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INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL
TRABAJO DE GRADOPROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
WILLIAM MAURICIO BUITRAGO PARRADIRECTOR:ARTURO SANJUÁN
SAMAT
Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.
2016
Dedicado amis padres
Agradecimientos
Le agradezco al profesor Arturo Sanjuán, no solo por su orientación en el desarrollo de este trabajo, sino por todoel tiempo compartido dentro y fuera de las aulas. Por ser un ejemplo para mí en todos los aspectos, por la confianzay demás. La culminación de este proceso no sería posible sin su presencia.
A mi familia, especialmente a mi madre Clara Inés Parra que con su esfuerzo, amor y dedicación hace más amableel camino hacia las metas que me trazo. Nada de lo conseguido hasta este momento sería posible sin su apoyoincondicional.
A mis compañeros, quienes de una u otra manera dejaron huella en el desarrollo de mi carrera. Especialmente aFernando Rodriguez, compañero y amigo que sin importar las circunstancias siempre me brindó y se que siempreme brindará su apoyo, comprensión y cariño.
A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y demás instituciones de educación que han contribuido en miformación académica así como a los docentes de cada una de estas instituciones.
A las demás personas que contribuyeron de una u otra manera a la finalización de este ciclo.
A todos los anteriormente mencionados no tengo manera de agradecerles.
I
Índice general
INTRODUCCIÓN IV
1. PRELIMINARES 1
1.1. La integral como área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Integral Riemann-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1. Algunos teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. LA INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL (GENERALIZADA DE RIEMANN) 34
2.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Algunos ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Teoremas relevantes para el cálculo de la integral generalizada de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1. Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2. Teoremas de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II
2.6. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.1. Analizando la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. UNA NOTA SOBRE TEORÍA DE LA MEDIDA 60
3.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.1. Resultados en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
APÉNDICE 62
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III
Introducción
En el siguiente trabajo se presentará la integral de Henstock-Kurzweil que fue propuesta por Jaroslav Kurzweil yRalph Henstock estudiando los principales resultados obtenidos en cuanto a la conveniencia de la misma frente ala integral de Riemann y la de Lebesgue. Presentaremos algunos de los problemas más relevantes de las integralesmencionadas y como la integral de Henstock-Kurzweil resuelve dichos problemas y mejora la mayoría de resulta-dos obtenidos en las teorías de integración usual y abstracta. El siguiente trabajo expone una manera alternativade abordar resultados significativos en el área de análisis más específicamente en la teoría de integración.
En el primer capítulo se plantea una peqeña discusión sobre los teoremas característicos de las diferentes integralesque hoy por hoy son las más usadas, presentando sus ventajas y exponiendo de manera breve la razón por la cuálson convenientes en el proceso de aprendizaje.
En el segundo capítulo se expone la integral de Henstock-Kurzweil, así como sus ventajas sobre las demás integra-les que se estudiaron previamente, presentamos ejemplo que sirven para evidenciar la generalidad y comodidadde esta integral.
En el tercer capítulo se expone brevemente una manera alternativa de estudiar teória de la medida, utilizando laintegral de Henstock-Kurzweil.
IV
CAPÍTULO 1
Preliminares
En este capítulo se presentan algunos conceptos, definiciones y teoremas necesarios para el trabajo a desarrollar.
Se precisarán algunos conceptos fundamentales que permiten dar sentido a las definiciones que se manejan pos-teriormente. Se proponen algunos ejemplos para ilustrar.
1.1. La integral como área
El enfoque que se adquiere en esta sección es el de buscar el área bajo una curva (inicialmente ése será el asunto).El método, que se remonta a Arquímedes y Eudoxo (método de exahusión), consiste en la división de la misma envarias áreas sencillas de calcular. La suma de las áreas proporciona una aproximación aceptable al área de interés.
Para este fin, es preciso poder definir una manera de repartir los puntos del dominio de una función, lo que selogra mediante el concepto de partición.
Definición. (Tomada de [Spi12, p. 347]) Se define una partición P del intervalo [a, b] como {ti}ni=1 donde ti ∈ [a, b]
para todo i tal que 0 ≤ i ≤ n de los cuales uno es a y otro es b.
La anterior definición es fundamental y en ella se basan la mayoría de las demostraciones de teoremas que se vana trabajar.
Ejemplo 1. Consideremos el intervalo [−2, 2]. Observemos algunas particiones posibles.
1
P1 = {−2, 2} conocida como la partición trivial.
P2 = {0, 1.2,−1.5,−2}.
P3 = {−2,−1, 0, 1, 2}.
Nótese que las particiones P1 y P3 determinan subintervalos [−2, 2] y{[−2,−1], [−1, 0], [0, 1], [1, 2]} respectivamente, mientras que P2 no es una partición de [−2, 2]. Para cualquier par-tición es posible etiquetar los elementos de manera que
a = t0 < t1 < · · · < tn = b.
Así obtenemos en este caso particular.
P′2 = {−2,−1.5, 0, 1.2, 2}.
La cual sí define subintervalos de [−2, 2].
En adelante gran parte del trabajo se desarrolla sobre funciones acotadas.
Otro de los conceptos que es preciso tener claro antes de abordar la integral es el de sumas inferiores de la funciónf que se notan con L( f , P) y sumas superiores de la función f notadas como U( f , P) con respecto a una particiónP.
Para ello se mostrará un ejemplo gráfico donde se pretende aclarar el concepto.
Ejemplo 2. Sumas superiores e inferiores.
Consideremos la función f (x) = ex en el intervalo [0, 1] y P1 = {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}.
Esta función es monótonamente creciente luego mi = f (ti−1) = eti−1 y por como esta dispuesta en este casola partición ti − ti−1 =0.2 con i = 1, 2, 3, 4, 5.La suma del área de los rectángulos bajo la curva es lo que se conoce como la suma inferior de la función fpara la partición P1 es decir
L( f , P1) =5
∑i=1
eti−1
(15
).
2
Consideremos la función f (x) = 15 x2 en el intervalo [0, 5] y P2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Esta función es monótona creciente luego Mi = f (ti) =15 (ti)
2 y en este caso, ti − ti−1 = 1 con i = 1, 2, 3, 4, 5.La suma del área de los rectángulos sobre la curva es lo que se conoce como la suma superior de la funciónf para la partición P2 es decir
U( f , P2) =5
∑i=1
15(ti)
2(1).
Con las herramientas adquiridas anteriormente se procederá a realizar la definición de integral.
1.1.1. Integral Riemann-Darboux
Definición. (Tomada de [Spi12, p. 355]) Sea f una función acotada sobre [a, b], f se dice integrable sobre [a, b] si
sup{L( f , P)} = ınf{U( f , P)}
donde P, es cualquier partición de [a, b] y L( f , P), U( f , P) representan las sumas inferiores y superiores respecti-vamente.Dicho número recibe el nombre de integral de f sobre [a, b].
Ejemplo 3. ([Spi12, p. 376], problema 1) Demostrar que∫ b
0x3dx =
b4
4considerando particiones en n subintervalos
iguales.
En efecto, sea f (x) = x3. Consideremos, sin perdida de generalidad, las particiones de [0, b] Pn = {t0, · · · , tn} demanera tal que ti − ti−1 = b
n para 0 ≤ i ≤ n. Esto es una partición regular que determina n subintervalos iguales.
Dado que la función x3 es monótonamente creciente se tendrá que mi = (ti−1)3 y Mi = (ti)
3.
3
Con lo anterior se tiene que
U( f , Pn) =n
∑i=1
Mi(ti − ti−1)
=n
∑i=1
(ti)3 b
n
=n
∑i=1
(ibn
)3 bn
=b4
n4
n
∑i=1
i3
=b4
n4(n + 1)2
4.
Análogamente se obtiene L( f , Pn) =b4
n4(n+1)2
4 , de donde podemos concluir que
ınfn
U( f , Pn) = supn
L( f , Pn) =b4
4,
lo que concluye la prueba. �
Caracterización
A continuación se presentan algunos de los criterios más relevantes que permiten determinar si una función ftiene integral. La siguiente condición es suficiente para que f ∈ R[a, b] ( f es integrable en el sentido de Riemannen [a, b]).
Teorema 1.1. Si f es continua en [a,b] entonces f es integrable en [a,b].
La demostración del teorema anterior se presenta en detalle y de manera general en la siguiente sección.
Observación. Cabe aclarar que el recíproco de este teorema, no necesariamente es cierto basta considerar la función
g(x) =
{1 x ∈ [0, 1
2 ]
0 x ∈ ( 12 , 1]
y la partición de [0, 1] P2 = {0, 12 , 1}. Para una función constante la partición trivial es suficiente.
Es claro que la función g(x) no es continua en [0, 1] y∫ 1
0g(x) =
12
.
Teorema 1.2. Si f esta acotada sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, b] si y solo si para todo ε > 0 existe una particiónde [a, b] tal que
U( f , P)− L( f , P) < ε.
La prueba de esta equivalencia se puede encontrar en [Spi12, p. 366-356].
4
1.2. Integral de Riemann-Stieltjes
En esta sección se presentará una integral un poco más general. En realidad el trabajo que se realiza es bastan-te similar al de la sección anterior, salvo ciertas modificaciones y aclaraciones que se realizarán en el momentopertinente.
En lo que resta de esta sección se considerarán intervalos cerrados de R de la forma [a, b] y funciones, que a menosque se indique lo contrario, serán funciones reales acotadas.
Definición. (Tomada de [Apo74, p. 141]) Sea P = {x0, x1 . . . , xn} una partición de [a, b] tal y como se definió en lasección anterior.
P′
es un refinamiento de P (ó más fina que P) si P ⊆ P′.
||P|| denota la norma de la partición P, definida como es la longitud del subintervalo más largo definido porP.
∆αk = α(xk)− α(xk−1).
La definición anterior es la base de los conceptos que se presentan a continuación, para el desarrollo de la integralde Riemann-Stieljes presentaremos una definición de suma como sigue.
Definición. (Tomada de [Apo74, p 141]) Sea P = {x0, x1 . . . , xn} una partición de [a, b] y sea tk un punto en elsubintervalo [xk−1.xk]. La suma de la forma
S(P, f , α) =n
∑k=1
f (tk)∆αk.
Es llamada una Suma de Riemann-Stieltjes en la partición P de f con respecto a α en [a, b].
A continuación se presentará un ejemplo que permita una visión un poco más clara de la definición anterior.
Ejemplo 4. Calcular S(P, f , α) en [−1, 1] dadas las siguientes condiciones
1. f (x) = c, con c una constante, para todo x ∈ R.
2. P = {−1,−1 + 1n ,−1 + 2
n , . . . ,−1 + n−1n , 0,−1 + n+1
n , . . . ,−1 + 2n−2n ,−1 + 2n−1
n , 1}.
3. α(x) = x2.
Para ello, calcularemos primero de manera explícita ∆αk. Esto es
∆αk = α(xk)− α(xk−1).
5
En nuestra partición tenemos que
xk = −1 +kn
xk−1 = −1 +k− 1
n.
De donde obtenemos que
∆αk =2kn2 −
2n− 1
n2 .
Sumando como se pide
S(P, f , α) =2n
∑k=1
c(
2kn2 −
2n− 1
n2
)
= c2n
∑k=1
(2kn2 −
2n− 1
n2
)= c(0)
= 0.
Como se había mencionado con anterioridad el objetivo de la sección es, mediante la suma que se acaba de exponer,definir la integral de Riemann-Stieltjes como sigue.
Definición. (Tomada de [Apo74, p. 141]) Nosotros decimos que f es Riemann-integrable con respecto a α en [a, b]y escribimos “ f ∈ R(α) en [a, b]” si existe un número A con la siguiente propiedad. Para todo ε > 0, existe unapartición Pε de [a, b] tal que para toda partición P más fina que Pε y para todos los puntos tk en [xk−1, xk] se tieneque
|S(P, f , α)− A| < ε.
Escribimos∫ b
af dα = A o
∫ b
af dα(x) = A. Esto es lo mismo que decir que la integral de Riemann-Stieltjes
∫ b
af dα
existe.
Observación. Cabe resaltar que la Integral de Riemann-Darboux es una caso particular de la integral definida ante-riormente. (α(x) = x)
En la definición anterior f recibe el nombre de integrando y α recibe el nombre de integrador.
Ejemplo 5. Se mostrará a continuación el cálculo de la integral de Riemann-Stieltjes de la función f (x) = c conrespecto al integrador α(x) = x2 en el intervalo [−1, 1]. Es claro que si para todo ε > 0 tomamos Pε = P como enel ejemplo 4, obtenemos que para toda partición P′ más fina que Pε
|S(P′, f , α)| = 0.
6
Con lo que se obtiene que∫ 1
−1cdα(x) = 0. Es importante hacer notar que a pesar de que la función que estamos
integrando es constante, si tomamos c > 0 por ejemplo y α ≥ 0, la integral no necesariamente es mayor que cero.Es decir que este tipo de integral no necesariamente mide área.
Caracterización
En este punto es importante hacer notar que la integral de Riemann-stiltjes cumple las propiedades de linealidadrespecto al integrando y al integrador, esto es.
Teorema 1.3. Si f ∈ R(α) y si g ∈ R(α)en[a, b] con c1, c2 constantes, se tiene que.∫ b
a(c1 f + c2g)dα = c1
∫ b
af dα + c2
∫ b
agdα
Además si f ∈ R(α) y f ∈ R(β) en [a, b], entonces, f ∈ R(c1α + c2β) en [a, b] y se cumple que.∫ b
af d(c1α + c2β) = c1
∫ b
af dα + c2
∫ b
af dβ
Esta demostración se omitirá en el presente trabajo, puede ser consultada en [Apo74, p. 172]
Teniendo en mente que la integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Darbouxla mayoría de teoremas pueden ser definidos o delimitados para el caso de la última. Veremos algunos teoremas,ejemplificando cuando sea necesario, que son de gran utilidad para resolver o calcular integrales de Riemann-Stieltjes ya que en algunos casos el cálculo de las mismas es laborioso.
Teorema 1.4. Si f ∈ R(α) en [a, b], entonces α ∈ R( f ) en [a, b] y se cumple que.
∫ b
af (x)dα(x) +
∫ b
aα(x)d f (x) = f (b)α(b)− f (a)α(a).
El teorema anterior se conoce como la fórmula de integración por partes.
Demostración. Dado ε > 0, ya que∫ b
af dα existe, se tiene que existirá un partición Pε de [a, b] tal que para toda
partición P′
que sea más fina que Pε se tiene que
|S(P′, f , α)−
∫ b
af dα| < ε.
Veremos ahora que α ∈ R( f ) para ello consideremos una suma de Riemann-Stieltjes arbitraria para∫ b
aαd f como
sigue
S(P, α, f ) =n
∑k=1
α(tk)∆ fk.
7
De donde podemos obtener la siguiente forma equivalente (utilizando la definición al inicio de la sección)
S(P, α, f ) =n
∑k=1
α(tk) f (xk)−n
∑k=1
α(tk) f (xk−1), (1.1)
en donde la partición P que consideramos es más fina que Pε.
Por otra parte, si llamamos A = f (b)α(b)− f (a)α(a) y obtenemos una expresión equivalente para ello en términosde la partición P de la siguiente manera
A =n
∑k=1
f (xk)α(xk)−n
∑k=1
f (xk−1)α(xk−1). (1.2)
Es claro que la anterior expresión es cierta ya que los sumandos se anulan si k 6= 1 en la segunda suma o k 6= n enla primera suma.
Ya que todas las sumas que se construyeron antes, tienen los mismos límites, tiene sentido realizar la diferenciaentre (1.2) y (1.1) con lo que se obtiene
A− S(P, α, f ) =n
∑k=1
f (xk)[α(xk)− α(tk)]−n
∑k=1
f (xk−1)[α(tk)− α(xk−1)].
Si nosotros consideramos una partición P∗ que contenga tanto los puntos xk como los tk vemos que la expresiónanterior corresponde a una suma de Riemann-Stieltjes de la forma S(P∗, f , α) y además la partición P∗ resulta sermás fina qe Pε (por ser más fina que P). Tenemos el siguiente resultado
|A− S(P, f , α)−∫ b
af dα| < ε.
Cabe resaltar que todo el trabajo anterior se realizó basándose en que la partición P sea más fina que Pε y nuestraconclusión se sigue ya que
∣∣∣∣A− S(P, f , α)−∫ b
af dα
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−S(P, f , α) + A−∫ b
af dα
∣∣∣∣=
∣∣∣∣S(P, f , α)− (A−∫ b
af dα)
∣∣∣∣ < ε.
Lo que indica justamente que∫ b
aαd f existe y además
∫ b
aαd f = [ f (b)α(b)− f (a)α(a)]−
∫ b
af dα.
8
Antes de proceder con un ejemplo que demuestra la manera en la cual la integración por partes puede ser uti-lizada para simplificar el cálculo de algunas integrales de Riemann-Stieltjes, presentaremos algunos resultadosimportantes.
Teorema 1.5 (Reducción a una integral de Riemann). Supongamos que f ∈ R(α) en [a, b] y supongamos que α posee
una derivada α′
continua en [a, b]. Entonces la integral de Riemann∫ b
af (x)α
′(x)dx existe y se verifica
∫ b
af (x)dα(x) =
∫ b
af (x)α
′(x)dx.
La prueba de este teorema se omite en el presente documento puede ser consultada en [Apo74, p. 176]. Sin embargocabe resaltar la importancia del mismo. Para ver más claro el alcance del Teorema anterior consideremos cualquierfunción en el conjunto C1[a, b] como integrador de la función f ∈ R(C1[a, b]) el teorema anterior garantiza que∫ b
af (x)dα(x) existe.
Observación. Como se mencionó anteriormente la integral de Riemman es un caso particular de la que estudiamosen esta sección. Es por ello que deberíamos poder dotar de algunas condiciones a las funciones integrador, integrandopara obtener la fórmula de integración por partes que conocemos para el caso de la integral de Riemann. Para elloy teniendo en cuenta el Teorema 1.5 es razonable considerar que si α(x) ∈ C1[a, b], f ∈ R(α) y f ∈ R, entoncesaplicando la integración por partes obtenemos que
∫ b
af (x) dα(x) +
∫ b
af (x) dα(x) = f (b)α(b)− f (a)α(a).
Por aplicación directa del Teorema 1.5
∫ b
af (x)α
′(x) dx = [ f (b)α(b)− f (a)α(a)]−
∫ b
aα(x) d f (x)
= [ f (x)α(x)] |ba −∫ b
aα(x) f
′(x) dx.
La cual corresponde con la integración por partes de Riemann.
El siguiente ejemplo ilustra una de las situaciones en la que la combinación de la integración por partes para lasintegrales de Riemann-Stieltjes y otros resultados permiten realizar cálculos efectivos.
Ejemplo 6. ([Apo74, p. 213], problema 7.6.a) Utilizar la fórmula de sumación de Euler o la integración por partesen una integral de Stieltjes para deducir la siguiente identidad:
n
∑k=1
1k= ln n−
∫ n
1
x− [x]x2 dx + 1.
9
En efecto vemos que ∫ n
1
x− [x]x2 dx =
∫ n
1
dxx−∫ n
1
[x]x2 dx
= ln n−∫ n
1
[x]x2 dx.
Usando la reducción a una integral de Riemann para la integral de la derecha
−∫ n
1
[x]x2 dx =
∫ n
1[x] d
(1x
).
Aplicando integración por partes a la última expresión se obtiene∫ n
1[x] d
(1x
)=
[n]n− 1−
∫ n
1
1x
d[x]
= −∫ n
1
1x
d[x].
Existen diferentes maneras de ver una integral de Riemann-Stieltjes como una suma finita, una de ellas es cuandoel integrador es la función parte entera [Apo74, p. 180]. De esto se deduce que∫ n
1
1x
d[x] =n
∑k=2
1k
.
De manera natural podemos concluir la igualdad que se pedía. �
El trabajo que se expondrá a continuación se realiza con integradores que son funciones escalonadas, permitiendoobservar un desarrollo alternativo de las integrales de Riemann-Stiltjes como sumas finitas. Con esto es posiblerealizar cálculos con cierto grado de comodidad a pesar de que la teoría es bastante restringida en este sentido.Para ello recordaremos la definición de función escalonada.
Definición. (Tomada de [Apo74, p. 179]) A una función α definida en [a, b] se le llama función escalonada si existeuna partición
a = x1 < x2 < · · · < xn = b,
de modo que α sea constante en cada subintervalo abierto (xk−1, xk).
A continuación se presentará la fórmula de sumación de Euler y un ejemplo mediante el cuál se pretende aclararla utilidad de dicha fórmula.
Teorema 1.6 (Fórmula de sumación de Euler.). Si f posee derivada continua f′
en [a, b], entonces se tiene
∑a<n≤b
f (n) =∫ b
af (x)dx +
∫ b
af′(x)((x))dx + f (a)((a))− f (b)((b)).
10
En donde ((x)) = x− [x]. Si a y b son enteros, se obtiene
b
∑n=a
f (n) =∫ b
af (x)dx +
∫ b
af′(x)(
x− [x]− 12
)dx +
f (a) + f (b)2
.
Observación. ∑a<n≤b
significa la suma desde n = [a] + 1 a n = [b].
Como se puede observar, la fórmula de la definición anterior permite realizar aproximaciones de sumas finitasen los valores enteros de una función por medio de su integral de Riemann-Stieltjes en intervalos definidos. Laprueba del teorema a pesar de ser relevante, puede ser omitida por el enfoque del trabajo se esta realizando. Paraconsultarla remitirse a [Apo74, p. 181].
Ejemplo 7. ([Apo74, p. 213], problema 7.6.a) Utilizar la fórmula de sumación de Euler o la integración por partesen una integral de Riemann-Stieltjes para deducir la siguiente identidad:
n
∑k=1
1ks =
1ns−1 + s
∫ n
1
[x]xs+1 dx
si s 6= 1. En efecto, utilizando la fórmula de sumación de Euler, obtenemos
n
∑k=1
1ks =
∫ n
1
1xs dx +
∫ n
1
(1xs
)′ (x− [x]− 1
2
)dx +
1 +1ns
2,
por ser en este caso los extremos de los intervalos enteros (1, n). Entonces
n
∑k=1
1ks =
∫ n
1
1xs dx +
∫ n
1
(1xs
)′xdx−
∫ n
1
(1xs
)′[x]dx−
∫ n
1
(1xs
)′12
dx +1 +
1ns
2
=x−s+1
−s + 1
∣∣∣∣n1− s
(x−s+1
−s + 1
∣∣∣∣n1
)+ s
∫ n
1
[x]xs+1 dx +
s2
(x−s
−s
∣∣∣∣n1
)+
1 +1ns
2
=n−s+1 − 1− sn−s+1 + s
−s + 1+ s
∫ n
1
[x]xs+1 dx +
1− 1ns + 1 +
1ns
2
=1
ns−1 + s∫ n
1
[x]xs+1 dx.
�
Como se quería mostrar, si analizamos el desarrollo del ejercicio es claro que no se requirió de gran tecnología paraconcluir y que de alguna manera la integrales de Riemann-Stieltjes permiten realizar aproximaciones sencillas.
11
Analizaremos ahora algunas de las propiedades útiles de las integrales de Riemann-Stieltjes. Antes de proceder aello recordemos que la integral de Riemann-Darboux es en términos generales, un caso particular de la primera.Es por ello que las pruebas y resultados obtenidos en está sección son aplicables en la primera, guardando lasconvenciones y restricciones a que se tenga lugar.
Teorema 1.7 (Desigualdad triangular.). Supongamos que α es creciente en [a, b]. Si f ∈ R(α) en [a, b] entonces | f | ∈R(α) en [a, b] y se tiene
∣∣∣∣∫ b
af (x)dα(x)
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a| f (x)| dα(x).
La desigualdad triangular es un resultado que en matemáticas puede ser encontrado en diferentes contextos y quetiene diferentes aplicaciones. La demostración para éste se encuentra en [Apo74, p. 188]. En este documento no sepresenta una prueba formal, pero se realiza una salvedad que se considera de vital importancia.
Observación. El reciproco del teorema anterior no necesariamente es cierto como se puede observar en el siguienteejemplo.
Ejemplo 8. ([Apo74, p. 215], problema 7.12) Dar un ejemplo de una función acotada f y de una función creciente α
definidas en [a, b] tales que | f | ∈ R(α) pero para las que∫ b
af dα no existe. Para ello consideremos el caso particular
α(x) = x y trabajemos con una integral de Riemann, sea la función f definida como sigue
f (x) =
1 si x ∈ [a, b], x ∈ Q
−1 si x ∈ [a, b], x /∈ Q
En este caso es claro que | f (x)| = 1 con x ∈ [a, b] de donde∫ b
a| f (x)|dx = (b− a). Así
∫ b
a| f (x)|dα(x) existe. Por
otra parte, considerando por ejemplo ε = 12 no existe ninguna partición tal que dicha integral exista.
Presentaremos ahora otro de los resultados más conocidos y aplicados en diferentes teorías. Recordemos queexisten varios enfoques por medio de los cuales podemos llegar al resultado que se presenta a continuación. Se-guiremos la indicación de T.M. Apostol.
Teorema 1.8 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz.). ([Apo74, p. 215], problema 7.16)
Si f ∈ R(α), f 2 ∈ R(α), g ∈ R(α) y g2 ∈ R(α) en [a, b], probar que
12
∫ b
a
∫ b
a
∣∣∣∣∣ f (x) g(x)f (y) g(y)
∣∣∣∣∣2
dα(y)
dα(x) =
(∫ b
af (x)2dα(x)
)(∫ b
ag(x)2dα(x)
)
−(∫ b
af (x)g(x)dα(x)
)2
.
12
Cuando α es creciente en [a, b], deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz
(∫ b
af (x)g(x)dα(x)
)2
≤(∫ b
af (x)2dα(x)
)(∫ b
ag(x)2dα(x)
).
Demostración. En efecto
12
∫ b
a
∫ b
a
∣∣∣∣∣ f (x) g(x)f (y) g(y)
∣∣∣∣∣2
dα(y)
dα(x)
=12
∫ b
a
[∫ b
a
([ f (x)g(y)]2 − 2 [ f (x)g(y)] [ f (y)g(x)] + [ f (y)g(x)]2
)dα(y)
]dα(x).
De donde sin pérdida de generalidad obtenemos
=∫ b
af (x)2dα(x)
∫ b
ag(x)2dα(x)−
(∫ b
af (x)g(x)
)2
.
Ya que α(x) es creciente, se tiene que
12
∫ b
a
∫ b
a
∣∣∣∣∣ f (x) g(x)f (y) g(y)
∣∣∣∣∣2
dα(y)
dα(x) ≥ 0.
De manera natural (∫ b
af (x)g(x)
)2
≤(∫ b
af (x)2dα(x)
)(∫ b
ag(x)2dα(x)
).
En cuanto a las propiedades y resultados de las integrales de Riemann-Stieltjes, sería imposible pasar por alto losteoremas fundamentales del cálculo integral. A continuación se realizará la presentación de ambos, se ejemplificaráen donde se considera pertinente hacerlo.
Teorema 1.9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo.). ([Apo74, p. 196], teorema 7.32)
Sea α una función de variación acotada en [a, b] y supongamos que f ∈ R(α) en [a, b]. Definimos F por medio de la ecuación
F(x) =∫ x
af dα si x ∈ [a, b].
Entonces se tiene que si α es creciente en [a, b], la derivada de F′(x) existe en cada punto x de (a, b) en que α′(x) exista y fsea continua. Para tales x, se tiene
F′(x) = f (x)α′(x).
13
Observación. Antes de presentar la demostración del teorema, es necesario mencionar el siguiente teorema.
Teorema 1.10 (Primer Teorema del valor medio para integrales de Riemman-Stieltjes.). ([Apo74, p. 195], teorema 7.30)Supongamos que α es creciente y que f ∈ R(α) en [a, b]. Si M y m designan respectivamente el sup y el ınf del conjunto{ f (x) : x ∈ [a, b]}, entonces existe un número real c que satisface m ≤ c ≤ M tal que∫ b
af (x) dα(x) = c
∫ b
adα(x) = c [α(b)− α(a)] .
En particular, si f es continua en [a, b], entonces c = f (x0) para cierto x0 de [a, b].
Estamos ahora en condiciones de presentar una prueba para el Teorema 1.9.
Demostración. (Teorema 1.9) Si x 6= y por el Teorema de Valor Medio tenemos que para integrales de Riemman-stielejes, existe C tal que m ≤ c ≤ M y además
F(y) =∫ x
af dα ; F(y)− F(x) =
∫ y
xf dα = c[α(y)− α(x)]
Tomando x fijo, el límite cuando y −→ x de F(y)− F(x) y dividiendo entre y− x, tenemos
lımx→y
F(y)− F(x)y− x
= lımx→y
c[α(y)− α(x)]y− x
.
De dondeF′(x) = lım
x→yc α′(x).
ahora, por la continuidad de f concluimos que c = f (x) cuando x tiende a y
El siguiente ejemplo pone en evidencia cómo el primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral puede serutilizado para la resolución de integrales de Riemann-Stieltjes.
Ejemplo 9. ([Apo74, p. 216], problema 7.19) Definir
f (x) =(∫ x
0e−t2
dt)2
, g(x) =∫ 1
0
e−x2(t2+1)
t2 + 1dt.
a) probar que g′(x) + f ′(x) = 0 para todo x y deducir que g(x) + f (x) = π/4.
Por el Primer Teorema Fundamental, para f (x) se toma
f ′(x) = 2(∫ y
0e−t2
dt)
e−x2
= 2e−x2(∫ x
0e−t2
dt)
14
y para g(x) =∫ 1
0
e−x2(t2+1)
t2 + 1dt se tiene que
g′(x) =∫ 1
0
∂
∂x(e−x2(t2+1) 1
t2+1dt)
= −2e−x2
∫ x
0e−a2
da.
Si g′(x) + f ′(x) = 0 quiere decir que ∫g′(x) + f ′(x)dx = c∫
g′(x) dx +∫
f ′(x dx = c
g(x) + f (x) = c∫ y
0
e−x2(t2+1)
t2 + 1dt +
(∫ x
0e−t2
dt)2
= c
haciendo x = 0, tenemos que ∫ 1
0
dtt2 + 1
= c
tan−1(x)∣∣∣10=
π
4.
�
Teorema 1.11 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.). ([Apo74, p. 197], teorema 7.34) Supongamos que f ∈ Ren a, b. Sea g una función definida en [a, b] tal que la derivada g′ exista en (a, b)y cuyo valor sea
g′(x) = f (x) para cada x de (a, b)
Supongamos además que, en los extremos, los valores g(a+) y g(b−) existen y satisfacen
g(a)− g(a+) = g(b)− g(b−).
Entonces se tiene que ∫ b
af (x)dx =
∫ b
ag′(x)dx = g(b)− g(a).
Demostración. Para cada partición P = {x1, ..., xn} de [a, b], podemos escribir
g(b)− g(a) =n
∑k=1
[g(xk)− g(xk−1)]
Como g es derivable, entonces es continua en (a, b). Por el Teorema del Valor medio, para cada k, existe tk tal que
g′(tk) =g(xk)− g(xk−1)
xk − xk−1
15
entoncesf (tk)∆xk = g(xk)− g(xk−1).
De donde, podemos expresar g(b)− g(a) de la siguiente manera
g(b)− g(a) =n
∑k=1
f (tk)∆xk.
Pero como f ∈ R en [a, b] ∣∣∣∣∣ n
∑k=1
f (tk)∆xk −∫ b
af dx
∣∣∣∣∣ < ε.
Luego se deduce que ∫ b
af dx = g(b)− g(a).
Criterios Integrabilidad
Existen diferentes criterios para determinar si una función posee o no integral. A continuación se abordará esacuestión para las integrales de Riemann-Darboux.
Teorema 1.12 (Criterio de integrabilidad). Si f es continua en [a, b], entonces existe∫ b
af dx
Demostración. Si f es continua en [a, b], para todo x, y ∈ [a, b] se tiene que para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si|x− y| < δ, implica que | f (x)− f (y)| < ε.
Consideremos P = {x0, ...xn} tal que si ∆xi < δ con 1 ≤ i ≥ n, como cada [xk−1, xk] es compacto en R y f : R −→ R
es continua, luego f adquiere un valor máximo y mínimo en cada intervalo. Llamemos mi y Mi a dichos mínimosy máximos respectivamente. Así |Mi −mi| < δ. Como f es uniformemente continua | f (Mi)− f (mi)| < ε, con loque
U( f , P) =n
∑i=1
f (Mi)∆xi.
L( f , P) =n
∑i=1
f (mi)∆xi.
Al restarlos, tenemos:
U( f , P)− L( f , P) =n
∑i=1
( f (Mi)− f (mi))∆xi
< nεn
∑i=1
∆xi
= nε(b− a).
16
de donde, haciendo δ = εn(b−a) , la función resulta ser integrable.
Observación. Es inmediato pensar en el reciproco del teorema anterior y no hace falta mucho para ver de que esfalso. Basta considerar una función constante con algún salto, la cual no es continua, pero evidentemente poseeintegral.
Podemos notar que el criterio anterior es bastante restringido ya que muchas de las funciones que se deben estudiarde manera cotidiana no son continuas. Es por ello que se mostrará un criterio que es el más general que se puedeencontrar en relación con la continuidad.
Teorema 1.13 (Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann). Sea f una función definida y acotada en [a, b]y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a, b]. Entonces f ∈ R en [a, b] si, y solo si, D tiene medida cero.
El teorema anterior es de vital importancia para el desarrollo de este trabajo. De hecho un próximo capítulo sededicará específicamente al desarrollo de teoría de Lebesgue, lo que naturalmente comprende la teoría de inte-gración. En ese momento se dará una prueba del teorema anterior. Esto no quiere decir que con los conceptosproporcionados hasta el momento no pueda realizarse dicha demostración. Esta se encuentra en [Apo74, p. 208].
Se mostrará el alcance de este teorema mediante un ejemplo que garantiza la integración sobre un conjunto espe-cial, el conjunto de Cantor.
Ejemplo 10. ([Apo74, p. 218], problema 7.32) Sea I = [0, 1] y sea A1 = I −(
13
,23
)el subconjunto de I obtenido
suprimiendo en I los puntos del intervalo abierto que constituye el tercio central de I; esto es, A1 =
[0,
13
]∪[
23
, 1]
.
Sea A2 el subconjunto de A1 obtenido suprimiendo el tercio central abierto de[
0,13
]y el de
[23
, 1]
. Continuar este
proceso y definir A3, A4, . . . . El conjunto C =∞⋂
n=1
An se llama conjunto de Cantor. Probar que
C es un conjunto compacto que tiene medida cero.
x ∈ C si, y sólo si, x =∞
∑n=1
an3−n, en donde cada an o es 0 o es 2.
C es no numerable.
Sea f (x) = 1 si x ∈ C, f (x) = 0 si x /∈ C. Probar que f ∈ R en [0, 1].
En efecto, podemos ver que cada An es cerrado para todo n, así C resulta ser cerrado. Por otra parte ya que C ⊆ A1
el cual es compacto en R, C resulta ser compacto. Además podemos ver que para cada An la medida del mismoviene dada por µ(An) = ( 2
3 )n y tendremos también que
µ
(∞⋂
n=1
An
)= lım
n→∞µ(An)
17
De donde podemos ver que µ(C) = 0.
Supongamos ahora que x ∈ C, expresemos x como x =a1
3+ b1 (Para un b1 adecuado). Así, como x ∈ A1 se tendrá
que a1 = 0 ó a1 = 2 (Por ser 0 y23
los extremos izquierdos de los intervalos que componen a A1). Además como
x ∈ A2 escribamos x =a1
3+
a2
9+ b2(Para un b2 adecuado), podemos ver que a2 = 0 ó = a2 = 2. Esto es
x ∈[
0,19
]si a1 = 0, a2 = 0.
x ∈[
29
,39
]si a1 = 0, a2 = 2.
x ∈[
69
,79
]si a1 = 2, a2 = 0.
x ∈[
89
, 1]
si a1 = 2, a2 = 2.
De lo anterior podemos ver que an = 0 ó an = 2 (mediante inducción sobre n). Así x =∞
∑n=1
an3−n. Por otra parte,
si x =∞
∑n=1
an3−n en donde cada an o es 0 o es 2. La construcción anterior muestra de manera clara que x ∈ C y que
por tanto C es no numerable. �
La representación que acabamos de construir para los números en el conjunto de Cantor C es conocida como larepresentación ternaria y sigue el mismo principio de representar números del sistema decimal en base 2. De loanterior vemos que si x ∈ C podemos hacer una representación de x como (a1, a2, a3, . . .), donde cada ai es 0 o 2con i ∈ N. Esto muestra que el conjunto de Cantor es no numerable ya que las sucesiones que se componen de 2y 0 son no numerables.
La función f (x) es constante salvo sobre el conjunto de Cantor, es decir que f cumple las hipótesis del Criterio deLebesgue para la integrabilidad de Riemann, por tanto f ∈ R([0, 1]).
Por otra parte sea I = [0, 1] en este caso quitaremos el intervalo central con longitud14
de I en la primer iteración,
de donde S1 =
[0,
38
]⋃ [58
, 1]
. Esto es, situados en la mitad de I quitar un intervalo abierto de longitud18
en am-
bas direcciones. Repitiendo este proceso en la segunda iteración resulta que S2 =
[0,
532
]⋃ [ 732
,38
]⋃ [58
,2532
]⋃ [2732
, 1]
.
Defínase
S =∞⋂
n=1
Sn.
S es conocido como el conjunto de Smith-Volterra-Cantor el cual tiene un construcción similar al conjunto deCantor. Comparte varias propiedades con éste. Nos centraremos en una que no tienen en común, la medida.
18
Como en cada iteración estamos eliminando 2n−1 intervalos abiertos disyuntos cada uno de ellos de longitud1
22npodemos considerar la medida de S que representaremos con m(S) como
m(S) = 1−∞
∑n=1
2n−1
22n
= 1−∞
∑n=1
12n+1
=12
.
Observación. Podemos resaltar una propiedad de ambos conjuntos que es particular interés y es que ninguno deellos contiene un intervalo. La prueba para el conjunto de Cantor la podemos encontrar en [Rud76, p. 41]. Estogeneralmente se conoce también como que ambos conjuntos son completamente desconectados.
Es claro por lo anterior que la función f del ejemplo 10. Definida en el conjunto de Smith-Volterra-Cantor en vezdel conjunto de Cantor no es integrable en el sentido de Riemann, debido a que el conjunto donde la función
es discontinua tiene medida12
. Este ejemplo deja ver los problemas que presenta la integración de Riemann (Elconjunto de funciones que se pueden integrar es restringido). Cabe preguntarse si existe una integral que permitasubsanar estos y otros tantos inconvenientes que se presentan con dicha integral.
La anterior discusión y el ejemplo 10 nos dan una primera noción de la generalidad que se pretender obtener conel desarrollo de la teoría de Lebesgue, el siguiente capítulo esta dedicado a ello.
1.3. Integral de Lebesgue
En el desarrollo de la integral más general que se trabaja en la actualidad (integral de Lebesgue) es necesarioapoyarnos en diferentes conceptos y teorías que podrán llegar a resultar nuevas para algunos estudiantes. Razónpor la cual es necesario contextualizar y exponer de manera breve dichos conceptos.
Comenzaremos esta dicusión con dos definiciones sobre las cuales basamos el desarrollo de toda la sección. Caberesaltar que no son las únicas relevantes pero por ahora son realmente indispensables.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 6]) Una familia X de subconjuntos de un conjunto X es llamada una σ−álgebra(o un σ−campo) en caso que
1. ∅, X están en X.
2. Si A está en X, entonces el complemento Ac = X \ A está en X.
3. Si (An)es una sucesión de conjuntos en X, entonces la unión∞⋃
n=1
An está en X.
19
De esta definición podemos inferir directamente que la interseción numerable de conjuntos en X, también está en
X. Basta considerar el complemento de∞⋃
n=1
An. Veremos ahora algunos ejemplos de σ−álgebra.
Observación. Cabe resaltar que por ahora no se ha mencionado nada acerca de los conjuntos X sobre los queestamos definiendo nuestra σ−álgebra, que en principio podrían ser cualesquiera. Por ahora se le pide al lectorque asuma esto como la primera generalización importante, en el sentido que sobre estas σ−álgebras definiremosposteriormente la integral de Lebesgue.
Ejemplo 11. Sea X cualquier conjunto, las siguientes son las σ−álgebras más sencillas e inmediatas a la intuición.
X = P(X). La colección de todos los subconjuntos de X (Partes de X).
X = {∅, X}. Conocida como la σ−álgebra trivial.
Existen relaciones entre diferentes σ−álgebras definidas en el mismo conjunto X. Sean X1, X2 σ−álgebras desubconjuntos de X se tendrá que
X1 ∩X2 es una σ−álgebra. Basta considerar cada elemento de X1 ∩X2, como elementos de cada σ−álgebra.
De manera general, sea {Xn} una colección de σ−álgebras sobre un conjunto X⋂α∈A
Xα
es una σ− álgebra.
Presentaremos ahora una definición que podría relacionarse de manera estrecha con el concepto de topologíainducida, con sus respectivas restricciones a la teoría que estamos desarrollando.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 7]) Sea A un subconjunto no vacío de un conjunto X. La σ− álgebra máspequeña que contiene a A es llamada la σ− álgebra generada por A.
De manera natural nosotros observamos que dicha σ− álgebra es la intersección de todas las σ− álgebras quecontienen a A. Uno de los ejemplos más importantes de dichas álgebras es la σ− álgebra de Borel.
Ejemplo 12. Sea X = R, la σ−álgebra de Borel (B) es la generada por todos los intervalos abiertos (a, b) en R. SiE ∈ B diremos que E es un conjunto de Borel.
Observación. Es importante entender que con diferentes conjuntos se puede generar la misma σ− álgebra como esel caso de B, veamos
Ejemplo 13. ([Bar11, p. 14], problema 2.B) Muestre que el álgebra de Borel B es también generada por la colecciónde todos los intervalos semiabiertos (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. También muestre que B es generada por lacolección de todas los intervalos de colas abiertas {x ∈ R : x > a} con a ∈ R.
20
En efecto, para ello veremos que cada conjunto del generado de (a, b] esta contenido en B y que el reciprocotambién es cierto. Supongamos que a < b es posible escribir
(a, b] =∞⋂
n=1
(a, b +
1n
)El cual es por definición un elemento de B. Por otra parte sea (a, b) ∈ B vemos que
(a, b) =∞⋃
n=1
(a, b− 1
n
]
Ahora consideremos un intervalo de la forma (a,+∞) el cual es por definición un intervalo abierto es decir(a,+∞) ∈ B por otro lado vemos que podemos escribir
(a, b) =∞⋃
n=1
(−∞, b− 1
n
]∩ (a,+∞)
La conclusión se sigue. Dado que (−∞, b] pertenece a la σ− álgebra generada por (a,+∞) �
Llega el punto donde podremos caracterizar el conjunto de donde se extrae una σ− álgebra, lo dotaremos de unaestructura de espacio. Entenderemos por espacio de medida o espacio medible a la dupla (X, X) donde X es unaσ− álgebra de conjuntos de X. Se sobreentiende que ya hemos presentado varios ejemplos de esta definición.
Por el momento se presentarón algunos conceptos que se relacionan de manera estrecha en el camino que se tomópara estudiar la integral de Lebesgue, no podemos olvidar que ese es el objetivo final. Trabajaremos ahora connuestro objeto de estudio, funciones.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 7]) Una función f de X en R se dice que es X−medible (o simplemente medible),si para cada número real α el conjunto
{x ∈ X : f (x) > α}
está en X.
Existe una equivalencia con respecto a la definición anterior, la cual hace que la misma sea muy versátil y sencillade trabajar. Se puede consultar en [Bar11, p. 8].
Observación. Esta definición puede ser extendida para funciones a valor real extendido. Esto esf : X −→ R ∪ {+∞,−∞}. Al conjunto de todas las funciones medibles de X con la σ− álgebra X a valor realextendido lo denotaremos como M(X, X).
Pensando en X = R y X = B el primer ejemplo que salta a la vista es de las funciones continuas, ya que si f escontinua f−1((α,+∞)) es un conjunto abierto. La conclusión se sigue de la definición de B. Es posible caracterizarlas funciones medibles mediante el siguiente ejemplo.
21
Ejemplo 14. ([Bar11, p. 17], problema 2.P) Sea (X, X) un espacio de medida y f una función a valor real definidaen X. Muestre que f es X−medible si y solo si f−1(E) ∈ X para todo conjunto de Borel E.
Es claro que una de las dos implicaciones se tiene por definción de función medible fijando α ∈ R (el reciproco).Para ver la impliación directa primero debemos recordar que la imagen inversa f−1 se comporta bien bajo uniones,intersecciones y complemento, esto es:
1. f−1(A ∪ B) = f−1(A) ∪ f−1(B).
2. f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B).
3. f−1(Ac) = [ f−1(A)]c
Además, para todo intervalo abierto (a, b) se tiene que
(a, b) = (−∞, b) ∩ (a,+∞).
Supongamos que f es una función medible. Así, f−1((a, b)) = f−1((−∞, b) ∩ (a,+∞)). Se sigue de esto quef−1((a, b)) ∈ X (utilizando la equivalencia anteriormente mencionada). De lo anterior y teniendo en cuenta quetodo conjunto boreliano es la unión, intersección o complemento numerable de intervalos de la forma (ai, bi) coni ∈N, considerarémos el caso en que E =
⋃i∈N
(ai, bi). Tendremos entonces que
f−1(E) = f−1
(⋃i(ai, bi)
)=
⋃i
f−1((ai, bi)).
donde f−1((ai, bi)) ∈ X para todo i ∈ N así obtenemos que f−1(E) ∈ X. Los casos en que E sea el complementoo la intersección de intervalos abiertos son análogos. �
En este punto cabe preguntarse por las funciones que se deriven de funciones medibles. Esto es, si f y g sonfunciones medibles y c ∈ R ¿Qué se puede decir de c f , f 2, f + g, f g, | f |? La respuesta es que todas ellas sonmedibles. Sin embargo, esta relación no siempre se tiene en el otro sentido, como se puede observar a continuación.
Ejemplo 15. ([Bar11, p. 16], problema 2.I) Proporciones un ejemplo de una función f de X en R la cual no sea X−medible, pero tal que las funciones | f | y f 2 sean X−medibles. Para ello consideremos
X = {1,−1}.
X = {∅, X} la σ− álgebra trivial.
f (x) = I(x) la función identidad.
Consideremos α = 0, el conjunto {x ∈ X : f (x) > 0} = {1} /∈ X, de donde sabemos que la función f no esmedible. En cuanto a las funciones | f |, f 2 el conjunto {x ∈ X : f (x) ≥ α} es ∅ o X (utilizando la equivalencia quese mencionó). De donde que | f |, f 2 son medibles.
22
Procederemos ahora a introducir lo que podríamos considerar como una generalización del concepto de longi-tud con el que estamos familiarizados, Esto es necesario ya que como desarrollamos la teoría hasta el momentoestamos trabajando con espacios de medida generales donde dicho concepto pierde sentido y es inaplicable, bas-ta considerar a X 6= Rp y con esto perdemos toda noción de lo que quiere decir longitud. Dicho concepto lonombraremos de aquí en más como medida.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 19]) Una medida es una función a valor real extendido µ definida en una σ−álgebra X de subconjuntos de X tal que
1. µ(∅) = 0.
2. µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X.
3. µ es contable aditiva en el sentido que si (En) es cualquier sucesión de conjuntos en X y Ei ∩ Ej = ∅ siempreque i 6= j entonces
µ
(∞⋃
n=1
En
)=
∞
∑n=1
µ(En)
Una medida finita es aquella que no toma el valor de +∞.
Presentaremos ahora algunos ejemplos clásicos de medidas.
Ejemplo 16. Sea X = N y sea X la σ− álgebra de partes. Si E ∈ X se define µ(E) = |E| (cardinal de E) si E esfinito. Si E es infinito, µ(E) = +∞. (medida de conteo)
Sea X = R y sea X = B, si E = (a, b) defínase µ(E) = b− a (medida de Lebesge o de Borel).
Sea X un conjunto y X una σ− álgebra de subconjuntos de X. Si µ(X) = 1 entonces µ es una probabilidad yµ(E) es la probabilidad el evento E (medida de probabilidad).
Existen algunas relaciones que generan medidas a partir de otras fijas, por ejemplo
Ejemplo 17. ([Bar11, p. 23], problema 3.B) Si µ1, . . . , µn son medidas y a1, . . . , an son números reales no negativos,entonces la función λ definida para E ∈ X por
λ(E) =n
∑j=1
ajµj(E)
Es una medida en X.
Las dos primeras propiedades de la definición de medida no tienen ningún tipo de dificultad, se sobreentiendeque λ(∅) = 0 y que λ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X. Por último sea (Ei) una sucesión de conjuntos en X tal que
23
Ei ∩ Ek = ∅ si i 6= k entonces
λ
(∞⋃
i=1
Ei
)=
n
∑j=1
ajµj
(∞⋃
i=1
Ei
)
=n
∑j=1
aj
∞
∑i=1
µj(Ei)
=n
∑j=1
∞
∑i=1
ajµj(Ei)
=∞
∑i=1
n
∑j=1
ajµj(Ei)
=∞
∑i=1
λ(Ei).
Así λ resulta ser una medida. �
Nosotros entenderemos por espacio de medida a la terna (X, X, µ) es decir un conjunto que en principio podría sercualquiera, una σ− álgebra de subconjuntos de X y una medida definida sobre X (un espacio medible junto conuna medida). Usaremos en adelante un término con bastante frecuencia y es que una característica de un conjuntoo una función (por ejemplo) se cumple en casi toda parte (µ). Esto es si dicha característica se cumple salvo en unconjunto de medida cero. Lo anterior nos proporciona otro ejemplo de función medible.
Ejemplo 18. Sea X = R y sea X = B el criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann nos indica que sif ∈ R entonces f es continua en casi toda parte (µ) y como ya se mencionó anteriormente f resulta ser medible.
Observación. El anterior ejemplo merece un poco más de profundidad y una demostración formal, pero para ello esnecesario primero definir la medida de lebesgue, razón por la cuál por ahora se asume su veracidad. Más adelantevolveremos a el.
La idea de ser continua en casi toda parte (µ), que dos funciones sean iguales en casi toda parte (µ) o que una su-cesión de funciones ( fn) converja en casi toda parte (µ) de manera intuitiva representa que nosotros (hablando entérminos muy inexactos) podríamos olvidarnos del comportamiento de nuestro objeto de estudio en un conjuntode medida cero (donde no se cumple nuestra característica) y que prevalece el comportamiento que se tenga en elcomplemento del mismo.
Consideremos nuevamente la función f (x) = 1 si x ∈ C, f (x) = 0 si x /∈ C esta función además de ser continuaen casi toda parte (µ) es igual a la función constante g(x) = 1 en casi toda parte (µ).
Observación. Es importante entender que la propiedad de ser igual en casi toda parte, depende de la medida µ
que se esté trabajando. En los ejemplos anteriores entiéndase que µ es la longitud de los intervalos que se manejahabitualmente para R.
Para llegar al desarrollo deseado, es necesario ver la manera en la que podemos generar medidas. Este nuevoenfoque requiere también la siguiente definición (entre otras que se irán anexando a medida que se requieran)
24
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 96]) Una familia A de subconjuntos de un conjunto X es llamada un álgebra (oun campo) en caso que
∅, X estén en A.
Si E ∈ A, entonces el complemento de E = X \ E ∈ A.
Si E1, . . . , En están en A, entonces su uniónn⋃
j=1
Ej también esta en A.
Es claro que esta definición solo difiere de la de σ−álgebra en la numerabílidad de la unión, dado que está solotiene la característica de ser finita. Más allá es importante este nuevo concepto ya que (centrando la atención en elcaso de R) en muchas ocasiones podemos encontrar ejemplos de conjuntos en los que las uniones numerables desubconjuntos no pueden estar en él. Con más claridad consideremos el conjunto formado por todas las unionesfinitas de intervalos de la forma (a, b]; (−∞, b]; (a,+∞); (−∞,+∞) en R, este es un ejemplo de un conjunto que noes una σ− álgebra pero si un álgebra (usaremos la notación F para dicha álgebra).
Ya deberíamos tener presente que este trabajo esta totalmente dedicado a las integrales en distintos espacios condiferentes características. El concepto de integral debe ir (por definición) asociado a las diferentes medidas que sepueden establecer en los espacios donde tenga sentido la misma, es decir las longitudes en R, áreas en R2 etc. Espor ello que debemos definir que es una medida en un álgebra.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 97]) Si A es un álgebra de subconjuntos del conjunto X, entonces, una medidaen A es una función a valor real extendido µ definida en A tal que
1. µ(∅) = 0.
2. µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ A.
3. Si (En) es cualquier sucesión de conjuntos disyuntos en A tal que∞⋃
n=1
En está en A entonces
µ
(∞⋃
n=1
En
)=
∞
∑n=1
µ(En)
El primer ejemplo que salta a la vista de manera intuitiva, es la longitud definida en el álgebra F. Por supuesto lafunción longitud es una medida. La demostración de este hecho puede encontrarse en [Bar11, p. 97]. En generaltodas las medidas en alguna σ− álgebra haciendo una restricción adecuada pueden considerarse como medidasen algún álgebra bien definida. Nos ocuparemos ahora de la construcción de la medida exterior y del álgebraexterior que veremos más adelante son extensiones de la medida y del álgebra sobre la cual esté definida ésta. Lasituación es la siguiente, pretendemos construir explícitamente una σ− álgebra A∗ (álgebra exterior) que contengaal álgebra A de manera tal que si µ es una medida en A la medida µ∗ (medida exterior) definida en A∗ sea tal queµ∗ = µ en A.
Es particularmente interesante el hecho que esta medida exterior resulta ser única, para ello veamos.
25
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 99]) Si B es un subconjunto arbitrario de X nosotros definimos
µ∗(B) := ınf∞
∑j=1
µ(Ej)
Donde el ínfimo es extendido sobre todas las sucesiones de conjuntos (Ej) en A tales que
B ⊆∞⋃
j=1
Ej
Como ya se mencionó con anterioridad la función µ∗ recibe el nombre de medida exterior.
Observación. Cabe aclarar que la medida exterior en principio podría no ser una medida con lo mencionado hastaahora. De hecho la medida exterior cumple las mismas propiedades de la medida, salvo la aditividad numérable.En vez de ello la medida exterior es subaditiva numérable. Esto es, si (Bn) es una sucesión de subconjuntos de X,entonces
µ∗(
∞⋃n=1
Bn
)≤
∞
∑n=1
µ∗(Bn).
Además la medida exterior de un subconjunto B de X coincide con la medida definida sobre el álgebra en casoque B esté en dicha álgebra la prueba de estas propiedades se encuentra en [Bar11, p. 99].
Como se mencionó con anterioridad, la idea de definir la medida exterior es generalizar la idea de longitud de R
y nosotros sabemos que a cualquier íntervalo o uniones de intervalos en R podemos calcularles su longitud, pero¿Qué significa que un conjunto sea medible bajo las definiciones anteriores?
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 100]) Un subconjunto E de X es llamado µ∗−medible si
µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A \ E).
Para todo subconjunto conjunto A de X.
Denotaremos por A∗ a la colección de todos los subconjuntos µ∗−medibles de X. Es claro que la notación sugiereque A∗ resultara ser por lo menos un álgebra. El siguiente teorema resuelve dicho interrogante.
Teorema 1.14 (Teorema de extensión de Carathéodory). ([Bar11, p. 101]) La colección A∗ de todos los conjuntos µ∗−medibles es una σ− álgebra que contiene a A, además si (En) es un sucesión disyunta en A∗, entonces,
µ∗(
∞⋃n=1
En
)=
∞
∑n=1
µ∗(En)
Nótese que el teorema anterior nos dice de manera explícita como debe construirse la σ− álgebra donde µ∗ esun efectivamente una medida en el sentido de la definición a partir de un álgebra y una medida en ella. Por otraparte el teorema de extensión de Hahn nos dice que esta extensión de medida es única. La demostraciónde ambosteoremas puede encontrase en [Bar11, p. 101-103]. Estamos ahora en condiciones de presentar una defición de lamedida y la σ− álgebra de Lebesgue.
26
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 104]) Consideremos el álgebra F definida anteriormente y la medida l (Lon-gitud) definida en ella, aplicando el teorema de extensión de Carathéodory, obtenemos una σ− álgebra F∗ y unamedida l∗, con los cuales obtenemos un espacio de medida (R, F∗, l∗). La colección F∗ es conocida como la colec-ción de los conjuntos medibles de Lebesgue y l∗ se conoce como la medida de Lebesgue.
Observación. Presentaremos ahora una breve dicusión que permite entender de manera general la relación queexiste entere las σ− álgebras de Borel, de Lebesgue y la partes de R. En un principio esperaríamos poder diferen-ciarlas de manera explícta. Esto es encontrar conjuntos de alguna de ellas que no se encuentren en las demás y deesta manera establecer algúna relación de contenencia o algo similar. Lo anterior desafortunadamente escapa delobjetivo del trabajo sin embargo se puede realizar la distinción entre ellas con algunos criterios que se expondrána continuación. Esta idea es tomada de [Rud81, p. 53].
Iniciaremos con la comparación entre B y F∗ (Conjuntos medibles de Lebesgue), esta comparación se realiza me-diante el cardinal de dichas σ− álgebras. Para ello debemos notar en primera instancia que la medida de Lebesguees completa, en el sentido que si A ∈ F∗ y l∗(A) = 0 cada subconjunto de A es medible y tiene medida cero. Porotra parte también vemos que cada σ− álgebra generada por una colección numerable de conjuntos tiene cardinalfinito o ℵ1 (cardinal del continuo bajo la hipótesis del continuo).
La demostración de este hecho requiere conceptos de teoría avanzada de conjuntos, pero se mostrará acontinua-ción la idea. Si suponemos una colección numerable de conjuntos {An}, la cual genera una σ− álgebra, cada Ai dela colección tendrá una representación en conjuntos BI indivisibles en el sentido que BI es una familia de conjuntosdisjuntos dos a dos. Se puede mostrar también que existen tantos BI como subconjuntos de los naturales, comosugiere el subíndice I. Razón por la cuál, existirán por lo menos ℵ1 elementos en la σ− álgebra generada por {An}suponiendo que infinitos de los BI son no vacíos. En otro caso dicha σ− álgebra tendrá de manera natural cardinalfinito. Ver que esta σ− álgebra no podrá tener más elementos que ℵ1 requiere el uso de inducción transfiníta. Laidea es comenzando con la colección {Ai} generar una sucesión creciente de conjuntos, anexando en cada iterciónlos complementos de los elementos de la iteración anterior aasí como sus uniones y complementos de estas.
Como ya se vió anteriormente B puede ser generada por los intervalos abiertos de R, más aún esta puede sergenerada por una colección numerable de intervalos, basta considerar los intervalos de la forma (ai, bi) con i ∈N,
tales queai + bi
2∈ Q y
bi − ai2∈ Q (bolas abiertas de R con centro racional y radio racional) por lo tanto |B| = ℵ1.
Por otra parte la discusión anterior sobre el conjunto de Cantor C nos mostró que l∗(C) = 0 y también que|C| = ℵ1, la regularidad de l∗ indica que cada subconjunto de Cantor es medible. En particular tendrán medidacero, de donde existen por lo menos 2ℵ1 conjuntos medibles en el intervalo [0, 1]. El teorema de Cantor muestra queℵ1 < 2ℵ1 y concluimos de esta manera que existen conjuntos medibles que no son Borelianos. Como se mencionóanteriormente no es la inteción ejemplificar explícitamente este hecho.
La comparación entre 2R y F∗ se resuelve con el siguiente teorema.
Teorema 1.15. ([Rud81, p. 53]) Si A ⊂ R y cada subconjunto de A es Lebesgue medible entonces l∗(A) = 0.
La demostración de este teorema, el cuál es un resultado fundamental en la teoría de la medida, puede ser consul-tada en [Rud81, p. 53].
27
Es claro que al considerar implicación contrarrecíproca de este teorema obtenemos la comparación buscada. Estoes, todo subconjunto E de R tal que l∗(E) > 0 contiene por lo menos un conjunto no medible. Un ejemplo explicitode este resultado es el conjunto de Vitali, el cual es un subconjunto de R y no medible.
A continuación veremos un esquema de las relaciones que acabamos de presentar
Con lo anterior podemos empezar a construir la integral de Lebesgue, ya que como se ha mencionado durantetodo el trabajo el proceso de integración tiene una relación directa con la medida (en el caso particular de Riemanncon la longitud).
Trabajaremos ahora con un espacio de medida determinado (X, X, µ) (en el caso de la medida de Lebesgue na-turalmente será (R, F∗, l∗)) e introduciremos la notación M+ = M+(X, X) para denotar la colección de todas lasfunciones no negativas µ∗− medibles de X en R (El conjunto de los reales extendidos R = R ∪ {−∞,+∞}). Laconstruución de la integral de Lebesgue se realiza primero para la funciones no negativas, para ello empezaremoscon la definición de función simple que podríamos considerar (por ahora) como la generalización de la idea defunción escalonada en R.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 27]) Una función f a valor real es simple si ésta tiene un número finito devalores (Rango finito).
Surgen de manera natural los ejemplos tales como las funciones escalonadas definidas en un intervalo acotado deR, además de las funciones constantes entre otros. Dichas funciones simples tienen una representación estándar.Veamos, si ϕ es simple su representación estándar viene dada por
28
ϕ =n
∑j=1
ajXEj .
Donde aj ∈ R y XEj se denomina la función característica del conjunto Ej La cual es XEj(x) = 1 si x ∈ Ej yXEj(x) = 0 si x /∈ Ej para todo x ∈ X. En esta representación estándar cabe resaltar que los aj son todos distintos,
los Ej son subconjuntos de X disyuntos dos a dos y tales que X =n⋃
j=1
Ej.
Las funciones simples serán el pilar de nuestra integral de Lebesgue así como las particiones y las sumas superiorese inferiores lo fueron en la integral de Riemann, por ello y dado que lo necesitaremos más adelante definiremos laintegral de una función simple como sigue.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 28]) Si ϕ es una función simple en M+(X, X) con la represetación estándarque definimos anteriormente, nosotros definimos la integral de ϕ con respecto a la medida µ como el número realextendido ∫
ϕ dµ =n
∑j=1
aj µ(Ej).
Para ejemplificar la definición anterior y dado que el concepto de integral es más sencillo de interpretar gráficamn-te en R consideremos la función constante f (x) = c definida en el intervalo cerrado [a, b]. Es claro que f es una
función simple y f (x) = cX[a,b](x). La definición anterior indica que∫
f dl∗ = cl∗[a, b] = c(b − a), nótese que
la integral de Lebesgue (aceptando por ahora que la primera integral representa la de Lebesgue) coincide con lade Riemann de manera natural para funciones simples. En general este hecho se tiene por la definición de dichaintegral, como veremos más adelante.
Observación. Escapa del objetivo del trabajo demostrar algunas propiedades de esta integral, sin embargo no de-bemos desconocerlas. Estas propiedades se derivan en gran parte de la linealidad de la misma y pueden ser con-sultadas en [Bar11, chap. 4]
Así como es posible realizar aproximaciones de funciones relaes con funciones escalonadas, bajo ciertas restric-ciones es posible aproximar una función medible por medio de funciones simples el siguiente lema muestra unacaracterización importante de dicha aproximación.
Lema 1.1 (Aproximación por funciones simples). ([Bar11, p. 13]) si f es una función en M+(X, X), entonces existe unasucesión (ϕn) de funciones simples en M+(X, X) tal que
1. 0 ≤ ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) para x ∈ X, n ∈N.
2. f (x) = lım ϕn(x) para cada x ∈ X.
El lema anterior permite que la integral se extienda correctamente a funciones que no sean simples de la siguientemanera.
29
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 30]) Si f está en M+(X, X) nosotros definimos la integral de f con respecto a µ
como el número real extendido ∫f dµ = sup
∫ϕ dµ,
donde el supremo es extendido sobre todas las funciones simples ϕ en M+(X, X) que satisfacen 0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x)para todo x en X.
Notemos el hecho que la integral está bien definida en este sentido. El conjunto de las funciones simples quecumple la propiedad mencionada es no vacío ya que se puede considerar la función ϕ(x) = 0 para todo x ∈X y dicho conjunto esta acotado superiormente por la aproximación que nos proporciona el lema 1.1. Ademásla formula de la integral nos garantiza que siempre es posible calcular la misma para funciones medibles nonegativas. Es importante recordar que nosotros (por ahora) trabajamos con el conjunto R. Es decir que tanto lafunción como su integral podrían en principio tomar el valor de +∞. Basta considerar la función f (x) = +∞ paratodo x en X o integrar sobre un conjunto de medida infinita.
La integral de una función f sobre un conjunto que pertenezca a la σ− álgebra digamos A se define como
∫A
f dµ =∫
fXA dµ.
Como nos hemos dado cuenta en esta sección se realiza una construcción prácticamente desde ceros de la integral ypor ahora no hemos dicho que ya se presentó una definición de la integral de Lebesgue. Sin embargo estamos muycerca del objetivo. Es momento de ir un poco más allá y definir una integral para funciones que sean medibles perosin restringirlas a tomar valores no negativos. Esta sección se centra en funciones con valores a R y cuya integraltambién toma un valor en R (no en R). Para ello es necesario recordar la definición de la parte negativa y la partepositiva de una función.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 10]) Si f es cualquier función de X en R, sean f+, f− las funciones no negativasdefinidas por
f+(x) := sup{ f (x), 0}.f−(x) := sup{− f (x), 0}.
Las siguientes gráficas muestras ejemplos bastantes sencillos pero que en general pueden ayudar a interpretarmejor los conceptos de parte positiva y negativa de una función, los ejemplos se mostrarán en R2 por la comodidadpara gráficar, pero debe entenderse que estas funciones no son solo de R2 en R. Primero veremos en el mismo
30
plano(
f (x) = x3)+ en rojo y(
f (x) = x3)− en azul.
Esta definición fue necesaria ya que como nos dimos cuenta la construcción que realizamos hasta este momentonos permite integrar funciones no negativas, tendremos en consideración la linealidad de la integral para funcionesen M+(X, X) y el hecho de que f = f+ − f− para poder trabajar y entender un poco más la siguiente definición,la cual nos habla de uno de los espacios más conocidos en el análisis el espacio L1.
Definición. (Tomada de [Bar11, p. 41]) La colección L = L(X, X, µ) (También conocida como el espacio L1) defunciones integrables (O sumables) consiste de todas las funciones a valor real X− medibles f definidas en X,tales que la parte positiva f+ y la parte negativa f−, ambas, tienen integral finita con respecto a µ. En este caso sedefine la integral de f con respecto a µ como∫
f dµ =∫
f+ dµ−∫
f− dµ.
Si E ∈ X, nosotros definimos ∫E
f dµ =∫E
f+ dµ−∫E
f− dµ.
Esta integral es conocida como integral de Lebesgue. Y es el objeto de estudio de la siguiente sección donde sebuscará realizar una caracterización de esta y sus propiedades.
Observación. La definición anterior está dada en términos de funciones no negativas y sus integrales trabajadascon anterioridad. No es difícil ver que esta cumple todas las propiedades de la integral de Riemman tales comola linealidad, homogeneidad, desigualdad triangular entre otras. Todas estas propiedades pueden ser consultadasen [Bar11, Chap. 4]
1.3.1. Algunos teoremas importantes
Como se mencionó con anterioridad el objetivo es obtener una visión clara de la generalidad que se puede manejarcon los diferentes tipos de integrales, así como sus restricciones. Esta sección es tal vez la que nos muestra esteobjetivo de manera más clara, presentaremos a continuación los resultados que son base de la teoría de la mediday la integral de Lebesgue.
31
Teorema 1.16 (Teorema de la convergencia monótona). ([Bar11, p. 31]) Si ( fn) es un sucesión monótona creciente defunciones en M+(X, X) la cual converge a f , entonces∫
f dµ = lım∫
fn dµ.
Observación. Recordemos que un resultado similar se tiene para la integral de Riemann cuando la convergencia esuniforme.
Lema 1.2 (Lema de Fatou). ([Bar11, p. 33]) Si ( fn) está en M+(X, X), entonces∫(lım inf fn) ≤ lım inf
∫fn dµ.
Ejemplo 19. ([Rud81, p. 32], problema 8.) Pongamos fn = XE si n es impar, fn = 1− XE si n es par. ¿Cuál es larelevancia de este ejemplo en el lema de Fatou?
Esta claro que fn ∈ M+(X, X) para todo n = 1, 2, 3, . . ., además lım infn→∞
fn = 0. De donde es claro que
∫ (lım inf
n→∞fn dµ
)= 0.
Por otra parte∫
fn dµ =∫XE dµ =
∫E
dµ = µ(E) si n es impar. Si n es par se obtiene de manera análoga que∫fn dµ =
∫1−XE dµ =
∫Ec
dµ = µ(Ec). Por lo que se tiene que
lım infn→∞
∫fn dµ = mın {µ(E), µ(Ec)} .
En caso que mın {µ(E), µ(Ec)} 6= 0, obtenemos la desigualdad en el lema de Fatou. �
El siguiente teorema es tal vez el más fuerte y útil de los que se manejan en esta sección, debe hacerse notar lafortaleza de la conclusión así como la flexibilidad en las hipótesis.
Teorema 1.17 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue). ([Bar11, p. 31]) Sea ( fn) una sucesión de funcionesintegrables la cual converge en casí toda parte a una función medible de valor real f . Si existe una función integrable g tal que| fn| ≤ g para todo n, entonces f es integrable y∫
f dµ = lım∫
fn dµ.
Presentaremos a continuación un ejemplo del teorema anterior y la manera de emplearse.
Ejemplo 20. ([Rud81, p. 32], problema 7.) Supóngase que fn : X −→ [0, ∞] es medible para n = 1, 2, 3, · · · , f1 ≥f2 ≥ f3 ≥ · · · ≥ 0, fn(x) −→ f (x) cuando n −→ ∞, para cada x ∈ X y f1 ∈ L1(µ). Probar que entonces
lımn→∞
∫X
fn dµ =∫
Xf dµ.
Y muestre que esta conclusión no se tiene si la condición “ f1 ∈ L1(µ)” es omitida.
32
En efecto, dado que f1(x) ≥ fn(x) para todo n = 1, 2, 3, . . . y por la monotonía de la integral de Lebesgue, tendre-mos que fn(x) ∈ L1(µ) para todo n = 1, 2, 3, . . . ya que
sup∫
ϕn(x) ≤ sup∫
ϕ1(x) < ∞.
para toda función simple ϕn tal que 0 ≤ ϕn ≤ fn y para toda ϕ1 tal que 0 ≤ ϕ1 ≤ f1.
Así, por el teorema de la convergencia dominada de Lebesguese obtiene que
lımn→∞
∫X
fn dµ =∫
Xf dµ.
Por otra parte consideremos el conjunto N, la σ− álgebra de partes 2N y la medida de conteo. Tomemos la sucesiónfn(t) = 0 si m ≤ n y 1 en otro caso. Así se tendrá
lımn→∞
fn(m) = 0.
Sin embargo∫
Nfn = ∞. �
Observación. Nótese que el anterior ejemplo pudo resolverse por medio del teorema de la convergencia monótonaconsiderando la sucesión de funciones gn = f1 − fn.
33
CAPÍTULO 2
La integral de Henstock-Kurzweil (generalizada de Riemann)
2.1. Motivación
Con lo mencionado en el capítulo anterior, podríamos pensar que la integral de Lebesgue no tiene limitación. Estono es cierto este capítulo está dedicado a la reconstrucción del artículo [Bar96].
Empezaremos esta discusión presentando algunas de las dificultades que tiene la integral de Lebesgue.
Ejemplo 21 (Funciones cuya derivada no es Lebesgue integrable). Escapa de la intución que puedan existir funcio-nes cuya derivada no sea Lebesgue integrable, pero como se muestra en el siguiente ejemplo, esto en efecto es nomuy dificil de encontrar.
Consideremos F(x) = x2 sin(
1x2
)no sugiere mayor inconveniente probar que
F′(x) = 2x sin
(1x2
)− 2
xcos
(1x2
), F′(0) = 0.
Cuya grafica se presenta a continuación
34
La linealidad de la integral de Lebesgue permite sea suficiente probar que∫[a,b]
1x
cos(
1x2
)dx no es finita para
comprobar que en efecto F′
no es integrable en el sentido de lebesgue a pesar de admitir una primitiva.
Veamos, dado que12≤ cos
(1x2
)siempre que
1x2 ∈
(−π
3+ 2kπ,
π
3+ 2kπ
)para todo k ∈N de donde se obtiene
que
12
∞
∑k=1
√−π
3+ 2kπ X(
1√π3 +2kπ
, 1√− π
3 +2kπ
) ≤ [ 1x
cos(
1x2
)]+
Realizando la integral de[
1x
cos(
1x2
)]+con los conceptos introducidos en la sección anterior vemos que dicha
integral diverge, argumento que es suficiente para garantizar que F′
no es lebesgue integrable.
Al problema anterior podemos sumarle que existen integrales impropias como la integral de Dirichlet la cual esconvergente en el sentido de Riemann impropio pero no es convergente en el sentido de Lebesgue. Este es un vacíoen la teoría según como la hemos planteado hasta el momento y una gran falencia ya que nosotros consideramosla integral de Lebesgue como una generalización de la integral de Riemann. Veamos esto con más detalle. Si
definimos la función f (x) =sin(x)
x. Para calcular
∫R
sin(x)x
dx.
Existen varios caminos, como usar variable compleja o transformada de Laplace y sus propiedades, de donde se
obtiene que∫
R
sin(x)x
dx = π.
35
Por otro lado, recordemos que f ∈ L1 si y solo si | f | ∈ L1, este es el hecho que usaremos para mostrar quesin(x)
x/∈ L1, en efecto, calculemos
∫R
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx =∫ +∞
−∞
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx
=∫ +∞
0
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx.
Sea N ∈N realizarémos la integral primero sobre un intervalo de la forma [π, (N + 1)π] y concluiremos tomandolimite cuando N −→ +∞. Veamos
∫ (N+1)π
π
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx =N
∑k=1
∫ (k+1)π
kπ
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx.
Si hacemos x = t + kπ obtenemos por sutitución que
N
∑k=1
∫ (k+1)π
kπ
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx =N
∑k=1
∫ π
0
∣∣∣∣ sin(t + kπ)
t + kπ
∣∣∣∣ dt
=N
∑k=1
∫ π
0
|sin(t + kπ)|t + kπ
dt.
Es claro que el objetivo es mostrar que la integral anterior diverge, para ello debemos realizar una estimación,dado que t ∈ [0, π] se tendrá que
N
∑k=1
∫ π
0
|sin(t + kπ)|t + kπ
dt ≥N
∑k=1
∫ π
0
|sin(t + kπ)|(k + 1)π
dt
=N
∑k=1
1(k + 1)π
∫ π
0|sin(t + kπ)| dt
=N
∑k=1
1(k + 1)π
∫ π
0|sin(t)| dt
=N
∑k=1
1(k + 1)π
∫ π
0sin(t) dt
.
Realizando integración elemental y tomando limite como se mecionó anteriormente obtenemos
36
∫ +∞
0
∣∣∣∣ sin(x)x
∣∣∣∣ dx ≥ 2π
+∞
∑k=1
1(k + 1)
.
Es notorio que el término a la derecha diverge, así∣∣∣∣ sin(x)
x
∣∣∣∣ ∈ R(R) y además∣∣∣∣ sin(x)
x
∣∣∣∣ /∈ L1(R).
Observación. Lo anterior proporciona directamente otro ejemplo de una función derivable en todo punto pero quesu derivada no está en L1.
Consideremos F(x) = x − x3
3 · 3!+
x5
5 · 5!− x7
7 · 7!+ · · · es claro que F es derivable para todo x ∈ R, además
F′(x) = 1− x2
3!+
x4
·5!− x6
·7!+ · · · que es la expansión en series de potencias de
sin(x)x
/∈ L1.
Es claro que los resultados más fuertes de la integral de Riemann son los teoremas fundamentales del cálculo ylos de la integral de Lebesgue son los teoremas de convergencia. Si pensamos en los teoremas fundamentales o lasfórmulas de sustitución para integrales que son sencillos de probar para la integral de Riemann, estos no lo sonen la integral de Lebesgue. Esta es otra de las difícultades que maneja dicha integral, es por ello que en [Bar96]se plantea la necesidad de dejar de considerar la integral de Lebesgue como la principal y motivar al uso de unageneralización de la integral de Riemann. Podremos notar más adelante que dicha integral es más general que lade Lebesgue y corrige los inconvenientes presentados en la discusión anterior.
2.2. Definiciones
La integral que se pretende introducir a continuación es, como ya se mencionó, una generalización de la integralde Riemann, la cuál tiene una forma muy similar a la integral de Riemann, pero un alcance que supera a la integralde Lebesgue. Esta generalización fue presentada por Jaroslav Kurzweil y Ralph Henstock alrededor de 1960.
El trabajo en adelante se realizará sobre un intervalo I = [a, b], a < b en R y funciones con valores finitos en R.Comenzaremos esta discución al igual que en el capítulo inicial, con el concepto de partición, salvo que ahora sedesea introducir un representante de cada elemento de la partición, así se obtiene.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 626]) Una partición etiquetada P := {([xi−1, xi], ti)}ni=1 es un conjunto finito de
pares ordenados, donde los intervalos cerrados Ii = [xi−1, xi] forman una partición de I y los números ti ∈ Ii sonllamados las correspondientes etiquetas.
En este caso las sumas de Riemann se definen de manera análoga al desarrollo que se hizó para la integral deRiemann, esto es, si P es una partición etiquetada y la función f : I −→ R, entonces la suma de Riemann S( f ; P)de f correspondiente a P es el número
S( f ; P) :=n
∑i=1
f (ti)(xi − xi−1).
37
Nótese que hasta el momento todo lo que se plantea coincide con el desarrollo de la integral de Riemann oRiemann- Stieltjes, la falta de generalidad de ésta radica en el uso de la norma de la partición, para acotar elnúmero que consideramos como la integral. En ese orden de ideas la intención es reemplazar dicha constante poruna función. Para ello es necesario ver que tipo de funciones son las indicadas para este fin.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Una función δ estrictamente positiva en I es llamada un calibrador en I.
Surgen de manera inmediata varios ejemplos de calibradores en I, como las funciones constantes, el cuál no es demucho interés ya que nos devuelven al caso de la integral de Riemann.
Observación. Es importante resaltar que la funcón δ no es necesariamente continua, ni acotada. En general podríaser una función no muy sencilla de trabajar, veremos más adelante que al igual que en la integral de Riemann, laidea para calcular la integral generalizada será encontrar un calibrador adecuado.
Trabajaremos un concepto similar al de norma de una partición. Si δ es un calibrador en I y P := {([xi−1, xi], ti)}ni=1
es una partición etiquetada de I, diremos que P es δ− fina si
0 < xi − xi−1 ≤ δ(ti) para i = 1, 2, . . . , n.
Ejemplo 22 (Partición δ− fina). Consideremos I = [1, 3] y la partición etiquetada
P :={([
1,32
],
32
),([
32
, 2]
, 2)
,([
2,52
],
52
),([
52
, 3]
, 3)}
Y el calibrador δ1 =1x
, es claro que esta partición no es δ1− fina ya que xi − xi−1 =12
para i = 1, 2, 3, 4. Basta
considerar δ1(t4) =13
, así x4 − x3 = 3− 52=
12> δ1(t4) =
13
.
Sea δ2 = x, tendremos que P, en efecto es δ2− fina. No requiere de mucho corroborar este hecho. Veamos la gráficade la situación anterior.
38
Donde l representa la longitud de cada In con i = 1, 2, 3, 4. La intuición nos dice que cuando el calibrador presentaun comportamiento, por llamarlo de alguna manera, asintótico hacia cero, la norma de la partición debe ser, entérminos vagos, lo suficientemente pequeña. Abordaremos esto con un poco más de detalle.
Pretendemos mostrar a continuación que dado un calibre δ en I, existirá siempre una partición δ− fina. En efecto,no sugiere ningún inconveniente verificar este hecho cuando los valores de δ en I son suficientemente grandes. Elejemplo anterior da una idea de que el problema es garantizar dicha partición cuando δ toma valores arbitraria-mente cercanos a 0 en I. Para ello utilizarémos el siguiente teorema.
Teorema 2.18 (Propiedad de los intervalos anidados). ([Bar82, p. 47]) Si n ∈ N, sea In un intervalo no nulo en R ysupongamos que la sucesión es anidada en el sentido que
I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ In+1 ⊇ · · · .
Entonces existe un elemento el cual pertenece a todos los intervalos.
Escapa del objetivo del trabajo presentar la demostración de este teorema. Su prueba puede ser consultada en[Bar82, p. 47].
Presentaremos una idea de la demostración, consideremos el intervalo [0, 1] y δ(x) > 0 para todo x ∈ [0, 1]. El casogeneral puede demostrarse de manera análoga. Si δ(x) ≥ 1 para todo x, no hay nada que probar (La partición δ−fina será el mismo intervalo [0, 1]). Si por el contrario existe x0 ∈ [0, 1] tal que δ(x0) < 1 entonces realizaremos unapartición de [0, 1] en dos subintervalos [0, 1
2 ] y [ 12 , 1], si δ(x) ≥ 1
2 para todo x ∈ [ 12 , 1] agregamos [ 1
2 , 1] a la partición
39
δ− fina. Nuevamente si δ(x) ≥ 12 para todo x ∈ [0, 1
2 ] no hay nada que probar (Anexamos [0, 12 ] a la partición).
Pero si existe x1 ∈ [0, 12 ] tal que δ(x1) < 1
2 dividimos el intervalo que estamos trabajando en los subintervalos[0, 1
4 ] y [ 14 , 1
2 ] y aplicamos nuevamente la idea anterior. Es claro que o bien construimos una partición δ− fina enfinitas repeticiones del algoritmo anterior o estamos construyendo una suceción de intervalos encajados como en
el teorema anterior. Es claro que µ(In) =1
2n−1 , donde In es obtenido en la n− esima iteración. Existe una etiquetapara cada uno de estos intervalos llamemola ti y la propiedad de los intervalos encajados nos dice que existe un
único x0 ∈ ∪In. Además, la propiedad arquimediana indica que existe N0 ∈ N tal que µ(IN0) ≤1
2N0−1 < δ(x0).
Lo que en efecto muestra que existe una partición etiquetada P δ− fina, para cualquier calibrador δ en [a, b].
Dicho esto, procedemos a presentar la generalización de la integral que buscamos.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Un número B ∈ R es la integral generalizada de Riemann de una funciónf : I −→ R si para todo ε > 0 existe un calibrador δε en I tal que si P := {([xi−1, xi], ti)}n
i=1 es cualquier particiónde I que es δ− fina, entonces
|S( f ; P)− B| ≤ ε.
En este caso escribimos f ∈ R∗(I) y denotamos B = R∗∫
If = R∗
∫ b
af .
Observación. El número B es único, esta afirmación es sencilla de probar y la demostración es análoga a la que sepresenta habitualmente para la integral de Riemann. Se debe tener también que si los valores de una función f enR∗(I) son modificados en un conjunto de medida cero la función resultante también está en R∗(I) y además suintegral debe coincidir.
La última afirmación será enunciada a manera de teorema ya que su interpretación y demostración es particular-mente interesante.
Teorema 2.19. ([Bar96, p. 627]) Si f ∈ R∗(I) y g = f en casi toda parte (µ), entonces g ∈ R∗(I) y su integral generalizadade Riemann coincide con la de f .
Demostración. La integrabilidad generalizada de g es inmediata. Basta recordar la discusión que se planteó sobrelos conjunto de medida cero. El teorema es equivalente a probar que si h = 0 en casi toda parte (µ) en I entonces
R∗∫
Ih = 0.
Para ello consideremos el conjunto E = {x ∈ I : h(x) 6= 0}, para cada n ∈ N sea
En =
{x ∈ E : |h(x)| > 1
n
}La regularidad de la medida de Lebesgue indica que µ(En) = 0 para todo n ∈ N. Dado ε > 0, sea On tal que
En ⊂ On y µ(On) <ε
n2n . Definamos el calibrador en [a, b] como δ : [a, b] −→ R
g(x) =
{ınf {|x− a| : a ∈ (On)c} x ∈ En
1 x ∈ [a, b] \ En
40
Consideremos P = {([xi−1, xi], ti)}ni=1 una partición etiquetada δ− fina de [a, b], recordemos que siempre es posible
hallar una para cada n ∈ N. Definimos Pn ={(
[xj−1, xj], tj)}k≤n
j=1 tal que tj ∈ En. De la construcción es claro quePn ⊂ P, por lo que
|S(Pn, h)| =
∣∣∣∣∣k≤n
∑j=1
h(ti)(xi − xi−1)
∣∣∣∣∣≤ n µ(On)
≤ ε
2n
= ε
Si consideramos h = f − g obtenemos
R∗∫
Ih = R∗
∫I( f − g)
= R∗∫
If −R∗
∫I
g
= 0.
De dondeR∗∫
If = R∗
∫I
g.
Cabe resaltar que en la demostración anterior se usa la linealidad de la integral generalizada de Riemann, lo cualno se ha probado y en efecto es cierto. La demostración de esto no sugiere mayor dificultad.
El cálculo de la integral de Riemann generalizada claramente consiste en encontrar un calibrador adecuado quecumpla la definición. Este proceso no es en general sencillo, de hecho en la mayoría de los casos para funcionesque no sean elementales, dicha búsqueda puede resultar bastante compleja. Sin embargo existen diferentes tiposde mecanismos que permiten realizar el cálculo de integrales generalizadas de Riemann de manera más sencilla yevitando hallar el calibrador adecuado. Uno de ellos es el criterio de Cauchy.
Teorema 2.20 (Criterio de Cauchy). ([McL80, p. 51]) La función f : I −→ Rq es Riemann generalizada integrable en I sipara todo ε positivo existe un calibrador γ tal que |S( f ; P1)− S( f ; P2)| < ε para toda P1, P2 particiones γ− finas.
La prueba de este criterio no sugiere mayor dificultad y puede ser consultada en [McL80, p. 51]. Evidentemente eneste trabajo estamos trabajando el caso q = 1. La generalización para Rq es en términos generales bastante similary todos los resultados que se probaron hasta este punto y los que se desarrollan en adelante son validos.
Como se había mencionada este criterio no requiere del calibrador para realizar el cálculo explicito de la integralgeneralizada de Riemann. En la siguiente sección presentaremos ejemplos que son de interés por el objetivo deltrabajo que estamos desarrollando y se emplean diferentes ténicas para los cálculos.
2.3. Algunos ejemplos importantes
Esta sección esta dedicada a que los lectores puedan ver que efectivamente el conjunto de funciones que es posibleintegrar con la integral generalizada de Riemann en un intervalo I (R∗(I)), más grande que los que generan la
41
integral de Riemann o la de Lebesgue. Además de ello, podremos observar que las integrales coinciden siempreque se puedan calcular, entre otros hechos interesantes.
Ejemplo 23. (Tomada de [Bar96, p. 627]) No esta de más aclarar que cada función Riemann integrable es R∗ in-tegrable (Riemann generalizada integrable). Basta considerar el calibrador δ(x) = δ, donde naturalmente δ es laconstante adecuada para la integración de Riemann.
Ejemplo 24. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Consideremos la función de Dirichlet h(x) en el intervalo [0, 1], esto es
h(x) =
{1 x ∈ Q∩ [0, 1]0 x /∈ Q∩ [0, 1]
Veremos que h ∈ R∗([0, 1]) y queR∗∫ 1
0h = 0.
En efecto, llamemos E = {ri : ri ∈ Q∩ [0, 1]}, es decir el conjunto de los racionales en [0, 1], este conjunto esclaramente un conjunto enumeráble, dado ε > 0 definimos el calibrador δε como
δε(x) =
{ ε
2i+1 x ∈ E (recordemos que si x ∈ E, x = ri para algún i ∈N)
1 x /∈ E
No cabe duda que δε es un calibrador en [0, 1]. Si P es una partición etiquetada δ− fina, más de dos subintervalosde dicha partición no podrán tener al mismo ri como etiqueta, serán dos en el caso que el subintervalo j−ésimotenga como etiqueta su extremo derecho y sea un número rácional y el subintervalo j + 1− ésimo tenga comoetiqueta su extremo izquierdo. Es claro además que dichos subintervalos cuya etiqueta sea ri tendrán longitud a
lo másε
2i+1 .
Para calcular S(h; P) observemos que los subintervalos que tienen como etiqueta un número irracional no contri-buyen en nada a dicha suma y los intervalos que tienen como etiqueta a ri, contribuirán a lo más con
h(ri)(xi − xi−1) + h(ri)(xi+1 − xi) ≤ 2ε
2i+1
=ε
2i .
Por lo anterior, tenemos que
0 ≤ S(h; P) ≤∞
∑i=1
ε
2i = ε.
Como ε se tomó arbitrario, se sigue que h ∈ R∗([0, 1]) yR∗([0, 1])∫ 1
0h = 0. �
Para introducir el siguiente ejemplo el cual es uno de los objetivos del trabajo, es necesario utilizar algunos teore-mas y definiciones que aun no han sido enunciados, los veremos de manera breve a continuación.
42
Definición. (Tomada de [Rud81, p. 37]) Sea f una función real en un espacio topologico. Si
{x : f (x) > α}
Es abierto para todo α real, f es llamada semicontinua inferiormente. Si
{x : f (x) < α}
Es abierto para todo α real, f es llamada semicontinua superiormente.
Usaremos la restricción a R como espacio métrico, en el ejemplo que tenemos por objetivo desarrollar y unaequivalencia de esta deficnión que notaremos cuando sea preciso. Tmabién se requiere del siguiente resultado.
Teorema 2.21 (Teorema de Vitali-Carathéodory). ([Rud81, p. 56]) Supongase que f ∈ L1(µ), f es una función a valorreal y ε > 0 entonces existen funciones u y v en X tales que u ≤ f ≤ v, u es semicontinua superiormente y acotadasuperiormente, v es semicontinua inferiormente y acotada inferiormente y∫
X(v− u) dµ < ε.
La demostración de teorema anterior puede ser consultada en [Rud81, p. 56]. Con estos nuevos conceptos podemosdesarrollar el siguiente ejemplo.
Ejemplo 25. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Cada función Lebesgue integrable en I está enR∗(I).
En efecto, sea f ∈ L1([a, b]), dado ε > 0 por el teorema de Vitali-Carathéodery, existen funciones u, v ∈ L1([a, b])tales que u ≤ f ≤ v, u es semicontinua superiormente, v es semicontinua inferiormente y además
L∫ b
a(v− u) dµ < ε.
Donde L∫
representa la integral de Lebesgue. La semicontinuidad de u y de v, considerando α = f (x) permiteencontrar δ(x) > 0 tal que u(t) ≤ f (x) ≤ v(t) donde t ∈ (x− δ(x), x + δ(x)) ∩ [a, b]. δ(x) resulta ser un calibradoren [a, b] de manera natural. Sea P = {([xi−1, xi], ti)}n
i=1 una partición etiquetada de [a, b] δ− fina, se obtiene que
L∫ xi
xi−1
u dµ ≤ f (ti)(xi − xi−1) ≤ L∫ xi
xi−1
v dµ.
Para i = 1, 2, . . . , n, sumando sobre i, la aditividád de la integral de Lebesgue permite
L∫ b
au dµ ≤
n
∑i=1
f (ti)(xi − xi−1) ≤ L∫ b
av dµ. (2.1)
Por otra parte, de la monotonía de la integral de Lebesgue se establece que
L∫ b
au dµ ≤ L
∫ b
af dµ ≤ L
∫ b
av dµ. (2.2)
43
Combinando (2.1) y (2.2) se obtiene que
n
∑i=1
f (ti)(xi − xi−1)− L∫ b
af dµ ≤ L
∫ b
a(v− u) dµ.
y
n
∑i=1
f (ti)(xi − xi−1)− L∫ b
af dµ ≥ −L
∫ b
a(v− u) dµ.
De donde
∣∣∣∣∣ n
∑i=1
f (ti)(xi − xi−1)− L∫ b
af dµ
∣∣∣∣∣ < ε, así f ∈ R∗([a, b]) y además
L∫ b
af dµ = R∗
∫ b
af .
�
La siguiente sección hace parte de la caracterización que se pretende hacer de la integral generalizada de Riemann,veremos algunos ejemplos que se desprenden de los resultados obtenidos en dicha sección.
2.4. Teoremas relevantes para el cálculo de la integral generalizada de Rie-mann
Como ya se estableció anteriormente, una de las características más convenientes de la integral de Riemann espoder integrar cualquier función que sea derivable. Esto no sucede en la integral de Lebesgue como pudimosobservar en la motivación que se presentó de la integral generalizada de Riemann. A continuación presentaremosel teorema que permite la integración en el sentido de Riemann generalizado para funciones derivables.
2.4.1. Teorema fundamental del cálculo
La teoría de la integración abstracta (integral de Lebesgue) que se presentó anteriormente ha sido susceptible acrítica en varias ocasiones, en gran parte por matemáticos qué buscan presentar el siguiente resultado con unaintegral que no limite su poder y sea sencilla de trabajar.
Teorema 2.22 (Teorema fundamental I). ([Bar96, p. 628]) Si F : [a, b] −→ R es diferenciable en cada punto de I := [a, b],entonces f = F
′está enR∗(I) y
R∗∫ b
af = F(b)− F(a).
44
Demostración. Sea t ∈ I, dado ε > 0, existe δε(t) > 0 tal que si 0 < |z− t| ≤ δε(t), con z ∈ I, entonces∣∣∣∣ F(z)− F(t)z− t
− f (t)∣∣∣∣ ≤ ε.
Este calibrador está bien definido ya que F′(t) = f (t). Variando t ∈ I hemos definido un calibrador en I. Por otra
parte, si |z− t| ≤ δε(t), x ∈ I se tendrá que∣∣∣∣ F(z)− F(t)z− t
− f (t)(z− t)z− t
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ F(z)− F(t)− f (t)(z− t)z− t
∣∣∣∣=|F(z)− F(t)− f (t)(z− t)|
z− t≤ ε.
Así obtenemos que
|F(z)− F(t)− f (t)(z− t)| ≤ ε(z− t).
Si fijamos t y consideramos u, v ∈ I tales que a ≤ u ≤ t ≤ v ≤ b y 0 ≤ v− u ≤ δε(t), se tendrá que
|F(v)− F(u)− f (t)(v− u)| = |F(v)− F(t) + F(t)− F(u)− f (t)(v− t + t− u)|= |F(v)− F(t) + F(t)− F(u)− f (t)(v− t)− f (t)(t− u)|≤ |F(v)− F(t)− f (t)(v− t)|+ |F(t)− F(u)− f (t)(t− u)|≤ ε(v− t) + ε(t− u)
= ε(v− u).
Con lo que, si P := {([xi−1, xi], ti)}ni=1 es una partición δε− fina de I, entonces
|F(b)− F(a)− S( f ; P)| =
∣∣∣∣∣ n
∑i=1{F(xi)− F(xi−1)− f (ti)(xi − xi−1)}
∣∣∣∣∣≤
n
∑i=1|F(xi)− F(xi−1)− f (ti)(xi − xi−1)|
≤n
∑i=1
ε(xi − xi−1)
= εn
∑i=1
(xi − xi−1)
= ε(b− a).
Dado que ε > 0 se tomó arbitrario, se sigue que f ∈ R∗(I) yR∗∫ b
af = F(b)− F(a).
45
El teorema anterior puede extenderse con relativa facilidad a funciones que son la derivada de una función con-tinua excepto en un conjunto contable de puntos en I, lo que permite anexar una gran cantidad de funcionesa nuestro conjunto R∗(I). Cabe resaltar la existencia de una versión del teorema fundamental del cálculo parala integral de Lebesgue, podríamos realizar una comparación de esté con el teorema demostrado recientementepero basta con un vistazo a ambos para encontrar mayor conveniencia en el que aquí presentamos. El teoremafundamental del cálculo versión Lebesgue puede ser consultado en [Rud81, p. 144].
A continuación presentaremos un ejemplo del uso del teorema fundamental que nos da una visión de la relaciónentre la integración en el sentido impropio de Riemann y la integración en el sentido de Riemann generalizado.
Ejemplo 26. (Tomada de [Bar96, p. 629]) Consideremos la función
f (x) :=
1√x
x ∈ (0,1]
0 x = 0
Es claro que f (x) ∈ R∗([0, 1]), ya que f es la derivada de F(x) := 2√
x con excepción de x = 0.
De donde obtenemos queR∗∫ 1
0
1√x= 2√
x∣∣10 = 2.
No es desconocido que la función f (x) tiene una integral de Riemann impropia, lo que nos lleva a pensar queen virtud de la definición y del teorema fundamental a cada integral de Riemann impropia le corresponde unaintegral de Riemann generalizada ordinaria. No hemos realizado ninguna demostración de este hecho.
En el siguiente ejemplo presentamos por primera vez de manera explícita una función que no es Lebesgue niRiemann integrable pero si es integrable en el sentido de Riemann generalizado. Para ello recordemos la siguientedefinición.
Definición. (Tomada de [Rud81, p. 145]) Una función compleja f , definida en un intervalo I = [a, b], es llamaabsolutamente continua en I si para todo ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que
n
∑i=1| f (βi)− f (αi)| < ε
Para todo n y cualquier colección de segmentos (α1, β1), . . . , (αn, βn) en I cuya longitud satisface
n
∑i=1
(βi − αi) < δ.
Procedemos ahora con el ejemplo
Ejemplo 27. (Tomada de [Bar96, p. 627]) Existen funciones enR∗(I) que no están en L1(I).
En efecto, considere la función
F(x) :=
x2 cos
( π
x2
)si x ∈ (0, 1]
0 si x = 0
46
Ya trabajamos un ejemplo similar anteriormente, es claro que la función F(x), posee una antiderivada que de hechono es acotada, a saber
F′(x) :=
2x cos
( π
x2
)− 2π
xsin( π
x2
)si x ∈ (0, 1]
0 si x = 0
Del teorema fundamental se obtiene que F′(x) ∈ R∗([0, 1]) y además
R∗∫ 1
0F′
= F(1)− F(0)
= −1.
Dado que la función F(x) no es absolutamente continua (existe una caracterización al respecto que puede serconsultada en [Rud81, p. 146]), se tendrá que F
′(x) /∈ L1([0, 1]). �
Es claro que la no integrabilidad de F′
en el sentido de Lebesgue pudo haberse demostrado calculando la integralde la parte positiva y negativa como al inicio de este capitulo.
Observación. Es momento de resaltar la importancia de la generalización que se mencionó del teorema fundamentalsobre conjuntos contables. Cabe preguntarse sobre la posibilidad de extendernos a conjuntos de medida cero. Estoes, si F
′es la derivada de una función continua excepto en un conjunto de medida cero en I, ¿Vale el teorema
fundamental expuesto en esta sección?
La respuesta en este caso es negativa, veamos un contraejemplo para ello.
Ejemplo 28. Consideremos la función de cantor notada por ϕ, que puede encontrarse en [Bri10, p. 232] es claroque ϕ : [0, 1] −→ R es continua sobre [0, 1] y ϕ
′= 0 en casi toda parte (µ) de [0, 1], la función de Cantor está en
R∗([0, 1]) sin duda. Además
R∗∫ 1
0ϕ′(t) = 0.
Sin embargo, ϕ(1)− ϕ(0) = 1, lo que ratifica nuestra afirmación. �
Por ello solo trabajaremos el teorema fundamental generalizando a conjuntos contables.
Finalizamos esta sección presentando algunos ejemplos del uso del teorema fundamental de manera explicita.
Ejemplo 29. (Tomada de [McL80, p. 45], problema 9.) Aplique el teorema fundamental para evaluar la integral decada una de las siguientes funciones.
f (0) = 1 y f (x) = x−k, 0 < x ≤ 1 donde 0 < k < 1.
Para ello vemos que f es la derivada de
F(x) =x−k+1
−k + 1.
47
Salvo en x = 0, por lo que
R∗∫ 1
0f = F(1)− F(0)
= 1.
f (x) = sin(x) cuando x ∈ I y f (x) = x cuando x ∈ Q, 0 ≤ x ≤ π.
Ya se mostró que dos funciones iguales salvo un conjunto de medida cero tendrán la misma integral genera-lizada de Riemann, por lo que
R∗∫ π
0f (x) = 2.
Nótese la flexibilidad del teorema fundamental, la utilidad del mismo y el alcance de su conclusión. No es que lasintegrales anteriores no se puedan calcular en el sentido de Riemann o de Riemann impropio, si no que el teoremafundamental evita los inconvenientes con los límites o con los conjuntos de discontinuidades que podrían surgircon las otras integrales.
La siguiente sección está dedicada a una de las ventajas más grandes que tiene la integración en el sentido deRiemann usual sobre las otras integrales: Los teoremas de sustitución. Además se pretende exponer una mejoraconsiderable en lo que se conoce y se trabaja habitualmente de dichos teoremas para conseguir un resultado muchomás significativo.
2.4.2. Teoremas de sustitución
A continuación presentaremos dos teoremas que se derivan del teorema fundamental expuesto en la sección an-terior. Estos teoremas pretenden mostrar una mejora en la formula de sustitución habitual que se tiene para elcálculo integral.
Teorema 2.23 (Teorema de sustitución I). ([Bar96, p. 629]) Sea ϕ : [a, b] −→ R diferenciable en I := [a, b] y sea Fdiferenciable en el intervalo ϕ(I). Si f (x) = F
′(x) para todo x ∈ ϕ(I) entonces se cumple que
R∗∫ ϕ(b)
ϕ(a)f = R∗
∫ b
a( f ◦ ϕ) ϕ
′.
Demostración. Recordemos que la regla de la cadena indica que (F ◦ ϕ)′(x) = ( f ◦ ϕ) (x)ϕ
′(x) para todo x ∈ [a, b],
si aplicamos en teorema fundamental obtenemos que
R∗∫ b
a( f ◦ ϕ) ϕ
′= (F ◦ ϕ)|ba
= F|ϕ(b)ϕ(a)
= R∗∫ ϕ(b)
ϕ(a)f .
48
Nótese que el teorema anterior solo utiliza la regla de la cadena, que es independiente de la teoría de integraciónque se esté desarrollando y el teorema fundamental, lo que ratifica la utilidad del mismo.
El siguiente ejemplo trata de ilustrar la rapidez con la que pueden ser resueltas integrales en el sentido de Riemanngeneralizado, sin tener que preocuparnos por ejemplo del límite en caso de ser impropias.
Ejemplo 30. ([McL80, p. 61]) CalcularemosR∗∫ ∞
0x−2e−
1x dx.
Considerando la sustitución t = x−1, obtenemos que dt = −x−2 dx, así
R∗∫ ∞
0x−2e−
1x dx = R∗
∫ 0
∞−e−t dx
= e−t∣∣0∞
= 1.
El teorema que presentaremos a continuación no es tan sencillo de demostrar como el anterior. De hecho no esposible realizar la demostración sin recurrir a las sumas de Riemann como veremos más adelante.
Sin embargo la demostración de una de sus implicaciones también se deriva del teorema fundamental.
Teorema 2.24 (Teorema de sustitución II). ([Bar96, p. 629]) Sea ϕ una función estrictamente creciente y diferenciable deI := [a, b] en ϕ(I) = [ϕ(a), ϕ(b)]. Entonces f está enR∗(ϕ(I)) si y solo si ( f ◦ ϕ) ϕ
′está enR∗(I). En ese caso se cumple
que
R∗∫ ϕ(b)
ϕ(a)f = R∗
∫ ϕ(b)
ϕ(a)( f ◦ ϕ) ϕ
′.
Demostración. Supongamos primero que ( f ◦ ϕ) ϕ ∈ R∗(I), llamemos g = ( f ◦ ϕ) ϕ′, es claro que siR∗
∫ b
ag existe
luego f tendrá una primitiva y por el teorema anterior es claro que
R∗∫ ϕ(b)
ϕ(a)f = R∗
∫ b
a( f ◦ ϕ) ϕ
′.
Ahora supongamos queR∗∫ ϕ(b)
ϕ(a) f existe y asumamos por ahora f continua.
Sea ε > 0 es claro que podemos definir un calibrador δ en [a, b] tal que |S(( f ; P1))− S((g; P2))| < ε donde P2
es cualquier partición δ− fina de [a, b] y P1 es la partición de [ϕ(a), ϕ(b)] correspondiente a las imágenes de loselementos de P2 mediante ϕ. Por ser ϕ continua, se tendrá que dado un calibrador δ1 en [ϕ(a), ϕ(b)] podemosrestringir δ de manera que si P1 es δ1− fina entonces P2 es δ2− fina. De donde
R∗∫ ϕ(b)
ϕ(a)f = R∗
∫ b
a( f ◦ ϕ) ϕ
′.
Por otro lado es claro ϕ−1 existe, es continua y uno a uno, además ϕ−1 es derivable en [a, b].
Intercambiando ϕ−1 y f en l prueba anterior por , el resultado se sigue.
49
Para ver la utilidad del teorema anterior consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo 31. ([Bar01, p. 215]) CalcularR∗∫ 2
0
(1 +√
x)−1
Haciendo f (u) :=(1 +√
u)−1 y ϕ(x) =
√x para x ∈ (0, 2] obtenemos que
R∗∫ 2
0
(1 +√
x)−1 dx = R∗
∫ √2
0(1 + u)−1 (2u) du
= 2[√
2− ln(
1 +√
2)]
.
Los dos teoremas de sustitución pueden llevarse a una forma más general de la misma manera que se comentópara el teorema fundamental. Es decir salvo conjuntos contables. En este caso salvo conjuntos contables para lascondiciones sobre ϕ. Lastimosamente no es posible hacer la generalización con conjuntos de medida cero, para vermás en detalle lo anterior consultar [Iri07]
2.5. Integrales impropias
Esta sección esta dedicada a la caracteización de las integrales impropias. El trabajo se desarrollará vía teoremade Hake, es un resultado que nos permite, por ejemplo, especificar la relación entre las integrales impropias deRiemann y las integrales generalizadas de Riemann con más precisión (ya habiamos presentado una idea).
Es necesario presentar un resultado sobre el cual descansa gran parte de la teoría que desarrollaremos en lo quesigue.
Lema 2.3 (Lema de Henstock). ([Bar01, p. 76]) Sea f ∈ R∗([a, b]) y para todo ε > 0 sea δε un calibrador en I tal que siP es una partición δε− fina, entonces ∣∣∣∣S( f , P)−R∗
∫I
f∣∣∣∣ < ε.
Si P0 ={(Jj, tj) : j = 1, 2, . . . , s
}es cualquier subpartición de I, δε− fina entonces∣∣∣∣∣ s
∑j=1
{f (tj)l(Jj)−R∗
∫Jj
f
}∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣S( f ; P0)−R∗
∫U(P0)
f∣∣∣∣ ≤ ε.
Donde
1. l(Jj) representa la longitud del subintervalo Jj
2. S( f ; P0) =s
∑j=1
f (tj)l(Jj)
3. R∗∫
U(P0)f =
s
∑j=1
∫Jj
f .
50
No presentaremos en este documento la demostración del lema de Henstock, sin embargo se advierte la impor-tancia del mismo y se sugiere consultar su demostración. Algunas referencias para ello son [Bar01, p. 76],[McL80,p. 90]y [Bri10, p. 870].
Estamos ahora en condiciones de estudiar el teorema central de esta sección.
Teorema 2.25 (Teorema de Hake). ([Bar96, p. 629]) Una función f está en R∗([a, b]) si y solo si está en R∗([a, c]) para
todo c ∈ (a, b) y lımc→b−
R∗∫ c
af existe en R. En ese caso
R∗∫ b
af = lım
c→b−R∗
∫ c
af .
Para la prueba de este resultado, que es sin lugar a duda fundamental para el trabajo que se está realizando,seguiremos las ideas en [Bri10, p. 872]
Demostración. En primer lugar supongamos que f ∈ R∗([a, b]), consideremos la función
F(x) := R∗∫ b
af para todo x ∈ [a, b].
En la siguiente sección analizaremos más a fondo la función F(x), el lema de Henstock indica que F es continuasobre [a, b] por lo tanto
R∗∫ b
af = F(b) = lım
c→b−F(c)
= lımc→b−
R∗∫ c
af .
Ahora supongamos que f ∈ R∗([a, c]) para todo c ∈ (a, b) y que lımc→b−
R∗∫ c
af existe. Sea ε > 0, consideremos la
suceción {cn}∞n=0 en [a, b] estrictamente creciente y tal que c0 = a y lım
n→∞cn = b, como existe A ∈ R tal que
A = lımc→b−
R∗∫ c
af .
Podemos elegir N ∈N tal que b− cN ≤ε
4(1 + | f (b)|) y tal que
∣∣∣∣R∗ ∫ x
af − A
∣∣∣∣ < ε
4para todo x ∈ [cN , b]
Es claro que∞⋃
n=1
[cn−1, cn] = [a, b) y el lema de Henstock garantiza la existencia de un calibrador δn sobre cada
[cn−1, cn] tal que
∑(S,[u,v])∈Pn
∣∣∣∣ f (s)(u− v)−R∗∫ v
uf∣∣∣∣ < ε
4 · 2n
51
Para toda subpartición etiquetada Pn de [cn−1, cn] subordinada a δn, definamos un calibrador sobre [a, b] de lasiguiente manera
δ(t) :=
12 (c1 − c0) si t = c0
mın{δn(cn), δn+1(cn), 12 (cn − cn−1), 1
2 (cn+1 − cn)} si t = cn ; n ≥ 1
mın{δn(t), 12 (t− cn−1), 1
2 (cn − t)} si t ∈ (cn−1, cn) ; n ≥ 1
b− cN si t = b
Sea P = (([xi−1, xi], ti))pi=1 una partición etiquetada de [a, b] δ− fina. La construcción de δ y dado que b /∈
∞⋃n=1
[cn−1, cn] = [a, b) se tiene que tp = b y también que xp−1 ∈ (cm, cm+1] para algún m ≥ 1 entero único.
Por otro lado si k ∈ {1, 2, . . . , m} de la elección del calibrador se infiere que
{(t, [x, y])} ∈ P : [x, y] ⊆ [ck−1, ck]
Es una partición etiqueta de [ck−1, ck] δk− fina, de donde obtenemos que
|S( f , P)− A| ≤
∣∣∣∣∣∣m
∑k=1
∑(t,[x,y])∈P
f (t)(y− x)−R∗∫ ck
ck−1
f dt
∣∣∣∣∣∣ Donde [x, y] ⊆ [ck−1, ck]
+
∣∣∣∣∣∣ ∑
(t,[x,y])∈Pf (t)(y− x)−R∗
∫ xp−1
cmf dt
∣∣∣∣∣∣ Donde [x, y] ⊆ [cm, xp−1]
+ | f (b)|(b− xp−1
)+
∣∣∣∣R∗ ∫ xp−1
af dt− A
∣∣∣∣≤ ε.
Lo que concluye la demostración.
Del teorema de Hake podemos concluir que si la integral en el sentido de Riemann impropio existe, entonces laintegral de Riemann generalizada existe como una integral generalizada de Riemann ordinaria.
Observación. Hasta el momento hemos trabajado con intervalos acotados en R. El lector podría preguntarse: ¿Quéocurre en el caso que deseemos realizar la integración generalizada sobre intervalos no acotados de R?. La res-puesta también es proporcionada por el teorema de Hake, trabajando sobre el conjunto de los reales extendidos,las demostraciones no son muy diferentes a las que se han presentado hasta el momento y todos los resultadossiguen siendo validos.
Podemos presentar ahora un ejemplo de una función que no es integrable en el sentido de Riemann generalizadogracias al teorema de Hake.
52
Ejemplo 32. (Existen funciones que no están enR∗(I)) En efecto, considere la función
f (x) :=
1x
si x ∈ (0, 1]
0 si x = 0
Tomemos c ∈ (0, 1) arbitrario, es claro que ∫ 1
c
1x
dx = − ln(c). (2.3)
Existe, esto es f ∈ R∗([c, 1]) para todo c ∈ (0, 1), pero por otro lado
lımc→0+
∫ 1
cf dx = +∞. (2.4)
De donde es claro que f /∈ R∗([0, 1]). �
Observación. Cabe resaltar que en las ecuaciones (2.3) y (2.4) la integral que estamos manejando es la integral deRiemann y que se trabajó el ejemplo anterior con una forma equivalente del teorema de Hake tomando límite alextremo izquierdo del intervalo.
2.6. Integrales indefinidas
Ya se ha resuelto el problema sobre la integrabilidad de cualquier derivada, para la integral generalizada de Rie-mann, mediante el teorema fundamental. Ahora estudiaremos la diferenciación de la integral indefinida de lafunción f , que se define como la función
F(x) := R∗∫ x
af para x ∈ [a, b].
A continuación se presenta el teorema que caraceriza la diferenciación de este tipo de funciones. Lo nombraremostambién como teorema fundamental.
Teorema 2.26 (Teorema fundamental II). ([Bar96, p. 630]) Sea f ∈ R∗([a, b]), si
F(x) := R∗∫ x
af para x ∈ [a, b]
Entonces F es diferenciable en casi toda parte (µ) de [a, b] y F′(x) = f (x) para casi todo x ∈ [a, b].
La demostración del teorema anterior puede ser consultada en [Bri10, p. 875]. Para poder realizar una discusiónposterior sobre las ventajas de los teoremas de convergencia, con lo que tenemos hasta este punto podemos haceruna definición alterna del espacio L1(I) de la siguiente manera
L1(I) := { f ∈ R∗(I) : | f | ∈ R∗(I)}
53
Observación. Ya se realizó la prueba de una de las contenencias en la sección 2.3. La otra contenencia requiere unpoco más de trabajo y no será presentada. De esta definición se puede observar que si f ∈ R∗(I) no necesaria-mente | f | ∈ R∗(I) como puede observarse sin dificultad, con técnicas similares a las empleadas en las seccionesanteriores, para la función
F(x) :=
x cos
(πx)
si x ∈ (0, 1]
0 si x = 0
las propiedades de la integral generlizada de Riemann que se han probado hasta este punto son suficientes paragarantizar que L1(I) definido como antes es un espacio semi normado con
|| f ||L1(I)
:= R∗∫
I| f |.
Es claro que si consideramos las clases de equivalencia definidas por f = g si y solo si f = g en casi toda parte µ,el espacio L1 con esta nueva definición es un espacio normado.
2.7. Convergencia
Como se pudo observar anteriormente los teoremas de convergencia para integral de Lebesgue hacen que la mis-ma sea particularmente interesante. Si bien la integral generalizada de Riemann tiene hasta este punto ventajassignificativas sobre la integral de Riemann y la de Lebesgue debemos analizar si los teoremas de convergencia setienen también para dicha integral, la respuesta es naturalmente afirmativa. Hecho que es realmente sorprendente,veremos ahora los teoremas más importantes en cuanto a convergencia se refiere, trataremos de establecer si sonen esencia más generales que los de la integral de Lebesgue o cuál es su relación. Iniciaremos con un resultadobásico.
Teorema 2.27 (Teorema de convergencia uniforme). ([Bar96, p. 630]) Si { fn} es una sucesión de funciones en R∗(I)que converge uniformemente a f en I entonces f ∈ R∗(I) y además
R∗∫ b
af = lım
n→∞R∗
∫ b
afn.
Demostración. Mostraremos primero que la sucesión{R∗
∫ b
afn
}es de Cauchy en R, sea nε ∈ N tal que
| fn(x)− f (x))| para todo x ∈ [a, b] y para todo n ≥ nε. Entonces | fm(x)− fn(x)| < 2ε y∣∣∣∣R ∫ b
afm −R
∫ b
afn
∣∣∣∣ ≤2ε(b− a) para todo m, n ∈N mayores o iguales a nε. Así la sucesión
{R∗
∫ b
afn
}resulta de Cauchy.
54
Además si denotamos por l(I) a la longitud del intervalo I, es claro que | fnl(P)− f l(P)| = |( fn − f )l(P)| ≤ l(P)εpara cada partición P de I y todo n ≥ nε por lo que se tiene que fnl(P) converge uniformemente a f l(P) en I.
Denotemos A = lımn→∞
∫I
fn y tomemos n ∈ N tal que n > nε y∣∣R∗ ∫I fn − A
∣∣ < ε. Elegimos un calibrador δn tal
que∣∣R∗ ∫I fn − fnl(P)
∣∣ < ε para cada partición P de I δn− fina.
Para una partición δn− fina se tendrá que
|A− f l(P)| ≤∣∣∣∣A−R∗ ∫I
fn
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣R∗ ∫Ifn − fnl(P)
∣∣∣∣+ | fnl(P)− f l(P)|
< ε + ε + εl(I).
Así, se tiene que A = R∗∫
I f
Recordemos que este teorema también es valido para integrales de Riemann. Sin embargo los teoremas de conver-gencia más fuertes propios de la integral de Lebesgue serán demostrados a continuación.
Teorema 2.28 (Teorema de Convergencia Monótona). ([Bar96, p. 630]) Sea { fn} una sucesión de funciones enR∗([a, b])la cual es monótona creciente:
f1(x) ≤ · · · ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) ≤ · · · para x ∈ [a, b],
y sea f (x) = lımn→∞
fn(x) ∈ R para todo x ∈ [a, b]. Entonces f ∈ R∗([a, b]) si y solo si
supn
{R∗
∫ b
afn
}< ∞.
En ese caso, se cumple que
R∗∫ b
af = lım
n→∞R∗
∫ b
afn.
Demostración. Sea f ∈ R∗([a, b]) como { fn} es monótona, la monótonia de la integral generalizada de Riemann,
implica que{R∗
∫ b
afn
}es una sucesión acotada en R, de hecho R∗
∫ b
af1 es una cota inferior y R∗
∫ b
af es cota
superior. Por lo tanto se tendrá que
supn
{R∗
∫ b
afn
}< ∞.
Por otro lado, ya que{R∗
∫ b
afn
}es monótona creciente y acotada, tendrá su límite en R. Llamemos A a dicho
límite.
Sea ε > 0, construiremos un calibrador δ de [a, b] que satisfaga que A es la integral generalizada de Riemann de la
función f . Para ello consideremos ζ =ε
b− a + 2, presentaremos tres desigualdades que relacionaremos al final.
55
Es claro que existe η ∈N tal que
0 ≤ −R∗∫ b
afη < ζ Por ser A el límite de
{R∗
∫ b
afn
}. (2.5)
Tomemos η suficientemente grande tal que1
2η−2 . Dado que { fn(x)} es creciente para todo x ∈ [a, b] y fn −→ f (x)
es posible elegir un natural kx > η tal que
0 ≤ f (x)− fkx (x) < ζ. (2.6)
Además como cada fn ∈ R∗([a, b]), existe un calibrador δn tal que para toda partición etiquetada P que sea δn−fina se tendrá que ∣∣∣∣S( fn, P)−R∗
∫ b
afn
∣∣∣∣ < 12n . (2.7)
Con lo anterior, definimos nuestro calibrador δ como
δ(t) = δkt para cada t ∈ [a, b].
Veamos ahora que A es la integral generalizada de Riemann de f , sea P una partición etiquetada δ− fina de [a, b].Sin perdida de generalidad supongamos que P divide [a, b] en los subintervalos I1, I2, . . . , Im con sus respectivasetiquetas ti ∈ Ii. Se ve que
|S( f , P)− A| =
∣∣∣∣∣ m
∑i=1
f (ti)|Ii| − A
∣∣∣∣∣ donde |Ii| representa la longitud del intervalo i
=
∣∣∣∣∣∣m
∑i=1
f (ti)|Ii| − fkti(ti)|Ii|+
m
∑i=1
fkti(ti)|Ii| − R∗
∫Ii
fkti+
m
∑i=1R∗
∫Ii
fkti− A
∣∣∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣ m
∑i=1
f (ti)|Ii| −m
∑i=1
fkti(ti)|Ii|
∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣
m
∑i=1
fkti(ti)|Ii| −
m
∑i=1R∗
∫Ii
fkti
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣m
∑i=1R∗
∫Ii
fkti− A
∣∣∣∣∣∣Se pretende ahora estimar la expresión anterior basandonos en las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.7).
En el primer sumando, considerando la ecuación (2.6) tenemos que∣∣∣∣∣ m
∑i=1
f (ti)|Ii| −m
∑i=1
fkti(ti)|Ii|
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ m
∑i=1|Ii|[
f (ti)− fkti(ti)]∣∣∣∣∣
≤m
∑i=1
∣∣∣ f (ti)− fkti(ti)∣∣∣ m
∑i=1|Ii|
< ζ(b− a).
56
Por otro lado si µ = max{kt1 , . . . , ktm}, es claro que los kti están todos entre η + 1, η + 2, . . . , µ.Tomemos ρ = kti . ElLema Henstock y la ecuación (2.7) nos permite obtener en el segundo sumando∣∣∣∣∣∣ ∑
kti=ρ
[fρ(ti)|Ii| −
∫Ii
frho
]∣∣∣∣∣∣ ≤ 12ρ .
Además de la ecuación (2.5) se tiene que∣∣∣∣∣ m
∑i=1
fkti(ti)|Ii| −
m
∑i=1
∫Ii
fkti
∣∣∣∣∣ =µ
∑ρ=η
∣∣∣∣∣∣ ∑kti=ρ
[fρ(ti)|Ii| −
∫Ii
fρ
]∣∣∣∣∣∣≤
µ
∑ρ=η
12ρ
≤∞
∑ρ=η
12n
=1
2η−1
< ζ.
Para estimar el tercer sumando veamos que η ≤ kti ≤ µ para todo i = 1, . . . , m de donde fη ≤ fkti≤ fµ. Por lo
tanto
R∗∫
Ii
fη ≤ R∗∫
Ii
fkti≤ R∗
∫Ii
fµ.
Es claro que
R∗∫ b
afη ≤
m
∑i=1R∗
∫Ii
fkti≤ R∗
∫ b
afµ.
Se obtiene entonces que
A−m
∑i=1R∗
∫Ii
fkti< ζ.
En definitíva los resultados anteriores indican que
|S( f , P)− A | < ζ(b− a) + ζ + ζ
= ε.
Lo que concluye la prueba.
Del teorema anterior podemos presentar una prueba relativamente sencilla de los siguientes resultados.
57
Lema 2.4 (Lema de Fatou). ([Bar11, p. 13]) Sea ( fn) una sucesión de funciones en R∗([a, b]) y supongamos que paraalguna función α ∈ R∗([a, b]) se cumple que α ≤ fn para todo n ∈N. si
lım infn→∞
R∗∫ b
afn < ∞.
Entonces lım infn→∞
fn ∈ R∗([a, b]) y
R∗∫ b
alım inf
n→∞fn ≤ lım inf
n→∞R∗
∫ b
afn.
Demostración. La prueba de este resultado no difiere en gran manera a la del lema de Fatou para la integración enel sentido de Lebesgue, definamos la sucesión de funciones
ϕn : [a, b] −→ R
ϕn : ınf { fn, fn+1, fn+2, . . .}
Asumiremos que cada una de las ϕn es integrable en el sentido generalizado de Riemann, no se probara estaafirmación, sin embargo no es difícil realizar esta prueba. Es claro además que α ≤ ϕn fn para todo n por lo que
R∗∫ b
aα ≤ R∗
∫ b
aϕn ≤ R∗
∫ b
afn para todo n.
De donde se sigue que
R∗∫ b
ah ≤ lım infR∗
∫ b
aϕn ≤ lım infR∗
∫ b
afn para todo n. (2.8)
Ahora bien, la sucesión {ϕn} es creciente y tiene limite puntual ϕ = lım ϕn = lım inf fn, por otro lado la sucesión
realR∗∫ b
aϕn es creciente y por la ecuación (2.8) tiene límite finito, es decir es acotada, en virtud del teorema de la
convergencia monótona obtenemos que ϕ = lım inf fn es Riemann generalizada integrable y además
R∗∫ b
alım inf fn ≤ lım infR∗
∫ b
afn
Teorema 2.29 (Teorema de convergencia dominada). ([Bar96, p. 630]) Sea { fn} una sucesión de funciones en R∗(I),sean g, h ∈ R∗([a, b]) tales que
g(x) ≤ fn(x) ≤ h(x) para todo x ∈ [a, b],
Y sea f (x) = lımn→∞
fn(x) ∈ R para todo x ∈ [a, b]. Entonces f ∈ R∗([a, b]) y se cumple que
R∗∫ b
af = lım
n→∞R∗
∫ b
afn.
58
Demostración. Como g ≤ fn ≤ h se infiere que
R∗∫ b
ag ≤ lım infR∗
∫ b
afn ≤ lım supR∗
∫ b
afn ≤ R∗
∫ b
ah para todo n.
En vitud del lema de Fatou f = lım fn = lım inf fn es integrabe en el sentido de Riemann generalizado y
R∗∫ b
af ≤ lım infR∗
∫ b
afn.
Pero el lema de Fatou puede ser aplicado también a la sucesión {− fn} la cual converge puntualmente a − f en[a, b] de donde − f es integrable en el sentido de Riemann generalizado y
−R∗∫ b
af ≤ lım infR∗
∫ b
a(− fn)
= − lım supR∗∫ b
afn.
Concluimos entonces que, lımR∗∫ b
afn existe y coincide conR∗
∫ b
af .
Se esperaría ahora que presentáramos algunos ejemplos del uso de estos teoremas. Sin embargo, en esta secciónno presentaremos ninguno y la razón salta a la vista en la siguiente sección.
2.7.1. Analizando la convergencia
El objetivo en principio era mostrar un ejemplo de los teoremas expuestos en la sección anterior que no se tuvieraen la integración en el sentido de Lebesgue para obtener más generalidad con la nueva téoria presentada. Sinembargo recordemos que la definición alterna de L1 nos indica que es necesario que tanto f como | f | estén enR∗(I) para que estén en L1(I), pero esto implica que los teoremas de convergencia son equivalentes y ninguno esmás general que el otro.
No debemos considerar esta falta de generalización como perdida. Ya que los resultados de la sección anterior sontodos obtenidos sin requerir de teoría de la medida, lo que es muy provechoso en términos del esfuerzo que serequiere en la construcción por cada uno de los caminos estudiados.
59
CAPÍTULO 3
Una nota sobre teoría de la medida
3.1. Definiciones básicas
Es evidente que en determinado momento se debe desarrollar téoria de la medida y sería extraño que esto nopudiera hacerse con base a la integral de Henstock-Kurzweil. Presentaremos de manera general y sin desarrollarlos resultados detalladamente un camino que se pude seguir para ello.
De manera natural y de hecho bastante intuitiva podemos definír un conjunto nulo en I := [a, b] como un conjuntoque puede ser cubierto por la unión contable de intervalos arbitrariamente pequeños. Esta definición es tomadapara trabajar en R con la métrica usual. Es posible generalizar a otras métricas y otros espacios topológicos.
La intención es obtener los resultados de la sección 1.3 sobre conjuntos medibles funciones medibles y demás,son tener que recurrir al gran trabajo que lleva la construcción de la medida. Para ello veamos las siguientesdefiniciones.
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 631]) f : I −→ R se dice medible si existe una sucesión de funciones paso en I,que converge a f en casi toda parte (salvo un conjunto nulo).
Nótese que las ideas presentadas son estrechamente relacionadas, más adelante llegaremos a presentar la relaciónexistente entre estos conceptos y las σ− álgebras trabajadas en las secciones anteriores. En cuanto a los conjuntosmedibles podemos decir lo siguiente
Definición. (Tomada de [Bar96, p. 631]) E ⊆ I se dice medible si XE (función característica de E), es medible.Además
60
R∗∫E
XE
es la medida de E.
Cada definición es una aproximación significativa de los caminos o de las dos téorias que presentamos en estetrabajo. No es de extrañarse que estos caminos en algún punto se unan y de hecho la exposición del capítuloanterior nos llevo a conclusiones al respecto. Sea cual sea el camino que se elija (estamos haciendo referencia a porun lado desarrollar teorá de la medida de manera tradicional hasta llegar a la integral de Lebesgue y por otro ladodesarrollar primero la integral generalizada de Riemann) los teoremas de convergencia son un punto en comúnen donde de ahí en adelante las dos teorías son en esencia equivalentes.
Con base en las definición podemos relacionar las funciones medibles con la teoría expuesta, presentar y caracte-rizar algunos resultados interesantes
3.1.1. Resultados en medida
Algunos resultados propios de la teoría de la medida que se pueden demostrar con la misma facilidad que setrabajaron la mayoría de teoremas en este trabajo se enunciaran de manera informal a continuación.
Teorema 3.30. ([Bar96, p. 631])
Toda función integrable en el sentido de Riemann generalizado, es medible.
Si f es medible en I y si existen g, h ∈ R(I) tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x ∈ I, entonces f ∈ R(I).
Si denotamosM(I) como la colección de todos los subconjuntos medibles de I.M(I) es una σ− álgebra.
Como se advirtió al inicio de este capítulo los teoremas no serás demostrados, sus pruebas pueden ser consultadasen [Bar01, p. 76],[McL80, p. 90]y [Bri10, p. 870] por ejemplo.
61
Bibliografía
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62
