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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción BUnidad 3: Polinomios y fracciones algebraicas

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3 Polinomios y fracciones algebraicas

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ACTIVIDAD

Las igualdades de polinomios, ecuaciones, se pueden interpretar como situaciones de equilibrio entre sus miembros.


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Paolo Ruffini

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Para practicar

Paolo Ruffini

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/polinomios/ruffini/ruffiniteoria.htm

http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm

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Esquema de contenidos

Polinomios y expresiones algebraicas

Los Polinomios

Operaciones

Potencias

División

Regla de Ruffini

Factorización

Divisores

Factorización

Valor numérico

Teorema del resto

Raíces

Fracciones algebraicas

Simplificar

Operaciones


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Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.

El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.

4x2 y2−15 xy 2x 2−5 xy3y−5

términos

polinomio

término independiente

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Suma y resta

Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Para restar polinomios sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.

Sumar:

324)( 23 −+−= xxxxP

2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

SIGUIENTE


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Sumar: 324)( 23 −+−= xxxxP

2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+



2 3 5 2

3 2 4 234

2 3

++++−−+−

xxxx

xxx

SIGUIENTE


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Sumar: 324)( 23 −+−= xxxxP

2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+

1435 2

2 3 5 2

3 2 4

2 34

234

2 3

−+++−++++−−+−

xxxx

xxxx

xxx

SIGUIENTE




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Sumar: 324)( 23 −+−= xxxxP

2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+

14352)()( 234 −+++−=+ xxxxxQxP

1435 2

2 3 5 2

3 2 4

2 34

234

2 3

−+++−++++−−+−

xxxx

xxxx

xxx

SIGUIENTE




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Restar: 324)( 23 −+−= xxxxP

2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

SIGUIENTE


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2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

Calculamos el opuesto de Q(x)

2352)( 234 −−−−=− xxxxxQ

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+


Sumamos P(x) y - Q(x)

2 3 5 2

3 2 4 234

2 3

−−−−−+−

xxxx

xxx

2352)( 234 −−−−=− xxxxxQ

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+



5273 2

2 3 5 2

3 2 4

2 34

234

2 3

−−−+−−−−−+−

xxxx

xxxx

xxx

2352)( 234 −−−−=− xxxxxQ

SIGUIENTE


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2352)( 234 ++++−= xxxxxQ

+

52732))(()()()( 234 −−−+=−+=− xxxxxQxPxQxP

2352)( 234 −−−−=− xxxxxQ



5273 2

2 3 5 2

3 2 4

2 34

234

2 3

−−−+−−−−−+−

xxxx

xxxx

xxx


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Operaciones con polinomios. Multiplicación

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

SIGUIENTE


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Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

+−=−=

+−+−=

)(2) 2 xPxa ⋅

2456

2

234

6462

2

3 2 3

xxxx

x

xxx

+−+−×

+−+−

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

+−=−=

+−+−=

)()( xQxPb) ⋅

1519x 15 93

9 6 93

1510155

53

3 2 3

23456

2456

234

2

234

−+−−+−+−+−

−+−−×+−+−

xxxx

xxxx

xxx

x

xxx

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Potencia

La potencia de un polinomio, P (x), es un:

P x n=P x ⋅P x ⋅. ..⋅P x n veces

SIGUIENTE


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La relación existente entre los coeficientes de las distintas potencias de un binomio se conoce con el nombre de triángulo de Tartaglia.



SIGUIENTE


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( ) 1 1 1 →+ yx



SIGUIENTE

La relación existente entre los coeficientes de las distintas potencias de un binomio se conoce con el nombre de triángulo de Tartaglia.


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( ) 1 1 1 →+ yx

( ) 1 2 1 2 →+ yx



SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


( ) 1 1 1 →+ yx

( ) 1 2 1 2 →+ yx

( ) 1 3 3 1 3 →+ yx



SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


( ) 1 1 1 →+ yx

( ) 1 2 1 2 →+ yx

( ) 1 3 3 1 3 →+ yx

( ) 1 4 6 4 1 4 →+ yx



⋅⋅⋅SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


( ) 1 1 1 →+ yx

( ) 1 2 1 2 →+ yx

( ) 1 3 3 1 3 →+ yx

( ) 1 4 6 4 1 4 →+ yx

Todas las filas comienzan y acaban con un 1, y los demás coeficientes se obtienen sumando los términos contiguos de la fila.

⋅⋅⋅



SIGUIENTE


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( ) 12 3+x

Ejemplo:

SIGUIENTE


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( ) 12 3+x

Ejemplo:

( )

1)(211)(231)(231)(2112 33-322-311-300-33 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+ xxxxx

SIGUIENTE


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( ) 12 3+x

Ejemplo:

( )

)(2)(23)(23)(2

1)(211)(231)(231)(21120123

33-322-311-300-33

=⋅+⋅+⋅+==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+

xxxx

xxxxx

SIGUIENTE


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( ) 12 3+x

Ejemplo:

( )

123232

)(2)(23)(23)(2

1)(211)(231)(231)(2112

2233

0123

33-322-311-300-33

=+⋅+⋅+==⋅+⋅+⋅+=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+

xxx

xxxx

xxxxx

SIGUIENTE


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( ) 12 3+x

Ejemplo:

( )

16128x

123232

)(2)(23)(23)(2

1)(211)(231)(231)(2112

23

2233

0123

33-322-311-300-33

+++==+⋅+⋅+=

=⋅+⋅+⋅+==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+

xx

xxx

xxxx

xxxxx

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. División

Para dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

restodivisorcocientedividendo

xRxdxCxD )()()()( +⋅=

La división entre dos polinomios se realiza en estos pasos:

1. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.

2. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se le resta al dividendo.

3. Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del cociente.

SIGUIENTE


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xRxdxCxD )()()()( +⋅=Ejemplo:

)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

SIGUIENTE


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)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

SIGUIENTE


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xRxdxCxD )()()()( +⋅=Ejemplo:)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− x2

SIGUIENTE


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xRxdxCxD )()()()( +⋅=Ejemplo:)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− x2

532 −− xx

SIGUIENTE


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)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− 12 +x

532 −− xx

122 ++− xx

SIGUIENTE


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)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− 12 +x

532 −− xx

122 ++− xx

4−− x

SIGUIENTE


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)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− 12 +x

532 −− xx

122 ++− xx

4−− x

cociente

resto

SIGUIENTE


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Ejemplo:

)12(:)5532( 223 −−−−− xxxxx

5532 23 −−− xxx 122 −− xx

xxx 242 23 ++− 12 +x

532 −− xx

122 ++− xx

4−− x

cociente

resto

( ) )4()12(12)5532( 223 −−++⋅−−=−−− xxxxxxx


xRxdxCxD )()()()( +⋅=

grado D =grado d grado C

grado Rgrado C


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Regla de Ruffini

Ejemplo: )2(:)532( 23 −−− xxx

La regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma ( x – a), siendo a un entero.

Escribimos los coeficientes de todos los monomios, desde el término de mayor

grado al término independiente.

A la izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiado

de signo.

Copiamos el primer coeficiente en la fila de resultados.

Se va multiplicando el resto de coeficientes por el término

independiente cambiado de signo y se suman al siguiente coeficiente.

5 0 3 2 −−

SIGUIENTE


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Regla de Ruffini




de signo. 2




5 0 3 2 −−

5 0 3 2 −−

Multiplicamos por 2

SIGUIENTE

)2(:)532( 23 −−− xxx


)2(:)532( 23 −−− xxx


Ejemplo:


ANTERIOR SALIR

Regla de Ruffini




de signo. 2


2



5 0 3 2 −−

2

5 0 3 2 −−

5 0 3 2 −−

Multiplicamos por 2

SIGUIENTE

)2(:)532( 23 −−− xxx


Ejemplo:


ANTERIOR SALIR

Regla de Ruffini




de signo. 2


2



2

2

2

4

1

2

2

4

1−

5 0 3 2 −−Multiplicamos por 2

5 0 3 2 −−

5 0 3 2 −−

5 0 3 2 −−

SIGUIENTE

)2(:)532( 23 −−− xxx


Ejemplo:


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Regla de Ruffini

5- 0 3- 2

2 4

1

2

2

4

1−

cociente

resto

Cociente: 2x 2 x2 Un grado menos queel dividendo P x

Resto: −1

)2(:)532( 23 −−− xxx


Ejemplo:

2


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Factorizar. Divisores de un polinomio

Si un polinomio se puede poner como producto de otros polinomios, decimos que estos son factores o divisores del polinomio.

)( de divisores o factores son )( y )( )()()( xPxRxQxRxQxP →⋅=

SIGUIENTE


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Ejemplo: Calcular un divisor de . 67 234 +−−+ xxxx

SIGUIENTE



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El término independiente es 6, y probamos con divisores de este: . 6 3, ,2 ,1 ±±±±


SIGUIENTE



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6 1 7 1 1 −−

1

1 2

5−

5−

6−

1

2

6−

0




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


cociente

resto

6 1 7 1 1 −−

1

1 2

5−

5−

6−

1

2

6−

0




SIGUIENTE



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El resto es 0, y (x -1 ) es divisor del polinomio.

6 1 7 1 1 −−

1

1 2

5−

5−

6−

1

2

6−

0




cociente:x 32x2−5x−6

resto = 0

SIGUIENTE



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Factorizar. Factorización de un polinomio

La factorización de polinomios es un procedimiento utilizado para escribir un polinomio como producto de factores que tengan el menor grado posible.

Para factorizar utilizamos tres técnicas:

• Sacar factor común

• Igualdades notables

• Regla de Ruffini222 2)( bababa ++=+

222 2)( bababa +−=−

22))(( bababa −=−+)( cbacaba ±⋅=⋅±⋅Factor común

Igualdades notables

SIGUIENTE


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Factorizar. Factorización de un polinomio

Ejemplo: Factorizar .2345 22 xxxx +−−

( )2222 2322345 +−−=+−− xxxxxxxxSacamos factor común:

Por Ruffini: 2 1 2 1 −−

1

1 1−

2−

2−1

1− 0

1−

1

1−

2−

2

0

2

1

2

0

1−x

1+x

2−x

( ))2)(1)(1(

22

22

2

23

2345

−+−==+−−=

=+−−

xxxx

xxx

xxxx


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Una fracción algebraica es una división indicada de dos polinomios donde el denominador es siempre distinto de cero.

34

12

2

+−−xx

x

3

1

)3)(1(

)1)(1(

34

12

2

−+=

−−+−=

+−−

x

x

xx

xx

xx

x

Ejemplo: Simplificar . Factorizamos para poder simplificar.

SIGUIENTE


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2

2

2

2

−+

+−

x

x

x

xEjemplo:

( )

( ) 4

43

2)2(

4244

2)2(

)2(2)2)(2(

2

2

2

2

2

222

−+=

−++++−=

=−+

++−−=−

++−

x

x

xx

xxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

m.c.m. ( x + 2, x − 2)

Suma por diferencia es diferencia de cuadrados


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Teorema del resto

El teorema del resto afirma que el valor numérico de un polinomio P (x) en x = a coincide con el resto de la división:

ax

xP

−)(

SIGUIENTE


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Teorema del resto

Ejemplo: Calcular el valor numérico del siguiente

polinomio para x = 1, x = 2 y x = . 3232)( 23 +−−= xxxxP23__

SIGUIENTE


ax

xP

−)(


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Teorema del resto

032323121312)1( 23 =+−−=+⋅−⋅−⋅=P1=x



SIGUIENTE


ax

xP

−)(


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Teorema del resto

2=x 33412163222322)2( 23 =+−−=−⋅+⋅−⋅=P

032323121312)1( 23 =+−−=+⋅−⋅−⋅=P1=x

SIGUIENTE

ax

xP

−)(





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Teorema del resto

2

3=x P 32=2⋅ 3

2 3

−3⋅ 32

2

2⋅ 32 −3=

274−

2743−3=0

2=x 33412163222322)2( 23 =+−−=−⋅+⋅−⋅=P

032323121312)1( 23 =+−−=+⋅−⋅−⋅=P1=x

ax

xP

−)(



SIGUIENTE



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Raíces de un polinomio

Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.

0)( )( de raíz es =→= aPxPax

SIGUIENTE


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Raíces de un polinomio

Ejemplo: Calcular las raíces de .64)( 23 −++= xxxxP

6 1 4 1 −

1

1 5

6

61

5 0

2−

1

2−

3

6−

0

3−

1

3−

0

1−x

2+x

3+x

)3)(2)(1(

64 23

++−==−++

xxx

xxx

El término independiente es − 6, y probamos con divisores de este, . 6 3, ,2 ,1 ±±±±

0)( )( de raíz es =→= aPxPax

Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.


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Enlaces de interés

Historia de las Matemáticas

IR A ESTA WEB

Matemáticas interactivas

IR A ESTA WEB

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/HistoriaImagen/index.asp

http://www.i-matematicas.com/feria/












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Actividad: El cubo del binomio

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad6b.htm

En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad te permitirá descubrir el cubo de un binomio.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad6b.htm



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