INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPO VETORIAL

Considere o campo vetorial dado pela função vetorial

F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) ou

F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) )

contínua em uma região D do espaço 2D ou 3D, respectivamente.

Sabemos que M, N e P são funções escalares de duas ou três variáveis, contínuas em D, das quais podemos calcular integrais de linha em relação à x, y ou z ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial dada por

r(t) = ( x(t), y(t) ) ou r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) com t [a, b].

Como já dissemos estas integrais geralmente aparecem em conjunto.

Por exemplo, que escrevemos simplesmente

.

Assim,

=

= =

= =

= =

= ( M(r(t)), N(r(t))) . r´ (t)dt =

= F (r (t) ) . r´ (t)dt =

= F . dr

pois, de r(t) = ( x(t), y(t) ) vem que r = r´ (t) = ( x’(t), y’(t) ), de onde

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Produto escalar de vetores

dr = r´ (t) dt = ( x’ (t), y’ (t) ) dt = ( x’(t) dt, y’(t) dt ) = (dx, dy).

Assim,

Análogamente, de r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) temos r = r´ (t) =

= ( x’(t), y’(t), z’(t) ), de onde dr = r´ (t) dt = ( x’(t), y’(t), z’(t) ) dt = = ( x’ (t) dt, y’ (t) dt, z’(t) dt ) = (dx, dy, dz). Também,

Como o produto escalar de dois vetores resulta um número (escalar) e dr = r´ (t) dt podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial r definida em um intervalo [a, b], através de uma integral definida em relação ao parâmetro t, calculada de a até b. Ou seja,

Exemplo1: Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (-y, x) ao longo do triângulo de vértices A(1, 1), B(-1, 1) e C(0, -1) orientado no sentido trigonométrico.

Um triângulo é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) C1, C2 e C3.

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= F . dr é a integral de linha do campo

vetorial F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) ao longo da curva C.

= F . dr é a integral

de linha do campo vetorial F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) ) ao longo da curva C.

F . dr = F(r(t)) . r ’ (t) dt

C1 :. r(t) = (1–2t, 1) t [0, 1] r’(t) = (-2, 0)

C2 :. r(t) = (-1+t, 1-2t) t [0, 1] r’(t) = (1, -2)

C3 :. r(t) = ( t, -1+2t) t [0, 1] r’(t) = (1, 2)

F . dr = F . dr + F . dr + F . dr =

(-1, 1-2t) . (-2, 0) dt + (-1+2t, -1+t) . (1, -2) dt + (1-2t, t) . (1, 2) dt

=

= 2 dt + (-1 + 2t + 2 - 2t) dt + (1-2t + 2t) dt =

= 2 dt + dt + dt = 2t + t + t = 2 + 1 + 1 = 4

Exemplo 2: Calcule x2 dx + y2 dy + z2 dz sendo C o arco da hélice dado pela função vetorial r(t) = ( 4cos t, 4sen t, 8t) t [0, 2 ]

x = 4cos t ; y = 4sen t ; z = 8tdx = -4sen t ; dy = 4cos t ; dz = 8

x2 dx + y2 dy + z2 dz =

= 16cos2t (-4sen t) dt + 16sen2t 4cos t dt + 64t2 8dt =

= 64/3 cos3 t + 64/3 sen3 t + 512/3 t3 =

= 64/3 (13 - 13) + 64/3(0 – 0) + 512/3 (2 )3 = 4096/3

O TRABALHO COMO INTEGRAL DE LINHA

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B C1 A

C

C2

C3

Imaginemos uma força constante F atuando sobre um objeto com a intenção de deslocá-lo em linha reta de um ponto A até um ponto B. O comprimento do deslocamento é a distância do ponto A ao ponto B que também é o módulo do vetor d =

Da física sabemos que o trabalho realizado por essa força para efetuar esse deslocamento é W = |F| | d| cos θ onde F é o vetor força, d é o vetor deslocamento e θ é a medida do ângulo entre esses vetores. Lembramos da Geometria Analítica a propriedade do produto escalar de vetores, que afirma v . w = | v | | w| cos θ sendo θ a medida do ângulo entre os vetores v e w. Assim, o trabalho realizado por uma força constante F, para efetuar um deslocamento em linha reta d, é dado por

Consideremos um campo de força dada pela função vetorial F contínua em uma região D no espaço 2D ou no espaço 3D . Seja C uma curva suave ou parcialmente suave contida em D e parametrizada pela função vetorial r definida no intervalo [a, b].

Uma partícula move-se ao longo da curva C do ponto A até o ponto B sendo = r(a) e = r(b). Introduzindo n-1 pontos na curva C entre os pontos A e B, obtemos uma partição, A = P0, P1, P2, ... ,Pn-1 , Pn = B, da curva C, que a divide em n arcos .

Consideremos um ponto um ponto qualquer em cada um destes arcos e denotemos por Qk esse ponto no k-ésimo arco( arco Pk-1Pk). Desta forma,

= r(t*k) = ( x(t*

k), y(t*k) ) ou = r(t*

k) = ( x(t*k), y(t*

k), z(t*k) ) e o

vetor unitário tangente à C no ponto Qk é T*k = r’(t*

k) / | r’(t*k)| .

Denotemos por Δsk o comprimento do k-ésimo arco e por F*k o vetor

(força) do campo de força no ponto Qk.

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W = F . d

P3

A

C

B

P1

P2

F

|F| cos θA B

θ

Se o k-ésimo arco for suficientemente pequeno, a força do campo F varia muito pouco nos pontos deste arco e podemos considerá-la constante e aproximadamente igual à F*

k = F( r(t*k) ). Nesse caso, também podemos

considerar que a partícula move-se em linha reta ,na direção do vetor Δsk T*k (

isto é, o deslocamento e de comprimento Δsk e ocorre na direção do vetor unitário tangente a curva no ponto Qk). Assim o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do k-ésimo arco é

ΔWk F*k . (Δsk T*

k) = ( F*k . T*

k ) Δsk

e o trabalho realizado pelo campo F ao longo de toda a curva C é aproximado por

W ( F*k . T*

k ) Δsk

Fazendo o número de arcos aumentar indefinidamente, o comprimento de cada arco tende a zero tornado possível as aproximações acima consideradas. Daí,

W = ( F*k . T*

k ) Δsk = F . T ds

Definição:

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QK

Dados, em uma região D do espaço 2D ou do espaço 3D, um campo vetorial contínuo F e uma curva suave e parametrizada C com vetor tangente unitário T, então o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula ao longo de C segundo sua orientação é

W = F . Tds

T*k

Pk-1

Pk

F*k

Lembrando que ds = | r’(t)| dt e que T(t) = r’(t) / |r’(t)| temos

T(t) ds = [r’(t) / |r’(t)|] . | r’(t)| dt = r’(t) dt = dr

e portanto o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C é

W = F . T ds = F . dr

que é uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva .

OBS: Podemos encontrar valores positivos, nulo ou negativos para o trabalho W conforme o ângulo entre os vetores F e T seja agudo, reto ou obtuso nos pontos de C. Assim, invertendo a orientação da curva troca o sinal da integral de linha do campo vetorial, pois ao invertermos ao orientação da curva também trocamos o sentido do vetor

tangente T. Isto é, se F . dr = F . T ds , então

F . dr = F . (-T) ds = - F . T ds = - F . dr

Exemplo: Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x,y) = (1/x , 1/y ) para mover uma partícula ao longo da curva de equação y = 1/x do ponto A(1, 1) ao ponto B(2, ½) .

C:. r(t) = ( t, 1/t) , t [1, 2] ; r’(t) = (1, -1/t2)

W = F . dr = F (r(t) ) .r’(t) dt = (1/t , t) . (1, -1/t2) dt =

= (1/t – 1/t) dt = 0 dt = 0

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