

arn−1= r , n ∈ N .

Sats 5.3.2. Partialsumma för geometrisk serieOm r 6= 1, så är den geometriska seriens n:te partialsumma

Sn = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 =a (1− rn)

1− r.

I fallet r = 1 fås Sn = na.

Bevis. Den n:te partialsumman är

Sn =n∑

i=1

ari−1 = a+ ar + · · ·+ arn−1 .

Multiplikation med r ger

rSn =

n∑

i=1

ari = ar + ar2 + · · ·+ arn .

Subtraktion av detta från det föregående uttrycket ger

Sn − rSn = (1− r)Sn = (1− r)n∑

i=1

ari−1

= a+ ar − ar + ar2 − ar2 + · · ·+ arn−1 − arn−1 − arn

= a (1− rn) .

Division med faktorn (1− r) 6= 0 ger påståendet.

Sats 5.3.3. Den geometriska seriens konvergensegenskaperDen geometriska serien

∑∞n=1 ar

n−1

(i) är lika med noll, om a = 0

(ii) konvergerar mot a1−r

, om |r| < 1

(iii) divergerar mot ∞, om r ≥ 1 och a > 0

5.3. SERIER 105

(iv) divergerar mot −∞, om r ≥ 1 och a < 0

(v) divergerar, om r ≤ −1

Bevis. Konvergensegenskaper

(i) om a = 0, så är Sn = 0, ∀n ∈ N, d.v.s.

limn→∞

Sn = 0

(ii) om |r| < 1 och a 6= 0 så är limn→∞ rn = 0, d.v.s.

limn→∞

Sn = limn→∞

a (1− rn)

1− r=

a

1− r

(iii)-(iv) om r > 1 och a 6= 0 så är limn→∞ rn = ∞ d.v.s.

limn→∞

Sn =

{∞ , om a > 0−∞ , om a < 0

om r = 1 och a 6= 0 så är Sn = na och

limn→∞

Sn =

{∞ , om a > 0−∞ , om a < 0

(v) om r ≤ −1 så existerar ej limn→∞ rn och således ej heller limn→∞ Sn

Observation 5.3.4. Funktionen 11−x

kan uttryckas som en geometrisk serieenligt

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + · · · , |x| < 1 .

Denna serie spelar en viktig roll i samband med potensserier.

Exempel 5.3.5. Om man har en årlig inflation på p · 100 %, hur mycketär då en årlig betalning (i slutet av året) av 1000 e i n år värd idag, omp = 0,08 och

(a) n = 10 ?


(b) n → ∞ ?

En summa på 1000 e betalad om n år är idag värd

1000 ·(

1

1 + p

)n

e .

På motsvarande sätt fås att betalningar av 1000 e i n på varandra följandeår är värda

sn = 1000 e

(

1

1 + p+

(1

1 + p

)2

+ ·+(

1

1 + p

)n)

=1000 e

1 + p

(

1 +

(1

1 + p

)

+ ·+(

1

1 + p

)n−1)

=1000 e

1 + p

1−

(1

1+p

)n

1− 11+p

=1000 e

p

(

1−(

1

1 + p

)n)

.

För p = 0,08 och

(a) n = 10 fås s10 ≈ 6710,08 e

(b) n → ∞ fås

limn→∞

sn =1000 e

0,08≈ 12500 e

5.3.3 Speciella serier

En teleskoperande serie har den egenskapen att dess partialsummor får enenkel form om summanden partialbråksuppdelas3 före summeringen.

Exempel 5.3.6. Teleskoperande serieVi visar, att serien

∞∑

n=1

1

n(n + 1)=

1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · ·

3Se Ingenjörsmatematik I, avsnittet om integrering av rationella funktioner.

5.3. SERIER 107

konvergerar samt beräknar dess summa. I analogi med motsvarande förfa-rande för vissa integraler av rationella funktioner kan summanden partial-bråksuppdelas enligt

1

n(n+ 1)=

A

n+

B

n + 1=

A(n+ 1) +Bn

n(n+ 1)=

(A +B)n+ A

n(n+ 1)=

1

n(n + 1).

Från den sista likheten kan vi således direkt identifiera A = 1 och A+B = 0,så B = −1 och vi får uppdelningen

1

n(n + 1)=

1

n− 1

n+ 1.

Om vi studerar en partialsumma, Sn, d.v.s. en delsumma av serien omfat-tande de n första termerna, har vi

Sn =

n∑

i=1

1

i(i+ 1)=

n∑

i=1

1

i− 1

i+ 1

=1

1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− 1

4+ · · ·+ 1

n− 1− 1

n+

1

n− 1

n+ 1

=1

1− 1

n+ 1= 1− 1

n + 1.

Delsumman kan nu utvidgas till att inbegripa hela serien genom att bestämmagränsvärdet limn→∞ Sn, varvid fås

∞∑

n=1

1

n(n + 1)= lim

n→∞Sn = lim

n→∞

(

1− 1

n+ 1

)

= 1 .

Serien konvergerar alltså mot talet 1.

En annan speciell serie är den harmoniska serien

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·

som divergerar till ∞. Detta är något överraskande, eftersom termernas be-lopp går mot noll och numeriskt (t.ex. genom att summera termer med datoreller kalkylator) kan man då ledas till den falska slutsatsen att serien skulle


vara konvergent om man summerar termer ända tills dessas storlek under-skrider beräkningssnoggrannheten.4

y

1

n+ 1

y = 1x

n321

x

Figur 5.2: Delsumman Sn för harmoniska serien betraktad som en översummatill integralen

∫ n+1

1dxx

.

Exempel 5.3.7. Harmoniska serienVi visar att harmoniska serien

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·

divergerar till ∞. Bevisidén går ut på att betrakta delsumman Sn och finnaen oegentlig integral som denna delsumma utgör en översumma5 till. Om vidå kan visa att integralen inte existerar står det klart att limn→∞ Sn = ∞.

4Det har visats, att gränsvärdet

limn→∞

(n∑

i=1

1

i− lnn

)

= γ ≈ 0,57722

definierar den s.k. Euler-Mascheroni-konstanten som förekommer i många sammanhanginom analys och talteori. Sambandet ovan säger oss alltså att harmoniska serien diver-gerar till oändligheten ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen, vilket betyder attdivergensen, som dock är ett faktum, kan betraktas som relativt långsam.

5Se avsnittet om Riemann-summor i Ingenjörsmatematik I.

5.3. SERIER 109

Partialsumman kan uttryckas

Sn =

n∑

i=1

1

i= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

= summan av rektanglarnas area i Figuren 5.2.

> arean mellan kurvan y =1

xoch x-axeln från x = 1 till x = n + 1

=

∫ n+1

1

dx

x=

n+1/

1

ln x = ln (n + 1) .

Om vi nu låter n → ∞ ser vi på basen av uppskattningen ovan, att

∞∑

n=1

1

n= lim

n→∞Sn > lim

n→∞ln (n+ 1) = ∞ .

Således har vi bevisat påståendet

∞∑

n=1

1

n→ ∞ .


Vi tar en titt på numerisk summering av den harmoniska serien och hur detta kan leda tillmissuppfattningen att serien skulle vara konvergent. Om man kör följande kodsekvens i Octave:


sum = 0; % seriens summa nollställs

i = 1; % summeringsindex

while ( 1/i > 1e-8 ) % slinga som summerar tillräckligt stora termer

sum = sum + 1/i; % summera en term till

i = i + 1; % inkrementera summeringsindex

endwhile; % slingan slutar

så märker man att beräkningen slutar (efter en god stund) då termerna blir tillräckligtsmå. Med en beräkningsnoggrannhet som motsvarar enkel precision (exempelvis om mansummerar med vanlig kalkylator eller Excel) så inträffar detta då i = 2097152 och sum-man har då värdet 15,4. Med den dubbla precisionen i Octave tar det mycket längre ochskulle beräkningsnoggrannheten vara tillräcklig skulle värdet 100 för summan passeras dåi = 15092688622113788323693563264538101449859497. Summeringen ovan är dessutom litenaiv i bemärkelsen att dess precision lider av att man börjar summeringen med de störstatermerna. Ett klokare förfaringssätt vore att granska olika stora delsummor så att dessa skullesummeras med början från de sista, minsta termerna.

Att harmoniska serien divergerar kan visas på ett mycket enklare sätt än i vårt bevisovan a bara genom att betrakta grupper av termer, enligt (detta är tillåtet eftersom man juinte ändrar ordningföljden på termerna - något som går för sig endast om man vet att serienkonvergerar)

∞∑

i=1

1

i= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8+ · · ·

< 1 +1

2+

1

4+

1

4+

1

8+

1

8+

1

8+

1

8+ · · ·

= 1 +1

2+

2

4+

4

8+ · · · → ∞ .

aBevisades kring år 1350 av Nicole Oresme, född cirka 1320 i Normandietutanför Caen, död 11 juli 1382 i Lisieux, som var en normandisk filosof, ekonom,matematiker, fysiker och biskop och räknas som en av den moderna vetenskapensfäder.

5.3. SERIER 111

5.3.4 Satser om serier

Sats 5.3.8. Om serien ∞∑

n=1

an

konvergerar, så gällerlimn→∞

an = 0 .

Bevis. Enligt antagande konvergerar serien, vilket innebär att limn→∞ Sn <

∞. Då fås, med användning av räknereglerna för gränsvärden och delsummor,att an = Sn − Sn−1 och

limn→∞

an = limn→∞

Sn − Sn−1 = limn→∞

Sn − limn−1→∞

Sn−10

= limn→∞

Sn − limn→∞

Sn = limn→∞

(Sn − Sn) = 0 .

Anmärkning 5.3.1. En serie konvergerar således inte om inte dess termer gårmot noll. Notera dessutom att

limn→∞

an = 0

är ett nödvändigt men inte ett tillräckligt villkor för att en serie skall kon-vergera. Exempelvis den harmoniska serien konvergerar inte, trots att desstermer går mot noll.

Sats 5.3.9. Serien∑∞

n=1 an konvergerar om och endast om serien∑∞

n=N ankonvergerar för alla 1 ≤ N < ∞.

Bevis. Antag att∑∞

n=1 an konvergerar. Emedan summan∑N−1

n=1 an är ändlig,ser vi då omedelbart, att

∣∣∣∣∣

∞∑

n=N

an

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an −N−1∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

N−1∑

n=1

an

∣∣∣∣∣< ∞ ,

varför även∑∞

n=N an måste konvergera. Å andra sidan, om vi antar att∑∞

n=N an konvergerar fås på motsvarande sätt∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

∞∑

n=N

an +

N−1∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣

∞∑

n=N

an

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

N−1∑

n=1

an

∣∣∣∣∣< ∞ ,

vilket innebär att∑∞

n=1 an konvergerar.


Anmärkning 5.3.2. Seriens “svans” avgör alltså konvergensen, det är endastdet slutliga6 beteendet hos följden {an} som bestämmer huruvida serien∑∞

n=1 an konvergerar.

Sats 5.3.10. Om följden {an} är (slutligen) positiv, d.v.s. dess termer (för-utom möjligen ett ändligt antal i följdens början) är positiva, så måste serien∑∞

n=1 an antingen

- konvergera (ifall Sn =∑n

k=1 ak är begränsad uppåt), eller

- divergera till ∞ (ifall Sn inte är begränsad uppåt)

Bevis. Vi betraktar endast positiva termer i serien, enligt satsen ovan ärkonvergensen hos dessa ekvivalent med konvergensen hos serien som helhet.

- Ifall delsummorna är begränsade uppåt, så har vi 0 < Sn =∑n

k=1 ak ≤L , ∀n ∈ N och för varje ǫ > 0 gäller olikheten

Sn < L+ ǫ .

Vi har således att ∀ǫ > 0 gäller |Sn − L| < ǫ då n > N , vilket ärdefinitionen på konvergent serie.

- Om Sn inte är begränsad uppåt så kan vi för varje U > 0 hitta ett M

sådant att 0 < Sn > U för varje n > M . Detta innebär att delsum-man kan göras hur stor som helst genom att summera tillräckligt antaltermer, vilket innebär att serien måste divergera till ∞.

Följande resultat är en omformulering av de vanliga räknereglerna förgränsvärden som behandlats i Ingenjörsmatematik I.

Sats 5.3.11. Gränsvärdesregler för serierOm serierna

∑∞n=1 an och

∑∞n=1 bn konvergerar enligt:∞∑

n=1

an = A ,

∞∑

n=1

bn = B ,

så gäller följande:6Med termen “slutlig” avses i samband med följder och serier en egenskap som gäller

för ett oändligt antal termer, så att man undantar ett ändligt antal termer i seriens ellersekvensens början.

5.3. SERIER 113

(a)∑∞

n=1 can konvergerar till cA

(b)∑∞

n=1 (an ± bn) konvergerar till A±B

(c) Om an ≤ bn, ∀n, så är A ≤ B

Exempel 5.3.12. Vi bestämmer summan av serien

∞∑

n=1

1 + 2n+1

3n.

Om vi spjälker upp summanden ser vi att serien kan uttryckas som summanav två geometriska serier

∞∑

n=1

1 + 2n+1

3n=

∞∑

n=1

1

3n+

∞∑

n=1

2n+1

3n

=∞∑

n=1

(1

3

)n

+ 2∞∑

n=1

2n

3n

=∞∑

n=1

(1

3

)n

+ 2∞∑

n=1

(2

3

)n

=1

3

∞∑

n=1

(1

3

)n−1

+4

3

∞∑

n=1

(2

3

)n−1

=1

3· 1

1− 13

+4

3· 1

1− 23

=1

3· 32+

4

3· 3 =

1

2+ 4 = 4

1

2.

5.3.5 Positiva serier

Med en positiv serie avses en serie∑∞

n=1 an, där alla termer är positiva, d.v.s.an > 0, ∀n. Vi har sett exempel på konvergenta serier, vilkas summor kanbestämmas exakt emedan partialsummorna Sn kan uttryckas i sluten formsom explicita funktioner av n.

För en godtycklig serie är detta dessvärre inte så ofta möjligt. Då fårman nöja sig med någon indirekt eller numerisk metod att summera serien,efter att man först försäkrat sig om att den verkligen konvergerar. Detta stegär mycket viktigt eftersom det finns serier som kan “summeras” numeriskt,


trots att de i själva verket divergerar (jmf. kommentarerna rörande harmo-niska serien ovan). För att kontrollera konvergensen finns ett stort antal olikakonvergenstest som kan tillgripas beroende på hur seriens summand beter sigsom funktion. Testen bygger på ett urval av idéer som går ut på att beskrivatillväxt eller avtagande hos denna funktion.

Samtliga test gäller även för slutligen positiva serier, ty som vi har settberor en series konvergens endast av beteendet hos dess “svans”.

I integraltestet avgörs en (slutligen) positiv series konvergens genom jäm-förelse med en oegentlig integral som har samma konvergensegenskaper somserien.

Sats 5.3.13. IntegraltestetOm an = f(n), där f(x) är en positiv, kontinuerlig och icke-växande

funktion definierad på intervallet [N,∞), N ≥ 1, så gäller att

∞∑

n=1

an och∫ ∞

N

f(t) dt

antingen båda konvergerar eller båda divergerar till ∞.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

y

x

y = f(x)

nN N + 3N + 1

Figur 5.3: Summan av rektanglarnas areor utgör under- respektive översum-ma till funktionen f(x).

Bevis. Vi betraktar delsumman

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an .

5.3. SERIER 115

Om n > N har vi alltså

Sn = SN + aN+1 + aN+2 + · · ·+ an−1 + an

= SN + f(N + 1) + f(N + 2) + · · ·+ f(n− 1) + f(n)

= SN + summan av de streckade rektanglarnas area i Figuren 5.3

≤ SN +

∫ ∞

N

f(t) dt .

Om den oegentliga integralen∫∞N

f(t) dt konvergerar är således följden {Sn}begränsad uppåt och serien

∑∞n=1 an konvergerar.

Å andra sidan, om vi antar att serien∑∞

n=1 an konvergerar till summan S,så representerar integralen

∫∞N

f(t) dt arean mellan kurvan y = f(x) och x-axeln till höger om gränsen x = N . Vi kan då göra en uppskattning avnämnda area enligt

∫ ∞

N

f(t) dt ≤ summan av rektanglarnas totala area i Figuren 5.3

= aN + aN+1 + aN+2 + · · ·+= S − SN−1 < ∞ .

Den oegentliga integralen representerar alltså en ändlig area och är såledeskonvergent.

Anmärkning 5.3.3. Satsen ovan säger inte att

∞∑

n=1

an och∫ ∞

N

f(t) dt

skulle konvergera till samma värde. Att så skulle ske är faktiskt osannoliktoch kan inträffa endast för någon mycket speciell form hos funktionen f .

Exempel 5.3.14. Vi visar följande egenskaper hos den s.k. p-serien

∞∑

n=1

n−p =

{konvergerar, om p > 1,divergerar till ∞, om p ≤ 1.

Om p > 0, så är f(x) = x−p positiv, kontinuerlig och avtagande på interval-let [1,∞). Enligt integraltestet konvergerar p-serien för p > 1 och divergerartill ∞ för 0 < p ≤ 1 genom jämförelse med p-integralen

∫∞1

dxxp , som enligt


satsen om p-integraler (avsnittet om oegentliga integraler) i kursen Ingen-jörsmatematik I har motsvarande egenskaper.

Vidare, om p ≤ 0 så gäller

limn→∞

1

np6= 0 ,

vilket på basen av en av satserna ovan innebär att serien inte kan konver-gera. Emedan serien är positiv måste den enligt en annan av satserna ovandivergera till ∞.

Sats 5.3.15. JämförelsetestetLåt {an} och {bn} vara följder för vilka det existerar en positiv konstant K

sådan att det för följderna (slutligen) gäller

0 ≤ an ≤ Kbn , ∀n ≥ N ≥ 1 .

Då har vi följande:

(a) Om∑∞

n=1 bn konvergerar, så konvergerar också∑∞

n=1 an.

(b) Om∑∞

n=1 an divergerar till ∞, så divergerar också∑∞

n=1 bn till ∞.

Bevis. Vi betraktar delsummorna

sn = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an ,

Sn = b1 + b2 + · · ·+ bn−1 + bn .

Till följd av antagandet gäller nu, att sn ≤ KSn och vi har följande:

(a) Om∑∞

n=1 bn konvergerar, så konvergerar också följden {Sn} som såledesockså är begränsad. Då följer av olikheten ovan att även följden {sn}måste vara begränsad och således konvergerar även serien

∑∞n=1 an.

(b) Om∑∞

n=1 an divergerar till ∞, så är följden {sn} inte begränsad ochdå följer av olikheten ovan att inte heller följden {Sn} är begränsad.Alltså divergerar också

∑∞n=1 bn till ∞.

5.3. SERIER 117

Exempel 5.3.16. Vi undersöker om serien

∞∑

n=1

3n + 1

n3 + 1

konvergerar. Vi noterar att seriens summand, 3n+1n3+1

, beter sig som 3n+1n3+1

∼3nn3 = 3

n2 för stora värden på summeringsindex n. Detta indikerar att seri-en skulle vara konvergent, eftersom p-serien

∑∞n=1 n

−2 konvergerar enligt entidigare sats. Vi kan alltså göra ett jämförelsetest, ifall vi först noterar att

3n+ 1

n3 + 1=

3n

n3 + 1+

1

n3 + 1

<3n

n3+

1

n3

≤ 3

n2+

1

n2=

4

n2.

Följaktligen gäller3n+ 1

n3 + 1︸︷︷︸

an

< 4︸︷︷︸

K

· 1

n2︸︷︷︸

bn

och serien konvergerar enligt jämförelsetestet.

Följande test är en särskild variant av jämförelsetestet, som ofta är enklareatt tillämpa än det allmänna testet ovan.

Sats 5.3.17. GränsvärdesjämförelsetestetAntag, att {an} och {bn} är (slutligen) positiva följder, samt att

limn→∞

an

bn= L ,

där L är ändligt eller ∞. Då gäller följande

(a) Om L < ∞ och∑∞

n=1 bn konvergerar, så konvergerar också serien∑∞

n=1 an.

(b) Om L > 0 och∑∞

n=1 bn divergerar till ∞, så divergerar också∑∞

n=1 antill ∞.


Bevis. (a) Om L < ∞, så gäller för tillräckligt stora n, att bn > 0 och

0 ≤ an

bn≤ L+ 1 ⇔ 0 ≤ an ≤ (L+ 1)bn .

Detta följer av definitionen på gränsvärde och antagandet om att se-riernas termer är positiva. Vidare, om

∑∞n=1 bn konvergerar så följer

av olikheten ovan att även∑∞

n=1 an konvergerar om man tillämpar detallmänna jämförelsetestet.

(b) Om L > 0 så gäller för tillräckligt stora n, att bn > 0 och

an

bn≥ L

2⇔ 0 ≤ bn ≤ 2

Lan .

Om nu∑∞

n=1 bn divergerar så följer av olikheten ovan att även∑∞

n=1 andivergerar om man tillämpar det allmänna jämförelsetestet.

Det följande testet är kanske det snabbaste och enklaste att använda ipraktiska beräkningar och baserar sig på gränsvärdesbetraktelse av kvotenmellan två på varandra följande termer i serien.

Sats 5.3.18. KvottestetAntag, att (slutligen) an > 0 och att gränsvärdet

ρ = limn→∞

an+1

an

existerar eller är lika med ∞. Då gäller följande

(a) Om 0 ≤ ρ < 1 så konvergerar serien∑∞

n=1 an.

(b) Om 1 < ρ ≤ ∞, så är limn→∞ an = ∞ och serien∑∞

n=1 an divergerartill ∞.

(c) Om ρ = 1, så ger testet ingen information. (Serien∑∞

n=1 an kan kon-vergera eller divergera till ∞.)

Bevis. (Skiss) Bevisidén går ut på att jämföra serien med en geometrisk serie∑∞

k=1 rk, så att gemensamma kvoten r väljs lämpligt mellan 1 och ρ. Då har

vi i de tre olika fallen, att

5.3. SERIER 119

(a) Vi kan skrivaaN+k

aN=

aN+k

aN+k−1

aN+k−1

aN+k−2· · · aN+1

aN.

Om vi nu låter N → ∞, vilket de facto är det samma som att låtaN + p → ∞ för en godtycklig konstant p, så fås med användning avräknereglerna för gränsvärden då 0 ≤ ρ < 1 och ρ < r < 1:

limN→∞

aN+k

aN= lim

N+k→∞

aN+k

aN+k−1

· limN+k−1→∞

aN+k−1

aN+k−2

· · · limN→∞

aN+1

aN= ρk < rk .

Detta innebär, att vi för tillräckligt stora värden på konstanten N harolikheten

aN+k

aN≤ rk ⇔ aN+k ≤ aNr

k , 0 ≤ ρ < r < 1 .

Denna olikhet beskriver det slutliga beteendet (från och med index N+1) beteendet hos serien

∑∞n=1 an och då vi använder jämförelsetestet

mot den konvergenta geometriska serien∑∞

k=1 rk så kommer vi fram

till att även serien∑∞

n=1 an måste konvergera.

(b) På samma sätt som i (a)-fallet kommer vi nu, med beaktande av att1 < r < ρ ≤ ∞ fram till att

limN→∞

aN+k

aN= ρk > rk ,

vilket betyder att för det tillräckligt stora N måste gälla, att

aN+k

aN≥ rk ⇔ aN+k ≥ aNr

k , 1 < r < ρ ≤ ∞ .

Samma resonemang som i (a)-fallet, d.v.s. i detta fall jämförelse medden divergenta geometriska serien

∑∞k=1 r

k ger nu att serien∑∞

n=1 andivergerar till ∞.

(c) Om vi bestämmer ρ för de båda p-serierna∑

n→∞1n

samt∑

n→∞1n2

kommer vi i båda fallen fram till att ρ = 1. Men, harmoniska serien∑

n→∞1n

divergerar och serien∑

n→∞1n2 konvergerar, varav följer att

testet i denna situation inte ger någon information om konvergensen.



∞∑

n=1

n5

2n

konvergerar, med användning av kvottestet. Seriens summand är an = n5

2noch

vi får

ρ = limn→∞

an+1

an

= limn→∞

(n + 1)5

2n+1· 2

n

n5

= limn→∞

(n+ 1

n

)5

· 2n

2n+1

= limn→∞

(

1 +1

n

)5

· 12

=1

2limn→∞

(

1 +1

n

)5

=1

2

(

1 + limn→∞

1

n

)5

=1

2< 1 .

På basen av fallet (a) i kvottestet kan vi konstatera att serien konvergerar.

5.3.6 Absolut och betingad konvergens

Hittills har vi arbetat med (slutligen) positiva serier. Vi går nu in på seriersom inte nödvändigtvis har denna egenskap.

Definition 5.3.3. Absolut konvergensSerien

∑∞n=1 an sägs vara absolut konvergent om den positiva serien

∑∞n=1 |an|

konvergerar.

Exempel 5.3.20. Vi visar att serien

∞∑

n=1

(−1)n

n2= −1 +

1

4− 1

9+

1

16− · · ·

5.3. SERIER 121

konvergerar absolut. Detta kan direkt konstateras genom att betrakta den po-sitiva serien ∞∑

n=1

∣∣∣∣

(−1)n

n2

∣∣∣∣=

∞∑

n=1

1

n2,

som är en konvergent p-serie. Enligt definitionen är serien∑∞

n=1(−1)n

n2 dåabsolut konvergent.

Sats 5.3.21. Om en serie konvergerar absolut så konvergerar den även all-mänt.

Bevis. Enligt antagande konvergerar serien∑∞

n=1 |an|. Vi betraktar den po-sitiva serien

∑∞n=1 bn, med

bn = an + |an| ⇒ 0 ≤ bn ≤ 2 |an| .

På basen av olikheten ovan konvergerar då serien∑∞

n=1 bn. Emedan

∞∑

n=1

an =

∞∑

n=1

bn −∞∑

n=1

|an| ,

så måste även serien∑∞

n=1 an konvergera.

Anmärkning 5.3.4. Satsen ovan innebär inte att en konvergerande serie ävenär absolut konvergent.


∞∑

n=1

(−1)n−1

2n− 1

är absolut konvergent. För stora n ser vi att summanden (−1)n−1

2n−1beter sig

som allmänna termen 1n

hos den harmoniska serien, om man bortser fråntecknet och konstanten 2 i nämnaren. Dessutom har vi skattningen

∣∣∣∣

(−1)n−1

2n− 1

∣∣∣∣=

1

2n− 1>

1

2n∀n ,

vilket ger olikheten

0 <1

n< 2 · 1

2n− 1.


Emedan den harmoniska serien 12n−1

1n

divergerar och varje term i serien∑∞

n=1

∣∣∣(−1)n−1

2n−1

∣∣∣ är större än 1

2gånger varje term i den harmoniska serien,

ger jämförelsetestet direkt att∑∞

n=1

∣∣∣(−1)n−1

2n−1

∣∣∣ divergerar. Således är den un-

dersökta serien inte absolut konvergent.

Definition 5.3.4. Betingat konvergent serieOm serien

∑∞n=1 an är konvergent, men inte absolut konvergent, så säger

man att den är betingat konvergent.

Det är uppenbart att en betingat konvergent serie måste vara en (slutli-gen) alternerande7 serie.

5.3.7 Konvergens hos alternerande serier

Våra hittills behandlade metoder för att undersöka konvergens hos en seriefungerar enbart för positiva serier. De kan alltså inte tillämpas på alterne-rande serier, förutom för att testa absolut konvergens där den alternerandeserien omvandlas till en positiv serie genom att ta absolutbeloppet av varjeterm. Det är i regel svårare att visa att en serie konvergerar om den inte ärabsolut konvergent.

Följande resultat ger en metod för att testa konvergensen hos en specielltyp av alternerande serie.

Sats 5.3.23. Konvergenstestet för alternerande serieAntag, att följden {an} är (slutligen) positiv, avtagande och konvergerar

mot noll, d.v.s. för tillräckligt stora värden på N(≥ 1) gäller

(i) an ≥ 0, ∀n ≥ N

(ii) an+1 ≤ an, ∀n ≥ N

(iii) limn→∞ an = 0

7I en alternerande serie växlar termernas tecken med summeringsindex, exempelvisserien

∞∑

n=1

(−1)n−1

2n− 1= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

är alternerande.

5.3. SERIER 123

Då konvergerar den alternerande serien

∞∑

n=1

(−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · .

Bevis. Vi kan anta att N = 1 och a1 > 0, ty serien kan alltid omformastill att uppfylla dessa antaganden genom att lämna bort ett ändligt antaltermer från dess början och/eller bryta ut faktorn −1 från samtliga termer.Betrakta delsumman, där n kan vara udda eller jämnt,

Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ (−1)n−1an .

Vi ser då att alla termer med udda index är positiva och att alla termer medjämnt index är negativa, d.v.s. (−1)2n−2a2n−1 = a2n−1 och (−1)2n−1a2n =−a2n. För delsummorna noterar vi, då antagandet an+1 ≤ an, ∀n ≥ N inne-bär att termernas belopp avtar, att

S2n+2 = S2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ S2n ,

S2n+1 = S2n−1 − a2n + a2n+1 ≤ S2n−1 .

Följaktligen är följden {S2n−1} som bildas av de “udda” delsummorna avta-gande och följden {S2n} som bildas av de “jämna” delsummorna växande.Vidare gäller mellan dessa relationen:

S2n = S2n−1 − a2n ≤ S2n−1 .

Vi kan då för varje n ställa upp olikheten

S2 ≤ S4 ≤ S6 ≤ · · · ≤ S2n ≤ S2n−1 ≤ · · · ≤ S5 ≤ S3 ≤ S1 .

Således är S2 en undre gräns för den avtagande följden {S2n−1} och S1 en övregräns för den växande följden {S2n}. På basen av de reella talens fullständig-het måste då båda följderna konvergera, emedan den avtagande följden haren undre gräns för sina termer och den växande följden har en övre gräns försina termer. Följande gränsvärden existerar alltså

limn→∞

S2n−1 = Sudda ,

limn→∞

S2n = Sjämn .


Å andra sidan gäller a2n = S2n−1 − S2n och eftersom vi enligt antagande harlimn→∞ an = 0, fås med användning av räknereglerna för gränsvärden

0 = limn→∞

an = limn→∞

S2n−1 − S2n = Sudda − Sjämn

Sudda = Sjämn = S .

Det gäller följaktligen för varje partialsumma, udda eller jämn, att limn→∞ Sn =S. Detta betyder att serien konvergerar.

Exempel 5.3.24. Vi visar att den alternerande harmoniska serien

∞∑

n=1

(−1)n−1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

konvergerar betingat.Det är enkelt att konstatera att serien uppfyller alla kriterier i testet för

konvergensen hos en alternerande serie. Den är dock inte absolut konvergenteftersom den harmoniska serien

∑∞n=1

∣∣∣(−1)n−1

n

∣∣∣ =

∑∞n=1

1n

divergerar. Enligtdefinitionen är serien således betingat konvergent.


∞∑

n=2

cos (nπ)

lnn

konvergerar.Eftersom summandens täljare kan skrivas om enligt cos (nπ) = (−1)n så

är serien alternerande och har formen

∞∑

n=2

cos (nπ)

lnn=

∞∑

n=2

(−1)n

lnn=

1

ln 2− 1

ln 3+

1

ln 4− · · · .

Vi börjar med att undersöka om serien konvergerar absolut (om så skullevara fallet skulle den enligt en tidigare sats även konvergera allmänt). Absol-utbeloppet av den allmänna termen an = (−1)n

lnnär

|an| =∣∣∣∣

cos (nπ)

lnn

∣∣∣∣=

1

lnn.

5.3. SERIER 125

Å andra sidan gäller för exponentialfunktionen att denna växer snabbare änlinjära funktioner, d.v.s. en > n, vilket ger

n = ln en > lnn ⇔ 1

lnn>

1

n, n ≥ 2 .

Nu är ju 1n

den allmänna termen i den harmoniska serien∑∞

n=11n= 1 +

∑∞n=2

1n

och olikheten ovan säger då att termerna i vår serie∑∞

n=2 |an| ärstörre än termerna i den harmoniska serien, som divergerar. Jämförelsetestetsäger således att vår serie är divergent och följaktligen är den aktuella serien∑∞

n=2cos (nπ)

lnninte absolut konvergent. Däremot uppfyller följden

{1

lnn

}alla tre

kriterierna i konvergenstestet för en alternerande serie, ty ∀n ≥ 2 gäller att1

lnnär större än noll, avtagande och konvergerar mot noll. Slutresultatet blir

alltså att den aktuella serien är betingat konvergent och således konvergentsom sådan.

5.3.8 Potensserier

En potensserie kan uppfattas som ett polynom av oändligt gradtal och an-vänds ofta för att uttrycka funktioner som inte kan skrivas på vanligt sättmed hjälp av elementära funktioner. Potensserier används ofta vid datorbe-räkningar för numerisk beräkning av värden hos exempelvis transcendentafunktioner, även funktionerna i kalkylatorer etc. är ofta implementerade medpotensserieapproximationer. Potensserier kan också utnyttjas för att lösa dif-ferentialekvationer både exakt och approximativt.

Definition 5.3.5. En serie av formen∞∑

n=0

an(x− c)n = a0 + a1(x− c) + a2(x− c)2 + · · ·

kallas en potensserie i potenser av x − c eller en potensserie kring punktenx = c. Konstanterna a0, a1, a2 . . . kallas potensseriens koefficienter.

Summan∑∞

n=0 an(x − c)n definierar en funktion f(x) för sådana värdenpå x för vilka serien konvergerar.

Exempel 5.3.26. Om −1 < x < 1 gäller för den geometriska serien

1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1

1− x.


Som framgår av exemplet ovan är alltså den gemetriska serien 1+x+x2+x3 + · · · en potensserierepresentation av funktionen 1

1−xkring punkten x =

0. Det skall noteras att denna representation endast är giltig på intervallet]− 1,1[ (d.v.s. för |x| < 1) trots att 1

1−xär definierad för alla x 6= 1.

Punkten x = c kallas konvergenscentrum för potensserien∑∞

n=0 an(x−c)n.

Exempel 5.3.27. Den geometriska serien

1 + x+ x2 + x3 + · · ·

har konvergenscentrum c = 0 och den konvergerar endast för x-värden till-hörande intervallet ]− 1,1[, vars centrum är i origo.

Sats 5.3.28. Potensseriers konvergensFör en potensserie

∞∑

n=0

an(x− c)n

gäller något av följande

(i) Serien konvergerar endast för x = c.

(ii) Serien konvergerar för alla x ∈ R.

(iii) Serien konvergerar för sådana x, där |x− c| < R och 0 < R ∈ R.Konvergensen är absolut. För |x− c| > R divergerar serien och förx = c±R kan serien konvergera (absolut eller betingat) eller divergera.

Bevis. (i) Alla potensserier konvergerar till a0 för x = c. Konvergensen ärabsolut.

(ii)-(iii) Vi bör visa att om serien∑∞

n=0 an(x0 − c)n, x0 6= c, konvergerar, såkonvergerar serien

∑∞n=0 an(x − c)n absolut för sådana x-värden som

ligger närmare konvergenscentrum c än x0, d.v.s. sådana x som satisfi-erar olikheten |x− c| < |x0 − c|. Detta betyder att serien konvergerarabsolut för x ∈]x0 − c,x0 + c[, alltså för x-värden på ett intervall medmittpunkt i c.

Om vi antar, att∑∞

n=0 an(x0 − c)n konvergerar, så måste det gälla att

limn→∞

an(x0 − c)n = 0 .

5.3. SERIER 127

Detta medför att termerna i serien måste vara begränsade, enligt

|an(x0 − c)n| ≤ K , ∀n ,

där K är en konstant. Låt nu 0 < r =∣∣∣x−cx0−c

∣∣∣ < 1, vilket leder till

∞∑

n=0

|an(x− c)n| =∞∑

n=0

|an(x0 − c)n| ·∣∣∣∣

x− c

x0 − c

∣∣∣∣

≤ K

∞∑

n=0

rn

=K

1− r< ∞ , då |r| < 1 .

Serien konvergerar således för r < 1, d.v.s. då |x− c| < |x0 − c|.

Satsen ovan innebär att potensseriens konvergensintervall är något avföljande:

(i) En isolerad punkt x = c (konvergensradien R = 0)

(ii) Hela reella tallinjen R =]−∞,∞[ (konvergensradien R = ∞)

(iii) Ett ändligt intervall ]c−R, c+R[ med mittpunkt i c (konvergensradienär R)

Konvergensradien R kan bestämmas med hjälp av kvottestet. Om gränsvär-det

ρ = limn→∞

∣∣∣∣

an+1(x− c)n+1

an(x− c)n

∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣|x− c| = L |x− c|

existerar, så konvergerar serien∑∞

n=0 an(x− c)n absolut ifall ρ < 1, d.v.s. om

|x− c| < 1

limn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣

=1

L= R .

Följaktligen gäller att om

L = limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣


existerar eller är lika med ∞, så har potensserien∑∞

n=0 an(x − c)n konver-gensradien

R =1

L

(= ∞ , om L = 0 ,

= 0 , om L = ∞ .

)

Exempel 5.3.29. Vi bestämmer konvergensradien för serien

∞∑

n=0

xn

n!.

För den aktuella serien har vi an = 1n!

samt c = 0 och vi får således

L = limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= lim

n→∞

n!

(n+ 1)!= lim

n→∞

1

n + 1= 0 ,

vilket betyder att konvergensradien är R = 1L

= ∞ och serien konvergerar(absolut) för alla x.

Algebraiska operationer på potensserier

Eftersom potensserier ofta används för att representera funktioner behöverman också kunna utföra algebraiska operationer med dem. I det följandebehandlas för enkelhets skull några centrala räkneregler för serier med kon-vergenscentrum i origo (c = 0). En serie,

∑∞n=0 an(x − c)n, med konvergens-

centrum c 6= 0 kan enkelt överföras till en serie∑∞

n=0 anyn med konvergens-

centrum i origo via substitutionen y = x− c.Följande sats för potensserier följer direkt av de tidigare behandlade räk-

nereglerna för serier i allmänhet.

Sats 5.3.30. Räkneregler för potensserierLåt potensserierna

∑∞n=0 anx

n och∑∞

n=0 bnxn ha konvergensradierna Ra

respektive Rb. Då gäller följande

(i) Serien∑∞

n=0 (kan) xn, där k är konstant, har konvergensradien Ra och

∞∑

n=0

(kan) xn = k

∞∑

n=0

anxn ,

där serien∑∞

n=0 anxn konvergerar på intervallet x ∈ ]−Ra, Ra[.

5.3. SERIER 129

(ii) Serien∑∞

n=0 (an + bn)xn har en konvergensradie

R = min (Ra, Rb)

och ∞∑

n=0

(an + bn) xn =

∞∑

n=0

anxn +

∞∑

n=0

bnxn ,

där serierna∑∞

n=0 anxn och

∑∞n=0 bnx

n enligt antagande konvergerarpå sina respektive konvergensintervall.

För multiplikation av två potensserier kan man genom uppsamling avtermer och direkt uträkning med viss möda verifiera formeln för Cauchy-produkt: ( ∞∑

n=0

anxn

)( ∞∑

n=0

bnxn

)

=

∞∑

n=0

cnxn ,

där produktseriens koefficienter ges av

cn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0 =n∑

i=0

aibn−i .

Produktserien har konvergensradien Rc = min (Ra, Rb). Man kan även divide-ra två potensserier och resultatet blir en potensserie, men det finns dessvärreingen enkel regel för bestämning av kvotseriens koefficienter.

Termvis derivering och integrering

En potensserie med positiv konvergensradie kan deriveras och integreras termför term:

Sats 5.3.31. Termvis derivering och integrering av potensserieOm potensserien

∑∞n=0 anx

n konvergerar till summan f(x) =∑∞

n=0 anxn,

−R < x < R, R > 0, så är f deriverbar på intervallet ]− R,R[ och

f ′(x) =

∞∑

n=0

nanxn−1 , −R < x < R .

Vidare är f integrerbar på varje slutet delintervall av ]− R,R[ och∫ x

0

f(t) dt =

∞∑

n=0

an

n + 1xn+1 , −R < x < R .


Bevis. Vi antar, att x ∈]−R,R[ och väljer ett tal H , så att R > H > 0 och−(R−H) < x < R−H , d.v.s. |x|+H < R. Då har vi enligt samma metodiksom utnyttjades i satsen om konvergens hos en potensserie, att

∞∑

n=1

|an| (|x|+H)n ≤ M < ∞ .

Binomialteoremet (se nedan) säger att om n ≥ 1, så gäller

(x+ h)n = xn + nxn−1h +n∑

k=2

(n

k

)

xn−khk .

Följaktligen, om |h| ≤ H , så har vi

∣∣(x+ h)n − xn − nxn−1h

∣∣ =

∣∣∣∣∣

n∑

k=2

(n

k

)

xn−khk

∣∣∣∣∣

≤n∑

k=2

(n

k

)

|x|n−k |h|kHk

Hk

≤ |h|2H2

n∑

k=2

(n

k

)

|x|n−kHk

=|h|2H2

(n∑

k=0

(n

k

)

|x|n−kHk − |x|n − |x|n−1H

)

≤ |h|2H2

n∑

k=0

(n

k

)

|x|n−kHk

=|h|2H2

(|x|+H)n .

Å andra sidan gäller

1

H(|x|+H)n =

1

H

(

|x|n + n|x|n−1H +n(n− 1)

2|x|n−2H2 + · · ·+Hn

)

≥ 1

Hn|x|n−1H = n|x|n−1 =

∣∣nxn−1

∣∣ .

På basen av detta kan vi visa att den termvis deriverade serien konvergerarabsolut

∞∑

n=0

∣∣nanx

n−1∣∣ =

∞∑

n=1

∣∣nanx

n−1∣∣ ≤ 1

H

∞∑

n=1

|an| (|x|+H)n ≤ M

H< ∞ .

5.3. SERIER 131

Det räcker emellertid inte med att visa att den deriverade serien konvergerar,vi måste också vara säkra på att den konvergerar till derivatafunktionen ochingenting annat. Låt seriens summa vara g(x) =

∑∞n=1 nanx

n−1 (vi kan lämnabort första termen för n = 0, emedan den är identiskt lika med noll). Då kanvi undersöka skillnaden mellan differenskvoten till f och denna summa, medanvändning av vårt tidigare mellanresultat ovan, enligt

∣∣∣∣

f(x+ h)− f(x)

h− g(x)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an (x+ h)n − anxn − nanx

n−1h

h

∣∣∣∣∣

≤ 1

|h|

∞∑

n=1

|an|∣∣(x+ h)n − xn − nxn−1h

∣∣

≤ |h|H2

∞∑

n=1

|an| (|x|+H)n ≤ |h|H2

M .

Om vi nu låter h → 0, så fås olikheten 0 ≤ |f ′(x)− g(x)| ≤ 0, så f ′(x) = g(x)som sig bör.

Om vi betraktar den termvis integrerade serien

h(x) =

∞∑

n=0

an

n+ 1xn+1 ,

så kan vi direkt observera att koefficienterna i denna är mindre än i denursprungliga serien, ty

∣∣∣∣

an

n+ 1

∣∣∣∣≤ |an| , ∀n ≥ 0 .

Således konvergerar den termvis integrerade serien absolut på samma inter-vall (x ∈] − R,R[) som den ursprungliga serien. Återstår att visa att dentermvis integrerade serien konvergerar till integralfunktionen. Betrakta där-för derivatan av funktionen h(x) som definierar den termvis integrerade serienovan, med egenskapen h(0) = 0,

h′(x) =∞∑

n=0

anxn = f(x) .

Vi kan då direkt visa, att h är integralfunktion till f , ty∫ x

0

f(t) dt =

∫ x

0

h′(t) dt =

x/

0

h(t) = h(x)− h(0) = h(x) .


Eftersom summan f(x) av en potensserie är deriverbar på intervallet ]−R,R[ måste den, enligt en sats som behandlats i kursen Ingenjörsmatematik I,även vara kontinuerlig på samma intervall. Detta samt summafunktionensf(x) egenskaper i konvergensintervallets ändpunkter sammanfattas i följandesats.

Sats 5.3.32. Abels satsEn potensseries summa är en kontinuerlig funktion på seriens konver-

gensintervall. Speciellt gäller att om serien∑∞

n=0 anRn konvergerar för något

R > 0, så är

limx→R−

∞∑

n=0

anxn =

∞∑

n=0

anRn ,

och om serien∑∞

n=0 an(−R)n konvergerar för något R > 0, så är

limx→−R+

∞∑

n=0

anxn =

∞∑

n=0

an(−R)n .

Bevis. Vi börjar med att normera koordinatsystemet, d.v.s. vi inför variabelnt = x

R. Då kan satsen formuleras enligt:

En potensseries summa är en kontinuerlig funktion på seriens konver-gensintervall. Speciellt gäller att om serien

∑∞n=0 an konvergerar, så är

limt→1−

∞∑

n=0

antn =

∞∑

n=0

an ,

och om serien∑∞

n=0 an(−1)n konvergerar, så är

limt→−1+

∞∑

n=0

antn =

∞∑

n=0

an(−1)n .

Vi kan anta potensserien konvergerar på intervallet |x| < 1 samt att sum-man S =

∑∞n=0 an(±1)n existerar. Vi bör visa att funktionen

∑∞n=0 ant

n ärkontinuerlig på konvergensintervallet och att den dessutom är vänsterkon-tinuerlig i intervallets högra ändpunkt och högerkontinuerlig i den vänstra

5.3. SERIER 133

ändpunkten. Kontinuiteten följer direkt av deriverbarheten som påvisades ien tidigare sats. Låt summan av serien i konvergensintervallet vara

f(t) =

∞∑

n=0

antn .

Enligt antagande existerar då summan f(±1). Vi skall visa, att limt→±1∓ f(x) =f(±1), och vi väljer det övre tecknet (fallet med det nedre visas analogt).Betrakta nu den geometriska serien, då 0 < t < 1,

∞∑

n=0

tn =1

1− t.

Vi ser då att1

1− tf(t) =

( ∞∑

n=0

tn

)( ∞∑

n=0

antn

)

.

Produkten av de båda serierna i högra ledet är enligt teorin ovan för multi-plikation av två serier

( ∞∑

n=0

tn

)( ∞∑

n=0

antn

)

=∞∑

n=0

cntn ,

där

cn = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an =

n∑

k=0

ak .

Vi kan då bilda differensen mellan funktionsvärdet för f inne i konvergensin-tervallet och i gränsen 1, enligt

f(t)− f(1) = (1− t)∞∑

n=0

cntn − (1− t)f(1)

1

1− t

= (1− t)∞∑

n=0

cntn − (1− t)f(1)

∞∑

n=0

tn

= (1− t)

∞∑

n=0

(cn − f(1)) tn , |t| < 1 .


Eftersom summan f(1) =∑∞

n=0 an existerar, så får vi

limn→∞

cn = limn→∞

n∑

k=0

ak =

∞∑

n=0

an = f(1) .

Enligt definitionen på gränsvärde betyder detta att för varje ǫ > 0 kan manfinna ett tal N sådant att så snart n ≥ N så kommer vi att ha |cn − f(1)| < ǫ

2.

Vi kan nu dela upp differensen ovan i en ändlig och en oändlig summa

f(t)− f(1) = (1− t)

∞∑

n=0

(cn − f(1)) tn

= (1− t)

N−1∑

n=0

(cn − f(1)) tn + (1− t)

∞∑

n=N

(cn − f(1)) tn .

Kalla nu det största av de N talen |cn − f(1)|, n = 0, 1, . . ., N − 1 för taletM . Om då 0 < t < 1 så ser vi att

f(t)− f(1) = (1− t)

N−1∑

n=0

(cn − f(1)) tn + (1− t)

∞∑

n=N

(cn − f(1)) tn

< (1− t)MN + (1− t)ǫ

2

∞∑

n=N

tn

= (1− t)MN + (1− t)ǫ

2

tN

1− t

< (1− t)MN +ǫ

2.

Om vi nu låter δ = ǫ2MN

, så kommer 0 < 1 − t < δ i olikheten ovan att ledatill att |f(t)− f(1)| < ǫ, vilket per definition innebär, att limt→1− f(t) = f(1)och funktionen f är alltså vänsterkontinuerlig i punkten 1.

Exempel 5.3.33. Vi bestämmer potensserierepresentationer för funktioner-na

(a) 1(1−x)2

(b) 1(1−x)3

(c) ln (1 + x)

5.3. SERIER 135

genom att utgå från den geometriska serien

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + · · · , |x| < 1 ,

och använda derivering, integrering och substitution.

(a) Termvis derivering av den geometriska serien ger

1

(1− x)2=

d

dx

(1

1− x

)

=d

dx

( ∞∑

n=0

xn

)

=

∞∑

n=1

nxn−1

= 1 + 2x+ 3x2 + · · · , |x| < 1 .

(b) Upprepad derivering och division med två ger

1

(1− x)3=

1

2

d

dx

(1

(1− x)2

)

=1

2

d

dx

( ∞∑

n=1

nxn−1

)

=1

2

∞∑

n=2

n(n− 1)xn−2

=1

2

∞∑

n=0

(n+ 1)(n+ 2)xn

=1

2

(2 + 6x+ 12x2 + · · ·

), |x| < 1 ,

= 1 + 3x+ 6x2 + · · · , |x| < 1 .

(c) Substitutionen x = −t i den geometriska serien ger

1

1 + t=

∞∑

n=0

(−t)n = 1− t + t2 + · · · , |t| < 1 .


Integreras detta nu över intervallet [0, x], |x| < 1, får vi, med beaktandeav bestämda integralen ln (1 + x) =

∫ x

0dt1+t

, att

ln (1 + x) =

∫ x

0

dt

1 + t=

∫ x

0

∞∑

n=0

(−t)n dt , |t| < 1 ,

=∞∑

n=0

∫ x

0

(−t)n dt , |x| < 1 ,

=

∞∑

n=0

(−1)n∫ x

0

tn dt , |x| < 1 ,

=

∞∑

n=0

(−1)nx/

0

tn+1

n + 1, |x| < 1 ,

=∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1, |x| < 1 ,

= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · , |x| < 1 .

Med användning av Abels sats kan man visa, att serierepresentationenovan även gäller i högra gränsen av konvergensintervallet. Vi har såle-des slutresultatet

ln (1 + x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · , −1 < x ≤ 1 .

Observation 5.3.34. Av exemplet ovan följer att den alternerande harmo-niska serien konvergerar till värdet ln 2, ty

1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · · = ln (1 + 1) = ln 2 ≈ 0,7 .

5.3.9 Taylor- och MacLaurinserier

En potensserie med positiv konvergensradie representerar en funktion f(x)på konvergensintervallet. Följande sats anger hur potensseriens koefficienterberor av f(x)

Sats 5.3.35. Antag att potensserien

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− c)n

5.3. SERIER 137

är en representation av funktionen f(x), d.v.s. konvergerar till denna funk-tion på intervallet ]c − R, c + R[, R > 0. Då ges potensseriens koefficienterav

ak =f (k)(c)

k!, k = 0, 1, 2, . . .

Bevis. Antagandena tillåter oss att derivera potensserierepresentationen upp-repade gånger termvis, vilket leder till (observera förändringen i summerings-index förorsakad av att konstanta termer “deriveras bort”)

f (0)(x) =

∞∑

n=0

an(x− c)n ,

f ′(x) =

∞∑

n=1

nan(x− c)n−1 ,

f ′′(x) =

∞∑

n=2

n(n− 1)an(x− c)n−2 ,

...

f (k)(x) =

∞∑

n=k

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)an(x− c)n−k

= k!ak +(k + 1)!

1!ak+1(x− c) +

(k + 2)!

2!ak+2(x− c)2 + · · ·

Genom att sätta x = c kan vi då identifiera derivatan av ordning k, k =0, 1, . . ., enligt

f (k)(c) = k! ak .

Definition 5.3.6. Taylor- och MacLaurinserierOm funktionen f(x) har derivator av alla ordningar i punkten x = c, så

kallas potensserien

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(c)

k!(x− c)k

= f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)

2!(x− c)2 + · · ·

Taylor -serien för f kring x = c. Om c = 0, så kallas den MacLaurin-serienför f .


Anmärkning 5.3.5. Definitionen av en Taylor-serie förutsätter inte att denskall konvergera även annanstans än i x = c. Även om den konvergerar förnågot x 6= c, behöver dess summa i denna punkt inte nödvändigtvis vara likamed f(x).

Om Taylor-serien konvergerar till f(x) i en viss punkt x säger man attfunktionen f är analytisk där.

Definition 5.3.7. Analytisk funktionEn funktion f(x) sägs vara analytisk i punkten x = c om dess Taylor-

serie kring punkten har positiv konvergensradie. Om f(x) är analytisk i varjepunkt x på ett öppet intervall I sägs den vara analytisk på intervallet I.

Anmärkning 5.3.6. De flesta, men inte alla, reella funktioner som har deri-vator av alla ordningar är analytiska.

5.3.10 MacLaurin-serier för elementära funktioner

Härledning av Taylor- eller MacLaurinserien för en funktion f(x) direkt utgå-ende från definitionen är praktiskt endast om vi kan finna en explicit formelför n:te derivatan av f . Ett ändamålsenligare sätt att komma fram till seri-erepresentationer är därför, som vi såg i exemplet tidigare, att manipulerakända serier som representerar relaterade funktioner.

Exempel 5.3.36. Vi bestämmer Taylor-serien för funktionen f(x) = ex

kring punkten x = c och undersöker var serien konvergerar till f och var f

är analytisk. Vi bestämmer även MacLaurin-serien för f .Eftersom d

dxex = ex gäller för alla derivator av f att f (n)(x) = f(x) = ex,

n = 0, 1, 2, . . .. Då fås i konvergenscentrum f (n)(c) = ec och Taylor-serienblir

f(x) = ex =∞∑

n=0

f (n)(c)

n!(x− c)n =

∞∑

n=0

ec

n!(x− c)n

=ec

0!+

ec

1!(x− c) +

ec

2!(x− c)2 + · · · .

Konvergensradien för serien fås från

1

R= L = lim

n→∞

∣∣∣∣∣

ec

(n+1)!

ec

n!

∣∣∣∣∣= lim

n→∞

n!

(n+ 1)!= lim

n→∞

1

n+ 1= 0 .

5.3. SERIER 139

Således är R = ∞ och Taylor-serien konvergerar för alla x ∈ R.Vi har visat att Taylor-serien konvergerar överallt, men det återstår att

verifiera att serien konvergerar till den korrekta funktionen f . Detta låter siggöras genom att betrakta summan

g(x) =ec

0!+

ec

1!(x− c) +

ec

2!(x− c)2 + · · · .

Det är tillåtet att derivera denna oändliga summa termvis, varvid fås (då0! = 1 = 1!)

g′(x) =ec

1!+ 2

ec

2!(x− c)2−1 + 3

ec

3!(x− c)3−1 + · · ·

=ec

1!+

ec

1!(x− c) +

ec

2!(x− c)2 + · · ·

=ec

0!+

ec

1!(x− c) +

ec

2!(x− c)2 + · · ·

= g(x) .

Vi observerar nu, att summan g(x) uppfyller differentialekvationen g′(x) =g(x) samtidigt som g(c) = ec. Enligt teorin för separabla differentialekva-tioner i Ingenjörsmatematik I måste då differentialekvationens partikulärlös-ning vara g(x) = ex och således konvergerar Taylor-serien till funktionenf(x) = ex och vi har

ex =

∞∑

n=0

ec

n!(x− c)n =

ec

0!+

ec

1!(x− c) +

ec

2!(x− c)2 + · · · .

Vidare, emedan funktionens f Taylor-serie har oändlig konvergensradie, ärf analytisk för alla x ∈ R. MacLaurin-serien för f fås direkt ur Taylor-serierepresentationen ovan genom att sätta c = 0:

ex =

∞∑

n=0

xn

n!=

x0

0!+

x1

1!+

x2

2!+ · · · = 1 + x+

x2

2+ · · · .

På motsvarande sätt som i exemplet ovan kan man bestämma MacLaurin-serierna för andra elementära funktioner, exempelvis de trigonometriska funk-


tionerna sin x och cosx har serierepresentationerna:

sin x =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 = x− x3

3!+

x5

5!− · · · , x ∈ R ,

cosx =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n = 1− x2

2!+

x4

4!− · · · , x ∈ R .

Utgående från den geometriska serien∑∞

n=0 xn har vi också härlett:

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . , |x| < 1 ,

1

(1− x)2=

∞∑

n=1

nxn−1 = 1 + 2x+ 3x2 + . . . , |x| < 1 ,

ln (1 + x) =

∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn = x− x2

2+

x3

3− . . . , −1 < x ≤ 1 .

5.3.11 Andra MacLaurin- och Taylor-serier

Nya serierepresentationer kan bestämmas via lämpliga substitutioner i kändaserier och kombinationer av dessa.

Exempel 5.3.37. Vi bestämmer MacLaurin-serien för e−x utgående frånden kända MacLaurin-serien för ex. Vår kända serierepresentation kan skri-vas i formen (anledningen till att vi väljer variabeln t är att vi vill undvikasammanblandning av variabelnamn senare då vi substituerar)

et =

∞∑

n=0

tn

n!, t ∈ R .

Om vi nu gör substitutionen t = −x fås resultatet

e−x =∞∑

n=0

(−1)n

n!xn = 1− x+

x2

2!− x3

3!+ · · · , x ∈ R .

Exempel 5.3.38. Vi bestämmer MacLaurin-serierna för de hyperboliskafunktionerna sinh x och cosh x, som är definierade för alla x ∈ R. Vi kan

5.3. SERIER 141

utnyttja de kända sambanden (se Ingenjörsmatematik I eller lämpliga tabel-ler)

sinh x =ex − e−x

2, cosh x =

ex + e−x

2.

Genom att sätta in de numera kända MacLaurin-serierna för ex och e−x irelationera ovan fås direkt representationerna:

sinh x =

∞∑

n=0

x2n+1

(2n + 1)!= x+

x3

3!+

x5

5!+ · · · , x ∈ R ,

cosh x =∞∑

n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2!+

x4

4!+ · · · , x ∈ R .

Anmärkning 5.3.7. Jämförelse av MacLaurinserierna för de trigonometriskafunktionerna och de hyperboliska funktionerna antyder att dessa funktionerär sinsemellan “besläktade”.

Exempel 5.3.39. Vi bestämmer Taylor-serierepresentationen för ln x kringc = 2, d.v.s. en serie i potenser av x−2. Vi undersöker dessutom seriens kon-vergensintervall. Vi kan utnyttja vår tidigare MacLaurin-serie för ln (1 + t)om vi noterar att en algebraisk omformning ger

ln x = ln (2 + x− 2) = ln

(

2

(

1 +x− 2

2

))

= ln 2 + ln

(

1 +x− 2

2

)

.

Genom substitutionen t = x−22

fås då

ln x = ln 2 + ln (1 + t)

= ln 2 +∞∑

n=1

(−1)n−1

ntn

= ln 2 +∞∑

n=1

(−1)n−1

n

(x− 2

2

)n

= ln 2 +

∞∑

n=1

(−1)n−1

n2n(x− 2)n

= ln 2 +x− 2

2− (x− 2)2

8+

(x− 2)3

24− · · ·


Vi konstaterade tidigare att MacLaurin-serien för ln (1 + t) är giltig för −1 <

t ≤ 1. Serierepresentationen ovan är då giltig för

−1 <x− 2

2≤ 1 ⇔ 0 < x ≤ 4 .

5.4 Tillämpningar på Taylor- och MacLaurin-

serier

Potensserierepresentationer för funktioner kan ofta utnyttjas i situationer därdirekt användning av funktionen är olämplig.

5.4.1 Funktioner definierade av integraler

Många funktioner som kan uttryckas som enkla kombinationer av elementärafunktioner saknar primitiv funktion (antiderivata). Om man behöver uttryckaintegralfunktionen ifråga explicit kan man ofta utnyttja potensserier.

Exempel 5.4.1. Vi bestämmer MacLaurin-serierepresentationen för funk-tionen

E(x) =

∫ x

0

e−t2 dt

med användning av MacLaurin-serierepresentationen

e−x =∞∑

n=0

(−1)n

n!xn .

Om vi nu gör substitutionen x = t2 fås serien för integrandfunktionen ovan

e−t2 =

∞∑

n=0

(−1)n

n!t2n .

Sättes detta in i den aktuella integralen fås, på basen av den tidigare behand-

5.4. TILLÄMPNINGAR PÅ TAYLOR- OCH MACLAURIN-SERIER 143

lade teorin, representationen

E(x) =

∫ x

0

e−t2 dt

=

∫ x

0

∞∑

n=0

(−1)n

n!t2n dt

=∞∑

n=0

(−1)n

n!

∫ x

0

t2n dt

=

∞∑

n=0

(−1)n

n!

x/

0

t2n+1

2n+ 1

=

∞∑

n=0

(−1)n

n!(2n + 1)x2n+1

= x− x3

3!+

x5

5 · 2! −x7

7 · 3! + · · ·

5.4.2 Obestämda former

Utnyttjande av serierepresentationer är ofta ett alternativ till l’Hôpitals reg-ler för evaluering av gränsvärden innehållande obestämda former.

Exempel 5.4.2. Vi bestämmer gränsvärdet

limx→0

x− sin x

x3.

Uttrycket x−sinxx3 ger en obestämd form av typen “

[00

]” som även kan hanteras

med metoderna i kursen Ingenjörsmatematik I men också via MacLaurin-


serien för sin x:

limx→0

x− sin x

x3= lim

x→0

x−∑∞n=0

(−1)n

(2n+1)!x2n+1

x3

= limx→0

x− x−∑∞n=1

(−1)n

(2n+1)!x2n+1

x3

= limx→0

−∑∞

n=1(−1)n

(2n+1)!x2n+1

x3

= limx→0

∑∞n=1

(−1)n+1

(2n+1)!x2n+1

x3

= limx→0

∞∑

n=1

(−1)n+1

(2n+ 1)!x2n+1−3

= limx→0

∞∑

n=1

(−1)n+1

(2n+ 1)!x2(n−1)

= limx→0

((−1)2

3!x0 +

(−1)3

5!x2 +

(−1)4

7!x4 + · · ·

)

= limx→0

(1

3!− x2

5!+

x4

7!+ · · ·

)

=1

3!=

1

6.

Nu betraktar vi ett gränsvärde innehållande en obestämd form som intekan hanteras med l’Hôpitals regler.

Exempel 5.4.3. Gränsvärdet

limx→0

1− cosx2

(1− cosx)2.

ger en obestämd form av typen “[00

]”. Efter diverse uträkningar ser vi att


tillämpning av l’Hôpitals första regel inte leder till något resultat, ty

ddx

(1− cosx2)ddx

(1− cosx)2=

2x sin x2

2 sinx (1− cosx)

ddx

(2x sin x2)ddx

(2 sin x (1− cosx))=

2 sinx2 + 4x2 cosx2

2 sin2 x+ 2 cosx (1− cosx)ddx

(2 sin x2 + 4x2 cos x2)ddx

(2 sin2 x+ 2 cosx (1− cosx)

) =12x cosx2 − 8x3 sin x2

3 sin 2x− 2 sinx (1− cosx)

...

Den obestämda formen “[00

]” kvarstår alltså efter tre deriveringar enligt

l’Hôpitals regler. Fortsätter man derivera kommer fortsättningsvis både täl-jare och nämnare att närma sig noll i gränsen, uttrycken kommer bara att blialltmer svårhanterliga. För att bestämma gränsvärdet förefaller det alltså somatt en annan metod måste tillämpas. Om vi nu utnyttjar MacLaurin-serien

cos t =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!t2n = 1− t2

2!+

t4

4!− · · · , t ∈ R .

Nu kan vi skriva täljaren respektive nämnaren i bråket 1−cos x2

(1−cos x)2, med hjälp

av lämpliga substitutioner t = x2 respektive t = x, i formen

1− cosx2 = 1−(

1− x4

2!+

x8

4!− · · ·

)

=x4

2!− x8

4!+ · · ·

(1− cosx)2 = (1− cos x) (1− cosx)

=

(x2

2!− x4

4!+ · · ·

)(x2

2!− x4

4!+ · · ·

)

=x4

(2!)2− x6

2!4!+ · · · − x6

4!2!+

x8

(4!)2+ · · ·

=x4

(2!)2− 2x6

2!4!+

x8

(4!)2+ · · ·


På basen av detta kan det sökta gränsvärdet bestämmas med användning avgängse metod från Ingenjörsmatematik I för gränsvärden av rationella funk-tioner:

limx→0

1− cos x2

(1− cos x)2= lim

x→0

x4

2!− x8

4!+ · · ·

x4

(2!)2− 2x6

2!4!+ x8

(4!)2+ · · ·

= limx→0

x4(

12!− x4

4!+ · · ·

)

x4(

1(2!)2

− 2x2

2!4!+ x4

(4!)2+ · · ·

)

= limx→0

12!− x4

4!+ · · ·

1(2!)2

− 2x2

2!4!+ x4

(4!)2+ · · ·

=12!1

(2!)2

= 2! = 2 .

5.4.3 Taylor-polynom och Taylors formel

I många tillämpningar räcker det med ett ändligt antal termer i Taylor-serierepresentationen. I programmeringstekniska sammanhang är detta ettmåste, ty vid datorberäkningar kan man ju inte summera termer i all oänd-lighet. Då är det oftast också nödvändigt med någon slags logik för att avgörahur många termer som behövs för att den beräknade summan skall vara engod approximation till serien. Denna summa kallas då Taylor-polynomet.

Definition 5.4.1. Taylor-polynomOm funktionen f(x) har derivator till och med ordning n i punkten x = c,

så kallas

Pn(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)

2!(x− c)2 + · · ·+ f (n)(c)

n!(x− c)n

=n∑

k=0

f (k)(c)

k!(x− c)k

Taylor-polynomet av grad n för funktionen f(x) kring x = c. I fallet c = 0talar man om Pn(x) som MacLaurin-polynomet.

Taylor-polynomet Pn(x) approximerar funktionen f(x) väl i punkten x =c i den meningen att

P (k)n (c) = f (k)(c) , 0 ≤ k ≤ n ,


vilket enkelt kan visas genom successiv derivering av Pn(x) i definitionenovan och substitution av x = c.

Hur stort blir då felet för x 6= c om en funktion approximeras med sittTaylor-polynom? För att undersöka detta kan vi spjälka upp serien i summanPn(x) som utgör Taylor-polynomet och seriens “svans” En(x) enligt:

f(x) = Pn(x) + En(x)

=n∑

k=0

f (k)(c)

k!(x− c)k + En(x) ,

där En(x) är en restterm som utgör approximationsfelet. Formeln kallas Tay-lors formel med restterm. Följande resultat ger ett uttryck för En(x).

Sats 5.4.4. Taylors sats med Lagrange-resttermOm derivatan f (n+1) existerar på ett intervall innehållande c och x, så är

Taylor-formelns restterm

En(x) =f (n+1) (χ)

(n+ 1)!(x− c)n+1 ,

för något χ mellan x och c.

Bevis. Vi observerar att Taylors formel för fallet n = 0:

f(x) = P0(x) + E0(x) = f(c) + f ′(χ)(x− c) för något χ mellan x och c.

är ingenting annat än differentialkalkylens medelvärdessats, se Ingenjörsma-tematik I. Vi skall nu bevisa den allmänna formeln för En(x) med mate-matisk induktion8 Vi antar följaktligen, att resttermens formel stämmer för

8Matematisk induktion är en bevisteknik för påståenden som uppfylls för ett heltal n ≥n0, där n0 är ett startvärde (ofta lika med noll eller ett). Ett induktivt bevis innehålleralltid två steg:

Steg 1. (Basfallet) Visa, att påståendet är sant för n = n0.

Steg 2. (Induktiva fallet) Visa, att om påståendet är sant för n = k ≥ n0 så följer att detär sant för n = k + 1.

Utförande av Steg 2. förhindrar att det finns ett minsta heltal som är större än n0 förvilket påståendet är falskt. Det induktiva steget garanterar att om påståendet stämmerför n = n0 så stämmer det även för alla heltal som är större än n0.


n = k−1 ≥ 0, d.v.s. om derivatan f (k) existerar på ett intervall innehållandec och x så har vi

Ek−1(x) =f (k) (χ)

k!(x− c)k ,

för något χ mellan x och c. Vi betraktar härefter fallet n = k + 1, medx > c (fallet x < c kan studeras på analogt sätt). Om vi då tillämpar dengeneraliserade medelvärdessatsen (se Ingenjörsmatematik I) på funktionernaEk(t) och (t − c)k+1 på intervallet [c,x], så ser vi att emedan Ek(c) = 0 såfinns det ett tal u ∈]c,x[ sådant att

Ek(x)

(x− c)k+1=

Ek(x)−Ek(a)

(x− c)k+1 − (c− c)k+1=

E ′k(u)

(k + 1)(u− c)k.

Å andra sidan gäller

E ′k(u) =

d

dt

(

f(t)− f(c)− f ′(c)(t− c)− f ′′(c)

2!(t− c)2 − · · ·

−f (k)(c)

k!(t− c)k

)∣∣∣∣t=u

= f ′(u)− f ′(c)− f ′′(c)(u− c)− · · · − f (k)(c)

(k − 1)!(u− c)k−1 .

Det sista uttrycket är resttermen Ek−1(u) för funktionen f ′ istället för f . Tillföljd av antagandet för fallet n = k, har vi då likheten

(f ′)(k) (χ)

k!(u− c)k =

f (k+1) (χ)

k!(u− c)k ,

för något χ mellan c och u. Vi får då formeln

Ek(x) =E ′

k(u)

(k + 1)(u− c)k(x− c)k+1

=f (k+1) (χ)

k!(u− c)k

1

(k + 1)(u− c)k(x− c)k+1

=f (k+1) (χ)

(k + 1)!(x− c)k+1 .


Exempel 5.4.5. Vi uppskattar felet om MacLaurin-polynomet av grad 6 an-vänds för att approximera funktionen f(x) = cosx i punkten x = 1. Taylorsformel med Lagrange-restterm och c = 0 kan tillämpas enligt

|f(x)− Pn(x)| = |En(x)| =∣∣∣∣

f (n+1) (χ)

(n+ 1)!xn+1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

f (n+1) (χ)

(n + 1)!

∣∣∣∣|x|n+1 .

Derivatan av ordning n + 1 för vår aktuella funktion f(x) = cosx fås enligt

∣∣f (n+1) (χ)

∣∣ =

{|cosχ| , n udda ,

|sinχ| , n jämnt .

Då resttermen skall evalueras i punkten x = 1 har vi, att 0 < χ < 1 och förn = 6 fås följaktligen

|f(x)− P6(x)| = |E6(x)| =∣∣∣∣

f (7) (χ)

7!

∣∣∣∣17

=|sinχ|7!

=sinχ

7!, 0 < χ < 1 ,

<χ

7!<

1

7!, då sinχ < χ för 0 < χ < 1 .


Potensserier kan även tillämpas för lösning av ordinära differentialekvationer. Detta har si-na fördelar särskilt ifråga om olinjära ekvationer, som inte kan lösas med vanliga analytiskametoder. Betrakta t.ex. begynnelsevärdesproblemet (dessa behandlas i kursen Ingenjörsmate-matik I):

y′ = x2 − y2 , y(0) = 1 .

Vi försöker nu finna en lösning som kan beskrivas med MacLaurinserien

y(x) = y(0) +y′(0)

1!x+

y′′(0)

2!x2 +

y′′′(0)

3!x3 + · · ·

De i serien ingående derivatorna fås ur differentialekvationen med upprepad derivering, enligt:

y′(x) = x2 − y2 ⇒ y′(0) = 02 − y(0)2 = −1 ,

y′′(x) = 2x− 2yy′ ⇒ y′′(0) = 2 · 0− 2y(0)y′(0) = 2 ,

y′′′(x) = 2− 2y′2 − 2yy′′ ⇒ y′′′(0) = 2− 2y′(0)2 − 2y(0)y′′(0) = −4 ,

y′′′′(x) = −4y′′y′ − 2y′y′′ − 2yy′′′ ⇒ y′′′′(0) = −4y′′(0)y′(0) − 2y′(0)y′′(0) − 2y(0)y′′′(0) = 20 .

Således har vi serierepresentationen y(x) = 1 − x + x2 − 23x3 + 5

6x4 − · · · för differentia-

lekvationens lösning. Vi jämför nu denna för olika antal medtagna termer med den numeriskalösningen av begynnelsevärdesproblemet i området x ≥ 0. Detta kan göras genom att köraföljande kodsekvens i Octave:


% ställer in större font

set(0,’DefaultAxesFontSize’,17);

% högra ledet av ODE:n

f = @(y,x) x.^2 - y.^2;

y0 = 1; % begynnelsevärde

% x-vektor, strax till höger om origo

x_in = linspace(0,1,1e3);

% löser ODE:n numeriskt, se Ingmat I

[y_out, istate, msg] = lsode(f,y0,x_in);

McL_2 = 1 - x_in; % MacLaurinpolynom med olika

McL_3 = 1 - x_in + x_in.^2; % antal termer

McL_4 = 1 - x_in + x_in.^2 - (2/3)*x_in.^3;

McL_5 = 1 - x_in + x_in.^2 - (2/3)*x_in.^3 + (5/6)*x_in.^4;

% figur med kurvorna

plot(x_in,y_out’,x_in,McL_2,x_in,McL_3,x_in,McL_4,x_in,McL_5);

% döper kurvorna

legend(’numerisk’,’2 termer’,’3 termer’,’4 termer’,’5 termer’);

% figurens rubrik

title(’Losningar till ODE:n Dy = x^2 - y^2’);

xlabel(’x’); % x-axelns namn

ylabel(’y’); % y-axelns namn

Ur figuren torde man nu kunna se att ju flera termer vi tar med i MacLaurinpolynomen,desto bättre motsvarar de den numeriska lösningen av ODE:n ju längre till höger från origoman går. Polynomen är dock alla i princip odugliga för x-värden långt borta från origo,vilket ju inte är överraskande eftersom MacLaurinserien per definition gäller endast kring desskonvergenscentrum i origo.


5.4.4 Binomialsatsen och binomialserien

Sats 5.4.6. BinomialsatsenOm n är ett positivt heltal, så gäller

(a+ x)n = an + nan−1x+n(n− 1)

2!an−2x2 + · · ·+ naxn−1 + xn

=n∑

k=0

(n

k

)

an−kxk ,

där (n

k

)

=n!

k!(n− k)!.

Bevis. MacLaurin-serien för (a+x)n bevisar satsen, emedan funktionen är ettpolynom av gradtal n så att alla derivator av ordning högre än n kommer attvara lika med noll. Då blir kvar endast ett ändligt antal termer av MacLaurin-serieutvecklingen. Eftersom denna summa alltid existerar gäller formeln ovanför alla värden på variabeln x och konstanten a.

Sats 5.4.7. BinomialserienOm |x| < 1 och r ∈ R, så gäller

(1 + x)r = 1 + rx+r(r − 1)

2!x2 +

r(r − 1)(r − 2)

3!x3 + · · ·

= 1 +

∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

n!xn , |x| < 1 .

Bevis. Vi börjar med att påvisa att serien konvergerar. Detta kan utförasmed kvottestet, och vi får

ρ = limn→∞

∣∣∣∣∣

r(r−1)(r−2)···(r−n+1)(r−n)(n+1)!

xn+1

r(r−1)(r−2)···(r−n+1)n!

xn

∣∣∣∣∣

= limn→∞

∣∣∣∣

r − n

n + 1

∣∣∣∣|x| = |x| < 1 .

Vi noterar nu, att summan

f(x) = 1 +

∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n + 1)

n!xn , |x| < 1 ,


har egenskapen f(0) = 1. Vi har visat att summan existerar men det återståratt visa att den konvergerar till just funktionen, d.v.s. att f(x) = (1 + x)r.Med stöd av en tidigare sats kan vi nu derivera serien termvis för |x| < 1 ochfår

f ′(x) =

∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

(n− 1)!xn−1

=

∞∑

n=0

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n)

n!xn ,

där summeringsindex skiftades ett steg i den senare likheten. Vi kan nu be-räkna

(1 + x)f ′(x) =

∞∑

n=0

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n)

n!xn

+

∞∑

n=0

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n)

n!xn+1

=

∞∑

n=0

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n)

n!xn

+∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

(n− 1)!xn

= r +∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n)

n!xn

+∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

(n− 1)!xn

= r +

∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

n!xn ((r − n) + n)

= r

(

1 +

∞∑

n=1

r(r − 1)(r − 2) · · · (r − n+ 1)

n!xn

)

= rf(x) .

Vi har således den separabla differentialekvationen (se Ingenjörsmatematik I)


(1 + x)f ′(x) = rf(x), som kan lösas enligt

(1 + x)f ′(x) = rf(x)

df

f=

rdx

1 + x∫

df

f= r

∫dx

1 + x

ln f = r ln (1 + x) + C , f(0) = 1 ⇒0 = ln 1 = r ln (1 + 0) + C = C

ln f = ln (1 + x)r

f(x) = (1 + x)r .

Anmärkning 5.4.1. För x = ±1 kan binomialserien konvergera för vissa vär-den på r. Om r är ett heltal, konvergerar serien för alla värden på x, eftersomserien då blir en summa enligt binomialsatsen ovan.

Observation 5.4.8. Vi kan relatera funktionerna i binomialserien och bi-nomialsatsen genom identiteten

(a+ x)r = ar(

1 +x

a

)r

, a > 0 .

Exempel 5.4.9. Vi bestämmer MacLaurin-serien för 1√1+x

. Funktionen kan

skrivas i formen (1 + x)−12 och därmed kan vi utnyttja binomialserien för

|x| < 1 och r = −12

enligt

(1 + x)−12 = 1− 1

2x+

1

2!

(

−1

2

)(

−3

2

)

x2 +1

3!

(

−1

2

)(

−3

2

)(

−5

2

)

x3 + · · ·

= 1− 1

2x+

1 · 3222!

x2 − 1 · 3 · 5233!

x3 + · · ·

= 1 +

∞∑

n=1

(−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!xn .

Serien konvergerar för −1 < x ≤ 1, konvergens i intervallets högra ändpunktkan bevisas med hjälp av konvergenstestet för en alternerande serie.


Exempel 5.4.10. Vi bestämmer MacLaurin-serierepresentationen för funk-tionen arcsin x. Om vi noterar att

d

dxarcsin x =

1√1− x2

,

så får vi integralrepresentationen

arcsin x =

∫ x

0

dt√1− t2

.

Vi kan utnyttja MacLaurinserien för 1√1+x

för att få ett uttryck för integran-den om vi gör substitutionen x = −t2 i serien från föregående exempel:

(1− t2)−12 = 1 +

∞∑

n=1

(−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!

(−t2)n

= 1 +

∞∑

n=1

(−1)2n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!t2n

= 1 +∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!t2n , −1 < t < 1 .

Eftersom denna serie konvergerar på intervallet |t| < 1 kan den integreras


termvis och vi får via integralrepresentationen ovan resultatet

arcsin x =

∫ x

0

dt√1− t2

=

∫ x

0

(

1 +

∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!t2n

)

dt

= x+

∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!

∫ x

0

t2n dt

= x+∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!

x/

0

t2n+1

2n + 1

= x+∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!

x2n+1

2n+ 1

= x+

∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n(2n+ 1)n!x2n+1

= x+x3

6+

3x5

40+ · · · , −1 < x < 1 ,

där konvergensintervallet för den slutliga serien följer av satsen ovan omtermvis integrering av en konvergent serie. Konvergensintervallet för den in-tegrerade serien är alltså detsamma som för den ursprungliga serien. Omman sätter in x = ±1 visar det sig att serien ovan även konvergerar i grän-serna för x-intervallet. Dessvärre kan detta inte bevisas direkt med konver-genstesten behandlade i denna kurs.

Documents

ingmat2 2015 - Startsida | Åbo Akademi · Title: ingmat2_2015.dvi Created Date: 11/10/2016 12:43:28 PM