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3Polinomios y fracciones algebraicas

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ESQUEMA

Las igualdades de polinomios, ecuaciones,

se pueden interpretar como situaciones de equilibrio entre sus

miembros.

ACTIVIDAD


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Paolo Ruffini

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Para practicar

Paolo Ruffini


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Esquema de contenidos

Polinomios y expresiones algebraicas

Los Polinomios

Operaciones

Potencias

División

Regla de Ruffini

Factorización

Divisores

Factorización

Valor numérico

Teorema del resto

Raíces

Fracciones algebraicas

Simplificar

Operaciones


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Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.

Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.

El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.

polinomio

términos

2222 535154 yxyxxyyx

término independiente

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Suma y resta

Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.

Para restar polinomios sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.

Sumar: 324)( 23 xxxxP

2352)( 234 xxxxxQ

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Suma y resta

Restar: 324)( 23 xxxxP

2352)( 234 xxxxxQ

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Multiplicación

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

SIGUIENTE


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Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

)(2) 2 xPxa

2456

2

234

6462

2

3 2 3

xxxx

x

xxx

SIGUIENTE


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Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:

234

2

234

25)(

53)(

323)(

xxxxR

xxQ

xxxxP

)()( xQxPb)

1519x 15 93

9 6 93

1510155

53

3 2 3

23456

2456

234

2

234

xxxx

xxxx

xxx

x

xxx

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Potencia

La potencia de un polinomio, P (x), es un:

veces

)(...)()()(n

n xPxPxPxP

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. Potencia

12 3x

Ejemplo:

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. División

Para dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

restodivisorcocientedividendo

xRxdxCxD )()()()(

La división entre dos polinomios se realiza en estos pasos:

1. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.

2. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se le resta al dividendo.

3. Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del cociente.

SIGUIENTE


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Operaciones con polinomios. División

restodivisorcocientedividendo

xRxdxCxD )()()()( Ejemplo: )12(:)5532( 223 xxxxx

SIGUIENTE


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Regla de Ruffini

Ejemplo: )2(:)532( 23 xxxLa regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma ( x – a), siendo a un entero.

Escribimos los coeficientes de todos los monomios, desde el término de mayor

grado al término independiente.

A la izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiado

de signo.

Copiamos el primer coeficiente en la fila de resultados.

Se va multiplicando el resto de coeficientes por el término

independiente cambiado de signo y se suman al siguiente coeficiente.

5 0 3 2

SIGUIENTE


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Regla de Ruffini

Ejemplo: )2(:)532( 23 xxxLa regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma ( x – a), siendo a un entero.

5- 0 3- 2

2

4

1

2

2

4

1restocociente

Cociente: 22 2 xx

Resto: 1


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Factorizar. Divisores de un polinomio

Si un polinomio se puede poner como producto de otros polinomios, decimos que estos son factores o divisores del polinomio.

)( de divisores o factores son )( y )( )()()( xPxRxQxRxQxP

SIGUIENTE


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Factorizar. Factorización de un polinomio

La factorización de polinomios es un procedimiento utilizado para escribir un polinomio como producto de factores que tengan el menor grado posible.

Para factorizar utilizamos tres técnicas:

• Sacar factor común

• Igualdades notables

• Regla de Ruffini222 2)( bababa

222 2)( bababa

22))(( bababa )( cbacaba Factor común

Igualdades notables

SIGUIENTE


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Factorizar. Factorización de un polinomio

Ejemplo: Factorizar .2345 22 xxxx

2222 2322345 xxxxxxxxSacamos factor común:

Por Ruffini: 2 1 2 1

1

1 1

2

21

1 0

1

1

1

2

2

0

2

1

2

0

1x

1x

2x

)2)(1)(1(

22

22

2

23

2345

xxxx

xxx

xxxx


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Una fracción algebraica es una división indicada de dos polinomios donde el denominador es siempre distinto de cero.

34

12

2

xx

x

3

1

)3)(1(

)1)(1(

34

12

2

x

x

xx

xx

xx

x

Ejemplo: Simplificar . Factorizamos para poder simplificar.

SIGUIENTE


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2

2

2

2

x

x

x

xEjemplo:

4

43

2)2(

4244

2)2(

)2(2)2)(2(

2

2

2

2

2

222

x

x

xx

xxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

m.c.m. ( x + 2, x 2)

Suma por diferencia es diferencia de cuadrados


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Teorema del resto

El teorema del resto afirma que el valor numérico de un polinomio P (x) en x = a coincide con el resto de la división:

ax

xP

)(

SIGUIENTE


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Raíces de un polinomio

Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.

0)( )( de raíz es aPxPax

SIGUIENTE


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Raíces de un polinomio

Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.

Ejemplo: Calcular las raíces de .64)( 23 xxxxP

6 1 4 1

1

1 5

6

61

5 0

2

1

2

3

6

0

3

1

3

0

1x

2x

3x

)3)(2)(1(

64 23

xxx

xxx

El término independiente es 6, y probamos con divisores de este, . 6 3, ,2 ,1

0)( )( de raíz es aPxPax


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Enlaces de interés

Historia de las Matemáticas

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Matemáticas interactivas

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Actividad: El cubo del binomio

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad6b.htm

En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad te permitirá descubrir el cubo de un binomio.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

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