18/2/2015 Integral de línea ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

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Trayectoria de una partícula a lo largo de una curvadentro de un campo vectorial. En la parte inferiorestán los vectores del campo vistos por la partícula amedida que viaja por la curva. La suma de losproductos escalares de esos vectores con el vectortangente de la curva en cada punto de la trayectoriada como resultado la integral de línea.

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En matemática, una integral de línea o curvilínea esaquella integral cuya función es evaluada sobre unacurva. En el caso de una curva cerrada en dosdimensiones o del plano complejo, se llama tambiénintegral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en elespacio,o también para el cálculo del trabajo que serealiza para mover algún objeto a lo largo de unatrayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas(descritos por campos vectoriales) que actúensobre el mismo.

Índice

1 Definición1.1 Integral curvilínea de un campoescalar1.2 Integral curvilínea de un campovectorial

1.2.1 Independencia de la curva deintegración

2 Véase también3 Enlaces externos

Definición

Integral curvilínea de un campo escalar

Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria),parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como:

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Integral de línea de un campo escalar

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria dela curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.Las integrales de trayectoria son independientes de laparametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco,también son independientes de la dirección de la parametrizaciónr(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre lacurva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], está definida como:

donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de lacurva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuandolas distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dosparametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorialresultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par donde

es una 1­forma.

Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F esconservativo), esto es:

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

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La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente delcamino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente delcamino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadasparciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una funciónpotencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

Véase también

Ecuación paramétrica

Enlaces externos

Integral de línea de un campo vectorial (inglés) ­ Interactivo ­ Explicaciones Gráficas(http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/lineint/)

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Categoría: Integrales

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