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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA.
MÉXICO, D.F. 2013
APLICACIÓN DE ARQUITECTURAS DE CONTROL
CONSIDERANDO LOS EFECTOS DEL RETARDO EN EL
MODELO MATEMÁTICO DE UN REACTOR DE AGITACIÓN
CONTINUA.
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN
CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN
P R E S E N T A N
LOZANO HERNÁNDEZ YAIR RODRÍGUEZ FRAGOSO SANDRA EDITH
A S E S O R E S
DR. VELÁZQUEZ VELÁZQUEZ JUAN EDUARDO M EN C. VELÁZQUEZ CUEVAS RUBÉN
i
Agradecimientos
Lozano Hernández Yair:
Agradezco a mis padres Irma Hernández Daniel y Agripino Lozano Santiago por haberme
acompañado y guiado a lo largo de mi carrera, ser mi fortaleza en los momentos de debilidad
y brindarme una vida llena de aprendizajes, experiencias y sobre todo felicidad.
Llevare conmigo los valores que me han inculcado, no olvidare la oportunidad que me
brindaron de tener una excelente educación en el transcurso de mi vida sin importar los
grandes esfuerzos y retos que tuvimos que superar y sobre todo por ser un ejemplo de vida
a seguir ya que me enseñaron la importancia del trabajo y la dedicación para cumplir con
nuestras metas.
Solo me queda decir gracias por imaginarme grande cuando no lo era y por los sacrificios
que tuvimos que pasar, los cuales hoy se ven reflejados con la culminación de esta etapa de
mi vida, hoy puedo decir que hemos llegado a la meta, soy ¡ingeniero!
Gracias al M. en C Rubén Velázquez Cuevas y al Dr. Juan Eduardo Velázquez Velázquez
por todo el apoyo brindado a lo largo de este trabajo, gracias por compartir su conocimiento
conmigo ya que solo no fueron parte de este trabajo, ya que ambos fueron parte de mi
formación académica. Gracias por permitirme trabajar con ustedes, por su dedicación y
paciencia, así como ser un ejemplo a seguir.
A Laura Alejandra Godínez Luna, por apoyarme y estar a mi lado durante todos los años de
mi formación, por el apoyo y comprensión brindado, incluso cuando me encontraba de mal
humor a causa de la escuela. A mis amigos por todos los momentos que pasamos juntos,
por las tareas que juntos realizamos, por confiar y creer en mí y haber hecho de mi etapa
universitaria un trayecto de vivencias que nunca olvidaré.
A mis tantos roomies: Tomas, Omar, Felipe, por ser parte significativa de mi vida, y por haber
hecho el papel de una familia verdadera en todo momento, gracias por su apoyo,
comprensión y sobre todo amistad.
A Sandra por haber sido una excelente compañera de tesis y amiga, por haberme tenido la
paciencia necesaria y por motivación a seguir adelante en los momentos de desesperación.
ii
Agradecimientos
Rodríguez Fragoso Sandra Edith:
Quiero agradecer a mis padres Carlos Rodríguez Fragoso y Lourdes Fragoso Maya por su
apoyo, comprensión y paciencia durante todos estos años, gracias a ustedes he logrado
formar el camino que me ha llevado a la culminación de los estudio de mi carrera profesional
y así también obtener mi título por medio de la realización de esta tesis.
Agradezco a mis hermanos Salma Rodríguez y Edgar Rodríguez que han estado conmigo y
sé que siempre contaré con su apoyo incondicional al igual que el de mis padres.
En general quiero agradecer a mi familia la cual ha sido el pilar más importante de mi vida y
por estar conmigo día a día lo cual ha sido una gran motivación para poder alcanzar mis
metas.
También agradezco a todos mis amigos de la carrera con quienes compartí muchos
momentos de diversión, felicidad, tristeza y locuras, que me apoyaron y me dieron ánimos en
aquellas conversaciones en las que hablábamos de nuestras convicciones en el tiempo que
pasamos juntos durante el transcurso de nuestros estudios.
Quiero agradecer a Gustavo Morales por estar conmigo y brindarme su apoyo en el último
esfuerzo para poder terminar esta tesis.
Quiero agradecer a Yair Lozano Hernández por su compañerismo y amistad, que a pesar de
todo nunca nos dimos por vencidos y logramos terminar nuestro trabajo de tesis; también a
mis asesores el M. en C. Rubén Velázquez Cuevas y a el Dr. Juan Eduardo Velázquez
Velázquez, quienes fueron mis profesores durante la carrera y además me brindaron
consejos y enseñanzas.
iii
Resumen
En el interior de este trabajo se describen algunas características y aspectos de los reactores
químicos, tales como: clasificación, aplicaciones, variables que interfieren, se define el
concepto y tipos de reacciones químicas, al igual que balances de materia y energía.
Se describe el significado de la interpretación matemática de la dinámica del sistema, las
propiedades que debe de cumplir como la controlabilidad, observabilidad y la linealidad las
cuales son indispensables para la realización de un controlador por retroalimentación de
estados. También se encuentran los conceptos de retardo, y la importancia de su
consideración al momento de diseñar un controlador para un sistema en específico.
Así mismo se hace una descripción más específica del reactor de agitación continua, y del
proceso dónde se utiliza este tipo de reactor, para este trabajo se eligió un proceso de
saponificación para la obtención de jabón líquido.
Partiendo de la descripción del sistema se realiza el balance de materia y energía con el fin
de obtener las ecuaciones representativas de la dinámica del sistema (modelo matemático),
al igual que su representación en variables de estado.
A partir del modelo matemático se describe un análisis de las respuestas del sistema a
través del software Matlab-Simulink
Se explica el proceso de linealización del modelo matemático del sistema, con el fin de
realizar un control con una matriz de ganancias k, un control en cascada y control por
relación; en los cuales, en algunos casos se considera los efectos del retardo en la salida de
la temperatura del reactor lo que lleva a la aplicación del Predictor de Smith. Por último se
realiza una comparación entre las simulaciones obtenidas en cada uno de los casos.
iv
Índice general
Objetivos .......................................................................................................................... xiii
Antecedentes ................................................................................................................... xiv
Justificación ..................................................................................................................... xvi
Capítulo 1: Marco teórico. .................................................................................................. 1
1.1. Conceptos generales de los reactores. ....................................................................... 2
1.1.1. Reacción química ................................................................................................. 2
1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas. ...................................................... 2
1.1.2. Reactor Químico .................................................................................................. 3
1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento. ............................................................................ 4
1.1.2.2. Tipos de reactores. ........................................................................................ 4
1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción. ............................................ 7
1.2. El modelado matemático de procesos químicos ....................................................... 12
1.2.1. Espacio de estados. ........................................................................................... 13
1.2.2. Controlabilidad y observabilidad. ........................................................................ 14
1.3. Sistemas lineales y no lineales. ................................................................................ 15
1.3.1 Método de linealización de Taylor. ...................................................................... 15
1.4. Retardos, conceptos básicos. ................................................................................... 16
Capítulo 2: Modelado matemático de un reactor de agitación continúa. .............................. 18
2.1. Reactor de agitación continúa. .................................................................................. 19
2.1.1. Descripción de la planta. .................................................................................... 20
2.1.1.1. Descripción de la reacción química. ............................................................ 22
2.1.2.1. Balance de masa. ........................................................................................ 22
2.1.2.2. Balance de energía. .................................................................................... 24
2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado. ............................ 28
2.1.3.1. Simulación del modelo matemático del sistema del CSTR con un diagrama de
bloques en Simulink e identificación de las respuestas obtenidas. ........................... 30
v
Capítulo 3: linealización y retroalimentación de estados. .................................................... 42
3.1. Linealización del modelo matemático. ....................................................................... 43
Comparación entre el sistema lineal y el no lineal. ........................................................... 50
3.2. Determinación de la controlabilidad. ......................................................................... 51
3.2.1. Comando ctrb. .................................................................................................... 52
3.2.2. Comando ctrbf. ................................................................................................... 52
3.2.3. Separación de la parte controlable del sistema de la no controlable. .................. 54
3.3. Matriz de retroalimentación K. ................................................................................... 55
3.3.1. Ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables de
estado……………………………………………………………………………………..…….56
3.3.2. Determinación de la matriz de retroalimentación. ............................................... 57
3.3.2.1. Comando place. .......................................................................................... 57
3.3.2.2. Matriz de retroalimentación. ......................................................................... 58
3.4. Métodos de solución para sistema con retardo. ........................................................ 60
3.4.1. Aproximación de Padé. ...................................................................................... 60
3.4.2. Predictor de Smith. ............................................................................................ 62
3.4.3. Aplicación del predictor de Smith. ...................................................................... 65
Capítulo 4: Arquitecturas de control. ................................................................................ 68
4.1. DTI del proceso a controlar. ..................................................................................... 69
4.2 Estrategia de control por relación. .............................................................................. 70
4.2.1. Implementación del control por relación. ............................................................ 70
4.3. Control en cascada. .................................................................................................. 71
4.3.1. Aplicación de control en cascada. ...................................................................... 72
Capítulo 5: Conclusiones. .................................................................................................. 79
5.1. Comparación de la respuesta del sistema lineal y del no lineal ................................. 79
5.2. Matriz k y control en cascada para sistema lineal sin retardo. ................................... 79
5.3. Matriz k y control en cascada para sistema lineal con retardo. .................................. 80
5.4. Predictor de Smith. ................................................................................................... 80
5.5. Sistema no lineal. ...................................................................................................... 81
5.6. Conclusión general. .................................................................................................. 81
vi
Anexos ............................................................................................................................. 84
Anexo 1: programa en matlab para la linealización de la matriz A. .................................. 84
Anexo 2: programa en matlab para la linealización de la matriz B. .................................. 87
Anexo 3: obtención de la retroalimentación de estados. .................................................. 89
Referencias ....................................................................................................................... 90
vii
Índice de Figuras
Capítulo I
figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho
fuidizado, d) De transporte neumático. ................................................................................... 6
figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo. .................... 7
figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores............................................. 8
figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas ............................. 8
figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica). ....... 9
figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica). ..... 9
figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o mas
fases). ................................................................................................................................... 10
figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida,
Gas-liquido. .......................................................................................................................... 10
figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas...................... 11
figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y
electroquímicas. .................................................................................................................... 11
figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas. ... 12
figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados........... 14
figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material. .................................................... 17
Capítulo II
Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado......................................... 20
Figura 2. 2. Esquema de la planta ........................................................................................ 21
Figura 2. 3. Diagrama de bloques del CSTR. ........................................................................ 32
Figura 2. 4. Diagrama de conexiones internas. ..................................................................... 33
Figura 2. 5 Diagrama de bloques de CA, estado . ............................................................ 34
Figura 2. 6.Diagrama a bloques CB, estado . ................................................................... 35
Figura 2. 7.Diagrama a bloques CC, estado . ................................................................... 35
Figura 2. 8. Diagrama a bloques CD, estado . .................................................................. 36
Figura 2. 9. Respuesta de las concentraciones CA, CB, CC y CD ........................................ 37
Figura 2. 10. Diagrama a bloques T, estado . ................................................................... 38
Figura 2. 11. Diagrama a bloques Tr, estado . .................................................................. 38
Figura 2. 12. Respuesta de temperatura en el reactor y temperatura en el enchaquetado. .. 39
Figura 2. 13. Diagrama a bloques Ph, estado . ................................................................. 40
Figura 2. 14. Respuesta del nivel de pH dentro del reactor ................................................... 40
viii
Capítulo III
Figura 3. 1. Matrices representativas del sistema linealizado. ............................................... 47
Figura 3. 2. Diagrama en simulink del sistema linealizado. ................................................... 48
Figura 3. 3. Respuesta lineal de las concentraciones A, B, C y D. ........................................ 48
Figura 3. 4. Respuesta de la temperatura en el reactor y repuesta en el enchaquetado. ...... 49
Figura 3. 5. Respuesta del pH dentro del reactor. ................................................................. 49
Figura 3. 6. Comparación entre sistema linealizado y sistema no lineal. ............................... 50
Figura 3. 7. Diagrama empleado para comparar respuesta lineal y no lineal. ....................... 51
Figura 3. 8. Matriz de controlabilidad del sistema obtenida con el comando ctrb. ................. 52
Figura 3. 9. Matrices obtenidas con el comando ctrbf. .......................................................... 53
Figura 3. 10. Matriz de transformación y matriz Q obtenidas con el comando ctrbf. .............. 54
Figura 3. 11. Matriz Ac y Bc que representan los estados controlables................................. 54
Figura 3. 12. Sistema de control dado por su modelo en espacio de estados. ...................... 55
Figura 3. 13. Matriz Kbar ...................................................................................................... 58
Figura 3. 14. Matriz Kbar con columna de ceros. .................................................................. 58
Figura 3. 15. Matriz K. ........................................................................................................... 58
Figura 3. 16. Raíces del sistema original .............................................................................. 59
Figura 3. 17. Raíces del sistema considerando una ganancia K. .......................................... 59
Figura 3. 18. Respuesta en lazo cerrado .............................................................................. 60
Figura 3. 19. Regulador convencional de bucle cerrado ....................................................... 61
Figura 3. 20. Predictor de Smith. Lazo de control. ................................................................ 62
Figura 3. 21. Medición imposible en el proceso físico. .......................................................... 63
Figura 3. 22. Control de lazo abierto ..................................................................................... 63
Figura 3. 23. Control de lazo cerrado .................................................................................... 64
Figura 3. 24. Diagrama del Predictor de Smith. ..................................................................... 65
Figura 3. 25. Nivel de pH dentro del reactor. ......................................................................... 66
Figura 3. 26. Respuesta de la temperatura dentro del reactor y del enchaquetado ............... 66
Figura 3. 27. Comportamiento de las concentraciones A, B, C, D. ........................................ 67
Capítulo IV
Figura 4. 1. Diagrama de tubería e instrumentación de el proceso de saponificación. .......... 69
Figura 4. 2. Control por relación. ........................................................................................... 71
Figura 4. 3. Control en cascada. ........................................................................................... 72
Figura 4. 4. Control en cascada ............................................................................................ 73
Figura 4. 5. Controlador esclavo PID2 .................................................................................. 73
Figura 4. 6. Controlador maestro PID. .................................................................................. 74
Figura 4. 7. Control por relación y control en cascada. ......................................................... 74
Figura 4. 8. Aplicación de control por relación y control en cascada. .................................... 75
Figura 4. 9. Control en cascada en combinación con predictor de Smith. ............................. 76
Figura 4. 10. Sistema sin retardo. ......................................................................................... 76
Figura 4. 11. Sistema con retardo. ........................................................................................ 77
ix
Figura 4. 12. Respuesta de control en cascada con predictor de Smith. ............................... 77
Capítulo V
Figura 5. 1. Control en cascada, por relación y predictor de Smith aplicado al sistema no
lineal. .................................................................................................................................... 81
Figura 5. 2. Control en cascada con presencia de retardo .................................................... 83
Figura 5. 3. Control en cascada con predictor de smith. ....................................................... 83
x
Índice de Tablas
Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas. ..... xv
Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores .... 3
xi
Glosario
Álcali: Hidróxido metálico muy soluble en el agua, que se comporta como una base fuerte.
Alcalino: De álcali o que tiene álcali.
Analítico: Cuando se aplica las leyes físicas y químicas correspondientes a cada
componente del sistema, que en conjunto forman una estructura o función matemática.
Ácidos: Sustancia que en disolución aumenta la concentración de iones de hidrógeno y se
combina con las bases para formar las sales.
Acuoso: Abundante en agua.
Automático: Que funciona en todo o en parte por sí solo.
Base: Cualquier sustancia que en disolución acuosa aporta iones OH− al medio.
Catalizador: Sustancia que está presente en una reacción química en contacto físico con los
reactivos, y acelera, induce o propicia dicha reacción sin actuar en la misma.
Concentración: Magnitud que expresa la cantidad de una sustancia por unidad de volumen.
Coeficiente: Cantidad de moles de partículas
CSTR: De sus siglas en inglés, continuous stirred-tank reactor, Reactor continúo tipo tanque
agitado.
Disolución: Son mezclas homogéneas de sustancias en iguales o distintos estados de
agregación.
Enzima: Son moléculas proteicas que catalizan reacciones químicas
Experimental: Consiste en la identificación de los parámetros, mediante el análisis de datos
de entrada y salida, estimando valores posibles que se ajusten al sistema.
Flujo de calor transferido por convección: Es una de las tres formas de transferencia de
calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (líquido o gas) que
transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce
únicamente por medio de materiales fluidos.
Flujo de calor por conducción a través de un sólido: Es en el que existe un gradiente de
temperatura.
Hidrolisis: El desdoblamiento de un compuesto químico por la acción del agua, de las
grasas y los aceites
xii
Lejía: Hipoclorito sódico
Lipídica: Perteneciente o relativo a los lípidos
Mol: El mol o molécula gramo es la unidad básica del Sistema Internacional de Unidades
que mide la cantidad de sustancia; se representa con el símbolo mol.
Movimientos espaciales: son los desplazamientos de un lugar a otro.
Operación unitaria: Es una parte indivisible de cualquier proceso de transformación donde
hay un intercambio de energía, sea físico, químico o de naturaleza biológica, de una materia
prima en otro producto de características diferentes.
Reactantes: Elementos, moléculas o iones que intervienen en una reacción química y dan
lugar a los respectivos productos.
Reactivo: Toda sustancia que interactúa con otra en una reacción química.
Rendimiento: Grado en el que se producen las reacciones que originan el producto.
Saponificación: Según Levenspiel (1998), la saponificación consiste en una hidrólisis
alcalina de la preparación lipídica (con KOH o NaOH). Los lípidos derivados de ácidos
grasos (ácidos monocarboxílicos de cadena larga) dan lugar a sales alcalinas (jabones) y
alcohol, que son fácilmente extraíbles en medio acuoso.
Tiempo de residencia: Los elementos de fluido en la corriente de entrada al reactor tienen
una probabilidad P1 de permanecer en el reactor durante un tiempo T1, una probabilidad P2
de permanecer un tiempo T2, y así sucesivamente; esto da origen a una distribución de
tiempos de residencia, que tiene una influencia directa en la conversión y selectividad
obtenidas en un reactor.
xiii
Objetivos
Objetivo general.
Implementar arquitecturas y algoritmos de control, para controlar la temperatura y el nivel de
pH en el interior de un reactor de agitación continua, considerando los efectos del retardo.
Objetivos particulares.
Mantener las condiciones de temperatura y pH constantes dentro del reactor en
304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente
Analizar la respuesta de un reactor de agitación continua bajo las influencias del
retardo en las salidas de la temperatura del reactor.
Analizar el desempeño de controladores diseñados bajo las consideraciones del
retardo.
xiv
Antecedentes
En primer lugar se tiene que en 2005 en la Pontificia Universidad Católica del Perú se realizó
una tesis para obtener el título de Maestro en ingeniería en control y automatización,
llamada “Diseño de un neurocontrolador dinámico aplicado a un reactor químico continuo”
por Henry A. Mendiburu Díaz, cuyo objetivo principal fue el diseño y análisis de varios
sistemas de control aplicados a un reactor químico continuo (CSTR). En este trabajo se
puede observar las diferentes tipos de respuestas que un reactor químico de este tipo puede
tener bajo las influencias de un control PID y de un control por medio de redes neuronales,
en base a los resultados se concluye cual es el controlador más conveniente. Otro de los
objetivos de este trabajo es brindar conocimiento acerca de los reactores químicos.
Se revisó el artículo “Modelación, simulación y control de un reactor exotérmico por lotes,
utilizando Matlab-Simulink”, que fue publicado en la Revista Redalyc Vol. 10, No. 2. 7-12,
2003, por Aida Pérez R, Eliana Peña, Pascual Aljibes. D. Los fines de este trabajo es el
estudio de un reactor por lotes exotérmico a partir de su modelo matemático aplicando
diferentes combinaciones del algoritmo de un PID considerando perturbaciones y así
observar las variantes en la respuesta, con el fin de reducir los subproductos en el proceso.
Se concluyó que el uso de software como Matlab-simulink facilita el análisis del modelo
matemático del sistema, respecto al control, y se determinó en que porcentaje de conversión
del el reactante se obtenían menos subproductos.
Eliana Peña T. (2008) el cual estudió un reactor tipo tanque continuamente agitado (CSTR) a
partir de su modelo matemático en variables de espacio de estado. Posteriormente, se utiliza
el modelo no lineal para realizar unas pruebas de lazo abierto del sistema y por último se
diseña su sistema de control predictivo por modelo (MPC), el cual se compara con una
estrategia de control proporcional. Para ambos lazos de control se utilizó el modelo lineal
representado a través de variables de estado.
En lo que respecta al control de reactores biológicos usando técnicas de control, tenemos
que Bequette Wayne (1991) realizó una revisión teórica e histórica sobre estrategias de
control no lineal, por otro lado Jagadeesh Chandra A.P (2010) el cual diseña un control de
temperatura y pH el cual es implementado en Labview, mientras que S.Srinivasan (2010) en
el cual se diseña un controlador PI el cual controla la cinética que tiene la ecuación de
Monod.
Jesús Fausto López Manzanarez (2003) presentó una tesis llamada “Regulación de
Reactores Químicos con Esquema de Control Proporcional Integral No Lineal” en el cual
aborda el problema de la regulación de reactores químicos continuos por medio de un
esquema de control proporcional integral no lineal (NPI).
xv
Cinda Luz Sandoval Torres (2012) realizaron un trabajo de tesis llamado “Laboratorio Virtual
de Procesos”, en este trabajo se desarrolló un laboratorio virtual que involucra las disciplinas
de control de procesos y la simulación de plantas completas, para ello se utilizó Labview.
Para ilustrar más los antecedentes históricos sobre control de procesos químicos usando
técnicas de control, se muestra la tabla 1, la cual es tomada de la referencia [19]:
Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas.
Reactores bioquímicos Bequette (1990) Brengel y Seider (1989) Henson y Seborg (1990) Kravaris (1988)
Reactores químicos Adebekun y Schork (1989) Aluko (1988) Álvarez et al. (1989) Bartusiak et al. (1989)
Destilación Alsop y Edgar (1990) Castro et al. (1987) Lu y Holt (1990)
Nivel Cheung y Luyben (1980) Rugh (1987) Shunta y Fehervari (1976)
pH Jayadeva et al. (1990) Parrish y Brosilow (1988) Wright y Kravaris (1991)
Sistemas con Tiempo Muerto Bequette (1990)
Contracción de la Variable Manipulada Bequette (1990) Patwardhan et al. (1990) Sistu y Bequette (1990)
.
Para la parte de retardos y estrategias de control se tiene el trabajo de tesis realizado por
Pedro José García Gil (2007), titulada “Sistemas dinámicos con retardos temporales” en la
cual se han propuesto diferentes variaciones del esquema original del Predictor de Smith,
denominadas genéricamente Compensadores de Tiempo Muerto (DTC).
xvi
Justificación
Durante los últimos años, el control de los dispositivos que involucran alguna reacción
química ha sido un problema importante que requiere de una amplia atención, muchos
procesos actuales carecen de un funcionamiento ideal o deseado. La falta de un sistema de
control que cumpla con los requerimientos deseados se debe en gran parte al modelado de
dicho sistema, ya que un modelo matemático que se obtenga de un sistema jamás podrá
igualar a la realidad, debido a que se encuentra presente una incertidumbre (retardos,
perturbaciones etc.).
El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado
en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera
aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación,
complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión,
temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede
ocasionar el fracaso de la planta.
Teniendo en cuenta los puntos antes mencionados, se han realizado un gran número de
trabajos de control para reactores CSTR, siempre aplicando diferentes tipos de estrategias
con el fin de alcanzar los mejores resultados de acuerdo a los objetivos de su control,
algunos de ellos están referenciados en este trabajo.
La importancia de la aplicación de dichas estrategias radica en que una gran cantidad de
productos consumidos por la sociedad son llevados a cabo por este tipo de reactores
químicos. Como es sabido, las variaciones mínimas presentes en las reacciones químicas
pueden llevar a la obtención de productos o subproductos no esperados en cantidad y forma,
por lo tanto, es de suma importancia mantener un control en las variables influyentes del
proceso en el reactor químico; las perturbaciones, variaciones, desviaciones deben de ser
mínimas, la consideración de los retardos en este tipo de sistema nos pueden llevar a la
obtención de mejores resultados. Al aplicar una estrategia de control mucho más efectiva, se
influyen en aspectos como: cantidad aplicada de los reactantes, mejor aprovechamiento de
energías, por ejemplo, en el calor aplicado a la reacción, etc., lo que traería principalmente
un ahorro de tiempo y dinero.
Por otro parte, las perturbaciones, variaciones, desviaciones son características de los
procesos, por eso, al realizar el trabajo fue importante preguntarse ¿es necesario conocer
los efectos del retardo en los sistemas?, todos los procesos químicos presentan retardos, es
cierto también que no todos requieren un esquema de control que considere sus efectos,
también es sabido que unos son evidentemente menos afectado que otros. Haciendo estas
consideraciones, los procesos químicos en los que se evidenciaría las ventajas de los
esquemas de control considerando los efectos del retardo serían aquéllos en los cuales los
retardos tuvieran una mayor presencia, y por ende un esquema de control básico no
estabilizaría al sistema en el punto de operación deseado.
xvii
En el párrafo anterior se menciona la importancia del retardo, si es tan importante ¿Por qué
no se considera en el diseño de estrategias de control?, la respuesta está en que su
representación matemática implica tratar con ecuaciones diferenciales en diferencias, las
cuales son más complejas de manejar que las ecuaciones diferenciales ordinarias, la
diferencia de tratar con estas ecuaciones se explicara posteriormente en el capítulo 2.
Como se ha mencionado en el inicio de este punto, los retardos están presentes en todos los
sistemas, el problema es que difícilmente se puede conocer el valor de ellos, para ello es
necesario emplear diferentes estrategias de control, entre las cuales se pueden mencionar el
predictor de Smith, la cual permite tratar sistemas con retardos, cada una desde un punto de
vista diferente.
Por ello, en este trabajo de tesis se pretende demostrar los efectos que tienen los retardos
en un sistema, así como la aplicación del Predictor de Smith, el cual es utilizado para tratar
este tipo de fenómenos, para poder llevar acabo esta demostración es necesario comparar
dicha estrategia con estrategias que son utilizadas habitualmente.
Por último, se tiene que los valores asignados a cada una de las variables utilizadas en esta
tesis se encuentran basados en los resultados de los trabajos antes mencionados, por lo
cual este trabajo tiene un alcance de simulación y análisis de respuestas.
1
Capítulo 1: Marco teórico.
En el interior de este capítulo se encuentran las bases de la investigación
desarrollada.
Por ello, se describen algunas características y aspectos de los reactores,
entre las cuales resaltan: clasificación, aplicaciones, importancia, variables
que interfieren, balances de materia y energía, etc.
Para poder realizar el control de un sistema se requiere de la interpretación
matemática que describa su comportamiento, la representación matemática
sistema se pueden dar de tres formas: ecuaciones diferenciales, función de
transferencia y ecuaciones de estado.
La mayoría de los procesos químicos presentan un comportamiento no
lineal, por tal motivo es indispensable conocer la forma de trabajar con
sistemas de este tipo y el método de linealización que se puede aplicar.
Para poder realizar el control de un sistema es necesario determinar la
controlabilidad de dicho sistema, ambos términos son descritos en el interior
de este capítulo.
Por último, se encuentran conceptos importantes como son: definición de
un retardo, operador del retardo, comportamiento de un retardo y métodos
de control utilizados en sistemas con retardos.
2
1.1. Conceptos generales de los reactores.
1.1.1. Reacción química
Una reacción química es una operación unitaria; es decir, redistribuye los átomos de las
moléculas que forman a los compuestos reactantes para obtener nuevas moléculas.
La química se encarga del estudio de estas reacciones químicas se basa principalmente en
su estructura, propiedades, cambios físicos y energéticos que tienen lugar, y la velocidad con
que se forman los productos.
La cinética química trata principalmente del estudio de la velocidad, considerando todos los
factores que influyen sobre ella y explicando la causa de la magnitud de esa velocidad de
reacción, mide las velocidades de las reacciones químicas con el fin de encontrar las
ecuaciones que relacionen la velocidad de una reacción con las variables experimentales.
Esta herramienta permite profundizar en la naturaleza de los sistemas reaccionantes,
comprender cómo se forman y se rompen los enlaces químicos y estimar sus energías y
estabilidades. La fuerza relativa de los enlaces químicos y la estructura molecular de los
compuestos se pueden investigar con esta herramienta, es posible obtener un método para
el estudio del transporte de calor y materia, y sugiere métodos para tratar fenómenos de
velocidad en otros campos [11].
1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas.
La clasificación de las reacciones químicas puede ser muy variada, por ejemplo puede ser
por el número y tipo de fases implicadas, lo que da sistemas homogéneos y heterogéneos.
Una reacción es homogénea si se efectúa en una sola fase, es decir, tanto los reactivos
como los productos se encuentran en un mismo estado físico. Una reacción es heterogénea
con al menos la presencia de dos fases o estados físicos en la reacción.
En la gran mayoría de los procesos se tiene como objetivo obtener un determinado producto,
pero es prácticamente imposible prescindir de los subproductos o en el peor de los casos
residuos, a esto se le llama reacción múltiple.
En las reacciones simples solo se necesita una expresión cinética para definir el
comportamiento. En las reacciones múltiples, se necesita más de una ecuación cinética.
Por otro lado se tienen a las reacciones químicas muy rápidas, que en otras palabras son la
combustión de un gas, puede no existir homogeneidad en la composición o en la
3
temperatura, por consiguiente, no tienen una sola fase, ya que una fase implica uniformidad
en la temperatura, la presión y la composición.
También se tienen las reacciones catalíticas, su velocidad está alterada por la presencia de
catalizadores, estos no necesitan estar presentes en grandes cantidades; los catalizadores
actúan, en cierto modo, como mediadores, retardando o acelerando la reacción y a la vez
pueden o no sufrir pequeñas variaciones, en la Tabla 1.2 se muestran ejemplos de
reacciones químicas catalizadas y no catalizadas, homogéneas y heterogéneas [11].
Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores
No catalizadas Catalizadas
Homogéneas
La mayor parte de las reacciones en
fase gaseosa.
La mayor parte de las
reacciones en fase liquida.
Reacciones rápidas tales como la
combustión de una llama.
Reacciones en sistemas
coloidales.
Reacciones con enzimas
microbiológicas.
Heterogéneas Combustión del carbón tostado de
minerales.
Ataque de solidos por ácidos.
Absorción gas-liquido con reacción.
Reducción de minerales de hierro a
hierro y acero.
Síntesis del amoniaco.
Oxidación de amoniaco para dar
ácido nítrico.
Cracking del petróleo.
Oxidación de a .
1.1.2. Reactor Químico
Un reactor químico puede definirse básicamente como el lugar físico en donde las
reacciones químicas se llevan a cabo [10].
Es una unidad de proceso diseñada para llevar a cabo una o varias reacciones químicas.
Esta definición generalmente implica un sistema bien delimitado, casi siempre un recipiente
cerrado, con líneas de entrada y salida claramente especificadas y un estricto algoritmo de
control.
El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado
en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera
aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación,
complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión,
temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede
producir el fracaso de la planta.
4
1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento.
Según [10], es aquella expresión matemática que relaciona la salida con la entrada en un
reactor químico, para diversas cinéticas y diferentes modelos de contacto. El modelo de
contacto se refiere a como los materiales circulan a través del reactor y se contactan entre
ellos, el tiempo de mezclado, y las condiciones y características de la incorporación de
material. La cinética habla de que tan rápido ocurren las reacciones químicas y el equilibrio
dentro del reactor.
Todos los factores mencionados previamente están condicionados por dos ecuaciones:
balance de masa y balance de energía.
El balance de masa está dado por la relación:
El balance de energía está dado por la relación:
1.1.2.2. Tipos de reactores.
El tipo de reactor dependerá de las necesidades de una situación concreta.
Clasificación según criterios de:
Continuidad
o Reactores continuos.
o Reactores discontinuos.
o Reactores semicontinuos.
Geometría
o Reactores tubulares. Reactores cilíndricos con longitud (L) ampliamente
superior al diámetro (D). Se usan fundamentalmente en procesos continuos,
con flujo axial.
o Reactores tipo tanque. Reactores en los que no predomina ninguna dimensión
(L y D son del mismo orden de magnitud). Uso en procesos continuos y
discontinuos.
Tipo de flujo
o Reactores de flujo ideal. El flujo en el reactor responde a uno de los dos
extremos ideales:
5
flujo de mezcla perfecta: mezcla instantánea y en todo el reactor, lo
que supone una homogeneidad de propiedades (composición,
temperatura, etc.) en todo el volumen del mismo.
flujo pistón: mezcla nula entre los diferentes elementos de volumen en
la dirección del flujo, lo que supone la existencia de perfiles en el valor
de las propiedades en esa dirección.
o Reactores de flujo no ideal. El flujo de sustancias se aleja de los
comportamientos ideales indicados, de forma que se crean corrientes
internas, zonas estancas, gradientes de concentración, de temperatura, etc.
La determinación de la distribución de tiempos de residencia será clave para
el cálculo de la eficacia del reactor.
Características térmicas
o Reactores isotermos. Presentan igual temperatura en todo su volumen de
reacción y para todo tiempo.
o Reactores adiabáticos. No tienen transferencia de calor con su entorno. El
calor generado o consumido en la reacción produce perfiles longitudinales o
temporales de temperatura.
o Reactores no isotermos no adiabáticos. Presentan transmisión de calor con el
entorno. Los perfiles en cada punto del reactor (o para cada tiempo, en caso
de discontinuos) dependen del balance energético entre calor generado y
calor evacuado (para reacciones exotérmicas) o calor consumido y captado
(en endotérmicas).
Presión de trabajo
o Reactores de baja presión. Presión de trabajo inferior a aproximadamente 10
atmósferas. Comportamiento ideal de las fases fluidas. No requerimientos
especiales.
o Reactores de alta presión. Presiones superiores a aproximadamente 10
atmósferas. Comportamiento no ideal de los fluidos. Necesarias medidas
adicionales de seguridad: espesor del material de construcción, discos de
ruptura, válvulas de seguridad, etc. [13].
Carácter de la reacción
o Reactores catalíticos. La velocidad con la que se aproxima al equilibrio la
reacción química que se lleva a cabo en ellos está aumentada mediante el
uso de un catalizador en la misma fase o en diferente fase que éstos.
o Reactores no catalíticos. No intervienen sustancias catalíticamente activas.
6
Fases que intervienen
o Reactores homogéneos. Una sola fase. Normalmente reacciones entre gases
(en reactores tubulares) o entre líquidos miscibles (en reactores tipo tanque).
o Reactores heterogéneos. Intervienen varias fases en el proceso.
Habitualmente por el uso de un catalizador sólido. Según el número de fases y
su naturaleza:
Reactores bifásicos sólido-fluido, S-G o S-L (sólido-gas o sólido-
líquido).
o De lecho fijo: Figura 1.1. a). El sólido constituye un lecho
empaquetado de partículas que es atravesado por el fluido.
o De lecho móvil: Figura 1.1. b). Una corriente de sólido es
alimentada en continuo y otra extraída del reactor (sólido residual
o catalizador desactivado). Según dirección y sentido relativo de
las corrientes de sólido y fluido, se tiene lecho móvil en
contracorriente, en corrientes paralelas o en corrientes cruzadas.
o De lecho fluidizado: Figura 1.1 c). La velocidad superficial de
ascenso del gas en el lecho ( ) es mayor que la velocidad de
mínima fluidización ( ) de las partículas sólidas y éstas se
mueven en el de forma semejante a las moléculas de un fluido. El
flujo de gas es próximo a un flujo pistón si no excede en mucho
el valor , cuánto más grande es ese exceso sufre más
retroalimentación de la mezcla. La transferencia de calor en el
lecho es muy buena y presenta la gran ventaja de su
isotermicidad.
o De transporte neumático o tipo riser: Figura 1.1 d). la velocidad
es mayor que la velocidad terminal del sólido ( ), éste es
arrastrado con la corriente de gases. El lecho presenta
elevadísima porosidad [14].
a) b) c) d)
figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho fuidizado, d) De transporte neumático.
7
Reactores bifásicos fluido-fluido, G-L o L-L (gas-líquido o líquido-
líquido entre líquidos inmiscibles)
o Tipo torres de pulverización: Figura 1.2 a). El líquido forma una
fase dispersa de gotas que caen por gravedad y se ponen en
contacto con la corriente de gas (en contracorriente o corrientes
paralelas) como fase continua. Diversas variantes: torres de
relleno, de etapas, de platos, etc.
o Tipo tanques de borboteo: Figura 1.2 b). Es el gas la fase
dispersa en burbujas a través del líquido que constituye la fase
continua.
a) b)
figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo.
Reactores trifásicos gas-líquido-sólido, G-L-S. Habitualmente en
reacciones entre un reactivo en fase gas y otro en fase líquida con un
sólido como catalizador.
o Tipo reactores de barros o slurry: el sólido son partículas muy
finas en suspensión.
o Tipo lecho escurrido o trickle bed: el sólido, en partículas
mayores, forma lecho un lecho fijo [13].
1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción.
De la Figura 1.3 a la Figura 1.11, se muestra una lista que incluye el tipo de reactor que se utiliza para desarrollar determinado tipo de reacción, así como algunos ejemplos de aplicaciones en la industria química (desarrollado en base a la clasificación de [15]).
8
figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores.
.
figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas.
9
figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica).
figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica).
10
figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o más fases).
figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida, Gas-liquido.
11
figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas.
figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y electroquímicas.
12
figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas.
1.2. El modelado matemático de procesos químicos
Un modelo matemático de un sistema es un conjunto de ecuaciones que representan la
dinámica del sistema, este modelo no es único, un sistema puede representarse de formas
diferentes y esto dependerá de la perspectiva.
El modelado macroscópico de procesos ha demostrado ser eficaz para resolver muchos
problemas en los proceso químicos, estos modelos son capaces de describir el
funcionamiento del sistema, pero el control que se hace actualmente a estos procesos sigue
siendo deficiente debido a la falta de precisión que se tiene al realizar dichos modelos. Se
sabe que en los modelos obtenidos, van involucrados aspectos inherentes tales como son:
los retardos del tipo no-lineales (sistemas que no cumplen con el principio de superposición y
en los cuales se encuentra inmerso uno o varios retardos), modelos matemáticos con
grandes problemas de linealidad, el mal entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo
real de monitoreo, fallas en las mediciones en línea de las variables del proceso, falta de
aparatos y sensores fiables en línea, etc.
Dadas las crecientes expectativas de los procesos químicos industriales, el control de estos
procesos considerando al retardo es de importancia práctica. El controlador se obtiene a
partir de la(s) función(s) de transferencia. La única información requerida sobre el proceso
13
son las medidas de las variables de estado y su grado relativo. Cabe mencionar que si para
el proceso de análisis no hay variables accesibles de estado, éstos serán estimados
utilizando un observador adecuadamente de estado.
Es bien sabido que un modelo por más complejo que sea nunca podrá igualar la realidad, la
consideración de los retardos es de vital importancia para poder desarrollar un modelo más
preciso y exacto, que se aproxime más a la realidad, por ende es mucho mejor considerar un
sistema con retardo a uno que lo ignore.
1.2.1. Espacio de estados.
El estado de un sistema es el conjunto de variables llamadas variables de estado, que en
conjunto con las funciones de entrada y las ecuaciones que describen la dinámica del
sistema, nos permiten predecir las salidas y estados futuros.
Un sistema moderno complejo posee múltiples entradas y múltiples salidas, las cuales tiene
una relación relativamente complicada, esta relación es simplificada con su representación
en espacio de estados.
La teoría del control convencional se basa en relaciones entrada-salida, o funciones de
transferencia, la teoría del control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de
un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en
una ecuación diferencial vectorial de primer orden.
El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los
sistemas de ecuaciones.
La representación de un sistema en espacio de estados se muestra a continuación:
(1.1) (1.2)
xvector de estado de dimensión n AMatriz nxn uvector de control de dimensiones r BMatriz de nxr yvector de salida de dimensiones n CMatriz de mxn DMatriz de mxr
Los estados de un sistema también pueden ser representados en diagrama de bloques como
se muestra en la Figura 1.12.
14
figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados.
1.2.2. Controlabilidad y observabilidad.
Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad que son de suma
importancia para el diseño de controladores en espacio de estados, estos conceptos
determinan la existencia del controlador, en otras palabras, el sistema debe ser de estado
completamente controlable para el diseño de su controlador, y completamente observable en
caso de realizar un observador.
Controlabilidad
Un sistema representado en espacio de estados, como se muestra en las ecuaciones 1.1,
1.2 es controlable en t=t0 (t =tiempo, t0=tiempo inicial), si es posible construir una señal de
control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final (t1) en un
intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Si todos los estados son controlables, se dice que el
sistema es de estado completamente controlable.
Observabilidad
Sea en sistema no forzado descrito por
(1.3) (1.4)
Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir
de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Un sistema es
completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a
todos los elementos del vector de salida.
15
1.3. Sistemas lineales y no lineales.
La linealidad de las ecuaciones matemáticas representativas de un sistema, se refiere a que su comportamiento se presenta siempre dentro de un margen de operación acotado. Cuando se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen, el simplemente no posee condiciones de linealidad, por lo tanto se obtiene es un modelo matemático no lineal.
Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposición. Es decir,
una función ( ) es lineal si y solo si dados ( ) ( ) constantes &
( ) ( ) respectivamente [19], entonces la siguiente ecuación se cumple:
( ) ( ) ( )
1.3.1 Método de linealización de Taylor.
Sea el sistema dinámico no lineal definido mediante la ecuación 1.5.
( ) (1.5)
El comportamiento de dicha función se puede aproximar mediante la serie de Taylor
siguiente [19]:
( ) ∑
( )( )
(1.6)
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) (1.7)
El método de linealización por Taylor consiste en truncar la serie hasta , utilizando sólo
los primeros dos términos de la serie y despreciando el resto (llamados términos de Orden
Superior). Adicionalmente, si se considera que el punto fijo es igual a un punto de
equilibrio , entonces ( ) ( ) . Por lo tanto:
( ) ( )
( )( ) (
( ))
( )
Definiendo:
(
( ))
( )
La proximidad lineal se define en la siguiente ecuación:
( )
16
Nota: La aproximación lineal puede hacerse en un punto tal que ( ) , en cuyo
caso se considera que las condiciones iniciales no son cero [19].
Para este caso es posible hacer la aproximación lineal con condiciones iniciales igual a cero
y posteriormente, extrapolar los resultados obtenidos hacia las condiciones iniciales (lo que
significa simplemente un desplazamiento de los ejes). Es decir, si las condiciones iniciales se
definen como ( ) entonces se tiene la siguiente ecuación
1.4. Retardos, conceptos básicos.
Los reactores químicos son un ejemplo típico de procesos que exhiben comportamientos no
lineales y que presentan fenómenos de retardo en su dinámica. Los retardos en el tiempo se
originan no solamente por el tiempo que se requiere para que los reactivos involucrados en
el proceso de conversión química generen los productos demandados en el proceso
químico, sino que también se suscitan por los actuadores, sensores y redes de comunicación
involucradas en la implementación práctica de estrategias de control de retroalimentación,
por ejemplo; sistemas de control en cuyos lazos hay sensores como cámaras, columnas de
destilación, procesos de secado de papel, plantas de reciclado, procesos de refinación,
sistemas tele operados etc.
A pesar del conocimiento de que una de la característica es la no linealidad inherente del
proceso, cabe mencionar que existen diversos factores entre los cuales se tienen; el mal
entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo real de monitoreo, fallas en las
mediciones en línea de las variables químicas o simplemente falta de instrumentación
adecuada para el proceso, tradicionalmente en los procesos industriales se utilizan técnicas
de diseño de control como lo es la implementación de un controlador PID (proporcional,
integral, derivativo) entre otras técnicas de control tradicional.
Los retardos temporales pueden ser intrínsecos a los procesos a controlar, como pueden ser
procesos químicos, biológicos, columnas de destilación, procesos con intercambio térmico,
etc., o bien se pueden introducir en el sistema de control por el propio diseño del mismo
(tiempo de computo del algoritmo de control, sistemas distribuidos, control remoto, redes de
comunicaciones, retardos introducidos por los sensores y/o actuadores, etc.).
Los retardos están siempre presentes en los sistemas físicos. Afortunadamente, en muchos
de ellos, éstos son pequeños al compararlos con las dinámicas del sistema y por lo tanto se
pueden asumir cero. Sin embargo, los sistemas que se caracterizan por el transporte de
materiales (p.ej., minería, biología, etc.), tienen retardos apreciables, esto se puede observar
en la Figura.1.13; en algunos casos son mayores a las constantes de tiempo de la dinámica
del sistema. Los sistemas eléctricos no están exentos de esta característica por la velocidad
finita de la luz. Este es el caso de los sistemas de transmisión de energía eléctrica en donde
el transporte se realiza en distancias del orden de los varios cientos de kilómetros.
17
figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material.
En general, las prestaciones de los sistemas de control son muy sensibles a todos estos
retardos, incluso más que a otros parámetros del modelo. De hecho, un sistema de control
en lazo cerrado puede llegar a estabilizarse como consecuencia de los mismos. La principal
limitación de los sistemas con retardos en el lazo de control se deriva del decremento en la
fase de los mismos, lo cual conduce a una inestabilidad del lazo de control a ganancias
relativamente menores, la presencia de esos retardos implica una limitación en la magnitud
de la acción de control.
Por contra, en algunas aplicaciones de control, introducir retardos en el proceso puede que
no presente ningún problema, e incluso puede contribuir a mejorar la respuesta en lazo
cerrado. Los retardos, también se pueden introducir en el modelo del sistema para modelar
procesos de orden elevado por otros de menor orden con retardos.
De forma general, los sistemas de control pueden contener retardos no solamente en la
entrada y/o salida del sistema, sino también en los estados.
Mayores problemas aparecen cuando tratamos con sistemas multivariables con múltiples
retardos, donde la dificultad de la interacción entre los diferentes lazos de control se ve
agravada por la presencia de los mismos.
La presencia de retardos de tiempo o temporales también complica el análisis teórico del
diseño del lazo de control, dado que estos son descritos por expresiones matemáticas más
complejas, respecto al uso normal en control lineal de ecuaciones diferenciales lineales
ordinarias. Este es el principal motivo por el cual el diseño de controladores para sistemas
con retardos temporales es considerablemente más complejo en comparación con sistemas
sin retardos.
Existen muchos sistemas de control que tienen un atraso de tiempo dentro del lazo cerrado
del sistema que afecta su estabilidad. Un tiempo de retardo es el intervalo de tiempo entre el
comienzo de un suceso a un punto del sistema y la acción que resulta en otro punto del
sistema.
18
Capítulo 2: Modelado matemático de un
reactor de agitación continúa.
En este capítulo se explica la forma de obtener el modelo matemático
de un reactor de agitación continua, el cual presenta una dinámica no
lineal y requiere de un método de linealización, de esta forma se puede
obtener un modelo en variables de estado que permita desarrollar
estrategias de control que cumplan con el objetivo de esta tesis.
Algunos valores (constantes químicas, condiciones iniciales, etc.) han
sido tomados de trabajos relacionados a este tipo de temas, los cuales
son mencionados dentro de los antecedentes de este trabajo. Cabe
destacar que el énfasis de este trabajo está ligado a la aplicación de
estrategias de control.
Para poder realizar el modelo matemático de un reactor, es
indispensable conocer la reacción que se lleva a cabo, las variables que
se encuentran presentes en el proceso, así como las señales de control,
balances de energía y de materia, etc., en este caso se tomó como
ejemplo una reacción de saponificación para la elaboración de jabón; es
importante mencionar que el objetivo de esta tesis no va enfocado a la
elaboración de jabón, pero es indispensable tener una reacción para
poder diseñar la estrategia a aplicar.
También se contempla la presencia de retardos, los cuales se pueden
apreciar al llevar a cabo la simulación del sistema no lineal.
Al final de este capítulo se puede observar la simulación de la dinámica
del sistema sin ninguna estrategia de control aplicada.
19
2.1. Reactor de agitación continúa.
Este reactor también es conocido por sus siglas en inglés CSTR que significa Continuous
Stirred Tank Reactor.
La agitación continua llevada a cabo dentro del tanque, tiene el objetivo de alcanzar una
buena mezcla de los reactantes, y asegurar que se use todo el volumen del reactor y así
evitar espacios muertos. Se habla de mezcla perfecta si el tiempo de circulación de los
reactantes dentro del reactor es de una centésima del tiempo promedio que le toma al mismo
elemento para entrar y salir del reactor [16].
Características:
La reacción química se desarrolla en un sistema cerrado.
Los reactantes se añaden continuamente y la mezcla reactiva se extrae en forma
continua.
Operan en régimen estable.
Que la mezcla reactiva este bien agitada se logra haciendo que la presión, la composición y
la temperatura sean las mismas en cualquier parte del reactor.
Ventajas de este tipo de reactores son las siguientes:
Su costo de operación es bajo comparado con el de los reactores por lotes.
Su operación es continua.
Se facilita el control automático de la producción.
Se tiene una sola temperatura en el sistema de reacción.
Desventajas de este tipo de reactores son las siguientes:
Su costo inicial es alto.
Para tiempos de residencia muy altos su tamaño también será alto.
En general son menos eficientes que un reactor tubular.
Las partes principales de este tipo de reactor son. Figura 2.1.
El sistema de agitación.
Las tuberías de alimentación de reactantes.
Las tuberías de descarga de productos.
El recipiente o tanque.
La camisa de enfriamiento y/o calentamiento.
20
Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado.
Las suposiciones principales que se hacen respecto a este tipo de reactor son las siguientes:
La mezcla reaccionante tiene las mismas propiedades en todos los puntos del
reactor.
El flujo de salida tiene las mismas propiedades que la mezcla reaccionante en el
interior del reactor.
El flujo de alimentación alcanza instantáneamente las propiedades de la mezcla
reaccionante.
Estas suposiciones implican que la alimentación se mezcle con el contenido del reactor en
un intervalo de tiempo mucho más corto que el tiempo promedio de residencia dentro del
reactor del flujo que pasa a través de este [16].
Con fines de lograr los objetivos de las tesis se ha decidido tomar como referencia un reactor
químico de agitación continua, al cual ya se le han aplicado diferentes estrategias de control
[17].
2.1.1. Descripción de la planta.
Componentes de la planta:
Reactor: Es un reactor continuo tipo tanque agitado, el cual cuenta con dos ductos:
entrada y salida de materiales. Cuenta con un sistema de control que le permite
mantener una agitación uniforme y casi perfecta y un sistema de control que abre una
válvula de drenaje cuando detecta que el nivel del tanque es superior al deseado.
21
Camisa de Refrigeración: Es un sistema de enfriamiento basado en tubos para
intercambiar calor. Cuenta con un tanque para almacenar el líquido refrigerante y una
bomba para hacerlo circular. El líquido refrigerante a usar será el agua.
Tanques de almacenamiento: Estos tanques permiten almacenar los materiales que
entran al reactor, dicho material es impulsado mediante electrobombas. También se
cuenta con un tanque para almacenar el material producido.
La siguiente figura 2.2. Ilustra estos componentes:
Figura 2. 2. Esquema de la planta
Variables sensadas:
Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , )
Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , )
Concentración de los materiales que entran al reactor ( , )
Concentración de los materiales que salen del reactor ( , )
Temperatura en el interior del reactor ( )
Nivel de pH en el interior del reactor ( )
Flujo del líquido refrigerante ( )
Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( )
Temperatura del líquido refrigerante en la salida ( )
Variables manipuladas (actuadores):
Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ).
Flujo del líquido refrigerante ( ).
22
Se pueden presentar perturbaciones en:
Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , ).
Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( ).
2.1.1.1. Descripción de la reacción química.
En el interior del reactor químico se desarrollará una reacción de saponificación, de acetato
de etilo ( COO ) con hidróxido de sodio (NaOH), la cual produce acetato de sodio
(C COONa) y etanol (C2 OH). Esta reacción es ligeramente exotérmica.
Para que la reacción transcurra normalmente, se debe procurar mantener la temperatura y
pH constantes dentro del reactor (304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente). Estos
valores dependen de la receta utilizada, conforme a la calidad de producto requerido.
Una de las principales aplicaciones de este tipo de reacciones es para la fabricación de
jabones. Los jabones son sales alcalinas de los ácidos grasos producidos por un proceso de
saponificación (el proceso inverso a la saponificación es la esterificación).
La saponificación puede ser efectuada con sosa (NaOH), para este caso se obtendrán
jabones de sodio, que son sólidos y ampliamente usados en el hogar. Para obtener jabones
líquidos, en necesario hacer la saponificación con potasa (KOH), el jabón debe reposar unas
semanas para que consiga una textura adecuada y pueda ser envasado y comercializado.
El índice de saponificación es el parámetro que indica la cantidad de éster (acetato)
necesario para saponificar un mol de lejía o álcali (KOH o NaOH) que se esté utilizando, si
se intenta saponificar con cantidades mayores o menores de éster según sea lo requerido,
es claro que el resultado obtenido no será el esperado.
COO
2.1.2.1. Balance de masa.
La expresión general del balance de masa para un material X es la siguiente:
23
Dónde:
Volumen del tanque Concentración de material X a la entrada Concentración de material X a la salida Velocidad de flujo molar de X a la entrada
Velocidad de flujo molar a la salida
Velocidad de generación o transformación
Si la temperatura, actividad catalítica, concentración, y demás parámetros asumidos son
válidos y uniformes, entonces se cumplirá que:
La velocidad de reacción ( ) se define como la velocidad de formación o de desaparición de
moles del material , transformados por cada unidad de tiempo y por cada una unidad de
volumen.
Para este caso, la reacción sigue la ecuación de segundo orden, por tanto:
Ecuación de Arrhenius:
La cual se resolverá según [18]
Donde:
Velocidad de reacción
Constante de velocidad
Factor estérico
Frecuencia de colisiones
Energía de activación
Constante de Botzmann
Temperatura
24
Se sabe que el volumen de la masa reaccionante al interior del tanque es constante,
entonces tanto el flujo de entrada como el flujo de salida serán iguales, por lo que el balance
global de las masas será:
El balance de masas para el hidróxido de sodio (A) es el siguiente:
(2.1)
El balance de masas para el acetato de etilo (B) es el siguiente:
(2.2)
El balance de masas para el acetato de sodio (C) es el siguiente:
(2.3)
El balance de masas para el etanol (D) es el siguiente:
(2.4)
2.1.2.2. Balance de energía.
Según [10], el balance de energía en un reactor CSTR de volumen constante esta dado por
la siguiente expresión:
∑( ) ∑( ) ∑( )
∑( )
Subdividiendo cada termino:
∑( )
∑( )
∑( )
( )
25
∑( )
(
Los términos correspondientes a
se obtienen de la ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4).
Cuando la superficie de un sólido está en contacto con un fluido que se encuentra a diferente
temperatura, se da una transferencia de calor por convección, y puede expresarse mediante
la ley de Newton de enfriamiento:
( )
El flujo de calor transferido por convección.
Coeficiente de transferencia de calor por convección
Temperatura en el reactor a la salida
Temperatura de la superficie de la pared el contacto con el fluido
Temperatura del fluido en un punto alejado de la pared.
En el caso que existe un gradiente de temperatura, el flujo de calor por conducción a través
de un sólido, viene dado por la ley de Fourier de la conducción:
Conductividad térmica del material
Área a través de la que se produce la conducción
El gradiente de temperatura en la dirección de propagación del calor.
En el caso de conducción unidimensional, en régimen estacionario, a través de una pared
plana, de conductividad térmica constante y uniforme y en la que se mantiene una
temperatura constante y uniforme en cada una de las caras de la pared, la transferencia de
calor por conducción viene dada por:
( )
Espesor de la pared M
Diferencia de temperaturas entre la cara de
la pared más caliente y la cara más fría, de
forma que >
26
El flujo de energía térmica q se realiza mediante una combinación de los mecanismos de
conducción y convección
Para cada uno de los mecanismos de transmisión de calor analizados, por analogía eléctrica
con la ley de Ohm, podemos definir una resistencia térmica, esto facilita el estudio de
sistemas de transmisión compuestos.
Para la conducción:
Para la convección:
Al realizar un análisis correspondiente, se obtiene el valor de una resistencia equivalente ,
y el coeficiente global de transferencia de calor corresponde a:
Donde U es el coeficiente global de transferencia de calor, y según [16] se puede asumir
constante:
La transferencia de calor global por unidad de tiempo, según [12] puede expresarse como:
( )
Temperatura en el refrigerante a la salida Temperatura en el reactor a la salida
Operando algebraicamente y simplificando se obtiene que el balance de energía, que
expresa el comportamiento dinámico de la temperatura dentro del reactor, queda reducido a
la siguiente expresión:
( )
( ) ( ) ( )
Capacidad calorífica:
Generalizando la Capacidad Calorífica del material X se encuentra a partir de la siguiente
ecuación, los coeficientes para cada material, fueron obtenidos a partir de [21].
27
Las entalpías se agrupan en un solo término:
( ) ∫ ( )
El coeficiente ( ) representa la parte de la integral que es constante, es decir la
sumatoria de las capacidades caloríficas para una temperatura de referencia ( ).
Donde:
Coeficiente de trasferencia de calor
Superficie o área para la transferencia de calor
Temperatura en el reactor a la salida
Temperatura del material A en la entrada Temperatura del material B en la entrada Temperatura en el refrigerante a la salida Capacidad calorífica general
Capacidad calorífica del material X
Densidad del líquido en el tanque Entalpías de formación del material
Calor desarrollado en la reacción
El comportamiento dinámico para la temperatura de la camisa de refrigeración según
referencia [21] está dado por la expresión:
( ) ( )
Donde:
Temperatura del refrigerante a la salida Temperatura del refrigerante a la entrada
Flujo del líquido refrigerante
Calor especifico del refrigerante
Volumen de la camisa de refrigeración Densidad del refrigerante
También es necesario conocer el valor del PH, este valor puede ser medido
experimentalmente por un sensor, pero en este caso de simulación, se hará una
aproximación mediante la expresión:
28
( )
( ) Donde:
Valor de pH dentro del reactor.
Valor de pH del material A.
Valor de pH del material B.
Variable auxiliar para determinar el pH.
Como se mencionó al inicio de este capítulo, debido a que no se conocen los valores del
retardo que existen en esta reacción, los valores de dichos retardos han sido acotados a los
valores de las perturbaciones antes mencionadas, Temperatura de los materiales que entran
al reactor ( , ), Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ) y flujo
del líquido refrigerante ( ).
La presencia de los retardos puede ser causada por las válvulas que controlan el flujo de los
materiales, el tiempo en que la temperatura del refrigerante actúa, la dinámica de la reacción,
los instrumentos de medición, etc.
2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado.
Como ya se mencionó anteriormente: un modelo matemático de un sistema es un conjunto
de ecuaciones que representan la dinámica del sistema, este modelo no es único, un
sistema puede representarse de formas diferentes y esto dependerá de la perspectiva.
Existen diferentes métodos para obtener este modelo matemático, ya sea el método analítico
o el método experimental.
Es necesario conocer el comportamiento del proceso en el cual está involucrado el reactor,
conocer el tipo de reacción y realizar los respectivos balances de masa y energía.
El modelo matemático del presente reactor continuo tipo tanque agitado, se basa en los
balances de masa y energía de proceso, los cuales han sido llevados a ecuaciones
diferenciales, (basado en el trabajo de Hernández y Borregales, 2001, así como en el libro
[17]).
Se han hecho suposiciones con el fin de simplificar el modelo:
La agitación es perfecta, por tanto la concentración, presión, y temperatura son
iguales en cualquier punto del tanque, así como en la corriente de salida.
29
El volumen del reactor es constante.
Las propiedades de los compuestos no varían con la temperatura.
No hay pérdidas de calor hacia el ambiente.
No se considera como objeto de control el sistema de agitación, ni el sistema de
control de nivel del tanque.
La concentración y temperatura de los materiales al interior del reactor son las
mismas a las de los productos que están saliendo del reactor.
El flujo de salida de productos es igual al flujo de entrada de material reactante.
No se ha considerado las dinámicas no lineales de los sensores y actuadores.
Las ecuaciones representativas o modelo matemático de acuerdo a los cálculos realizados
en la tesis [16] son las siguientes:
( )
( ) ( )
(2.1)
( )
( ) ( )
(2.2)
( )
(2.3)
( )
(2.4)
( ( ) )
( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )
(2.5)
( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
(2.6)
( ( ) ( ) ( ) )
(2.7)
Definiendo:
; ; ; ; ; ;
Además
( ). Al sustituir en las variables previamente
definidas se tiene como resultado las siguientes ecuaciones que representan el
comportamiento de un reactor de agitación continua.
(
( ) ) (
)
(2.8)
(
( ) ) (
)
(2.9)
30
( ) (
)
(2.10)
( ) (
)
(2.11)
[ ( )
( ) ( ) ((
) ) ]
(2.12)
[ ( ) ( )]
(2.13)
[ ( ) (
) ]
(2.14)
Se puede observar que las ecuaciones presentadas son del tipo no lineales, los sistemas
lineales no existen en la práctica.
Las características físicas del reactor, condiciones iniciales de simulación y perturbaciones,
son similares a las del reactor utilizado por Hernández y Borregales (2001). Los coeficientes
de las constantes químicas (tales como capacidad calorífica, densidad, etc.) han sido
tomadas de “Tablas y gráficas para: Termodinámica I, Termodinámica II, y Termodinámica
general” (PUCP-1986), y de [21].
2.1.3.1. Simulación del modelo matemático del sistema del CSTR con un diagrama de
bloques en Simulink e identificación de las respuestas obtenidas.
A continuación se muestran las condiciones iniciales con las cuales se llevo a cabo la
simulación de reactor de agitación continua.
Constantes
Ex = 2407.2
Energía activación y Const. Botzmann
Ko = 63380 Fact.Esterico * Frec.Coliciones
V = 7.9
Volumen del tanque
Vr = 8
Volumen de la camisa de refrigeración
A = 24
Superficie o área para la transferencia de calor
31
Cpr = 4.19 Calor especifico del refrigerante (agua)
dr = 1000 Densidad del refrigerante (agua)
dL = 76 Densidad del líquido en el tanque
pHA = 13.3
Valor de pH del material A
pHB = 7.10
Valor de pH del material B
CpA = 3.26 Capacidad calorífica del material A
CpB = 2.02 Capacidad calorífica del material B
CpC = 2.51 Capacidad calorífica del material C
CpD = 3.76 Capacidad calorífica del material D
Basándonos en el trabajo de [16] y considerando que no se cuenta con el valor del flujo
molar a la entrada tanto del reactivo A y B, tenemos que la condición inicial de las
concentraciones A y B a la entrada son iguales a 0.2 mol.
Como es sabido, en un sistema siempre se cuenta con perturbaciones que complican que se
pueda llevar a cabo una implementación correcta de una arquitectura de control que permita
obtener los parámetros deseados.
Inicialización de variables
CA = 0.08 Concentración de material A a la salida CB = 0.08 Concentración de material B a la salida
CC = 0.09 Concentración de material C a la salida
CD = 0.15 Concentración de material D a la salida T = 306 Temperatura en el reactor a la salida Tr = 300 Temperatura en el refrigerante a la salida
Ph = 0.01 Variable auxiliar para determinar el pH CiA = 0.2 Concentración de material A a la entrada CiB = 0.2 Concentración de material B a la entrada Tir = 306 Temperatura del refrigerante a la entrada
FiA = 0.01268 Velocidad de flujo molar de A a la entrada
FiB = 0.01037 Velocidad de flujo molar de B a la entrada
TiA = 300 Temperatura del material A en la entrada
32
TiB = 300 Temperatura del material B en la entrada Fr = 0.4768 Flujo del líquido refrigerante
Para poder emplear una simulación que permita observar el comportamiento no lineal del
modelo matemático del reactor, es necesario elaborar un diagrama de simulación analógica,
el cual permite realizar una especie de diagrama de bloques mediante el cual se puede
simular la respuesta del sistema en Simulink, los pasos para realizar dicho diagrama son los
siguientes [22]:
1. Se despeja la salida con la derivada de orden más alta.
2. Aplicar tantas integrales como el orden de la derivada más alta.
3. Construir el diagrama de simulación analógica.
Diagrama de bloques en Simulink
El modelo que se implemento es el que se muestra en las ecuaciones 2.3.
Figura 2. 3. Diagrama de bloques del CSTR.
Esta simulación permite modificar tanto las variables de control como las perturbaciones en
la entrada, esto es con el fin de poder observar el comportamiento del reactor en cada uno
de sus estados. El osciloscopio en la Figura. 2.3, muestra la respuesta que se tiene de las
concentraciones, ya sea en la de las entradas (CA, CB) o salidas (CC, CD), se muestra la
temperatura del reactor y la temperatura de la camisa, por último, se tiene el comportamiento
del pH.
Conexiones internas del diagrama de bloques.
A continuación se observa la respuesta del sistema a perturbaciones constantes, por lo tanto
no se consideran los retardos.
33
La dependencia de cada uno de los estados del sistema se puede observar en la figura. 2.4.
La cual muestra cada una de las conexiones que existe entre cada uno de los estado,
mediante este diagrama y con la interpretación adecuada de las ecuaciones 2.1 a 2.4, se
observa que la variable del pH no ejerce ninguna acción sobre los demás estados del
sistema.
Figura 2. 4. Diagrama de conexiones internas.
En la Figura 2.4. Se observan los bloques que representan a cada una de las ecuaciones de
estado, cada bloque es el equivalente a una ecuación de estado no lineal, de igual forma, se
muestra la entrada de perturbaciones, las cuales se pueden presentar en un instante de
tiempo distinto de cero.
Los diagramas empleados para CA, CB, CC, CD, T, Tr, pH. Son los mostrados en las
Figuras 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.9, 2.10 y 2.11, respectivamente.
34
Estado
Este estado corresponde a y se representa en la ecuación 2.8, su representación grafica
en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.5.
Figura 2. 5 Diagrama de bloques de CA, estado .
Se observa que depende de CB y T, así como del cambio de CA, por tal motivo es fácil
apreciar que se trata de un sistema no lineal, dado que no depende únicamente de la
variación de CA.
La función del integrador es obtener el valor de CA ( ), ya que como se observa en las
ecuaciones 2.1 a 2.7, los estados son la derivada de cada variable que no tiene un valor fijo,
por lo cual al integrar esta derivada, se obtiene el valor resultante de cada variable.
Estado
Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.9, su representación grafica
en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.6.
35
Figura 2. 6.Diagrama a bloques CB, estado .
La dependencia de es similar a la que se tiene en el caso de .
Estado
Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.10, su representación
grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.7.
Figura 2. 7.Diagrama a bloques CC, estado .
Para este caso se observa que la influencia de CA, CB y T por lo cual la linealidad de la
respuesta se pierde.
Estado
Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.11, su representación
grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.8.
36
Figura 2. 8. Diagrama a bloques CD, estado .
La estructura es similar a la de la figura 2.7, solo difiere en CD con respecto a que se
tiene en la figura 2.7.
Graficas de las respuestas de las concentraciones CA, CB, CC, CD
Hasta este punto solo se tiene la estructura en diagrama de Simulink de las concentraciones
que se encuentran dentro del reactor, por lo cual es posible simular y visualizar la respuesta
que tiene el sistema, los valores de las variables utilizadas son los que se mencionan al
inicio de este capítulo.
Al analizar las gráficas de las concentraciones CA, CB, CC, CD en la Figura 2.9. Obtenidas
de las simulaciones con respecto a las concentraciones, se tiene que la concentración CA
reacciona de forma similar a la concentración CB, esto se debe a que como se observo en la
parte del modelado, las ecuaciones que describen el comportamiento de estas variables son
similares, e incluso ambas tienen la misma dependencia. Además, las condiciones iniciales
que se implementan en esta simulación son las mismas para ambas concentraciones, para
poder observar un comportamiento diferente, basta con solo modificar las condiciones
iniciales de alguna de las concentraciones.
37
Figura 2. 9. Respuesta de las concentraciones CA, CB, CC y CD
El mismo comportamiento se tiene para las concentraciones CC y CD, en donde, la
respuesta de ambas concentraciones se dan en un tiempo de 25 minutos, mientras que para
las concentraciones CA y CB el tiempo de establecimiento es de 13 minutos.
Estado .
Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.12, su representación grafica
en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.10, la salida de este diagrama representa la
temperatura dentro del reactor, la cual depende de los valores de las ecuaciones 2.8 A 2.14,
que corresponden a la concentración A (CA), concentración B (CB), concentración C (CC),
concentración D (CD), temperatura del reactor (T) y temperatura del enchaquetado (Tr), es
por ello que resulta complejo el poder controlar esta variable.
38
Figura 2. 10. Diagrama a bloques T, estado .
Estado
Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.13, su representación
grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.11, aquí se muestra que la
temperatura del enchaquetado solo depende de la temperatura del reactor, esto es correcto,
ya que no se lleva a cabo ningún tipo de reacción dentro del enchaquetado, lo único que
sucede es un intercambio de temperatura entre la chaqueta y el reactor.
Figura 2. 11. Diagrama a bloques Tr, estado .
Graficas de las respuestas de las temperaturas T y Tr.
En la figura 2.3 se observa la temperatura del reactor y la temperatura del enchaquetado.
39
Figura 2. 12. Respuesta de temperatura en el reactor y temperatura en el enchaquetado.
Tal como se observa en la figura 2.12, el comportamiento de la temperatura dentro del
reactor tiende a disminuir hasta un valor de 303.6 grados K, mientras que la temperatura Tr
se estabiliza en un valor de 305.9 grados K, los tiempos en que las temperaturas T y Tr se
estabilizan son 26 y 16 minutos respectivamente.
Estado
Este estado corresponde al , y se representa en la ecuación 2.14, su representación
gráfica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.13, se observa que el pH depende de
X1, X2, X5, por ello el comportamiento de esta variable no es lineal.
40
.
Figura 2. 13. Diagrama a bloques Ph, estado .
Grafica de la respuesta de PH
La respuesta de esta variable es la mostrada en la figura 2.14.
Figura 2. 14. Respuesta del nivel de pH dentro del reactor
El comportamiento que se tiene en la salida del diagrama mostrado en la figura 2.14 es la
salida del pH, esta variable se estabiliza en un valor aproximado de 12, en un tiempo de 20
minutos.
Cabe mencionar que cada uno de los estados que se han analizado anteriormente son el
equivalente a un sistema de primer orden, por lo tanto, se tienen 7 sistemas de primer orden,
los cuales dependen entre sí.
41
Al inicio de este capítulo se mencionaron las especificaciones que debe de cumplir la
reacción para poder llevarse a cabo, entre las cuales se explico que la temperatura dentro
del reactor debe mantenerse en un intervalo de 304.5 grados K, lo cual como se observo en
la figura 2.12 no se cumple para este sistema ya que la temperatura alcanzada por el
reactor es menor a la requerida.
En el caso del pH se cumple con el nivel deseado, por lo tanto es necesario implementar una
estrategia que permita mantener al pH dentro de ese margen. Debido a las respuestas
obtenidas del sistema, se observa que es necesario implementar una estrategia de control
que permita obtener los resultados requeridos para que la reacción se lleve a cabo dentro del
reactor.
42
Capítulo 3: Linealización y
retroalimentación de estados.
En el capítulo 2 se habló del problema de linealidad con que cuenta el
reactor de agitación continua, por ello, en este capítulo se encuentra
desarrollado el proceso de linealización del modelo matemático, de esta
forma se logra obtener la representación lineal del sistema en espacios
de estados, con el fin de poder aplicar una estrategia de control, la cual
pueda ser comparada con una estrategia enfocada al efecto de los
retardos presentes en este sistema.
Se aplicó una retroalimentación de estados en la cual se debe de
garantizar la estabilidad del sistema, para ello es necesario comprobar
si el sistema es completamente controlable.
Por último, en este capítulo se muestran la aplicación de la estrategia
del Predictor de Smith para el tratamiento de retardos presentes en un
sistema.
Todos los puntos mencionados anteriormente son simulaciones.
43
3.1. Linealización del modelo matemático.
Con el fin de desarrollar el diseño de un controlador de retroalimentación de estados, es
necesario pasar de un sistema no linealidad a uno lineal, para ello se lleva a cabo la
implementación de un método de linealización que permita facilitar la representación del
sistema.
El método utilizado es el de matrices Jacobianas, las cuales nos permitirán obtener las
matrices de estado del sistema linealizado, pero para ello se requiere conocer los puntos de
equilibrio (punto de operación del sistema) [19]. Estos puntos se obtienen igualando las
ecuaciones 3.1 a 3.7 a cero para posteriormente resolver el sistema y encontrar los valores
de las variables del sistema.
(
( ) ) (
) =0
(3.1)
(
( ) ) (
) =0
(3.2)
( ) (
) =0
(3.3)
( ) (
) =0
(3.4)
[ ( )
( ) ( ) ((
) ) ]=0
(3.5)
[ ( ) ( )]=0
(3.6)
[ ( ) (
) ]=0
(3.7)
Al resolver el sistema de ecuaciones se logra encontrar el punto de equilibrio. El punto de
equilibrio tiene la característica primordial de que la función o ecuación que describe el
comportamiento de un sistema ( ) evaluado en dicho punto es igual a cero (conocido
también como solución del sistema) ( ) . Para el caso de los sistemas lineales este
punto de equilibrio es único, para la relación de salida/entrada es el origen { } { },
dependiendo del número de componentes de . Sin embargo, para el caso de los sistemas
no lineales les es posible que también exista un único punto de equilibrio, pero también se
puede dar el caso en que existan dos o más, un número infinito, o bien que no existan
puntos de equilibrio.
44
Por lo tanto, definiendo el punto de operación nominal como:
{ } { ( ) ( )}
{[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]
}
{[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]
}
Es decir:
[ ]
[
]
Como se menciona anteriormente, es necesario realizar la representación en espacio de
estados del sistema, para ello se calcula el Jacobiano de cada función, la estructura del
Jacobiano es la siguiente [19]:
Se toma como el punto nominal fijo o condiciones iniciales del sistema. Linealizando las
ecuaciones alrededor del punto de condiciones iniciales se tienen:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Se tiene que [ ] [ ]
y la expresión no lineal es:
( ) [
( )
( )
( )
]
Donde y tienen y componentes respectivamente. Por lo tanto, la aproximación lineal
de Taylor alrededor del estado estacionario ( ) (
) esta dada por:
( ) ( )
( )( )
( )( )
Entonces, para ( ) ( ) ( ) y omitiendo los términos de orden
superior, se tiene:
( )
( )
( )
45
[
]
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
[
]
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
[
]
Donde:
[ ] [ ] [ ]
Finalmente, definiendo;
[
]
{ } { }
{ } ;
[
] [
]
46
[
]
{ } { }
Al aplicar este método de linealización, se obtendrá una matriz de dimensiones 7*7, lo cual
únicamente vuelve el diseño del controlador más complejo, tal y como se menciono en el
capítulo 2.
Para poder linealizar el sistema es necesario realizar una serie de derivadas parciales, de las
cuales la mayoría presentan un mayor grado de complejidad, por ello, se elaboraron
programas en Matlab los cuales fueron los encargados de obtener los valores de las
matrices A y B.
Las matrices resultantes del sistema linealizado son los mostrados en la figura 3.1.
Hasta este punto ya se tiene el sistema linealizado, y es posible observar el comportamiento
que se tiene del sistema, para ello se hace uso de SIMULINK, en el cual se evaluara la
respuesta del sistema, el diagrama que se realiza es el mostrado en la figura 3.2.
47
Figura 3. 1. Matrices representativas del sistema linealizado.
48
Figura 3. 2. Diagrama en simulink del sistema linealizado.
Las respuestas del sistema linealizado se pueden observar el las Figura 3.3, 3.4 y 3.5.
Figura 3. 3. Respuesta lineal de las concentraciones A, B, C y D.
Se observa que respuesta del sistema lineal es similar a la del no lineal, la diferencia radica
en la concentración B, la cual tiene una respuesta negativa, cabe mencionar que las
variables que nos interesan controlar son la temperatura y el pH.
49
La respuesta de la temperatura en el reactor y la temperatura del enchaquetado es la
mostrada en la Figura 3.4.
Figura 3. 4. Respuesta de la temperatura en el reactor y repuesta en el enchaquetado.
Al observar la respuesta de T y Tr, se llega a la conclusión de que las respuesta del sistema
lineal y no lineal en cuanto a la temperatura T, son similares, ambas se encuentran alrededor
de los 300 grados K, por lo cual se tiene que implementar una estrategia que permita el
control de la temperatura, lo cual no es tan sencillo debido a que la temperatura T depende
de la temperatura Tr.
En lo que corresponde a la temperatura en el enchaquetado, el valor en el que se estabiliza
es de 0.064 grados menor a la del sistema no lineal, así como también, se puede apreciar
un sobre impulso en los primeros 200s de la simulación.
Por ultimo se analiza la respuesta del pH observa en la figura 3.5.
Figura 3. 5. Respuesta del pH dentro del reactor.
Tal como se observa en la figura anterior, la respuesta del sistema lineal es similar a la que
se obtiene del sistema no lineal, pero con una respuesta de amplitud menor.
Hasta este punto ya se cuenta con el modelo matemático linealizado del reactor de agitación
continua.
50
Comparación entre el sistema lineal y el no lineal.
Para poder evaluar si el sistema linealizado puede o no servir para tomarlo como referencia
del sistema no lineal, es primordial observar la diferencia que existe entre el sistema lineal y
no lineal, dicha diferencia deber ser mínima para poder implementar una estrategia de
control que ayude a cumplir con el objetivo fijado en este trabajo. La respuesta obtenida es la
mostrada en la figura 3.26.
Figura 3. 6. Comparación entre sistema linealizado y sistema no lineal.
51
El diagrama de la simulación empleada para la comparación de ambos sistemas es el
mostrado en la figura 3.27.
Figura 3. 7. Diagrama empleado para comparar respuesta lineal y no lineal.
Al analizar la respuesta mostrada en la figura 3.26 se observa que en la temperatura T,
existe una diferencia de 1.598 grados K, mientras que en el pH se tiene un diferencia de -
0.00592, ambos rangos de error son aceptables, por ello se pueden implementar estrategias
de control en el sistema linealizado.
3.2. Determinación de la controlabilidad.
Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad que son de suma
importancia para el diseño de controladores en espacio de estados, estos conceptos
determinan la existencia del controlador, en otras palabras, el sistema debe ser de estado
completamente controlable para el diseño de su controlador.
El sistema es completamente controlable si y solo si los vectores (3.8) son linealmente
independientes, o la matriz nxn es de rango n. Esta matriz es conocida como matriz de
controlabilidad
[ ] (3.8)
Un sistema representado en espacio de estados, es controlable en t=t0, si es posible
construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier
estado final en un intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Si todos los estados son controlables,
se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
52
3.2.1. Comando ctrb.
Esta función en Matlab nos regresa la matriz de controlabilidad (co) del modelo en espacio
de estados, y su sintaxis es la siguiente:
co = ctrb(A,B)
Figura 3. 8. Matriz de controlabilidad del sistema obtenida con el comando ctrb.
3.2.2. Comando ctrbf.
En caso de que el sistema no sea completamente controlable, se pueden separar los
estados que no son controlables de los que si son. Como es sabido, para hacer un
controlador en espacio de estados es necesario que el sistema sea completamente, por lo
tanto al el utilizar en comando ctrbf se pueden separar los estados controlables en una
matriz.
La sintaxis de este comando es la siguiente:
[ABAR, BBAR, CBAR, T, Q] = ctrbf(A, B, C)
Aplicando el comando se obtiene la siguiente forma:
| | | |
| | | |
| |
| |
[ | ]
53
En donde:
Ac es matriz controlable.
Bc es matriz controlable.
Cc(sI-Ac)Bc = C(sI-A)B.
k es un vector de longitud n que contiene el numero de estados controlables identificados
en cada iteración del algoritmo.
Figura 3. 9. Matrices obtenidas con el comando ctrbf.
54
T matriz de transformación, la cual modifica las matrices de los estados para obtener una nueva
representación de estado completamente controlable.
Figura 3. 10. Matriz de transformación y matriz Q obtenidas con el comando ctrbf.
3.2.3. Separación de la parte controlable del sistema de la no controlable.
Como ya se mencionó anteriormente, las matrices Ac y Bc son aquellas que son
completamente controlables, por lo tanto para separarlas de las matrices ABAR Y BBAR, se
desarrolló la siguiente sintaxis:
Ac=ABAR(2:7,2:7)
Bc=BBAR(2:7,1:3)
Figura 3. 11. Matriz Ac y Bc que representan los estados controlables.
55
3.3. Matriz de retroalimentación K.
El modelado en espacio de estados es principalmente para sistemas MIMO, se tendrá que
las funciones de transferencia representativas del sistema se obtienen de la siguiente
expresión.
( ) [ ( ) ] ( ) (3.9)
En donde:
IMatriz identidad.
A, B, C, D Matrices de la representación en espacio de estados.
El término ( ) nos ayuda a determinar la ecuación del sistema que es la misma para
todas las funciones de transferencia. Esto se obtiene a partir de la ecuación 3.10.
( ) (3.10)
Los auto valores de A proporcionan la solución de la ecuación obtenida, y estos resultados
representan los polos del sistema.
Dado un sistema de control dado por su modelo en espacio de estados como se muestra en
la Figura 3.10.
Figura 3. 12. Sistema de control dado por su modelo en espacio de estados.
En donde:
UEs la entrada al sistema.
RSeñal de referencia.
KEs el vector de retroalimentación de los estados (1 ganancia porcada estado).
En forma general podemos observar que:
( ) ( ) ( ) (3.11)
56
Si ( ) se tendrá un sistema de seguimiento cuyo vector K nos lleva a que el sistema
adopte los estados impuestos por la referencia r.
Si ( ) se tendrá un controlador, cuyo vector K, se escoge para cumplir cierto desempeño
deseado, esto significa que hablamos que hablamos de un controlador cuya finalidad es la
de llevar al sistema desde un estado inicial hasta un estado deseado en tiempo finito.
Podemos observar que
( ) ( ) (3.12)
El objetivo del diseño es el de obtener el vector K para obtener un comportamiento deseado
en lazo cerrado, sustituyendo (3.12) en (1.1) podemos obtener
( ) ( ) (3.13)
Al cerrar el lazo la matriz A original, se transforma en , por lo tanto, la ecuación del
sistema en lazo cerrado es
( ( )) (3.14)
Por lo tanto los auto valores son los polos en lazo cerrado.
3.3.1. Ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables
de estado.
Esta combinación lineal la podemos expresar con el siguiente producto de vectores:
[ ] [
]
(3.15)
Se puede observar en la ecuación 3.15, si tenemos un sistema de orden n, el vector de
incógnitas K será de n componentes. Por ser un sistema de orden n, se puede escoger la
posición de n auto valores.
La ecuación 3.15 debe sustituirse en la ley de retroalimentación del estado del sistema de la
ecuación 3.13.
57
Por lo tanto ahora con la retroalimentación de estados el sistema pasa a ser un sistema
autónomo, cuya dinámica está regida por los auto valores de la matriz ( ); o sea los
lugares del plano s que cumple con siguiente la ecuación característica 3.14, posteriormente
se procede a obtener los valores de los polos en lazo cerrado resolviendo esta misma
ecuación. Esta ecuación origina un polinomio mónico de grado n. Escogiendo los nuevos
autovalores del sistema en , dá origen también a un polinomio mónico de
grado n el cual se llamará ( ):
( ) ( )( ) ( ) (3.16) Igualando los coeficientes de los polinomios en la ecuación (3.16) y (3.14), obtendremos n
ecuaciones con n incógnitas (los elementos del vector K), y así, resolviendo el sistema,
podremos obtener el vector de ganancias K de retroalimentación.
Si el sistema considerado un sistema como (1.1) y (1.2) con entradas, la ganancia de
realimentación de estados tendrá elementos; es decir, hay un “exceso” de grados de
libertad, ya que en principio sólo necesitamos ganancias para asignar auto valores a lazo
cerrado del sistema. En el caso de una sola entrada, existe una única solución para una
dada configuración de auto valores a lazo cerrado elegidos. En el caso multi entrada la
ganancia que de los autos valores a lazo cerrado elegidos no es única.
3.3.2. Determinación de la matriz de retroalimentación.
3.3.2.1. Comando place.
Este comando determinara la matriz K para una retroalimentación de estados, su sintaxis es la siguiente:
Kbar= place(Ac,Bc,P) En donde: Kbar son los eigen valores de A-B*K acercado a la variable P PPolinomio característico deseado Para este caso se utilizo el siguiente polinomio P=[-1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1]; El resultado de obtenido se observa en la figura 3.11.
58
Figura 3. 13. Matriz Kbar
3.3.2.2. Matriz de retroalimentación.
Se aprecia que la matriz Kbar es de una dimensión de 6*3, la cual esta diseñada en base a
las matrices ABAR, BBAR, CBAR, por lo cual esta ganancia esta creada para dichas
matrices. Es necesario obtener una matriz de ganancia K que permita estabilizar al modelo
representado en las ecuaciones 2.8 a 2.14, el cual su matriz presenta dimensiones de 7*7,
por ello es necesario agregar ceros a la matriz Kbar para la parte no controlable de la matriz
del modelo matemático, lo cual se observa en la Figura 3.12.
Figura 3. 14. Matriz Kbar con columna de ceros.
La matriz KBAR está diseñada para el control de ABAR, BBAR, CBAR, para ello es
necesario calcular una matriz K que permita controlar al sistema original, dicha matriz se
obtiene multiplicando por la matriz KBAR por la matriz de transformación T del sistema
separado, dando como resultado la matriz K que se observa en la Figura 3.13.
Figura 3. 15. Matriz K.
59
Finalmente, se pueden comprobar las raíces deseadas y la no controlable mediante el comando ROOTS. Haciendo el análisis de las raíces del sistema sin la retroalimentación de estados, se puede observar que en el sistema se tienen raíces complejas conjugadas, lo que indica que el sistema presenta oscilaciones, las raíces complejas conjugadas se aprecian en la Figura 3.14.
Figura 3. 16. Raíces del sistema original
A diferencia de la figura 3.14, al aplicar la retroalimentación de estados se obtienen las
raíces que se aprecian en la Figura 3.15:
Figura 3. 17. Raíces del sistema considerando una ganancia K.
En la Figura 3.16 se muestra la respuesta a condiciones iniciales del sistema en lazo cerrado
y se observa que el sistema retroalimentado tiene un tiempo de transitorio
considerablemente menor.
60
Figura 3. 18. Respuesta en lazo cerrado
3.4. Métodos de solución para sistema con retardo.
3.4.1. Aproximación de Padé.
Pade, nos permite aproximar el término exponencial el cual corresponde al retardo o tiempo
muerto. Existen dos aproximaciones, Padé de primer orden y Padé de segundo orden, que
se encuentran basadas en las series de Taylor [8].
Considerando el esquema de la figura 3.17, donde K(s) puede representar cualquier
regulador convencional, se obtiene la siguiente expresión de lazo cerrado:
( )
( ) ( )
( ) ( )
61
Figura 3. 19. Regulador convencional de bucle cerrado
Si se de desea realizar un diseño analítico del regulador K(s), el denominador de la
expresión debe ser una expresión racional (numero finito de ceros y polos), por contra la
presencia de un retardo convierte dicha expresión en una de naturaleza irracional (numero
infinito de polos).
Una posible solución consiste en realizar una aproximación del retardo por una expresión
racional. Esta idea da lugar a la técnica de aproximación de Padé. La técnica de Padé se
utiliza para la aproximación de un retardo por una función de transferencia racional. Esta
aproximación puede ser utilizada, tanto en la fase de análisis como de diseño del sistema en
lazo cerrado [8].
Dado que esta aproximación convierte un modelo con retardo a un expresión racional libre
de retardo, es posible aplicar tanto los métodos de análisis como de diseño sobre sistemas
libres de retardo.
Es conocido que la expansión, según Taylor del término es:
| |
( )
( )
( )
( )
A partir de esta expresión, se define la aproximación de Padé como:
( )
( )
Donde: representa el orden de aproximación de la misma.
Por ejemplo, usando la aproximación de Padé de primer orden:
La expresión ( ) también se puede representar como:
62
( ) ( )
De forma que, tanto el diseño del regulador K(s), como el análisis del sistema en lazo
cerrado podrán realizarse sobre un modelo libre de retardo. Destacar sin embargo, que esta
aproximación no es valida para retardos elevados, y que la misma puede ser causa de unas
bajas prestaciones e incluso de inestabilidad.
Concluir por tanto que los reguladores convencionales, como el PID, pueden ser empleados
cuando el sistema presenta retardos no muy elevados con respecto a la constante de tiempo
dominante del sistema, pero si el proceso incorpora retardos de tiempo significativos se
obtendrá un rendimiento pobre o incluso puede darse la inestabilidad del sistema. En estos
casos, es conveniente usar algún tipo de esquema de compensación del retardo.
3.4.2. Predictor de Smith.
Esta estrategia asume que el retardo puede representarse tanto en la entrada del proceso
como en la salida.
Suponiendo que todos los retardos de los sistemas se sitúan en la entrada y/o salida del
proceso y que su magnitud es conocida, la función de transferencia del mismo se puede
representar como:
( ) ( )
Cuya representación en diagrama de bloques admite la descomposición de la figura 3.18,
donde se puede observar que la variable ( ) tendrá los valores de ( ), con instantes de
tiempo de retraso.
Figura 3. 20. Predictor de Smith. Lazo de control.
Dado que un retardo no provoca ningún cambio de magnitud, si se pudiera obtener el valor
de la variable en el punto ( ), y realimentar esta sobre el proceso, tal y como se muestra
en la figura 3.19, se podría realizar el diseño del controlador sin consideración del retardo.
63
Pero evidentemente, esta variable es inaccesible, solo es posible disponer de la medida de
la salida ( ).
Como solución a este problema, se plantea la posibilidad de obtener los valores de ( ), a
través de una predicción de los mismos. Si bien, en principio esto solo será posible si se
dispone de un modelo del proceso [8].
Figura 3. 21. Medición imposible en el proceso físico.
( ) ( )
A partir de un modelo del proceso sin retardo, si se aplica la acción de control, se obtiene la
predicción de la salida sin retardo ( ) ( ) ( ) lo que permite realizar una predicción de
los valores de la salida, con instantes de tiempo de adelanto sobre la salida del proceso
real.
Si se representa esta idea, se observa que se está realizando un control en lazo abierto, con
lo cual no se estarían aprovechando las ventajas de los sistemas realimentados, figura 3.20.
Figura 3. 22. Control de lazo abierto
Para incorporar la medida de la variable controlada, y obtener en consecuencia un sistema
realimentado, se plantea la estructura de la figura 3.21, donde la variable controlada ( ) se
compara con la predicción retrasada instantes de tiempo ( ) de tal forma, que las
posibles discrepancias o perturbaciones entre el modelo y el proceso real se realimentan
sobre el sistema de control como un factor corrector sobre las discrepancias en la predicción
[8].
64
Figura 3. 23. Control de lazo cerrado
La realización de este tipo de control requiere un modelo, y al igual que en todos los diseños,
cuanto más preciso sea el modelo, mejor será la predicción.
Limitaciones del Predictor de Smith:
A partir del esquema de la figura, se obtienen las siguientes expresiones:
( ) ( ) ( )
( )( ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )
( )( ( ) ( ) ( ) )
Donde ( ) representa el proceso real, ( ) cualquier controlador, y los bloques
( ) el modelo del proceso libre de retardo y el modelo del retardo respectivamente.
Como es habitual cuando se derivan las formulas de ajuste del controlador, se asume que el
modelo es una perfecta representación del proceso real ( ) = ( ) entonces la
expresión se puede rescribir como:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
( ) ( )
( ) ( )) ( ) ( )
A partir de la expresión de la ecuación, se puede observar que el controlador ( ) se puede
diseñar sin consideración del retardo. Notar que la expresión del retardo no aparece en el
denominador de la f.d.t. en lazo cerrado.
Es importante destacar que el Predictor de Smith tiene algunas limitaciones, entre otras, es
muy sensible a perturbaciones, no es viable para el tratamiento de retardos en los estados,
presenta problemas de rechazo de perturbaciones en procesos con acción integral y sobre
todo no puede utilizarse en sistemas con polos inestables.
65
3.4.3. Aplicación del predictor de Smith.
Como se menciono anteriormente, la aplicación del Predictor de Smith requiere que el valor
del retardo sea muy pequeño, por ello para poder observar el comportamiento de un reactor
de agitación continua, se ha colocado un retardo en la salida de la temperatura del modelo
obtenido en el capítulo 2.
Una vez aplicado el retardo a la salida del sistema, se puede diseñar una K, para este caso
se utilizara la K obtenida en la retroalimentación de estados ya que el retardo no aparece en
el denominador de la función de transferencia. La colocación del retardo en la salida es el
equivalente a tener un retardo en la medición de las variables, es decir retardos en sensores
o transmisores
En la figura 3.22 se muestra el esquema del predictor de Smith que se desarrollo para el
reactor de agitación continua.
Figura 3. 24. Diagrama del Predictor de Smith.
En la figura anterior se observa el sistema sin la presencia de retardo, el cual esta
multiplicado por un retardo, el cual tiene la función de adelantar la respuesta del sistema, es
decir; después un determinado tiempo la respuesta que se tiene en el sistema sin retardo
debe de ser igual a la respuesta que se tiene en el sistema con retardo, esta es la razón por
la cual se tiene un punto suma entre el sistema con retardo y el sistema sin retardo.
También se observa que para este caso las referencias (setpoint) son iguales a cero, dichas
referencias son compradas con la respuesta del sistema sin retardo, de esta forma se
obtiene la magnitud del error, el cual es compensado por una ganancia K, la cual es la
encargada de controlar al sistema no lineal.
66
Por último la salida de la comparación del sistema retardado con el sistema sin retardo se
encuentra un filtro pasa bajas el cual se encarga de atenuar las frecuencias altas,
permitiendo el paso de las frecuencias bajas, la salida de este filtro se suma con la respuesta
del sistema sin retardo.
La respuesta del predictor de Smith es la que se aprecia en la figura 3.23, 3.24, 3.25. en las
cuales se observa que todas las respuestas se estabilizan en un valor igual a cero, a
excepción de las variables a controlar, esto es correcto ya que como se indico en la figura
3.22 los puntos de referencia utilizados son igual a cero.
Figura 3. 25. Nivel de pH dentro del reactor.
Figura 3. 26. Respuesta de la temperatura dentro del reactor y del enchaquetado
67
Figura 3. 27. Comportamiento de las concentraciones A, B, C, D.
Al analizar la respuesta de las variables que interesa controlar se llega a el valor deseado,
pero con oscilaciones constantes provocadas por la presencia del retardo en la temperatura,
el sistema de control junto con el predictor de Smith no solucionan el problema del todo
dado que el sistema es complejo y el hecho de variar cualquiera de las entradas, provoca la
variación de todo el modelo, además de que la presencia de la temperatura T se encuentra
presente en todas las variables de estado, por ello la presencia de un retardo afecta a todas
las variables de estado.
68
Capítulo 4: Arquitecturas de control.
En el capítulo 3 se diseño una retroalimentación de estados, la cual es
una aplicación de la teoría de control moderno, por ello, en el interior de
este capítulo se lleva a cabo la implementación de estrategias de control
clásico (P, I, D), el propósito es demostrar la respuesta que tienen los
algoritmos de control clásicos.
La aplicación de las estrategias de control clásico mencionadas
anteriormente, serán aplicadas junto con 2 arquitecturas de control,
cada una de ellas se encarga de controlar por separado las variables
que se han fijado para este trabajo.
Dado que la temperatura T depende de la temperatura Tr, se plantea al
igual que en capitulo anterior la presencia de un tiempo muerto en la
temperatura, es decir; la variación de T con respecto a Tr no se lleva a
cabo en el mismo instante.
Por último se muestra una combinación del predictor de Smith con un
control en cascada, el cual no solo se encarga de controlar la
temperatura T, sino que también de rechazar la presencia del retardo en
la temperatura.
69
4.1. DTI del proceso a controlar.
Para poder comprender las estrategias de control a emplear, es necesario realizar un
diagrama de tubería e instrumentación, en el cual se aprecien los lazos de control y los
actuadores que en el proceso intervienen. El DTI para este proceso es el mostrado en la
figura 4.1.
Figura 4. 1. Diagrama de tubería e instrumentación de el proceso de saponificación.
En la figura 4.1 se observa que se requiere de 2 lazos de control:
1. Control de temperatura.
2. Control de pH.
Sin embargo, para el pH se requiere una estrategia más compleja que la de un lazo cerrado
común. Ya que como se planteo en los objetivos, se requiere mantener un pH constante
suministrando una relación Base/Acido constante, este problema se puede resolver mediante
una estrategia de control por relación, para este caso se puede aplicar únicamente control
por relación en lazo abierto.
Para la parte de control de temperatura es posible utilizar un lazo cerrado, sin embargo (y
como se explicara posteriormente) considerando los efectos del retardo en la transferencia
de temperatura, es necesaria una estrategia de control adicional para el control de dicha
variable, esto se logra mediante la aplicación de un predictor de Smith combinado con un
control en cascada.
70
4.2 Estrategia de control por relación.
Como su nombre lo indica el control por relación mantiene constante la relación de dos o
más flujos. Estos procesos incluyen: mezcla de gasolina, proporción de reactivos para un
reactor químico, la mezcla de una corriente fría con una caliente para obtener una
determinada temperatura en una mezcla en particular, etc.
Por lo general se tiene una línea de flujo de un fluido libre y sobre esta se mide la cantidad
del fluido existente en velocidad o volumen, este valor se envía a un controlador que
contiene un factor multiplicador o un divisor, cuya señal actúa sobre la válvula de control de
otra línea con flujo proporcional al valor censado (flujo controlado).
El flujo libre se llama variable independiente y el flujo controlado se llama flujo dependiente.
Para este tipo de estrategia de control, es muy importante tomar las siguientes
consideraciones:
1. Ambas señales deben tener las mismas unidades.
2. Ambas señales deben estar linealizadas o en forma cuadrática.
3. El rango de los controladores deben ser compatibles con las señales recibidas de
un 0% a un 100%.
4. Tomar en cuenta que en la medición de fluidos la linealidad se pierde en los
extremos de la medición.
5. Las características de los fluidos deben ser muy similares.
4.2.1. Implementación del control por relación.
Para la implementación de un control por relación se debe medir un flujo y multiplicarlo o
dividirlo por la razón o relación que se desea para obtener el flujo que se requiere de la
corriente B.
Para el caso planteado en este trabajo se observa que el pH del sistema no lineal, se
estabiliza en un valor de 12.07, por lo cual lo único que se debe de realizar es garantizar que
sin importar la variación del flujo A, el resultado del pH se mantenga en 12.
Para ello se llevo a cabo el siguiente planteamiento:
Una concentración del reactivo A igual a 0.2, se tiene un pH de 13.3.
Una concentración del reactivo B igual a 0.2, se tiene un pH de 7.1.
71
Dado que la cantidad de concentración es la misma, y la concentración depende de los flojos
de ambos reactivos, se puede obtener la relación que existe entre ambos flujos, con esto, se
logra mantener el pH en un valor aproximado a 12.
La estructura del control por relación es la mostrada en la figura 4.2.
Figura 4. 2. Control por relación.
en la figura 4.2 se observa como la entrada U1 es multiplicada por un valor constante de
0.0387, mientras que la entrada U2 depende del valor obtenido de la operación realizada en
la entrada uno, pero para mantener la relación mencionada anteriormente es necesario
multiplicarla por
, de esta forma se garantiza la relación de suministro que permita que el
pH se mantenga en un valor de 12.
4.3. Control en cascada.
Arquitectura de control que utiliza dos o más instrumentos de medición y control para
manipular un solo elemento final de control y así reducir las perturbaciones mas importantes
antes de que se propaguen por todo el sistema, manteniendo la variable controlada dentro
del valor deseado.
El control en cascada es esencialmente un control en lazo cerrado anidado con uno o más
lazos de control, en esta arquitectura, la salida del primer controlador es el set point del
siguiente controlador. En la figura 4.3. Se observa el esquema de un control e n cascada.
72
Figura 4. 3. Control en cascada.
Criterios de diseño.
Cuando el controlador en lazo cerrado no provee el desempeño deseado.
Cuando la dinámica del sistema es lenta a perturbaciones.
Cuando se dispone de una variable intermedia que afecte directamente, a la variable
controlada y esta debe ser más rápida.
La implementación de esta arquitectura de control debe ser económicamente
aceptable.
Sintonización de un controlador.
El ajuste de los controladores es de manera secuencial
El controlador secundario es ajustado primero y el método de sintonización depende
del sistema.
Cuando el controlador secundario ha sido ajustado, puede ajustarse en controlador
primario.
4.3.1. Aplicación de control en cascada.
En el interior de este trabajo se ha mencionado la dependía que existe entre la temperatura
del reactor y la temperatura de la chaqueta, por lo cual el control en cascada permite diseñar
un controlador que actué de manera más rápida en la temperatura del reactor.
La estructura del control en cascada empleado para este trabajo es la mostrada en la figura
4.4.
73
Figura 4. 4. Control en cascada
En la figura 4.4 se muestra la arquitectura del control en cascada aplicado al reactor de
agitación continua. Se observar que ambos controladores son de tipo PID, la sintonización
utilizada es Ziegler Nichols. La sintonización del controlador primario o maestro se lleva a
cabo en función de la sintonización secundario o esclavo, ya que la salida del controlador
maestro representa el set point del controlador esclavo, es por esta razón que la
sintonización de esta arquitectura se vuelve compleja.
El controlador secundario o esclavo es una arquitectura PID, en la figura 4.5 se muestra el
diagrama en simulink del controlador PID aplicado en el controlador esclavo.
Figura 4. 5. Controlador esclavo PID2
El valor obtenido para la ganancia integral es de , para la acción derivativa se tiene un
valor de 0.1, mientras que para la acción proporcional se tiene un valor igual a 10, la función
del filtro mostrado en la acción derivativa es garantizar el paso de valores pequeños, es
decir, rechaza la presencia de frecuencias altas.
Para el controlador maestro se utiliza el controlador mostrado en la figura 4.6.
74
Figura 4. 6. Controlador maestro PID.
El valor obtenido para la ganancia integral es de , para la acción derivativa se tiene un
valor de 0.1, mientras que para la acción proporcional se tiene un valor igual a 2.
Para poder realizar la comparación entre el controlador aplicado en el capítulo 3 y las
estrategias de control realizadas en este capítulo, es necesario realizar la simulación de
ambas estrategias, para ello se desarrollo un diagrama en simulink, el cual se muestra en la
figura 4.7.
Figura 4. 7. Control por relación y control en cascada.
En la figura 4.7 se observa la aplicación de un control en cascada para la temperatura del
reactor, así como también la aplicación de un control por relación encargado de controlar el
nivel de pH. La respuesta obtenida por estas estrategias control el a mostrada en figura 4.8.
75
Figura 4. 8. Aplicación de control por relación y control en cascada.
Hasta este punto únicamente se ha considerado el empleo de estrategias de control
aplicadas a un reactor de agitación continua, pero sin considerar los efectos del retardo, por
ello es necesario emplear una combinación de un control en cascada en conjunto con un
predictor de Smith.
76
La estructura del diagrama utilizado es la mostrada en la figura 4.9.
Figura 4. 9. Control en cascada en combinación con predictor de Smith.
La estructura del predictor de Smith es igual a la descrita en el capítulo 3, el controlador
utilizado es el mismo que se utilizo como controlador maestro en el diseño del controlador en
cascada. Para la parte sistema sin retardo se tiene el diagrama mostrado en la figura 4.10.
Figura 4. 10. Sistema sin retardo.
En la figura 4.10 se observa que el control por relación forma parte del nuevo modelo sin
retardo, de igual manera, el controlador esclavo utilizado en el control en cascada se incluye
en el nuevo modelo sin retardo.
El sistema con retardo es el mostrado en la figura 4.11
77
Figura 4. 11. Sistema con retardo.
Tal como se observa en la figura 4.11 el retardo está presente en la temperatura del reactor.
La respuesta obtenida con la implementación del control en cascada en conjunto con el
predictor de Smith es la mostrada en la figura 4.12.
Figura 4. 12. Respuesta de control en cascada con predictor de Smith.
78
En la figura 4.12 se muestra que la temperatura del reactor se estabiliza en un valor de
303.64 grados K, mientras que el pH se mantiene en un valor de 12.0147, los tiempos de
estabilización que se tienen son de 15 minutos y 11 minutos respectivamente.
Hasta este punto únicamente se han aplicado las diferentes estrategias de control al sistema
linealizado, por lo cual es necesario aplicar estas estrategias al sistema de control no lineal,
para de esta forma determinar la importancia de considerar los efectos que tiene la presencia
de un retardo en un sistema.
79
Capítulo 5: Conclusiones.
5.1. Comparación de la respuesta del sistema lineal y del no lineal
Comenzando con el análisis de la comparación de las salidas de las concentraciones
y de las temperaturas del sistema lineal y del no lineal, se observa que la diferencia
entre las respuestas de ambos sistemas no es muy grande, si no valores muy
pequeños, los cuales se tiene una diferencia de 0.1, por lo tanto se concluye que la
linealización fue aplicada correctamente y por consiguiente se puede pudieron
diseñar e implementar diferentes arquitecturas de control.
5.2. Matriz k y control en cascada para sistema lineal sin retardo.
Para el cálculo de una ganancia K (para cada estado), basándose en los método de
ackerman para la retroalimentación de estados, se observa que la temperatura se
estabiliza en valores (301 Kelvin) muy cercanos al valor deseado (304.5 Kelvin). La
temperatura Tr se estabiliza en un valor cercano a 312.6, este valor en donde se
estabilice no es de suma importancia debido a que el objetivo de la chaqueta (Tr) el
lograr que T, la temperatura del tanque, llegue al valor deseado, en este caso, la
variación es de 3 grados.
Por otro lado el Ph no se estabiliza en el valor deseado, su valor en la simulación es
de 2.5, el cual es muy alejado de 12 (valor deseado), por lo tanto esta matriz K no
sirve para en control del pH. El tiempo de establecimiento fue de aproximadamente
100 segundos.
A diferencia del control con la matriz K, el control en cascada tiene un tiempo de
establecimiento es de 2000 segundos, por lo tanto al aplicar una matriz K, el tiempo
de establecimiento es mas rápido.
El pH se estabiliza casi exactamente en el valor deseado de 12 con un valor de
12.05, pero en un tiempo mayor, mientras que la temperatura se estabiliza en un
valor de 304.05, que es igual un valor muy cercado al deseado (304).
80
5.3. Matriz k y control en cascada para sistema lineal con retardo.
Al aplicar un retardo en la salida de la temperatura del reactor de 0.01 en el control
con la matriz K, el establecimiento de la temperatura del reactor nunca se ve
afectado, ya que esta se estabiliza en un valor de 303.2 en un tiempo de 80
segundos. Se da un sobre impulso de 5 °C aproximadamente y baja hasta 275 °C.
El pH no se estabiliza en el valor deseado (12), oscila entre 2.4 y 2.8.
Al aplicar un retardo en la salida de la temperatura de 0.01 en el control en cascada,
el establecimiento de la temperatura se da en un valor de 300 Kelvin, teniendo una
pérdida de casi 4 grados aproximadamente, pero su tiempo de establecimiento (1500
segundos) es menor que en el caso del control en cascada sin retardo.
El pH no se ve afectado por el retardo en la temperatura, este se sigue estableciendo
en un valor de 12 aproximadamente, esto se logra gracias a que el control del pH se
realiza mediante un control por relación en lazo abierto, el cual no depende de la
temperatura T.
5.4. Predictor de Smith.
Tal como se observa en las respuestas mostradas en los capítulos 3 y 4, al combinar
una ganancia de estados con un predictor de Smith, la temperatura T obtenida es de
302.25 grados K, mientras como para el pH se tiene una gran perdida, es decir, se
requiere mantener el pH en un valor igual a 12, lo cual no se logra.
La implementación de un control en cascada en conjunto con un predictor de Smith
permite obtener a la salida una temperatura de 303.82 grados K, lo cual es mas
cercano punto deseado (304.5). en lo que concierne al pH, se observa que se tiene
un valor de 12.08, este resultado se obtiene gracias a que se aplican 2 diferentes
estrategias de control, las cuales son las encargadas de controlar cada una de las
variables por separado.
81
5.5. Sistema no lineal.
Tal y como se mencionó en el capítulo 4, el controlador propuesto para la temperatura
(control en cascada) tiene un mejor funcionamiento en comparación con la aplicación de una
ganancia de estados, es por ello, que se implemento dicho control al sistema no lineal, para
de esta forma observar si el control diseñado para el sistema linealizado funciona en el
sistema no lineal. Los resultados obtenidos son similares a los que se obtuvieron el sistema
lineal, la diferencia radica en que en la temperatura se tiene un decremento en los primeros
135 segundos de 45 grados K, mientras que para el sistema lineal únicamente se tiene un
decremento de 8 grados K, por tal motivo, el tiempo en que se estabiliza el sistema lineal es
menor al que se tiene en el sistema no lineal. Lo mismo sucede al aplicar un retardo en la
salida del sistema no lineal, y al aplicar un predictor de Smith en el sistema no lineal. Los
resultados de la implementación del controlador en el sistema no lineal se muestran en la
figura 5.1.
Figura 5. 1. Control en cascada, por relación y predictor de Smith aplicado al sistema no lineal.
5.6. Conclusión general.
En el trabajo realizado se lograron implementar varias estrategias de control entre las cuales
se encuentran, control en cascada, control por relación, lazo cerrado, en las cuales se
observaron diferentes respuestas, las cuales nos llevaron a seleccionar la que mas se
acoplara a los requerimientos de control especificados en el capítulo 2. Las estrategias
seleccionadas o que más se adecuaron fue en control en cascada el cual se encarga de
controlar la temperatura dentro del reactor.
82
El control en cascada permite alcanzar los puntos de referencia deseados con un error de +-
1 grado, pero con un tiempo mayor al que se tiene al aplicar una ganancia de estados. Para
el control de pH utilizo un control por relación, el cual mantiene el valor del pH constante y
muy cercano al valor deseado. De esta forma se cumple con el objetivo fijado en el modelo.
Respecto al retardo presente en la temperatura, se observo que es de vital importancia
poder reducir los efectos que este tiene en el sistema, ya que como se observa en el modelo
matemático planteado en el capítulo 2, la mayoría de los estados dependen de la
temperatura del reactor, y es por ello que todo el sistema se ve afectado por este fenómeno,
además de que se trata de un reactor químico en el cual se requiere una gran exactitud en
los valores utilizados en el proceso.
Uno de los objetivos planteados en este trabajo es analizar el comportamiento de
controladores y/o estrategias de control bajo las influencias del retardo, para ello se introdujo
un retardo de 0.01 en las estrategias de control, de lo cual se concluye que el control en
cascada en aplicado en este trabajo fue aplicado correctamente dado que al aplicar un
retardo en temperatura del reactor se observa que el comportamiento de Tr aumenta en el
intervalo en que está presente el retardo, al desaparecer el retardo, la temperatura Tr
comienza a bajar hasta estabilizarse, es por ello que se requiere aplicar un predictor de
Smith para evitar la presencia de retardos.
En la figura 5.1 se observan la respuesta que se tiene al tener la presencia de un retardo en
un control en cascada, la cual tiene un retardo igual a 1, por consiguiente la temperatura en
la camisa de refrigeración comienza aumentar y se detiene hasta que el efecto del retardo
desaparece.
Debido al problema planteado en el párrafo anterior, es necesario emplear un predictor de
Smith en conjunto con el control en cascada, la respuesta de este sistema se observa en la
figura 5.2, de la cual se concluye que el predcitor de Smith es de gran importancia para el
manejo de sistemas con retardo, ya que a diferencia del control por cascada normal, a pesar
de existe un retardo presente en T, la temperatura Tr se mantiene constante a diferencia del
control en cascada sin predictor de Smith.
83
Figura 5. 2. Control en cascada con presencia de retardo
Figura 5. 3. Control en cascada con predictor de smith.
84
Anexos
Anexo 1: programa en matlab para la linealización de la matriz A.
syms X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
FiA=0.01268;%Velocidad de flujo molar de A a la entrada [lit/seg]
FiB=0.01037;%Velocidad de flujo molar de B a la entrada [lit/seg]
CiA=0.2;%Concentración de material A a la entrada [mol]
CiB=0.2;%Concentración de material B a la entrada [mol]
F=(FiA+FiB)/2;%Velocidad de flujo molar a la salida [lit/seg]
A=24;%Superficie o área para la transferencia de calor [m^2]
U=19.19/A; %Coeficiente de transferencia de calor [J/(°K*seg*m2)]
CpA=3.26; %Capacidad calorífica del material A [kJ/(Kg*°K)]
CpB=2.02;%Capacidad calorífica del material B [kJ/(Kg*°K)]
CpC=2.51;%Capacidad calorífica del material C [kJ/(Kg*°K)]
CpD=3.76;%Capacidad calorífica del material D [kJ/(Kg*°K)]
TiA=300;%Temperatura del material A en la entrada [°K]
TiB=300;%Temperatura del material B en la entrada [°K]
TiR=306;%Temperatura del refrigerante a la entrada [°K]
Vr=8;%Volumen de la camisa de refrigeración [m^3]
Cp = X1*CpA + X2*CpB + X3*CpC + X4*CpD; %Capacidad calorífica general
CpR=4.19;%Calor especifico del refrigerante (agua) [kJ/(Kg*°K)]
Fr=0.4768;%Flujo del líquido refrigerante [lit/seg]
hr = (CpC + CpD - CpA - CpB) ;%Entalpia relativa para una Tref de 300°K
Tref=300;
DELTAH= (hr +((CpC+CpD-CpA-CpB)*(X5-Tref)));%Calor desarrollado en la reacción
(entalpias) [kJ/C]
DENSIDADL=76; %Densidad del liquido en el tanque [Kg/m3]
DENSIDADR=1000;%Densidad del refrigerante (agua) [Kg/m3]
pHA=13.3;%Valor de pH del material A
pHB=7.10;%Valor de pH del material B
K=63380*exp(-2407.2/X5);%K Constante de velocidad [moln/(seg*m3)]
V=7.9;%Volumen del tanque [m^3]
%////////////////////////////////1FUNCION///////////////////////////%
f1=((FiA*CiA)-(F*X1)-(K*X1*X2*V))/V;
F1=diff(f1, X1);
F2=diff(f1, X2);
F3=diff(f1, X3);
F4=diff(f1, X4);
F5=diff(f1, X5);
F6=diff(f1, X6);
F7=diff(f1, X7);
%////////////////////////////////2FUNCION///////////////////////////%
f2=((FiB*CiB)-(F*X2)-(K*X1*X2*V))/V;
F8=diff(f2, X1);
F9=diff(f2, X2);
F10=diff(f2, X3);
F11=diff(f2, X4);
F12=diff(f2, X5);
F13=diff(f2, X6);
F14=diff(f2, X7);
85
%////////////////////////////////3FUNCION///////////////////////////%
f3=((-F*X3)+(K*X1*X2*V))/V;
F15=diff(f3, X1);
F16=diff(f3, X2);
F17=diff(f3, X3);
F18=diff(f3, X4);
F19=diff(f3, X5);
F20=diff(f3, X6);
F21=diff(f3, X7);
%////////////////////////////////4FUNCION///////////////////////////%
f4=((-F*X4)+(K*X1*X2*V))/V;
F22=diff(f4, X1);
F23=diff(f4, X2);
F24=diff(f4, X3);
F25=diff(f4, X4);
F26=diff(f4, X5);
F27=diff(f4, X6);
F28=diff(f4, X7);
%////////////////////////////////5FUNCION///////////////////////////%
f5=((((U*A*(X6-X5))/(V*DENSIDADL)))- (FiA*CiA*CpA*(X5-TiA)) -( FiB*CiB*CpB*(X5-
TiB))+(DELTAH*(K*X1*X2)*V))/(V*Cp);
F29=diff(f5, X1);
F30=diff(f5, X2);
F31=diff(f5, X3);
F32=diff(f5, X4);
F33=diff(f5, X5);
F34=diff(f5, X6);
F35=diff(f5, X7);
%////////////////////////////////6FUNCION///////////////////////////%
f6=((Fr*DENSIDADR*CpR*(TiR-X6))+(U*A*(X5-X6)))/(Vr*DENSIDADR*CpR);
F36=diff(f6, X1);
F37=diff(f6, X2);
F38=diff(f6, X3);
F39=diff(f6, X4);
F40=diff(f6, X5);
F41=diff(f6, X6);
F42=diff(f6, X7);
%////////////////////////////////7FUNCION///////////////////////////%
f7=((FiA*pHA)+(FiB*pHB)-(2*F*X7)-(K*X1*X2))/V;
F43=diff(f7, X1);
F44=diff(f7, X2);
F45=diff(f7, X3);
F46=diff(f7, X4);
F47=diff(f7, X5);
F48=diff(f7, X6);
F49=diff(f7, X7);
X1=0.03825; %valor de la concetracion de CA
X2=0.000322; %valor de la concetracion de CB
86
X3=0.1791; %concetracion a la salida CC
X4=0.18234; %concetracion a la salida CD
X5=304.5646; %temperatura en el reactor
X6=305.9863; %temperatura en el refrigerante
X7=10.4686; %ph
A(1,1)=eval(F1);
A(1,2)= eval(F2);
A(1,3)= eval(F3);
A(1,4)= eval(F4);
A(1,5)= eval(F5);
A(1,6)= eval(F6);
A(1,7)= eval(F7);
A(2,1)= eval(F8);
A(2,2)= eval(F9);
A(2,3)= eval(F10);
A(2,4)= eval(F11);
A(2,5)= eval(F12);
A(2,6)= eval(F13);
A(2,7)= eval(F14);
A(3,1)= eval(F15);
A(3,2)= eval(F16);
A(3,3)= eval(F17);
A(3,4)= eval(F18);
A(3,5)= eval(F19);
A(3,6)= eval(F20);
A(3,7)= eval(F21);
A(4,1)= eval(F22);
A(4,2)= eval(F23);
A(4,3)= eval(F24);
A(4,4)= eval(F25);
A(4,5)= eval(F26);
A(4,6)= eval(F27);
A(4,7)= eval(F28);
A(5,1)= eval(F29);
A(5,2)= eval(F30);
A(5,3)= eval(F31);
A(5,4)= eval(F32);
A(5,5)= eval(F33);
A(5,6)= eval(F34);
A(5,7)= eval(F35);
A(6,1)= eval(F36);
A(6,2)= eval(F37);
A(6,3)= eval(F38);
A(6,4)= eval(F39);
A(6,5)= eval(F40);
A(6,6)= eval(F41);
A(6,7)= eval(F42);
A(7,1)= eval(F43);
A(7,2)= eval(F44);
A(7,3)= eval(F45);
A(7,4)= eval(F46);
A(7,5)= eval(F47);
A(7,6)= eval(F48);
A(7,7)= eval(F49);
A
87
Anexo 2: programa en matlab para la linealización de la matriz B.
X1=0.03825; %valor de la concetracion de CA
X2=0.000322; %valor de la concetracion de CB
X3=0.1791; %concetracion a la salida CC
X4=0.18234; %concetracion a la salida CD
X5=304.5646; %temperatura en el reactor
X6=305.9863; %temperatura en el refrigerante
X7=10.4686; %ph
FiA=0.01268;%Velocidad de flujo molar de A a la entrada [lit/seg]
FiB=0.01037;%Velocidad de flujo molar de B a la entrada [lit/seg]
F=(FiA+FiB)/2;%Velocidad de flujo molar a la salida [lit/seg]
A=24;%Superficie o área para la transferencia de calor [m^2]
U=19.19/A; %Coeficiente de transferencia de calor [J/(°K*seg*m2)]
CpA=3.26; %Capacidad calorífica del material A [kJ/(Kg*°K)]
CpB=2.02;%Capacidad calorífica del material B [kJ/(Kg*°K)]
CpC=2.51;%Capacidad calorífica del material C [kJ/(Kg*°K)]
CpD=3.76;%Capacidad calorífica del material D [kJ/(Kg*°K)]
TiA=300;%Temperatura del material A en la entrada [°K]
TiB=300;%Temperatura del material B en la entrada [°K]
Vr=8;%Volumen de la camisa de refrigeración [m^3]
Cp = X1*CpA + X2*CpB + X3*CpC + X4*CpD; %Capacidad calorífica general
CpR=4.19;%Calor especifico del refrigerante (agua) [kJ/(Kg*°K)]
Fr=0.4768;%Flujo del líquido refrigerante [lit/seg]
hr = (CpC + CpD - CpA - CpB) ;%Entalpia relativa para una Tref de 300°K
Tref=300;
DELTAH= (hr +((CpC+CpD-CpA-CpB)*(X5-Tref)));%Calor desarrollado en la reacción
(entalpias) [kJ/C]
DENSIDADL=76; %Densidad del liquido en el tanque [Kg/m3]
DENSIDADR=1000;%Densidad del refrigerante (agua) [Kg/m3]
pHA=13.3;%Valor de pH del material A
pHB=7.10;%Valor de pH del material B
K=63380*exp(-2407.2/X5);%K Constante de velocidad [moln/(seg*m3)]
V=7.9;%Volumen del tanque [m^3]
%////////////////////////////////1FUNCION///////////////////////////%
f1=((FiA*CiA)-(F*X1)-(K*X1*X2*V))/V;
F1=diff(f1, CiA);
F2=diff(f1, CiB);
F3=diff(f1, TiR);
%////////////////////////////////2FUNCION///////////////////////////%
f2=((FiB*CiB)-(F*X2)-(K*X1*X2*V))/V;
F4=diff(f2, CiA);
F5=diff(f2, CiB);
F6=diff(f2, TiR);
%////////////////////////////////3FUNCION///////////////////////////%
f3=((-F*X3)+(K*X1*X2*V))/V;
F7=diff(f3, CiA);
F8=diff(f3, CiB);
F9=diff(f3, TiR);
%////////////////////////////////4FUNCION///////////////////////////%
88
f4=((-F*X4)+(K*X1*X2*V))/V;
F10=diff(f4, CiA);
F11=diff(f4, CiB);
F12=diff(f4, TiR);
%////////////////////////////////5FUNCION///////////////////////////%
f5=((((U*A*(X6-X5))/(V*DENSIDADL)))- (FiA*CiA*CpA*(X5-TiA)) -( FiB*CiB*CpB*(X5-
TiB))+(DELTAH*(K*X1*X2)*V))/(V*Cp);
F13=diff(f5, CiA);
F14=diff(f5, CiB);
F15=diff(f5, TiR);
%////////////////////////////////6FUNCION///////////////////////////%
f6=((Fr*DENSIDADR*CpR*(TiR-X6))+(U*A*(X5-X6)))/(Vr*DENSIDADR*CpR);
F16=diff(f6, CiA);
F17=diff(f6, CiB);
F18=diff(f6, TiR);
%////////////////////////////////7FUNCION///////////////////////////%
f7=((FiA*pHA)+(FiB*pHB)-(2*F*X7)-(K*X1*X2))/V;
F19=diff(f7, CiA);
F20=diff(f7, CiB);
F21=diff(f7, TiR);
CiA=0.2;%Concentración de material A a la entrada [mol]
CiB=0.2;%Concentración de material B a la entrada [mol]
TiR=306;%Temperatura del refrigerante a la entrada [°K]
B(1,1)= eval(F1);
B(1,2)= eval(F2);
B(1,3)= eval(F3);
B(2,1)= eval(F4);
B(2,2)= eval(F5);
B(2,3)= eval(F6);
B(3,1)= eval(F7);
B(3,2)= eval(F8);
B(3,3)= eval(F9);
B(4,1)= eval(F10);
B(4,2)= eval(F11);
B(4,3)= eval(F12);
B(5,1)= eval(F13);
B(5,2)= eval(F14);
B(5,3)= eval(F15);
B(6,1)= eval(F16);
B(6,2)= eval(F17);
B(6,3)= eval(F18);
B(7,1)= eval(F19);
B(7,2)= eval(F20);
B(7,3)= eval(F21);
B
89
Anexo 3: obtención de la retroalimentación de estados. %-----------------------------ECUACIONES DE ESTADO---------------------
A =[-0.0090 -0.8954 0 0 -0.0000 0 0;
-0.0075 -0.8969 0 0 -0.0000 0 0;
0.0075 0.8954 -0.0015 0 0.0000 0 0;
0.0075 0.8954 0 -0.0015 0.0000 0 0;
0.0327 3.9133 -0.0002 -0.0003 -0.0042 0.0032 0;
0 0 0 0 0.0006 -0.0602 0;
-0.0010 -0.1133 0 0 -0.0000 0 -0.0029;]
B = [ 0.0016 0 0;
0 0.0013 0;
0 0 0;
0 0 0;
-0.0189 -0.0096 0;
0 0 0.0596;
0 0 0;]
C=eye(7); D=zeros(7,3);
SIS=ss(A,B,C,D);
% Después se determina la matriz de controlabilidad del sistema y se
% verifica su rango.
Mc=ctrb(A,B)
rank(Mc)
[ABAR,BBAR,CBAR,T,Q]=ctrbf(A,B,C)
% es posible diseñar una matriz de ganancias para los 6
% estados controlables, definiendo:
Ac=ABAR(2:7,2:7)
Bc=BBAR(2:7,:)
Cc=CBAR(:,2:7)
Pc=[-1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1];
Kbar=place(Ac,Bc,Pc)
% se obtiene la matriz de ganancias del
% sistema original (no separado) multiplicando por la matriz de
% transformación T del sistema separado.
KBAR=[ zeros(3,1) Kbar ]
K=KBAR*T
roots(poly(A))
roots(poly(A-B*K))
X0=[0.08, 0.08, 0.09, 0.15, 306, 300, 0.01]';
SISc=ss(A-B*K,D,C,D)
subplot(1,2,1)
initial(SIS,X0)
title('Lazo abierto')
xlabel('Tiempo (seg)')
ylabel('Amplitud')
grid
subplot(1,2,2)
initial(SISc,X0)
title('Lazo cerrado')
xlabel('Tiempo (seg)')
ylabel('Amplitud')
grid
90
Referencias [1] V. Kolmanovskii., “introduction to the theory and applications of functional differential
equations”. Kluwer Academic Publishers, 1999. [2] Richard Bellman., “differential-difference equations”. Academic Press INC. (London)
LTD, 1963 [3] Michel B. Cutlip, Mordechai Shacham,. “resolución de problemas en ingeniería
química y bioquímica con POLYMATH, EXCEL y MATLAB”, segunda edición. Prentice Hall, 2008
[4] Rodriguez Verduzco Jose Luis., “análisis de los efectos de los tiempos de retardo en el funcionamiento de un control retroalimentado”, tesis para obtener el grado de maestro en ciencias, 2004.
[5] J. Santos, A. Martínez., “interfaz grafica computacional para análisis de estabilidad robusta de cuasipolinomios retardados”. Facultad de ingeniería mecánica eléctrica, universidad veracruzana, 2009.
[6] P. Muthamilselvi, T. Karunanithi., “direct digital control of bioreactor systems”. Sadguru publications Udaipur (India), J. Chem. Sci.: 8(5), 2010, S22-S30
[7] M. Isabel Neria, Aguilar Lopez Ricardo., “Tracking Trajertories in a continuous anaerobic bioreactor employing a nonlinear prportional controller”. International journal of chemical reactor engieneering, volumen 5, 2007, article A73
[8] Garcia Gil Pedro Jose., “sistemas dinámicos con retardos temporales”, tesis doctoral, Universidad politécnica de Valencia, Departamento de ingenieria de sistemas y automática, 2007.
[9] S. Srinivasan, T. Karunanithi., “designo on PI controller for Bioreactors for Maximum Production Rate”. International journal of ChemTech Research, vol. 2, No. 3, July 2010
[10] J. M. Smith., “ingeniería de la cinética”. McGRAW-HILL, 1991 [11] Warren L. McCabe., “operaciones unitarias en ingeniería química”, 4ta edición,
McGRAW-HILL, 1991 [12] Froment gf and Bischoff kb., “Chemical reactor analysis and design”. 2nd edition,
1990 [13] Ullmann’s., “Reactor types and their industrial applications”. Encyclopedia of
Chemistry, vol. B4, VCH 1992. [14] Santamaría, J., Braña, P., “Análisis y reducción de riesgos en la industria química”.
Maphre, Madrid 1994 [15] Westerterp, “reactores multifuncionales”. Chemical Engineering Science, 47 (9-
11). pp 2195-2206. ISSN 0009-2509 [16] Henry a. Mendiburu Díaz., Diseño de un Neurocontrolador Dinámico (DBP) aplicado
a un Reactor Químico Continuo (CSTR), tesis de maestría, pontifica universidad católica de Peru., 2005.
[17] Luyben, W.L., “Process modeling, simulation, and control for chemical engineers”, 1990
[18] Henry,C., Simancas,D. “Modelaje y simulación de un reactor químico”. Proyecto de
Grado. Universidad Simón Bolívar. Venezuela. (1996) [19] katsuhiko Ogata., “ingeniería de control moderna”., 4ta edición., 2003. [20] Jesús Fausto López Manzanarez., Tesis de Maestría Titulada: “Regulación de
Reactores Químicos con Esquema de Control Proporcional Integral No Lineal” UAM Iztapalapa Cd. de México, D. F., México 2003
[21] http://isaw.isa.cie.uva.es/ecosimjava/reactor