InstitutoPolit¶ecnicoNacional...James Clerk Maxwell (1831-1879) expres o en 1864 las leyes del electromagnetismo presentadas en su forma diferencial . Un hecho relevante, es que las

Instituto Polit¶ecnico Nacional

Escuela Superior de F¶³sica y Matem¶aticas

SOBRE LA DERIVACION DEFEYNMAN DE LAS

ECUACIONES DE MAXWELL

Tesis que para obtener el t¶³tulo deLicenciado en F¶isica y Matem¶aticas

Presenta:

Cadena Arenas AntonioEscuela Superior de F¶isica y Matem¶aticas

Instituto Polit¶ecnico NacionalEdi¯cio No.9

Unidad Adolfo L¶opez Mateos07300 M¶exico D.F.

Director de Tesis:Dr. Victor Granados Garc¶ia

ESFM-IPN

M¶exico D.F., 3 de mayo de 2004

Dedicatoria

A mis padres y a mi esposa Miriam

i

Agradecimientos

Quiero dar las gracias a todas las personas que hicieron posible este trabajo. Quisiera expresar miagradecimiento especial a todos mis profesores sinodales por sus grandes ense~nansas, al Dr. VictorD. Granados G. por haber dirigido esta tesis , a la M.C. Olga L. Hernandez C. por proporcionarmeinformaci¶on valiosa sobre las pruebas de Feynman, y al Dr. Jes¶us Garc¶³a R. por todas sus observacionespara que este manuscrito sea lo m¶as coherente posible. Agradesco a todos mis profesores que les debolos conocimientos que adquir¶³ en el transcurso de mi carrera. Estoy en deuda, por su ayuda con misJefes de trabajo, con Sr. Fernando Alegr¶³a por su valios¶³simo apoyo.

Si, pese a la ayuda y el apoyo de todas estas buenas personas, he cometido muchos errores sonenteramente culpa m¶³a; doy las gracias de antemano a todos y a Dios.

ii

¶Indice General

Introducci¶on 1

1 Carga el¶ectrica en un campo electromagn¶etico 21.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Potencial tetradimensional del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Ecuaciones de movimiento de una carga en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Formulaci¶on covariante de las ecuaciones de Maxwell 72.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Invariancia de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 La Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Tensor del campo electromagn¶etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Primer par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Deducci¶on de las ecuaciones de Maxwell 183.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Segundo par de ecuaciones a partir de una Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Las ecuaciones homog¶eneas de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 La fuerza de Lorentz en la mec¶anica cu¶antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Invariancia de norma en la mec¶anica cu¶antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Derivaci¶on de Feynman de dos ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones 34

Bibliograf¶³a 35

iii

Introducci¶on

La observaci¶on realizada por Tales de Mileto en 600 a. de J.C., de que un pedazo de ambar atraepeque~nos trozos de paja, da inicio a la ciencia de la electricidad. As¶³ mismo el estudio del magnetismose remonta al descubrimiento de que ciertas piedras \naturales"(la magnetita) atraen trozos de hierro.En 1820, Hans Cristian Fersted (1777-1851) observa una relaci¶on entre ellas, la relaci¶on entre laelectricidad y el magnetismo.

Para el desarrollo de ¶esta ciencia {el electromagnetismo{ intervienen cient¶³¯cos muy brillantescomo Michael Faraday (1791-1867). James Clerk Maxwell (1831-1879) expres¶o en 1864 las leyes delelectromagnetismo presentadas en su forma diferencial .

Un hecho relevante, es que las ecuaciones de Maxwell de la electrodin¶amica, - y no solamente elexperimento de Michelson y Morley- le dan la clave al cient¶³ co Albert Einstein (1879 - 1955), paraformular su teor¶³a de la relatividad especial en el a¹no de 1905. Precisamente, uno de los conceptos de larelatividad especial, es la covariancia de las leyes de la f¶³sica frente a transformaciones de Lorentz, estonormalmente no suele demostrarse detalladamente y apenas se menciona. En el cap¶³tulo dos de estetrabajo, se mencionan los aspectos y se discuten los resultados para demostrar que la electrodin¶amicade Maxwell es covariante frente a las transformaciones de Lorentz.

El campo que abarcan las ecuaciones de Maxwell es extenso, incluye los principios fundamentalesde todos los dispositivos electromagn¶eticos y ¶opticos, tales como, los motores, la radio, la televisi¶on,el radar de microondas, asi como microscopios y telescopios.

En lo que se re¯ere a la fundamentacion de la teor¶³a, se cree que el electromagnetismo es un casoespecial de una teor¶³a general, ¶esta teor¶³a abarca la gravitaci¶on y la f¶³sica cu¶antica.

La mec¶anica cu¶antica es una parte de la f¶³sica moderna, de un contenido bastante extenso y dif¶³cilde entender. Un personaje en el mundo de la ciencia, es el f¶³sico norteamericano Richard P. Feynman(1918-1987), qui¶en trabaj¶o con fervor en el campo de la electrodin¶amica. El trataba de uni¯car esa granteor¶³a del electromagnetismo de Maxwell y la mec¶anica cu¶antica. Le llam¶o electrodin¶amica cu¶antica,que es la teor¶³a cu¶antica de la interacci¶on entre la materia y la radiaci¶on electromagn¶etica. En general,permit¶³a obtener buenos resultados al hacer c¶alculos aproximados, pero cuando quer¶³a precisar m¶as,en muchos casos el resultado era in¯nito. Desarroll¶o un m¶etodo para resolver este problema; al mismotiempo, pero de manera independiente, J. Schwinger y S. Tomanaga, tambi¶en obtuvieron la soluci¶on;a ese proceso se le conoce ahora como renormalizaci¶on. Pero no dedicaremos atenci¶on a la cuesti¶on dela renormalizaci¶on. El objetivo es analizar y discutir la prueba que dio Feynman (cap¶³tulo tres) de dosecuaciones de Maxwell, las ecuaciones homog¶eneas. Estas ecuaciones fueron obtenidas, por Feynman,aplicando conceptos de la mec¶anica cu¶antica. Tuvieron que pasar 84 a¹nos, desde que Maxwell laspublic¶o y que Feynman las obtuviera en el a¹no de 1948. A¶un m¶as, esos resultados fueron publicadoshasta abril del a¹no 1989 por el f¶³sico Brit¶anico Freeman Dyson.

1

Cap¶³tulo 1

Carga el¶ectrica en un campoelectromagn¶etico

1.1 Introducci¶onPara entender el fen¶omeno del electromagnetismo, es necesario conocer algunos conceptos, principiosy teor¶³as, que a trav¶es de los a¹nos se han fundamentado. Precisamente, todo esto ha dado sostena la teor¶³a electromagn¶etica. Se sabe que el fen¶omeno electromagn¶etico, su descubrimiento se debeprincipalmente, en observaciones experimentales.

Si una part¶³cula con carga el¶ectrica se mueve dentro de un campo electromagn¶etico, actuar¶a unafuerza sobre ella. La fuerza producida por el campo, puede ser atractiva, repulsiva o nula, dependiendode las caracteristicas de la part¶³cula. Ocurre algo similar a la fuerza gravitacional, que en este caso,la fuerza act¶ua de forma atractiva, sobre cualquier objeto. Se aclara que la fuerza gravitacional esdistinta a la fuerza electromagnetica, as¶³ como las fuerzas nucleares fuerte y d¶ebil. Pues bien, lapart¶³cula formara una trayectoria al moverse. Esta trayectoria de la part¶³cula, es el camino marcadopor el campo. Esta trayectoria debe cumplir con la ley de Newton, es decir, hay una ley que dice quemientras avanza hay una fuerza que produce una acelaraci¶on. Pero hay algo m¶as, otra ley que dice queuna cierta integral sobre la trayectoria desde un punto a otro es m¶³nima. Este es un enunciado generalsobre la trayectoria completa. Esta ley se le conoce como principio de m¶³nima acci¶on. El resultadode esta integral se le llama la f¶ormula de la acci¶on de una part¶³cula. La acci¶on se representa por Sy sus unidades son de energ¶³a por tiempo. Esta f¶ormula tiene informaci¶on de como es el movimientoque describe la part¶³cula. Pero resulta que las part¶³culas no se mueven tan lento. Supongamos quenos preguntamos que sucede si la particula se mueve relativistamente. Adem¶as de eso, imaginamosque lo hace dentro de un campo electromagn¶etico, >c¶omo sera su movimiento en cada punto de latrayector¶³a?, para eso, empecemos estudiando el potencial tetradimensional.

1.2 Potencial tetradimensional del campoLa interacci¶on entre part¶³culas se puede de¯nir por medio del concepto de campo de fuerzas. La acci¶onde una part¶³cula que se mueve en un campo electromagn¶etico dado consta de dos partes: la acci¶ondada por la part¶³cula libre y, la que de¯ne la interacci¶on de la part¶³cula con el campo electromagn¶etico.

Para que se pueda dar la interacci¶on part¶³cula-campo, la part¶³cula debe tener la propiedad de

2

CAP¶ITULO 1. CARGA EL¶ECTRICA EN UN CAMPO ELECTROMAGN ¶ETICO 3

tener carga el¶ectrica, representada por e, que puede ser positiva, negativa o nula, mientras que parael campo, sus propiedades que lo caracterizan, est¶an descritas por un vector con cuatro componentesque son funciones de las coordenadas y el tiempo, es decir de (r; t). Se hace la aclaraci¶on que laspropiedades de la part¶³cula se re¯eren al caso de la teor¶³a cl¶asica y no a la cu¶antica. En ¶este caso no setoma en consideraci¶on el efecto del sp¶³n. El cuatrovector representado por A¹ [5] con (¹ = 0; 1; 2; 3), sele conoce como tetrapotencial. Sus componentes puede escribirse por A¹ = (A0; ¡A) conocida comoforma covariante, o tambi¶en por, A¹ = (A0; A) que es la forma contravariante. A la componenteA0 = '(r; t) se le conoce como potencial escalar y, la componente A(r; t) como el potencial vectorial.De acuerdo con lo anterior, la acci¶on de la interacci¶on part¶³cula-campo toma la forma matem¶atica

¡ ec

Z b

aA¹dx¹; (1.1)

donde x¹ = (x0; x1; x2;x3) = (ct;x; y; z) y las componentes de A¹ se toman en los puntos de la l¶³neade universo de la part¶³cula, entendiendo como l¶³nea de universo, la trayectoria de la part¶³cula sobreel mapa del espacio-tiempo y que muestra la historia de las part¶³culas en movimiento.

De lo expuesto se deduce que la acci¶on de una carga en un campo electromagn¶etico tiene la formasiguiente [5]

S =Z b

a

³¡mcds ¡ e

cA¹dx¹

´: (1.2)

dondeR b

a es la integral a lo largo de la l¶³nea de universo entre dos sucesos dados de la part¶³cula. Los

factores ¡mc y1c

se toman por conveniencia y ds es el elemento de intervalo o la distancia entre dospuntos en el espacio-tiempo.

Utilizando la forma covariante del tetrapotencial, de¯nido anteriormente como

A¹ = ('(r; t); ¡A(r; t)) ; (1.3)

y sustituyendo ¶esta en la ecuaci¶on (1.2) y desarrollando t¶erminos, se obtiene

S =Z b

a

³¡mc ds +

ecA ¢ dr ¡ e' dt

´: (1.4)

Transformando la integral en t¶erminos del tiempo e introduciendo v =drdt

y ds = c dt °¡1, ° es el

factor de Lorentz dado por ° ´ 1 =q

1 ¡ v2

c2 , tenemos

S =Z t2

t1

Ã¡mc2

r1 ¡ v2

c2 +ecA ¢ v ¡ e'

!dt: (1.5)

El integrando es la funci¶on Lagrangiana de una carga en un campo electromagn¶etico:

L = ¡mc2r

1 ¡ v2

c2+

ecA ¢ v ¡ e': (1.6)


Esta expresi¶on se diferencia de la funci¶on Lagrangiana relativista para una part¶³cula libre, en lost¶erminos (

ecA ¢ v ¡ e') que de¯ne la interacci¶on de la carga con el campo electromagn¶etico.

La derivada@L@v

es el momento can¶onico de la part¶³cula; que designaremos por medio de P:

P =mvq1 ¡ v2

c2

+ecA = p +

ecA: (1.7)

En esta f¶ormula se ha llamado p a el momento. Si una part¶³cula tal se mueve bajo la in°uencia depotenciales vector y escalar, entonces el momento de la part¶³cula en esa direcci¶on es una constante demovimiento, momento siendo de¯nido por (1.7)

De la funci¶on Lagrangiana se puede deducir la funci¶on Hamiltoniana de una part¶³cula en un campo,aplicando la f¶ormula general

H = v ¢ @L@v

¡ L: (1.8)

Sustituyendo las ecuaciones (1.6) y (1.7), se tiene en la (Ec. 1.8):

H = v ¢ (p + ecA) ¡ (¡mc2

q1 ¡ v2

c2 + ec A ¢ v ¡ e'):

Reduciendo t¶erminos, hallamos:

H =mc2q1 ¡ v2

c2

+ e': (1.9)

La funci¶on Hamiltoniana la expresamos en funci¶on del momento generalizado de la part¶³cula. Por(1.7) y (1.9) vemos que la relaci¶on entre H ¡ e' y P ¡ e

cA es la misma que entre H y p en ausencia

del campo, es decir,

µH ¡ e'

c

¶2

= m2c2 + (P ¡ ecA)2: (1.10)

Cuando las velocidades son peque~nas, es decir, cuando se encuentran dentro de los l¶³mites norelativistas, se puede desarrollar L en series de potencias de

vc, la funci¶on de Lagrange (1.6) pasa a

L =mv2

2+

ecA ¢ v ¡ e': (1.11)

En esta aproximaci¶on

p = mv = P ¡ ecA; (1.12)

y la funci¶on Hamiltoniana:

H =1

2m

³P ¡ e

cA(r; t)

´2+ e'(r; t): (1.13)


1.3 Ecuaciones de movimiento de una carga en el campoLas ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagn¶etico vienen dadas por lasecuaciones de Lagrange como vimos en el caso no relativista

ddt

@L@v

=@L@r

; (1.14)

donde la funci¶on Lagrangiana L se determina por la f¶ormula (1.11).

La derivada@L@v

es el momento can¶onico de la part¶³cula (1.7). Luego, podemos escribir:

@L@r

´ 5L =ecr(A ¢ v) ¡ er': (1.15)

Utilizando la f¶ormula del an¶alisis vectorial

r (a ¢ b) = (a ¢ r)b + (b ¢ r)a + b £ (r £ a) + a £ (r £ b);

donde a y b son dos vectores cualesquiera. Aplicando esta f¶ormula a A ¢ v y considerando que v esconstante, encontramos:

@L@r

=ec(v ¢ r)A +

ec(v £ (r £ A)) ¡ e r ': (1.16)

Por consiguiente las ecuaciones de Lagrange toman la forma:

ddt

(p +ecA) =

ec(v ¢ r)A +

ec(v £ (r £ A)) ¡ e r ': (1.17)

Pero la diferencial total dA est¶a dada por:

dAdt

=@A@t

+ (v ¢ r)A:

Poniendo este valor en la ecuaci¶on anterior, obtenemos:

dpdt

= ¡ ec

@A@t

¡ er ' +ec

(v £ (r £ A)) : (1.18)

Esta es la ecuaci¶on del movimiento de una part¶³cula en un campo electromagn¶etico, como el primermiembro es la derivada del momento, por consiguiente, el segundo miembro es la fuerza que act¶uasobre la part¶³cula en el campo electromagn¶etico. En el segundo miembro, los t¶erminos primero ysegundo son independientes de la velocidad de la part¶³cula, el tercer t¶ermino depende de ella, siendoproporcional y perpendicular a la misma.

La fuerza en el primer t¶ermino referida a una carga igual a la unidad recibe el nombre de intensidaddel campo el¶ectrico E. De acuerdo con esta de¯nici¶on

E = ¡1c

@A@t

¡ r ': (1.19)


El factorvc

de la fuerza de segundo t¶ermino que act¶ua sobre la unidad de carga, se llama excitaci¶onmagn¶etica o intensidad de campo magn¶etico y se designa con la letra H. Seg¶un su de¯nici¶on

H = r £ A: (1.20)

Entonces podemos escribir las ecuaciones del movimiento de la part¶³cula en el campo electro-magn¶etico bajo la forma

dpdt

= eE +ec[v £ H]: (1.21)

en donde c = 2:99793 x 108 m/seg es la velocidad de la luz en el vac¶³o.La expresi¶on en el segundo miembro se llama fuerza de Lorentz. Con la ayuda de las f¶ormulas

(1.19) y (1.20) obtenemos as¶³ dos ecuaciones de Maxwell r¢ H y r £E respectivamente. En la secci¶on2:3 se prueba que la ecuaci¶on de la fuerza de Lorentz, es covariante bajo transformaciones de Lorentz.Posteriormente en la secci¶on 3:4 se obtiene una versi¶on cu¶antica de esta fuerza que es fundamental enla prueba de Feynman desarrollada en la secci¶on 3:6

Es importante recalcar que la fuerza de Lorentz y el acoplamiento m¶³nimo se dedujo a partir deuna funci¶on Lagrangiana. Pero podemos dar la Fuerza de Lorentz expresada en t¶erminos del campoel¶ectrico y magn¶etico y puede por lo tanto derivarse la funci¶on Lagrangiana como esta hecho en lareferencia ([1])

Cap¶³tulo 2

Formulaci¶on covariante de lasecuaciones de Maxwell

2.1 Introducci¶onEn el cap¶³tulo anterior, hemos estudiado la fuerza que act¶ua sobre una part¶³cula cargada, moviendoseen un campo electromagn¶etico. La fuerza obtenida es la contracci¶on de un tensor antisim¶etrico desegundo rango con la 4-velocidad. Las componentes de ese tensor, se han identi¯cado como lascomponentes del campo y ¶estas han sido expresadas en t¶erminos de los potenciales escalar y vectorial.A dicho tensor se le conoce como tensor de campo electromagn¶etico y no cambia de forma frentea transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell se pueden de¯nir en t¶erminos de dichotensor. Cabe mencionar que las ecuaciones de Maxwell describen el campo electromagn¶etico producidopor cargas en movimiento. Pues bien, como el tensor es invariante frente a las transformaciones deLorentz, las ecuaciones de Maxwell se les ha dado una formulaci¶on covariante, es decir, no cambian deforma frente a las transformaciones de Lorentz. Por otro lado, los potenciales escalar y vectorial no son¶unicos, es decir, podemos elegir dentro de toda una colecci¶on de potenciales, una pareja, de tal formaque describen al mismo campo electromagn¶etico. A esto se le conoce como invariancia de norma.Este concepto, la invariancia de norma, no solo hace m¶as f¶acil resolver problemas de electrodin¶amica;tambi¶en tiene aplicaciones en otras ramas de la f¶³sica como la teor¶³a de campo cu¶antico.

2.2 Invariancia de normaDe acuerdo con las ecuaciones (1.19) y (1.20) donde solamente se necesita dar los potenciales A(r; t) y'(r; t), as¶³ los valores de H y E quedan de¯nidos un¶³vocamente. Pero a un campo, pueden correspon-derle diferentes potenciales. Para convencerse de ¶esto, se a~nade a cada componente del tetrapotencial

A¹ una cantidad ¡ @f@x¹ , donde f(r,t) es una funci¶on arbitraria de las coordenadas y del tiempo.

Entonces A¹ se transformar¶a en ([5])

A0¹ = A¹ ¡ @f

@x¹: (2.1)

Al hacer esta sustituci¶on en la integral de la acci¶on (1.2), obtenemos

7

CAP¶ITULO 2. FORMULACI ¶ON COVARIANTE DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL 8

S =Z b

a

µ¡mcds ¡ e

c

µA¹ ¡ @f

@x¹

¶dx¹

¶=

Z b

a

µ¡mcds ¡ e

cA¹dx¹ +

ec

@f@x¹ dx¹

¶: (2.2)

En el segundo miembro, el t¶ermino

ec

@f@x¹ dx¹ = d(

ecf ); (2.3)

representa la diferencial total.En lugar de introducir el potencial tetradimensional, se introduce el potencial vector y el potencial

escalar y en lugar de x¹ las coordenadas ct; x; y; z: Las cuatro igualdades de (2.1) se pueden escribirbajo la forma

A(r; t)0 = A(r; t) + r f (r; t);

'0(r; t) = '(r; t) ¡ 1c

@f (r; t)@t

: (2.4)

Sustituyendo A0 y '0 en las ecuaciones (1.19) y (1.20), se obtiene para E

E 0 = ¡ 1c

@A@t

0 ¡ r '0 = ¡ 1c

@@t (A + r f ) ¡ r

³' ¡ 1

c@f@t

´= ¡ 1

c@A@t ¡ r ' = E;

y para H

H0 = r £ A0 = r £ (A + r f ) = r £ A = H:

As¶³ entonces no cambia ni E ni H y por lo tanto se deduce que la de¯nici¶on de los potenciales noes un¶³voca, puesto que el potencial vector se determina con una exactitud de hasta el gradiente de unafunci¶on arbitraria y el escalar, con la de hasta la derivada respecto al tiempo de esta misma funci¶on.

Tiene sentido f¶³sico solamente aquellas magnitudes que son invariantes respecto a la transformaci¶onde los potenciales (2.4). Esto es lo que se conoce como invariancia de norma o de gradiente. Hay quehacer notar que este resultado va ligado a la suposici¶on hecha en (2.3) de que e es constante.

2.3 La Fuerza de LorentzEl an¶alisis para determinar la fuerza que act¶ua sobre una part¶³cula de carga e, en el entorno deun campo electromagn¶etico, ha requerido b¶asicamente de observaciones experimentales. H. AntoonLorentz pudo derivar a dicha fuerza, partiendo de la teor¶³a de Clausius y otros, y se public¶o enArchiv, N¶eert. XXV 363 (1892) cap. IV. La ley de fuerza de Lorentz, su validez se ha probadoexperimentalmente.

La ecuaci¶on F = eE [2], describe la fuerza que act¶ua sobre una part¶³cula de carga el¶ectrica e,producida por un campo el¶ectrico E. Esta fuerza no s¶olo de¯ne el campo el¶ectrico, sino una ley deinteracci¶on de carga-campo, la cual establece que la fuerza sobre una carga puntual e en un puntodado en la vecindad de otras cargas, es proporcional a su magnitud e, y tiene direcci¶on igual a ladirecci¶on de E cuando e es positiva y, direcci¶on contraria a E cuando es negativa. Ahora, cuandolas cargas son m¶oviles y la carga de prueba e est¶a en reposo, tambi¶en se tiene que la ley anterior es


v¶alida, pero E ya no est¶a dada por la ley de Coulomb. A ¶este tipo de campo se le conoce como campoel¶ectrico inducido que quedar¶a claro m¶as adelante.

Por otro lado, si las cargas de los alrededores son estacionarias y la carga puntual e se mueva, lafuerza que siente la carga e es la misma F = eE y el campo el¶ectrico E se encuentra necesariamentepor la ley de Coulomb, as¶³ eE es independiente de la velocidad.

Consideremos el caso cuando los alrededores y la carga puntual e se est¶an moviendo, la fuerzaF = eE que act¶ua sobre una carga en reposo act¶ua sin cambio con respecto a las cargas m¶oviles, sinembargo, existe una fuerza adicional que depende de la velocidad v. La fuerza no depende solamente dela direcci¶on de v, sino tambi¶en de la naturaleza de la carga de los alrededores y de las distribucionesde corriente, que sean presumiblemente, la \causa "de ¶esta fuerza. Las fuerzas dependientes de lavelocidad caen en un cierto plano a trav¶es de un punto P y en un tiempo t (¯g. 2.3.1). Las fuerzasson perpendiculares a una l¶³nea de¯nida QR. Esta l¶³nea se traza como determinante de la direcci¶ondel campo magn¶etico en P el cual da elevaci¶on a la fuerza dependiente de la velocidad v. La magnitudde la fuerza es cero si la carga se mueve a lo largo de la l¶³nea QR, en cualquier direcci¶on. De hecho, lamagnitud viene a ser proporcional a la proyecci¶on de v sobre el plano MN y de la carga e. Entoncesla fuerza F, en el sistema de unidades internacional la podemos escribir como:

F = e v(proy) £ H (2.5)

en donde v(proy) es la magnitud de la proyecci¶on de v sobre el plano MN y H es la constante deproporcionalidad que depende de los alrededores y no de las cargas bajo observaci¶on.

Para especi¯car la direcci¶on de la fuerza F en el plano MN, encontramos que todos los vectores va trav¶es del punto P, F y vproy est¶an relacionados en el mismo sentido de circulaci¶on o de rotaci¶on.


Esto es, si en la ¯gura (2.3.1) trazamos una °echa de circulaci¶on que muestre la direcci¶on hacia laque debe girar F en 900 para llegar a vproy, ¶esta se aplica a todos los pares de vectores positivos yla carga e negativa invierte ¶esta relaci¶on. Describimos el campo magn¶etico introduciendo un vectorH dirigido normalmente al plano y especi¯camos su direcci¶on en relaci¶on a la circulaci¶on segun laregla de la mano derecha: si los dedos est¶an doblados de manera que concuerden con la °echa decirculaci¶on, el pulgar apunta a lo largo de la normal elegida para H. Por razones hist¶oricas a H se lellama \inducci¶on magn¶etica "y la fuerza la podemos escribir en una notaci¶on vectorial, en la siguienteforma

F = ev £ H: (2.6)

Podemos ¯nalmente escribir en forma general para toda la fuerza sobre una carga determinada en unlugar y tiempo dados, en el sistema internacional de unidades)

F = eE + ev £ H; (2.7)

¶esta ecuaci¶on es conocida como la Ley de las Fuerzas de Lorentz.Toda la expresi¶on a la derecha del signo igual se llama Fuerza de Lorentz y al segundo t¶ermino se

llama fuerza magn¶etica. Esta ley fu¶e veri¯cada experimentalmente para diferentes valores de carga e,velocidad v, campo el¶ectrico E y campo magn¶etico H, las ¶unicas limitaciones a su validez surgen dela omisi¶on de t¶erminos adicionales debidos a la radiaci¶on, que dependen m¶as de la aceleraci¶on que dela velocidad de e. En el sistema internacional la fuerza la medimos en Newtons, e en coulombs y lavelocidad v en m/seg., el campo magn¶etico H tiene unidades de Nw./A¢ m, esta unidad tambi¶en sellama Weber=m2 o tambi¶en Tesla. La ley de Fuerza magn¶etica tambi¶en la expresamos en unidadesGaussianas, en donde F est¶a en dinas, e en statcoulombs, v en cm./ seg., el campo magn¶etico H enunidades electromagn¶eticas (uem), unidad conocida como \Gauss "o como Oersted.La forma que tomaes la ecuaci¶on (1.21)

La ley de fuerza de Lorentz (1.21) tambi¶en cumple con el Principio de la Relatividad Especial yse puede escribir en forma covariante que lo que se tratar¶a enseguida. En la teor¶³a de la relatividades mas conveniente trabajar con cuadrivectores. Se de¯ne el cuadrivector de momento como ([10])

p¹ = mcu¹ = (mc°; m°v) (2.8)

donde u¹ = (°; ° vc ) es el cuadrivector de velocidad y est¶a de¯nido por .

u¹ =dx¹

cd¿; d¿ = °¡1dt: (2.9)

Y tambi¶en se de¯ne la 4-aceleraci¶on por

a¹ =du¹

d¿; (2.10)

donde ¿ el tiempo propio de la part¶³cula, en un sistema de referencia. Calculando las componentes deu¹ y a¹, se puede probar que [10]

a¹u¹ = 0: (2.11)


La 4-fuerza se de¯ne

F¹ = ma¹; (2.12)

donde a¹ es el cuadrivector de aceleraci¶on y representa la generalizaci¶on relativista de la ecuaci¶on deNewton, donde m es la masa asignada a la part¶³cula por un observador con respecto quien la part¶³culaesta momentaneamente en reposo. Sus componentes son

Fi = mai = mdui

d¿= m

d°v jid¿

= m°d°v ji

dt= °

dm°v jidt

= °dpi

dt= °F i; (2.13)

y como

0 = a¹u¹ = m (a¹ u¹) = g¹º uº F¹ = °(c; ¡v) ¢ (F0; ° F) = ° c F 0 ¡ °2v ¢ F (2.14)

donde g¹º uº es el tensor m¶etrico de Minkowski, se obtiene que

F0 =° v ¢ F

c: (2.15)

Si en un sistema de referencia O, se observa a la carga e sujeta a la fuerza el¶ectrica F = eE, la4-fuerza de Lorentz correspondiende es seg¶un (2.12)

F¹ =

0BB@

F0

F1

F2

F3

1CCA =

0BB@

( e°c )v ¢ Ee°E1e°E2e°E3

1CCA =

ec

0BB@

°v ¢ Ec°E1c°E2c°E3

1CCA

=ec

0BB@

0 ¡E1 ¡E2 ¡E3E1 0E2 0E3 0

1CCA

0BB@

c°¡°v1

¡°v2

¡°v3

1CCA ´ q

cF¹º uº; (2.16)

o bien

F ¹ =dp¹

d¿=

qcF¹º uº: (2.17)

Puesto que uº es un cuatro-vector, tal que la contracci¶on con F¹º resulta la cuatro-fuerza F¹; F ¹º estensor contravariante de rango 2. Entonces las componentes del campo el¶ectrico E, forman parte delos elementos del tensor F ¹º de segundo rango.

Considerando una transformaci¶on de Lorentz a lo largo del eje x, la matriz de Lorentz ¤ ([10])transforma las componentes del tensor F¹º. Entonces en el sistema O0 las correspondientes componetesdel tensor son:

F¹º0 = ¤¹· ¤º

¾F·¾ =

0BB@

¤0·¤0

¾F ·¾ ¤0·¤1

¾F·¾ ¤0·¤2

¾F ·¾ ¤0·¤3

¾F·¾

¤1·¤0

¾F ·¾ ¤1·¤1

¾F·¾ ¤1·¤2

¾F ·¾ ¤1·¤3

¾F·¾

¤2·¤0

¾F ·¾ ¤2·¤1

¾F·¾ ¤2·¤2

¾F ·¾ ¤2·¤3

¾F·¾

¤3·¤0

¾F ·¾ ¤3·¤1

¾F·¾ ¤3·¤2

¾F ·¾ ¤3·¤3

¾F·¾

1CCA ; (2.18)


variando · y ¾ a los valores 0; 1; 2 y 3 y tomamos las correspondientes componentes de ¤ y F ¹º ,despues de reducir t¶erminos, resulta

F¹º0 = ¤¹·¤º

¾F·¾ =

0BB@

0 ¡E1 ¡°E2 ¡°E3E1 0 ¯°E2 ¯°E3

¯°E2 ¡¯°E2 0 0°E3 ¡¯°E3 0 0

1CCA =

0BB@

0 ¡E 01 ¡E0

2 ¡E 03

E01 0 ¡cH 0

3 ¡cH 02

E02 cH 0

3 0 0E0

3 cH 02 0 0

1CCA ;(2.19)

donde hemos de¯nido

E01 = E1; E 0

2 = °E2; E03 = °E3;

cH 02 = ¯°E3; cH 0

3 = ¡¯°E2;

y [H 0i ] = New:seg=Coul:m = T esla ´ 104Gauss. Adem¶as, la 4-fuerza en el sistema O 0 es

F¹0 =ecF¹º0v0

º =ec

0BB@

0 ¡E 01 ¡E 0

2 ¡E 03

E01 0 ¡cH 0

3 ¡cH 02

E02 cH 0

3 0 0E0

3 cH 02 0 0

1CCA

0BB@

c° 0

¡°v10

¡°v20

¡°v30

1CCA

= e° 0

0BB@

v¢E0

cE 0

1 + (H 03v20 ¡ H 0

2v30)E0

2 ¡ H 03v10

E03 + H 0

2v10

1CCA : (2.20)

Donde las componentes espacialoides de la 4-fuerza pueden ser escritas como

F j0= 1°0 F

i0 = eE0 + ev0 £ H0; (2.21)

donde H0 = H 02j + H 0

3k.El t¶ermino ev0 £ H0 se llama fuerza magn¶etica, H0 el vector de inducci¶on magn¶etica y F0 fuerza

de Lorentz.

2.4 Tensor del campo electromagn¶eticoLas ecuaciones que resumen todos los fen¶omenos cl¶asicos relacionados con el electromagnetismo, sonlas ecuaciones de Maxwell para el campo el¶ectrico E y magn¶etico B. En forma diferencial, estanexpresadas por:

r ¢ E = 4¼½: (2.22)

r £ E = ¡1c

@H@t

: (2.23)


r ¢ H = 0: (2.24)

r £ H =1c

@E@t

+4¼c

j: (2.25)

donde ½ es la densidad de carga y J la densidad de corriente el¶ectrica.La Ec.(2.22) corresponde a la Ley de Gauss, que generaliza la f¶ormula de Coulomb para la fuerza

ejercida por una carga sobre otra; la Ec.(2.23) expresa la ley de inducci¶on de Faraday; la Ec.(2.24) esla condici¶on de que no existen cargas magn¶eticas aisladas en la naturaleza y la Ec.(2.25) es la ley deAmpere con el t¶ermino adicional de Maxwell para la corriente de desplazamiento.

Estas ecuaciones no cambian de forma frente a transformaciones de Lorentz . Para defender ¶estaa¯rmaci¶on, se escribe a ¶estas ecuaciones en forma tensorial. Las f¶ormulas (1.19) y (1.20), que de¯nenlas intensidades del campo en funci¶on de sus potenciales, vienen dadas en s¶³mbolos tridimensionalesy, por lo tanto, resultan inc¶omodas para explicar la ley de transformaci¶on de estas magnitudes alcambiar el sistema de referencia. >C¶omo se puede hallar las leyes de transformaci¶on de los campos?.Tomemos simplemente un campo magn¶etico H [3], que es, por supuesto r £ A. Ahora bien, se sabeque el potencial vectorial con sus componentes x, y y z es una parte; tambi¶en hay una componentet. Tambi¶en se conoce que para derivadas como r, adem¶as de las partes x, y y z, tambi¶en hay unaderivada con respecto a t. Observando primero la forma de los t¶erminos de r £ A cuando escribimosen componentes, se tiene

Hx =@Az

@y¡ @Ay

@z; Hy =

@Ax

@z¡ @Az

@x; Hz =

@Ay

@x¡ @Ax

@y: (2.26)

La componente x es igual a un par de t¶erminos que solamente comprende y y z. Nombrando aesta combinaci¶on de derivadas y componentes Fzy. Simplemente se entiende que:

Fzy ´ @Az

@y¡ @Ay

@z: (2.27)

Similarmente Hy se le asigna Fxz . Y Hz es, por supuesto, Fyx , se tiene

Hx = Fzy ; Hy = Fxz ; Hz = Fyx : (2.28)

Tambi¶en se puede combinar la variable t con las componentes x, y y z, por ejemplo Ftz . Es porsupuesto

@At

@z¡ @Az

@t:

Pero At = ', as¶³ que tambi¶en es

@'@z

¡ @Az

@t:


Esta es la componente z de E puesto que en el gradiente cuadrimensional, la derivada t viene conel signo opuesto al de x, y y z es decir:

r¹ = (@@t

; ¡ @@x

; ¡ @@y

; ¡ @@z

) = (@@t

; ¡r):

As¶³, se debe tomar Ftz como

Ftz =@At

@z+

@Az

@t: (2.29)

Entonces es exactamente igual a ¡Ez . Probando tambi¶en Ftx y Fty hallamos que las tres posi-bilidades dan

Ftz = ¡Ex ; Fty = ¡Ey; Ftz = ¡Ez : (2.30)

En el caso en que ambos sub¶³ndices son iguales por ejemplo t o x encontramos componentes como

Ftt =@At

@t¡ @At

@ty Fxx =

@Ax

@x¡ @Ax

@x;

las cuales no dan nada sino cero. Entonces tenemos seis de estos t¶erminos F . Hay seis m¶as queobtienen intercambiando los sub¶³ndices, pero realmente no dan nada nuevo, puesto que

Fxy = ¡Fyx;

y as¶³ sucesivamente. As¶³ pues, de las diecis¶eis posibles combinaciones de los cuatro sub¶³ndices tomadosde a pares, se tiene solamente seis t¶erminos diferentes; y son las componentes de H y de E. Pararepresentar el t¶ermino general de F , se utiliza los sub¶³ndices generales ¹ y º donde cada uno se puedesustituir por 0, 1, 2, ¶o 3. Entonces cada componente de H y de E queda representado por cadat¶ermino de F¹º mejor conocido como tetratensor antisim¶etrico

F¹º =@Aº

@x¹ ¡ @A¹

@xº ; (2.31)

que recibe el nombre de tensor de campo electromagn¶etico. El sentido de cada una de las componentesde este tensor se comprende poniendo los valores de A¹ = ('; ¡A) en la de¯nici¶on (2.31). Resumimosnuestros resultados sobre F¹º en forma de matriz en la cual el ¶³ndice ¹ sirve para numerar las ¯las yº las columnas [5]:

F¹º =

0BB@

0 Ex Ey Ez¡Ex 0 ¡Hz Hy¡Ey Hz 0 ¡Hx¡Ez ¡Hy Hx 0

1CCA : (2.32)

Las componentes contravariantes de este mismo tensor se diferencian porque el signo var¶³a al elevarun ¶³ndice espacial:


F ¹º =

0BB@

0 ¡Ex ¡Ey ¡EzEx 0 ¡Hz HyEy Hz 0 ¡HxEz ¡Hy Hx 0

1CCA : (2.33)

Ahora, de¯namos el tensor dual de F¹º como [10]

F ¤¹º =

12

²¹º° ±F °± ; (2.34)

donde ²¹º°± es el pseudo-tensor antisim¶etrico de Levi-Civita. Se puede ver f¶acilmente que,

F ¤¹º =

0BB@

0 ¡Hx ¡Hy ¡HzHx 0 ¡Ez EyHy Ez 0 ¡ExHz ¡Ey Ex 0

1CCA : (2.35)

y

F ¤¹º =

0BB@

0 Hx Hy Hz¡Hx 0 ¡Ez Ey¡Hy Ez 0 ¡Ex¡Hz ¡Ey Ex 0

1CCA : (2.36)

Debemos, ahora , hallar la ley de transformaci¶on de F¹º , lo que queremos es la transformaci¶on deLorentz de r¹Aº ¡ rº A¹. Trabajaremos con la combinaci¶on general antisim¶etrica ([3] de vectores, ala cual podemos llamar G¹º :

G¹º = a¹bº ¡ aº b¹: (2.37)

(Para nuestros ¯nes a¹ sera remplazado ¯nalmente por r¹ y b¹ por el potencial A¹.) Las componentesde a¹ y b¹ se transforman seg¶un las f¶ormulas de Lorentz, que son:

a0t = °(at ¡ vax); b0

t = °(bt ¡ vbx);

a0x = °(ax ¡ vat); b0

x = °(bx ¡ vbt);

a0y = ay; b0

y = by ;

a0z = az : b0

z = bz :

(2.38)

Ahora transformamos las componentes de G¹º. Empecemos con Gtx:

G0tx = a0

tb0x ¡ a0

xb0t

= °2 (at ¡ vax) (bx ¡ vbt) ¡ °2 (ax ¡ vat) (bt ¡ vbx)= atbx ¡ axbt :


Pero esto es exactamente Gtx, as¶³ que tenemos el resultado sencillo G0tx = Gtx,calculamos una com-

ponente m¶as

G0ty = °(at ¡ vax)by ¡ °(bt ¡ vbx)ay = ° (atby ¡ aybt) ¡ °v (axby ¡ aybx) :

As¶³ obtenemos que

G0ty = °(Gty ¡ vGxy);

y en la misma forma

G0tz = °(Gtz ¡ vGxz):

Haremos una tabla de los seis t¶erminos; s¶olo que ahora podemos escribirlos para F¹º :

Ftx = F 0tx ; Fxy = °(F 0

xy + vc F 0

ty )

Fty = °(F 0ty + v

c F 0xy); Fyz = F 0

yz ;

Ftz = °(F 0tz + v

c F 0xz); Fzx = °(F 0

zx + vc F 0

zt):

(2.39)

Por supuesto, siempre tenemos F 0¹º = ¡F 0

º¹ y F 0¹¹ = 0:

Expresando ahora las componentes del tensor F ¹º por medio de las componentes de los campos E yH, de acuerdo con (2.33), obtenemos las f¶ormulas de transformaci¶on del campo el¶ectrico y magn¶eticosiguientes:

Ex = E0x ; Hx = H 0

x ;

Ey = E 0y+ v

c H 0zq

1¡ v2c2

Hy = H0y¡ v

c E 0zq

1¡ v2c2

;

Ez = E 0z¡ v

c H 0yq

1¡ v2c2

; Hz = H 0z+v

c E0yq

1¡v2c2

:

(2.40)

As¶³, el campo electromagn¶etico, lo mismo que la mayor¶³a de las magnitudes f¶³sicas, son relativos, esdecir sus propiedades son diferentes en distintos sistemas de referencia, pueden ser nulo en un sistemade referencia y al mismo tiempo existir en otro sistema .

Si en un sistema K 0 el campo magn¶etico H0 = 0, de acuerdo con (2.39) y (2.40) entre los camposel¶ectrico y magn¶etico existir¶a en el sistema K la correlaci¶on siguiente:

H =1cV £ E: (2.41)

Si en el sistema K 0 el campo E0 = 0, en el sistema K entonces se tiene

E = ¡1cV £ H: (2.42)


2.5 Primer par de ecuaciones de MaxwellDe las expresiones

H = r £ A; E = ¡ 1c

@A@t ¡ r',

se puede obtener una ecuaci¶on que contenga ¶unicamente E y H. Para esto hallamos r £ E

r £ E = ¡ 1c

@@t r £ A ¡ r £ (r '):

Pero el t¶ermino r £ r' = 0, por lo tanto,

r £ E = ¡1c

@H@t

: (2.43)

Tomando la divergencia de los dos miembros de la ecuaci¶on H = r£ A y recordando que la divergenciade todo rotacional es nula, hallamos

r ¢ H = 0: (2.44)

Las ecuaciones (2.43) y (2.44) constituyen el primer par de ecuaciones de Maxwel l. Estas dos ecua-ciones de Maxwell se pueden escribir utilizando el tensor dual contravariante de la ecuaci¶on (2.36) enla forma

@F ¤¹º

@xº = 0: (2.45)

Las podemos escribir bajo la forma integral. Seg¶un el teorema de GaussR

(r ¢ H) dV =H

H ¢ df;

donde la integral del segundo miembro se extiende a toda la super¯cie cerrada que limita el volumensobre el cual se toma la integral del primer miembro. De acuerdo con la ecuaci¶on (2.44) tenemos:

IH ¢ df = 0: (2.46)

Es decir el °ujo de un campo magn¶etico a trav¶es de cualquier super¯cie cerrada es igual a cero. Deacuerdo con el teorema de Stokes

Rr £ E df =

HE dl;

donde la integral del segundo miembro se toma a lo largo del contorno cerrado que envuelve la super¯ciea la cual se extiende la integral del primer miembro. De acuerdo con la ecuaci¶on (2.43), integrandolos dos miembros seg¶un una super¯cie determinada, hallamos:

IE dl = ¡1

c@@t

ZH df: (2.47)

Cap¶³tulo 3

Deducci¶on de las ecuaciones deMaxwell

3.1 Introducci¶onEn ¶este cap¶³tulo, iniciamos estudiando la manera de obtener las otras dos ecuaciones de Maxwell, apartir del principio de m¶³nima acci¶on de una Lagrangiana. La acci¶on S de todo el sistema est¶a formadopor un campo electromagn¶etico y las part¶³culas que se encuentran en ¶el, para ¶esto se recurre de lapropiedad fundamental del electromagnetismo, el principio de superposici¶on.

Posteriormente, en la siguiente secci¶on, estudiamos la fase en la funci¶on de onda de una part¶³cula,identi¯cando en la fase informaci¶on de gran importancia relacionada para la electrodin¶amica.

En la secci¶on (3.6), que es la meta de este trabajo, analizamos la derivaci¶on de Feynman delas ecuaciones de Maxwell a partir de la Segunda Ley de Newton del movimiento y la relaci¶on deconmutaci¶on entre la posici¶on y la velocidad para una part¶³cula no relativista que son conceptos dela mec¶anica cu¶antica.

Finalmente se hacen algunos comentarios sobre los argumentos de Feynman para derivar dichasecuaciones

3.2 Segundo par de ecuaciones a partir de una LagrangianaLa carga de una part¶³cula, es una magnitud invariante, es decir, que no depende del sistema dereferencia que se elija. Consideremos un elemento de volumen dV con una carga dq . Si ½ es ladensidad de carga, entonces

dq = ½ dV: (3.1)

La carga dq es invariante frente a transformaciones de Lorentz, as¶³ tenemos que

½ dV es un escalar,

de donde ½ dV dx¹ es un cuadrivector. Pero

½c dV dx¹ = ½cdV dtdx¹

dt; (3.2)

18

CAP¶ITULO 3. DEDUCCI ¶ON DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL 19

y, por otra parte,

c dV dt = dx dy dz c dt; (3.3)

es un elemento de volumen en el espacio de cuatro dimensiones y es un escalar(ver [10]), as¶³ de la

ecuaci¶on (3.2), ½dx¹

dtes un cuadrivector con componentes

(c½;½ v) = (c½; J); (3.4)

y se tiene que

j¹ = (c½; J) es un cuadrivector ; (3.5)

a j¹ lo llamaremos tetravector de corriente.La acci¶on S de todo el sistema formado por un campo electromagn¶etico y las part¶³culas que se

encuentran en ¶el deber¶a constar de tres partes que son

S = Sf + Sm + Smf ; (3.6)

donde Sm = ¡ Pmc

Rds es la acci¶on de las part¶³culas libres, Smf = ¡ P e

c

RA¹dx¹ es la acci¶on

debida a la interacci¶on de las part¶³culas con el campo y Sf es la acci¶on del campo en ausencia delas cargas. Para establecer la forma de Sf del campo, se partir¶a de la propiedad fundamental delelectromagnetismo, el principio de superposici¶on. En Sf no pueden ¯gurar los potenciales por noestar de¯nidos un¶³vocamente y entonces deber¶a ser la integral de cierta funci¶on del tensor de campoelectromagn¶etico F¹º y como la acci¶on debe ser un escalar, ¶este escalar verdadero solamente puedeser el producto de F¹º F¹º. De esta forma Sf deber¶a tener la forma siguiente

Sf = aR R

F¹ºF ¹º dV dt dV = dxdydz; (3.7)

donde a es una constante y su valor num¶erico depende de las unidades que se elijan para medir elcampo. En el sistema de unidades de Gauss, a es una magnitud adimensional igual a ¡ 1

16¼ . Porconsiguiente, la acci¶on del campo tiene la forma

Sf = ¡ 116¼c

RF¹º F¹º d; d = c dt dx dy dz; (3.8)

As¶³ la acci¶on del campo junto con las cargas que en ¶el se encuentran tiene la forma

S = ¡X Z

m c ds ¡X Z

ecA¹dx¹ ¡ 1

16¼c

ZF¹ºF ¹º d; (3.9)

Introduciendo el vector de tetracorriente en la ecuaci¶on (3.9) y al sustituir las cargas puntuales e poruna distribuci¶on de densidad ½ junto con toda la suma extendida a todas las cargas por la integralsobre todo el volumen, la acci¶on total toma la forma

S = ¡X Z

mcds ¡ 1c2

ZA¹j¹d ¡ 1

16¼c

ZF¹ºF ¹º d; (3.10)


Para hallar las ecuaci¶ones de Maxwell a partir del principio de m¶³nima acci¶on, hay que variar lospotenciales del campo que en ¶este caso desempe~nan el papel de coordenadas generalizadas del sistema.Esta deducci¶on conviene hacerla en forma tetradimensional. La variaci¶on del primer t¶ermino en laecuaci¶on (3.10) ser¶a nula, y en el segundo t¶ermino no debe variar la corriente j¹. Por lo tanto:

±S = ¡1c

Z ·1c

j¹ ±A¹ +18¼

F¹º±F¹º

¸d = 0: (3.11)

(al hacer la variaci¶on en el segundo t¶ermino se ha tenido en cuenta que F ¹º ±F¹º = F¹º±F¹º).Poniendo en lugar de ±F¹º su valor

F¹º = @Aº@x¹ ¡ @ A¹

@xº ;

tenemos:

±S = ¡ 1c

R £ 1c j¹ ±A¹ + 1

8¼ (F¹º @@ x¹ ±Aº ¡ F¹º @

@xº ±A¹)¤d:

En el segundo t¶ermino cambiamos de sitio los ¶³ndices mudos ¹ y º y sustituimos F º¹ por ¡F¹º.As¶³ resulta que los t¶erminos segundo y tercero son iguales, de manera que:

±S = ¡ 1c

R £1c j¹ ±A¹ ¡ 1

4¼ F¹º @@ xº ±A¹

¤d:

Escribimos despu¶es

¡ 14¼ F¹º @

@ xº ±A¹ = ¡ 14¼

@(F ¹º±A¹)@ xº + 1

4¼ ±A¹@ F ¹º

@ xº ,

y aplicando a la integral del primer t¶ermino el teorema de Gauss para el espacio tridimensional,obtenemos:

±S = ¡1c

Z ·1c

j¹ +14¼

@F ¹º

@xº

¸±A¹d ¡ 1

4¼c

ZF ¹º ±A¹ dSº : (3.12)

En el ¶ultimo t¶ermino, los l¶³mites de integraci¶on seg¶un las coordenadas son el in¯nito espacial en quedesaparece el campo. Pero los l¶³mites de integraci¶on seg¶un el tiempo, es decir, en los instantes inicialy ¯nal dados, la variaci¶on de los potenciales es nula puesto que por el sentido del principio de m¶³nimaacci¶on los potenciales en estos instantes est¶an dados. As¶³ hallamos la condici¶on de m¶³nima acci¶onbajo la forma

¡1c

Z µ1c

j¹ +14¼

@F ¹º

@xº

¶±A¹d = 0: (3.13)

En virtud del car¶acter arbitrario de la variaci¶on de ±A¹, se deduce de aqu¶³ que la expresi¶onsubintegral entre par¶entesis es igual a cero, es decir,

F¹º

@xº = ¡4¼c

j¹: (3.14)

Escribamos ¶estas cuatro ecuaciones (¹ = 0; 1; 2; 3) en forma tridimensional. Cuando ¹ = 1 tenemos:


1c

@ F 10

@ t + @F 11

@x + @F 12

@y + @F 13

@ z = ¡4¼c j1:

Poniendo los valores de las componentes del tensor F ¹º , hallamos:

1c

@Ex@t ¡ @ Hz

@y + @Hy@z = ¡ 4¼

c jx :

Junto con las dos ecuaciones siguientes (¹ = 2; 3), se puede escribir como una forma vectorial:

r £ H =1c

@E@t

+4¼c

j: (3.15)

Y ¯nalmente la ecuaci¶on en que ¹ = 0; da:

r ¢ E = 4¼½: (3.16)

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) forman el segundo par de ecuaciones de Maxwell que buscabamos yjunto con las ecuaciones (2.43) y (2.44), forman las ecuaciones fundamentales de la electrodin¶amica.

Estas ecuaciones las podemos escribir en forma integral. Integramos (3.16) y aplicando el teoremade Gauss

R r ¢ E dV =H

Edf ,

as¶³ encontramos:

IEdf = 4¼

Z½dV: (3.17)

Por lo tanto, el °ujo del campo el¶ectrico a trav¶es de una super¯cie cerrada es igual a la carga total,que se halla en el volumen limitado por esta super¯cie, multiplicada por 4¼.

3.3 Las ecuaciones homog¶eneas de MaxwellLas varias respuestas cl¶asicas para el desconcertante misterio de interacci¶on han resultado de basessostenibles, tal como la teor¶³a de gravitaci¶on de Einstein y en algunos fracasos como la teor¶³a delcampo uni¯cado de Einstein. Con el advenimiento de la mec¶anica cu¶antica, llevan urgentemente atodos esos intentos los cuales empiezan con los principios de la mec¶anica cu¶antica como veh¶³culo parala cual una teor¶³a de interacci¶on podr¶³a ser adjunta.

La arbitrariedad en la fase de un vector de estado, en particular ha sido un punto favorito decomienzo para esfuerzos encaminados a derivar la forma espec¶³¯ca de las interacciones existentesdesde argumentos de invariancia. Una l¶³nea de razonamiento es como sigue [4].

Considere el estado de una part¶³cula caracterizado por un conjunto de Ã funciones Á¿ (q) por loque

W¿ =Z

Á¤¿ (q)Á¿ (q)dq = 1; (3.18)

y


R¿¿0 ei°¿ ¿0 =Z

Á¤¿ 0(q)Á¿(q)dq = n¶umero complejo (3.19)

donde W¿ es la probabilidad de encontrar la part¶³cula en el estado ¿ , donde ¿ constituye un conjuntocompleto de n¶umeros cu¶anticos para la part¶³cula y q representa las coordenadas espaciales, as¶³ que

P¿¿ 0 = R2¿¿ 0 : (3.20)

P¿¿ 0 es la probabilidad de encontrar el valor ¿ 0 del observable si la part¶³cula se sab¶³a estaba en elestado caracterizado por los valores ¿ .

Si uno escribe

Á¿ (q) = A¿ (q)ei®¿ (q); (3.21)

con A¿ (q) y ®¿ (q) funciones reales; nos preguntamos hasta que punto est¶a la fase ®¿(q) determinadapor las dos cantidades las cuales signi¯can un observable, a saber W¿ y R¿¿ 0.

El s¶olo requerimiento impuesto por R¿¿ 0, es que la integral (3.19) debe tener un m¶odulo de¯nido.En consecuencia, el integrando, aunque ello ciertamente no tiene una fase de¯nida en cada punto,debe tener una diferencia de fase de¯nida en cualquiera dos puntos en el espacio.

As¶³ el cambio en fase de Á¤¿ (q)Á¿(q) a lo largo de una curva cerrada debe anularse. Esto requiere

que el cambio en fase de Á¿(q) a lo largo de una curva cerrada ser¶a opuesta e igual para Á¤¿ (q) y por

lo tanto la misma en todo Á¿ (q). Resulta:\El cambio en fase de una funci¶on Ã a lo largo de una curva cerrada debe ser la misma en todas

las funciones Ã, independientemente de ¿ ".En otras palabras, el cambio en fase a lo largo de una curva cerrada debe ser determinada por

la misma din¶amica del sistema, independientemente del estado particular considerado. Esto sugiereutilizar la no integrabilidad de fase para adaptar caracteristicas del medio ambiente, tales como lasde un campo externo en la cual la part¶³cula se mueve.

Para investigar la posibilidad descrita, generalizando la dependencia en el espacio y tiempo,

Á¿ (r; t) = Á0¿ (r)ei¯(r;t); (3.22)

donde Á0¿(r; t) es una funci¶on ordinaria Ã, es decir una con una fase de¯nida en cada punto (r; t) en

el espacio tiempo, y la indeterminaci¶on de la fase se encuentra en el factor ei¯(r). Debe notarse de loanterior que ¯(r) no requiere ser una funci¶on de r teniendo valores de¯nidos en cada punto, pero ¯(r)debe tener derivadas de¯nidas,

·º =@¯@xº

; (3.23)

en cada punto, la cual no satisface en general, la condici¶on de integrabilidad @·º@x¹

= @·¹@ xº

, por lo cualse dice que es no integrable.

Ahora el cambio en fase, alrededor de una curva cerrada, podr¶³a ser observable porque R¿ 0¿ dependede ella. En cuatro dimensiones este cambio en fase es, por el teorema de Stokes,

I·¹ dx¹ =

Z Z ·@·º

@x¹¡ @·¹

@xº

¸dS¹º ; (3.24)


donde dS¹º es el elemento tensor de super¯cie de la frontera de super¯cie por la curva.Esto es muy sugerente para identi¯car las derivadas de la fase ¯ con los potenciales electro-

magn¶etico, as¶³ que

·º = ¡eAº ; (3.25)

y

@·º

@x¹¡ @·¹

@xº= ¡eF¹º ; (3.26)

que puede ser identi¯cado con el tensor de campo electromagn¶etico, si e permanece con el valornum¶erico de la carga el¶ectrica bajo consideraci¶on.

Las ecuaci¶ones homogeneas de Maxwell

²·¸¹º (@F¹º

@x¸) = 0; (3.27)

se cumple entonces autom¶aticamente y es equivalente a la necesidad que requiere el lado derecho dela ecuaci¶on (3.24) de no depender de la frontera de la super¯cie dada por la curva tomada en el ladoizquierdo. La identi caci¶on (3.25) da informaci¶on de algunos efectos observables de importancia parael concepto de interacci¶on en la mec¶anica cu¶antica y fu¶e observado primeramente por Aharonov yBohm y que est¶e relacionado con la electrodin¶amica cl¶asica, asombra a cualquiera. Bohm y Ahanorovhan sugerido que en la mec¶anica cu¶antica, los potenciales adquieren el estatus de observables lo cualen electrodin¶amica cl¶asica no lo tienen.

3.4 La fuerza de Lorentz en la mec¶anica cu¶anticaAhora veamos que la ecuaci¶on de movimiento de una part¶³cula de carga e moviendose en un campoelectromagn¶etico externo, que puede ser dependiente del tiempo, se puede derivar como ecuaciones deHamilton desde una hamiltoniana

H =1

2m

³p ¡ e

cA

´2+ e '; (3.28)

Aqu¶³ ' y A son los potenciales escalar y vectorial del campo electromagn¶etico. La validez de esteoperador Hamiltoniano en la mec¶anica cu¶antica est¶a respaldado por el c¶alculo de cambio de la raz¶onde tiempo de el valor de espectaci¶on de r para la part¶³cula:

ddt

< r >=1i~ < [r; H ] >=

1m

Dp ¡ e

cA

E: (3.29)

Esta ecuaci¶on de¯ne el operador velocidad

v =1m

³p ¡ e

cA

´(3.30)

Inferimos que las componentes del operador velocidad generalmente no conmutan y que, puesto queel campo magn¶etico B = r £ A,


v £ v = ¡ em2c

(p £ A + A £ p) = i~ em2c

(r £ A) = i~ em2c

B: (3.31)

El operador de velocidad dado por la ecuaci¶on (3.30), es el operador el cual Feynman para deducirlas ecuaciones de Maxwell. La segunda Ley de Newton en la mec¶anica cu¶antica tiene la forma

ddt

< v >=1i~ < [v; H ] > +

¿@v@t

À=

1i~

Dhv;

m2

v ¢ viE

+1i~ < [v; e'] > ¡ e

mc

¿@A@t

À: (3.32)

y en el lado derecho se puede usar la identidad

[v; v ¢ v] = v £ (v £ v) ¡ (v £ v) £ v): (3.33)

combinando las ecuaciones ( 3.31) y (3.33) encontramos

mddt

< v >=e2c

< v £ B ¡ B £ v > ¡e < r' > ¡ ec

¿@A@t

À: (3.34)

se ha llegado a la versi¶on de la mec¶anica cu¶antica de la fuerza de Lorentz

mddt

< v >=e2c

< v £ B ¡ B £ v > ¡e < E > : (3.35)

3.5 Invariancia de norma en la mec¶anica cu¶anticaLa Hamiltoniana para una part¶³cula sin esp¶³n y funci¶on de estado Á(r; t) en un campo electromagn¶etico,est¶a dada por la ecuaci¶on 1.13. En analog¶³a con la mec¶anica cl¶asica, en la mec¶anica cu¶antica, eloperador Hamiltoniano de la part¶³cula en norma f esta dado por

H =·

12m

³p ¡ e

cA

´2+ e'(r; t)

¸Á( r; t): (3.36)

donde r y p denotan a los operadores de posici¶on y de momento de la part¶³cula correspondientesa los vectores r y p de posici¶on y de momento can¶onico respectivamente en 1.13. En el espacio decon¯guraci¶on el operador r act¶ua como una multiplicaci¶on de la magnitud r y el operador p es eloperador diferencial ¡i~r. La ecuaci¶on de SchrÄodinger

H =h

12m

¡p ¡ e

cA¢2 + e'(r; t)

iÁ(r; t) = i~ @Á(r;t)

@ t ;

parece violar el principio de invariancia de norma, puesto que A(r; t) y '(r; t) que aparece en laecuaci¶on, y bajo la transformaci¶on de norma

A0(r; t) = A(r; t) + rf (r; t)

'(r; t)0 = '(r; t) ¡ 1c

@f (r; t)@t

; (3.37)


la Hamiltoniana se cambia de acuerdo a

H =·

12m

³p ¡ e

cA(r; t) +

ecrf(r; t)

´2+ e'(r; t) ¡ e

c@f (r; t)

@t

¸Á(r; t) = i~@Á(r; t)

@t: (3.38)

Es posible salvar la invariancia usando el hecho que un cambio de la funci¶on de onda por un factorfase, el cual puede depender de r y t no tiene consecuencias f¶³sicas. As¶³ si requerimos que (3.37) debeser acompa~nada por la transformaci¶on

Á0(r; t) = ei^(r;t)Á(r; t); (3.39)

remplazando p por~ir en el t¶ermino cuadr¶atico de la funci¶on de Hamilton y con la transformaci¶on

de la funci¶on de onda resulta

12m

µ~ir +

ecA +

ecrf

¶¢µ

~ir +

ecA +

ecrf

¶ei^Á

=1

2m

µ~ir +

ecA +

ecrf

¶¢µ ~

ir(ei^Á) +

ecAei^Á +

ecrfei^Á

¶

=1

2m

µ~ir +

ecA +

ecrf

¶¢µ

~iei^rÁ + ~ei^(r^)Á +

ecAe i Á +

ecei^(rf )Á

¶

=1

2m

µ~ir +

ecA +

ecrf

¶¢·ei^

µ~ir + ~(r^) +

ecA +

ec(rf )

¶¸Á

=1

2mei^

µ~ir + ~(r^) +

ecA +

ec(rf )

¶2

Á; (3.40)

As¶³ con la elecci¶on

^(r; t) = ¡ e~c

f (r; t); (3.41)

esto es con la ley de transformaci¶on

Á0(r; t) = e¡ ie~c f(r;t)Á(r; t); (3.42)

la invariancia de norma es restaurada. Esto lleva a¯rmar, que dada la funci¶on de estado de la part¶³culaen una norma particular, es posible conocer la correspondiente para cualquier otra. En la regi¶on librede campo, B = 0, la cu¶al implica que

r £ A = 0; (3.43)

¶esto es, A puede escribirse como el gradiente de una funci¶on

A = rf (r; t): (3.44)

En una regi¶on libre de campo, podemos por lo tanto describir el movimiento de un electr¶on en dosformas: en una no consideramos la presencia de un campo y se escribe

"1

2m

µ~ir

¶2

+ V (r)

#Á = E Á; (3.45)


para la ecuaci¶on de la eigenfunci¶on de la energ¶³a, o escribir la ecuaci¶on con el vector potencial dadopor (2.18)

"1

2m

µ~ir +

ecA

¶2

+ '(r)

#Ã0 = (E + ')Á0; (3.46)

y tomando a su funci¶on de estado como:

Ã0(r; t) = e¡ ie~c f(r;t)Ã(r; t): (3.47)

3.6 Derivaci¶on de Feynman de dos ecuaciones de Maxwell

En el a~no de 1948, Feynman prob¶o dos ecuaciones de Maxwell, pero sus resultados no fueron publi-cados. En abril de 1989, el F¶³sico te¶orico Freeman Dyson public¶o dicha prueba [12]. El m¶etodo quepresento se basa en conceptos de la mec¶anica cu¶antica, que son el operador de posici¶on y de velocidad.Dyson a¯rma que despues de 40 a~nos, la prueba que dio Feynman a¶un sigue siendo desconcertante.Seg¶un Dyson, dice que Feynman rechaz¶o publicarla porque a¯rmaba que ella era solamente una bro-ma, aunque la prueba es matem¶aticamente rigurosa. Para probar las dos ecuaciones de Maxwellhomog¶eneas, se hace uso de la Ley de movimiento de Newton de la fuerza de Lorentz y de las rela-ciones de conmutaci¶on entre la posici¶on y velocidad de una part¶³cula no relativista. Con esto deducela existencia de campos el¶ectrico y magn¶etico satisfaciendo las ecuaciones de Maxwell. En un lenguajemoderno, la prueba muestra que solamente los posibles campos que pueden consistentemente actuarsobre una part¶³cula de la mec¶anica cu¶antica son campos de norma.

Suponemos que existe una part¶³cula con posici¶on xj (j = 1; 2; 3) y velocidad _xj cumpliendo laecuaci¶on de Newton

mÄxj = Fj(x; _x; t); (3.48)

con las relaciones de conmutaci¶on de posici¶on y posici¶on-velocidad de la mec¶anica cu¶antica

[xj ;xk ] = 0; (3.49)

m[xj; _xk] = i~±jk : (3.50)

y que se mueve de acuerdo con la fuerza de Lorentz

Fj = Ej + ²jkl _xkHl; (3.51)

entonces E(x,t) y H(x,t) satisfacen las ecuaciones homog¶eneas de Maxwell

r ¢ H = 0; (3.52)

r £ E = ¡@H@t

: (3.53)


PRUEBA:

Derivando con respecto al tiempo la relaci¶on de conmutaci¶on de posici¶on-velocidad (3.50), resulta

md[xj ; _xk ]

dt= i~d±jk

dt= 0; (3.54)

ya que ±jk es constante y evidentemented±jk

dt= 0. Se sabe que la evoluci¶on temporal de un operador

arbitrario A[9], est¶a dado por la f¶ormula

ddt

A =@@t

A +1i~

[A; H ]; (3.55)

donde H es el operador Hamiltoniano. Consideramos A = [xj; _xk] de modo que el primer miembroizquierdo de (3.54) desarrollando

md[xj; _xk]

dt= m

ddt

(xj _xk) ¡ mddt

( _xkxj ) = m(@xj

@t+

1i~ [xj ; Hj]) _xk + mxj(

@ _xk

@t+

1i~ [ _xk ;Hk ])

¡m(@ _xk

@t+

1i~ [ _xk ;Hk ])xj ¡ m _xk(

@xj

@t+

1i~ [xj; Hj ]) (3.56)

y usando (3.48)

md[xj ; _xk ]

dt= m[ _xj; _xk] + [xj; mÄxk ] = m[ _xj ; _xk ] + [xj ; Fk ] = 0; (3.57)

as¶³ tenemos

[xj ; Fk ] + m[ _xj; _xk] = 0: (3.58)

Recordando la identidad de Jacobi para los operadores _xj ; _xk y xl tenemos

[xl; [ _xj ; _xk ]] + [ _xj ; [ _xk ; xl]] + [ _xk ; [xl; _xj]] = 0; (3.59)

el conmutador [ _xk ;xl] que aparece en el segundo miembro de la ecuaci¶on anterior, se puede escribirseg¶un (3.50) como

[ _xk ; xl ] =¡i~m

±kl; (3.60)

entonces

[ _xj; [ _xk; xl]] = [ _xj ;¡i~m

±kl] = 0; (3.61)

de la misma forma se prueba que el tercer sumando de la identidad de Jacobi es cero, as¶³ entonces(3.59) queda escrita como

[xl; [ _xj; _xk]] = 0: (3.62)


Cabe mencionar que el conmutador [ _xj ; _xk] es difernte de cero como se mostro en la (secci¶on 3.4).Regresando a la f¶ormula (3.58), la podemos escribir en la forma

m[ _xj ; _xk ] = ¡[xj; Fk]; (3.63)

y combinando con la ecuaci¶on (3.62), se tiene

[xl; [xj ; Fk ]] = 0: (3.64)

Podemos intercambiar los sub¶³ndices (j,k) en la ecuaci¶on (3.63), tenemos

m[ _xk ; _xj ] = ¡[xk; Fj]; (3.65)

el conmutador m[ _xk; _xj] es igual a ¡m[ _xj; _xk] por propiedad de conmutadores, as¶³ (3.65) cambia a

¡m[ _xj ; _xk ] = ¡[xk; Fj ]; (3.66)

y haciendo uso de la f¶ormula (3.63) se tiene que

[xj ;Fk ] = ¡[xk; Fj]: (3.67)

Debido [xj ; Fk ] es antisim¶etrico en el par j y k, nos permite introducir el campo auxiliar Hl a trav¶esde

[xj ; Fk ] =¡i~m

²jklHl; (3.68)

La ecuaci¶on (3.68) es la de¯nici¶on del campo H y podr¶³a depender en general de x, _x, y t. Pero laecuaci¶on (3.64) dice

[xl; Hm] = 0; (3.69)

lo cual signi¯ca que H es funci¶on de x y t solamente. Posteriormente, para que se cumpla la ley defuerza de Lorentz (3.51), asumimos la de¯nici¶on del campo E. De nuevo, E en general dependera dex, _x, y t, pero la ecuaci¶on (3.67)dice

[xj ; Fm] = ¡[xm ;Fj ]; (3.70)

en el lado derecho de la ecuaci¶on (3.70), sustituyendo a Fj y de acuerdo con (3.50), (3.68) y (3.69)tenemos

¡µ

i~m

¶²jmlHl = ¡[xm; Ej ] ¡

µi~m

¶²jkl ±kmHl ; (3.71)

lo que implica

[xm; Ej] = 0; (3.72)

la cual dice que E es funci¶on de x y t solamente.Recordando del an¶alisis vectorial, la componente ci del producto vectorial de dos vectores a, b, se

escribe como


(a) ci = ²ijkajbko expl¶³citamente(b) ci = aj bk ¡ akbj .Si en (b) multiplicamos a ci con el s¶³mbolo de permutaci¶on ²ijk , se observa se duplica, es decir(c) ²ijkci = ²ijkajbk ¡ ²ijkakbj = 2²ijkaj bk o bi¶en(d) ²ijkci = 2(aj bk ¡ akbj), de aqu¶³ que(e) ci = ²ijkajbk¡²ijkakbj

2 .De la de¯nici¶on (3.68), despejando ²jklHl y utilizando la f¶ormula (3.63), se tiene

²jklHl = ¡im2

~ [ _xj; _xk]; (3.73)

pero de acuerdo con (c) y (e) junto con la identidad ²ijk²ijk = 1, se tiene

Hl = ¡ im2

2~ ²jkl[ _xj; _xk]: (3.74)

Recurriendo de nuevo a la identidad de Jacobi para operadores _xj , _xk y _xl , se tiene

[ _xj; [ _xk ; _xl ]] + [ _xk ; [ _xl; _xj]] + [ _xl; [ _xj; _xk]] = 0; (3.75)

y multiplicando por ²jkl en (3.75), tenemos

²jkl[ _xj; [ _xk ; _xl]] + ²jkl[ _xk; [ _xl; _xj]] + ²jkl[ _xl; [ _xj ; _xk ]] = 0; (3.76)

que tambien se puede escribir en la forma

[ _xj ; ²jkl[ _xk ; _xl]] + [ _xk ; ²jkl[ _xl; _xj]] + [ _xl; ²jkl[ _xj ; _xk ]] = 0; (3.77)

pero combinando la ecuaci¶on (3.77) con la ecuaci¶on (3.74), llegamos a que

[ _xj ;Hj ] + [ _xk ; Hk] + [ _xl ;H l] = 0; (3.78)

la cual es equivalente a (3.52), es decir, tomando el operador de velocidad dado por la ecuaci¶on (3.30)(secci¶on 3.4), tenemos por ejemplo que el conmutador [ _xj ; Hj ] aplicado a toda funci¶on que describael estado de una part¶³cula, es

_xjHjÃ =1m

(pj ¡ qcAj)HjÃ =

1m

(¡i~ @@xj

(HjÃ) ¡ qcAjHjÃ)

=1m

ÃpjHj +1m

Hj (pj ¡ qcAj )Ã; (3.79)

o bien

[ _xjHj ¡ Hj _xj ]Ã = ¡ i~m

(@

@xjHj )Ã; (3.80)

S¶olo resta probar la segunda ecuaci¶on de Maxwell (3.53).Tomando la derivada total de la ecuaci¶on (3.74) con respecto al tiempo, tenemos

@Hl

@t+ _xm

@Hl

@xm= ¡ im2

2~²jkld[ _xj; _xk]

dt; (3.81)


y por la ecuaci¶on (3.55) haciendo A = [ _xj ; _xk ], el miembro de la derecha de la ecuaci¶on (3.81) queda

im2²jkl

2~ f @[ _xj; _xk]@t

+ [[ _xj; _xk]; H ]g; (3.82)

en el segundo sumando, el conmutador ²jkl[ _xj ; _xk] es la componente Hl que al conmutarla con elHamiltoniano, se anula; desarrollando la derivada parcial tenemos

im2²jkl

2~ f[Äxj; _xk] + [ _xj ; Äxk ]g; (3.83)

introduciendo una m en cada conmutador y por (3.48) resulta

im²jkl

2~ f[Fj; _xk] + [ _xj ; Fk]g: (3.84)

El conmutador ²jkl[Fj ; _xk ] se comprueba que es igual al conmutador ²jkl[ _xj ; Fk ], es decir, para todafunci¶on que represente el estado de una part¶³cula, tenemos en consecuencia

²jkl[Fj ; _xk]Ã = (²jklFj _xk ¡ ²jkl _xkFj )Ã = (Fj _xk ¡ Fk _xj ¡ _xkFj + _xjFk )Ã; (3.85)

y

²jkl[ _xj ; Fk]Ã = (²jkl _xjFk ¡ ²jklFk _xj )Ã = (Fj _xk ¡ Fk _xj ¡ _xkFj + _xjFk )Ã; (3.86)

donde se han tomado las combinaciones de la permutaci¶on ²jkl moviendo (j; k) y dejando ¯ja a (l).As¶³, la ecuaci¶on (3.81), de acuerdo con la ecuaci¶on (3.84), se escribe como

@Hl

@t+ _xm

@Hl

@xm= ¡ im

~²jkl[Fj; _xk ]: (3.87)

Considerando a (3.51), la parte derecha de (3.87) la podemos escribir

¡ im~ ²jkl[Ej + ²jmn _xmHn; _xk] = ¡ im

~ (²jkl[Ej ; _xk] + ²jkl²jmn[ _xmHn; _xk ]) ; (3.88)

en el ¶ultimo t¶ermino de (3.88), usando la identidad ²jkl²jmn = ±km ±ln ¡ ±kn±lm tenemos

²jkl²jmn[ _xmHn ; _xk ] = (±km±ln ¡ ±kn±lm)[ _xmHn; _xk] = [ _xkHl ; _xk ] ¡ [ _xlHk; _xk]; (3.89)

en el lado derecho de (3.89), usando la propiedad [AB; C ] = A[B; C ] + [A; B ]C para operadores A, By C, los dos ¶ultimos t¶erminos dan

[ _xkH l; _xk ] ¡ [ _xlHk; _xk ] = _xk[Hl; _xk ] + [ _xk ; _xk ]Hl ¡ _xl[Hk ; _xk ] ¡ [ _xl; _xk ]Hk; (3.90)

en el lado derecho de (3.90), el segundo conmutador se anula y el ¶ultimo conmutador es cero porsimetr¶³a porque de la ecuaci¶on (3.74); para el primer y tercer conmutador, tomando el operador develocidad de la ecuaci¶on (3.30) (secci¶on 3.4) tenemos

[Hl; _xk]Ã =1m

fHl(pk ¡ qcAk) ¡ (pk ¡ q

cAk)H lgÃ = ¡ 1

mi~ @

@xkHlÃ; (3.91)

[Hk ; _xk ]Ã =1m

fHk(pk ¡ qcAk) ¡ (pk ¡ q

cAk)HkgÃ = ¡ 1

mi~ @

@xkHkÃ; (3.92)


las ecuaciones (3.91) y (3.92) son el resultado del desarrollo de la ecuaci¶on (3.89), sustituyendo ¶estasen la ecuaci¶on (3.88) y conjuntamente con la ecuaci¶on (3.87), llegamos ¯nalmente a que

@Hl

@t+ _xm

@Hl

@xm= ²jkl

@Ej

@xk+ _xk

@Hl

@xk¡ _xl

@Hk

@xk: (3.93)

El lado derecho de la ecuaci¶on (3.93), el ¶ultimo t¶ermino es cero por (3.52) y, el segundo t¶erminoes igual al segundo t¶ermino en el lado izquierdo. Los t¶erminos que quedan son

@Hl

@t= ²jkl

@Ej

@xk: (3.94)

la cual es equivalente a (3.53). Fin de la pruebaDyson comenta que cuando ¶el muestra las pruebas a los f¶³sicos jovenes, ellos dicen que el resultado

es trivial y la prueba no necesariamente complicada. El dice que los argumentos de los jovenes f¶³sicoses simple, ellos dicen , las relaciones de conmutaci¶on entre posici¶on y momento

[xj ; pk ] = i~±jk; (3.95)

s¶³ de¯nimos un vector potencial Ak por

pk = m _xk + Ak ; (3.96)

entonces las relaciones de conmutaci¶on (3.50) y (3.95) juntas dan

[xj ; _pk ] = [xj; m _xk + Ak ] = [xj ; m _xk] + [xj ; Ak ] = i~±jk; (3.97)

por lo tanto

[xj ; Ak ] = O: (3.98)

Por lo tanto, el vector potencial Ak es independiente de la velocidad y depende solamente en x y t.Sabemos tambi¶en, dicen ellos, que el momento y la velocidad de una part¶³cula est¶an relacionadas porla ecuaci¶on de Lagrange

pk =@L@ _xk

; (3.99)

_pk =@L@xk

; (3.100)

donde

L = L(x; _x; t); (3.101)


es la Lagrangiana. Si nosotros integramos (3.99) usando (3.96), el resultado es

L = 12

m _xk _xk + _xkAk + '; (3.102)

donde ' es independiente de la velocidad. El potencial escalar ' est¶a de¯nido por (3.102). Si ahoradiferenciamos (3.96), usando (3.100) y (3.102), el resultado es la ecuaci¶on de Newton (3.48) con lafuerza de Lorentz (3.51), al ser de¯nidos los campos E y H por las expresiones estandard

H = r £ A; E = r ' ¡ @A@t

: (3.103)

Desde un punto de vista moderno, al suponer Feynman las relaciones de conmutaci¶on (3.50), implicaninmediatamente la existencia de un vector potencial, y tan pronto como tengamos un vector potencial,tendremos tambi¶en un campo de Maxwell.

El punto de vista de Feynmann fu¶e completamente diferente. En 1948 ¶el era un incr¶edulo en todoslos dogmas aceptados de la mec¶anica cu¶antica. El fu¶e explorando posibles alternativas en la teor¶³aortodoxa. Su motivaci¶on era descubrir una nueva teor¶³a, no a reinventar la vieja. El estaba bi¶enconsciente que si el al asumir la existencia de un momento pk satisfaciendo la relaci¶on de conmutaci¶on(3.95) en adici¶on (3.50), el podr¶³a recobrar el formalismo estandard de la electrodin¶amica. Eso noera su prop¶osito. Su prop¶osito era explorar tan ampliamente c¶omo fuera posible el universo de laspart¶³culas din¶amicas. El buscaba hacer tan pocas suposiciones c¶omo pudiera. En particular el buscabaevitar suponer la existencia del momento y la Lagrangiana relacionada por (3.99) y (3.100).

El motivo por el cual se estuvo llendo por ¶este camino, es posiblemente a que lo llevara a unanueva f¶³sica, esperanzado ¶el a encontrar modelos f¶³sicos que no pudieran ser describibles en t¶erminosde Lagrangianas y Hamiltonianas ordinarias. Feynman c¶omo otros f¶³sicos, incluyendo Yukawa, Born yHeisenberg estuvieron siguiendo programas de reforma radical de la f¶³sica, pero todos ¶estos programasfracasaron. La prueba mostr¶o que sus suposiciones (3.48), (3.49) y (3.50) no lo llevar¶³an a unanueva f¶³sica. Las pruebas inician con suposiciones invariantes frente a transformaciones Galileanasy ¯naliza con ecuaciones invariantes frente a transformaciones de Lorentz. Despues de todo, fu¶e laincompatibilidad entre la mec¶anica Galileana y la electrodin¶amica de Maxwell que llevo a Einsteina la Relatividad Especial en 1905. A¶un aqui encontramos la Mec¶anica Galileana y las ecuaciones deMaxwell coexistiendo pac¶³¯camente.

3.7 ComentariosFeynman dedujo dos ecuaciones del campo electromagn¶etico y la fuerza de Lorentz, desde la segundaley de Newton de movimiento y de las relaciones de conmutaci¶on entre la posici¶on y la velocidad. Estasecuaciones para ¶el campo electromagn¶etico se a¯rm¶o son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell,las cuales son invariantes de Lorentz aunque la ley de Newton es invariante Galileana.

Las dos ecuaciones obtenidas, son libres de fuentes

r ¢ H = 0;

r £ E = ¡@H@t

; (3.104)


mientras que las otras dos, se a¯rm¶o que son de¯niciones de la densidad de carga ½ y la densidad decorriente J

r ¢ E = 4¼½;

r £ H =1c

@E@t

+4¼c

j: (3.105)

Los autores de las Refs. [13]-[16], muestran que los argumentos de Feynman [12], no son unaderivaci¶on de las ecuaciones de Maxwell porque son invariantes de Lorentz. Las ecuaciones (3.104),que permiten la existencia de potenciales vectorial y escalar, son invariantes ante transformaciones deLorentz.

Aunque los argumentos de Feynman no sean una derivaci¶on de las ecuaciones de Maxwell, su estu-dio ilumina la conexi¶on entre la existencia de una Lagrangiana y las formas permisibles de la ecuaci¶onde movimiento y las relaciones de conmutaci¶on. Quiz¶a el aspecto m¶as remarcado de ¶esta conexi¶on esque el acoplamiento m¶³nimo no s¶olo se requiere para la formulaci¶on de una Lagrangiana para fuerzasindependientes de la aceleraci¶on, pero que tambi¶en no es ¶unica para la interacci¶on electroimagn¶etica.

Usando la ecuaci¶on relativista de Dirac, se puede obtener la ecuaci¶on en forma cu¶antica relativistacovariante de la fuerza de Lorentz [25] ¶o en forma cl¶asica relativista covariante usando mec¶anica cl¶asicarelativista [26].

Conclusiones

En primer lugar nos damos cuenta que las ecuaciones de Maxwell son covariantes frente a transfor-maciones de Lorentz. Tambi¶en ponen de mani¯esto la simetr¶³a de norma, y ¶esta, se ha convertido enuna herramienta matem¶atica para simpli¯car muchos c¶alculos en electrodin¶amica

Otro aspecto importante que notamos es que el factor fase en la funci¶on de onda tiene informaci¶onde suma importancia; es el caso que cu¶ando tomamos el factor fase y que ¶esta est¶e de¯nida en el espacio-tiempo, entonces podemos identi¯car a la derivada de la fase con los potenciales electromagn¶eticos paraluego identi car el tensor de campo electromagn¶etico. Sabemos que los campos el¶ectrico y magn¶eticoquedan de¯nidos por los potenciales escalar y vectorial recordando que no son un¶³vocos; con ¶esto lasimetri¶a de norma queda manifestada en el factor fase. De hecho, la simetr¶³a de norma toma granimportancia en la teor¶³a de la mec¶anica cu¶antica.

Feynman deduce dos ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones homog¶eneas, a patir de la Ley demovimiento de Newton, las relaciones de conmutaci¶on entre la posici¶on y la velocidad en la mec¶anicacu¶antica para una part¶³cula no relativista y de la expresi¶on para la fuerza de Lorentz, aunque nolo hace explicitamente. Cabe hacer notar que se utiliz¶o a la velocidad como un operador, y conesto se entiende que hay un operador velocidad ya de¯nido. Dyson a¯rma que Feynman utiliza laecuaci¶on de movimiento de Newton que es invariante frente a transformaciones de Galileo y t¶erminacon ecuaciones que son invariantes frente a transformaciones de Lorentz. Se hace notar que no se handeducido todas las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones que se obtuvieron son invariantes frente atransformaciones de Lorentz. Esto es claro porque no se us¶o mec¶anica cu¶antica relativista de Diracpara obtener la ecuaci¶on covariante relativista de Lorentz. La prueba de Feynman aunque haga usode la segunda Ley de Newton en la representaci¶on de Heisenberg es totalmente cu¶antica, es decir no sehace ninguna mezcla de resultados cl¶asico y cu¶anticos; ya que se parte de la prueba de las relacionesde conmutaci¶on fundamentales entre posici¶on y momento ¶o velocidad. Aclaramos que estos ¶ultimosoperadores, se suponen en la prueba de Feynman incluyen un acoplamiento m¶³nimo, ya que de locontrario se anularian y que a trav¶es de esta suposici¶on se generan los potenciales electromagn¶eticos,que se usan en la prueba de dos de las ecuaciones de Maxwell. Las dos ecuaciones de Maxwell queno se obtienen con el m¶etodo de Feynman, no se pueden derivar te¶oricamente de ninguna otra forma.Aunque puede darse argumentos para explicarlas con una teor¶³a covariante relativista cl¶asica.

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InstitutoPolit¶ecnicoNacional...James Clerk Maxwell (1831-1879) expres o en 1864 las leyes del electromagnetismo presentadas en su forma diferencial . Un hecho relevante, es que las