Upload
rahmat-nakashima-tomohisa
View
39
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
integraltaktentu
Citation preview
TEKNIK PENGINTEGRALAN
Integral Pergantian Integral Parsial Integral Trigonometri Integral Subtitusi Integral Bentuk Rasional
ATURAN PANGKAT Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali (-1),
maka :
Dalam notasi disebut tanda integral, sedangkan f(x) disebut integran
Cxdxx rr
r
11
1
,)( dxxf
KELINEARAN INTEGRAL TAK TENTU Andaikan f dan g mempunyai anti
turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka
1. k f(x) dx = k f(x) dx2. [ f(x) + g(x) ] dx = f(x) dx + g(x)
dx3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx
INTEGRAL PERGANTIAN Andaikan g suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka :
Contoh : Carilah integral dari f(x) sbb.
Cxgdxxgxg rr
r
11
1 )]([)(')]([
dxxxx )34()3( 3304
INTEGRAL PARSIAL
Jika f dan g fungsi differensiabel, maka
Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi
)(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdx
d
dxxfxgdxxgxfdxxgxfdx
d )(')()(')()()(
)(')()(')()()( dxxfxgdxxgxfCxgxf
INTEGRAL PARSIAL
Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta lain, maka dapat dinyatakan
Rumus ini merupakan Integral Parsial.Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx
v = g(x) dv = g(x) dx
Cdxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(
dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
a. Bentuk Untuk n dan m ganjil
Uraikan
Gunakan hubungan Substitusi u = sin x atau u = cos x
Bmndxxdxx mn ,,cosdansin
dxxxdxx
dxxxdxx
mm
nn
coscoscos
sinsinsin
1
1
1cossin 22 xx
Contoh: Selesaikan integral a. b.
Untuk n dan m genap Gunakan rumus setengah sudut, yakni
Contoh : Selesaikan
dxx5sin dxx2cos3
2
2cos1cosatau
2
2cos1sin 22 x
xx
x
dxx4cos
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
b. Bentuk m ganjil
uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = sin x
n ganjil Uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = cos x
Bmndxxx mn ,,cossin
dxxxxdxxx genapmnmn coscossincossin )1(
xx 22 sin1cos
dxxxxdxxx mgenapnmn cossinsincossin )1(
xx 22 cos1sin
BENTUK-BENTUK INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
n dan m genap
Gunakan rumus setengah sudut
Contoh:
Selesaikan integral
2
2cos1cosatau
2
2cos1sin 22 x
xx
x
dxxx 23 cossin
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu
Sifat – sifat integral tertentu1.
2.
( ) ( )b b
aa
f x dx Fb FaF x
( ) ( )b b
a a
kf x dx k f x dx
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
INTEGRAL TERTENTU
3.
4.
5.
6.
( ) ( ) ( ) ,b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx a b c
( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx
( ) 0a
a
f x dx
( ) ( )b b
a a
f x dx f t dt
SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU
( )b
a
L f x dx
( )b
a
L f x dx
SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu xDengan batas x1=a dan x2=b
SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU
Luas Daerah Antara Dua Kurva Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x),
maka:
( ) ( )b
a
L f x g x dx
27
MENGHITUNG LUAS DAERAH a). Misalkan daerah
D
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu x,garis x = 0, dan x = 2.
Jawab :
)(0,|),( xfybxayxD
L f x dxa
b
( )
)(xf
a
b
,2xy
3
8
3
12
0
32
0
2 xdxxDLuas
28
b) Misalkan daerah
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis
y = x+4 dan parabola Jawab:
)()(,|),( xhyxgbxayxD
b
a
dxxgxhL ))()((
y=g(x)
y=h(x)
a b
22 xy
3
2
3
2
22 )6())2()4(( dxxxdxxxL
6
1256
2
1
3
13
2
23
xxx
D
29
c). Misalkan daerah
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x–1
dan parabola
Jawab : Titik potong kurva diperoleh dari
maka
sehingga titik potong garis dan kurva itu diperoleh (-1,-2) dan
(2,1)
Gambar daerah D adalah sebagai berikut :
231 yy
)()(,|),( yhxygdycyxD
d
c
dyygyhL ))()((
h(y) g(y)
c
dD
23 yx
022 yy
31
MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR Metoda Cakram
Jika D diputar mengelilingi sumbu x, maka
sehingga,
Contoh : Hitung volume benda putar yang terjadi , jika D
dibatasi oleh kurva
sumbu x dan garis x = 1, diputar mengelilingi sumbu x.
)(0,|),( xfybxayxD
xxfV 2))((
V f x dxa
b
( )2
xy
Jika diputar terhadap
sumbu y, maka
Metoda Cincin
Jika D diputar terhadap sumbu x, maka
( perhatikan gambar berikut )
)(0,|),( ypxdycyxD
dyypVd
c 2)(
)()(,|),( xhyxgbxayxD
b
a
dxxgxhV 22 )()(Sehingga
xxgxxhv )()( 22
34
Contoh : D daerah yang dibatasi oleh dan
volume benda putar, jika D diputar mengelilingi sumbu x.
Jawab : Daerah D digambarkan sebagai berikut :
2xy xy 82
35
Partisi D yang tegak lurus sumbu x akan berbentuk cincin, dan volumenya,
xxxV ))()8(( 222
.5
48
0
2
54)8(,Sehingga
52
2
0
4
xxdxxxV
Metoda Kulit Tabung
Jika D diputar terhadap sumbu y, maka
Sehingga,
Jika D diputar terhadap sumbu y, maka
)(0,|),( xfybxayxD
xxfxxfxxV )(2)(21
22
V x f x dxa
b
2 ( )
)()(,|),( xhyxgbxayxD
b
a
dxxgxhxV )()(2
Contoh : Diketahui
Jika D diputar mengelilingi garis x = 4, hitung volume benda putar yang terjadi.
Jawab :
Buat partisi sejajar sumbu putar ( garis x = 4 ), partisi tersebut
jika diputar terhadap garis x = 4 akan berbentuk kulit tabung
dengan jarak partisi ke sumbu putar (jari-jari) r= (4-x), maka
sehingga volume benda putar yg terjadi
4,20|),( 2 yxxyxD
xxxv )4)(4(2 2
.3
104)
4
12
3
416(2
)4416(2
2
0
423
2
0
32
xxxx
dxxxxV
x=4