05.02.2012

1

Hva er god matematikk-undervising?

Mona Røsseland

www.fiboline.no

Innhold

• 8:30 – 10:00: Hva er det som gjør at elever som mestrer godt i matematikk på barnetrinnet får problemer med faget på ungdomstrinnet?

• 10:15-11:35 Hvordan skape forståelse i matematikk?

• 11:35-12:10 Lunsj

• 12:10-14:30 Hvordan lage referenter til symbolene?

Resultat i matematikk på kunnskapsnivåer, 8.trinn

”Jeg gidder ikke bry meg mer!”

Hvilke faktorer mener elevene har ført til negativ utvikling i matematikk fra barnetrinnet til ungdomstrinnet?

Presentasjon av funn fra Masterstudie.

Mona Røsseland

Komponenter som virker på læringWenger 1998

5-Feb-12 5

Praksis er uttrykk for felles historiske og sosiale ressurser

Erfaringen med å

delta i praksis-

fellesskapet.

Handler om hvordan fellesskapet og læring forandrer hvem vi er

Handler om vår evne -individuelt og kollektivt – til å oppleve våre liv og verden som meningsfull.

Forskningsspørsmål

• Hvordan oppfatter elevene læringssituasjonene? - (Undervisningen, lærere, de andre elevene)

• Hvordan oppfatter elevene det matematisk fagstoffet?

• Hvordan oppfatter elevene sin identitet som matematikkelev?

05.02.2012

2

Forskningsopplegg og metoder

• Åtte fokuselever

• Intervju med enkeltelever

• Intervju og samtale med flere av fokuselevene samtidig.

• Både ikke-deltakende og deltakende observasjon av undervisning;

• Resultater fra Nasjonale prøver 8.trinn og standpunktkarakterer fra ungd.trinnet

5-Feb-12 7

Faktorer som påvirker elevenes læring

UndervisningenLæreren

Fellesskapet

Elevens

identitet

Særegenhet

med matematikk-

faget

Mine funn

• Faktorer ved elevenes identitet:

- Elevene har gitt opp

- Mangel på suksess

- Kjedsomhet

- Mistet tro på egne evner

- Mangel på betydning for deres liv

Faktorer ved undervisningen

• Mangel på deltakelse og involvering

• Mangel på fokus på forståelse

• Mangel på variasjon og tilpassing

Faktorer ved fellesskapet

• Faktorer ved de sosiale normene

De sosiale normene styrer hva lærer og elevene kan tillate seg å gjøre.

-forventninger- forpliktelser - usagte normer og

regler

Identitets-

roller

Overganger

- Kritisk fase

Faktorer ved fellesskapet

• Mangel på samarbeid

Vi lærer av

hverandre.

Når jeg ikke forstår,

spør jeg en av de

andre elevene

Det er mye

hyggeligere å jobbe

sammen

Lærer mest når lærer

gir oss oppgaver som vi

skal samarbeide om. På barneskolen

diskuterer vi mer i

klassen

05.02.2012

3

Faktorer ved det matematiske fagstoffet

• For mye som skal læres på for lite tilgjengelig tid

• Virkelighetsfjernt og fragmentert

• Graden av abstraksjon – algebra den store bøygen

Oppsummering• Når elevene opplever matematikk som kjedelig, meningsløst og

virkelighetsfjernt, vil det påvirke deres identitet som matematikklærende.

• Identiteten de utvikler vil igjen påvirker deres faglige engasjement, motivasjon og læringsutbytte.

• Elever som sjelden får oppleve mestring og som i tillegg tror at de ikke genetisk er anlagte for å klare matematikk, vil til slutt gi opp og slutte å bry seg.

• Matematikk er et fag som krever mye av elevene: De skal forstå, resonnere, se sammenhenger og ikke minst automatisere ferdigheter.

• For å bli god i faget må elevene være motiverte til å gjøre en innsats, og det kan vi gjøre noe med!!!

Hvordan skape mening i matematikken?

Hvordan forholde seg til matematikkfagets økende

abstraksjonsgrad? Hvilke konsekvenser får denne abstraksjonen for elevene og ikke minst for lærerne?

• Det er ikke vanskelig å bli enige om at elevene bør lære matematikk med forståelse, men det blir en annen diskusjon når vi kommer til hva som skal til for å oppnå dette.

• Hvordan foregår læringsprosessen mot abstraksjon? Hva sier teori om dette?

• Forholdet mellom tekniske regneferdigheter og matematisk forståelse

• Hvorfor strever så mange med matematikk? Og hva kan gjøres med det? Presentasjon av noen hypoteser

Oversikt

• Det er ikke vanskelig å bli enige om at elevene bør lære matematikk med forståelse, men det blir en annen diskusjon når vi kommer til hva som skal til for å oppnå dette.

• Hvordan er forholdet mellom tekniske regneferdigheter og matematisk forståelse?

• Hvorfor strever så mange med matematikk? Og hva kan gjøres med det?

Hva sier teori og forskning? • Skemp sier:• Å abstrahere er en aktivitet der vi blir klar over likheter

gjennom våre erfaringer. Å klassifisere betyr å samle sammen våre erfaringer på grunnlag av disse likhetene. Abstraksjon bærer preg av at en ser bort fra noen kjennetegn ved en situasjon (f.eks farge og form)og hefter seg ved andre (f.eks mønster og hvordan noe utvikler seg).

• En abstraksjon er en form for varig endring. Resultatet av abstrahering gjør oss i stand til å gjenkjenne nye erfaringer som har likheter med en allerede dannet klasse.

• For å skille mellom abstrahering som en aktivitet og abstraksjon som sluttprodukt, kan vi kalle sistnevnte et begrep.

Hva er abstraksjon?

05.02.2012

4

• Det er et skille mellom overflate (surface) strukturer avdet matematisk symbolsystem og dype (deep)strukturerav matematiske skjema.

• Mening blir skapt i de dype strukturene, men kan bare bli overført via overflatestrukturen.

• Korrespondansen mellom overflatestrukturene og de dype strukturene er bare delvise.

Overflate strukturer og dype strukturer Richard R. Skemp

• Overflatestrukturene har en fordel fremfor de dype strukturene, fordi alt må gjennom dem først.

• De er lett tilgjengelige i våre tanker, og for noen mennesker de også de eneste som er tilgjengelige.

• Men overflatestrukturene mangler den samme konsistensen som de dype. Dvs at det er ikke så enkelt å binde ny info sammen med annen info eller å se sammenhenger mellom ulike ting.

• Det som pugglæres uten forståelse blir lagret her.

• Lagret informasjon i overflatestrukturene er flyktig og kan fort forsvinne, dvs glemt.

Overflate strukturer Richard R. Skemp

• Skemp kaller disse strukturene for skjemaer.

• Dette er begrepsmessige strukturene der minner og erfaringer er lagret i harmoniske strukturer

• Input kan skape resonans til en korresponderende harmoniske strukturen (eller flere) og dermed starter et helt orkester.

• Når disse skjemaene er godt utviklet blir de rene magneter på innkommet informasjon. Det suger det til seg gjennom overflatestrukturene.

• I motsatt fall, der de dype strukturene er svake eller ikke-eksisterende vil inputen forbli i overflatestrukturene.

Dype strukturer

• Matematisk samtale - forbindelsen mellom tanker og uttalte ord er mye sterkere enn mellom tanker og skrevne ord eller symboler.

• Vær bevisst på rekkefølgen - en presenterer nye matematiske ideer og begreper

• Referenter til symbolene - ulike konkreter og representasjoner og knytte dette til symbolene.

Hvordan bygge dype strukturer?

• Prosedyremessig kunnskap kan deles i to deler:

• - kunnskap om det formale språket, dvs si de matematiske symbolene

• kunnskap om algoritmene og reglene i matematikk.

• Begrepsmesssig kunnskap er rik på forbindelser og sammenhenger. Består av at enkelte biter av informasjon som blir vevd sammen til store helheter og gir stor innsikt.

Begrepsmessig kunnskap og prosedyremessig kunnskapHiebert & Lefevre (1986)

05.02.2012

5

Forhold, prosent og brøk

Forholdet mellom de med lue og alle er 3 : 5

0 3 5 0 % ? 100 %

• Forholdet mellom antall penger i sparegris A og sparegris B er 7 : 3. Forholdet mellom sparegris B og sparegris C er 8 : 5.

– Hvis det er 84 kr i sparegris A, hvor mye er det da i sparegris B?______________ *

– Hvis det er 150 kr i sparegris C, hvor mye er det da i sparegris B?_______

– Hvis det er 480 kr i sparegris B, hvor mye er det da i sparegris A og C til sammen? *

Forholdsregning

5-Feb-12 27

Det hele henger sammen Det hele henger sammen

70 deler

1 del

Vei, tid og fart

Dersom du kjører med en

snittfart på 70 km/t, hvor

lenge har du kjørt når du

har kjørt 315 km?

5-Feb-12 28

Det hele henger sammen Det hele henger sammen Prosent

30% avslag, dvs en

betaler 70% av full

pris

10 : 7

5-Feb-12 29

420 : 100

4,2 * 82

Eller:

420 * 0,82

Det hele henger sammen Det hele henger sammen Valuta: forholdet mellom svenske og norske kroner • Prosedyrekunnskap kan en kartlegge ved å gi elevene

ordinære regneoppgaver.

• Begrepsmessig kunnskap kartlegges best gjennom oppgaver som stiller krav til problemløsning, dvs. oppgaver der elevene ikke umiddelbart kan støtte seg på kjente prosedyrer i oppgaveløsningen.

Hvordan vite hvilken kunnskap elevene har?

05.02.2012

6

5-Feb-12 31

Se sammenhenger …

Dette er et brettet A-4 ark.

Hvor stor er vinkel B?

Noen hypoteser:

• For lite fokus på å se sammenhenger

• For lite fokus på matematisk samtale

• For mye fokus på prosedyrer uten å koble det til mening.

• For lite fokus på generalisering.

• For lite fokus på å bygge bro mellom det konkrete til det abstrakte

Hvorfor får så mange problemer med matematikk? Fra konkret til abstrakt

I en klasse er det 28 elever. Forholdet mellom antall jenter og gutter er 4 : 3. Hvor mange jenter er det i klassen?

• Konkret

• Tegning, bilde

• Stiliserte bilder

• Symboler

0 4 8 … Jenter

0 3 6 Gutter

0 7 14 Totalt

Hvorfor bruke ulike presentasjonsformer i

matematikkundervisningen?

• Mange elever får problemer med matematikk, og det vil selvsagt være mange årsaker til dette, men en av grunnene kan være en for tidlig abstraksjon av matematiske ideer.

• I forskning finner vi gjentatte påstander om at for tidlig vekt på algoritmisk læring vil resultere i en manglende evne til å internalisere, operasjonalisere og bruke matematiske begreper på en hensiktsmessig måte.

5-Feb-12 35

• Ved å lage referenter til symbolene kan en skape et bånd mellom symbolene og den begrepsmessig kunnskap.

• Dersom symbolene kan knyttes til konkreter, visuelle bilder eller representasjon fra det virkelige liv, vil det være med å lage referenter.

• Det er disse forestillingene, konkret baserte ideer, som lager referenter til symbolene. På denne måten vil det formelle matematikkspråket gi mening.

• Forskning viser da også at systematisk bruk av visuelle fremstillinger og konkreter kan føre til signifikant økning i matematikkprestasjoner

(IES 2009: http://ies.ed.gov/ncee/wwc/pdf/practiceguides/rti_math_pg_042109.pdf )

(Bruner, Hiebert & Lefevre, Skemp)

Å utvikle mening med symbolene

05.02.2012

7

Jerome Bruner

• Det enaktive nivået er preget av handling og barns direkte kontakt med materialer. På det ikoniske nivået, er det billedlige modeller av objekter og på det symbolske nivået, er det symboler som råder, både i skriftlig og verbal form (Bruner 1972).

• Bruner hevder at elevene ville lære matematikk bedre hvis de først møtte begreper og prosedyrer ved aktivt å modellere dem med konkreter.

• Bruner understreker at barn må være aktive i sin egen læringsprosess med å bygge mentale strukturer, og han mener at lærerne må legge til rette for dette gjennom å variere undervisningen med ulike innfallsvinkler.

5-Feb-12 37

Referenter til symbolene

5-Feb-12 39

Eksempel: Multiplikasjon med desimaler

Hvordan regne ut: 3 · 1,8 =

Referenter gir differensiering Referenter til symbolene

5-Feb-12 40

”Å gjøre” skaper referenter Å lage referenter til standardalgoritmene

435 : 3 =

300 100

135

120 40

15

15 5

0

145

435 : 3 = 145

3 13

12

15

15

0

05.02.2012

8

Multiplikasjon av to parentesuttrykk….med forståelse

Multiplikasjon av to parentesuttrykk….med forståelse

LønnsutbetalingLønnsutbetaling

• Maja, Viktor, Erlend, Alice og Noah arbeider på gården til besteforeldrene. Maja tjener 7 kr mer enn Alice. Alice tjener dobbelt så mye som Viktor. Erlend tjener 7 kr færre enn Viktor, men Erlend tjener tre ganger så mye som Noah. Noah tjener minst. En uke tjente han bare 4 kr.

• Hvor mye tjente hver av de andre den uka?

• En uke tjente Viktor 280 kr, hva tjente

Spill med multiplikasjon av desimaltall

• Utstyr: Spillebrett , terning, spillebrikke og lommeregner

• Sett spillebrikkene i startfeltet. Bli enige om et starttall, med to eller tre desimaler, og tast tallet inn på lommeregneren. Spiller 1 kaster en terning og flytter fram så mange ruter som terningen viser. Spilleren skal nå multiplisere starttallet med et tall slik at svaret blir i tallområdet som står i ruta på brettet som spilleren havnet på etter terningkastet.

• Lykkes spilleren med å få et svar som er i dette tallområdet, får han 5 poeng. Dersom han ikke lykkes, får han en sjanse til. Får han nå et svar i tallområdet, får han 3 poeng. Om han mislykkes også på andre forsøk, går turen videre til spiller 2.