Modelos Probabilisticos Caucasia (1)

8/16/2019 Modelos Probabilisticos Caucasia (1)

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Capítulo 6 Modelos Probabilísticos

6.2 MODELOS PROBABILISTICOS.

Son modelos matemáticos apropiados para situaciones reales en condicionesespecificas, son importantes por que nos ayudan a predecir la conducta defuturas repeticiones de un experimento aleatorio. Los modelos pueden ser

discretos o continuos.Los modelos o distribuciones discretas más comunes son: La niforme,!inomial, Poisson y la "iper#eometrica $ado que el enfoque del texto es presentar los modelos más usados en in%esti#aci&n, y más específicamente enáreas sociales y 'umanísticas, acá se abordarán los temas de la !inomial, lacual es base para definir los tama(os mu)strales y la Poisson, de #ran utilidad en teoría de colas o fen&menos de espera. *demás, la "iper#eometrica enmuc'os casos +n #rande se aproxima con el modelo !inomial.

-n cuanto a las continuas, se utilian fundamentalmente las si#uientes: / de la

0ormal, 1 de Student, 2 de Snedecor y la 3i cuadrado + χ 4 , las cuales serán

ob5eto de estudio.6.2.1 MODELO BINOMIAL

Se utilia además, para calcular probabilidades cuando los posibles resultados

s&lo pueden ser 4 sucesos excluyentes.

n modelo !inomial cumple las si#uientes propiedades:

-l experimento tiene un n7mero fi5o de pruebas.

4 $e cada prueba solo puede presentarse uno de dos resultados. n )xito oun fracaso.

8 La probabilidad de )xito y la probabilidad de fracaso son constante paracada prueba.

9 Cada una de las pruebas es independiente de todas las demás, es decir, loque ocurre en una prueba cualquiera, no afecta los resultados de las otras pruebas.

Si una %ariable aleatoria definida pre%iamente cumple las condicionesanteriores, se dice que ella se distribuye !inomial con parámetros n, p y se

escribe: ∼ b +x, n, p

La funci&n de probabilidad de densidad y de distribuci&n acumulada de una%ariable aleatoria ∼ b +x,n,p esta dada por:

Le&n $arío !ello P.-stadístico

-s un modelo discreto, es decir, la %ariable toma %alores conocidos y

finitos. -s utiliado en #ráficos de control para análisis de n7mero o

porcenta5e defectuoso, adicionalmente se utilia para calcular

probabilidades de aceptaci&n o rec'ao de lotes en muestreo de

aceptaci&n, de a'í su importancia.

Sintaxis en -xcel: DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumua!o"

Núm_éxito# $%nsayos# n

'.D.

).!.p




$onde: "*(*

*

xn x

n

x

n

−=

n; < 4 = 8 = 9 = ..... + n > = n , por e5emplo ?; < 4 = 8 = 9 = ?

@; p. -s decir, es el complemento de la probabilidad de )xito.

Los parámetros rele%antes de la !inomial son: µ x < E x D < np y su %ariana V x D

< σ x 4 < np+ > p .

Si bien prácticamente todos los libros poseen los %alores tabulados para%alores de n peque(os y de p comunes, a'ora es posible calcular estas probabilidades con la ayuda del -xcel.

Ejemplo 1: Se#7n el 7ltimo estudio sobre fa%orabilidad del actual #obernante,)ste tiene a su fa%or el ?4E de todos los 'abitantes mayores de edad. Si deesta poblaci&n se selecciona al aar ? personas, a Fcuál es la probabilidad deque exactamente 8 de personas est)n a fa%or del mandatarioG, b máximo 8, centre 4 y 9 inclusi%e est)n a fa%or, d cuál es el %alor esperado y su des%iaci&n.

Solución mnul.

Sea < n7mero de personas a fa%or del mandatario.

Lo primero a determinar es si cumple los requerimientos del modelo !inomial.

• La prueba se realia ? %eces.

• Lo que di#a una persona es independiente de la opini&n de otra.

• S&lo se puede presentar un solo resultado, a fa%or o no.

*l cumplir los requerimientos, entonces, ∼ b +x, ?, @.?4

$onde P < )xito < @.?4

B < fracaso < @.9H

Reemplcemo! lo! "lo#e! en l $o#mul.

a P+x<8 < @=+@[email protected] < @.848I


xn p

x p

n xC x p

−−= "+("(

S,o se re-uiere !ar ic/ en e bot,n

fx para luego seleccionar funciones

estadísticas, tal como se aprecia en el

cuadro de la izquierda.

Otra manera !e escribir a ).!. .

0

%xiste una probabii!a! mo!era!a

!e -ue 1 personas estén a )a2or !e

3obernante.

http://es.wikipedia.org/wiki/Varianza





b P+ ≤ x < P+x ≤ 8 < 2+8 < P+<@J P+<J P+<4J P+<8

P+ ≤ 8 < @.KH6?

c P+4 ≤ ≤ 9< 2+9 > 2+ < P+ ≤ 9> P+ ≤ < @.I6I @.689 < @.KIH?

& P+<4J P+<8J P+<9< @.4II@ J @.848I J @.K?9 < @.KIH8

d -+ < np < ?=@.?4 < 4.6 personas.

V x D < σ x 4 < npq < ?=@[email protected] < .49H σ x < .K

Solución E%cel.-l pro#rama permite calcular tanto la probabilidad en un punto como laacumulada. * continuaci&n se muestra la sintaxis para resol%er el problemaanterior.

<$S1N.!0OM+8?,?4falso. ndica que se quiere determinar la probabilidad de que 8 personas est)n a fa%or de ? encuestados, donde la probabilidad de)xito es de @.?4 y el $l!o& quiere decir que no es acumulada. P+x < 8 <@.848I.

<$S1N.!0OM+8?,?4%erdadero. ndica que se quiere determinar la probabilidad de que máximo 8 personas est)n a fa%or de ? encuestados,

donde la probabilidad de )xito es de @.?4 y el "e#''e#o& quiere decir que la probabilidad es acumulada. P+x ≤ 8 < @.KH6?.

c P+4 ≤ ≤ 9< 2+9 > 2+<+ <$S1N.!0OM+9?,?4><$S1N.!0OM+?,?4.

@.I6I> @.689 < @.KIH?

Para resol%er las probabilidades con -xcel, se da la si#uiente informaci&n:


"*4(*1

*5

1

5=

+64

46

+74*71

*17875==

%s muy probabe -ue tres o menos

estén a )a2or !e 3obernante.

%xiste una ata probabii!a! !e -ue entre 4 y 8 personas incusi2e9

estén a )a2or !e 3obernante.

De 5 personas se espera -ue aproxima!amente 1 estén a )a2or !e

3obernante9 con una !es2iaci,n !e +.++9 es !ecir9 reamente9 as

personas a )a2or estar:n entre 4 y 8.

&ara soicitar éste

pantaao9 se !a cic en

a opci,n !e )unciones

(f x), ubicada en la

barra de formato.I3ua -ue se pue!e

<acer para as !em:s

)unciones esta!=sticas

anaia!as <asta a<ora

y as -ue 2ienen.




Ejemplo 2: Se estima que en una ciru#ía al 'í#ado el @E de los pacientesmuere. Si la operaci&n se realia a 8 personas, cual es la probabilidad de que:

a. -xactamente 4 mueran.b. 0o más de 4 se mueran.c *l menos pero no más de 4 se mueran.

-l ob5eti%o fundamental de )ste e5emplo, es mostrar como funciona la tabladise(ada para calcular las probabilidades !inomiales, en la direcci&n denternet http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_binomial.htm se encuentra la tabla

usando la f.d.p. es decir, muestra las probabilidades puntuales. -l pantallao se presenta lue#o del e5emplo.

P+<4 < @.@4K@ P+ ≤ 4 < @.K4I@[email protected]?9J@.@@K <@.HK?

P+< J P+<4 < @.498@J@.@4K@ < @.4K

6.2.2. Mo'elo Poi!!on.


-s una distribuci&n discreta, tiene su principal aplicaci&n en teoría de colas ofen&menos de espera y en control estadístico de calidad, así, como para calcular probabilidades en e%entos escasos y en inter%alos de tiempo y espacio. -5emplo,cuál es la probabilidad de que lle#uen ? llamadas en un minuto a un conmutadorG,cuál de que se encuentren 9 'uecos en un QilometroG

Sintaxis en -xcel:POSSO0+xmediaacumulado. es el n7mero de sucesos. Media es el %alor num)rico esperado, usualmente

se conoce como lm(' .

*cumulado. Si el ar#umento es R-N$*$-NO, se de%uel%e la probabilidad de queun suceso aleatorio ocurra un n7mero de %eces comprendido entre @ y x inclusi%e+2.$.* si el ar#umento es 2*LSO, se de%uel%e la probabilidad de que un sucesoocurra exactamente x %eces +f.d.p.

http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_binomial000.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_binomial000.htm




Se deben cumplir los si#uientes supuestos, el n7mero de lle#adas de lossucesos en el inter%alo ob5eto de estudio, ocurren de manera aleatoria y por ende son independientes entre sí, el modelo está definido completamente por

su promedio λ .

Por 7ltimo, se debe resaltar, que el promedio, , es proporcional al inter%alo

que representa, es decir, sí )2 mue#*o!+!emn, entonces, ),

mue#*o!+me!.

Si una %ariable aleatoria definida pre%iamente cumple las condicionesanteriores, se dice que ella se distribuye Poisson con parámetro λ y se denota

así:

∼ P +x, λ

La funci&n de probabilidad de una %ariable aleatoria ∼ P +x, λ esta dada por:

*"("(

x

e x x ! x f

x

i

λ λ −

===, para x < @, ,4,.......

$onde:e< 4.K4KH4 base de los lo#aritmos neperianos.

Los parámetros rele%antes de la Poisson son: λ x < E x D y su %ariana V x D < σ x 4

< λ x

La funci&n de distribuci&n acumulada esta dada por:

P+ ≤ x < 2+x < ∑ *"("(

x

e x x ! x f

x

i

λ λ −

===

Por 7ltimo, los parámetros rele%antes de la Poisson son: µ x < E x D < λ y su

%ariana V x D < σ x

4

< λ , lue#o la des%iaci&n es < raí+ λ .0o sobra recordar que λ es el promedio, lue#o se calcula como la sumatoria delos %alores di%idido por el n7mero de ellos.

Ejemplo 1: -l n7mero promedio de indi%iduos que lle#an a solicitar informaci&nsobre un nue%o producto es de ? por 'ora. $etermine la probabilidad de que,en una 'ora determinada, lle#uen: a exactamente 4 usuarios, b a lo sumo 9,c más de 9, d 4 en media 'ora.

Solución mnul.

Sea < n7mero de personas que solicitan informaci&n sobre el producto.

Lo primero a determinar es si cumple los requerimientos del modelo Poisson.









• Las personas lle#an de manera aleatoria y sus lle#adas son

independientes.

• Los sucesos ocurren en un inter%alo determinado.

*l cumplir los requerimientos, entonces, ∼ P +x, λ

$onde λ < ? personasA'ora


a P+x<4 < +4.KH4>? =? 4 <@.@H944 Poco probable que pase.

4;

b P+ ≤ 9 < 2+9 < P+<@J P+<J P+<4J P+<8 J P+<9 < @.99@9

c P+ 9 < P+ ≤ 9 < > @.99@9 < @.??I6. -s más probable que lle#uen ?

o más que lo 'a#an 9 o menos.

d $ado que se cambio la unidad de medida, el promedio se altera.

λ < 4.? personasA8@ minutos.

P+x<4 < +4.KH4>4.? =4.? 4 <@.46?

4;

Solución E%cel.

-l pro#rama permite calcular tanto la probabilidad en un punto como laacumulada. * continuaci&n se muestra la sintaxis para resol%er el problemaanterior.

<POSSO0+4?@. ndica que se quiere determinar la probabilidad de que 4

personas soliciten informaci&n sobre el producto, donde el promedio es de ? y @, quiere decir que no es acumulada. -l resultado es @.@H944.

< POSSO0+9?. ndica que se quiere determinar la probabilidad de quemáximo 9 personas pidan informaci&n en un inter%alo de una 'ora, el promedioes ? y , quiere decir que la probabilidad es acumulada. -l resultado es @.99@9

> <POSSO0+9?. ndica la probabilidad de que más de 9 personas pre#unten por el producto en un inter%alo de una 'ora, el promedio es de ?. -l resultado es > @.99@9< @.??I6.

<POSSO0+44.?@. Calcula la probabilidad de que 4 personas soliciteninformaci&n en un inter%alo de me'i -o#, el promedio cambia a 2.

personasA8@ minutos. -l resultado es @.46?.

Si bien se puede di#itar la sintaxis de la orden, tambi)n se puede llenar el si#uiente cuadro que se acti%a al solicitar las funciones del pro#rama.


-xiste T de posibilidad de quelle#uen dos usuarios en media'ora a solicitar informaci&n sobreel producto.




Ejemplo 2: -l n7mero promedio de errores que se detectan en las pá#inas delos peri&dicos locales es de 8 por pá#ina, determine la probabilidad de que enla pá#ina H del peri&dico matutino encuentre:

a. -xactamente 8 errores, b a lo sumo 9, c más de 9 en la pá#ina @, d 4 en

dos pá#inas.Solución mnul.

Sea < n7mero de errores por pá#ina

Nequerimientos del modelo Poisson.

• Los errores ocurren de manera aleatoria.

• Los sucesos ocurren en un inter%alo de espacio pá#ina >

∼ P +x, λ . $onde λ < 8 errores Apá#ina.


a P+x<8 < +4.KH4>8=84 < @.449@ -xiste una moderada posibilidad de

8; que se encuentren 8 errores en una pá#ina.

b P+ ≤ 9 < 2+9 < P+<@J P+<J P+<4J P+<8 J P+<9 < @.H?4

c P+ 9 < P+ ≤ 9 < > @.H?4 < @.H9H. -s poco probable que se

presenten más de ? errores.

d $ado que se cambio la unidad de medida, el promedio se altera.

λ < 6 errores A4 pá#inas.

P+x<4 < +4.KH4>6 =6 4 <@.88H

4;

Solución E%cel.

<POSSO0+88@ < @.449@ < POSSO0+98 < @.H?4

> <POSSO0+98 < > @.H?4 < @H9H <POSSO0+46@ < @.88HSolución T(l!.

Valores deX 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 /.06, 0.22314 0.13534 0.08209 0.04979 0.03020 0.01832 0.01111 0.00674

1 0.36789 0.33471 0.27069 0.20523 0.14937 0.10570 0.07327 0.05000 0.03369

2 0.18395 0.25103 0.27069 0.25653 0.22406 0.18498 0.14654 0.11249 0.08424

3 0.06132 0.12552 0.18046 0.21378 /.223/6 0.21581 0.19539 0.16874 0.14040

4 0.01533 0.04707 0.09023 0.13361 0.16805 0.18883 0.19539 0.18983 0.17549

5 0.00307 0.01412 0.03609 0.06681 0.10083 0.13218 0.15631 0.17085 0.17549

6 0.00051 0.00353 0.01203 0.02784 0.05041 0.07711 0.10421 0.12814 0.14624

7 0.00007 0.00076 0.00344 0.00994 0.02161 0.03855 0.05955 0.08237 0.10446

8 0.00001 0.00014 0.00086 0.00311 0.00810 0.01687 0.02977 0.04634 0.06529

9 0.00000 0.00002 0.00019 0.00086 0.00270 0.00656 0.01323 0.02317 0.03627

10 0.00000 0.00000 0.00004 0.00022 0.00081 0.00230 0.00529 0.01043 0.0181411 0.00000 0.00000 0.00001 0.00005 0.00022 0.00073 0.00192 0.00426 0.00824


*

"( .

x

x p e

x λ λ

−=

-xiste una moderada posibilidad de encontrar exactamente 4 errores en 4 á inas.




12 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00021 0.00064 0.00160 0.00343

13 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00020 0.00055 0.00132

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00018 0.00047

15 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00005 0.00016

16 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00005

La tabla anterior, se construy& utiliando la 'o5a electr&nica -xcel, y se opt& por la tabla no acumulada, sin embar#o, la construcci&n de la tabla acumulada se'ace de manera similar.

a P+x<8 < @.449@ -l n7mero se ubica en la ntersecci&n de λ <8 y <8

b P+ ≤ 9 < 2+9 < P+<@J P+<J P+<4J P+<8 J P+<9

< @.@[email protected]@.449@[email protected]@[email protected]@? < @.H?4

c P+ 9 < P+ ≤ 9 < > @.H?4 < @.H9H.

-l mane5o de tabla es similar para cada %alor de , %al#a decir, si cambia el promedio, la probabilidad se encuentra en el cruce entre λ y el %alor de .

Aproximación del modelo Binomial al modelo Poisson: Como ya observó,con ayuda de software con aplicaciones estadísticas es innecesariorealizar aproximaciones, ya ue el ob!etivo de "stas, es disminuir la parteoperativa del proceso, situación ue en la actualidad no es necesariorealizarse#

na persona que se#7n sus 'ábitos tiene una probabilidad de infectarse de

@.@ por día. -n muestras de @@ su5etos cada una. Cuál es la probabilidad de

que al finaliar el primer día no 'aya nin#7n infectadoG

-l modelo es !inomial, sin embar#o, no se tienen %alores tabulados para unamuestra de @@, además, por f&rmula, se presume que es tedioso realiar el

cálculo, por esa ra&n, se 'a usado la aproximaci&n al modelo Poisson. 0o

obstante, con la ayuda del -xcel, se procede así, sin necesidad de a5ustes.

<$S1N.!0OM+@@@@.@@ < @.866@

-n caso de aproximar con Poisson, λ < np <, en cuyo caso dará:

<POSSO0+@@ < @.86KH Ralor que si el tama(o muestral fuese muy

#rande , puede tener diferencias si#nificati%as importantes.

Si se usa la tabla, el %alor que se encuentra en la celda correspondiente a <@

y λ =1, es de 0.6378.

6.2.0 MODELO NORMAL.


Sin duda, es la más usada de las dis!i"u#i$nesesad%si#as, dad$ que iene m&liples apli#a#i$nes en$das las á!eas del #$n$#imien$. 'a sinaxis en Ex#el es(

)*S+.-/xmediadesesánda!a#um. es el %alor ba5o el cual se encontrará el área +probabilidaddeseada, Media es la media aritm)tica de la

distribuci&n, $es%Uestándar es la des%iaci&n estándar de la distribuci&n y *cum es un %alor l&#ico quedetermina la forma de la funci&n. Si el ar#umentoacum es R-N$*$-NO, la funci&n $S1N.0ONM de%uel%e la funci&n de distribuci&n acumulada.Si el ar#umento media < @ y des%Uestándar < , lafunci&n $S1N.0ONM de%uel%e la distribuci&n normal estándar $S1N.0ONM.-S1*0$.




-s el modelo continuo más utiliado en inferencia estadística, dado quemuc'os fen&menos socio demo#ráfico y de otra índole tienen uncomportamiento acampanado y por ende cumplen la teoría de la distribuci&nnormal, sin embar#o, es importante aclarar que antes de proceder a aplicar losm)todos su#eridos por la teoría estadística, es imprescindible identificar primero si en realidad los datos si se comportan como tal, es decir, se debesaber a ciencia cierta si los datos son aproximadamente acampanados, paraello se disponen de procedimientos descripti%os ya descritos, como son: el 'isto#rama, comparar las medidas de posici&n rele%antes +media, mediana y moda, calcular los coeficientes de asimetría y curtosis. *demás, de otras

pruebas más a%anadas como la de Smirno% Volmo#oro% y la de S'apiroWilQs.

Si se distribuye normal con parámetros µ y σ 4 , entonces se denota así,

X 0 + µ , σ 4

CARACTERISTICAS :

-s sim)trica, además, de ser asint&tica con respecto al e5e , es decir, no tocael e5e.

Mo ≅ Me ≅ Media ≅ µ

-s unimodal

Si tomamos inter%alos centrados en Y, se cumple:

µ ± Z se tiene aproximadamente el 6HE de las obser%aciones.

µ ± 4Z se tiene aproximadamente el I?E de las obser%aciones.

µ ± 8Z se tiene aproximadamente el II.K8E de las obser%aciones.

Para calcular cualquier otro porcenta5e, se utilian las tablas de la distribuci&nnormal yAo las funciones del pro#rama -xcel.

TEOREMA DE TIPI4ICACION O ESTANDARI5ACION.

Si X 0 + µ , σ

4

, entonces la %ariable aleatoria X 0 +@, -sto se 'ace con el fin de uniformar las tablas y poder calcular todas las probabilidades requeridas, ya que si no se 'ace este cambio de escala, setendría que calcular la formula de la distribuci&n de densidad que implicacalcular inte#rales y por tanto, se %ol%ería inmane5able para un #ran n7mero dein%esti#adores que no tienen formaci&n para ello. -n la actualidad, se tiene laayuda de soft[are para su calculo.

-n el E%cel 1 la funci&n de%uel%e la probabilidad de una %ariable aleatoriacontinua si#uiendo una distribuci&n acumulati%a normal para la media y des%iaci&n estándar especificadas. -sta funci&n tiene un #ran n7mero de

aplicaciones en estadística, incluyendo las pruebas de 'ip&tesis.

+ 1omado de las ayudas de -xcel.Le&n $arío !ello P.-stadístico

σ µ −= x z




Ejemplo 1: -l tiempo para realiar una inter%enci&n quir7r#ica tiene uncomportamiento aproximadamente normal, con media < 9@ minutos y des%iaci&n de ?@ minutos. Calcule la probabilidad de que una inter%enci&nquir7r#ica se demore: a * lo sumo @@ minutos, b Mínimo 4@@ minutos, c-ntre @ y I@ y d Mayor que 9@ y menor de 49@ y e FCuál es el tiempo

requerido para que el ?@E de las inter%enciones terminenG.Solución mnul:

Sea < tiempo que se demora una inter%enci&n quir7r#ica

X 0 + µ , σ 4 X 0 +9@, +?@4

Si no se realia el cambio de %ariable a se tendría que calcular

la inte#ral, situaci&n poco práctica en la actualidad.

1ipifiquemos:

/ < 56

+86− "

X 0 +@,

a P+x ≤ @@ 8−≤ #

@< # P

@.6

< @.H98 @.4K98 < @.?6K

d P +9@ \ x \ 49@ <

−

<<−

56

+86486

56

+8686 # !

4 \ / \ 4

4 < @.IKK4 @.@44H < @.I?99


σ

µ −= x

z

parte !e a parte

operati2a9 es importante

interpretar e número

<aa!o. %s reati2amente

probabe -ue a ciru3=a se

!emore menos !e +66

minutos.%s poco probabe -ue a

una inter2enci,n se !emore

m:s !e 466 minutos9 ya

-ue a probabii!a! es !e

6.++5+9 aproxim:n!ose a

cero.

%xiste una probabii!a!

i3eramente mayor a a

mita! !e -ue ainter2enci,n !ure entre ++6

y +A6 minutos.

omo se 2e apenas ,3ico9 es muy se3uro -ue a

inter2enci,n !ure entre 86 y 466 minutos9 !a!o -ue e

inter2ao !e tiempo es muy ampio.




e Para el caso en que se tiene la probabilidad y el inter)s es determinar el %alor de x, el proceso es in%erso, es decir, se busca el %alor de / y se despe5ael de x. Para el caso se tiene:

P+x ≤ x @ < @.?@

P +/\+x @ > µ A σ 9@A?@< @.?@ +x @ >9@A?@< @.@@ probabilidad de la tabla normal. *l despe5ar x @ se tiene:

x @ < µ J p+/ = σ

x @ < 9@ J @.@@ = ?@ < 9@.

Solución E%cel:

Sea < tiempo que se demora una inter%enci&n quir7r#ica

X 0 + µ , σ 4 X 0 +9@, +?@4

a P+x ≤ @@.

<$S1N.0ONM+@@9@?@R-N$*$-NO

b P + x ≥ 4@@ @.HH9I8@ < @.?

c P +@ < x < I@< P+\I@>P+\@


%n este caso9 se busca a

probabii!a! (6.56" !entro !e

a taba norma9 encontran!oe 2aor !e 6.66.

Se re-uieren !e +86 minutos para terminar

e 56 !e as inter2enciones -uirúr3icas9

con un poco m:s !e experiencia9 !ic<o 2aor

se !e!uce a obser2ar -ue e 56 !e as

obser2aciones se encuentran por !ebaCo !e

a me!ia9 !e a<=9 a importancia !e a )i3ura

para intuir9 no s,o e u3ar !e :rea a

encontrar sino a robabii!a!.




<$S1N.0ONM+I@9@?@R-N$*$-NO ><$S1N.0ONM+@9@?@R-N$*$-NO

0,84134474 0,27425306 = 0.567

d P +9@ \ x \ 49@< P+\49@>P+\9@

<$S1N.0ONM+49@9@?@R-N$*$-NO <$S1N.0ONM+9@9@?@R-N$*$-NO

0,97724994 0,02275006 = 0.9544

e P+x ≤ x @ < @.?@. -n )ste caso, se requiere entrar la probabilidad para que el

procedimiento entre#ue el %alor de x. 0ote que la sintaxis cambia, adicionandola palabra 0R.

=)*S+.-/.*-V0,514050 = 140

Ejemplo 2: Los pesos de una poblaci&n de adultos mayores indi#entes tienen

un comportamiento que se aseme5a a una campana normal con una media de84 libras y una %ariana de 44?. Calcular la probabilidad de que una personaseleccionada al aar de entre esa poblaci&n, pese: a Más de ??, b @@ libraso menos, c -ntre @? y 98 libras y d Cuál es el peso de tal forma que s&lo el ?E de los adultos mayores sobrepasan dic'o %alor..

Solución mnul:

Sea < peso de mayores indi#entes en libras.

X 0 + µ , σ 4 X 0 +84,44?

Como en todo problema práctico, lo primero es tipificar:

/ < +x @ > µ A σ X 0 +@, .

µ < 84 σ < ?.

a P+x?? < > P+x\?? < > P+\+??>84A?< > P+/\.?8

@.I8K@< @.@68.

b P+x ≤ @@ < P+x ≤ @@<P+/ ≤ +@@>84A?< P+/ ≤ >4.8< @.@66


σ

µ −= x

z

&arece e2i!ente -ue !a!o a popuari!a! !e pro3rama %xce9 es

posibe -ue sea ésta a <erramienta !e m:s ):ci uso para os

in2esti3a!ores cuan!o re-uieren cacuar as !i2ersas

probabii!a!es9 incuso por encima !e as tabas -ue pro2een a

totai!a! !e textos !e esta!=stica.

Es mu p$#$ p!$"a"le que un indienema$! pesa más de 155 li"!as. !ale#u!a puede se! de #ada 100indienes, ap!$ximadamene 6 pesanmás de 155 li"!as 77.5 !.

Es a&n men$s p!$"a"le que un indiene ma$! pesamen$s de 100 li"!as. p!$ximadamene 2 de #ada100 esa!%an en :se #as$. )e $!$ lad$, n$e que enlas a!ia"les #$ninuas, es indi;e!ene #$nside!a! elsin$ iual.




c P +@? < x < 98 < P+x\98 P+x ≤ @?. Lue#o de tipificar, se tiene:

P+/\ @.K8 P+/\>.H < @.K6K8 @.@8?I < @.K849

d P+x @ < @.@? Se pide el %alor de tal manera que el ?E de los indi#entes

mayores pesen más. -sto quiere decir que el I?E pesarán menos, lue#o la

expresi&n en t)rminos de menor que, +para usar las tablas acumuladas es:

P+x ≤ x @ < @.I?

P +/\+x @ > µ A σ 84A?< @.I?

+x @ >84A?< .69?

x @ < µ J p+/ = σ

x @ < 84 J .69? = ? < ?6.6K

Solución E%cel:

Sea < peso de mayores indi#entes en libras.

X 0 + µ , σ 4 X 0 +84,44?

a P+x?? < > P+x\?? < @.I8K9 < @.646

<$S1N.0ONM+??84?R-N$*$-NO

b P + x \@@ P+\@?

<$S1N.0ONM+9884?R-N$*$-NO ><$S1N.0ONM+@?84?@R-N$*$-NO

0,7683225 0,03593027= 0.7323923


Exise una ala p!$"a"ilidad de que un indiene

ma$! pesa en!e 105 143 li"!as.

Se "us#a la p!$"a"ilidad0.95 den!$ de la a"lan$!mal, en#$n!and$ el al$! de 1.65. El #ual se a<usa aque esa a la mismadisan#ia el al$! de =1.64.

S,o e 5 !e os in!i3entes pesan

m:s !e +5@.@ ibras.




d P+x ≥ x @ < @.@?. -n )ste caso, se requiere entrar la probabilidad para que el

procedimiento entre#ue el %alor de x.

P+x \ x @ < @.I?.

=)*S+.-/.*-V0,9513215 = 156.67

-n todos los casos se obtienen resultados similares yAo más precisos que losencontrados usando los %alores de tablas.

Solución T(l!:

*l ser una %ariable continua, se pueden calcular infinitos %alores de probabilidad, el ob5eti%o de )ste texto es ilustrar el mane5o para aquellos casosen los que no pueda contar con el apoyo de sistemas electr&nicos, por lo tanto,la tabla normal se construy& con -xcel y se calcularon probabilidades para%alores de / m7ltiplos de @.@?, no obstante, para ilustrar el mane5o con el e5emplo, se procedi& a colocar los %alores de / para el e5emplo planteado,

planteando de paso, que al tener la tabla en -xcel, puede calcular cualquier %alor de /. 0o sobra comentar, que la tabla normal es acumulada y además, para %alores menores de >8. la probabilidad %a tendiendo a cero, mientrasque para %alores mayores de 8. la probabilidad tiende a .





TABLA ACMLADA NORMAL

$ Prob# $ Prob# $ Prob# $ Prob# $ Prob# $ Prob#

0.00 0.5000 1.05 0.1469 2.10 0.0179 0.00 0.5000 1.05 0.8531 2.10 0.9821

0.05 0.4801 1.10 0.1357 72.10 /./166 0.01 0.5040 1.10 0.8643 2.15 0.9842

0.10 0.4602 1.15 0.1251 2.20 0.0139 0.10 0.5398 1.15 0.8749 2.20 0.9861

0.15 0.4404 1.20 0.1151 2.25 0.0122 0.15 0.5596 1.20 0.8849 2.25 0.9878

0.20 0.4207 1.25 0.1056 2.30 0.0107 0.20 0.5793 1.25 0.8944 2.30 0.98930.25 0.4013 1.30 0.0968 2.35 0.0094 0.25 0.5987 1.30 0.9032 2.35 0.9906

0.30 0.3821 1.35 0.0885 2.40 0.0082 0.30 0.6179 1.35 0.9115 2.40 0.9918

0.35 0.3632 1.40 0.0808 2.45 0.0071 0.35 0.6368 1.40 0.9192 2.45 0.9929

0.40 0.3446 1.45 0.0735 2.50 0.0062 0.40 0.6554 1.45 0.9265 2.50 0.9938

0.45 0.3264 1.50 0.0668 2.55 0.0054 0.45 0.6736 1.50 0.9332 2.55 0.9946

0.50 0.3085 1.55 0.0606 2.60 0.0047 0.50 0.6915 1.0 /.0/ 2.60 0.9953

0.55 0.2912 1.60 0.0548 2.65 0.0040 0.55 0.7088 1.60 0.9452 2.65 0.9960

0.60 0.2743 1.65 0.0495 2.70 0.0035 0.60 0.7257 1.6 /./ 2.70 0.9965

0.65 0.2578 1.70 0.0446 2.75 0.0030 0.65 0.7422 1.70 0.9554 2.75 0.9970

0.70 0.2420 1.75 0.0401 2.80 0.0026 0.70 0.7580 1.75 0.9599 2.80 0.9974

0.75 0.2266 71.,/ /./0 2.85 0.0022 /.0 /.60 1.80 0.9641 2.85 0.9978

0.80 0.2119 1.85 0.0322 2.90 0.0019 0.80 0.7881 1.85 0.9678 2.90 0.9981

0.85 0.1977 1.90 0.0287 2.95 0.0016 0.85 0.8023 1.90 0.9713 2.95 0.9984

0.90 0.1841 1.95 0.0256 3.00 0.0013 0.90 0.8159 1.95 0.9744 3.00 0.9987

0.95 0.1711 2.00 0.0228 3.05 0.0011 0.95 0.8289 2.00 0.9772 3.05 0.9989

1.00 0.1587 2.05 0.0202 3.10 0.0010 1.00 0.8413 2.05 0.9798 3.10 0.9990

a P+x?? < > P+x\?? < > P+\+??>84A?< > P+/\.?8

@.I8K@< @.@68.

b P+x ≤ @@ < P+x ≤ @@<P+/ ≤ +@@>84A?< P+/ ≤ >4.8< @.@66

*l ser un %alor para ≤ la probabilidad se calcula de manera directa, es decir, seubica el %alor de /<>4.8 correspondiendo la probabilidad de @.@66.

c P +@? < x < 98 < P+x\98 P+x ≤ @?. Lue#o de tipificar, se tiene:

P+/\ @.K8 P+/\>.H < @.K6K8 @.@8?I < @.K849

d P+x @ < @.@? Se pide el %alor de tal manera que el ?E de los indi#entes

mayores pesen más. -sto quiere decir que el I?E pesarán menos, lue#o laexpresi&n en t)rminos de menor que, +para usar las tablas acumuladas es:

P+x ≤ x @ < @.I?

P +/\+x @ > µ A σ 84A?< @.I?

+x @ >84A?< .6?. x @ < ?6.K? libras.


Se "us#a el al$! de 1.53 en la a"la, en#$n!and$el al$! de 0.9370 s$m"!ead$ en la a"la. En #as$de n$ esa! exa#$, pa!a e;e#$s a#ad:mi#$s sepuede $ma! el al$! más #e!#a, sin em"a!$, es

p!e;e!i"le usa! el Ex#el.

Siemp!e l$s al$!es de , se u"i#an en la a"lan$!mal.

Se "us#a la p!$"a"ilidad0.95 den!$ de la a"lan$!mal, en#$n!and$ el al$! de 1.65.




. sando -xcel calcule las si#uientes probabilidades, teniendo en cuentaque el promedio es ]K??.@@@ y la des%iaci&n estándar es ]9?.@@@. *suma comportamiento acampanado en los datos.

a P+K??.@@@. b P+\I@@.@@@c [email protected]?@\\H@@.@@@ d P+K??.@@@\\H@@.@@@e P+x @ < @.K? f P+\x @ < @.4? f P+x @ \\x <@.I?

Compruebe los resultados anteriores de manera manual.

4. Los si#uientes datos representan las tasas de inter)s cobradas por un prestamista durante %arios meses.

?.8 ?.H ?.8 ?.? ?.? ?.9 6.@ 6. ?.? ?.9 ?.6 ?.4 ?.9 ?.6 ?.9 ?.8 6. 9.I ?.? ?.8 ?.9 6.@.

Compruebe si los datos son aproximadamente normales +cualquier m)todo y encuentre las si#uientes probabilidades.

# P+?.6. P+\?.6 P+?.@\\6.@' P+\x @ < @.? P+x @ < @.I@ P+x @ \\x <@.I@

8. Supon#a que el 4?E de cierta poblaci&n tiene san#re tipo !. Si se

selecciona una muestra de ? personas calcular la probabilidad de:a. 1res o más personas ten#an ese tipo de san#re.b. Menos de dos ten#an ese tipo de san#re.c. -ntre dos y cuatro inclusi%e ten#an ese tipo de san#re.d. Siquiera cuatro ten#an ese tipo de san#re.e. Cual es el n7mero esperado de personas con ese tipo de san#re.

9. Si 'ay una probabilidad de @.4 de que un ni(o cumpla los tiempos mínimos para pertenecer al equipo de nataci&n. Cuál es la probabilidad de que decuatro ni(os seleccionados al aar:

a. 0o se encuentre nin#uno apto.

b. -xactamente dos est)n aptos.c. Máximo dos est)n aptos.d. Mínimo dos est)n aptos.e. Menos de cuatro pero más de uno.

?. Por experiencia pasada se sabe que el H@E de las personas que se preparan adecuadamente para una acti%idad física, clasifican para representar al departamento en al#7n e%ento. Para un #rupo de 4@ personas, encuentre la probabilidad de que.

a. * lo sumo ? nos representen.b. Puedan representarnos siquiera la mitad.

c. Si el #rupo fuera de 4@ personas, cuantos se espera que nosrepresenten.





6. -l n7mero promedio de llamadas que lle#an al P! de la ni%ersidad es de9.? por minuto. $etermine la probabilidad de:

a. -n un minuto determinado ocurran 8 & 9 llamadas.b. Mínimo 8 pero máximo ?.c. * lo sumo ?.

d. Necalcule las probabilidades anteriores si el inter%alo de tiempo fuera8@ se#undos. *nalice los cambios y utilice la 'erramienta más práctica para calcularlas.

K. n centro m)dico tiene un promedio de 4 usuarios todas las ma(anas entrelas @:@@ y las :@@. Si las lle#adas si#uen una distribuci&n Poisson, calcule la probabilidad de que:

a. Lle#uen máximo 4 usuarios en esa 'ora.b. Lle#uen entre H y 4 usuarios inclusi%e.c. Lle#uen más de @ pero menos de ?.d. Menos de H o más de 4.

H. -n la facultad de Psicolo#ía, las calificaciones de sus ?@@ estudiantes tienenuna distribuci&n normal con media 8.4 y %ariana de @.999.

a. Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al aar pueda 'abilitarGb. Cuántos estudiantes se espera ten#a una calificaci&n de comomínimo 8.4Gc. Bu) porcenta5e de estudiantes no 'abilitanGd. Si a los estudiantes de más de 9.@ los clasifican como muy buenos,cuantos de ellos están en dic'a cate#oríaG

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Modelos Probabilisticos Caucasia (1)