INtegral KOMPleks

Bab 4. Integral Kompleks Yudiari

36

BAB 4.

INTEGRAL KOMPLEKS

4.1 Integral Garis Kompleks

Misalkan C→Dtz :)( adalah fungsi kompleks dengan domain riil

],[ baD = , maka integral ∫b

a

dttz )( , dimana )()()( tiytxtz += dapat dengan mudah

dihitung, yaitu ∫b

a

dttz )( = ∫∫ +b

a

b

a

dxtyidxtx )()( . Sebagai

contoh ∫ +=++1

0

2 .32

3])1[( idtitt

Masalah kita adalah bagaimana menghitung ∫b

a

dzzf )( , dimana fungsi C→Df :

dengan D C⊂ .

Misalkan f (z) fungsi kompleks pada sub himpunan dari himpunan bilangan

kompleks dan C lintasan yang dinyatakan dengan )()()( tiytxtz += , bta ≤≤ ,

maka pendefinisian dari ∫b

a

dzzf )( sama dengan pendefinisian pada integral fungsi

riil pada suatu interval.

b = nz

1z 2z 1−nz

=0z a


37

Misal P menyatakan partisi pada lintasan terbuka C, yaitu

},...,,{ 10 bzzzaP n === dan nkzzz kkk ,...,2,1],,[ 1* =∈ − , maka jumlah Riemann

yang bersesuaian dengan pariosi P adalah

∑=

=n

kkk zzfPS

1

* )()( ∆ , dengan 1−−= kkk zzz∆ .

Jika terdapat bilangan kompleks L sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan

0>ε terdapat sebuah partisi εP dari lintasan C sehingga berlaku

ε<− LPS )( ,

maka fungsi f(z) dikatakan terintegral pada lintasan C dengan nilai integralnya

adalah L. Dengan kata lain

LPSn

=∞→

)(lim .

Nilai limit ini dinamakan integral garis f(z) sepanjang kurva C, ditulis

∫ =C

Ldzzf )( . Jika C tertutup biasa ditulis dengan ∫C

dzzf )( .

Sifat-sifat integral kompleks :

1. Linier, yaitu

∫∫∫ +=+CCC

dzzgkdzzfkdzzgkzfk )()()]()([ 2121

2. Jika C terdiri dari dua bagian kurva C1 dan C2 maka,

∫∫∫ +=21

)()()(CCC

dzzfdzzfdzzf .

3. Jika 0z dan 1z adalah ujung-ujung lintasan, maka

∫∫ −=0

1

1

0

)()(z

z

z

z

dzzfdzzf

4. Jika f(z) terbatas, Mzf ≤)( dengan M bilangan positif, maka

∫∫ ≤≤CC

MLdzzfdzzf )()( dengan L adalah panjang kurva.


38

4.2 Menghitung integral kompleks

Integral bergantung lintasan

Misalkan →],[:)( βαtz C . Lintasan C dapat dipartisi dengan mempartisi inteval

],[ βα menjadi n buah sub interval bttt n =<<<= ...10α . Dengan demikian

})(),...,(),(),({ 21 bztztzza == βα merupakan partisi dari lintasan C. Jumlah

Riemann yang bersesuaian dengan lintasan C adalah

∑=

−−=n

kkkk tztztzfPS

11

* ))()())((()(

yang dapat ditulis dalam bentuk

)())()((

))(()( 11 1

1*−

= −

− −−−

= ∑ kk

n

k kk

kkk tt

tttztz

tzfPS .

Untuk ∞→n diperoleh

∫

∑

=

−−−

= −= −

−

∞→∞→

β

α

dttztzf

tttt

tztztzfPS kk

n

k kk

kkk

nn

)('))((

)())()((

))((lim)(lim 11 1

1*

Jadi integral f(z) pada lintasan C dapat dinyatakan dengan

∫∫ =β

α

dttztzfdzzfC

)('))(()( .

Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut :

1. Nyatakan lintasan C dalam )()()( tiytxtz += , bta ≤≤

2. Cari turunan, z’(t).

3. Substitusikan z(t) ke dalam f(z).

4. Integralkan.

Contoh 1. Tentukan ∫C

dzzf )( jika iyyxzf ++= )()( dari z = 0 ke z = 1 + i , jika

C adalah :

a. Garis lurus yang menghubungkan z = 0 ke z = 1 + i.


39

b. Parabola 2xy = .

c. Ruas garis dari z = 0 ke z = 1 , kemudian dari z = 1 ke z = 1 + i.

Penyelesaian.

a. Dalam kasus ini lintasan C adalah 10,)( ≤≤+= titttz dan

itz += 1)(' . Dengan demikian integral menjadi

∫ ∫ ++=C

dtiittfdzzf1

0

)1)(()(

.23

21

]3[

)1](2[

1

0

1

0

i

dttit

dtiitt

+=

+=

++=

∫

∫

b. Dalam kasus ini lintasan C adalah 10,)( 2 ≤≤+= titttz ,

titz 21)(' += , dan 22 )())(( ittttzf ++= . Dengan demikian integral

menjadi

∫ ∫ +++=C

dtiitttdzzf1

0

22 )1]()[()(

.67

21

)2([1

0

2

i

dtttit

+=

++= ∫


40

c. Dalam kasus ini lintasan C terdiri dua bagian , katakan 1C : z(t) = t,

10 ≤≤ t dan C2 : 10,1)( ≤≤+= tittz .

Pada 1C , 1)(' =tz , dan ttzf =))(( . Dengan demikian integral menjadi

∫ ∫ ==1

.21)(

1

0C

tdtdzzf

Pada 2C , itz −=)(' , dan )())(( itttzf +−= . Dengan demikian

integral menjadi

∫ ∫ +−=+−=1

.21

21)()(

1

0C

idtittdzzf

Jadi

.21)()()(

21

idzzfdzzfdzzfCCC

=+= ∫∫∫

Selanjutnya misalkan ingin ditentukan batas atas nilai mutlak integral, maka perlu

dicari bilangan M sehingga Mzf ≤)( untuk semua ∈z C dan panjang

lintasan L. Misalkan untuk C pada kasus (a) kita punyai dan 2=L sehingga

∫∫ ≤≤CC

dzzfdzzf 10)()( .

Dari contoh 1 di atas terlihat bahwa nilai integral akan berbeda untuk lintasan

yang berbeda.

Integral bebas lintasan

Terdapat suatu keadaan khusus, bahwa integral lintasan tidak bergantung terhadap

bentuk lintasannya, artinya nilai integral akan sama walaupun lintasanya berbeda

asalkan ujung-ujungnya sama. Dalam hal ini integral dikatakan bebas lintasan,

yang akan dijelaskan sebagai berikut.


41

Misalkan D merupakan sub himpunan dari himpunana bilangan riel dan fungsi

C→Dtz :)( terdiferensial di t. Selanjutnya misalkan fungsi

),(),()( yxivyxuzg += terdiferensial di z(t).

Selanjutnya perhatikan bahwa

))(),(())(),(())(( tytxivtytxutzg +=

dan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

dtdy

dydv

dtdx

dxdvi

dtdy

dydu

dtdx

dxdu

dttzgd ))](([ .

Dengan menerapkan persamaan Cauchy Riemann, diperoleh

).('))(('

))](([

tztzgdtdyi

dtdx

dxdvi

dxdu

dtdy

dydu

dtdx

dxdvi

dtdy

dxdv

dtdx

dxdu

dttzgd

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

Kenyataan di atas dapat digunakan untuk menghitung integral lintasan sebagai

berikut. Misalkan C→DF : dengan )()(' zfzF = di D. Misalkan juga a dan b di

dalam D dan C ⊂ D kontur/lintasan dari a ke b. Maka

∫ ∫=C

dttztzfdzzfβ

α

,)('))(()( dimana →],[:)( βαtz C ,

)()()( tiytxtz += merupakan representasi lintasan C. Telah diketahui bahwa

)('))(()('))(('))(( tztzftztzFtzFdtd

== , sehingga

∫ ∫∫ ==C

dttzFdtddttztzfdzzf

β

α

β

α

))(()('))(()(

= ))(())(( αβ zFzF −

= )()( aFbF − .

Perhatikan bahwa integral hanya bergantung pada titik a dab b dan tidak peduli

pada bentuk lintasan C. Integral ini dinamakan integral bebas lintasan (path


42

independent). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa integral suatu fungsi

analitik untuk suatu litasan C di dalam pada domain terhubung sederhana D dari

titik a ke titik b adalah

∫ −=C

aFbFdzzf )()()(

dengan )()(' zfzF = untuk z di D.

Dengan demikian jika C adalah lintasan tertutup maka

∫ =C

dzzf 0)( .

Contoh 2.

Tentukan ∫C

dzz 2 , jika C adalah kurva 2xy = dari z = 1 + i ke z = 2 + 4i.

Penyelesaian. Kita tahu bahwa 2)( zzf = adalah fungsi seluruh, jadi analitik untuk

semua z dan 331)( zzF = . Jadi

[ ]

.31814

)1()42(31 332

i

iidzzC

+−=

+−+=∫

Soal latihan :

Tentukan ∫C

dzzf )( jika

1. 23)( ixxyzf −−= , C garis dari 0 ke 1 + i

2. zzf =)( , C parabola 2xy = dari 0 ke 1 + i.

3. z

zf 1)( = , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif (berlawanan

arah jarum jam).

4. zzzf 2)( += , C lintasan dari 0 ke 1 kemudian dari 1 ke 1+ 2i.

5. z

zzf 2)( += , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif.


43

6. 2

)( zzezf = , C garis dari 0 ke 1 + i

7. 152)( 23 +++= zzzzf , C parabola 2xy = dari 0 ke 1 + i.

8. zzf cos)( = , C setengah lingkaran π=z dari iz π−= ke iz π= .

9. zzzf sin)( = , C sebarang lintasan dari z = 0 ke iz π= .

10. zzf 2sin)( = , C setengah lingkaran π=z dari iz π−= ke iz π= .

4.3 Teorema Cauchy - Goursat

Pada bagian sebelumnya telah dibahas bahwa integral garis fungsi kompleks f(z)

bergantung pada ujung-ujung dan bentuk lintasannya. Tetapi jika f(z) analitik

maka pada domain terhubung sederhana D maka integral tidak akan bergantung

pada bentuk lintasannya dan nilainya nol jika lintasannya tertutup. Pada bagian

ini akan dibahas untuk lintasan tertutup. Integral pada lintasan tertutup sederhana

sering disebut dengan integral kontur.

Ada beberapa definisi yang akan sering digunakan dalam pembahsan ini.

- Lintasan tertutup sederhana, adalah lintasan yang tidak memotong atau

menyinggung dirinya sendiri (gambar 1)

(a) (b) (c) Gambar 1. Lintasan tertutup, (a) sederhana, (b) sederhana, (c) tidak sederhana

- Domain terhubung sederhana, adalah jika setiap lintasan tertutup

sederhana dalam domain tersebut melingkungi hanya titik-titik dalam

domain. Sedangkan domain yang lainna disebut domain terhubung

berganda (Gambar 2)


44

(a) (b) (c) Gambar 2. Domain terhubung, (a) sederhana, (b) ganda dua, (c) ganda tiga

Teorema Cauchy Goursat. Jika f(z) analitik di dalam suatu domain terhubung

sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D berlaku

0)( =∫C

dzzf .

C

D

Gambar 3. lintasan tertutup sederhana C di dalam D

Dengan kata lain integral kontur fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang

dilewatinya.

Contoh 3. 0)( =∫C

dzzf untuk sebarang lintasan tertutup C jika )(zf adalah fungsi

seluruh, misal )(zf = sin z, )(zf = ze .

Contoh 4. Tentukan ∫C

dzzf )( jika 4

1)( 2 +=

zzf dan C linngkaran satuan arah

positif.

Penyelesaian. Titik singular dari 4

1)( 2 +=

zzf adalah iz 2±= terletak di luar C.

Jadi 4

1)( 2 +=

zzf analitik pada dan di dalam C, sehingga 0)( =∫

C

dzzf .


45

Teorema Cauchy-Goursat pada domain berganda

Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk domain terhubung ganda dua,

terdiri dari dua kurva tertutup, C dan K( Gambar 4a). Jika arah kontur dibalik,

hasil integral akan menjadi negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah

arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi.

Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur

fungsi kompleks.

C

K

(a)

Gambar 4. Lintasan integrasi ganda dua

Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4

integral dengan kontur masing-masing C’, Γ1, Γ2, dan –K’ (+K’ didefinisikan

searah dengan C). Kontur C’ adalah kontur C setelah terbelah oleh celah lintasan

Γ1 dan Γ2 yang masuk dan keluar di antara C dan K. Demikian pula kontur K’

adalah kontur K sesudah diberi celah tersebut di atas (Gambar 4). Celah harus

dibuat sedemikian kecil agar C’→ C dan K’ → K. Nilai integral ini adalah

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfKCC

∫∫∫∫∫ +++=− 21

)()()()()('' ΓΓ

Jika diamati jelaslah bahwa Γ1 = - Γ2 sehingga kedua integralnya saling

menghilangkan.Untuk f(z) yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku

teorema Cauchy-Goursat :

0)()()(''

=+= ∫∫∫−

dzzfdzzfdzzfKCC

.

Karena C’→ C dan K’ → − K ,maka diperoleh

(b)


46

∫∫ =KC

dzzfdzzf )()( .

(Dalam hal ini perhatikan bahwa lintasan C dan K memiliki arah yang sama).

Jadi di dalam daerah analitiknya, kontur tertutup integral kompleks boleh

mengecil tanpa mengubah nilai integral itu sendiri. Sifat ini dapat diperluas

pengertiannya jika anulusnya memiliki banyak lubang, katakanlah lubang K1, K2,

... , Kn (Domain berganda n), sehingga diperoleh

.)(...)()()(21

∫∫∫∫ +++=nKKKC

dzzfdzzfdzzfdzzf

Contoh. Hitunglah ∫ ++

C

dzzz

z2

3 , dengan C lingkaran pusat 0, berjari-jari 3 arah

positif.

Penyelesaian.

Perhatikan bahwa fungsi 1

233)( 2 +−=

++

=zzzz

zzf tidak analitik di z = 0

dan z = 1. Kedua titik tersebut ”dibuang” dengan membentuk lingkaran

dengan pusat di titik tersebut (gambar 5).

C

K1 K2

-1 0

Gambar 5.


47

Dengan demikian f(z) analitik di dalam domain yang dibatasi oleh C, K1, K2

sehingga diperoleh

dzzz

dzzz

dzzz

z

KKC∫∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

++

211

231

2332

= ∫∫∫∫ +−+

+−

22111

231

23

KKKK zdz

zdz

zdz

z .

Menurut teorema Cauchy – Goursat maka integral suku pertama dan keempat di

ruas kanan adalah nol. Sehingga diperoleh

iiidzzz

z

C

πππ 26432 =+−=

++

∫ .

Soal Latihan

1. Buktikan teorema Cauchy-Goursat.

2. Misalkan C daerah persegi dengan titik –titik sudut 10,10 ±=±= yx arah

positif. Tentukan ∫C

dzz

.1

3. Tentukan ∫ −C

dzz 1

1 , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z = 1 arah

positif.

4. Tentukan ∫ +C

dzz 1

1 , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z = – 1 arah

positif.


dzz 1

12 , dengan C ellips 364 22 =+ yx arah positif.


dzz 1

12 , dengan C lingkaran 010 22 =+− yxx arah positif.

7. Tentukan ∫ −+−

C

dzzz

z)2)(1(

27 , dengan C lingkaran 23

=z arah positif.


48

4.4 Rumus integral Cauchy

Misalkan fungsi f(z) analitik di dalam suatu daerah yang memuat lintasan tertutup

sederhana C arah positif, dan misalkan 0z titik interior C.

Karena f analitik maka f kontinu di 0z sehingga untuk setiap bilangan positif

0>ε terdapat 0>δ sehingga jika 00 <− zz maka ε<− )()( 0zfzf . Misalkan

0>ρ sedemikian sehingga δρ < dan lingkaran ρ=−= 0:{ zzzK } berada di

dalam C.

C

K

z0

ρ

Gambar 5. Integral Cauchy

Fungsi 0

)(zzzf

− analitik di daerah antara C dan K. Maka menurut teorema Cauchy

∫∫ −=

− KC

dzzzzfdz

zzzf

00

)()( .

Perhatikan bahwa

dteie

ezfdzzzzf it

it

it

K

ρρ

ρπ

ρ ∫∫+

=− →

2

0

000

)(lim)(

= ∫π2

00)( dtzif

= )(2 0zifπ .

Jadi

∫∫ −=

− KC

dzzzzfdz

zzzf

00

)()( = )(2 0zifπ .

atau


49

∫ =−C

dzzzzf

0

)()(2 0zifπ

atau

)( 0zf = ∫ −C

dzzzzf

i 0

)(21π

.

yang biasa disebut Rumus Integral Cauchy.

Contoh 6. Tentukan ∫ +−C

dzzzz

)4)(1(2 , Jika C : 2=z arah positif.

Penyelesaian.

Perhatikan bahwa integran tidak analitik di z = 1 dan di z = – 4. Dari

kedua titik ini, yang berada di dalam C adalah z = 1. Jadi z = 1

merupakan titik interior dari C, sehingga integran dapat ditulis 1)(

−zzf

dengan 4

2)(+

=z

zzf .

Sekarang fungsi f(z) ini analitik pada dan di dalam lintasan C, sehingga

dengan menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh

∫ +−C

dzzzz

)4)(1(2 = .

54)1(2

1)( iifdz

zzf

C

ππ ==−∫

Turunan fungsi analitik

Secara umum, jika z0 adalah titik interior pada C maka bentuk integral Cauchy

menjadi )( 0zf = ∫ −C

dzzzzf

i 0

)(21π

dengan z di dalam C.

Selanjutnya rumus tersebut dapat diperumum dengan mencari turunannya hingga

tingkat ke-n. Dalam rumus integral Cauchy, turunan fungsi f di titik z0 adalah

∫ −=

C

dzzzzf

izf 2

00 )(

)(21)('π

. (tunjukkan!)

Turunan keduanya adalah


50

∫ −=

C

dzzzzf

izf 3

00 )(

)(2

!2)(''π

.

Hingga diperoleh turunan ke-n adalah

∫ +−=

Cn

n dzzzzf

inzf 1

00

)(

)()(

2!)(

π.

Yang biasa ditulis dalam bentuk

)(!

2)()(

0)(

10

zfn

idzzzzf n

Cn

π=

−∫ + .

Uraian di atas dapat dnyatakan dalam teorema berikut

Teorema. Jika f(z) analitik pada dan di dalam suatu kurva tertutup sederhana C,

maka )( 0)( zf n ada untuk setiap bilangan bulat n, dan dinyatakan dalam rumus

∫ +−=

Cn

n dzzzzf

inzf 1

00

)(

)()(

2!)(

π.

Hal ini mengakibatkan jika suatu fungsi analitik di suatu titik maka turunan untuk

semua tingkatnya , f’, f’’, ... , juga analitik di titik tersebut.

Contoh 7. Tentukan ∫ −+

C

dzzz

3

3

)2(3 , jika C : 3=z arah positif.

Penyelesaian.

Dalam hal ini 3)( 3 += zzf , z0 = 2, dan n = 2. Dengan menggunakan

rumus integral Cauchy yang telah diperumum, diperoleh,

∫ −+

C

dzzz

3

3

)2(3 = )2(''

22 fiπ = 12 π i.

Soal Latihan

1. Hitunglah dzzgC∫ )( , jika

a. 1:,23

sin)( 2 =++

= zCzzzzg arah positif


51

b. 22:,)9(

)( 22 =−+

= zCz

zzg .

c. 3:,2

22)(2

=−

−−= zC

zzzzg .

2. Hitunglah ∫ +C

dzz

z)4( 2 , jika C seperti pada gambar berikut.

(a)

(b)

3. Jika C adalah kontur tertutup dalam arah positif dan

∫ −−

=C

dzzz

zzg 20

2

0 )(22)( .

Hitunglah )( 0zg jika (a). z0 di dalam C dan (b). z0 di luar C

4. Jika a bilangan ral positif, hitung integral ∫ +C

zdz

aze

22 dalam arah positif,

jika

a. C : az 2= b. C : aaiz =− .

Documents

INtegral KOMPleks