Integral Es

TEMA 4

Integral definida y calculo de

primitivas

LECCION 4.1

Calculo de areas y el teorema fundamental del Calculo

4.1.1. El problema del area

Con la llegada al panorama matematico de nuevas curvas que se anadiran a lasconicas clasicas (elipses, parabolas e hiperbolas) el problema de determinar el areaencerrada por una curva cerrada volvio a tomar cierta importancia en el siglo XVII.

Rastreando el origen del interes de la humanidad por el calculo de areas pode-mos remontarnos hasta las primeras civilizaciones y entre ellas, podemos citar alos antiguos egipcios como los primeros de los que tenemos constancia escrita deeste problema. Para ellos seguramente tendra un interes especial debido a que lasanuales crecidas del Nilo anegaban las tierras de cultivo aledanas a su cauce, porlo que sera necesario conocer que cantidad de campo tena arrendada el Faraon acada familia para poder actuar en justicia cuando se retiraran las aguas, e incluso,para determinar la cantidad de grano que cada una de tales familias tena que pagarpor dicho arrendamiento, independientemente de que la cosecha fuera buena o mala:aproximadamente tres metros cubicos de trigo por cada hectarea arrendada (lo querepresentara alrededor de la tercera parte de la produccion de un ano bueno).

As, en un papiro que, alrededor del ano 1650 antes de Cristo, copio un escriballamado Ahmes y que el egiptologo escoces Alexander Henry Rhind1 (1833-1863)adquirio en 1858 en Luxor, se admite como cierto que el area de un campo circular

1Por lo que dicho documento es conocido tanto por el nombre de papiro de Ahmes como por el

de papiro de Rhind.

241

242 Calculo

de nueve unidades de diametro es la misma que el area de un cuadrado de ochounidades de lado (lo cual es falso, pero nos puede dar una idea tanto del valor de que utilizaban, como del interes por este tipo de problemas).

Observa que, sabiendo calcular areas de triangulos, podemos calcular el areade cualquier region poligonal descomponiendola en triangulos y si ademas sabemoscalcular areas de sectores circulares, podemos calcular el area de cualquier guraque podamos descomponer como union de triangulos y de sectores circulares, peroel problema no era tan sencillo cuando entraban en juego, por ejemplo, parabolas,elipses o hiperbolas.

El primero en resolver problemas de areas para regiones relacionadas con lasconicas clasicas fue Arqumedes y en su trabajo La cuadratura de la parabola es-tablece que el area de un segmento parabolico excede en un tercio al area de untriangulo que tenga la misma base y altura que dicho segmento parabolico, y en suSobre conoides y esferoides comprueba que las areas de dos elipses son entre s comolas areas de los rectangulos construidos sobre sus ejes (de donde se deduce que elarea de una elipse cuyos semiejes midan a y b es a b) e incluso calcula el volumendel solido que se obtiene al girar cada una de las conicas.

Viendo las demostraciones que el genio griego hace de tales resultados todo hacasospechar que de alguna forma intua previamente la veracidad de lo que mas tardedemostraba rigurosamente, pero se pensaba que ocultaba el razonamiento con el queintua el resultado para su propio engrandecimiento. Sin embargo, tales sospechasquedaron denitivamente disipadas a partir del ano 1906, cuando el lologo danesJohann Ludwig Heiberg (1854-1928) tuvo noticias de un palimpsesto hallado en elmonasterio del Santo Sepulcro de Constantinopla2. Tras un analisis posterior se com-probo que, escondido en dicho documento, haba viajado en el tiempo una copia delsiglo X de una carta que Arqumedes envio a Eratostenes, quien por aquel entoncesera bibliotecario de la biblioteca de Alejandra3. En dicho documento, bautizadocon el nombre de El metodo de Arqumedes, se expone el razonamiento con el que elpropio Arqumedes reconoce que se podran encontrar otros resultados interesantes.Sirva el siguiente extracto para ilustrar todo esto:

Arqumedes a Eratostenes: Salud!

Anteriormente te escrib acerca de algunos teoremas que encontre y teenvie sus enunciados, invitandote a encontrar las demostraciones que yo,

2Hoy Estambul3Reviel Netz y William Noel relatan de forma novelada en su libro El codigo de Arqumedes

las vicisitudes de dicho viaje y desvelan detalles tanto del escrito de Arqumedes como del analisis

realizado en el Centro de Aceleracion Lineal de Stanford utilizando rayos X y luz ultravioleta.

E.T.S.I.Informatica

4.1. Calculo de areas y el teorema fundamental del Calculo 243

entonces, no te indicaba...

...y, precisamente en este libro que te envo, he transcrito las demostra-ciones de esos teoremas.

Sabiendote, como ya te he dicho, estudioso y maestro excelente de losofay como se que, llegado el caso, sabes apreciar las investigaciones matematicas,he credo conveniente ponerte por escrito e ilustrarte en este libro la par-ticularidad de un metodo segun el cual sera posible captar ciertas cues-tiones matematicas por medios mecanicos, lo cual estoy convencido deque sera util tambien para demostrar los mismos teoremas. Yo mismoalgunas de las cosas que descubr por va mecanica, las demostre luegogeometricamente, ya que la investigacion hecha por este metodo no im-plica una verdadera demostracion, pero es mas facil, una vez adquiridopor este metodo cierto conocimiento de los problemas, dar luego la de-mostracion que buscarla sin ningun conocimiento previo...

...y he querido exponerte por escrito el metodo y publicarlo, primeroporque, habiendo hablado antes de el, no quera que se dijese que habla-ba por hablar y despues, porque estoy convencido tambien de la utilidadque puede aportar a la matematica, pues supongo que algunos de miscontemporaneos o sucesores podran encontrar por este metodo otros teo-remas que a mi no se me han ocurrido todava

y seguramente hubiera sido de mucha utilidad para el desarrollo del Calculo Diferen-cial si no hubiera estado perdido durante poco mas de dos mil anos! y probablementecuando Newton y Leibniz llegaron al mundo, se hubieran encontrado con un CalculoDiferencial en un estado mucho mas avanzado, pero eso es algo que nunca sabremos.

En El metodo, Arqumedes se basa en que si encuentra alguna relacion entre laslongitudes de los segmentos en los que descompone ciertas areas, esa misma relacionse hereda para dichas areas, y analogamente, si hay alguna relacion entre las areasde las secciones en las que descompone ciertos solidos, dicha relacion tambien setrasmite a los volumenes de tales solidos.

Este tipo de descomposiciones no volvieron a ver la luz hasta el siglo XVII,cuando el matematico italiano Bonaventura Cavalieri en su obra Geometria indivis-ibilibus continuorum nova quadam ratione promota de 1653 consideraba areas comosuma de todos sus segmentos paralelos y denotaba a dicha suma por omn., abrevian-do el termino latino omnia que podemos traducir como el adverbio todos (Leibnizmodico mas tarde esta notacion por el smbolo

que seguimos utilizando hoy en

da).

Grado de Ingeniera para la Salud

244 Calculo

A

A1

A2

Figura 4.1: Descomposicion de una region como diferencia de trapecios curvilneos.

Esas consideraciones hicieron que el italiano recibiera numerosas crticas puestoque no se entenda como la suma de lneas sin grosor poda dar lugar a un area, lo queanos mas tarde aclaro el matematico frances Blaise Pascal cuando sustituyo dichossegmentos por rectangulos de base innitesimal (algo muy parecido a lo que hacemosen la actualidad) y as, en palabras del propio Pascal, cuando esta calculando el areade un semicrculo, escribe que

...No encuentro dicultad alguna al utilizar la expresion correspondien-te a la suma de las ordenadas, que parece no ser geometrica para aque-llos que no comprenden la doctrina de los indivisibles y quienes piensanque es un pecado contra la geometra expresar un plano por un numero

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indenido de lneas; esto solo muestra su falta de inteligencia, porqueaquello no signica otra cosa que un numero indenido de rectangulosteniendo la ordenada como altura y una porcion igual de diametro co-mo base, cuya suma es ciertamente un area plana que diere de la delsemicrculo por una cantidad menor que cualquier cantidad dada.

El problema de calcular el area encerrada por una curva cerrada cualquiera (co-mo por ejemplo, el area A de la gura sombreada en la parte superior de la gura4.1) se puede reducir al no menos complicado de calcular el area de un trapeciocurvilneo, gracias a la observacion de que dicha area se puede descomponer comodiferencia de areas de trapecios curvilneos (como A1 A2, siendo A1 el area som-breada del trapecio curvilneo de la parte inferior izquierda de la gura 4.1 y A2 elarea sombreada del trapecio curvilneo de la parte inferior derecha de la gura 4.1).

Para intentar resolver el problema del calculo de areas de trapecios curvilneos,consideremos una funcion no negativa y continua f denida en un intervalo cerrado[a, b], y siendo n un numero natural, dividamos dicho intervalo en n subintervalosiguales de la forma [t0, t1], [t1, t2], [t2, t3], . . . , [tn1, tn] siendo

a = t0 < t1 = a+b an

< t2 = a+2 b an

< . . . < tn1 = a+(n1) b an

< tn = b

Eligiendo n puntos (uno de cada subintervalo) xi [ti1, ti] con i = 1, 2, . . . , n,podemos aproximar el area del trapecio curvilneo determinado por las rectas x = a,x = b, la graca de la funcion f(x) y el eje X a traves de la suma de las areas de losrectangulos cuyas bases son cada uno de dichos subintervalos y las alturas son losvalores que la funcion f(x) toma en los puntos xi (ver gura 4.2). Es decir, el areade ese trapecio curvilneo lo podemos aproximar a traves de

ni=1

f(xi) (ti ti1) =(b a)

ni=1

f(xi)

n

que no es mas que la suma de los valores que toma la funcion en un punto de cadasubintervalo multiplicado cada uno de dichos valores por la longitud del correspon-diente subintervalo.

As, cuando tomamos un numero cada vez mayor de subintervalos, la aproxi-


246 Calculo

X

Y

X

Y

f(x)

a b

t0 = ax1t1x2t2 . . . tn1

xnb = tn

Figura 4.2: Metodo de integracion numerica del punto medio

macion al area va siendo cada vez mejor y, por tanto, el area sera4

lm

(n

i=1

f(xi) (ti ti1)) ba

f(x) dx

Quiza la forma mas frecuente de elegir dichos puntos xi sea

xi =ti1 + ti

2=

a+ (i 1) b an

+ a+ i b an

2= a+ (2i 1) b a

2n

y as se ha hecho en la parte derecha de la gura 4.2, lo que nos lleva a armar que

ba

f(x) dx = lm

(b a) n

i=1

f(xi)

n= lm

(b a) n

i=1

f

(a+ (2i 1) b a

2n

)

n

Ejemplo 4.1.1 Siendo b y k dos constantes positivas y considerando el interva-lo [a, b] = [0, b], determinar el area delimitada por la graca de cada una de lassiguientes funciones, los ejes y la recta x = b

(a) f(x) = k (b) f(x) = x (c) f(x) = x2

4La siguiente equivalencia es tan solo un simbolismo: al area buscada la notaremos por esa

coleccion de smbolos tan extrana.

De momento nos conformaremos con esta introduccion al concepto de area. Para un desarrollo mas

exhaustivo, se puede consultar bibliografa: por ejemplo, Calculo para la Ingeniera(I). Manuel

Ojeda Aciego. Ed: Agora Universidad, 93

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Para cada natural n, los puntos xi con i = 1, 2, . . . , n, son

xi = a+ (2i 1) b a2n = 0 + (2i 1) b 02n

=b (2i 1)

2n

y por tanto, obtenemos que

(a) para la primera funcion, se cumple que

b0

f(x) dx = lm

(b 0) n

i=1

f

(0 + (2i 1) b 0

2n

)

n=

= lm

b n

i=1

f

(b (2i 1)

2n

)

n= lm

b n

i=1

k

n= lm

b n kn

= b k

(b) para la segunda funcion, se cumple que

b0

f(x) dx = lm

(b 0) n

i=1

f

(0 + (2i 1) b 0

2n

)

n=

= lm

b n

i=1

f

(b (2i 1)

2n

)

n= lm

b n

i=1

b (2i 1)2n

n=

= lm

b2

2n(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n 1))

n=

b2

2lm

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n 1)n2

=

=b2

2lm

n2

n2=

b2

2donde en la penultima igualdad hemos utilizado la igualdad probada en elejercicio 4 de la pagina 47.

(c) para la tercera funcion, se cumple que

b0

f(x) dx = lm

(b 0) n

i=1

f

(0 + (2i 1) b 0

2n

)

n=

= lm

b n

i=1

f

(b (2i 1)

2n

)

n= lm

b n

i=1

(b (2i 1)

2n

)2n

=

= lm

b3

4n2 (12 + 32 + . . .+ (2n 1)2)

n= b3 lm 1

2 + 32 + . . .+ (2n 1)24n3

=


248 Calculo

= b3 lm4n3 n

34n3

=b3

3donde en la penultima igualdad hemos utilizado la igualdad probada en elejercicio 7 de la pagina 52.

Siendo f(x) una funcion no negativa denida en cierto intervalo [a, b], no siempreresulta tan ecaz determinar el area del trapecio curvilneo determinado por lasrectas x = a, x = b, la graca de la funcion f(x) y el eje X a traves del lmite de lasucesion

(b a) n

i=1

f

(a+ (2i 1) b a

2n

)

n

ya que no siempre es tan sencillo como en los ejemplos anteriores calcular eselmite.

En esas ocasiones, se suele aproximar el area correspondiente a traves de untermino sucientemente avanzado de dicha sucesion. Para determinar cual es dichotermino se tiene en cuenta que, si la derivada segunda de f es continua en [a, b], elerror que se comete cuando se utiliza esa aproximacion cumple que

|error| M (b a)3

24 n2, siendo M = max

{|f (x)| con x [a, b]} = maxx[a,b]

|f (x)|

El metodo que acabamos de describir se conoce como el metodo de integracionnumerica del punto medio.

Ejemplo 4.1.2 Si quisieramos aproximar el valor 10

ln(1+x) dx, podemos utilizar

la sucesion anteriormente descrita, siendo a = 0, b = 1 y f(x) = ln(1 + x), lo quenos conduce a

(b a) n

i=1

f

(a+ (2i 1) b a

2n

)

n=

ni=1

ln

(1 +

2i 12n

)

n=

=ln

(1 +

12n

)+ ln

(1 +

32n

)+ ln

(1 +

52n

)+ . . .+ ln

(1 +

2n 12n

)n

cuyos 10 primeros terminos, redondeados a 8 decimales, son

0.40546511 0.39137967 0.38858386 0.38758831 0.38712434

0.38687144 0.38671865 0.38661937 0.38655124 0.38650248

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Pero, a partir de que termino el error que cometeramos en la correspondienteaproximacion sera menor que una diezmilesima?

Para responder a esta pregunta, tengamos en cuenta que, si aproximamos el valor

de 10

ln(1 + x) dx a traves de

ni=1

ln

(1 +

2i 12n

)

n, se cumple que

|error| M (1 0)3

24 n2, siendo M = max

x[0,1]

1(1 + x)2

ya que, siendo f(x) = ln(1 + x), su derivada segunda es f (x) =1

(1 + x)2. As,

puesto que el valor maximo de |f (x)|, en el intervalo [0, 1], es M = 1, el errorsera menor que una diezmilesima siempre que n cumpla que

124 n2

10000

Puesto que esta desigualdad se verica para todo n 21, podemos garantizarque, en la aproximacion

10

ln(1 + x) dx

21i=1

ln

(1 +

2i 142

)

21=

=ln

(1 +

142

)+ ln

(1 +

342

)+ ln

(1 +

542

)+ . . .+ ln

(1 +

4142

)21

el error que se comete es menor que una diezmilesima, lo que nos conduce a que 10

ln(1 + x) dx = 0.386 . . .

En general, el calculo de areas a traves de aproximaciones no resulta nada facil,aunque si bien algunas de las siguentes propiedades nos pueden ayudar, no suelenresultar sucientes:

(P1) ba

f(x) dx = ba

f(x) dx, para todo R

(P2) ba

(f + g)(x) dx = ba

f(x) dx+ ba

g(x) dx

(P3) aa

f(x) dx = 0


250 Calculo

(P4) ca

f(x) dx = ba

f(x) dx+ cb

f(x) dx

(P5) ba

f(x) dx = ab

f(x) dx

(P6) Si, para todo x [a, b], se cumple que f(x) g(x), entonces podemos armarque

ba

f(x) dx ba

g(x) dx

Por tanto, para calcular de forma exacta el area de algunos trapecios curvilneos,debemos recurrir a alguna otra herramienta mas potente, pero antes de desarrollarla,vamos a ilustrar en el siguiente ejemplo como podemos utilizar estas propiedades:

Ejemplo 4.1.3 Utilizando los resultados probados en el ejemplo 4.1.1 de la pagina

246, podemos calcular 32

(3x2 +2x+ 2) dx teniendo en cuenta que, en virtud de la

propiedad (P4), se cumple que 20

(3x2 + 2x+ 2) dx+ 32

(3x2 + 2x + 2) dx = 30

(3x2 + 2x + 2) dx

de donde, despejando convenientemente, podemos obtener que 32

(3x2 + 2x+ 2) dx = 30

(3x2 + 2x + 2) dx 20

(3x2 + 2x + 2) dx

Ademas, teniendo en cuenta las propiedades (P1) y (P2), podemos armar que 30

(3x2 + 2x+ 2) dx = 30

3x2 dx + 30

2x dx+ 30

2 dx =

= 3 30

x2 dx + 2 30

x dx + 30

2 dx = 3 33

3+ 2 3

2

2+ 6 = 42

donde, en la penultima igualdad, hemos particularizado los resultados del ejemplo4.1.1 para b = 3, y tambien tenemos que 2

0(3x2 + 2x+ 2) dx =

20

3x2 dx + 20

2x dx+ 20

2 dx =

= 3 20

x2 dx + 2 20

x dx + 20

2 dx = 3 23

3+ 2 2

2

2+ 4 = 16

donde, en la penultima igualdad, hemos particularizado los resultados del ejemplo4.1.1 para b = 2, con lo que llevando estos resultados a la igualdad 3

2

(3x2 + 2x+ 2) dx = 30

(3x2 + 2x + 2) dx 20

(3x2 + 2x + 2) dx

obtenida anteriormente, podemos armar que 32

(3x2 + 2x + 2) dx = 42 16 = 26

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4.1.2. El problema del calculo de primitivas

Dada una funcion f(t) denida en un intervalo I = [a, b], podemos construir unanueva funcion F (x) denida sobre I que a cada elemento de x I le asocie el areadel trapecio curvilneo delimitado por la graca de f , el eje X , la recta verticalque pasa por (a, 0) y la recta vertical que pasa por (x, 0). As, la expresion de estafuncion sera

F (x) = xa

f(t) dt

Notese que el area del trapecio curvilneo determinado por la graca de f , eleje X , la recta vertical que pasa por (a, 0) y la recta vertical que pasa por (b, 0),corresponde al valor F (b) y ademas F (a) = 0. Esta funcion es la que se conoce comofuncion integral y el siguiente resultado establece una importante propiedad queverica dicha funcion:

Teorema 4.1.1 (El Teorema Fundamental del Calculo)

Si f : [a, b] R es una funcion continua, entonces la funcion F (x) = xa

f(t) dt es

una funcion derivable y ademas F (x) = f(x)

Demostracion: Como f es una funcion continua denida sobre un intervalo Icerrado y acotado, existen tanto su mnimo como su maximo, que notaremos respec-tivamente por m y M ; es decir, para todo x [a, b], se cumple que m f(x) M

En virtud de la propiedad (P6), podemos amar que

m (b a) = ba

mdx ba

f(x) dx ba

M dx = M (b a)

de donde, dividiendo por (b a), obtenemos que el valor

ba

f(x) dx

b a esta compren-dido entre el maximo y el mnimo de la funcion f , con lo que, gracias al teorema delos valores intermedios (ver pagina 74), podemos armar que

existe un valor c [a, b] tal que (b a) f(c) = ba

f(x) dx (4.1)

Con todo ello, podremos armar que F es derivable si existe el siguiente lmite:

lmh0

F (x + h) F (x)h

= lmh0

x+ha

f(t) dt xa

f(t) dt

h=

= lmh0

x+ha

f(t) dt+ ax

f(t) dt

h= lm

h0

x+hx

f(t) dt

h


252 Calculo

donde, en la penultima igualdad, hemos utilizado la propiedad (P5) y en la ultima,la propiedad (P4).

As, en virtud de (4.1), podemos armar que existe un valor c [x, x+ h] talque h f(c) =

x+hx

f(t) dt, con lo que

lmh0

F (x + h) F (x)h

= lmh0

x+hx

f(t) dt

h= lm

h0h f(c)

h= lm

h0f(c) = f(x)

(La ultima igualdad es debida a que, cuando h 0, el intervalo [x, x+ h] en el cualse encuentra el punto c, tiende a ser el intervalo [x, x], con lo que c x)

As, F es derivable en cualquier x [a, b] y ademas F (x) = f(x)

Aunque no lo parezca, el teorema fundamental del calculo, nos proporciona unnuevo metodo para calcular areas, tal y como se recoge en el siguente resultado:

Teorema 4.1.2 (La regla de Barrow)

Si G(x) es una funcion derivable tal que G(x) = f(x), entonces ba

f(x) dx = G(b)G(a)

que, por comodidad en la notacion, solemos denotar por[G(x)

]ba

Demostracion: Si G(x) es una funcion derivable tal que G(x) = f(x), puede queno sea la funcion F (x) denida anteriormente, pero podemos armar que existe unaconstante c tal que F (x) = G(x) + c. As, en virtud de las observaciones previas alteorema fundamental del calculo sabemos que ba

f(x) dx = F (b) = F (b) 0 = F (b) F (a) = F (b) c F (a) + c = G(b)G(a)

lo que prueba el enunciado propuesto.

Ejemplo 4.1.4 Ya que la derivada de la funcion G(x) = (x + 1) (ln(x + 1) 1

)es G(x) = ln(x+ 1), en virtud de la regla de Barrow, podemos armar que 1

0ln(x + 1) dx = G(1)G(0) = 2 (1 + ln 2) 1 (1 + ln 1) = 1 + 2 ln 2

siendo este el lmite de la sucesion que apareca en el ejemplo 4.1.2 de la pagina248, cuyo valor numerico es 0.386294361 . . ., con lo que podemos vericar que laaproximacion que all hacamos era completamente correcta.

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4.2. Calculo de primitivas 253

LECCION 4.2

Calculo de primitivas

Tal y como acabamos de comprobar, la regla de Barrow nos permite armarque para calcular el area del trapecio curvilneo determinado por la graca de unafuncion f denida en [a, b], el eje X y las rectas x = a y x = b, lo unico que noshace falta es encontrar una funcion derivable G tal que G = f . A cualquier funcioncon esa propiedad se le conoce como una primitiva de f y la denotaremos por

G(x) =

f(x) dx. Pero, dada la funcion f , como obtener una primitiva suya?. Mas

concretamente, de donde hemos obtenido la funcion G(x) = (x+1) (ln(x+1)1

)del ejemplo 4.1.4 de la pagina anterior?

Antes de intentar dar una respuesta a esta pregunta, anadamos que si, como yacomentamos anteriormente, la elaboracion de una teora que permita justicar losprocedimientos innitesimales de la epoca fue uno de los logros de los trabajos deNewton y Leibniz, el establecimiento de esta reciprocidad entre los problemas detangencias y los de calculo de areas es el segundo logro de los trabajos de Newtony Leibniz, y precisamente esa conclusion a la que ambos llegaron de forma inde-pendiente, es la conere al Calculo Diferencial la capacidad de determinar de formasencilla areas de trapecios curvilneos sin mas que invertir el proceso de derivacion.

4.2.1. Integracion inmediata

Volvamos ya a la cuestion que acabamos de indicar: dada la funcion f , comoobtener una primitiva suya?

Evidentemente, podramos intentar encontrar una primitiva de f si dispusieramosde una lista con cada una de las posibles funciones junto a su derivada. Sin embar-go esto exigira que una lista de esas caractersticas fuese sucientemente grandey estuviera sucientemente ordenada para que dicho procedimiento tuviera algunaposibilidad de ser efectivo, lo que hara que la lista fuese de proporciones astronomi-cas.

Sin embargo, puesto que la composicion de funciones junto con las operacionesalgebraicas de sumar, restar, multiplicar y dividir, son las que nos permiten obtenernuevas funciones a partir de las mas basicas, parece mas inteligente estudiar como secomporta el operador inverso al de derivacion respecto a dichas operaciones y extraerlas correspondientes conclusiones que nos faciliten nuestra busqueda de primitivas.

As, podremos intentar reducir nuestra busqueda de una primitiva de una funcion


254 Calculo

mas o menos complicada, a la de una primitiva de cada una de esas partes masbasicas, y utilizaremos la siguiente tabla para determinar una primitiva de cada unade las siguientes funciones basicas:

f(x)f(x) dx f(x)

f(x) dx f(x)

f(x) dx

k k x sen x cos x senh x cosh x

xnxn+1

n + 1si n = 1 cos x sen x cosh x senh x

1x

ln |x| ex ex 11 + x2

arctg x

4.2.2. Integracion por partes

Como sabemos que (f g)(x) = f (x) g(x) + f(x) g(x), integrando ambosmiembros de esta ecuacion y despejando podemos armar que, si f (x) y g(x) sonfunciones continuas, entonces

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)

f (x) g(x) dx

En otras palabras, que si queremos calcular

h(x) dx y encontramos dos funciones

f y g tales que h(x) = f(x) g(x), podemos utilizar queh(x) dx =

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)

f (x) g(x) dx

Evidentemente, esto servira de ayuda siempre que

f (x) g(x) dx sea mas facil

de calcular que

f(x) g(x) dx

Por otra parte, si en vez de denotar a la derivada de f(x) por f (x) y a la derivada

de g(x) por g(x), utilizamosdf(x)dx

para la primera ydg(x)dx

para la segunda, la reglade integracion por partes la podemos escribir como

f(x) dg(x)dx

dx = f(x) g(x)

df(x)dx

g(x) dx

E.T.S.I.Informatica


Ejemplo 4.2.1 Para calcular

xex dx podemos utilizar la regla de integracion por

partes, con la que podemos armar quex ex dx =

x d(e

x)dx

dx = x ex

d(x)dx

ex dx = x ex

ex dx = ex (x1)

Tambien podamos haber intentado buscar una primitiva de x ex utilizando la reglade integracion por partes, entendiendo x ex como ex d(x

2/2)dx

, pero nos llevara a

calcular

x2 ex dx, que no es mas facil que la primitiva propuesta.

Ejemplo 4.2.2 Si, siendo k un natural cualquiera, quisieramos calcular

xkex dx,

podemos observar que el ejemplo anterior es la particularizacion de este para el caso

k = 1. As, si pudiesemos encontrar una relacion entre la funcion Ik =

xkex dx y

la funcion Ik1, podramos ir reduciendo el orden, hasta llegar a I1, que ya hemosdeterminado.

Para encontar esa relacion, utilizaremos el metodo de integracion por partes,para poder armar que

Ik =

xk d(ex)

dx dx = xk ex

d(xk)dx

ex dx =

= xkex k

xk1 ex dx = xk ex k Ik1As, si por ejemplo, quisieramos determinar una primitiva de x3 ex, utilizando laformula de reduccion recien obtenida, podemos armar que

I3 = x3 ex 3 I2pudiendo determinar I2 utilizando de nuevo la formula de reduccion, con la quepodemos armar que

I2 = x2 ex 2 I1As, teniendo en cuenta que I1 = ex (x 1), tenemos que

I2 = x2 ex 2 ex (x 1) = ex (x2 2x + 2)lo que nos permite armar que

I3 = x3 ex 3 ex (x2 2x + 2) = ex (x3 3x2 + 6x 6)Recuerda que siempre puedes vericar si el resultado obtenido es correcto compro-bando si la derivada de la funcion obtenida es la funcion que aparece en el integrandode partida. As, puesto que

d

dx

(ex (x3 3x2 + 6x 6)

)= ex (x3 3x2 + 6x 6) + ex (3x2 6x+ 6) =


256 Calculo

= ex (x3 3x2 + 6x 6 + 3x2 6x + 6) = x3 ex

podemos garantizar que ex (x33x2 +6x6) es realmente una primitiva de x3 ex

Ejemplo 4.2.3 Tambien podemos utilizar el metodo de integracion por partes paradeterminar una primitiva de la funcion ln x, aunque en este caso, tenemos queservirnos de un pequeno articio: podemos entender la funcion ln x como ln x 1, ypuesto que

d(x)dx

= 1, tenemos que

ln x dx =

ln x d(x)

dx dx = x ln x

d(ln x)

dx x dx =

= x ln x

1x x dx = x ln x

1 dx = x ln x x = x (ln x 1)

Sin mas que sustituir x por x + 1, podemos obtener una primitiva de ln(x + 1) loque hace desvanecer el halo de misterio que envolva al ejemplo 4.1.4 de la pagina252.

Ejemplo 4.2.4 Tambien podemos determinar una primitiva de la funcion sen2xutilizando el metodo de integracion por partes ya que

sen2x dx =

sen x d( cos x)dx

dx =

= sen x ( cos x)

d(sen x)dx

( cos x)dx = sen x cos +

cos2x dx

de donde, despejando convenientemente, llegaramos a la igualdadcos2x dx

sen2x dx = sen x cos x (4.2)

Por otra parte, teniendo en cuenta que la igualdad fundamental de la trigonometraarma que cos2x + sen2x = 1, tenemos que

cos2x dx +

sen2x dx = x (4.3)

Si restamos las ecuaciones 4.2 y 4.3, podemos armar quesen2x dx =

x sen x cos x2

y, si en vez de restar las ecuaciones 4.2 y 4.3, las sumamos obtendramos quecos2x dx =

x + sen x cos x2

E.T.S.I.Informatica


De manera completamente analoga, puedes encontrar una primitiva, tanto de lafuncion senh2x, como de la funcion cosh2x, pero en esta ocasion tendras que utilizarque cosh2x senh2x = 1. Te atreves a buscarlas?

Observa que tambien podamos haber obtenido una primitiva de cos2x utilizandola igualdad

cos2x =12+

12cos 2x

obtenida en el ejemplo 1.3.8 de la pagina 35 ya que integrando convenientementepodemos armar que

cos2x dx =12

dx +

12

cos 2x dx =

x

2+

14sen 2x =

=x

2+

2 sen x cos x4

=x + sen x cos x

2

y de la misma forma, puesto que sen2x =12 1

2cos 2x, tenemos que

sen2x dx =

x

2 1

2

cos 2x dx =

x

2 1

4sen 2x =

=x

2 2 sen x cos x

4=

x sen x cos x2

La regla de integracion por partes tambien nos permite evaluar la funcion integral

F (x) = xa

f(t) dt sin tener que recurrir a una primitiva de la funcion f(t), sino en

terminos de los valores de otra integral, ya que tambien podemos armar que, siendof(x) y g(x) dos funciones tales que sus derivadas son continuas, se tiene que

ba

f(x) g(x) dx =[f(x) g(x)

]ba ba

f(x) g(x) dx

quedando ilustrada su utilizacion en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.2.5 Si quisieramos determinar el valor de /30

x sen x dx, podemosrecurrir a la regla de integracion por partes para poder armar que

/30

xsen x dx = /30

xd(cos x)dx

dx =[xcos x

]/30 /30

d(x)dx

(cos x) dx =

=[

3 cos

3 0

]+ /30

cos x dx =3 12+[sen x

]/30

=6

+32

=33 6


258 Calculo

Observa que en ningun momento hemos necesitado una primitiva de x sen x. Sinembargo, para vericar el resultado obtenido, vamos a calcular una y as, utilizandola regla de integracion por partes, podemos armar que

x sen x dx =

x d(cos x)

dx dx = x cos x

d(x)dx

(cos x) dx =

= x cos x+

cos x dx = sen x x cos x

funcion que, para x = 0, vale 0, y para x =

3, vale

32

6, lo que nos permite

corroborar el resultado anteriormente obtenido.

4.2.3. Integracion por cambio de variable

Supongamos que queremos calcular

f(x) dx y conocemos h(x) y una primitiva

suya H(x) =

h(x) dx y ademas:

disponemos de una funcion g(x) tal que f(x) = h(g(x)) g(x). En tal caso,podemos armar que

f(x) dx = H(g(x))

Demostracion: Dicha igualdad se puede justicar observando que(H(g(x))) = H (g(x)) g(x) = h(g(x)) g(x) = f(x)

Esto es lo que se entiende por hacer el cambio t = g(x), de donde se deduceque dt = g(x) dx y as

f(x) dx =

h(g(x)) g(x) dx =

h(t) dt = H(t) = H(g(x))

La eleccion de la letra t para designar a la nueva variable, es completamentesubjetiva y no inuye en el resultado obtenido, por lo que podemos utilizaresa o cualquier otra letra.

Ejemplo 4.2.6 Si quisieramos calcular

ln x

xdx, y puesto que la funcion

f(x) =ln x

x, la podemos escribir como f(x) = h(g(x)) g(x), siendo h(x) = x

y g(x) = ln x, el metodo de integracion por cambio de variable nos permitearmar que, siendo H(x) una primitiva de h(x), la funcion H(g(x)) es unaprimitiva de f(x)

E.T.S.I.Informatica


As, puesto que una primitiva de h(x) es H(x) =

h(x) dx =

x dx =x2

2,

podemos armar que ln x

xdx = H(g(x)) =

(ln x)2

2

En la practica, resumimos este razonamiento diciendo que, si hacemos el cam-

bio de variable t = ln x, tenemos que dt =1xdx, y as

ln x

xdx =

ln x 1

xdx =

t dt =

t2

2=

(ln x)2

2

disponemos de una funcion g(x) tal que h(x) = f(g(x)) g(x). En tal caso,podemos armar que

f(x) dx = H(g1(x))

Demostracion: Dicha igualdad se puede justicar observando que

(H(g1(x)) = H (g1(x)) (g1(x)) = h(g1(x)) (g1(x)) =

= f(g(g1(x))) g(g1(x)) (g1(x)) = f(x)donde, en la ultima igualdad, hemos utilizado que g(g1(x)) (g1(x)) = 1,siendo esto consecuencia de la regla de la cadena y de que g(g1(x)) = x

Esta segunda version del metodo de integracion por cambio de variable, seinterpreta en la practica indicando que hacemos el cambio de variable x = g(t),de donde se deduce que dx = g(t) dt, y as

f(x) dx =

f(g(t)) g(t) dt =

h(t) dt = H(t) = H(g1(x))


1 x2 dx, podemos aplicar estasegunda version del metodo de integracion por cambio de variable, puesto que,

sabiendo que

cos2t dt =t + sen t cos t

2(ver ejemplo 4.2.4 en la pagina 256)

y tomando como g(t) = sen t, y como h(t) = cos2t, la funcion f(x) =1 x2

cumple que h(t) = f(g(t)) g(t), de donde se obtiene que

1 x2 dx = arcsen x+ x 1 x2

2


260 Calculo

Tambien lo podemos interpretar como si hubieramos hecho el cambio x = sen t,con lo que dx = cos t dt y as obtener que

1 x2 dx =

1 sen2t cos t dt =

cos2t dt =t+ sen tcos t

2

lo que, deshaciendo el cambio x = sen t, nos permitira armar que 1 x2 dx = arcsen x+ x

1 x2

2

Al igual que para el caso de la integracion por partes, cuando queramos calcular ba

f(x) dx puede que nos interese no tener que calcular una primitiva f(x), sino

dejar que el cambio de variable se vea tambien reejado en los lmites de integracion.Veamos como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.2.8 Si quisieramos calcular 7/21/2

7 + 12x 4x2 dx, y teniendo en cuen-

ta que 7 + 12x 4x2 = 16 (3 2x)2 = 16[1

(3 2x

4

)2]podemos considerar

cualquiera de los dos siguientes cambios de variable:

si hacemos el cambio de variable z =3 2x

4, tenemos que dx = 2 dz, que

cuando x = 1/2, z vale 1 y que cuando x = 7/2, z vale 1, con lo que 7/21/2

7 + 12x 4x2 dx =

11

16 (1 z2) (2) dz =

= 8 11

1 z2 dz = 8

11

1 z2 dz = 8

2= 4

donde, en la antepenultima igualdad, hemos utilizado la propiedad (P5) dela pagina 249, y en la penultima que, ya que la curva x2 + y2 = 1 es unacircunferencia de radio 1 y por tanto el area que encierra es , podemos armarque el area que encierra la graca de f(x) =

1 x2 entre los valores x = 1

y x = 1 es /2

si hacemos el cambio de variable3 2x

4= cos t, tenemos que dx = 2 sen t dt,

que cuando x = 1/2, t vale 0 y que cuando x = 7/2, t vale , con lo que 7/21/2

7 + 12x 4x2 dx =

0

16 (1 cos2t) 2 sen t dt =

E.T.S.I.Informatica


= 8 0

sen2t dt = 8 [t sen t cos t

2

]0

= 8(2 0

)= 4

Observa que, en ningun caso, hemos utilizado ninguna primitiva de la funcion

f(x) =7 12x 4x2 para concluir que

7/21/2

7 12x 4x2 dx = 4

4.2.4. Integrales racionales

Supongamos que P (x) y Q(x) son dos polinomios con coecientes reales y quer-

emos calcular una primitiva deP (x)Q(x)

Podemos suponer que gr(P ) < gr(Q), pues en caso contrario, podramos efectuarla division determinando as dos polinomios C(x) y R(x) (el cociente y el resto de

la division, respectivamente) tales queP (x)Q(x)

= C(x) +R(x)Q(x)

con gr(R) < gr(Q),

con lo que calcularamos una primitiva deP (x)Q(x)

sin mas que obtener una primitiva

de C(x) (que es facil de calcular puesto que C(x) es un polinomio) y sumarle una

primitiva deR(x)Q(x)

Ademas podemos suponer que el coeciente k de mayor grado de Q(x) es 1, yaque, en caso contrario, podramos sacar dicho coeciente k como factor comun deQ(x), obteniendo as otro polinomio Q(x) en tales condiciones y que verica que

Q(x) = k Q(x), con lo que, para buscar una primitiva de P (x)Q(x)

, bastara con dividir

entre k una primitiva deP (x)Q(x)

, ya que

d

(1k

P (x)Q(x)

dx

)dx

=d

(P (x)

k Q(x) dx)

dx=

d

(P (x)Q(x)

dx

)dx

=P (x)Q(x)

Puestas as las cosas, en virtud del Teorema Fundamental del Algebra (ver pagina36 y siguiente), Q(x) lo podemos descomponer en factores de grado 1 o 2

Q(x) = (x a1)r1 (x a2)r2 . . . (x an)rn

(x2 + 1x + 1)s1 (x2 + 2x + 2)s2 . . . (x2 + mx + m)sm

y por tanto, el cocienteP (x)Q(x)

lo podemos descomponer en sumandos, de forma que:


262 Calculo

cada uno de los factores (x ai)ri proporciona ri sumandos de la formaAi1

x ai ,Ai2

(x ai)2 , . . . ,Airi

(x ai)ri

cada uno de los factores (x2+ix+i)si proporciona si sumandos de la forma

Mi1x +Ni1x2 + ix + i

,Mi2x + Ni2

(x2 + ix + i)2, . . . ,

Misix + Nisi(x2 + ix + i)si

Mas adelante (ver ejemplo 4.2.12 en la pagina 265), veremos como determinardichas constantes, pero una vez descompongamos la funcion de la que queremosdeterminar una primitiva en sumas de fracciones simples5, la primitiva a determinarse reduce a sumas de algunas de las del tipo de las seis siguientes:

1

x a dx = ln |x a|1

(x a)n dx, con n = 2, 3, 4, . . .

Haciendo el cambio de variable u = x a, tenemos que du = dx, y por tanto1

(x a)n dx =

un du =un+1

1 n =1

(n 1)un1 =1

(n 1)(x a)n1

Siendo x2 + x + un polinomio irreducible en R, lo que se traduce en que4 2 > 0, podemos armar que

1x2 + x+

dx =

1(x

2

)2+

2

4

dx =

=

14 2

4

[4

4 2(x +

2

)2+ 1

] dx = 44 2

dx(

2x + 4 2

)2+ 1

=

=4

4 22(4 2) arctg

2x+ 4 2 =

24 2 arctg

2x+ 4 2

Ejemplo 4.2.91

x2 + x + 1dx =

1(

x +12

)2+ 1 1

4

dx =

1

34

[43

(x +

12

)2+ 1

] dx =

5Este metodo de descomposicion es el que se conoce como metodo de descomposicion en

fracciones simples.

E.T.S.I.Informatica


=43

dx(

2x + 13

)2+ 1

=43

6arctg

2x+ 13

=23arctg

2x+ 13

Siendo x2 + x + un polinomio irreducible en R, lo que se traduce en que4 2 > 0, podemos armar que

x

x2 + x+ dx =

12

2x + x2 + x+

dx =

=12

2x +

x2 + x+ dx

2

dx

x2 + x + =

=12lnx2 + x +

4 2 arctg2x+ 4 2

Ejemplo 4.2.10 x

x2 + x + 1dx =

12

2x + 1 1x2 + x + 1

dx =

=12

2x + 1

x2 + x + 1dx 1

2

dx

x2 + x + 1=

12lnx2 + x + 1 1

3arctg

2x+ 13

Haciendo el mismo tipo de transformaciones que en los dos tipos anteriores, lossumandos cuyo denominador es (x2+x+)n con n = 2, 3, . . . , los podemos trans-formar, mediante un oportuno cambio de variable en fracciones cuyo denominadores (t2 +1)n, con lo que las primitivas a determinar se reducen a alguno de estos dosultimos tipos:

t

(t2 + 1)ndt, para las que, si consideramos el cambio de variable z = t2 +1,

se tendra que dz = 2t dt, lo que nos conduce a quet

(t2 + 1)ndx =

12

dz

zn=

12(n 1)zn1 =

12(n 1)(t2 + 1)n1

1

(t2 + 1)ndt, para las que utilizaremos una formula de reduccion ya que, si

llamamos In =

1(t2 + 1)n

dt, sabemos que I1 = arctg t, y ademas

In =

t2 + 1 t2(t2 + 1)n

dt =

t2 + 1(t2 + 1)n

dt

t2

(t2 + 1)ndt =


264 Calculo

=

1(t2 + 1)n1

dt

t2

(t2 + 1)ndt = In1

t2

(t2 + 1)n(4.4)

Esta ultima la resolveremos utilizando el metodo de integracion por partes,teniendo en cuenta una primitiva del tipo anterior y que

t2

(t2 + 1)n=

t t(t2 + 1)n

dt =

t ddt

( 12(n 1)(t2 + 1)n1

)dt =

=t

2(n 1)(t2 + 1)n1 +1

2(n 1)

dt

(t2 + 1)n1=

=t

2(n 1)(t2 + 1)n1 +1

2(n 1) In1

Con lo que, llevandolo a la igualdad 4.4 anterior, obtenemos que

In = In1 +t

2(n 1)(t2 + 1)n1 1

2n 2In1 =

=2n 32n 2In1 +

t

2(n 1)(t2 + 1)n1

Ejemplo 4.2.11 Para calcular

x + 5(x2 + x + 1)2

dx, y puesto que (ver ejemplo

4.2.9 en la pagina 262) x2 + x + 1 =(x +

12

)2+

34

=34

[(2x + 1

3

)2+ 1

],

hagamos el cambio t =2x + 1

3, con lo que x + 5 =

3t + 92

y dx =32

dt, lo

que nos permite reescribir la primitiva a determinar de la forma

x + 5

(x2 + x + 1)2dx =

16932 12

3t+ 9(t2 + 1)2

dt =

=4

33

3t+ 9

(t2 + 1)2dt =

43

t

(t2 + 1)2dt+ 4

3

dt

(t2 + 1)2

La primera es inmediata(puesto que

t

(t2 + 1)2dt =

12(t2 + 1)

), mientras

que para buscar una primitiva de la segunda, utilizaremos el metodo de inte-gracion por partes, con el que podemos armar que

dt

(t2 + 1)2=

t2 + 1(t2 + 1)2

dt

t2

(t2 + 1)2dt =

=

1t2 + 1

dt

t2

(t2 + 1)2dt =

1

t2 + 1dt

t t

(t2 + 1)2dt =

=

1t2 + 1

dt

t ddt

( 12(t2 + 1)

) dt =

E.T.S.I.Informatica


=

1t2 + 1

dt( t2(t2 + 1)

+12

1

t2 + 1dt

)=

= arctg t+t

2(t2 + 1) 1

2

dt

t2 + 1=

12arctg t +

t

2(t2 + 1)Con lo que

x + 5(x2 + x + 1)2

dx =2

3(t2 + 1)+ 2

3 arctg t + 2

3

t

t2 + 1

y deshaciendo el cambio obtenemos quex + 5

(x2 + x + 1)2dx =

12(x2 + x + 1)

+ 23 arctg

2x+ 13

+3(2x + 1)

2(x2 + x + 1)=

=3x+ 1

x2 + x + 1+ 2

3 arctg

2x+ 13

Ejemplo 4.2.12 Ilustremos ahora como determinar las constantes que se indicanen el metodo de descomposicion en fracciones simples, buscando una primitiva de

(a)1

x2 1 ; (b)1

x2 x ; (c)1

x2(x2 1)

(d)1

(x2 1)2 ; (e)x2

(x2 1)2

(a) Puesto que el polinomio x2 1 se factoriza como (x 1)(x + 1), podemosarmar que existen dos constantes reales A y B, tales que

1x2 1 =

A

x 1 +B

x + 1=

A(x + 1) + B(x 1)x2 1 =

(A+ B)x + (AB)x2 1

As, igualando los coecientes de los polinomios de los numeradores de laprimera y de la ultima fraccion racional, deducimos que han de ser soluciondel siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(Coeciente de x) A+ B = 0

(Termino independiente) A B = 1

de donde, sin mas que sumarlas, podemos armar que los valores de nuestrasdos constantes reales son A = 1/2, B = 1/2, con lo que

1x2 1 dx =

12

1

x 1 dx12

1

x + 1dx =

=12 ln|x 1| 1

2 ln|x+ 1| = 1

2 ln

x 1x + 1 (4.5)


266 Calculo

(b) Puesto que el polinomio x2 x se factoriza como x(x 1), podemos armarque existen dos constantes reales A y B, tales que

1x2 x =

A

x+

B

x 1 =A(x 1)x +B x

x2 x =(A+ B)xA

x2 xAs, igualando los coecientes de los polinomios de los numeradores de laprimera y de la ultima fraccion racional, deducimos que han de ser soluciondel siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(Coeciente de x) A+B = 0

(Termino independiente) A = 1

de donde, podemos armar que los valores de nuestras dos constantes realesson A = 1, B = 1, con lo que

1x2 x dx =

1x

dx +

1x 1 dx =

= ln|x|+ ln|x 1| = lnx 1x

= ln1 1x

(4.6)(c) Puesto que el polinomio x2(x21) se factoriza como x2(x1)(x+1), podemos

armar que existen cuatro constantes reales A, B, C y D, tales que

1x2(x2 1) =

A

x+

B

x2+

C

x 1 +D

x + 1=

=A(x2 1)x +B(x2 1) + C(x3 + x2) +D(x3 x2)

x2(x2 1) =

=A(x3 x) + B(x2 1) +C(x3 + x2) + D(x3 x2)

x2(x2 1) =

=(A+C +D)x3 + (B +C D)x2 Ax B

x2(x2 1)As, igualando los coecientes de los polinomios de los numeradores de laprimera y de la ultima fraccion racional, deducimos que han de ser soluciondel siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(Coeciente de x3) A+ C +D = 0

(Coeciente de x2) B + C D = 0(Coeciente de x) A = 0(Termino independiente) B = 1

de donde, sustituyendo los valores de A = 0 y B = 1, en las dos primerasecuaciones, estas se transforman en C+D = 0 y CD = 1, de donde, sin mas

E.T.S.I.Informatica


que sumarlas, podemos armar que los valores de nuestras cuatro constantesreales son A = 0, B = 1, C = 1/2, D = 1/2, con lo que

1x2(x2 1) dx =

1x2

+12

1

x 1 dx12

1

x + 1dx =

=1x

+12 ln|x 1| 1

2 ln|x+ 1| = 1

x+

12 ln

x 1x + 1 (4.7)

(d) Puesto que el polinomio (x2 1)2 se factoriza como (x 1)2(x+1)2, podemosarmar que existen cuatro constantes reales A, B, C y D, tales que

1(x2 1)2 =

A

x 1 +B

(x 1)2 +C

x + 1+

D

(x+ 1)2=

=A(x + 1)2(x 1) + B(x + 1)2 +C(x 1)2(x + 1) +D(x 1)2

(x2 1)2 =

=1

(x2 1)2[A(x3 + x2 x 1) + B(x2 + 2x + 1)+

+C(x3 x2 x + 1) + D(x2 2x+ 1)]=

=1

(x2 1)2[(A+ C)x3 + (A+ B C +D)x2+

+(A+ 2B C 2D)x+ (A+B + C +D)]

As, dichos coecientes han de ser solucion del siguiente sistema de ecuacioneslineales:

(Coeciente de x3) A +C = 0

(Coeciente de x2) A+B C + D = 0(Coeciente de x) A+ 2B C 2D = 0(Termino independiente) A +B + C + D = 1

De la primera ecuacion podemos obtener que C = A, lo que llevado a latercera ecuacion nos permite armar que D = B y as, las dos ecuacionesrestantes las podemos reescribir como 2A + 2B = 0 y 2A + 2B = 1, dedonde, sin mas que restarlas y sumarlas, obtenemos que A = 1/4 y queB = 1/4, con lo que

1(x2 1)2 dx =

14

1

x 1 dx +14

1

(x 1)2+

+14

1

x + 1dx +

14

1

(x+ 1)2dx =


268 Calculo

=14 ln|x 1|+ 1

4 1x 1 +

14 ln|x+ 1|+ 1

4 1x + 1

=

=14 ln

x + 1x 1 14

(1

x 1 +1

x + 1

)=

=14 ln

x + 1x 1 14 x + 1 + x 1x2 1 = 14 ln

x + 1x 1 12 xx2 1 (4.8)

(e) Puesto que el polinomio (x2 1)2 se factoriza como (x 1)2(x+1)2, podemosarmar que existen cuatro constantes reales A, B, C y D, tales que

x2

(x2 1)2 =A

x 1 +B

(x 1)2 +C

x + 1+

D

(x + 1)2=

=1

(x2 1)2[(A+C)x3 + (A+B C + D)x2+

+(A + 2B C 2D)x + (A+ B +C +D)]

habiendonos basado en el desarrollo de la primera parte de la primitiva an-terior. As, dichos coecientes han de ser solucion del siguiente sistema deecuaciones lineales:

(Coeciente de x3) A+C = 0

(Coeciente de x2) A+ B C +D = 1(Coeciente de x) A + 2B C 2D = 0(Termino independiente) A+ B +C +D = 0

De la primera ecuacion podemos obtener que C = A, lo que llevado a latercera ecuacion nos permite armar que D = B y as, las dos ecuacionesrestantes las podemos reescribir como 2A+2B = 1 y 2A+2B = 0, de donde,sin mas que restarlas y sumarlas, obtenemos que A = 1/4 y que B = 1/4, conlo que

x2

(x2 1)2 dx =14

1

x 1 dx+14

1

(x 1)2+

+14

1

x + 1dx +

14

1

(x+ 1)2dx =

=14 ln|x 1| 1

4 1x 1

14 ln|x+ 1| 1

4 1x + 1

=

=14 ln

x 1x + 1 14

(1

x 1 +1

x + 1

)=

=14 ln

x 1x + 1 14 x + 1 + x 1x2 1 = 14 ln

x 1x + 1 12 xx2 1 (4.9)

E.T.S.I.Informatica


4.2.5. El metodo de Hermite para fracciones racionales

En el caso de aparecer races con multiplicidad, podemos simplicar el proce-dimiento general anterior utilizando la descomposicion de Hermite: si P (x) y Q(x)

son dos polinomios en las condiciones anteriormente mencionadas, el cocienteP (x)Q(x)

lo podemos descomponer como

P (x)Q(x)

=d

dx

(A(x)B(x)

)+

C1x a1 + +

Cnx an +

D1x +E1x2 + 1x + 1

+ + Dmx +Emx2 + mx + m

siendo B(x) el polinomio formado por el producto de los factores de Q(x) elevadosa una unidad inferior y A(x) un polinomio a determinar cuyo grado sea una unidadinferior al grado de B(x)

Ejemplo 4.2.13 Podemos resolver el ejemplo 4.2.11 de la pagina 264 utilizando ladescomposicion de Hermite, con la que podemos armar que

x + 5(x2 + x + 1)2

=d

dx

(Ax + B

x2 + x + 1

)+

Mx +Nx2 + x + 1

Para determinar los coecientes A, B, C, y D, la igualdad anterior nos lleva a

A(x2 + x + 1) (Ax +B)(2x + 1) + (Mx + N )(x2 + x + 1)(x2 + x + 1)2

=x + 5

x2 + x + 1

y la identicacion de los coecientes de los polinomios de los numeradores, al sistema

(Coeciente de x3) M = 0

(Coeciente de x2) A+ M +N = 0(Coeciente de x) 2B + M +N = 1(Termino independiente) A B +N = 5

cuya solucion es A = 3; B = 1; M = 0; N = 3. Por tanto

x + 5

(x2 + x + 1)2dx =

d

dx

(3x + 1

x2 + x + 1

)dx+

3

x2 + x + 1dx =

=3x + 1

x2 + x + 1+ 2

3 arctg

2x+ 13

donde, en la ultima igualdad, hemos utilizado el resultado obtenido en el ejemplo4.2.9 de la pagina 262.


270 Calculo

4.2.6. Integrales trigonometricas

Supongamos que queremos calcular

f(x) dx siendo f(x) = R(sen x, cos x) con

R(x, y) una funcion racional:

Si R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), podemos transformar la primitivabuscada en una racional haciendo el cambio cos x = t, de donde se deduce que

sen x =

1 t2; dx = 11 t2 dt

Ejemplo 4.2.14 Podemos utilizar el cambio indicado para determinar una

primitiva de1

sen x cos2x , y as, teniendo en cuenta la igualdad (4.7) de lapagina 267

dx

sen x cos2x =

11 t2 t2

11 t2 dt =

1

t2(t2 1) dt =

=1t+

12 ln

t 1t+ 1 = 1cos x + 12 ln

cos x 1cos x+ 1 =

=1

cos x+

12 ln1 cos x

1 + cos x=

1cos x

+12 ln (1 cos x)

2

(1 + cos x)(1 cos x) =

=1

cos x+

12 ln

((1 cos xsen x

)2)=

1cos x

+ ln1 cos xsen x

Si R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), podemos transformar la primitivabuscada en una racional haciendo el cambio sen x = t, de donde se deduce que

cos x =

1 t2; dx = 11 t2 dt

Ejemplo 4.2.15 Podemos utilizar este segundo cambio para determinar una

primitiva de1

cos x, y as, utilizando la igualdad (4.5) de la pagina 265

1

cos xdx =

1

1 t2 1

1 t2 dt =

11 t2 dt =

1

t2 1 dt =

=12 ln

t 1t + 1 = 12 ln

t+ 1t 1 = 12 ln

sen t + 1sen t 1 = 12 ln1 + sen t1 sen t =

=12 ln (1 + sen x)

2

(1 sen x)(1 + sen x) =12 ln

((1 + sen x

cos x

)2)= ln

1 + sen xcos x

E.T.S.I.Informatica


Ejemplo 4.2.16 Tambien podemos utilizar este segundo cambio para deter-

minar una primitiva de1

cos3x, con el que, en virtud de la igualdad (4.8) de la

pagina 268, podemos armar que1

cos3xdx =

1

(1 t2)1 t2 1

1 t2 dt =

1(1 t2)2 dt =

=

1(t2 1)2 dt =

14lnt + 1t 1

12 tt2 1 = 14 lnsen x+ 1sen x 1

12 sen xsen2x 1 ==

14 ln1 + sen x

1 sen x +12 sen xcos2x

=14 ln (1 + sen x)

2

(1 sen x)(1 + sen x) +12 sen xcos2x

=

=14 ln

((1 + sen x

cos x

)2)+

12 sen xcos2x

=12 ln

1 + sen xcos x + 12 sen xcos2x

Ejemplo 4.2.17 Tambien podemos utilizar este segundo cambio para deter-

minar una primitiva desen2x

cos3x, con el que, en virtud de la igualdad (4.9) de la

pagina 268, podemos armar quesen2x

cos3xdx =

t2

(1 t2)1 t2 1

1 t2 dt =

t2

(t2 1)2 dt =

=14 ln

t 1t+ 1 12 tt2 1 = 14 ln

sen x 1sen x + 1 12 sen xsen2x 1 =

=14 ln1 sen x

1 + sen x+

12 sen xcos2x

=14 ln(1 sen x)(1 + sen x)

(1 + sen x)2+

12 sen xcos2x

=

=14 ln

((cos x

1 + sen x

)2)+

12 sen xcos2x

=12 ln

cos x1 + sen x + 12 sen xcos2x

Si R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), podemos transformar la primitivabuscada en una racional haciendo el cambio tg x = t, de donde se deduce que

sen x =t

1 + t2; cos x =

11 + t2

; dx =1

1 + t2dt

Ejemplo 4.2.18 Podemos utilizar este tercer cambio para determinar una

primitiva de1

sen2x sen x cos x , y as, teniendo en cuenta la igualdad (4.6)de la pagina 266, podemos armar que

1sen2x sen x cos x dx =

1

t2

1 + t2 t

1 + t2

11 + t2

dt =

1t2 t dt =


272 Calculo

= ln1 1t

= ln1 1tg x

En otro caso, para reducirla a una racional, hacer el cambio t = tgx

2, con lo

que sen x =2t

1 + t2; cos x =

1 t21 + t2

; dx =2

1 + t2dt

Para deshacer el cambio, se puede utilizar que t = tgx

2=

1 cos xsen x

Ejemplo 4.2.19 Podemos utilizar este ultimo cambio para determinar una

primitiva de1 + sen x1 + cos x

, y as

1 + sen x1 + cos x

dx = 1 + 2t

1 + t2

1 +1 t21 + t2

21 + t2

dt = (

1 +2t

t2 + 1

)dt =

= t+ ln(t2 + 1) =1 cos xsen x

+ ln

((1 cos xsen x

)2+ 1

)=

=1 cos xsen x

+ ln1 2cos x+ cos2x + sen2x

sen2x=

1 cos xsen x

+ ln2 2cos xsen2x

=

=1 cos xsen x

+ ln2(1 cos x)

sen2x=

1 cos xsen x

+ ln 2 + ln1 cos xsen2x

con lo que podemos armar que1 cos xsen x

+ ln1 cos xsen2x

tambien es una prim-

itiva de1 + sen x1 + cos x

Realmente, el cambio t = tgx

2reduce a una racional la busqueda de una primitiva

de los cuatro tipos indicados en esta subseccion, pero para los tres primeros tipos,los cambios indicados para cada uno de ellos conducen a una racional mas sencillaque la que obtendramos con este cambio, como queda de maniesto al observar elsiguiente ejemplo:

Ejemplo 4.2.20 Si, para encontrar una primitiva de la funcion1

sen2x sen x cos x ,en vez de seguir el cambio de variable indicado en el ejemplo 4.2.18, utilizaramoseste ultimo cambio, obtendramos que

1sen2x sen x cos x dx =

1

4t2

(1 + t2)2 2t(1 t

2)(1 + t2)2

21 + t2

dt =

t2 + 1)t(t2 + 2t 1) dt

E.T.S.I.Informatica


que, siendo tan racional como la racional que obtenamos en el ejemplo 4.2.18, asimple vista resulta mas laboriosa que la que obtenamos all.

4.2.7. Integrales irracionales

Observando la siguiente cadena de igualdades

ax2 + bx+ c = a(x2 +

b

ax +

c

a

)= a

((x +

b

2a

)2+

c

a b

2

4a2

)=

= a

((x +

b

2a

)2+

4ac b24a2

)

dependiendo del signo de a y del signo del discriminante b2 4ac, podemos armarque si la funcion f(x) =

ax2 + bx+ c esta denida en algun subconjunto de R,

podemos determinar una primitiva suya con el cambio de variable z = x +b

2aque,

siendo k cierta constante positiva, nos conduce a alguna de los tres tipos siguientes:

z2 + k2 dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando el

cambio de variablez

k=

sen t

cos t= tg t, de donde dz =

k

cos2tdt, con el que

podemos armar que z2 + k2 dz =

k (z

k

)2+ 1 dz =

k

1cos2t

kcos2t

dt =

k2

cos3tdt

para la que, desde el ejemplo 4.2.16 de la pagina 271, tenemos ya una primitiva.

Para deshacer el cambio, observemos quez

k=

sen t

cos t, de donde

z2

k2=

sen2t

cos2t=

sen2t

1 sen2t , con lo que z2 z2 sen2t = k2 sen2t

As, despejando convenientemente, podemos armar que z2 = (z2+k2) sen2t,de donde

sen t =z

z2 + k2

y teniendo en cuenta que1 sen2t = cos t, tenemos que

1 z2

z2 + k2=

z2 + k2 z2

z2 + k2=

kz2 + k2

= cos t

Por tanto, con todo esto, podemos armar que z2 + k2 dz =

k2

cos3tdt =

k2

2 ln

1 + sen tcos t+ k22 sen tcos2t =


274 Calculo

=k2

2 ln

1 +

zz2 + k2k

z2 + k2

+

k2

2

zz2 + k2k2

z2 + k2

=

=k2

2 lnz +

z2 + k2

k+

zz2 + k2

2(4.10)

habiendo utilizado el resultado de el ejemplo 4.2.16 de la pagina 271 paraestablecer la segunda igualdad.

Podamos haber simplicado todo el proceso utilizando funciones hiperbolicasy as, haciendo el cambio de variable

z

k= senh t, de donde dz = k cosh t dt,

obtenemos que z2 + k2 dz =

k (z

k

)2+ 1 dz =

k2 cosh2t dt =

= k2 t+ senh t cosh t2

=k2

2 arcsenhz

k+

zz2 + k2

2(4.11)

donde en la penultima igualdad hemos utilizado la primitiva de la funcioncosh2t que, desde el ejemplo 4.2.4 de la pagina 256 seguramente ya habrasobtenido.

Por otra parte, no deberas dejarte deslumbrar por las diferencias entre lasexpresiones (4.10) y (4.11): son solo apariencias. Puedes convencerte de ellosin mas que recordar el ejercicio 7 de la pagina 156.

z2 k2 dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando el

cambio de variablez

k=

1cos t

, de donde dz =k sen tcos2t

dt, con el que podemosarmar que

z2 k2 dz =

k (z

k

)2 1 dz =

k

1cos2t

1 k sen tcos2t

dt =

=

k2 1 cos2t sen tcos3t

dt =

k2 sen2tcos3t

dt


Para deshacer el cambio, observemos que cos t =k

z, de donde

sen t =

1 cos2t =

1 k2

z2=z2 k2z

Por tanto, con todo esto, podemos armar que z2 k2 dz =

k2 sen2t

cos3tdt =

k2

2 ln

cos t1 + sen t+ k22 sen tcos2t =

E.T.S.I.Informatica


=k2

2 ln

k

z

1 +z2 k2z

+

k2

2

z2 k2

zk2

z2

=

=k22

lnz +z2 k2k

+zz2 k22

(4.12)

habiendo utilizado el resultado de el ejemplo 4.2.17 de la pagina 271 paraestablecer la segunda igualdad.

Al igual que en el ejemplo anterior, tambien podamos haber simplicado to-do el proceso utilizando funciones hiperbolicas y as, haciendo el cambio devariable

z

k= cosh t, de donde dz = k senh t dt, obtenemos que

z2 k2 dz =

k (z

k

)2 1 dz = k2 senh2t dt == k2 t+ senh t cosh t

2=k22

arccoshzk

+zz2 k22

(4.13)

donde en la penultima igualdad hemos utilizado la primitiva de la funcionsenh2t que, desde el ejemplo 4.2.4 de la pagina 256 seguramente ya habrasobtenido.

Anadir que, tampoco aqu deberas dejarte deslumbrar por las diferencias entrelas expresiones (4.12) y (4.13) ya que tambien aqu son solo apariencias, comopuedes comprobar recordando el ejercicio 7 de la pagina 156.

k2 z2 dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando elcambio de variable

z

k= sen t, de donde dz = k cos t dt, con el que podemos

armar que

k2 z2 dz =

k

1(zk

)2dz =

k

1 sen2t k cos t dt =

=

k2 cos2t dt = k2 t + sen t cos t2

donde hemos utilizado la primitiva de la funcion cos2t que habamos determi-nado en el ejercicio 4.2.4 de la pagina 256.

Para deshacer el cambio observemos que sen t =z

k, de donde obtenemos, por

una parte, que t = arcsenz

k, y por otra parte, que

cos t =

1 sen2t =

1(zk

)2=

k2 z2

k2=k2 z2k


276 Calculo

con lo que podemos armar que k2 z2 dz = k2 t+ sen t cos t

2=

k2

2 arcsenz

k+

zk2 z22

Ilustremos todo este razonamiento teorico con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.2.21 Si quisieramos determinar una primitiva de cada una de las si-guientes funciones

(a)

x2 + 6x + 25 ; (b)

4x x2 ; (c)

36x2 20x + 1

podramos utilizar lo anteriormente expuesto y as

(a) teniendo en cuenta que x2 + 6x + 25 = (x + 3)2 9 + 25 = (x + 3)2 + 16,podemos armar que

x2 + 6x + 25 dx =

(x + 3)2 + 16 dx =

16[(

x + 34

)2+ 1

]dx =

= 4 (

x + 34

)2+ 1 dx = 4

z2 + 1 4 dz = 16

z2 + 1 dz

habiendo considerado, para establecer la penultima igualdad, el cambio de

variable z =x + 3

4, de donde dx = 4 dz. Por ultimo, haciendo el cambio de

variable, z = senh t, que conlleva que dz = cosh t dt, tenemos que x2 + 6x + 25 dx = 16

cosh2t dt = 16 t + senh t cosh t

2=

= 8 arcsenh z + 8 z

z2 + 1 =

= 8 arcsenhx + 34

+ 2 x + 34

4 (

x + 34

)2+ 1 =

= 8 arcsenhx + 34

+x + 3

2

x2 + 6x+ 25

(b) teniendo en cuenta que 4xx2 = (x24x) = ((x2)24) = 4 (x2)2,podemos armar que

4x x2 dx =

4 (x 2)2 dx =

4[1

(x 2

2

)2]dx =

= 2

1(x 2

2

)2dx = 2

1 z2 2 dz = 4

1 z2 dz

E.T.S.I.Informatica


habiendo considerado, para establecer la penultima igualdad, el cambio de

variable z =x 2

2, de donde dx = 2 dz. Por ultimo, haciendo el cambio de

variable, z = sen t, que conlleva que dz = cos t dt, tenemos que 4x x2 dx = 4

cos2t dt = 4 t+ sen t cos t

2=

= 2 arcsen z+2 z

1 z2 = 2 arcsenx 22

+x 2

2 2

1

(x 2

2

)2=

= 2 arcsenx 22

+x 2

2

4x x2

(c) teniendo en cuenta que 36x2 20x+ 1 = 36(x2 5

9x +

136

), y ademas que

x2 59x +

136

=(x 5

18

)2 25

324+

136

=(x 5

18

)2+25 + 9

324=

=(x 5

18

)2 16

324=(x 5

18

)2 4

81=(x 5

18

)2(29

)2

con lo que podemos, haciendo el cambio de variable z = x 518

, armar que

36x2 20x+ 1 dx = 6

(x 5

18

)2(29

)2= 6

z2

(29

)2dz =

= 6 (2

9

)2 [(92

)2z2 1

]dz =

43

(9z2

)2 1 dz

Por ultimo, haciendo el cambio9z2

= cosh t, de donde dz =29senh t dt, ten-

emos que 36x2 20x + 1 dx = 4

3

cosh2t 1 2

9 senh t dt = 8

27

senh2t dt =

=827 t + cosh t senh t

2=

427

9z

2(

9z2

)2 1 arccosh9z

2

=

=z

2 43(

9z2

)2 1 4

27 arccosh9z

2=

=18x 5

36

36x2 20x+ 1 427 arccosh18x 5

4


278 Calculo

Aunque hemos utilizado los cambios de variable indicados para buscar primitivasde funciones de la forma

ax2 + bx + c, realmente los puedes utilizar para buscar

una primitiva de cualquier funcion de la forma R(x,ax2 + bx + c), siendo R una

funcion racional, aunque para algunos tipos particulares podemos proceder de for-ma mas ecaz. Por ejemplo, utilizando el mismo de tipo de transformaciones queindicabamos al principio de esta subseccion, podemos transformar cualquier integral

de la forma

1ax2 + bx+ c

dx en alguna integral de los siguientes tipos:

1

z2 + k2dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando el

cambio de variablez

k=

sen t

cos t= tg t, de donde dz =

k

cos2tdt, con el que

podemos armar que1

z2 + k2dz =

1

k (z

k

)2+ 1

dz =

1

k

1cos2t

kcos2t

dt =

1cos t

dt


Para deshacer el cambio, observemos quez

k=

sen t

cos t, de donde

z2

k2=

sen2t

cos2t=

sen2t

1 sen2t , con lo que z2 z2 sen2t = k2 sen2t

As, despejando convenientemente, podemos armar que z2 = (z2+k2) sen2t,de donde

sen t =z

z2 + k2


1 z2

z2 + k2=

z2 + k2 z2

z2 + k2=

kz2 + k2

= cos t

Por tanto, con todo esto, podemos armar que1

z2 + k2dz =

1

cos tdt = ln

1 + sen tcos t =

= ln

1 +

zz2 + k2k

z2 + k2

= ln

z +z2 + k2

k

Cuanto trabajo nos podramos haber ahorrado si hubieramos utilizado lasfunciones hiperbolicas! Sin mas que recordar los resultados obtenidos en la

E.T.S.I.Informatica


pagina 94, podamos haber armado que1

z2 + k2dz =

1

k

(zk

)2+ 1

dz = arcsenhz

k

1

z2 k2 dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando el

cambio de variablez

k=

1cos t

, de donde dz =k sen tcos2t

dt, con el que podemosarmar que

1z2 k2 dz =

1

k (z

k

)2 1 dz =

1

k

1cos2t

1 k sen t

cos2tdt =

=

k cos t sen tk sen t cos2t dt =

1

cos tdt


Para deshacer el cambio, observemos que cos t =k

z, de donde

sen t =

1 cos2t =

1 k2

z2=z2 k2z


1 z

2 k2z2

=

z2 z2 + k2

z2=

k

z= cos t

Por tanto, con todo esto, podemos armar que

1

z2 k2 dz =

1cos t

dt = ln1 + sen tcos t

=

= ln

1 +

z2 k2z

k

z

= ln

z +z2 k2k

A la vista de los resultados de la pagina 94, tambien podamos haber armadodirectamente que

1z2 k2 dz =

1

k

(zk

)2 1 dz = arccoshz

k


280 Calculo

1

k2 z2 dz, para la que podemos determinar una primitiva utilizando elcambio de variable

z

k= sen t, de donde dz = k cos t dt, con el que podemos

armar que

1

k2 z2 dz =

1

k

1

(zk

)2 dz =

k cos t

k1 sen2t dt = t = arcsen

z

k

Ejemplo 4.2.22 Si quisieramos determinar una primitiva de1

x2 2x + 5, tenien-do en cuenta que x22x+5 = (x1)2+4, podemos considerar el cambio de variablez = x 1, con lo que dz = dx, y podemos armar que

1

x2 2x + 5 dx =

1(x 1)2 + 4 dx =

1

z2 + 4dz =

=12

1(z

2

)2+ 1

dz = arcsenhz

2= arcsenh

x 12

4.2.8. El metodo de Hermite para fracciones irracionales

Basandonos en estas tres ultimas primitivas, podemos obtener una primitiva de

cualquier funcion de la formaP (x)

ax2 + bx + c, siendo P (x) un polinomio cualquiera,

utilizando el que se conoce como el metodo de Hermite para fracciones ir-racionales, que establece que, para cualquier funcion de esta forma, podemos en-contrar otro polinomio Q(x), de grado una unidad inferior al grado de P (x), y unaconstante M , que hagan cierta la siguiente igualdad:

P (x)ax2 + bx+ c

=d

dx

(Q(x)

ax2 + bx + c

)+

Max2 + bx+ c

con lo que podemos armar que

P (x)

ax2 + bx+ c= Q(x)

ax2 + bx+ c +

M

ax2 + bx + cdx

pudiendo determinar una primitiva del segundo sumando utilizando alguna de lasanteriores.

E.T.S.I.Informatica



1 + 15x + 2x2 3x39 x2 dx, el metodo de

Hermite para fracciones irracionales nos permite garantizar la existencia un polino-mio Q(x) de segundo grado (y por tanto, de tres constantes reales A, B y C talesque Q(x) = Ax2 + Bx+ C) y de una constante real adicional M tal que

1 + 15x + 2x2 3x39 x2 =

d

dx

((Ax2 + Bx +C)

9 x2

)+

M9 x2 =

= (2Ax +B)

9 x2 + (Ax2 + Bx +C) 2x29 x2 +

M9 x2 =

=(2Ax +B)(9 x2) x(Ax2 + Bx+ C) + M

9 x2 =

=3Ax3 2Bx2 + (18A C)x + (9B +M)

9 x2As, igualando los coecientes de los polinomios de los numeradores de la primera yde la ultima fraccion irracional, deducimos que los coecientes buscados han de sersolucion del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(Coeciente de x3) 3A = 3(Coeciente de x2) 2B = 2(Coeciente de x) 18A C = 15(Termino independiente) 9B +M = 1

de donde podemos armar que los valores de nuestras constantes son A = 1, B = 1,C = 3 y M = 10, y por tanto

1 + 15x+ 2x2 3x3

9 x2 dx = (x2 x + 3)

9 x2 + 10

1

9 x2 =

= (x2 x + 3)

9 x2 + 10 arcsenx3

4.2.9. Otros tipos

Hay otras muchas familias de funciones para las que se puede obtener una prim-itiva de forma analtica, pero solo destacaremos aqu las siguientes:

sen ax cos bx ; cos ax cos bx ; sen ax sen bx


282 Calculo

siendo a y b dos constantes reales cualquiera. Para determinar, de forma sencilla,una primitiva de tales funciones recordemos que

sen(+ ) = sen cos + cos sen (4.14)

sen( ) = sen cos cos sen (4.15)cos(+ ) = cos cos sen sen (4.16)cos( ) = cos cos + sen sen (4.17)

As, si sumamos las ecuaciones (4.14) y (4.15) podemos armar que

sen( ) + sen(+ ) = 2 sen cos

de donde, despejando convenientemente, obtenemos que

sen( ) + sen( + )2

= sen cos (4.18)

Si sumamos las ecuaciones (4.16) y (4.17) podemos armar que

cos( ) + cos(+ ) = 2 cos cos


cos( ) + cos(+ )2

= cos cos (4.19)

Por utlimo, si restamos las ecuaciones (4.16) y (4.17) podemos armar que

cos( ) cos(+ ) = 2 sen sen


cos( ) cos(+ )2

= sen sen (4.20)

pudiendo utilizar las igualdades (4.18), (4.19) o (4.20), para encontrar una primitiva,respectivamente, de cada uno de esos tipos, sin mas que hacer = ax y = bx

Ejemplo 4.2.24 Para buscar una primitiva de sen 4x sen 3x podemos utilizar laigualdad (4.20) con la que podemos armar que

sen 4x sen 3x dx =

cos(4x 3x) cos(4x + 3x)2

dx =

=12

(cos x cos 7x

)dx =

12

(sen x sen 7x

7

)=

sen x

2 sen 7x

14

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4.3. Aplicaciones de la integral 283

LECCION 4.3

Aplicaciones de la integral

Aunque la integracion surge como herramienta para el calculo de areas, tambiense utilizan para el calculo de lmites, para el calculo de volumenes, para el calculode longitudes de curvas, . . . A continuacion veremos algunas de estas aplicacionespero como no seremos muy estrictos en las formalizaciones, convendra consultarbibliografa (por ejemplo, Calculo para la Ingeniera (I). Manolo Ojeda. Agora, 93)para un punto de vista mas formal.

4.3.1. Calculo de lmites

En la primera parte de este tema, veamos que el area del trapecio curvilneodeterminado por las rectas x = a, x = b, el eje X y la graca de la funcion y = f(x)lo podamos calcular como

lm

(n

i=1

f(xi) (b a)n

)= (b a) lm

ni=1

f(xi)

n

siendo xi [a +

(b a) (i 1)n

, a+(b a) i

n

]Puesto que, en virtud del teorema fundamental del calculo, se tiene que el area de

dicho trapecio curvilneo tambien es igual a F (b)F (a), siendo F (x) una primitivade f(x), entonces podemos armar que

(b a) lm

ni=1

f(xi)

n= F (b) F (a)


lm

ni=1

f(xi)

n=

F (b) F (a)b a (4.21)

Ejemplo 4.3.1 Calcular lm1p + 2p + + np

np+1

Consideremos la funcion f(x) = xp denida en el intervalo [0, 1] y tomemos como

sucesion de particiones Pn : 0 0, y que y > 0) existen dos reales positivosu y v tales que y = u x, y que x y = v. Si despejamos y en esta ultima igualdady lo sustituimos en la anterior podemos armar que

v

x= u x, de donde podemos

obtener que

x =vu

; y =u v

As, teniendo en cuenta estas igualdades y para utilizar la igualdad (4.25), pode-

mos considerar la aplicacion T : R2 R2 denida como T (u, v) =(

vu,uv

)

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4.6. Integrales dobles 323

Esta aplicacion es diferenciable y biyectiva en D, y puesto que

det(JT (u, v)

)=

x

u(u, v)

x

v(u, v)

y

u(u, v)

y

v(u, v)

=

1v2 u

u

12uv

v

2u

u

2v

=

=1

v

2 uu u

2v 1

2uv v

2u

=14 u

14 u

=12 u

y para el conjunto R ={(u, v) R2 tales que 1

2 u 8, 2 v 18

}se verica

que T (R) = D, podemos armar que

D

y(x+ y)x(23 x y) dx dy =

R

u v

(vu

+u v

)vu

(23v

uu v

) 12 u du dv =

=

R

v (1 + u)

v (23u 1

) 12 u

du dv =12

R

1 + u23 u du dv =

=12

8u=1/2

[ 18v=2

1 + u23 u dv

]du = 8

8u=1/2

1 + u23 u du = 8

8u=1/2

(24

23 u 1)

du =

= 8[24 ln(23 u) u

]8u=1/2

= 8(24 ln 15 8 + 24 ln

(452

)+

12

)=

= 192 ln(32

) 60 = 192 ln 3 192 ln 2 60 = 17.8493 . . .

Utilizando la igualdad (4.25) podemos demostrar que, tal y como establecamosen la pagina 305, siendo p y q dos numeros positivos cualquiera, se cumple que

(p, q) =(p) (q)(p + q)

. Para ello, tengamos en cuenta que, independientemente de

que la variable de integracion la denotemos por x, o por y, se cumple que

(p) = +x=0

xp1ex dx ; (q) = +y=0

yq1ey dy

As, multiplicando ambas igualdades y denotando por C1 al primer cuadrante, pode-mos armar que

(p) (q) = +x=0

xp1ex dx +y=0

yq1ey dy =


324 Calculo

=

C1

xp1 yq1 e(x+y) dx dy

Consideremos ahora el cambio de variables u = x+y, v =x

x + y, de donde podemos

obtenerx = u v ; y = u (1 v)

Puesto que la aplicacion T : R2 R2 denida como T (u, v) = (u v, u (1 v)) esdiferenciable y biyectiva en todo C1 salvo para el punto (x, y) = (0, 0), y ya que,denotando por D = C1 {(0, 0)}, y puesto que para todo (x, y) D se cumple que

x + y > 0

0 x x + y, de donde 0 xx + y

1

y teniendo en cuenta que u = x + y, v =x

x + y, podemos armar que, siendo

R ={(u, v) R2 tales que u > 0, 0 v 1}, se cumple que T (R) = D

Por tanto, ya que

det(JT (u, v)

)=

x

u(u, v)

x

v(u, v)

y

u(u, v)

y

v(u, v)

=

v u

1 v u

= u v u + u v = u

podemos utilizar la igualdad (4.25) para garantizar la veracidad de la segunda delas siguientes igualdades, pudiendo armar que

(p) (q) =

C1

xp1 yq1 e(x+y) dx dy =

=

Rup1 vp1 uq1 (1 v)q1 eu | u| du dv =

= +u=0

[ 1v=0

u(p+q)1 eu vp1 (1 v)q1 dv]du =

= +u=0

u(p+q)1 eu[ 1

v=0vp1 (1 v)q1 dv

]du =

= +u=0

u(p+q)1 eu du 1v=0

vp1 (1 v)q1 dv = (p + q) (p, q)

con lo que obtenemos que (p) (q) = (p + q) (p, q), de donde, despejandoconvenientemente, resulta la igualdad deseada.

E.T.S.I.Informatica

325

Relacion de ejercicios (I)

1. Propiedades de la integral denida. Si 41

f(t) dt = 5 y 21

2f(t) dt = 1

hallar 42

f(t) dt.

2. Teorema fundamental del Calculo.

(a) Hallard

dx

( x0

t2 + 1dt

)(b) Hallar

d

dx

( 3x

sen2tdt

)

(c) Hallard

dx

( x20

cost2dt

)(d) Hallar

d

dx

( x2x

11 + t2

dt

)

3. Aproximar, utilizando el metodo de integracion numerica del punto medio,el area de la region delimitada por la graca de la funcion f(x) = sen2x,los ejes de coordenadas y la recta vertical x = , determinando el numero desumandos que hay que utilizar para que dicha aproximacion tenga un error queno sea superior a una milesima. Utilizando la regla de Barrow y la primitivadeterminada en el ejemplo 4.2.4 de la pagina 256, determinar el valor exactoy comparar el resultado con la aproximacion obtenida.

4. La regla de Barrow.

(a) 11

x4 dx (b) 21

1t2

dt (c) 41

(2x2

+x

)dx

(d) 81

y1/3 + y1/2

ydy (e)

/20

4 cos t dt (f) /40

sec2x dx

5. El calculo de primitivas. Hallar:

(a)

kex dx (b)

6 cos(3t+ 1) dt (c)

(x3 + 2x2 + 1) dx

(d)

2x

x2 + 1 dx (e)

x2sen x3 dx (f)

cos 3t(1 + sen 3t)5

dt

6. Integracion por partes. Hallar:

(a)

x sen x dx (b)

x2ex dx (c)

x3

1 + x2 dx

(d)

arctg x dx (e)

x2cos nx dx (f)

excos x dx


326 Calculo

7. Integracion de funciones racionales. Hallar:

(a)

x6 2x4 + x2

dx (b)

x 2x2 5x + 7 dx

(c)

1(1 + x2)2

dx (d)

x + 4(x2 x + 1)2 dx

(e)

x3 + 2x2 + 2x+ 1(x2 x + 1)2 dx

8. Integracion por cambio de variable. Hallar:

(a)

x(x2 + 3)4 dx (b)

exsen ex dx (c)

ln(cos x) tg x dx

(d)

xx + 1 dx (e)

x3

4 x2 dx (f)

x1/2

1 + x1/3dx

9. Integracion de funciones irracionales. Hallar:

(a)

4x2 9 dx (b)

x2 + 25 dx (c)

7 12x 4x2 dx

10. Integracion de funciones trigonometricas

(a)

sen3x cos2x dx (b)

sen3(2x) cos3/2(2x) dx

(c)

sen4x dx (d)

sen(2x) cos(3x) dx

(e)

1sen x

dx (f)

1sen x+ cos x

dx

11. Calculo de areas planas.

a) Calcular el area limitada por la graca de f(x) = x2 + 2x y el eje OXsobre el intervalo [-2,2]

b) Hallar el area de la region acotada por y = 2x e y = x2 de dos formasdistintas (integrando primero respecto a x y despues respecto a y)

c) Calcular el area de la region limitada por las gracas de y2 = 1 x yx = 2y 2.

12. Calculo de volumenes de revolucion. Metodo de secciones.

a) Deducir el volumen de una esfera de radio R

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327

b) Sea la region del primer cuadrante acotada por las curvas de ecuaciony = x2 , x = 0 e y = 1. Hallar el volumen del solido de revolucionobtenido al girar la region plana anterior alrededor de:1) el eje OX 2) la recta y = 23) la recta y = 3 4) la recta x = 1

c) Deducir el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h

d) Sea un solido de base plana y altura h. Supongase que el area de unaseccion paralela a x unidades de la base es c(h x)2 para x [0, h] yalguna constante c independiente de x. Probar que el volumen del solidoes bh/3 donde b es el area de la base.

e) La base de un solido es un triangulo equilatero de lado s, con un vertice enel origen y tal que la altura del triangulo correspondiente a dicho verticeesta sobre el eje OX . Cada seccion plana perpendicular al eje OX es uncuadrado con uno de sus lados en la base del solido. Hallese el volumendel solido.

13. Calculo de volumenes de revolucion. Metodo por capas.

a) Deducir el volumen de una esfera de radio R

b) Deducir el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h.

c) Sea la region del primer cuadrante acotada por las curvas de ecuaciony = x2, x = 0 e y = 1. Hallar el volumen del solido de revolucion obtenidoal girar la region plana anterior alrededor de:1) el eje OY 2) la recta x = 13) la recta x = 2 4) el eje OX

d) Se taladra una esfera de radio R por uno de sus diametros con una brocade radio r. Hallar el volumen de la esfera taladrada.

14. Con el ejercicio 3 de la pagina 325 se consigue aproximar 0

sen2x dx, uti-

lizando el metodo del punto medio. Hacer lo mismo utilizando el metodo delos trapecios y el metodo de Simpson, comparando los resultados obtenidostanto en este como en aquel ejercicio.

15. Determinar el caracter y calcular las siguientes integrales impropias:

(a) 1

1x2

(b) 10

11 x (c)

11

1x

(d)

1x


328 Calculo

16. Calcular las siguientes integrales denidas:

(a) /20

sen2t cos3t dt (b) /20

cos3t dt

(c) 0

sen5t dt (d) 0

cos4t dt

(e) 3/20

sen4t cos3t dt (f) 3/20

sen2t cos3t dt

17. Utilizando integrales dobles, calcular el volumen bajo la supercie z = f(x, y),cuando (x, y) D, comprobando el resultado obtenido haciendo la integracioncorrespondiente intercambiando el orden de integracion, siendo

a) f(x, y) = x + 4y, D ={(x, y) R2 tales que 0 < x < 2, 1 < y < 2}

b) f(x, y) =xy+2x+y, D =

{(x, y) R2 tales que 0 < x < 2, 0 < y < 4}

c) f(x, y) = e2x+y, D ={(x, y) R2 tales que 0 < x < 1

2, 0 < y < 1

}d) f(x, y) = x2y, y siendo D el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0), (0, 1)

18. Siendo D ={(x, y) R2 tales que a < x < b, c < y < d}, en cada una de las

siguentes condiciones, calcular

Df(x, y) dx dy

a) cuando f(x, y) = 2x y, para (a, b, c, d) = (1, 2, 0, 2)b) cuando f(x, y) = 3x2y xy2, para (a, b, c, d) = (3, 3,2, 2)c) cuando f(x, y) = cos x sen 2y, para (a, b, c, d) =

(0,

2, 0,

3 2

)

19. Utilizando coordenadas cartesianas y siendo D el interior del crculo de cen-

tro el origen y radio R, calcular

D

R2 x2 y2 dx dy, y hacer lo mismo

utilizando coordenadas polares, dando una interpretacion geometrica del valorobtenido.

20. Calcular

Dx dx dy siendo D el semicrculo con centro en el punto (1, 0) y

radio 1

21. Calcular

D

x2 y2 dx dy, siendo D el triangulo de vertices (0, 0), (1, 1)

y (1, 1)

E.T.S.I.Informatica

329

Relacion de ejercicios (II)

1. Propiedades de la integral denida.

a) Si 81

g(x) dx = 4, 15

2g(x) dx = 6, 82

g(x) dx = 5, calcular 52

g(x) dx

b) Sabiendo que 41

(fg)(x) dx = 10, 14

(f+g)(x) dx = 3, 40

g(x) dx = 5,

calcular 10

g(x) dx

2. Teorema fundamental del Calculo. Usar las propiedades de la integral deniday el teorema fundamental para hallar las siguientes derivadas:

(a)d

dx

( x1

t2 dt

)(b)

d2

dx2

( x2

t2 + 1 dt

)

(c)d

dx

( x2

t2 + 4 dt+

1x

t2 + 4 dt

)

(d)d

dx

( x3x2

14 + 3t2

dt

)(e)

d2

dx2

( xx

3 + 4t2 dt

)

3. No hay ninguna funcion expresable en terminos de las funciones elementalestal que su derivada sea la funcion f(x) = ex2/2 (en otros terminos, la funcionf(x) = ex2/2 no admite primitiva en terminos de las funciones elementales),

con lo que si, por ejemplo, quisieramos calcular 10

ex2/2 dx, resultara impre-

scindible utilizar algun metodo de aproximacion. Utiliza el metodo del punto

medio para aproximar 10

ex2/2 dx con un error menor que una milesima.

4. La regla de Barrow. Usar la Regla de Barrow y las propiedades de la integraldenida para evaluar las siguientes integrales denidas:

(a) /3/6

sec x tg x dx (b) 01

x2 dx (c) 10

x

1 x2 dx

(d) ln 50

ex dx (e) ln 6ln 2

ex dx (f) 31

x + 2x

dx

5. Usar integracion por partes para resolver las siguientes integrales:

(a)

x sen 5x dx (b)

x3cos x2 dx (c)

x5ex dx

(d)

x5sen x3 dx (e)

x3

39 x2 dx (f)

x3

4 x2 dx


330 Calculo

6. Resolver las siguientes integrales de funciones racionales:

(a)

2x2 + 2x 2x3 + 2x

dx (b)

2x2 3x + 3x3 x2 + x 1 dx

(c)

3x3 + 3x2 5x + 7x4 1 dx (d)

x + 3

x2 5x + 7 dx

7. Usar el metodo de integracion por cambio de variable para resolver las siguien-tes integrales (es posible que algunas de ellas salgan de forma igualmente facilintegrando por partes):

(a)

x

1 +xdx (b)

cos x

4 sen2x dx (c)

dx

x1/2 + x1/3

(d)

x5

9 + x3 dx (e)

x3

9 + x2 dx (f)

x

25 x2 dx

(g)

sen3x cos4x dx (h)

sen23x dx (i)

tg3x sec2x dx

(j)

sen3x

1 + cos2xdx (k)

dx

sen x+ cos xdx (l)

dx

1 + cosx

(m)

dx4x2 + 8x 3 (n)

x1/2

4 + x1/3dx (o)

sen3x

1 cos2x dx

8. Usualmente un poco de ingenio puede evitarnos bastante tiempo de frustraciondelante de una integral elemental como pueden ser las siguientes:

(a)

x4 + 3x3 + 2x2 + 3x 5(x 1)5 dx

(b)

6x3 58x2 + 191x 213(x 3)6 dx

(c)

2x4 + 19x3 + 61x2 + 80x+ 30(x+ 2)4

dx

(d)

6x5 + 31x4 + 61x3 + 48x2 8x 24(x + 1)7

dx

El metodo expuesto para el calculo de primitivas de funciones racionales sepuede aplicar aqu, pero como las funciones racionales propuestas son un co-ciente de un polinomio y una potencia de (x a), podemos encontrar unaprimitiva de cada una de ellas de forma mucho mas rapida si desarrollamos elnumerador en potencias de (x a), descomponemos la expresion en sumas ysimplicamos cada una de ellas. Resuelvanse las integrales anteriores medianteeste procedimiento (inviertase el tiempo ahorrado en un merecido descansoantes de segu

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