Upload
others
View
27
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
1 Integrale proprii cu parametru
2 Integrale improprii cu parametru
3 Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale proprii cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definiţia 1.1
Dacă f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R este o funcţie cu proprietateacă pentru orice y ∈ E, funcţia de variabilă x
x 7→ f (x , y)
este integrabilă pe intervalul [ a,b ], adică există integrala
F (y) =∫ b
af (x , y) dx (1.1)
atunci spunem că am definit o integrală cu parametru (funcţiaF : E → R).
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Trecerea la limită sub semnul integralei
Teorema 1.1
Fie f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R şi fie y0 ∈ R punct de acumulareal mulţimii E. Dacă există
limy→y0
f (x , y) = f0(x)
uniform ı̂n raport cu x ∈ [ a,b ] atunci funcţia x 7→ f0(x) esteintegrabilă pe [ a,b ] şi∫ b
af0(x) dx =
∫ ba
limy→y0
f (x , y) dx = limy→y0
∫ ba
f (x , y) dx . (1.2)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Ipoteza existenţei limitei uniforme ı̂n raport cu x este esenţialăı̂n enunţul Teoremei 1.1.
Exemplul 1.1
Pentru f : [ 0,1 ]× (0,+∞)→ R,
f (x , y) =xy2
e− x
2
y2 ,
are loc limy→0
∫ 10
f (x , y) dx 6=∫ 1
0limy→0
f (x , y) dx .
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Avem
F (y) =∫ 1
0
xy2
e− x
2
y2 dx = −12
e− x
2
y2∣∣∣x=1x=0 = −12
(e− 1
y2 − 1)
deci
limy→0
∫ 10
f (x , y) dx = limy→0
F (y) = −12
limy→0
(e− 1
y2 − 1)
=12.
Pe de altă parte avem
limy→0
f (x , y) = limy→0
xy2
e− x
2
y2 = 0 deci∫ 1
0limy→0
f (x , y) dx = 0.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Să observăm că limy→0
f (x , y) = 0 nu are loc ı̂n mod uniform ı̂n
raport cu x . Într-adevăr dacă, prin reducere la absurd, ampresupune acest lucru atunci
∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ca 0 < y < δε ⇒ |f (x , y)| < ε, ∀ x ∈ [ 0,1 ].
Dacă alegem ı̂n particular x = y ∈ (0, δε) avem
f (x , y) =1y
e−1 → +∞, pentru y → 0,
contradicţie.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Continuitatea integralei cu parametru
Teorema 1.2
Dacă f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este continuă atunci funcţiaF : [ c,d ]→ R dată de (1.1) este continuă pe intervalul[ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Derivabilitatea integralei cu parametru
Teorema 1.3
Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R continuă astfel ı̂ncât :(i) pentru orice y ∈ [ c,d ] există integrala cu parametru
F (y) =∫ b
af (x , y) dx ,
(ii) f este derivabilă parţial ı̂n raport cu y şi funcţia∂f∂y
este
continuă pe [ a,b ]× [c,d ].Atunci F este derivabilă şi F ′ este continuă pe [ c,d ] iar
F ′(y) =∫ b
a
∂f∂y
(x , y)dx , ∀ y ∈ [ c,d ]. (1.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Exemplul 1.2
Să calculăm integrala
In(y) =∫ 1
0
dx(x2 + y2)n
, n ∈ N, y 6= 0.
Derivăm integrala ı̂n raport cu y şi găsim astfel relaţia
In+1(y) =−12ny
I ′n(y).
Deoarece I1(y) =1y
arctg1y
, rezultă că
I2(y) = −1
2yI′1(y) =
12y3
(arctg
1y
+y
y2 + 1
).
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Formula lui Leibniz de derivare a integralelor cuparametru
Teorema 1.4
Fie integrala cu parametru
F (y) =∫ β(y)α(y)
f (x , y)dx , y ∈ [ c,d ] unde
(i) α, β : [ c,d ]→ [ a,b ] sunt funcţii derivabile,(ii) f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este funcţie continuă,
(iii) f este derivabilă parţial ı̂n raport cu y şi∂f∂y
este continuă.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Atunci F este derivabilă pe [ c,d ] şi are loc formula lui Leibnizde derivare
F ′(y) =∫ β(y)α(y)
∂f∂y
(x , y) dx +f (β(y), y)·β ′(y)−f (α(y), y)·α ′(y).
(1.4)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrarea unei integrale cu parametru
Teorema 1.5
Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R o funcţie continuă. Atunci are locformula
∫ dc
(∫ ba
f (x , y) dx
)dy =
∫ ba
(∫ dc
f (x , y) dy
)dx . (1.5)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Exemplul 1.3
Să calculăm
I =∫ 1
0
1ln x
(xb − xa) dx , x > 0, a > 0, b > 0.
Avem1
ln x(xb − xa) =
∫ ba
xy dy , x ∈ [ 0,1 ].
Deoarece funcţia (x , y) 7→ xy este continuă pe [ 0,1 ]× [ a,b ],putem schimba ordinea de integrare,
I =∫ 1
0
(∫ ba
xy dy
)dx =
∫ ba
(∫ 10
xydx
)dy =
∫ ba
(xy+1
y + 1
∣∣∣1x=0) dy = ∫ ba
dyy + 1
= ln(y + 1)∣∣∣ba = ln b + 1a + 1 .
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale improprii cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R şi fie integrala cu parametru
F (y) =∫ +∞
af (x , y) dx , y ∈ [ c,d ]. (2.1)
Integralai. converge simplu pe [ c,d ] dacă
limb→+∞
∫ ba
f (x , y) dx =∫ +∞
af (x , y) dx ;
ii. converge uniform pe [ c,d ] dacă limita este uniformă ı̂nraport cu y .
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrala∫ +∞
af (x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ]
dacă pentru orice şir (bn)n∈N care are limita +∞, şirul de funcţii
(Fn)n∈N, Fn(y) =∫ bn
af (x , y) dx
converge uniform la F pe [ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Criteriul lui Cauchy
Teorema 2.1
Integrala (2.1) este uniform convergentă dacă şi numai dacăpentru orice ε > 0 există b0(ε) > 0 astfel ca pentru oriceb′,b′′ > b0 şi pentru orice y ∈ [ c,d ] are loc∫ b′′
b′f (x , y) dx < ε.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Criteriul de convergenţă uniformă Weierstrass
Teorema 2.2
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R. Admitem că existăg : [ a,+∞)→ R astfel ı̂ncât
(i) | f (x , y) |≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,+∞),
(ii)∫ +∞
ag(x) dx este convergentă.
Atunci∫ +∞
af (x , y) dx este uniform şi absolut convergentă pe
[ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Continuitatea integralei improprii cu parametru
Teorema 2.3
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R o funcţie continuă astfel ı̂ncât∫ +∞a
f (x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ]. Atunci
funcţia
F (y) =∫ +∞
af (x , y)dx
este continuă pe [ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Derivabilitatea integralei improprii cu parametru
Teorema 2.4
Fie funcţia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R cu următoarele proprietăţi:
(i)∫ +∞
af (x , y) dx este convergentă
(ii) există derivata parţială∂f∂y
şi este continuă pe
[ a,+∞)× [ c,d ]
(iii)∫ +∞
a
∂f∂y
(x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ].
Atunci y 7→ F (y) =∫ +∞
af (x , y) dx este derivabilă pe [ c,d ]
F ′(y) =ddy
(∫ +∞a
f (x , y) dx)
=
∫ +∞a
∂f∂y
(x , y) dx , ∀ y ∈ [ c,d ].
(2.2)Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrabilitatea unei integrale improprii cuparametru
Teorema 2.5
Fie funcţia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R continuă astfel ı̂ncât
(i) integrala∫ +∞
af (x , y) dx este uniform convergentă pe
[ c,d ],
(ii) integrala∫ +∞
a
(∫ dc
f (x , y) dy
)dx este convergentă.
Atunci are loc∫ +∞a
(∫ dc
f (x , y)dy
)dx =
∫ dc
(∫ +∞a
f (x , y) dx)
dy . (2.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
Funcţia Gamma sau integrala lui Euler de al doilea tip
Γ(p) =∫ +∞
0xp−1e−x dx (3.1)
Funcţia Beta sau integrala lui Euler de primul tip
B(p,q) =∫ 1
0xp−1(1− x)q−1 dx . (3.2)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propoziţia 3.1
Au loc proprietăţileIntegrala Γ(p) este convergentă pentru orice p > 0 şidivergentă pentru orice p ≤ 0.Integrala Γ(p) este uniform convergentă pe orice intervalcompact [ a,b ] ⊂ (0,+∞).Funcţia Γ(p) este continuă pe (0,+∞).Funcţia Γ(p) este infinit derivabilă pe (0,+∞) şi
Γ(n)(p) =∫ +∞
0xp−1(ln x)ne−x dx , n ∈ N. (3.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propoziţia 3.2
B(p,q) este convergentă pentru orice p > 0, q > 0 şidivergentă ı̂n celelalte situaţii.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propoziţia 3.3
Au loc următoarele relaţii:formula de recurenţă pentru Γ
Γ(p + 1) = p Γ(p), p ∈ (0,+∞) (3.4)
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N (3.5)
formulele de recurenţă pentru B
B(p,q) =q − 1
p + q − 1B(p,q − 1), p > 0,q > 1 (3.6)
B(p,q) =p − 1
p + q − 1B(p − 1,q), p > 1,q > 0 (3.7)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
B(p,q) = B(q,p), p > 0,q > 0 (3.8)
B(p,q) =∫ +∞
0
tp−1
(1 + t)p+qdt (3.9)
B(p,q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p + q)
, p > 0,q > 0 (3.10)
B(
12,12
)=
∫ 10
1√x(1− x)
dx = π (3.11)
Γ
(12
)=√π,
∫ +∞0
e−x2
dx =√π
2(integrala lui Gauss).
(3.12)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
formula lui Gauss
Γ(p) = limn→∞
np · n!p(p + 1)(p + 2) . . . (p + n)
(3.13)
formula argumentelor complementare
B(p,1−p) = Γ(p) ·Γ(1−p) = psin(pπ)
, p ∈ (0,1) (3.14)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametruIntegralele lui Euler