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INSTITUCIÓN EDUCATIVA LICEO
CAUCASIA Aprobada según la resolución 18917 del 18 de diciembre
del 2002 Nit:811018448-7
GUÍA DE APRENDIZAJE PARA EL TRABAJO EN CASA
Nombre del estudiante No. Celular
Docente Elder Luis De La Ossa Pérez No. Celular
3206066240
Asignatura Matematicas básicas
Grado: 8 Mtco Fecha de recibido: Fecha de Entrega:
Ciclo de aprendizaje Números racionales (propiedades, operaciones con números racionales en su expresión decimal o fraccionaria, potencias de base racional y exponentes enteros)
Aprendizaje: 1. Explicar por qué todo número entero es un número racional y, sin embargo, no todo número racional es un número
entero. 2. Realizar las operaciones entre los números de los distintos conjuntos numéricos. 3. Solucionar problemas del contexto que implique el uso de numero racionales.
Competencias a desarrollar: comunicación, modelación, razonamiento, planteamiento y resolución de problemas y elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
INTRODUCCIÓN A LA GUÍA.
Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? Los números racionales son muy importantes, ya que son parte de la base que todos debemos saber para resolver operaciones matemáticas más complejas que son posteriores a esta y que siempre podremos encontrar en la vida cotidiana. Por ejemplo: al partir un pastel en partes iguales, en la administración del dinero, en ciencias como la física, química y biología, entre otras situaciones de nuestra vida cotidiana, estamos ocupando los números racionales, sin darnos cuenta, ni darle la importancia que se merecen.
Recomendaciones en la entrega física. 1. Vas entregar las actividades propuestas en hoja block a más tardar el 28 de febrero del presente año (esta
fecha está sujeta a modificaciones, siempre y cuando si la situación de la pandemia lo permita).
2. Si durante el proceso, un vecino, familiar te presta un celular con datos entonces puedes enviar las actividades que vayas resolviendo (son 3 en total) al WhatsApp o al correo [email protected] del profesor teniendo en cuenta lo siguiente:
Al trabajo o actividad que vas a enviar, recuerda siempre ponerle el título con tu nombre y el grado al que pertenece.
Al tomar la fotografía enfoque bien la imagen para tener una buena calidad.
Si el trabajo es de más de 1 página, enumera las hojas y a cada hoja tómale una foto y colóquele su nombre.
3. Si no tiene acceso a internet no te preocupes tendrán la retroalimentación vía telefónica, WhatsApp o cuando entregues la solución de la guía.
4. Si la situación de conectividad te lo permite comunícate conmigo cuando presentes una duda para realizarte la respectiva aclaración.
Recuerda que independientemente de tu situación las guías están enfocada en el auto
aprendizaje.
Para el estudio de estos temas establecemos los siguientes momentos: Momento de exploración (Saberes previos)
Momento de estructuración. Contextualización. (¿Qué voy a aprender?)
Momento de práctica y transferencia. (Práctico lo que aprendí y ¿cómo sé que aprendí?)
Momento de evaluación (¿Qué aprendí?)
Momento de exploración (Saberes previos) ACTIVIDAD 1
Leer y responder. Andrés realizó las siguientes inversiones. Primero, abrió una cuenta bancaria con la mitad del capital. Luego, gastó 1/3 de lo que le quedaba en un viaje de vacaciones. Por último, donó $280.000 a las personas damnificadas por el invierno. Si al final quedó con $1.120.000, ¿cuánto dinero tenía Andrés antes de hacer las inversiones?
En una ciudad, don César es dueño de cinco residenciales; tiene a cada uno enumerado del uno al cinco. En cada residencial existen 35 apartamentos, enumerados con tres dígitos. El primer dígito indica el número de residencial, los siguientes dos dígitos indican el número de apartamento (del 101 al 135 en el primer residencial, del 201 al 235 en el segundo residencial, y así sucesivamente). Para enumerar todos los apartamentos de los cinco residenciales, la cantidad de veces que se utiliza el número 2 es: (a) 65 (b) 70 (c) 100 (d) 105
Se desean repartir 35 libros entre varias personas de manera que no tengan la misma cantidad. La máxima cantidad de personas a las que se les pueden repartir los libros es (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9
Ana y Antonio se reparten un terreno que heredaron. Según las condiciones de la herencia, Ana recibe dos quintas partes del terreno y Antonio el resto. Sin embargo, Antonio decide ceder a Ana una cuarta parte de la porción del terreno que él recibiría. ¿Qué parte del terreno que finalmente recibió Ana?
Matemáticamente
EJEMPLOS
0
52
1 2 3�1�2�3
0 1 2 3�1�2�3
34
Estándares Pensamientos numérico y variacional
35©
3. Números racionalesEl conjunto de los números racionales está formado por los números de la forma ,b
a donde a y b son números enteros y b 0.
El conjunto de los números racionales se simboliza como y se determina como:
, y y 0ba a b b5 !!% /, a se llama numerador y b denominador.
Cada número racional se representa con un único punto en la recta numérica, donde los números racionales positivos se ubican a la derecha del cero y los racionales negativos a la izquierda del cero.
3.1 Orden en el conjunto de los números racionalesDados los números racionales b
a y dc con b y d 0, se puede establecer una y solo una
de las siguientes relaciones:
,,ba
dc ,.b
adc b
adc5
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador. Luego, se determina la rela-ción que existe entre los numeradores de las fracciones equivalentes.
Además si b . 0 y d . 0, se cumple que: si ,ba
dc entonces a d , b c.
Explica por qué todo nú-mero entero es un número racional y, sin embargo, no todo número racional es un número entero.
1. Representar en una recta numérica los siguientes números racionales.
a. 43
Se divide, en cuatro partes iguales, la unidad entre 0 y 1. Luego, se cuentan tres de esas partes a partir del cero.
Así:
2. Ordenar de menor a mayor los siguientes números racionales
43 , 3
2 ,2 54 y
45 .2
Primero, se expresan los números como fracciones equi-valentes.
43
60455 3
260402 5 2 5
460485 4
560752 5 2
Luego, se ordenan las fracciones equivalentes, así:
, ,,6075
6040
6045
60482 2
Por tanto, el orden de los números es:
, ,,45
32
43
542 2
3. Para envolver un regalo María emplea 32 del papel y
Manuel 41 del papel, ¿quién utilizó más papel?
Se buscan fracciones equivalentes y se comparan:
32
1285 y 4
11235
Como 128
123. , entonces, 3
241. .
Luego, María empleó más papel para envolver su regalo.
b. 252
Para representar en la recta numérica ,252 primero, se
determina el par de enteros consecutivos entre los cuales está la fracción. Como 2
52 está entre 23 y 22, se divide la unidad en dos partes y se cuenta a partir de 22 una parte a la izquierda, como se muestra en la figura.
Recurso imprimible
EJEMPLOS
©36
3.2 Operaciones con números racionalesAdición y sustracción: la suma o resta de dos o más números racionales con igual de-nominador es un número racional que corresponde a la suma o resta de los numeradores con el mismo denominador. Mientras que la suma o resta de dos números racionales con distinto denominador equivale a la suma o resta de los números racionales equivalentes con igual denominador.
Multiplicación: el producto de dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
División: el cociente entre dos números racionales es el producto del primer número racional con el recíproco del segundo.
1. Realizar las siguientes operaciones.
a. 310
382 1
310 85 2 1 Se suman los denominadores ya que el denominador
es igual.
325 Se realiza la operación.
b. 61
1452 2
427
42155 2 2 Se obtienen las fracciones equivalentes.
42225 2 Se restan los numeradores.
21115 2 Se simplifica.
c. 61
342
61
435 2 Se multiplica por el recíproco de 3
4 .
243
815 2 5 2 Se multiplica y se simplifica.
d. 43
51
83
412 1 2 1 2a k9 C% /
43
51
83
825 2 1 2 1 2a k9 C% / Se obtiene la fracción
equivalente.4
351
855 2 1 29 C% / Se suma y se elimina
el paréntesis.
43
4055 2 1 2% / Se multiplica.
43
815 2 1 2% / Se simplifica.
86
815 2 1 2% / Se obtiene la fracción
equivalente.
875 2 Se suma.
2. Leer y responder.
Andrés realizó las siguientes inversiones. Primero, abrió una cuenta bancaria con la mitad del capital. Luego, gastó 3
1 de lo que le quedaba en un viaje de vacaciones. Por último, donó $280.000 a las personas damnificadas por el invierno.
Si al final quedó con $1.120.000, ¿cuánto dinero tenía Andrés antes de hacer las inversiones?
Para resolver el problema, se realizan las operaciones in-versas del final hacia el comienzo, como sigue:
Donó $280.000, antes tenía: 1.120.000 1 280.000 5 1.400.000
Gastó 31 , le queda 3
2 de lo que tenía, así:
. . . .23 1 400 000 2 100 0005
Invirtió la mitad, es decir, .21
Luego, al principio tenía 2 2.100.000 5 4.200.000.Por tanto, Andrés tenía $4.200.000 antes de hacer las inversiones.
Recuerda que…El recíproco del número
racional ba es el número
racional ,ab si a y b 0.
Actividad Ampliaciónmultimedia
Recurso imprimible
Afianzo COMPETENCIAS
�1112
(�1)��
53
12
� ( � )�43
1
��16
13
��54
16
��14
310
�� 3 35
�75
14
��12
75
� �34
1920
0�1�2
0 1�1
Estándares Pensamientos numérico y variacional
37©
Escribe los números racionales representados en cada recta.
27.
28.
Ordena de mayor a menor cada grupo de números racionales. Luego, relaciona cada número con la letra correspondiente y determina el nombre de un lugar único de Colombia.
29. 65 4
3 312 4
52 212 2
3
A R A O M P
30. 8132 5
82
E D
31. 5112 9
42 1522 5
12 372 45
432 532
A M S U Z P A
32. ¿Cuál es el nombre del lugar?
33. Resuelve las operaciones del laberinto. Luego, determina el camino a la salida, siguiendo los resultados de menor a mayor.
Resuelve las siguientes operaciones.
34. 21
73
41
25
23
45
712 1 2 2 2 2a ak k9 C% /
35. 35
52
34
21
53
272 2 2 2 1a ak k9 C% /
36. Ubica cada uno de los números racionales 47 ,
31 ,2 8
6 , 103 , 20
14 , 43 , 10
7 ; en cada cuadro de tal
forma que el producto en cada rama sea igual a
407 .2
Lee y resuelve.
37. Si un ladrillo pesa 1 kilogramo y medio ladrillo. ¿Cuánto pesa ladrillo y medio?
38. El área de hielo del monte Kilimanjaro se ha re-ducido en ,5
2 los glaciares del monte Kenya se han
reducido en 43 de su superficie y los glaciales del
Cáucaso, en Rusia, han disminuido su superficie en .2
1 ¿Qué lugar ha perdido más hielo en su superficie?
Lee y responde.
Tomás ha gastado 51 de sus ahorros en un vestido, 3
2 en
un par de zapatos y 81 en una blusa. Si en total tenía
$1.200.000:
39. ¿Qué fracción representa la parte del dinero que gastó?
40. ¿Cuánto dinero empleó en la compra de cada uno de los artículos?
41. ¿Cuánto dinero le quedó a Tomás después de las compras?
42. Si el costo de una chaqueta es $650.000, ¿puede comprar la chaqueta con 2
1 del dinero que tenía inicialmente?
Interpreto • Ejercito • Razono • Soluciono problemas
Matemáticamente
EJEMPLOS
©38
3.3 Representación decimal de un número racional
Los números racionales se pueden representar en forma de número decimal dividiendo el numerador entre el numerador. Los números decimales obtenidos de esta forma pueden ser:
Números decimales finitos: son los números decimales que tienen una cantidad exacta de cifras decimales.
Números decimales infinitos periódicos: son los números decimales que tienen una o varias cifras que se repiten indefinidamente, a las cuales se definen como período.
Los números decimales infinitos periódicos se clasifican como decimales periódicos puros, cuando el periodo comienza a partir de la primera cifra decimal, y decimales periódicos mixtos, cuando hay una o varias cifras que no se repiten después de la coma y el período se repite después.
3.4 Representación fraccionaria de un número decimal
Para escribir un número decimal en forma de fracción se debe tener en cuenta lo si-guiente:
Si el número es decimal finito se plantea una fracción, donde el numerador corres-ponde al número decimal sin la coma y el denominador es una potencia de 10, cuyo exponente coincide con la cantidad de cifras decimales del número.
Si el número es decimal periódico, se plantean ecuaciones de tal manera que se elimine el período y se determine la fracción requerida.
1. Expresar 49 y 3
42 como números decimales. Luego,
escribir el tipo de número decimal.
9 410 2,25 20 0
4 310 1,333 10 10 1
Por tanto, ,49 2 255 y es un número decimal finito.
Además, , ... ,34 1 333 1 32 5 2 5 2 y es un número
decimal infinito periódico puro.
2. Escribir en forma de fracción cada número.
a. 21,55...
x 5 21,55… Se representa el número decimal.
10x 5 215,55… Se multiplica por 10.
10x 2 x 5 215,55… 2 (21,55…) Se restan las ecuaciones.
9x 5 214 Se realizan las restas.
x 9145 2 Se divide entre 9.
Por tanto, el número decimal 21,55… se expresa como .9
142
b. 4,12
,4 12 104125 2 Se expresa como fracción.
100412
251035 Se simplifica.
Por tanto, 4,12 en fracción es .25103
¿En qué condiciones una fracción corresponde con un número decimal finito?
,49 2 255
,34 1 33…2 5 2
Recurso imprimible
Ampliaciónmultimedia
Actividad
Afianzo COMPETENCIAS
�259
258 15
4
�139
185
15
73 4
3
�16
92
72
114
�214
�23
45
0�1
B
2,22,1
D
Estándares Pensamientos numérico y variacional
39©
Escribe un número decimal que cumpla con las con-diciones dadas.
43. Un número decimal asociado al número racional .8
52
44. Un número decimal infinito periódico puro mayor que .2
9
45. Un número decimal finito menor que 24 y mayor que 25.
Anota el número decimal representado en cada gráfica.
46.
47.
48.
Expresa cada número decimal de la forma .ba Luego,
une los puntos para encontrar la ruta de ascenso a la cima (siguiendo el orden de los ejercicios).
50. 0,8
51. 2,75
52. 20,66…
53. 3,5
Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica tu respuesta.
58. Todo número entero es un número decimal. ( )
59. Existe un decimal finito cuya expresión fraccio-naria es .a
3 ( )
60. No existe ningún número entero a tal que la frac-ción ,a
5 represente un número decimal infinito periódico puro. ( )
Observa y resuelve.
,0 6 96 0
96
325 2 5 5
,4 19 99419 4
994155 2 5
61. Verifica la expresión fraccionaria de cada decimal.
62. Formula una regla asociada a la conversión de un número decimal a fracción. Luego, compruébala.
Lee y responde.
El calentamiento global ocasiona el deshielo de los glaciales, aumentando el nivel del mar. El deshielo de los glaciales de Alaska, aporta 50
7 mm anuales al aumento del nivel del mar, el deshielo de Groenlandia produce un aumento de 100
13 mm y, en el mar
Amundsen, Antártida, aporta 51 mm.
63. ¿Qué cantidad decimal de milímetros aumenta el nivel del mar en cada lugar?
64. ¿Cuál de los tres glaciales afecta más el aumento anual del nivel del mar?
65. ¿En cuánto aumentó el nivel del mar en total al considerar los tres lugares?
54. 4,5
55. 21,44…
56. 3,75
57. 22,77…
49.
Interpreto • Ejercito • Argumento • Propongo • Soluciono problemas
d1
1
1
10A B D
C
2
©40
El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra o por R 2 y está formado por todos los números decimales infinitos no periódicos.
4. Números irracionalesAlgunos números decimales no pueden ser representados como números racionales de la forma .b
a
Por ejemplo, el número ,2 1 41421356…5 es un número decimal con infinitas cifras decimales, además no presenta ningún tipo de periodicidad.
Los números ,3 ,5 , ,23 Log 2 son ejemplos de números irracionales, ya que en su representación decimal, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
,3 1 73205…5 2,236065 …5 5 3,14159…
,2 1 25992…53 Log 2 5 0,30102…
4.1 Representación en la recta numérica de los números irracionales
En la recta numérica, a los puntos que no les corresponde un número racional, les corresponde un número irracional. A cada número irracional le corresponde un punto sobre la recta numérica.
Es posible representar algunos números irracionales utilizando construcciones geomé-tricas.
Por ejemplo, para ubicar en la recta numérica, el número irracional 2 se realizan los siguientes pasos:
Primero, se construye AB con A en 0 y B en 1. Segundo, se traza el segmento BC perpendicular a AB de longitud 1. Tercero, se une A con C para formar .AC
La medida de AC se halla aplicando el teorema de Pitágoras. Así:
(AC )2 5 (AB)2 1 (BC )2 Se aplica el teorema.
(AC )2 5 12 1 12 Se remplazan las medidas de cada cateto.
(AC )2 5 2 Se resuelven las operaciones.
AC 25 Se halla la raíz cuadrada.
Por último, con un compás, se hace centro en A y se toma la distancia AC. Luego, con esta distancia, se traza un arco que corte la recta numérica. El punto corresponde a .2
Los pitagóricos afirmaban que todos los números po-dían ser expresados como el cociente de dos núme-ros naturales. Sin embargo, no lograban encontrar los números adecuados para expresar la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1.
d 1 1 25 1 52 2
Historia de las matemáticas
Enlace web
Ampliaciónmultimedia
Ampliaciónmultimedia
Actividad
Afianzo COMPETENCIAS
1
1 20A B D
C
5
1
1
Estándares Pensamientos numérico y variacional
41©
Representación de 5Para ubicar ,5 se realizan los siguientes pasos:
Primero, se construye AB con A en 0 y B en 2. Segundo, se traza el segmento BC perpendicular a AB de longitud 1. Tercero, se une A con C para formar .AC
La medida de AC se halla aplicando el teorema de Pitágoras.
(AC )2 5 (AB)2 1 (BC)2 Se aplica el teorema.
(AC )2 5 22 1 12 Se remplazan las medidas de los catetos.
(AC )2 5 5 Se resuelven las operaciones.
AC 55 Se halla la raíz cuadrada.
Por último, con un compás, se hace centro en A y se toma la distancia AC. Luego, con esta distancia, se traza un arco que corte la recta numérica.
Este punto corresponde a .5
Comprueba o refuta la si-guiente afirmación.
Todo número irracional se puede representar con re-gla y compás.
Marco con un ✓ los números irracionales. Justifica tu respuesta.
66. 0,100100100…
67. 0,623462346223…
68. 3,1421142214231424…
69. 10 52 1
70. 3 2 7
71. Escribe los números irracionales que pueden aparecer en la siguiente figura.
Interpreto • Ejercito • Razono • Soluciono problemas
Matemáticamente
Aplica el procedimiento para ubicar 2 y 5 en la recta numérica, con el fin de determinar el punto de la recta asociado a cada número.
72. 10 73. 32 74. 8
Lee y resuelve.
El número de oro ,21 5
51c m se aprecia en la
naturaleza, por ejemplo, la longitud del abdomen de una abeja dividido por el número es igual a la longitud del tórax, y la longitud del tórax dividido entre es igual a la longitud de la cabeza.
75. Realiza la construcción con regla y compás del número .
76. Si el abdomen de una abeja mide 1,2 cm, ¿cuánto mide su cabeza?
Momento de práctica y transferencia. (Práctico lo que aprendí y ¿Cómo sé que aprendí?)
Ahora puedes pasar a practicar lo que aprendiste realizando la siguiente actividad. Debes describir el proceso y
justificarlo.
PROBLEMA TOMADO DEL LIBRO PRECALCULO DE JAMES STEWAR
PROBLEMA TOMADO DE LAS XXIX OCM 2017 Un pulpero recibió un encargo de cajas de leche. Se le informó que no son más de 1000 cajas ni menos de 900, y que si se agrupan en grupos de cinco cajas sobran dos, al igual que si se agrupan en grupos de siete cajas; pero si se hace en grupos de dos cajas no sobran y en grupos de tres cajas sobra una. La cantidad de cajas que recibió el pulpero es: (a) 912 (b) 946 (c) 982 (d) 996
PROBLEMA TOMADO DE LAS XXIX OCM 2017 Un prisionero lleva muchos años encerrado, por lo cual el carcelero decide darle una oportunidad de escapar; coloca la llave de la celda en una de cuatro cajas idénticas y le dice al prisionero que si escoge la caja que contiene la llave, queda en libertad. El prisionero (que no sabe en cuál caja está la llave) selecciona una caja al azar. Antes de abrirla, el carcelero (que sí sabe dónde está dicha llave) le abre dos cajas que no tienen la llave y le dice: como puedes observar, ahora hay dos cajas y una de ellas tiene la llave, ¿deseas cambiar la caja que escogiste? Si el prisionero decide cambiar de caja, la probabilidad de escapar es (a) 1/2 (b) 1/3 (c) 1/4 (d) 3/4
PROBLEMA TOMADO DE LAS XXIX OCM 2017 Un cilindro se puede llenar con una manguera en dos horas y con otra manguera en seis horas. Además, se puede vaciar por medio de un desagüe en una hora y 45 minutos. El encargado del cilindro deseaba llenarlo lo más rápido posible, así que decidió utilizar ambas mangueras a la vez, pero olvidó cerrar el desagüe. El tiempo, en horas, que perdió el encargado por este error es (a) 2 (b) 9 (c) 5,5 (d) 10,5
PROBLEMA TOMADO DEL LIBRO CAMINOS DEL SABER GRADO 8 Un auditorio de artes en un colegio tiene una estructura en forma de paralelepípedo recto, con base rectangular y techo semicilíndrico, como se muestra en la figura. Si las dimensiones del auditorio son las mostradas en la figura ¿cuál es el volumen del auditorio de artes?
Momento de la evaluación ¿Qué aprendí
Vas a reflexionar respecto a cómo te sentiste y que tanto aprendiste en el desarrollo de esta guía. En tu cuaderno
registra las conclusiones a las que llegaste. ¡Debes ser muy sincero!
1. ¿Qué fue lo que más te causo dificultas al resolver las tareas de la guía y del libro?
2. ¿Qué fue lo que te pareció más fácil en la guía?
3. Con tus palabras escribe qué aprendiste.
Referencias
Caminos del saber grado 8.
Precalculo James Stewart.
Olimpiadas colombianas de matematicas 2017.
