Insiemistica e Relazioni1. Nozioni di Base

Un insieme è una collezione di elementi, questi ultimi possono appartenere o non appartenere a un insieme, non ci sono vie di mezzo. Un insieme si indica con una lettera maiuscola, mentre un elemento si indica con una minuscola. La relazione che intercorre tra elemento e insieme si chiama appartenenza.

1.1 Appartenenza

Il simbolo dell’appartenenza è ∈, mentre il simbolo di non appartenenza è ∉. Per indicare l’appartenenza di un elemento x ad un insieme A, si scriverà:

x∈ A

Si legge “x appartiene all’insieme A”. Per indicare il contrario (cioè x non appartiene ad A), si scriverà:

x∉ A

1.2 Rappresentare gli elementi di un insieme e l’insieme vuoto

Per rappresentare gli elementi di un insieme A ci sono tre modi: la rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn (una linea chiusa con dei punti che rappresentano i vari elementi).

Lo stesso elemento può essere rappresentato anche con la rappresentazione estensiva, un elenco separato da punti e virgola, inserito tra parentesi graffe, ad esempio l’insieme A formato dagli elementi x,y,z sarà rappresentato in questo modo:

A = {x;y;z}

Si legge “l’insieme A è formato dagli elementi x, y e z”.

La rappresentazione intensiva invece indica gli elementi raggruppandoli per caratteristica:

A = { x | x ∈ N }

Il simbolo “|” si legge “tale che”. Tutta l’espressione si legge “l’insieme A è formato dagli elementi x, tale che x appartiene a N” (dove N indica l’insieme dei numeri naturali).

Un insieme si dice vuoto quando non contiene alcun elemento e si indica con il simbolo ∅ o con { }.

1.3 Sottoinsieme e insieme delle parti P

Rimanendo nell’insieme dei numeri naturali (N), potremmo definire un sottoinsieme dei numeri pari. Dato che i numeri pari sono divisibili per due, possiamo definire:

N= {x|x∈N }

T={x|x2∈N }Dove N è l’insieme dei numeri naturali e T è l’insieme dei numeri divisibili per due (numeri pari). Dato che T è un sottoinsieme di N, possiamo scrivere:

T⊂N

Si legge “T è contenuto in N”.

Ecco rappresentati graficamente un insieme A con il suo sottoinsieme B.

Altro discorso è l’insieme delle parti, P che contiene ogni sottoinsieme (compresi quelli vuoti e l’insieme stesso) dell’insieme a cui si riferisce.

Con un insieme A = {a;b;c}, l’insieme P (A) conterrà:

P (A) = { ; A; {a}; {b}; {c}; {a;b}; {a; c}; {b; c}}∅

L’insieme delle parti contiene 2n elementi dove n è il numero degli elementi dell’insieme di partenza.

1.4 Insieme universo e insieme complementare

Restando ancora nell’insieme N , ci accorgiamo che la definizione di un insieme A = {x | 5 < x < 9} cioè che contiene i numeri compresi tra 5 e 9. Ci accorgiamo subito che l’insieme necessita di un ambiente nel quale esso valga. Ecco allora l’insieme universo. Ecco l’insieme A contenuto nell’insieme universo U.

2. Operazioni con gli Insiemi

Dati due insiemi A e B, possiamo trovare quattro operazioni fondamentali degli insiemi: l’unione, l’intersezione, la differenza e il prodotto cartesiano. Mentre con l’insieme universo U si potrà definire l’insieme complemento.

2.1 Unione

Avendo un insieme A = {a;b;c} e un insieme B = {a;d;e}, l’insieme unione (A∪B) sarà formato dagli elementi appartenenti ad A oppure B, presi una sola volta. Quindi:

A∪B={a;b ;c ;d ; e }

2.2 Intersezione

Avendo un insieme A = {a;b;c} e un insieme B = {a;d;e}, l’insieme unione (A∩B) sarà formato dagli elementi appartenenti sia ad A, sia a B, presi una sola volta, cioè quelli comuni ai due insiemi. Quindi:

A∩B={a }

Graficamente:

2.3 Proprietà dell’unione e dell’intersezione

Entrambe le operazioni, godono della proprietà commutativa, cioè:

A∪B=B∪A ; A∩B=B∩ A;

Con tre insiemi si può invece notare la proprietà associativa, cioè:

A∪B∪C=A∪ (B∪C )=(A∪B )∪C;

A∩B∩C=A ∩ (B∩C )=( A∩B )∩C;

2.4 Insieme differenza

La differenza tra un insieme A = {a;b;c} e un insieme B = {b;c;d}, si indica A – B, e restituisce tutti gli elementi di A che non appartengono a B, cioè:

A – B = {a}

B – A invece conterrà gli elementi di B che non appartengono ad A:

B – A = {d}

2.5 Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A = {x;y;z} e B = {k;e}, è formato da coppie di elementi che si indicano così:

(a; b)

in modo tale che l’elemento a appartenga ad A e l’elemento b appartenga a B.

Il prodotto cartesiano di A e B si indica:

A×B

Ed è formato dai seguenti elementi:

A×B={( x ; k ); (x ;e ); ( y ;k ); ( y ;e ); ( z ;k ) ; ( z ;e ) }

2.6 Insieme complementare

Avendo un insieme universo U che contiene un insieme A. Si dice, complementare di A rispetto a U, gli elementi di U che non appartengono ad A e si indica in questo modo:

CU A

Si legge appunto “Complementare di A rispetto all’insieme universo B”.

Graficamente:

3. Corrispondenza tra insiemi

Dati due insiemi:

A = {Palermo; Catania; Napoli;Pescara;Bergamo}

B = {Sicilia;Campania;Lombardia;Lazio;Abruzzo}

Possiamo creare una regola che crei una corrispondenza tra i due insiemi: possiamo unire una città dell’insieme A con una regione dell’insieme B a cui appartiene.

Rappresentando tutto con un diagramma di Eulero-Venn si ottiene la rappresentazione sagittale (dal latino sagitta = freccia).

In questo caso, tale corrispondenza si definisce univoca poiché un elemento di A corrisponde ad un elemento di B, ma non viceversa. Nel caso appena visto si dirà:

corrispondenza univoca di A in B

oppure

funzione di A in B

Siano A = {x | x è un alunno della classe 1a F}; B = {y | y è la scheda di un alunno della classe 1a F}.

Noteremo che ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde un solo elemento dell’insieme B e viceversa (ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A). Nel caso appena visto si dirà:

corrispondenza biunivoca di A in B

4. Relazioni tra insiemi

Riprendendo il diagramma sagittale di pagina 6, notiamo che ogni elemento di A corrisponde ad un elemento di B, seguendo però una proprietà (o regola) ben precisa. In questo caso specifico si ha la proprietà “… appartiene alla regione …” che in matematica si chiama relazione e si indica con il simbolo R.

Si dice, quindi, relazione (R) tra due insiemi A e B, la regola o proprietà che associa gli elementi di A agli elementi di B.

Per indicare che a∈ A ;b∈B sono in corrispondenza tramite la relazione R, si scriverà:

aRb (a relazione b).

4.1 Relazioni in un solo insieme

Facendo considerazioni su un solo insieme:

A = {numero;lettera;vocale;vaso;nano;latte} e definendo la relazione

R = “… inizia con la stessa lettera di …”

possiamo scrivere:

numero R nano – nano R numero – numero R numero – nano R nano

poiché:

numero inizia con la stessa lettera di nano

nano inizia con la stessa lettera di numero

numero inizia con la stessa lettera di numero

nano inizia con la stessa lettera di nano

Possiamo rappresentare la relazione anche sottoforma di tabella:

R numero lettera vocale vaso nano latte

numero • •lettera • •vocale • •

vaso • •nano • •latte • •

Dicesi relazione R in un insieme A, la proprietà che permette di associare gli elementi di A con gli elementi di A stesso.

4.2 Proprietà riflessiva

Nella precedente relazione abbiamo visto come ogni elemento di A può essere in relazione con sé stesso, infatti abbiamo scritto:

numero R numero poiché numero inizia con la stessa lettera di numero

In questo caso la relazione R gode della proprietà riflessiva, poiché aR a.

Una relazione R gode della proprietà riflessiva quando ogni elemento di un dato insieme è in relazione con se stesso.

4.3 Proprietà simmetrica

Nella precedente relazione abbiamo visto come se per ogni elemento a di A in relazione con b del medesimo insieme, vale anche una relazione tra b e a.

Praticamente:

lettera R latte poiché lettera inizia con la stessa lettera di latte ma anche latte R lettera.

Se a R b è vera, e b R a è pure vera, la relazione gode della proprietà simmetrica.

4.4 Proprietà transitiva

Avendo un insieme G = {Marco; Luca; Matteo; Tommaso} e stabiliamo la relazione R: “… ha la stessa altezza di …” e sappiamo che:

Marco è alto 167 cm Luca è alto 160 cm Matteo è alto 167 cm Tommaso è alto 167 cm

Possiamo senz’altro dire:

Marco R Matteo e Matteo R Tommaso

Se la relazione gode della proprietà transitiva, varrà anche:

Marco R Tommaso

Quindi una relazione gode della proprietà transitiva se aR b, bR c e aR c.

4.4 Relazione di equivalenza

Avendo l’insieme T = {15; 27; 25; 37; 35; 47} e la relazione R: “… finisce con la stessa cifra di …” Possiamo rappresentare la seguente tabella:

R 15 27 25 37 35 4715 • • •27 • • •25 • • •37 • • •35 • • •47 • • •

Notiamo che la relazione gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, poiché:

15R 15 (riflessiva); 15R 25 come 25R 15 (simmetrica); 15R 25 come 25R 35 come 15R 35 (transitiva).

Una relazione si dice di equivalenza quando gode contemporaneamente delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

4.5 Relazione di ordine

Avendo l’insieme F = {2;4;5;6;8;22} e la relazione R: “… è maggiore o uguale …” Possiamo rappresentare la seguente tabella:

R 2 4 5 6 8 222 •4 • •5 • • •6 • • • •8 • • • • •

22 • • • • • •

Notiamo che la relazione gode delle proprietà riflessiva e transitiva, poiché:

2R 2 (riflessiva); 6R 5 come 5R 4 come 6R 4 (transitiva).

Una relazione si dice di ordine quando gode contemporaneamente delle proprietà riflessiva e transitiva.

4.6 Relazione di ordine stretto

Avendo l’insieme L = {2;4;5;6;8;22} e la relazione R: “… è minore di …” Possiamo rappresentare la seguente tabella:

R 2 4 5 6 8 222 • • • • •4 • • • •5 • • •6 • •8 •

22

Notiamo che la relazione gode delle proprietà transitiva ed antisimmetrica (non gode cioè della proprietà simmetrica) poiché:

6R 8 ma non 8R 6 (antisimmetrica). 6R 8 come 8R 22 come 6R 22 (transitiva).

Una relazione si dice di ordine quando gode soltanto della proprietà transitiva.

Funzioni1. Nozioni di Base

Nello studio delle relazioni si è parlato di corrispondenze univoche o funzioni, esse infatti indicano la corrispondenza tra un insieme che viene definito solitamente dominio ed un altro insieme definito codominio tale che ad ogni elemento del dominio corrisponde un unico elemento del codominio.

Definendo f la funzione tra gli insiemi A (dominio) e B (codominio), si scriverà:

f : A ⟶ B

Che si legge “f, funzione da A a B”.

Se invece si considera un elemento x di A e y di B si scrive:

y = f(x)

Si legge “y = f di x” e si dice che y è l’ immagine di x nella funzione f e che x è la controimmagine di y.

Ad ogni elemento del dominio deve corrispondere uno ed un solo elemento del codominio, se invece anche ad ogni elemento del codominio ne corrisponde uno solo del dominio (e quindi si ha una corrispondenza biunivoca) si potrà definire la funzione inversa, chiamata f -1: data una funzione f : A ⟶ B la sua funzione inversa è f -1 : B ⟶ A.

1.1 Composizione di funzioni

Date due funzioni f : A ⟶ B ed g : B ⟶ C si definisca una funzione che associa ad un elemento di A un elemento di B per arrivare ad un elemento di C.

Si definisce funzione composta, in simboli, f ∘ g (si legge “f composto g”) una funzione che associa un elemento x di A ad uno z di C. Bisogna notare che la prima funzione ad essere calcolata è quella scritta più a destra, quindi una composizione di funzioni opera da destra verso sinistra. Di conseguenza:

f ∘ g = f : A ⟶ g : B ⟶ C = f(g(y))

Logica delle proposizioni1. Congiunzione, Disgiunzione, Negazione

Useremo queste quattro proposizioni che è possibile affermarne universalmente la verità o la falsità.

p = “La Terra gira attorno al Sole”. V

q = “Il Sole gira attorno alla Terra”. F

r = “Mercurio è il pianeta più vicino al Sole”. V

s = “Venere si trova tra Marte e Saturno”. F

La congiunzione, “e” (“et” in latino) unisce due frasi. Il suo simbolo è ⋀ che richiama quello dell’intersezione ∩.

La congiunzione risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere:

p q p⋀qV V V “La Terra gira attorno al Sole et Mercurio è il pianeta più vicino al Sole”. VV F F “La Terra gira attorno al Sole et Venere si trova tra Marte e Saturno”. FF V F “Venere si trova tra Marte e Saturno et la Terra gira attorno al Sole”. FF F F “Venere si trova tra Marte e Saturno et il Sole gira attorno alla Terra”. FLa disgiunzione, “o” (“vel” in latino, da non confondere con “aut ... aut”), unisce due proposizioni a condizione che almeno una sia vera. Il suo simbolo è ∨ che richiama quello dell’unione ∪.

La disgiunzione risulta vera se almeno una delle preposizioni è vera:

p q p∨qV V V “La Terra gira attorno al Sole o Mercurio è il pianeta più vicino al Sole”. VV F V “La Terra gira attorno al Sole o Venere si trova tra Marte e Saturno”. VF V V “Venere si trova tra Marte e Saturno o la Terra gira attorno al Sole”. VF F F “Venere si trova tra Marte e Saturno o il Sole gira attorno alla Terra”. FLa negazione, “non” in italiano (e in latino) nega una proposizione: se è vera, la negazione sarà falsa, e viceversa. La negazione di p si indica con:

p

p p

V F “La Terra non gira attorno al Sole”. FF V “Venere non si trova tra Marte e Saturno”. V2. Implicazione condizionale e Coimplicazione bicondizionale

p = “Se 2 è un numero primo, allora 4 è divisibile per due”. V-V.

q = “Se 16 è divisibile per otto, allora 97 è divisibile per sei.” V-F.

r = “Se 9 è un numero primo, allora 9 è divisibile per tre.” F-V.

s = “Se 5 non è divisibile per due, allora 19 non è divisibile per sei.” F-F.

Le frasi p,q,r,s sono formate da due proposizioni (x,y) in modo tale che si potrà dire “Se x, allora y”.

Abbiamo costruito un’implicazione. Per verificare la verità di un’implicazione possiamo fare questo ragionamento.

p è una frase formata da due proposizioni vere quindi, “Se 2 è un numero primo, allora 4 è divisibile per due.” sarà vera.

q è una frase formata dalle proposizioni x vera e y falsa, quindi “Se 16 è divisibile per otto, allora 97 è divisibile per sei”, è falsa perché seppur la premessa x sia vera, non si potrà mai arrivare alla conclusione “97 è divisibile per sei”, in nessun caso potrà risultare vera.

r è una frase formata dalla premessa x falsa e la conclusione y vera. L’implicazione risulta vera, poiché seppur “9 è un numero primo” sia falso, “9 è divisibile per 3” è vero e può accadere per un’altra condizione, quindi nella frase “Se Tom non è un gatto, Tom è un felino”, Tom potrà essere un felino anche se non è un gatto (potrebbe essere ad esempio un leone).

s è una frase formata da due proposizioni false quindi, “Se 5 non è divisibile per due, allora 19 non è divisibile per sei.” risulta vera.

L’implicazione si indica con il simbolo →. Ecco quindi la tavola della verità che risulta:

p q p→qV V V “Se Tom è un gatto, allora Tom è un felino”. VV F F “Se Tom è un gatto, allora Tom non è un felino”. FF V V “Se Tom non è un gatto, allora Tom è un felino”. VF F V “Se Tom non è un gatto, allora Tom non è un felino”. VAltro discorso è la coimplicazione che equivale a “se e solo se”. Quest’ultima sarà vera se le due proposizioni hanno lo stesso valore logico.

La coimplicazione si indica con il simbolo ↔

p q p↔qV V V “Tom è un gatto se e solo se Tom è un felino.”. V

V F F “Tom è un gatto se e solo se Tom non è un felino”. FF V F “Tom non è un gatto se e solo se Tom è un felino”. FF F V “Tom non è un gatto se e solo se Tom non è un felino”. V3. Costruire tavole di verità basandosi su un’espressione qualsiasi

Si abbia l’espressione ( p∧q )→( p∨ c) e si voglia trovare la sua tavola di verità, un metodo per trovarla sarebbe quello di creare una tabella che abbia innanzitutto delle colonne nelle quali inserire le proposizioni p, q e c, poi per le varie operazioni partendo da quelle dentro le parentesi come p , ( p∧q ) e ( p∨c ) fino ad arrivare a una colonna con tutta l’espressione. Nelle prime colonne, quelle delle proposizioni, bisogna creare le varie combinazioni di V e F, con due proposizioni si avranno quattro combinazioni {(V,F);(V,F);(F,V);(F,F)}, con n elementi si avranno 2n combinazioni. Nel nostro caso 8 elementi {(V,V,V);(V,V,F);(V,F,V);(V,F,F);(F,V,V);(F,V,F);(F,F,V);(F,F,F)}.

( p∧q )→( p∨ c)

p q c p p∨q p∨c ( p∧q )→( p∨ c)V V V F V F FV V F F V F FV F V F F F VV F F F F F VF V V V F V VF V F V F F VF F V V F V VF F F V F F V4. Tautologie

L’espressione [ ( p→q ) ∧q ]→p se controllata con una tavola di verità risulta sempre

vera. Una espressione sempre vera viene chiamata tautologia e si indica con il simbolo ⊨.

p q p q ( p→q ) ( p→q ) ∧q [ ( p→q ) ∧q ]→pV V F F V F VV F F V F F VF V V F V F VF F V V V V V4.1 Modus Tollens

⊨ [ ( p→q ) ∧q ]→ p

Questa tautologia indica che avendo una considerazione ( p→q ) e la negazione di q, implica la negazione di p (Se p allora q e non q allora p).

Si hanno quindi:

considerazione 1

considerazione 2

p→q∧q

Se ho sete, bevo(ma) e non bevo,

conclusione →p quindi non ho sete

Quindi prendendo in considerazione le varie possibilità, avremo:

p q [ ( p→q ) ∧q ]→pHo sete Bevo Se ho sete, bevo, ma non bevo, quindi non ho seteHo sete Non Ho Bevuto * Se ho sete, non ho bevuto, ma ho bevuto, quindi non ho seteNon ho sete Ho Bevuto * Se non ho sete, ho bevuto, ma non ho bevuto, quindi ho seteNon ho sete Non Bevo Se non ho sete, non bevo, ma bevo, quindi ho sete* = Adattamento per capire meglio la situazione anche se andrebbe al presente.

Possiamo verificare che questa è una tautologia perché la frase ha sempre senso (risulta sempre vera).

4.2 Tertium non datur

⊨ p⋁ p

Questa tautologia afferma che una proposizione è vera o è falsa, cioè non esiste una terza possibilità.

p p p⋁ pEsisto Non Esisto Esisto o Non Esisto. VeroNon Esisto Esisto Non Esisto o Esisto. Vero4.3 Consequentia mirabilis

⊨ ( p→ p )→ p

Questa tautologia indica un concetto che potrebbe essere così tradotto: “Se non esisto, esisto poiché esisto (e quindi penso)”. È una riformulazione di cogito ergo sum .

p p ( p→ p )→pV F VF V V

5. Teoremi di De Morgan

I Teorema :⊨ ( p∧q )=p∨q

II Teorema:⊨ (p∨q )=p∧q

I Teorema: Negare allo stesso tempo che la Terra è riscaldata dal Sole, e che Mercurio è il pianeta più vicino al Sole; equivale a negare che la Terra è riscaldata dal Sole o negare che Mercurio è il pianeta più vicino al Sole.

II Teorema: Negare allo stesso tempo che la Terra è riscaldata dal Sole, o che Mercurio è il pianete più vicino al Sole; equivale a negare che la Terra è riscaldata dal Sole e negare che Mercurio è il pianeta più vicino al Sole.

DIMOSTRAZIONE DEL PRIMO TEOREMA DI DE MORGANp q p q ( p∧q ) p∨q sono uguali le affermazioni?V V F F F F SìV F F V V V SìF V V F V V SìF F V V V V Sìquod erat demostrandum

DIMOSTRAZIONE DEL SECONDO TEOREMA DI DE MORGANp q p q ( p∨q ) p∧q sono uguali le affermazioni?V V F F F F SìV F F V F F SìF V V F F F SìF F V V V V Sìquod erat demostrandum

Esercizi: insiemistica, relazioni, funzioni e logica delle proposizioni

Definire l’appartenenza di un elemento in un insieme partendo dalla rappresentazione intensiva o estensiva degli insiemi.

1 A = {x|x è una vocale della parola Sicilia} B = {y|y è una lettera della parola Veneto}

a __ v __ t __ i __ n __ e __ o __

2 A = {t;e;m;p;o} B =

t __ {e;m} __ B __ p __ __ {t;p;o} __

o __

3 A = {x;y;z} B = P (A)

__ A __ {x} __ {y} __ {x;y} __ {x;z} __ {z} __* Cosa si nota?Giustificare perché è possibile far corrispondere tutti gli elementi ad un solo insieme.

Determinare l’insieme delle parti.

4 A = {a;b;c}; B = {mi;re;do}

5 A = {x|x è un colore del semaforo}; B = {sopra; dentro; fuori}

6 A = {gatto;topo} B = {21;12;34}

Vero o falso?

7 L’insieme delle parti di un insieme formato da n elementi sarà formato da 2n elementi. ___

9 A = {a;b;c;d;e}; B = {a;b;c}; A-B = {d;e}. ___

8 Le coppie di elementi date dal prodotto cartesiano si rappresentano tra parentesi quadre. ___

9 A = {a;b;c}; B = {a;d;e}; A B = {a;b;c;d;e}. ___

Indicare con U se la corrispondenza espressa è univoca, con B se è biunivoca.

10

Nazione e nazionalità ___

11

Nome di persona e città di appartenenza ___

12

Lettera iniziale degli elementi di A e lettera iniziale degli elementi di B ___

13

Regione e Capoluogo ___

Indicare quale/i proprietà ha la relazione R nell’insieme espresso

14

A = {10;154;2}. R: “… = …” ____________________________

15

A = {15;45;125}. R: “… finisce con la cifra di …” ____________________________

Funzioni matematiche

16

Riempire questa tavola di verità:

Date le seguenti funzioni, indicare il nome del grafico ottenuto

16

y = 1 ____________________

16

y = 7x ____________________

16

y = 2x + 3 ____________________

16

y = 12

x – 2 ____________________

16

y = x2 + 3x – 3 ____________________

16

y = 3x ____________________

Tavole di verità

16

Riempire questa tavola di verità:

p q p q

17

Definire le intestazioni della tavola di verità dell’espressione pq→q

V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V

Tautologie

18

E’ x∧ y→ x una tautologia? Accertarsi tramite una tavola di verità.

19

E’ [ ( p→q ) p ]→q una tautologia? Accertarsi tramite una tavola di verità.

Tradurre le seguenti proposizioni in operatori logici

20

Se bevo, ho sete.

21

Se vivo, mangio e dormo.

22

Se vado a mare, mi sporco, ma non mi sporco, allora non sono andato a mare.

23

Mangi o non mangi.

24

Mangio e bevo implica che non è vero che io non mangio o non bevo. E viceversa.

25

Essere o Amare significa che non è vero che non sono e non amo. E viceversa.

26

Non è vero che esisto e non esisto.

27

Nego che non bevo se e solo se bevo.

28

Se esco e non rimango a casa, allora esco.

29

Se studio, vengo promosso, siccome studio, vengo promosso.

30

Se non esisto, allora esisto, poiché esisto.