INSTITUTO POLITÉCNIC O NACIONALnuevos materiales se podría hacer algo al respecto. Hay técnicas de construcción de instrumentos de percusión que están surgiendo como sustituto

INSTITUTO POLITÉCNIC

ESCUELA SUPER

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN BONGÓ

CAJA DE POLÍMERO TERMOFIJO CON ASERRÍN

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO

OSCAR MANUEL

DRA. ITZALÁ

ING.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN BONGÓ CON


TESIS

PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES

Y ELECTRÓNICA

PRESENTA

OSCAR MANUEL MARTÍNEZ PÉREZ

ASESORES

DRA. ITZALÁ RABADÁN MALDA

ING. JOSÉ JAVIER MUEDANO MENESES

MÉXICO D.F. 2010

NACIONAL

CTRICA

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN BONGÓ


EN COMUNICACIONES

MÉXICO D.F. 2010

ÍNDICE Pág.

JUSTIFICACIÓN………………………….……………………………………………1

OBJETIVO GENERAL………………………………………………………………...1

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………2

ANTECEDENTES……………………………………………………………………..5

El Bongó y su Historia…………………………………………………………………………5

El Bongó y su Descripsión…………………………………………………………………….5

El Bongó y su Clasificación……………………………………………………………………6

El Bongó y su Manufacturación………………………………………………………………6

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN TEÓRICA

1.1. Instrumentos de Percusión………………………………………………………………7

1.1.1. Instrumentos Musicales de Membranas………………………….……………..7

1.1.2. Los Bongós……………………………….……………………….………………..7

1.1.2.1. El Bongó y su Técnica….…………………………………..…….………7

1.1.2.2 Tipos de Golpes en un Bongó……….……………………..…………….8

1.2. Principios del Funcionamiento de los Instrumentos de Percusión…………………..9

1.2.1. Vibración de Membranas………………….………………………………………9

1.2.2. Ecuación de Ondas de Membranas Circulares…………………….…………11

1.2.2.1. Vibraciones Libres Simétricas……………………………........………..12

Pág.

1.2.2.2. Condiciones Frontera…………………………………………….……….13

1.2.2.3. Vibraciones Forzadas…………………….………………………………16

1.2.2.4. Vibraciones Libres Asimétricas……………….…………………………19

1.3. Propiedades Físicas de los Materiales de Construcción de Instrumentos de

Percusión…………………………………………………………..……….…………….21

1.3.1. Densidad o Masa Específica de los Materiales………………….….…….……21

1.3.2. Tensión……………………………………………………………………………..21

1.3.3. Resonancia……………………………………………………….……….……….22

1.3.2.1 El Resonador Helmholtz…………………………………….…………….22

CAPÍTULO 2

DISEÑO DEL BONGÓ

2.1. Componentes para la Elaboración del Material a Emplear en la Construcción de la

Caja del Bongó……………….………………………………………………………….24

2.1.1. Aserrín…………………………………………………………………….………24

2.1.2. Resina Cristal (Resina Poliéster)……………………………………………….24

2.1.2.1. Características de la Resina…………………………………………….24 2.1.2.2. Ventajas de la Resina……………………………………………………24

2.1.3. Catalizador…………………………..……………………………………………25

2.2. Proporciones de los Componentes del Material a Emplear en la Construcción de

la Caja del Bongó………………………………………………………………………..25

2.2.1. Empleo de Fórmulas……..……………………………….……………………...26

Pág.

2.3. Preparación del Material de Construcción……………………………………………26

2.4. Endurecimiento del Material De Construcción……………………………………….26

2.5. Estructura del Material de Construcción………………………………………………27

2.6. Elaboración del Bongó Prototipo……………………………………………...………28

2.6.1. Elaboración del Molde del Bongó Prototipo…...……………….………………28

2.7. Elaboración de la Caja del Bongó Prototipo con el Material a Base de Resina

Poliéster y Aserrín……..………………………………………………………………..29

2.8. Ensamblado de la Caja del Bongó Prototipo con los Elementos Mecánicos...…...31

2.9. Densidad del Material de Construcción……………………………………………….33

20.10. Tensión Aplicada a la Membrana de los Bongós…………………………………33

CAPÍTULO 3 EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

3.1. Técnica de Evaluación……………………………………………………………….…35

3.2. Método de Evaluación…………………………………………………………………..35

3.3. Proceso de Medición…………………………………………………………………....36

3.3.1. Mediciones y Análisis por Puntos de Impacto…………………….…………...37

3.3.2. Primer Cuadrante……………….……………………………………………...…37

3.3.3. Segundo Cuadrante……………………………..………………………………..42

3.3.4. Tercer Cuadrante…………….…………………………………………………...46

3.3.5. Cuarto Cuadrante………………….………………………………………..........50

Pág.

3.3.6. Central…………….………………………………………………………...……..54

3.4. Evaluación………………………………………………………………………………..58

3.4.1. Forma de Onda………………………….………………….……...……………..58

3.4.2. Espectro de Frecuencia…………...……………………………………………..58

3.4.3. Comparativo de Espectros de Frecuencia…………………………….……….58

3.4.4. Modo de Vibración………………………………………………………….…….59

CAPÍTULO 4 PRESUPUESTO ESTIMADO

4.1. Presupuesto de los Materiales en General sin Contar la Elaboración del Molde del

Prototipo...……………………………………………………………………………...…60

4.2. Presupuesto de la Manufacturación del Bongó Prototipo….……………………….60

4.3. Horas Hombre Empleadas en el Proyecto………..………………………………….61

4.3.1. Estimación del Sueldo de un Ingeniero por Escalafón……………………….61

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES………………………………………….63

APÉNDICE………………………………………………………….……………...…64

A1. Factores de Conversión entre los sistemas MKS y CGS…….…………………....64

A2. Múltiplos y Submúltiplos……………………………………………………………..…65

A3. Funciones de Bessel de Orden Entero………………………………………...…......66

Pág.

A4. Tablas de Funciones de Bessel, Ceros y Puntos de Inflexión…………………...…69

A5. Evolución Temporal del Sonido………………………………………………………..71

GLOSARIO……………………………………………………………………………72

REFERENCIAS………………………………………………………………………74

ANEXOS………………………………………………………………………………75

1

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN BONGÓ CON CAJA DE POLÍMERO TERMOFIJO CON ASERRÍN

JUSTIFICACIÓN

La carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica en su especialidad de

Acústica proporciona el conocimiento necesario para poder comprender y analizar

aspectos sonoros (emisión y propagación del sonido), éstos conocimientos nos

brindan la oportunidad de incursionar en campos que pareciesen ser extraños a la

carrera como la elaboración y/o modificación de instrumentos musicales. El proyecto

que se describe a continuación pretende utilizar los conocimientos adquiridos en la

carrera para realizarlo.

OBJETIVO GENERAL

Este proyecto tiene como objetivo el diseño y fabricación de un prototipo de bongó,

cuyo cuerpo será construido de polímeros termofijos aunado con madera reciclada

(aserrín); de la unión de estos dos materiales se obtendrá un mezcla que se empleará

para proporcionar características musicales y estructurales al instrumento, mismas que

se analizarán de manera científica para determinar si es o no viable su fabricación en

serie.

Una vez concretada la técnica de construcción, se pretende examinar la posibilidad de

emplearla en la elaboración de otros instrumentos musicales con la finalidad de

extender su uso.

2

INTRODUCCIÓN

Este proyecto consta de la investigación y aplicación de materiales alternos para la

construcción de un bongó; materiales ajenos a los convencionales como la madera, el

metal y la fibra de vidrio.

La búsqueda de nuevos materiales no sólo es estructural, sino también funcional, con

esto se podrían dar nuevas cualidades a éste instrumento de percusión, como la

mejora en cuestiones acústicas según así lo requiera, un ejemplo de mejora por citar

alguno de tantos, es en la búsqueda constante de los ejecutantes de este tipo de

instrumento de emitir un sonido a lo que ellos le llaman seco y definido, esto podría

darse a entender que se pretende eliminar algún tipo de reverberación. Con los

nuevos materiales se podría hacer algo al respecto.

Hay técnicas de construcción de instrumentos de percusión que están surgiendo como

sustituto de la madera, el metal y la fibra de vidrio, una de estas técnicas es una pasta

de aserrín. La técnica consta en la combinación de polvo de aserrín y pasta de papel

reciclada, recrea las características de la madera y le da un nuevo elemento que es la

maleabilidad, lo que podría proporcionar la libertad para dar forma a un nuevo diseño.

En la serie de figuras 1.1-5, se presenta el proceso en forma gráfica de esta técnica en

la construcción de un tambor.

Figura 1.1. Preparación de la pasta.

3

Figura 1.2. Elaboración de resonadores.

·

Figura 1.3. Diferentes modos de preparar los parches. Presentación del resonador sobre el parche. Parche alternativo con placa de radiografía.

4

·

Figura 1.4. Tientos, tensores y presillas. Armado completo de diferentes tambores.

· Figura 1.5. Instrumentos diversos. Silbador, arco musical, palo de lluvia, cencerro, traca –

traca, tambor de agua, tambor de cuerda.

Como se puede observar, empleando técnicas alternativas de construcción se puede

lograr una forma viable para manufacturar instrumentos como el involucrado en este

proyecto, sin dejar a un lado funcionalidad y calidad sonora.

5

ANTECEDENTES

• El Bongó y su Historia

Los bongós fueron desarrollados en el este de Cuba en la provincia de Guantánamo a

fines del 1800. Es un instrumento de percusión de influencia Afrocubana, que se

impuso en la música popular, en las primeras agrupaciones del son (género musical),

junto a la conga, tumbadora y pailas. Este estilo musical es una mezcla de las culturas

africanas y españolas ricas de Cuba, contiene las raíces de la salsa moderna (género

musical).

Del son surgieron dos tipos de afinación del bongó: afinación del son de montuno y el

del son de changüí. La diferencia entre ambas afinaciones es que el bongó del son de

changüí es más grave que la del bongó del son de montuno [1].

• El Bongó y su Descripción

Los bongós son uno de los instrumentos de percusión más utilizado en la base rítmica

de la mayoría de los ritmos del Caribe. Tienen forma barril pequeño, están abiertos por

la parte de abajo y por la parte superior se tensa un cuero que vibra al golpearlo.

Originalmente eran de madera y el cuero estaba clavado, y la afinación se realizaba

acercando el cuero al fuego. En la actualidad también los hay de fibra de vidrio y la

tensión del cuero se consigue mediante herrajes y llaves de apriete.

Los diferentes tipos de sonido que se obtienen al golpear el cuero se deben a la

posición de la palma de la mano y de los dedos, así como de la forma que deje al

cuero vibrar.

Hoy en día los cueros empleados en los bongós pueden ser sintéticos lo que los hace

más resistentes. El que percute un bongó puede hacerlo sentado o de pie. Es habitual

que el bongó se presente por pares sobre un trípode (atril) como ocurre con las

timbaletas.

6

• El Bongó y su Clasificación

El bongó se presenta en pares por consiguiente se clasifican en:

1. Macho: Del par de bongós es el más pequeño de afinación aguda.

2. Hembra o Principal. Del par de bongos es el más alto de afinación grave.

• El Bongó y su Manufacturación

Los bongos se manufacturan de distintos tipos de materiales. El más utilizado es la

madera pero los hay construidos de fiberglass que es un material muy fino de fibras de

vidrio que se utiliza como agente de refuerzo para muchos productos que emplean

polímeros, también existen modelos de bongós manufacturados en metal.

1.1. Instrumentos de Percusión

Se definen como instrumentos de percusión a todos aquellos cuya superficie

resonadora es golpeada, sacudida o frotada por el ejecutante. El origen etimológico de

la palabra percusión procede del verbo latino percutere, que significa

este tipo de instrumentos

golpe el responsable directo de la producción del sonido.

percusión no son capaces de aportar melodía al conjunto orquestal, su contribución

rítmica y colorista es muy importante

1.1.1. Instrumentos Musicales de Membranas

En este grupo se encuentran los me

membranas fuertemente tensadas,

bongó, conga, tambores militares,

1.1.2. Los Bongós

Son dos cuencos de madera, de forma cónica con su extremo más pequeño

descubierto y el mayor cubierto de una piel

borde, la afinación de este instrumento está dada de acuerdo al ritmo donde se ejecute

(figura 1.1) [2].

1.1.2.1. El Bongó y su Técnica El bongó se percute con las palmas de las manos y los dedos. Los distintos sonidos se

logran de acuerdo a como se realicen los golpes. Por eso hay una técnica para su

ejecución. Existen cinco golpes diferentes y por ende cinco sonidos diferentes. Los

valores de las frecuencias resultantes de los golpes van a depender de la afinación de

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Instrumentos de Percusión



percusión procede del verbo latino percutere, que significa golpear, batir. E

ipo de instrumentos se manifiesta la relación causa-efecto, pues es el mismo

golpe el responsable directo de la producción del sonido. Aunque los instrumentos de

no son capaces de aportar melodía al conjunto orquestal, su contribución

rítmica y colorista es muy importante [2].

trumentos Musicales de Membranas

En este grupo se encuentran los membráfonos en los que el sonido se produce por

membranas fuertemente tensadas, al que pertenecen los timbales, caja, bombo,

tambores militares, etc. [2].

on dos cuencos de madera, de forma cónica con su extremo más pequeño

cubierto y el mayor cubierto de una piel tensa. Se tocan con los dedo


Figura 1.1. Los bongós.

1.1.2.1. El Bongó y su Técnica

El bongó se percute con las palmas de las manos y los dedos. Los distintos sonidos se



es de las frecuencias resultantes de los golpes van a depender de la afinación de

7



golpear, batir. En

efecto, pues es el mismo

Aunque los instrumentos de

no son capaces de aportar melodía al conjunto orquestal, su contribución

bráfonos en los que el sonido se produce por

al que pertenecen los timbales, caja, bombo,

on dos cuencos de madera, de forma cónica con su extremo más pequeño

tensa. Se tocan con los dedos cerca del


El bongó se percute con las palmas de las manos y los dedos. Los distintos sonidos se



es de las frecuencias resultantes de los golpes van a depender de la afinación de

este instrumento [1], en general las frecuencias del sonido característico o cuerpo

fluctuarán entre 200 a 300 Hz.

1.1.2.2. Tipos de Golpes en un Bongó 1. Palma. Toda la palma sobre el cuero (figura 1.2).

2. Punta de dedos. Con la mitad de las yemas de los dedos, menos el pulgar (figura

1.3).

3. Abierto. Con la 2ª y 3ª falange de los dedos, sin el pulgar, separados y no dejarlos

apoyados después del

4. Abierto presionado. Con la 3ª falange dejándola apoyada en el pa

desvanecer el sonido;

(figura 1.5

, en general las frecuencias del sonido característico o cuerpo

fluctuarán entre 200 a 300 Hz.

Tipos de Golpes en un Bongó

palma sobre el cuero (figura 1.2).

Figura 1.2

Con la mitad de las yemas de los dedos, menos el pulgar (figura

Figura 1.3

Con la 2ª y 3ª falange de los dedos, sin el pulgar, separados y no dejarlos

apoyados después del golpe para que el sonido dure más (figura 1.4).

Figura 1.4

Con la 3ª falange dejándola apoyada en el pa

desvanecer el sonido; se utiliza más en el tambor macho

figura 1.5).

Figura 1.5

8

, en general las frecuencias del sonido característico o cuerpo

Con la mitad de las yemas de los dedos, menos el pulgar (figura

Con la 2ª y 3ª falange de los dedos, sin el pulgar, separados y no dejarlos

golpe para que el sonido dure más (figura 1.4).

Con la 3ª falange dejándola apoyada en el parche para

utiliza más en el tambor macho

5. Martillo. Se obtiene colocando la palma

y luego tocando un abierto presionado. Sonido característico del bongó

(figura 1.6) [1].

1.2. Principios del Funcionamiento de los Instrumentos de Percusión

1.2.1. Vibración de Membranas

La vibración de membranas,

cuerdas, ya que son materiales elásticos tensados. La diferencia, es que mientras la

cuerda es una línea de puntos vibrando, la membrana es una superfici

nodales de la cuerda se transforman en líneas nodales en la membrana; por

consiguiente las ondas lineales en la cuerda, son de tipo superficial en la membrana,

por lo que las ondas estacionarias son de tipo bidimensional.

En las membranas ideales vibrantes, los modos de vibración no son armónicos del

fundamental, por lo que no resultarán muy agradables al oído, presentando varias

dificultades para conseguir la

dimensiones, resultando difícil mo

La expresión de las frecuencias de los modos de vibración de las

rectangulares es la siguiente:

fnx ny

Donde c es la velocidad del sonido en la membrana

de la membrana rectangular.

Se obtiene colocando la palma de la mano (izquierda) presionando el cuero


Figura 1.6

uncionamiento de los Instrumentos de Percusión

embranas

membranas, se basa en los mismos principios que la vibración de


cuerda es una línea de puntos vibrando, la membrana es una superfici



que las ondas estacionarias son de tipo bidimensional.

deales vibrantes, los modos de vibración no son armónicos del


dificultades para conseguir las diferentes notas, como no se pueden variar sus

dimensiones, resultando difícil modificar la tensión a la que está sometida.

La expresión de las frecuencias de los modos de vibración de las

es la siguiente:

nx ny = c

2��nx

lX

�2

+ �ny

ly

�� n =1, 2, 3, …

idad del sonido en la membrana lX y ly las longitudes de los lados

de la membrana rectangular.

9

de la mano (izquierda) presionando el cuero


se basa en los mismos principios que la vibración de


cuerda es una línea de puntos vibrando, la membrana es una superficie, y los puntos



deales vibrantes, los modos de vibración no son armónicos del


no se pueden variar sus

dificar la tensión a la que está sometida.

La expresión de las frecuencias de los modos de vibración de las membranas

(1.1)

longitudes de los lados

10

A continuación en la figura 1.7 se muestran algunos de los modos de vibración de una

membrana rectangular.

Figura 1.7

La frecuencia fundamental se obtiene al sustituir nx = 1 y ny = 1, siendo los sobretonos

correspondientes a nx = ny armónicos del fundamental, mientras que para nx = ny no lo

son. En la figura 1.8 se muestran algunos de los posibles modos degenerados.

Figura 1.8

A continuación en la figura 1.9 se representan los modos de vibración transversales de

una membrana circular. Para denominarlos se utiliza una notación compuesta de dos

dígitos: con el primero se indica el número de nodos diametrales y con el segundo el

número de nodos circulares.

En el caso de las vibraciones transversales de las

sobretonos no son armónicos del fundamental

1.2.2. Ecuación de Ondas d

Para obtener la ecuación de ondas de las vibraciones tra

es esencial utilizar un sistema de coordenadas espaciales, en el que la forma

geométrica de la frontera de la membrana se puede expresar con sencillez. Como ya

hemos visto, el uso de coordenadas cartesianas permiten el estudio de una membra

rectangular, de forma análoga las coordenadas polares facilitan el estudio de una

membrana circular. Por desgracia, el número disponible de sistemas de coordenadas

es muy limitado y, por tanto, el número disponible de membranas es también limitado.

Figura 1.9

En el caso de las vibraciones transversales de las membranas circulares

sobretonos no son armónicos del fundamental [2].

Ecuación de Ondas de Membranas Circulares

r la ecuación de ondas de las vibraciones transversales de una membrana

utilizar un sistema de coordenadas espaciales, en el que la forma


hemos visto, el uso de coordenadas cartesianas permiten el estudio de una membra




Figura 1.10. Membrana circular.

11

membranas circulares, los

de una membrana

utilizar un sistema de coordenadas espaciales, en el que la forma


hemos visto, el uso de coordenadas cartesianas permiten el estudio de una membrana




12

La ecuación de las vibraciones transversales de una membrana circular (figura 1.10)

en coordenadas polares es de la forma [3]:

∂2y

∂t2

= c2 �∂2y

∂r2+

1

r ∂y

∂r

(1.2)

1.2.2.1. Vibraciones Libres Simétricas

Como en el caso de las vibraciones transversales de una barra la solución de la

ecuación (1.2) se puede obtener con facilidad mediante el método de variables

separadas, o sea suponiendo que el desplazamiento se puede expresar como el

producto de un término que depende de la variable tiempo y de otro que depende de la

variable espacio. Además, para vibraciones armónicas podemos suponer que:

y= φ�ejωt

(1.3)

Donde φ�= φ�(r) es sólo función de r y no del tiempo t. Si sustituimos la ecuación (1.3)

en la (1.2) reducimos esta última a:

d2φ�

dt2

+ 1

r

dφ�dr

+ k2φ = 0

(1.4)

Donde:

k2=

ω2

c2=

ρS ω2

T

(1.5)

13

De acuerdo con esto, la solución de la ecuación (1.4) es:

φ�= a0 1- (kr)

2

22

+ (kr)

4

22·4

2 ‐ (kr)

6

22·4

2·6

2+ …�

(1.6)

La serie incluida en esta ecuación es la llamada función de Bessel (ver apéndices A3 y

A4) de primera clase y orden cero, que se escribe generalmente como J0 (kr). La

función:

φ�= A� J0(Kr)

(1.7)

no es la solución completa de la ecuación (1.4), puesto que la solución de la ecuación

diferencial de segundo orden debe contener dos constantes arbitrarias, podemos

demostrar que hay otra solución φ�= B� N0(Kr), donde N0(Kr) es una función de Bessel

de segunda clase y orden cero. Sin embargo, N0(Kr) tiende a infinito para r=0 y no

satisface la condición de pequeños desplazamientos a menos que B� = 0.

1.2.2.2. Condiciones Frontera

La condición frontera considerando el borde de una membrana circular es y = 0 para

r = a, lo que implica que J0(Ka) = 0 y por tanto:

k a=2.405; 5.520; 8.654; 11.792;…

(1.8)

La frecuencia fundamental será:

f1= ω1

2π=

k1 c2π

= 2,405

2π a c = 2,405

2π a � TρS

(1.9)

Las razones de los sobretonos de la frecuencia fundamental son:

f2= 5,520

2,405 f1= 2.295

(1.10)

14

f3= 3.598 f1

f4= 4.90 f1

(1.11)

Como en el caso de las vibraciones transversales de una barra, los sobretonos no son

armónicos del fundamental.

Tomando la parte real de y1

= A�J0(k1r)ejω1t, obtenemos la expresión general para el

desplazamiento de la membrana cuando vibra en su modo fundamental:

y1

= A1 cos(ω1t + α1) J0 �2.405 r

a�

(1.12)

Donde A1 es la amplitud de desplazamiento en el centro de la membrana y k1 se

sustituye por 2,405/a. La solución completa es:

y = � An cos(ωnt + αn) J0(knr)

∞

1

(1.13)

Para todos los modos de vibración diferentes de los del fundamental los círculos

nodales interiores se presentarán para aquellas distancias radiales para las que J0(knr)

se anula, por ejemplo, para el primer sobretono; la función J0 es cero para:

k2r = 5.520

ar = 2.405

o

r = 0.436 a

Si nos fijamos en la función J0(X), vemos que el desplazamiento de los segmentos de

la membrana inmediatamente interior y exterior de un círculo nodal están siempre en

oposición de fase. Cuando la parte central se desplaza hacia arriba la parte adyacente

se desplaza hacia abajo, y al contrario. Por tanto, una membrana vibrante para

15

diferentes frecuencias de su fundamental produce pequeños desplazamientos del aire

que la rodea. Por esta razón la membrana vibrante de un timbal tiene una baja eficacia

de producción sonora para sus frecuencias sobretonos.

El valor medio de la amplitud de desplazamientos de la superficie de la membrana

proporciona un parámetro para juzgar la eficacia de producción sonora para cada

modo particular de vibración. Puede definirse como:

φ��n=

� φn

�r� dS

π a2

(1.14)

Puesto que todas las partes de un elemento de superficie en forma de anillo,

comprendido entre r y r + dr, tienen la misma amplitud de desplazamiento φn se puede

calcular la integral superficial, donde r varía desde 0 hasta a, entonces:

φ��= � An J0(knr) 2π r dr

a

0

π a2

y de acuerdo con los cálculos, tendremos:

φ��n=

2An

knaJ1(kna)

(1.15)

Como ejemplo, vamos a determinar el valor de φ��1 para el modo de vibración

fundamental:

φ��1=

2A1

k1aJ1(k1a) =

2A1

2,405J1(2.405) = 0.432 A1

Por consiguiente, un pistón plano rígido de radio a y amplitud de desplazamiento 0.432

A1 desplazará el mismo volumen de aire que una membrana cuando vibra en su

frecuencia fundamental. De forma análoga se puede demostrar que φ�� = -0.123, donde el signo negativo indica que el valor medio de la amplitud de

desplazamiento se opone directamente al desplazamiento en el centro. Estos ejemplos

demuestran que cuando las amplitudes de desplazamiento en el centro son iguales

16

(A1 � A2) el modo fundamental de vibración es tres veces más efectivo para desplazar

aire que el primer sobretono.

En muchos problemas encontrados en el estudio de fuentes de ondas sonoras las

características de las ondas encontradas dependen de la cantidad de aire desplazado.

La fuente radiante puede sustituirse entonces por un pistón simple equivalente, de tal

forma que el producto de su área Seq, y la amplitud de desplazamiento ξeq, es igual a

la amplitud de desplazamiento del volumen de la verdadera fuente. La amplitud de

desplazamiento del volumen de un pistón simple, que es equivalente a la membrana

anterior, es:

Seq ξeq

=0.432 A1 π a2

Las membranas reales no vibran con modos que tengan amplitudes constantes An

como las dadas por la ecuación (1.13). El efecto de las fuerzas de amortiguamiento así

como los que resultan dentro de la membrana de las de rozamiento internas, junto con

las fuerzas externas asociadas con la radiación de energía en la forma de ondas

sonoras, hace que la amplitud de cada modo disminuya exponencialmente ��. Esta

disminución puede encontrarse de forma análoga al caso del oscilador simple. En

general, la constante de amortiguamiento αn aumenta con la frecuencia, por lo que

para altas frecuencias se amortiguan más rápidamente que el fundamental [3].

1.2.2.3. Vibraciones Forzadas

Consideremos ahora que actúa sobre la membrana circular una fuerza sinusoidal. Si

suponemos que la membrana es del tipo ideal y que la presión ejercida por la fuerza

conductora está distribuida uniformemente sólo sobre una cara. Considerando que

p= p0cosωtp, es la presión, la ecuación de movimiento será:

∂2y

∂t2

= c2 �∂2y

∂r2+

1

r ∂y

∂r +

p0ρS

ejωt

(1.16)

17

La solución de la ecuación (1.16) será:

y = p

0

k2T

�J0(ka)- J0(ka)

J0(ka)� ejωt= y

0ejωt

(1.17)

Donde y0 es la amplitud desplazamiento.

Observando esta ecuación vemos que la amplitud de desplazamiento es directamente

proporcional a la fuerza excitadora e inversamente proporcional a la tensión T. La

dependencia de la amplitud de vibración para una coordenada de posición con la

frecuencia, está dada por una expresión relativamente complicada. Siempre que la

frecuencia impulsara ω corresponda a una de las frecuencias de la oscilación libre de

la ecuación (1.9), la función J0(ka) � 0, por lo que la amplitud indicada tiene un valor

infinito. Sin embargo, en casos prácticos existen fuerzas de amortiguamiento que se

representarán en la ecuación (1.16), por un término del tipo - R ρS

⁄ "�∂y ∂t⁄ �, el cual

limita las amplitudes de estas frecuencias para valores máximos finitos. La aplicación

práctica más importante de la membrana excitada es el diafragma circular de un

micrófono de condensador.

El desplazamiento medio de la membrana excitada es:

y=

ejωt � � p0

k2 T

� #J0(kr)J0(ka)

- 1$ 2π r dra

0

π a2= � p

0

k2 T

� J0(kr)

J0(ka)ejωt

(1.18)

Para bajas frecuencias, tales que ka mucho menor que la unidad:

J0(ka) ≈ 1 – (ka)

2

4

J2(ka) ≈ (ka)

2

8 1 –

(ka)2

12�

18

Dando:

J2(ka)

J0(ka)≈

(ka)2

8 1 +

(ka)2

6�

Si sustituimos esta expresión en la ecuación (1.17), para el desplazamiento medio a

bajas frecuencias, obtenemos:

y ≈ p0a2

8T 1 +

(ka)2

6� ejωt

(1.19)

Por tanto, a medida que la frecuencia excitadora es suficientemente baja tal que ka es

menor que la unidad, la respuesta de un micrófono de condensador es

aproximadamente independiente de la frecuencia. En este rango de frecuencias no

existen dificultades de resonancia con el primer resultado cuando ka=2,405.

Sustituyendo k por:

k= 2π f

c=

2π f%T ρS⁄

y suponiendo que la frecuencia límite de la respuesta uniforme de un micrófono de

condensador ideal está dado por ka < 1, entonces:

f< 1

2π a � TρS

(1.20)

Esta frecuencia límite superior puede aumentarse, incrementando la tensión T o

disminuyendo el radio a.

Si la fuerza de amortiguamiento se introduce en la ecuación (1.17), la solución

resultante para el desplazamiento y tiene una forma idéntica a la de la ecuación (1.17).

Sin embargo, en este caso k ≠ ω c⁄ , esta dado por:

19

k2=

ρS ω2- jω R

T

(1.21)

Puede demostrarse que la presencia del término - jω R T⁄ en esta expresión, reduce el

desplazamiento medio en la resonancia a un valor finito [3].

1.2.2.4. Vibraciones Libres Asimétricas

Cuando la membrana de un tambor entra en vibración al ser golpeada en su centro la

vibración resultante es una superposición de los diferentes modos simétricos dados

por la ecuación (1.13). Por otra parte, cuando se le golpea fuera del centro, se excitan

modos de vibración-asimétricos en los que y = y (r,θ,t). La ecuación, que representa

una forma general de la ecuación de ondas bidimensional, puede escribirse de la

forma:

∂2y

∂t2

= c2 �∂2y

∂r2+

1

r ∂y

∂r+

1

r2 ∂

2y

∂θ2

(1.22)

La solución de la ecuación (1.22) es de la forma:

y = A Jm�kr� cosm�θ- α� cos(ωt+ β)

(1.23)

El ángulo de la fase α: es una de las constantes arbitrarias de la solución. Para cada

valor de m determinamos las direcciones de θ para las que aparecen dos líneas

nodales radiales de desplazamiento cero y vuelve a depender del ángulo para el cual

la membrana era excitada inicialmente.

En la figura 1.11 vemos un número de modos simples de vibración que corresponden

a la ecuación (1.23) con α = 0. Para designar estos modos de vibración libre el número

entero m determina el número de las líneas nodales radiales. Puede

la frontera de la membrana donde r = a.

Para cada valor entero de m existen una serie de modos radiales de vibración cuya

frecuencia aumenta. Cuando

simétrico, por la ecuación (1.9) y (1.

Para m = 1 la serie de las frecuencias se determina por

J2(ka) � 0,... En la tabla 1.

relación a la frecuencia fundamental

ninguno de los sobretonos son armónicos del fundamental

Figura 1.11

Frecuenciaf01 = 1.0

f02 = 2.295

f03 = 3.598

La ecuación para obtener la frecuencia de vibración

ina el número de las líneas nodales radiales. Puede representa

la frontera de la membrana donde r = a.


frecuencia aumenta. Cuando m = 0, las frecuencias son las dadas para el caso

uación (1.9) y (1.10), que corresponden a la condición

a serie de las frecuencias se determina por J1(ka) � 0; para

1.1 vemos algunas de estas frecuencias fmn, expresadas con

n a la frecuencia fundamental f01 dada por la ecuación (1.9), debemos notar que

ninguno de los sobretonos son armónicos del fundamental [3].

1.11. Modos de vibración de una membrana circular.

Tabla 1.1 Frecuencias Relativas de una Membrana Circular

0 f11 = 1.593 f01 f21 = 2.135 f01 295 f01 f12 = 2.917 f01 f22 = 3.500 f01 598 f01 f13 = 4.230 f01 f23 = 4.832 f01

La ecuación para obtener la frecuencia de vibración está dada por:

fmn= c

2π a (ka)mn

20

representar sólo


, las frecuencias son las dadas para el caso

), que corresponden a la condición J0(ka) � 0.

; para m = 2 por

, expresadas con

), debemos notar que

(1.24)

21

1.3. Propiedades Físicas de los Materiales de Construcción de Instrumentos de

Percusión

1.3.1. Densidad o Masa Específica de los Materiales

Se define como el cociente que resulta de dividir la masa de una sustancia dada entre

el volumen que ocupa. Por tanto la expresión matemática para la densidad es [4]:

ρ= m

V

Donde:

ρ Densidad (g cm3)⁄

m Masa [g]

V Volumen (cm3)

1.3.2. Tensión

Indica la relación entre una fuerza aplicada y el área sobre la cual actúa. En cualquier

caso en que exista tensión, una fuerza actuará en forma perpendicular sobre una

superficie. Matemáticamente la tensión se puede expresar por la segunda ley de

Newton, de manera que se puede obtener la relación de la siguiente manera [4]:

T = m · a

Donde:

T Tensión [dina]

m Masa [g]

a Aceleración [ cm s2⁄ ]

22

1.3.3. Resonancia

Es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo es capaz de vibrar cuando es

sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con

el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En estas circunstancias el

cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada

una de las actuaciones sucesivas de la fuerza [2].

1.3.3.1. El Resonador Helmholtz

El absorbente Helmholtz o resonador de Helmholtz es un tipo de absorbente acústico

creado artificialmente para eliminar (absorber) un estrecho margen de frecuencias.

Los resonadores de Helmholtz se basan en el artefacto acústico conocido como

cavidad de Helmholtz; consisten en una cavidad con un orificio en el extremo de un

cuello (como una botella) en cuyo interior el aire se comporta como una masa

resonante. La frecuencia de resonancia (es decir, en torno a la cual se produce la

absorción). La fórmula para obtener la frecuencia de resonancia es la siguiente:

f = c

2π * a

l ' · V

Donde:

f Frecuencia de resonancia [Hz]

c Velocidad del sonido en el aire (cm s)⁄

r Radio del cuello (supuesto circular) [cm]

a Área del cuello [cm2]

l Longitud del cuello [cm]

23

l′ Longitud efectiva del cuello, según:

• l ′ = l + 1.7r (si el borde del cuello está angular)

• l ′ = l + 1.4r (si el borde del cuello es rectangular)

V Volumen (cm3)

24

CAPÍTULO 2

DISEÑO DEL BONGÓ

2.1. Componentes para la Elaboración del Material a Emplear en la Construcción de la

Caja del Bongó

2.1.1. Aserrín

Partículas minúsculas de madera producidas durante el proceso y manejo de la

madera. Estas partículas no tienen que ser estrictamente de una sola clase de

madera.

2.1.2. Resina Cristal (Resina Poliéster)

Este componente es una resina termofija que se caracteriza por tener cadenas

poliméricas entrecruzadas, formando una resina con una estructura tridimensional que

no se funde. Polimerizan irreversiblemente bajo calor o presión formando una masa

rígida y dura. La resina poliéster se hace principalmente a partir de los anhídridos

maleico y ftálico con propilenglicol y uniones cruzadas con estireno. El uso de estas

resinas con refuerzo de fibra de vidrio ha reemplazado a materiales como los

termoplásticos de alta resistencia, madera, acero al carbón, vidrio y acrílico, lámina,

cemento, yeso, etc.

2.1.2.1. Características de la Resina

• La reactividad media proporciona un mayor control sobre su curado.

• Bajo porcentaje de contracción lo que permite evitar estrelladuras a espesores

altos.

• Transparencia y brillo en el producto terminado.

• Preacelerada (Uso necesario de un catalizador).

2.1.2.2. Ventajas de la Resina

• Resina formulada lista para su aplicación (Solo se debe emplear un catalizador).

• Viscosidad adecuada que permite eliminar el aire en el producto terminado.

25

• Permite obtener productos con terminado de gran resistencia al impacto.

2.1.3. Catalizador

Es un peróxido de metil etil cetona diluido en metil ftalato. El catalizador es utilizado

para el curado a temperatura ambiente de resinas poliéster insaturadas y gel coat`s,

los cuales deben llevar integrado un sistema de aceleración a base de sales de

cobalto.

Nota: Las especificaciones de los productos empleados (Resina y Catalizador) se

encuentran en los anexos.

2.2. Proporciones de los Componentes del Material a Emplear en la Construcción de

la Caja del Bongó

La proporción óptima de los componentes del material de construcción se obtuvo por

medio de diversas pruebas, en las cuales se examinó la dureza, resistencia y peso.

Se determinó la cantidad por cada centímetro cúbico a emplear en un volumen

determinado.

La proporción en gramos de los componentes a emplear en el material de construcción

por cada centímetro cúbico se muestra en la tabla 2.1.

Tabla 2.1

Volumen [cm³]

Resina Poliéster

[g]

Catalizador [g]

Aserrín [g]

1 0.6589 0.0131 0.1647

Para manejar las proporciones descritas en cualquier volumen requerido se elaboraron

las siguientes fórmulas:

1. KR= 0.6589 · V = (g)

2. KC= 0.0131 · V = (g)

3. KA= 0.1647 · V = (g)

26

Donde:

KR Cantidad de resina poliéster [g]

KC Cantidad de catalizador [g]

KA Cantidad de aserrín [g]

V Volumen del objeto a producir [cm³]

2.2.1. Empleo de Fórmulas

Ejemplo. ¿Qué cantidad de componentes (resina poliéster, catalizador y aserrín) se

debe emplear para elaborar el material de construcción para producir un

objeto de 100 cm³ de volumen?

KR= 0.6589 ·100 = 65.89 (g) Cantidad de resina poliéster

KC= 0.0131 · 100 = 1.310 (g) Cantidad de catalizador

KA= 0.1647 · 100 = 15.74 (g) Cantidad de aserrín

2.3. Preparación del Material de Construcción

1. Se obtienen las proporciones de los componentes mediante las fórmulas descritas.

2. Se mezclan los componentes hasta obtener una pasta uniforme.

3. Se vierte la mezcla en la superficie donde se requiera (molde, envase, etc.).

2.4. Endurecimiento del Material e Construcción

Una vez elaborada la mezcla se puede dejar endurecer a temperatura ambiente, el

tiempo que tarda este proceso puede variar según la temperatura, cuanto mayor sea

ésta, menor será el tiempo requerido para su reactividad. La temperatura óptima

según las especificaciones de la resina empleada es de 25° C con un tiempo de

espera de 22 minutos para el endurecimiento total de la mezcla.

2.5. Estructura del Material d

Las partículas minúsculas de la madera al mezclarse con la resina poliéster forman

pequeñas capas que se enciman, entrelazan y encapsulan creando una estructura

sólida y resistente, esta descripc

Figura 2.1. Acercamiento de un segmento del material de construcción

Figura 2.2. Estructura que se forma al unir la resina poliéster con el aserrín

rial de Construcción



sólida y resistente, esta descripción se muestran en las figuras 2.1 y 2.2

Acercamiento de un segmento del material de construcción

Estructura que se forma al unir la resina poliéster con el aserrín

27



.2

Acercamiento de un segmento del material de construcción.

Estructura que se forma al unir la resina poliéster con el aserrín.

2.6. Elaboración del Bongó

La estructura de la caja del

convencional de madera, esto se efectuó

del material de construcción

2.6.1. Elaboración del Molde del

Método:

1. Se obtiene la estructura base (caja del bongó convencional de madera)

2. Se limpia la estructura de impurezas (polvo, grasa, etc.).

3. Se adquiere un armazón cilíndrico

mayor a la estructura base.

4. Untar con lubricante (aceite,

5. Una vez lubricada la estructura base se coloca en el interior del armazón cilíndrico

(figura 2.3).

6. Se vierte yeso (forma líquida

contiene la estructura base

Figura 2.3. Ejemplificación del método de elaboración del molde

7. Se deja secar el yeso el tiempo necesario hasta que endurezca en su totalidad.

8. Se saca el yeso del armazón cilíndrico.

9. Se desprende la estructura base del yeso

10. Se obtiene dos estructuras

a) Interna: Proporciona

b) Externa: Proporciona

Bongó Prototipo

La estructura de la caja del bongó prototipo, fue obtenida de un modelo base existente

encional de madera, esto se efectuó con la finalidad de comparar

construcción con la estructura de madera base.

ión del Molde del Bongó Prototipo

estructura base (caja del bongó convencional de madera)

de impurezas (polvo, grasa, etc.).

un armazón cilíndrico hueco (cubeta, tambo, etc.) de tal modo que sea

mayor a la estructura base.

Untar con lubricante (aceite, vaselina, etc.) toda la superficie de la estructura base.

la estructura base se coloca en el interior del armazón cilíndrico

Se vierte yeso (forma líquida sin endurecer) dentro del armazón cilíndrico que

ura base.

Ejemplificación del método de elaboración del molde

Se deja secar el yeso el tiempo necesario hasta que endurezca en su totalidad.

Se saca el yeso del armazón cilíndrico.

Se desprende la estructura base del yeso.

Se obtiene dos estructuras (figura 2.4):

Proporciona el hueco de la caja del bongó.

Proporciona la estructura cilíndrica de la caja del bongó.

28

de un modelo base existente

comparar la estructura

estructura base (caja del bongó convencional de madera)

(cubeta, tambo, etc.) de tal modo que sea

toda la superficie de la estructura base.

la estructura base se coloca en el interior del armazón cilíndrico

armazón cilíndrico que

Ejemplificación del método de elaboración del molde.

Se deja secar el yeso el tiempo necesario hasta que endurezca en su totalidad.

la estructura cilíndrica de la caja del bongó.

Figura 2.4.

2.7. Elaboración de la Caja del Bongó

Poliéster y Aserrín

1. Se obtuvo el volumen de la estructura base de la caja del bongo convencional de

madera mediante la fórmula geométrica del cono truncado

Figura 2.5. El volumen real de la estructura se obtiene al hacer la diferencia entre el volumen

VTotal

Figura 2.4. Estructura del mole de yeso.

Elaboración de la Caja del Bongó Prototipo con el Material a Base de Resina


madera mediante la fórmula geométrica del cono truncado (figura 2.5

V= π

3h r2 + r1

2 +r r1"

real de la estructura se obtiene al hacer la diferencia entre el volumen externo e interno.

Total � VExterno . VInterno � 1319 (cm3)

29

con el Material a Base de Resina


(figura 2.5).

real de la estructura se obtiene al hacer la diferencia entre el volumen

2. Una vez obtenido el volumen real de la estructura de la base

emplearon las fórmulas del tema 2.

de los materiales a emplear en el material de construcción.

V � 1319 (cm3)

KR= 0.6589 ·1319 = 869.08

KC= 0.0131· 1319 = 17.27 (KA= 0.1647 · 1319 = 217.23

3. Se mezclaron los materiales hasta obtener una pasta de consistencia suave.

4. Se vertió la mezcla en el molde, este se lubricó para evitar que se adhiriera a

mezcla al momento de

5. Se le dio tiempo de endurecer a

se observaron en el tema 2.4 del capítulo 2.

6. Ya dura la mezcla se retiro del

prototipo con el nuevo material propuesto (figura 2.7

Una vez obtenido el volumen real de la estructura de la base de la caja del bongó se

las fórmulas del tema 2.2 del capítulo 2 para determinar las proporciones

de los materiales a emplear en el material de construcción.

Volumen real de la estructura

08 (g) Cantidad de resina poliéster

(g) Cantidad de catalizador

23 (g) Cantidad de aserrín

los materiales hasta obtener una pasta de consistencia suave.

cla en el molde, este se lubricó para evitar que se adhiriera a

momento de secarse (figura 2.6).

Figura 2.6. Vaciado.

le dio tiempo de endurecer a la mezcla según las especificaciones de curado que

en el tema 2.4 del capítulo 2.

la mezcla se retiro del molde, obteniendo así la estructura del bongó

material propuesto (figura 2.7).

30

de la caja del bongó se

2 del capítulo 2 para determinar las proporciones

los materiales hasta obtener una pasta de consistencia suave.

cla en el molde, este se lubricó para evitar que se adhiriera a la

n las especificaciones de curado que

structura del bongó

Figura 2.7.

2.8. Ensamblado de la Caja del Bongó

1. Como se mencionó anteriormente, este prototipo fue

convencional de madera

correspondiente a la viabilidad del proyecto

mecánicos de este bongó

herrajes (con excepción a los te

tensores de doble gancho con rosca central).

Figura 2.8. Elementos mecánicos

Figura 2.7. Prototipo de la caja del bongó.

Ensamblado de la Caja del Bongó Prototipo con los Elementos Mecánicos

1. Como se mencionó anteriormente, este prototipo fue elaborado a base de

convencional de madera existente, por ello, para agilizar el proceso de análisis

a la viabilidad del proyecto, se tomaron prestados los elementos

este bongó (figura 2.8) como es: el parche (membrana de piel)

excepción a los tensores de un solo gancho, estos se cambiaron

tensores de doble gancho con rosca central).

Elementos mecánicos del bongó convencional de madera

31

con los Elementos Mecánicos

elaborado a base de un bongó

existente, por ello, para agilizar el proceso de análisis

prestados los elementos

(membrana de piel) y los

, estos se cambiaron por

convencional de madera.

El proceso de ensamble de la caja del bongó prototipo con los elementos mecánicos

se muestra en la figura 2.9


se muestra en la figura 2.9.

Figura 2.9

32


33

2.9. Densidad del Material de Construcción

ρp Densidad del bongó prototipo (g cm3)⁄

ρc Densidad del bongó convencional (g cm3)⁄

mp Masa del bongó prototipo (g) mc Masa del bongó convencional (g) Vp Volumen del bongó prototipo (cm

3) Vc Volumen del bongó convencional (cm

3)

Determinando ρp y ρ

c

ρp =

mp

Vp =

1400

1177 = 1.189 (g cm3)⁄

ρc � mc

Vc � 675

1319 = 0.511 (g cm3)⁄

Por lo tanto ρp

0 ρc

20.10. Tensión Aplicada a la Membrana de los Bongós

Para determinar la tensión a la que está sometida la membrana de los bongós se

utilizó la ecuación (1.9) del capítulo 1. Una vez despejada la variable correspondiente

a la tensión se sustituyeron los valores de los datos que se poseen como la frecuencia

fundamental del sonido emitido al estimular la membrana de los bongós, la masa de la

membrana y el radio de la misma. La solución a esta interrogante está dada por la

siguiente forma:

f01= 2,405

2πa� T

ρS

= 2,405

2πa�T · A

m

34

T = 4π f01

2 m

2.4052

Los valores de los datos que se poseen son:

m = 0.025 [g]

f01 = 258 [Hz] Bongó convencional con caja de madera

f01 = 279 [Hz] Bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

Sustituyendo para f01 = 258 [Hz]

T = 4π f01

2 m

2.4052

= 4π ·258

2·0.025

2.4052

= 3615.423 (N) = 361.542M [dina]

Sustituyendo para f01 = 279 [Hz]

T = 4π f01

2 m

2.4052

= 4π ·279

2·0.025

2.4052

= 4227.933 (N) = 422.793M [dina]

Nota. La tensión en la membrana de los bongós fue obtenida de esta manera, debido a la complejidad para obtener este parámetro en los 4 tensores de este instrumento musical.

35

CAPÍTULO 3

EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

3.1. Técnica de Evaluación

Basada en la técnica de análisis de características acústicas de materiales para la

construcción de wadaicos (tambor tradicional japonés) elaborada por la facultad de

ingeniería de la universidad de Gifu en Japón, se realizó el siguiente estudio que

consta de la evaluación y comparación de las características de los sonidos emitidos

por un bongó con caja de polímero termofijo con aserrín ante un bongó con caja de

madera, esta evaluación se logro por medio de la forma de onda del sonido emitido, el

análisis espectral de frecuencias y de los modos de vibración de membranas

circulares.

3.2. Método de Evaluación

Para evaluar la calidad sonora del prototipo de bongó elaborado con caja de polímero

temofijo con aserrín, se realizaron una serie de mediciones comparativas con un

bongó convencional con caja de madera, esto se realizó con la finalidad de obtener las

características de los sonidos emitidos de cada bongó y así definir si el material

propuesto en el proyecto es viable para la construcción de este tipo de instrumento de

percusión. Las cajas de los bongós fueron analizadas con los mismos herrajes y

parche (membrana de piel) a modo de obtener las cualidades sonoras de cada

material sin que intervengan los elementos mecánicos mencionados (figura 2.8). Para

evaluar cada punto de impacto se realizaron los siguientes análisis y mediciones:

• Forma de onda. La forma de onda se empleo para determinar las características

que presenta cada caja con el sonido producido por la estimulación

de la membrana.

• Espectro de Frecuencia. En el espectro de frecuencia se muestran los

componentes de frecuencia involucrados en el sonido emitido en

cada punto de impacto.

• Modo de Vibración. El análisis por modo de vibración se empleó para comprobar el

porcentaje de realización de los modos de vibración de las

membranas circulares implicados en cada punto de impacto.

• Comparativo de Espectros de Frecuencia. En esta evaluación se confrontaron los

espectros de frecuenci

determinar la complejidad de los sonidos de los puntos de impacto.

3.3. Proceso de Medición

Las membranas de los bongós fueron estimuladas con el golpe de una baqueta en

diferentes puntos de impacto que se dividieron en 4 cuadrantes y un área central. Los

sonidos emitidos por los bongós fueron capturados a través de un mi

condensador electret colocado

(figura 3.1), las señales captadas fueron registradas y analizadas mediante un

software (real-time) que consta de un analizador de

Fourier) para obtener las funciones de transferencia

La función de ventana empleada

Las longitudes de los datos fue

[Hz].

A continuación se presentan solo los dat

análisis realizados en los sonidos emitidos por el bongó con caja de polímero termofijo

con aserrín y por el bongó con caja de madera. La evaluación corre

proyecto se mostrará al término de los resultados expuestos.

Comparativo de Espectros de Frecuencia. En esta evaluación se confrontaron los

espectros de frecuencia de ambos bongós para




sonidos emitidos por los bongós fueron capturados a través de un mi

colocado a 1 [cm] de distancia de la membrana estimulada

, las señales captadas fueron registradas y analizadas mediante un

que consta de un analizador de FFT (transformada rápida de

funciones de transferencia correspondientes de las señales

empleada fue de forma rectangular con un muestreo

ongitudes de los datos fueron de 10 [ms] para el rango de frecuencia de 50 a 1.4

Figura 3.1. Proceso de medición.

A continuación se presentan solo los datos obtenidos de las mediciones

en los sonidos emitidos por el bongó con caja de polímero termofijo

con aserrín y por el bongó con caja de madera. La evaluación corre

proyecto se mostrará al término de los resultados expuestos.

36

Comparativo de Espectros de Frecuencia. En esta evaluación se confrontaron los

para comparar y




sonidos emitidos por los bongós fueron capturados a través de un micrófono de

de la membrana estimulada

, las señales captadas fueron registradas y analizadas mediante un

FFT (transformada rápida de

correspondientes de las señales.

fue de forma rectangular con un muestreo de 16384.

para el rango de frecuencia de 50 a 1.4k

os obtenidos de las mediciones y de los

en los sonidos emitidos por el bongó con caja de polímero termofijo

con aserrín y por el bongó con caja de madera. La evaluación correspondiente al

3.3.1. Mediciones y Análisis por Puntos de Impacto

Las frecuencias fundamentales

fueron:

• f01 = 258 [Hz] Bongó convencional

• f01 = 279 [Hz] Bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

3.3.2. Primer Cuadrante

Las siguientes mediciones yestimulación del primer punto de impacto al que se(figura 3.2). En la figura 3.3 se muestran lasproducido en el primer cuadrante en cada bongó.

P Forma de onda del sonido del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín.

C Forma de onda del bongó convencional con caja de madera.

y Análisis por Puntos de Impacto

Las frecuencias fundamentales f01 obtenidas de los bongós por medio del analizador

Bongó convencional con caja de madera

prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

s mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por laprimer punto de impacto al que se le denominó primer cuadrante

En la figura 3.3 se muestran las formas de onda obtenidas dcuadrante en cada bongó.

Figura 3.2. Cuadrante de evaluación.

Figura 3.3. Formas de onda.

Forma de onda del sonido del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín.

Forma de onda del bongó convencional con caja de madera.

37

obtenidas de los bongós por medio del analizador

prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

al sonido emitido por la primer cuadrante

formas de onda obtenidas del sonido


Simbología utilizada en las formas de onda:

Indicadores de segmentolas formas de onda obtenidas de los sonidos de los puntos de impacto de cada bongó (prototipo y convencional)

Características de las ondas

Bongó Ataque

Convencional Prototipo

Espectro de frecuencia obtenido

bongó (figuras 3.4.1-2).

Figura 3.4.1. Espectro de frecuencia

Simbología utilizada en las formas de onda:

segmento de onda para visualizar diferencias existentes entre las formas de onda obtenidas de los sonidos de los puntos de impacto de

(prototipo y convencional).

ndas obtenidas (tabla 3.1).

Tabla 3.1

Tiempo [ms] Ataque Decaimiento Sostenimiento Relajamiento

2.9 10 12

7.9 7.9 4.1

obtenido del sonido producido en el primer cua

Espectro de frecuencia del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín.

38

onda para visualizar diferencias existentes entre las formas de onda obtenidas de los sonidos de los puntos de impacto de

Relajamiento 107.9 112

del sonido producido en el primer cuadrante en cada

bongó prototipo con caja de polímero termofijo con

Figura 3.4.2. Espectro de frecuencia del bongó convencional con caja de madera

En la figura 3.5 se confronta

los bongos. En la tabla 3.2

espectro de frecuencia de cada bongó

Figura 3.5.

P Espectro de frecuencia del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

C Espectro

Espectro de frecuencia del bongó convencional con caja de madera

se confrontan los espectros de frecuencia de los sonido

3.2 se registraron los picos que están más definidos en el

cada bongó.

Figura 3.5. Comparativo de espectros de frecuencia.

Espectro de frecuencia del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín

Espectro de frecuencia del bongó convencional con caja de madera.

39


los espectros de frecuencia de los sonidos emitidos de

más definidos en el


40

Simbología utilizada en el comparativo de los espectros de frecuencia: Indicadores de picos definidos en los espectros de frecuencia

Tabla 3.2 Picos Definidos Generados en el Espectro de

Frecuencia Bongó f[Hz]

Convencional 258 511 605

Prototipo 279 573 643

41

En la tabla 3.3 se muestra el porcentaje que relaciona la definición de los modos de vibración de membranas circulares.

Tabla 3.3 Bongó Modo (m,n) ( fmn / f01) id f[Hz] ob ( fmn / f01) ob % aprox

Convencional

(0,1) 1.000 258 1.000 100.000

(0,2) 2.295 605 2.345 102.177

(0,3) 3.598 917 3.554 98.784

(1,1) 1.593 414 1.605 100.731

(1,2) 2.917 767 2.973 101.915

(1,3) 4.230 1057 4.097 96.853

(2,1) 2.135 557 2.159 101.120

(2,2) 3.500 920 3.566 101.883

(2,3) 4.832 1254 4.860 100.589

Prototipo

(0,1) 1.000 279 1.000 100.000

(0,2) 2.295 643 2.305 100.421

(0,3) 3.598 995 3.566 99.119

(1,1) 1.593 430 1.541 96.749

(1,2) 2.917 796 2.853 97.808

(1,3) 4.230 1205 4.319 102.104

(2,1) 2.135 581 2.082 97.538

(2,2) 3.500 925 3.315 94.726

(2,3) 4.832 1378 4.939 102.216 ( fmn / f01) id Frecuencia relativa ideal de una membrana circular expresada con

relación a la frecuencia fundamental f01.

( fmn / f01) ob Frecuencia relativa obtenida de la membrana empleada en cada bongó

expresada con relación a la frecuencia fundamental f01.

% aprox Porcentaje de aproximación a la frecuencia relativa ideal de la membrana

empleada en cada bongó expresada con relación a la frecuencia

fundamental f01. El porcentaje mostrado representa que tanto se logra

realizar el modo de vibración.

3.3.3 Segundo Cuadrante

Las siguientes mediciones y análisis corresponden estimulación del segundo punto de impacto al que se le denominó segundo cuadrante (figura 3.6). En la figura 3.7 se muestran lasproducido en el segundo cuadrante en cada bongó.



Características de las ondas obtenidas (tabla

Bongó Ataque


Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la segundo punto de impacto al que se le denominó segundo cuadrante

En la figura 3.7 se muestran las formas de onda obtenidas del sonido producido en el segundo cuadrante en cada bongó.





Características de las ondas obtenidas (tabla 3.4).

Tabla 3.4


8.3 9.5 16.6

7.5 11.6 7.9

42

al sonido emitido por la segundo punto de impacto al que se le denominó segundo cuadrante



Relajamiento 112.5 115.8

Espectro de frecuencia obtenido dcada bongó (figuras 3.8.1-2)



Espectro de frecuencia obtenido del sonido producido en el segundo2).



43

el sonido producido en el segundo cuadrante en



44

En la figura 3.9 se confrontan los espectros de frecuencia de los sonidos emitidos de

los bongos. En la tabla 3.5 se registraron los picos que están más definidos en el

espectro de frecuencia de cada bongó.

Figura 3.9. Comparativo de espectros de frecuencia

P Espectro de frecuencia del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín.

C Espectro de frecuencia del bongó convencional con caja de madera.





45

En la tabla 3.6 se muestra el porcentaje que relaciona la definición de los modos de

vibración de membranas circulares.

Tabla 3.6

Bongó Modo (m,n) ( fmn / f01) id f[Hz] ob ( fmn / f01) ob % aprox

Convencional

(0,1) 1.000 258 1.000 100.000

(0,2) 2.295 586 2.271 98.968

(0,3) 3.598 931 3.609 100.293

(1,1) 1.593 414 1.605 100.731

(1,2) 2.917 767 2.973 101.915

(1,3) 4.230 1119 4.337 102.534

(2,1) 2.135 567 2.198 102.936

(2,2) 3.500 986 3.822 109.192

(2,3) 4.832 1251 4.849 100.348

Prototipo

(0,1) 1.000 279 1.000 100.000

(0,2) 2.295 643 2.305 100.421

(0,3) 3.598 1041 3.731 103.702

(1,1) 1.593 430 1.541 96.749

(1,2) 2.917 810 2.903 99.528

(1,3) 4.230 1205 4.319 102.104

(2,1) 2.135 573 2.054 96.195

(2,2) 3.500 944 3.384 96.672









3.3.4. Tercer Cuadrante

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la estimulación del tercer punto de impacto al que se le denominó tercer(figura 3.10). En la figura 3.11 se muestran lasproducido en el tercer cuadrante en cada bongó.

Figura 3.10



Características de las ondas obtenidas (tabla

Bongó Ataque

Convencional Prototipo 11.6

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la tercer punto de impacto al que se le denominó tercer

En la figura 3.11 se muestran las formas de onda obtenidas del sonido producido en el tercer cuadrante en cada bongó.





Características de las ondas obtenidas (tabla 3.7).

Tabla 3.7


3.3 12.9 10

11.6 11.6 8.7

46

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la tercer punto de impacto al que se le denominó tercer cuadrante




Espectro de frecuencia obtenido d




Espectro de frecuencia obtenido del sonido producido en el tercer cuadrante e

frecuencia del bongó prototipo con caja de polímero termofijo con aserrín.


47

cuadrante en cada



48









Convencional

258 605 761 1114

Prototipo

279 643 799 944

49



Tabla 3.9


Convencional

(0,1) 1.000 258 1.000 100.000

(0,2) 2.295 602 2.333 101.670

(0,3) 3.598 925 3.585 99.646

(1,1) 1.593 414 1.605 100.731

(1,2) 2.917 761 2.950 101.118

(1,3) 4.230 1114 4.318 102.076

(2,1) 2.135 578 2.240 104.933

(2,2) 3.500 920 3.566 101.883

(2,3) 4.832 1257 4.872 100.830

Prototipo

(0,1) 1.000 279 1.000 100.000

(0,2) 2.295 640 2.294 99.952

(0,3) 3.598 1004 3.599 100.016

(1,1) 1.593 430 1.541 96.749

(1,2) 2.917 804 2.882 98.791

(1,3) 4.230 1208 4.330 102.358

(2,1) 2.135 578 2.072 97.034

(2,2) 3.500 998 3.577 102.202









3.3.5 Cuarto Cuadrante

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por laestimulación del cuarto punto de impa(figura 3.13). En la figura 3.14 se muestran lasproducido en el cuarto cuadrante en cada bongó.

Figura 3.13



Características de las ondas obtenidas (tabla 3.10

Bongó Ataque

Convencional Prototipo 6.25

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por lapunto de impacto al que se le denominó cuarto cuadrante

En la figura 3.14 se muestran las formas de onda obtenidas del sonido producido en el cuarto cuadrante en cada bongó.





e las ondas obtenidas (tabla 3.10).

Tabla 3.10


2.9 5.4 13.7

6.25 7.9 5

50

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la cto al que se le denominó cuarto cuadrante




Espectro de frecuencia obtenido d




Espectro de frecuencia obtenido del sonido producido en el cuarto cuadrante en cada



51

cuadrante en cada



52











53



Tabla 3.12


Convencional

(0,1) 1.000 258 1.000 100.000

(0,2) 2.295 584 2.264 98.630

(0,3) 3.598 901 3.492 97.061

(1,1) 1.593 414 1.605 100.731

(1,2) 2.917 769 2.981 102.181

(1,3) 4.230 1098 4.256 100.610

(2,1) 2.135 551 2.136 100.031

(2,2) 3.500 901 3.492 99.779

(2,3) 4.832 1262 4.891 101.231

Prototipo

(0,1) 1.000 279 1.000 100.000

(0,2) 2.295 646 2.315 100.889

(0,3) 3.598 993 3.559 98.920

(1,1) 1.593 463 1.659 104.174

(1,2) 2.917 826 2.961 101.494

(1,3) 4.230 1176 4.215 99.647

(2,1) 2.135 573 2.054 96.195

(2,2) 3.500 993 3.559 101.690









3.3.6. Central

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitiestimulación del punto centralEn la figura 3.18 se muestran laspunto central en cada bongó.

Figura 3.17



Características de las ondas obtenidas (tabla 3.13

Bongó Ataque


Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emiticentral de impacto al que se le denominó central (figura 3.17

En la figura 3.18 se muestran las formas de onda obtenidas del sonido producido en elcentral en cada bongó.





e las ondas obtenidas (tabla 3.13).

Tabla 3.13


5.8 4.5 13.3

10 8.3 7.9

54

Las siguientes mediciones y análisis corresponden al sonido emitido por la se le denominó central (figura 3.17).

el sonido producido en el



Espectro de frecuencia obtenido del son




Espectro de frecuencia obtenido del sonido producido en el punto central



55

ido producido en el punto central en cada


del bongó convencional con caja de madera.

56









Convencional

258 605 761 1114

Prototipo

279 643 799

1245

57



Tabla 3.15


Convencional

(0,1) 1.000 258 1.000 100.000

(0,2) 2.295 602 2.333 101.670

(0,3) 3.598 917 3.554 98.784

(1,1) 1.593 417 1.616 101.461

(1,2) 2.917 767 2.973 101.915

(1,3) 4.230 1127 4.368 103.268

(2,1) 2.135 516 2.000 93.677

(2,2) 3.500 917 3.554 101.550

(2,3) 4.832 1259 4.880 100.990

Prototipo

(0,1) 1.000 279 1.000 100.000

(0,2) 2.295 640 2.294 99.952

(0,3) 3.598 1012 3.627 100.813

(1,1) 1.593 430 1.541 96.749

(1,2) 2.917 823 2.950 101.125

(1,3) 4.230 1178 4.222 99.816

(2,1) 2.135 570 2.043 95.691

(2,2) 3.500 950 3.405 97.286









58

3.4. Evaluación

La evaluación se realizará conforme a lo expuesto en el tema 3.1 de este capítulo, por

consiguiente se harán las conclusiones correspondientes citando cada punto

mencionado

3.4.1. Forma de Onda

Las formas de onda obtenidas en los puntos de impacto de cada bongó fueron

analizadas por medio del concepto de evolución temporal del sonido (ver apéndice

A5), se observó que en el bongó con caja de polímero termofijo con aserrín, los

tiempos de evolución son más cortos que en bongó con caja de madera, notando así

que el sonido en este es corto pero sin dejar a un lado sus características

fundamentales, este aspecto logró ser satisfactorio ya que se pretendía buscar un

sonido más consistente o seco como lo llaman los ejecutantes de este tipo de

instrumento. Un punto importante en este análisis fue determinar si el tipo de caja

influía en el sonido emitido por el bongó, se llegó a la conclusión que efectivamente lo

hacía; en un principio se pensó que la membrana era el factor clave, pero no fue así,

como se utilizó la misma en ambas cajas con la misma tensión, toda variación o

característica observada en el sonido dependía del comportamiento del material de la

caja del bongó.

3.4.2. Espectro de Frecuencia

En los espectros de frecuencia se observó, que en el sonido emitido por el bongó con

caja de polímero termofijo con aserrín existen mayor número de sobretonos generados

cerca de la frecuencia fundamental; indica que el sonido en este bongó es más

complejo, lo que le da una nueva estructura en el cuerpo del sonido del mismo a

comparación del bongó con caja de madera.

3.4.3. Comparativo de Espectros de Frecuencia

Se confortaron los espectros de frecuencia con la finalidad de determinar la disparidad

entre los sonidos emitidos por los bongós. A pesar de la diferencia en sobretonos

sobresalen frecuencias muy similares como se observan en las tablas de picos

definidos (tabla 3.2, 5, 8, 11, 15) elaboradas anteriormente, lo que quiere decir que

existen sobretonos que son característicos del instrumento, mismos que nos se

perdieron con el bongó con caja de polímero termofijo con aserrín, esto indica que el

59

material de construcción propuesto es viable para la elaboración de este tipo de

instrumento.

3.4.4. Modo de Vibración

Este análisis se elaboró para comprobar que los modos de vibración de la membrana

utilizada en ambos bongós tuvieran un patrón similar, esto se hizo con la finalidad de

obtener datos que proporcionaran si existen diferencias entre las dos cajas o si de

algún modo el material propuesto es un factor que evite el desempeño del instrumento;

se llegó a la conclusión por el porcentaje obtenido de aproximación de frecuencias

relativas en membranas, que el material propuesto es totalmente factible para la

realización correcta de los modos de vibración involucrados.

60

CAPÍTULO 4

PRESUPUESTO ESTIMADO 4.1. Presupuesto de los Materiales en General sin Contar la Elaboración del Molde del

Prototipo (tabla 4.1).

Tabla 4.1

Material Cantidad Costo [$] Cantidad Costo [$]

Resina Poliéster 1 [kg] 53 1 [g] 0.53 Catalizador 1 [kg] 120 1 [g] 0.12

Aserrín 1 [kg] 1 1 [g] 0.001 Tensores 4 pzas 140 1 pza 35 Herrajes Juego Completo (2 Aros) 80

Parche de Cuero 1 pza 80

4.2. Presupuesto de la Manufacturación del Bongó Prototipo (tabla 4.2).

Tabla 4.2

Material Cantidad Costo [$]

Resina Poliéster 869.08 [g] 46.06 Catalizador 17.27 [g] 2.07

Aserrín 217.23 [g] 0.21 Tensores 4 pzs 140 Herrajes Juego Completo (2 Aros) 80

Parche de Cuero 1 pza 80

Estimación Total del Costo 348.34

61

4.3 Horas Hombre Empleadas en el Proyecto

El tiempo que se invirtió en la realización de actividades para finalizar este proyecto se

muestra en la tabla 4.3.

Tabla 4.3

Actividad Tiempo Empleado Horas / Tiempo Empleado Estructuración de Proyecto 2 meses 120

Investigación de Materiales 1 mes 63

Elaboración del Prototipo 1 mes 30

Investigación Teórica 2 meses 60

Mediciones y Análisis 1 mes 56

Horas Empleadas en Total 329 Considerando una jornada laboral de 8 horas por día el tiempo invertido corresponde a

41 días lo que equivale a 1 mes y medio aproximadamente.

4.3.1. Estimación del Sueldo de un Ingeniero por Categoría

El escalafón constituye la categoría del ingeniero adquirida de acuerdo a meritos,

experiencia en el ejercicio profesional, cursos de postgrado, dignidades ocupadas y

publicaciones técnicas, entre otras.

1. Categoría 1. Ingeniero calificado para realizar funciones de director o especialista

de proyectos con experiencia de ingeniero no menor de quince años,

de los cuales debe demostrar como mínimo diez años de experiencia

específica.

2. Categoría 2. Ingeniero calificado para realizar funciones de director o especialista

de proyectos con experiencia de ingeniero no menor de once años, de

los cuales debe demostrar como mínimo siete años de experiencia

específica.

3. Categoría 3. Ingeniero con experiencia técnica y administrativa para desempeñar

funciones de director especialista de proyectos o de residente de

proyectos, con experiencia de ingeniero no menor de ocho años, de

los cuales debe demostrar como mínimo cinco años de experiencia

específica.

4. Categoría 4. Ingeniero con experiencia técnica y administrativa para desempeñar

funciones de ingeniero residente de proyectos con experiencia

62

ingeniero no menor de seis años, de los cuales debe demostrar como

mínimo cuatro años de experiencia específica.

5. Categoría 5. Ingeniero con experiencia no menor de cuatro años, de los cuales

debe demostrar como mínimo dos años de experiencia específica.

6. Categoría 6. Ingeniero con experiencia inferior a tres años.

Determinación de salarios:

• Categoría 1 (18 salarios mínimos mensuales).






Nota: Esta estimación fue considerada bajo los estándares de Latinoamérica.

Suponiendo estar en el categoría 6 por la experiencia menor a tres años, el costo total

del proyecto sin contar el costo de empleo del laboratorio de acústica utilizado se

muestra en la tabla 4.4.

Tabla 4.4

Descripción de Actividad Costo [$] Manufacturación del Prototipo 348.34

Horas Profesionista 11983.5 Costo Total del Proyecto 12331.84

63

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

• El espesor de la caja del prototipo podría reducirse sin que afecte al desempeño del

instrumento.

• Los herrajes que se necesitan en la parte mecánica se podrían elaborar de otro

material ajeno al hierro como es el caso del aluminio u otros materiales más livianos

y resistentes.

• En la manufacturación de moldes se podrían usar otras técnicas a la empleada en

el prototipo de este proyecto ya que esta es de difícil manipulación.

• El costo podría reducirse si se obtiene el material en grandes cantidades para hacer

modelos en serie en el caso de que el proyecto fuese viable.

• El material de construcción para bongós propuesto cumple con las características

acústicas y funcionales de los materiales convencionales. Este material representa

una posibilidad para elaborar y diseñar otros instrumentos musicales ajenos al

presentado en este proyecto.

64

APÉNDICE

A1. Factores de Conversión entre los sistemas MKS y CGS

Tabla A1

Magnitud Multiplique MKS Por Para obtener CGS Longitud Metro [m] 10

2 Centímetro [cm] Masa Kilogramo [kg] 10

3 Gramo [g] Tiempo Segundo [s] 1 Segundo [s] Fuerza Newton [N] 10

5 Dina [dina] Energía Joule [J] 10

7 Erg [erg] Potencia Watt [W] 10

7 erg s⁄

Densidad de Volumen kg m3⁄ 10-3 g cm3⁄

Presión Pascal [Pa] 10 dina cm2⁄ Velocidad m s⁄ 10

2 cm s⁄ Densidad de Energía J m3⁄ 10 erg cm3⁄ Modulo Elástico Pa 10 dina cm2⁄ Coeficiente de Viscosidad Pa · s 10 dina · s cm2⁄ Velocidad de Volumen m3 s⁄ 10

6 cm3 s⁄ Intensidad Acústica W m2⁄ 10

3 erg (s ·⁄ cm2) Impedancia Mecánica N · s m⁄ 10

3 dina · s cm⁄

Impedancia Acústica Específica Pa · s m⁄ 10-1 dina · s cm3⁄

Impedancia Acústica Pa · s m3⁄ 10-5 dina · s cm5⁄

Rigidez Mecánica N m⁄ 103 dina cm⁄

Densidad de Flujo Magnético Tesla [T] 104 Gauss [gauss]

65

A2. Múltiplos y Submúltiplos

Tabla A2

Múltiplos

Prefijo Símbolo Factor

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

Hecto h 102

Deca da 10 Submúltiplos

Prefijo Símbolo Factor

Deci D 10-1

Centi c 10-2

Mili m 10-3

Micro μ 10-6

Nano n 10-9

Pico p 10-12

Femto f 10123 Atto a 10

-18

66

A3. Funciones de Bessel de Orden Entero

La solución a la ecuación diferencial

x2d

2

dx2

+ xd

dx+ (x2- n2)� f�x�= 0

son:

1) Funciones de Bessel de primera clase Jn(x) para toda x.

2) Funciones de Bessel de segunda clase Yn(x) (a menudo llamadas funciones de

Neuman).

3) Funciones de Bessel de tercera clase Hn(1)

(x) Hn(2)

(x) para toda x mayor a cero.

a) Relaciones entre las soluciones.

Hn(1)

= Jn + jYn

Hn(2)

= Jn - jYn

J-n = (-1)n Jn

Y-n = (-1)n Yn

Jn+1 Yn - Jn Yn+1 = 2

πx

b) Expansiones en serie para J4 y J2.

J0= 1 - x2

22

+ x4

22· 4

2 - x6

22· 4

2 · 6

2+ …

J1= x

2 +

2x3

2 · 42

- 3x5

2 · 42 · 6

2+ …

c) Aproximaciones para argumento pequeño, x < 1.

J0 →1 - x2

4

J1 → x

2 -

x3

16

67

Y0 → 2

πln x

Y1 → - 2

π 1

x

d) Aproximaciones para argumentos grandes, x > 2π.

Jn → � 2

πx cos 5x - nπ

2- π

46

Yn → � 2

πx sen 5x -

nπ

2-

π

46

Hn(1)

→ � 2

πx exp #j 5x -

nπ

2-

π

46$

Hn(2)

→ � 2

πx exp # ‐ j 5x -

nπ

2-

π

46$

e) Relaciones de recurrencia, estas relaciones son ciertas para cualquier C que sea

una función de Bessel de primera, segunda o tercera clase (o combinaciones

lineales de estas funciones).

Cn+1+ Cn-1= 2π

x Cn

dC0

dx= - C1

dCn

dx=

12 �Cn-1- Cn+1�

d

dx(xnCn) = xn Cn-1

d

dx� 1xn

Cn� = 1xn

Cn+1

f) Funciones de Bessel modificadas.

In�x� = j-n

Jn(jx)

68

I0�x� = I0�jx� � 1 + x2

22

+ x4

22· 4

2 +

x6

22· 4

2 · 6

2+ …

8 xI0�x� dx = xI1�x�

8 I1�x� dx = I0�x�

I0�x� - I2�x�= 2

x I1�x�

69

A4. Tablas de Funciones de Bessel, Ceros y Puntos de Inflexión

a) Funciones de Bessel de orden 0, 1 y 2.

Tabla A4a

x J0�9� J1�9� J2�9� I0�9� I1�9� I2�9� 0.0 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.2 0.9900 0.0995 0.0050 1.0100 0.1005 0.0050 0.4 0.9604 0.1960 0.0197 1.0404 0.2040 0.0203 0.6 0.9120 0.2867 0.0437 1.0921 0.3137 0.0464 0.8 0.8463 0.3688 0.0758 1.1665 0.4329 0.0843 1.0 0.7652 0.4401 0.1149 1.2661 0.5652 0.1358 1.2 0.6711 0.4983 0.1593 1.3937 0.7147 0.2026 1.4 0.5669 0.5419 0.2074 1.5534 0.8861 0.2876 1.6 0.4554 0.5699 0.2570 1.7500 1.0848 0.3940 1.8 0.3400 0.5815 0.3061 1.9895 1.3172 0.5260 2.0 0.2239 0.5767 0.3528 2.2796 1.5906 0.6890 2.2 0.1104 0.5560 0.3951 2.6292 1.9141 0.8891 2.4 0.0025 0.5202 0.4310 3.0492 2.2981 1.1111 2.6 -0.0968 0.4708 0.4590 3.5532 2.7554 1.4338 2.8 -0.1850 0.4097 0.4777 4.1575 3.3011 1.7994 3.0 -0.2601 0.3391 0.4861 4.8808 3.9534 2.2452 3.2 -0.3202 0.2613 0.4835 5.7472 4.7343 2.7884 3.4 -0.3643 0.1792 0.4697 6.7848 5.6701 3.4495 3.6 -0.3918 0.0955 0.4448 8.0278 6.7926 4.2538 3.8 -0.4026 0.0128 0.4093 9.5169 8.1405 5.2323 4.0 -0.3971 -0.0660 0.3641 11.3020 9.7594 6.4224 4.2 -0.3766 -0.1386 0.3105 13.1130 11.7050 7.8683 4.4 -0.3423 -0.2028 0.2501 16.0100 14.0460 9.6259 4.6 -0.2961 -0.2566 0.1846 19.0970 16.8630 11.7610 4.8 -0.2404 -0.2985 0.1161 22.7940 20.2530 14.3550 5.0 -0.1776 -0.3276 0.0466 27.2400 24.3350 17.5050 5.2 -0.1103 -0.3432 -0.0217 32.5840 29.2540 21.3320 5.4 -0.0412 -0.3453 -0.0867 39.0100 35.1810 25.9800 5.6 0.0270 -0.3343 -0.1464 46.7380 42.3270 31.6210 5.8 0.0917 -0.3110 -0.1989 56.0390 50.9450 38.4720 6.0 0.1507 -0.2767 -0.2429 67.2350 61.3410 46.7780 6.2 0.2017 -0.2329 -0.2769 80.7170 73.8880 56.8820 6.4 0.2433 -0.1816 -0.3001 96.9630 89.0250 69.1430 6.6 0.2740 -0.1250 -0.3119 116.5400 107.3100 84.0210 6.8 0.2931 -0.0652 -0.3123 140.1400 129.3800 102.0800 7.0 0.3001 -0.0047 -0.3014 168.5900 156.0400 124.0100

70

b) Ceros de Jm : Jm jmn

"=0.

Tabla A4b

m \ n 0 1 2 3 4 5 0 ----- 2.40 5.52 8.65 11.79 14.93 1 0.00 3.83 7.02 10.17 13.32 16.47 2 0.00 5.14 8.42 11.62 14.80 17.96 3 0.00 6.38 9.76 13.02 16.22 19.41 4 0.00 7.59 11.06 14.37 17.62 20.83 5 0.00 8.77 12.34 15.70 18.98 22.22

c) Puntos de inflexión de Jm : �Jm dx⁄ �j´mn

= 0

Tabla A4c

1 2 3 4 5 0 0.00 3.83 7.02 10.17 13.32 1 1.84 5.33 8.54 11.71 14.86 2 3.05 6.71 9.97 13.17 16.35 3 4.20 8.02 11.35 14.59 17.79 4 5.32 9.28 12.68 15.96 19.20 5 6.41 10.52 13.99 17.31 20.58

A5. Evolución Temporal del Sonido

Es el aspecto de un sonido que participa en la conformación de su timbre es la

variación temporal de su intensidad.

1. Tiempo de Ataque. Lapso de tiempo durante el cual las oscilaciones regulares

terminan por establecerse.

2. Tiempo de Decaimiento.

3. Tiempo de Sostenimiento. E

4. Tiempo de Relajación. El sonido se va desvaneciendo

Evolución Temporal del Sonido


variación temporal de su intensidad. Este se divide en (figura 1):

Lapso de tiempo durante el cual las oscilaciones regulares

terminan por establecerse.

Tiempo de Decaimiento. Indica cómo se desvanece cuando el sonido se apaga la

fuente primaria.

Tiempo de Sostenimiento. El sonido suena establemente.

Tiempo de Relajación. El sonido se va desvaneciendo.

Figura 1

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Lapso de tiempo durante el cual las oscilaciones regulares

Indica cómo se desvanece cuando el sonido se apaga la

72

GLOSARIO

Acústica . Ciencia que estudia el sonido.

Analizador . Es en electricidad, mecánica o acústica un aparato capaz de dividir un

espectro en un número finito de regiones de frecuencias (bandas) y

determinar la magnitud relativa de la energía en cada una de estas

bandas. Algunos analizadores también determinan las fases relativas de

las componentes de una línea espectral.

Armónico . Es una componente de onda periódica teniendo una frecuencia que es un

múltiplo entero de la frecuencia fundamental.

Espectro . Es la distribución de una presión sonora efectiva, o medidas de intensidad,

como una función de la frecuencia en bandas de frecuencias específicas.

También es la distribución en frecuencias de los valores de las

componentes de dicha onda.

Fundamental . Frecuencia fundamental o primer armónico.

Frecuencia . Es una relación de repetición de ciclos en un fenómeno periódico. Es la

inversa del periodo. Su unidad es el ciclo/s.

Frecuencia de Resonancia . Frecuencia para la cual existe resonancia. Cuando existe

una gran confusión, es necesario especificar si se trata

de una frecuencia de resonancia de amplitud o de

velocidad o de resonancia eléctrica.

Frecuencia Fundamental . Componente más baja de una cantidad periódica.

Micrófono . Es un transductor electroacústico que recibe una señal acústica (a su

entrada) y proporciona a la salida oscilaciones eléctricas equivalentes.

Modo Normal de Vibración . Es uno de los posibles caminos en los cuales el sistema

puede vibrar si es espontáneamente perturbado como

resultado de una perturbación de un sistema. Puede

tener una frecuencia solamente dependiente de las

propiedades del sistema.

73

Nivel de Intensidad . El nivel de intensidad de un sonido, en decibeles, es igual a 10

veces el logaritmo decimal de la razón entra la intensidad de

dicho sonido referido a la frecuencia de base.

Periodo . Es el intervalo de tiempo de una repetición individual de una cantidad

variable que se autorepite con regularidad.

Presión Acústica de Pico . En cualquier intervalo de tiempo dado, es el máximo valor

absoluto de la presión acústica instantánea en un punto durante dicho

intervalo (sin contar el signo).

Presión Sonora Efectiva . En un punto es la raíz cuadrada media de los valores de las

presiones instantáneas durante el ciclo.

Sobretono . Parcial de una frecuencia superior a la básica.

Sonido . Es una alteración en presión, carga, desplazamiento de partículas o velocidad

de partículas, que se propaga en un medio elástico, o también superposición

de estas alteraciones.

Transductor . Es cualquier dispositivo accionado por la energía de uno o varios

sistemas de transmisión y que proporciona energía en otros sistemas,

en la misma forma o en otra.

Transductor Electroestático . Es el que incluido en un sistema eléctrico y otro

acústico, permite la transmisión de energía de uno a

otro o viceversa.

Vibración Forzada . Es una vibración mantenida directamente en un sistema por una

fuerza periódica, de frecuencia o frecuencias

conocidas.

Vibración Libre . Es una vibración que existe en un sistema después de que todas las

fuerzas actuantes se han retirado del sistema.

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REFERENCIAS

[1] Bongó Historia Bongoe [www.kultrun.net/instrumentos_de_percusion/bongo/bongo_historia.htm]

[2] Acústica Musical [www.lpi.tel.uva.es/~nacho/...1/.../index.html]

[3] Ingeniería Acústica. Recuero López, Manuel., Paraninfo, Madrid, 2000

[4] Física General. Pérez Montiel Héctor, Publicaciones Cultural, México, 2002

[5] Absorbente Helmholtz [es.wikipedia.org/wiki/Absorbente_Helmholtz]

[6] Análisis Modal de Vibraciones Mecánicas en Membranas Acústicas .Rabadán Malda Itzalá, Tesis Maestría. SEPI-ESIME Zacatenco-IPN. México, 2001.

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ANEXOS

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Documents

INSTITUTO POLITÉCNIC O NACIONALnuevos materiales se podría hacer algo al respecto. Hay técnicas de construcción de instrumentos de percusión que están surgiendo como sustituto