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En este documento se muestran una serie de ejercicios de integrales para hallar el área bajo la curva, longitud de arco, y sólidos de revolución, se muestran los problemas paso a paso para llegar al resultado, también se muestran las gráficas de cada problema para ayudar a la comprensión de los ejercicios.
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Integrales
Área de bajo de una curva Longitud de arco Sólidos de revolución
Ingeniería Petrolera
Catedrático: Ing. Diego Cobos Almendra
Por: Carlos Alberto Frías Fraire
1 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x 2
y la recta
2 x− y+3=0
∫−1
3
2 x+3dx−∫−1
3
x2 dx=[ 2x2
2+3 x ]
−1
3
−[ x3
3 ]−1
3
=[ 2( 9−1 )2
+3(3−1)]−[27−13 ]=16
2+12−28
3=32
3u2
2 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x 2 y las rectas
y=1 y=4
∫−2
−1
4−xdx+∫−1
1
4−1dx+∫1
2
4−x2dx=[4 x−x3
3 ]−2
−1
+ [ 3x ]−11 +[4 x−x3
3 ]1
2
¿[4 (−1+2 )−(−1+83 )]+[3(1+1 )]+[4 (2−1 )−(8−1
3 )]¿(4−7
3 )+(6 )+(4−73 )=28
3u2
3 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2 y las rectas
y=0 x=1 x=4
∫1
4
x2dx=[ x33]
1
4
=643
−13=63
3=21u2
4 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y2+4 x=0 y las rectas
y=0 x=−1 x=0
∫−1
0
−4 x1
2=−14∫−1
0
−4 (−4 x )1
2=−14 (−8 x
32 )
32¿
0||−1¿
=−14 [−16 x
32
3 ]−1
0
¿=[16 (03
2−(−13
2 )−12 ]=−16
−12=4
3u2 ¿¿
5 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola 5 x2=32 y y la recta
4 y=5 x+80
∫−8
16
(5 x+804 )−∫
−8
165x2
32=5
4∫−8
16
x dx+14∫−8
16
80dx−532
∫−8
16
x2dx
¿54 [ x2
2 ]−8
16
+14
[ 80x ]−816 −5
32 [x3
3 ]−8
16
=54 [256−64
2 ]+14
[80(16+8 ]−532 [4096−512
3 ]¿120+480−240=360u2
6 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola 5 x2=32 y y la recta
16 y−5 x=20
∫−2
45 x2
32dx−∫
−1
420+5 x16
dx=532
∫−2
4
x2dx−[116∫−2
4
20dx+116
∫−2
4
5 xdx ]532 [ x3
3 ]−2
4
−116 [ (20x )−(5 x2
2 )]−2
4
=532 [64+8
3 ]−116 [( 20(4+2))−(5(16−4 )
2 )]532
(24 )−116
(120)+116
(30)=458
u2
7 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y= x2
4 y la recta
3 x−2 y−4=0
∫2
43 x−42
dx−∫2
4x2
4dx=1
2∫2
4
3 x dx−12∫2
4
4 dx−14∫2
4
x2dx
12 [3x2
2 ]2
4
−12
[ 4 x ]24−1
4 [ x3
3 ]2
4
=12 [3(16−4 )
2 ]−12
[4 (4−2 )]−14 [64−8
3 ]¿ 9−4−14
3=1
3u2
8 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas y=x2 y2=x
∫0
1
√x−∫0
1
x2=[ 2 x3
2
3 ]0
1
−[ x3
3 ]0
1
=23−1
3=1
3u2
9 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas 2 y=x2 y2=16 x
∫0
4
4√ x−∫0
4x2
2=4∫
0
4
x1
2−12∫0
4
x2=4[2 x3
2
3 ]0
4
−12 [ x3
3 ]0
4
¿ 4 [23 (8−0)]−12 [64
3−0
3 ]=4(163 )−64
6=32
3u2
11 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x (x±√x ) y recta x=4
∫0
4
x (1+√ x )dx−∫0
4
x (1−√ x )dx=∫0
4
x+ x √x dx−∫0
4
x−x √ x
¿ x2
2+2x
52
5¿
|4||0
−[ x2
2−
2x5
2
5 ]¿|4||0
=162
+645
−162
+645
=128u2 ¿¿
12 Hallar el área de la superficie limitada por las curvas x2=4 y y ( x2+4 )=8
∫−2
28
x2+4dx−∫
−2
2x2
4dx=8∫
−2
21
x2+4dx−1
4∫−2
2
x2dx
u2=x2
u=x u=a tan z z=arctanua
du=x du=a sec2 z dz
∫ duu2+a2
=∫ a sec2za2 tan2 z+a2
dz=a sec2za2(1+ tan2 z )
dz=∫ a sec2za2sec2 z
dz=∫dza
=za
¿1a
arctanua
=∴ [8 (12
arctanx2
)]−2
2
−14 ( x3
3 )−2
2
8[12 arctanx2 ]
−2
2
−14 (8+8
3 )=−1612
4 arctanx2
¿
|2|−2
−1612
¿=[4 ( 45 )−( 4 ) (−45 ) ]−1612
=180∘+180∘−1612
=360∘−43
=2∏−43
¿¿
13 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x= y2+2 y y la recta
x+2 y=0
∫−4
0
−2 y−∫−4
0
y2+2 y=[−2 y2
2 ]−4
0
−[ y3
3+2 y2
2 ]−4
0
=[− y2]−40
−[ y3
3+ y2]
−4
0
¿−(02−16 )−[643
+(−64 )]=16−643
+16=32−643
=323
u2
14 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x= y2−4 y la recta x=0
15 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x= y2+3 y y la recta
x=3+ y
∫−3
1
3+ y−∫−3
1
y2+3 y=[3 y+ y2
2 ]−3
1
−[ y3
3+3 y2
2 ]−3
1
=[3 (1+3)+(1−9 )2 ]−[1+27
3+
3(1−9 )2 ]
¿12+(−4 )−[283
+(−12 )]=12−4−283
+12=20−283
=323
u2
16 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=3 x+x2 y las rectas
x=−3 x=0
∫−3
0
0−∫−3
0
(3 x+x2)dx=−[ 3 x2
2+ x3
3 ]−3
0
=−[ 32( 0−9 )+( 0+27
3 )]=−[−272
+273 ]=27
2−27
3=9
2u2
17 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2+1 y la recta
x+ y=1
∫−1
0
1−xdx−∫−1
0
x2+1dx=[ x−x2
2 ]−1
0
−[ x3
3+x ]
−1
0
¿[(0+1)−(0−12 )]−[0+1
3+(0+1 )]=(1+
12 )−(13 +1)=3
2−
43
=16u2
18 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2+4 x y las rectas
y=0 x=−4 x=−2
−∫−4
−2
x2+4 x=−[ x3
3+4 x2
2 ]−4
−2
=−[(−8+64 )3
+4 (4−16 )2 ]
¿ [−563
+24]=163
u2
19 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas
y=2x2+1 y=x2+5
∫−2
2
x2+5−(2 x2+1 )dx=∫−2
2
x2dx+5∫−2
2
dx−∫−2
2
x2 dx−∫−2
2
dx
¿[ x3
3+5 x−2 x3
3−x ]
−2
2
=[ (2 )3
3
−(−2 )3
3 ]+[5(2 )−5(−2) ]−[2 (2 )3
3−
2(−2 )3
3 ]−[ 2−2 ]
¿83
+83
+20−163
−163
−4=323
u2
20 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=1
2x2+x
y las rectas
x=1 x=4
12∫1
4
x2dx+∫1
4
xdx=[ 12 ( x3
3 )+ x2
2 ]1
4
=[ x3
6+ x2
2 ]1
4
=(64−16
+16−12 )=63
6+15
2=18u2
23 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=4−x2 y la recta
y=4−4 x
∫0
4
4−x2−∫0
4
4−4 x=[4 x−x3
3 ]0
4
−[4 x−4 x2
2 ]0
4
¿ [4 ( 4 )−643 ]−[16−4(16
2 )]=16−643
−16+32=323
u2
24 Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola x2−4 y2=4 y la recta
x=6
2 ∫0
2√2
6−√4+4 y2dy=2 {[6 y ]02 √2−∫
0
2 √2
√4(1+ y2 )dy }=2 {6 [ y ]02 √2−2 ∫
0
2√2
√1+ y2dy }a=1a2=1u= ydu=dyu2= y2
u=a tan z
z=arctanua
du=a sec2 z
¿2 {6 [2√2−0 ]−2 ∫0
2√2
√a2+a2 tan2 z (a sec2 z )dz}=12 [2√2 ]−4 ∫0
2√2
√a2 ( 1+ tan2 z )⋅a sec2zdz
¿24√2−4 ∫0
2 √2
a sec z⋅a sec2 z dz=24 √2−4 ∫0
2 √2
a2sec3 z dz
u=sec zdu=sec z tan zdv=sec2zv=tan z
4 √2−4 {a2 [u⋅v−∫ v du ]}02 √2
24 √2−4 {a2[ sec z tan z−∫ tan z⋅sec z tan zdz ] }02 √2
24 √2−4 {a2[ sec z tan z−∫ tan2 zsec zdz ]}02 √2
24 √2−4 {a2[ sec z tan z−∫ ( sec2 z−1 ) sec zdz ] }02 √2
24 √2−4 {a2[ sec z tan z−∫ ( sec3 z−sec z )dz ]}02 √2
24 √2−4 {a2[ sec z tan z−∫sec3 zdz−∫ sec zdz ]}02 √2
24 √2−4a2 {∫sec3 zdz=sec z tan z−∫sec3 zdz+ln|sec z+ tan z|}02√2
24 √2−4a2 {2∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|}02 √2
24 √2−4a2{∫sec3 zdz=12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|}0
2 √2
24 √2−4 {a2 [12 sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
2 √2
24 √2−4 {1[12 sec(arctanua ) tan(arctan
ua )+1
2ln|sec(arctan
ua )+ tan(arctan
ua )|]}0
2 √2
24 √2−4 {1[12 sec(arctany1 ) tan(arctan
y1 )+1
2ln|sec(arctan
y1 )+ tan(arctan
y1 )|]}0
2√2
24 √2−4 {1[12 ( tan (arctan y )cos(arctan y ) )+1
2ln|1
cos( arctan y )+ tan(arctan y )|]}0
2√2
24 √2−4 [12 ( y1)+12
( y2)]0
2√2
y1=tan (arctan 2√2 )cos(arctan 2√2 )
−tan(arctan 0)cos(arctan 0)
=tan (arctan 2√2 )cos(arctan 2√2 )
−0
¿tan(arctan 2√2)cos(arctan 2√2)
Donde
cos A=1sec A
Donde( A )=arctan yTenemos
CosA=1sec A
Dondesec2 A=1+ tan2 A
sec A=√1+ tan2 A∴
cos A=1
√1+tan2( A )=1
√1+tan2(arctan y )=1
√1+ y2
entoncestan(arctan 2√2)1
√1+(2√2)2
=tan( arctan 2√2 )1√1+8
=tan(arctan 2√2)13
tan A=senAcos A
¿
sen(arctan 2√2)cos(arctan 2√2)13
=
sen(arctan 2√2)1√913
=
sen(arctan 2√2 )1313
tenemos quesen(arctan y )dondesenAA=(arctan y )sen2 A=(1−cos2 A )senA=√1−cos2 Aahora
=ln|1cos (arctan 2√2
+ tan(arctan 2√2 )|−ln|1cos(arctan 0)
+ tan(arctan 0 )|
=ln|
1cos (arctan 2√2
+ tan(arctan 2√2 )
1cos (arctan 0 )
+tan (arctan 0 )|
=ln|
1+cos (arctan 2√2 ) tan(arctan 2√2)cos (arctan 2√2 )1+cos (arctan 0 ) tan(arctan 0)cos (arctan 0 )
|
=ln|
1+cos (arctan 2√2 ) tan(arctan 2√2)cos (arctan 2√2 )1+(1)( 0)1
|
=ln|1+cos (arctan 2√2 ) tan(arctan 2√2)cos (arctan 2√2 )
|
=ln|
1+(1√1+ y2 ) tan(arctan 2√2)
1
√1+ y2
|
¿ ln|1+(1√1+8 ) tan(arctan 2√2 )
1
√1+8
|
¿ ln|1+(13 ) tan(arctan 2√2 )
13
|
pero
tan(arctan 2√2)=sen (arctan 2√2 )cos(arctan 2√2 )
=
(2√2 )2
√(2√2 )2+11
√1+(2√2 )2
=
2√2313
=6√23
tab (arctan 2√2)=2√2entonces
ln|1+1
3( 2√2 )
13
|=1+2√2
313
=
3+2√2313
=9+6√23
=ln|3+2√2|= y2
entonces
24 √2−4 [12 (6 √2 )+12
( ln|3+2√2|)]24 √2−2 (6 √2 )+2 ln|3+2√2|24 √2−12√2+2 ln|3+2√2|12√2+2 ln|3+2√2|2 [6√2+ ln|3+2√2|]u2
25 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=9−x2 y las rectas
y=0 x=0 x=3
∫0
3
9−x2dx=[9 x− x3
3 ]0
3
=[9 (3−0 )−( 33−03
3 )]=[27−273 ]=18u2
26 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas y=9−x2 y=x2
2[∫0
3√2
9−x2−∫0
3√2
x2]=2[9 x−x3
3 ]0
3
√2−[ x3
3 ]0
3
√2=2{9(3√2 )−1
3 (3√2 )3}
¿2[27
√2−27
6 √2−27
6√2 ]=2(162−27−276√2 )=2(108
6√2 )=2[18
√2 ]=2[18
√2⋅√2
√2 ]¿2[18√2
2 ]=18√2u2
27 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=2x−x2 y la recta
y=0
∫0
2
2 x−x2=[ 2x2
2− x3
3 ]0
2
=[4−83 ]=4
3u2
28 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=4 x−x2 y las rectas
y=0 x=1 x=3
∫1
3
4 x−x2=[ 4 x2
2− x3
3 ]0
3
=[ 42
(9−1 )−(27−13 )]=16−26
3=22
3u2
29 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas
y=5 x−x2 2 y=5 x−x2
∫0
5
5 x−x2−∫0
55 x−x2
2=[5x2
2−x3
3 ]0
5
−12 [5 x2
3−x3
3 ]0
5
¿ (52 (25 )−(1253 ))−1
2 (52
(25 )−(125 )(3 ) )=125
2−125
3−125
4+125
6=125
12u2
30 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=5 x−x2 y las rectas
y=0 x=0 x=4
∫0
4
5 x−x2=[ 5x2
2− x3
3 ]0
4
=( 5(162
−643 )=40−64
3=56
3u2
31 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=6x−x2 y la recta
y=x
∫0
5
6 x−x2 dx−∫0
5
xdx=[ 6x2
2− x3
3 ]0
5
−[ x2
2 ]0
5
=[ 6(25 )2
−1253 ]−[25
2 ]=75−1253
−252
=1256
u2
32 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=8x−x2 y la recta
y=2x
∫0
6
8 x−x2 dx−∫0
6
2x dx �=[ 8 x2
2− x3
3 ]0
6
−[ 2x2
2 ]0
6
=[4 x2− x3
3 ]0
6
−[ x2]06=4 (36 )−72−36=36u2
33 Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas y=8x−x2 3 y=x2
∫0
6
8 x−x2 dx−∫0
6x2
3dx=[ 8 x2
2− x3
3 ]0
6
−[ x3
9 ]0
6
=9(36 )−72−24=48u2
34 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2+ x+1 y las rectas
y=0 x=2 x=3
35 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2−2 x+2 y las rectas
x=−1 x=3
∫−1
3
x2−2x+2dx=[ x3
3−2 x2
2+2x ]
−1
3
=[27+13 ]−( 9−1 )+2(3+1 )=28
3−8+8=28
3u2
36 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2−8 x+15 y la recta
y=0 x=2 x=5
∫2
3
x2−8 x+15dx+∫3
5
0−(x2−8 x+15 )dx=[x3
3−8 x2
2+15x ]
2
3
−[x3
3−8x2
2+15x ]
3
5
¿ [27−83
−4 (9−4 )+15 (3−2 )]−[125−273
−8 (25−9 )2
+15 (5−3 )]¿ [19
3−20+15]−[98
3−64+30]=19
3−5−98
3+34=9
3u2
37 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=x2−6 x+10 y la recta
x=6 y=2
∫2
4
2− ( x2−6 x+10 )dx+∫4
6
x2−6 x+10−2dx
¿ [2 x ]24−[ x3
3−6 x2
2+10 x ]
2
4
+[x3
3−6 x2
2+10x−2x ]
4
6
¿2 (4−2 )−[64−83
−3 (16−4 )+10 (4−2 )]+[216−643
−3 (36−16 )+10 (6−4 )−2 (6−1 )]¿ 4−[56
3−36+20 ]+[152
3−60+20−4]=20
3u2
38 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=2x2−4 x+7 y la recta
y=0 x=−1 x=2
∫−1
2
2 x2−4 x+7=[ 2 x3
3−4 x2
2+7 x ]
−1
2
=[ 23
[8+1 ]−2 [ 4−1 ]+7 [2+1 ] ]=183
−6+21=21u2
39 Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y=6+4 x−x2 y la cuerda
AB A (−2 ,−6 ) B (4,6 )
m=−6−6−2−4
=−12−6
=2
y=mx+bdondeb=−2y=2 x+ (−2 )∴
∫−2
4
6+4 x−x2 dx−∫−2
4
(2x−2 )dx
¿[6 x+4 x2
2−x3
3 ]−2
4
−[2x2
2−2 x ]
−2
4
=6 (4+2 )+2 (16−4 )−(64+83 )
¿ (36+24−24 )−[ (16−4 )−2 (4+2 ) ]=36u2
40 Hallar el área de la superficie limitada por la curva y=x3 y las rectas
x=0 y=1 y=8
∫1
83√ y dy=∫
1
8
( y )1
3dy=[ 3 y4
3
4 ]1
8
=34
(16−1 )=454
u2
41 Hallar el área de la superficie limitada por la curva y=x3 y las rectas
x=0 y=8
∫0
2
8−x3dx=[8 x− x 4
4 ]0
2
=16−4=12u2
42 Hallar el área de la superficie limitada por la curva 3 y=x3 y las rectas
y=0 x=−2 x=3
13∫0
3
x3dx=
13∗x4
4=
x4
12
(3 )4
12=81
12=27
4
13∫0
−2
x3dx=
13∗x4
4=
x4
12
(−2 )4
12=81
12=16
12∴ 27
4+16
12=97
12u
43 Hallar el área de la superficie limitada por la curva y=x3 y las rectas
y=0 x=0 x=4
∫0
4
x3dx= x4
4
(4 )4
4=256
4=64u
44 Hallar el área de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva
y=x3 y la recta y=4 x
∫0
2
4 x−x3dx=4∫0
2
x dx−∫0
2
x3dx 4 x2
2− x4
4=
4 (2 )2
2−
(2 ) 4
4=4u
45 Hallar el área de la superficie limitada en el cuarto cuadrante por la curva
y=x3−8
−∫0
2
x3dx−8=−∫0
2
x3dx+8∫0
2
dx−x4
4+8x=
−(2 ) 4
4+8 (2 )=−16
4+16=12u
Longitud de arco
1) Hallar la curva y= x2 en el intervalo xE [0,1]
Los puntos nos dan a entender que hay que obtener la longitud de la parábola desde el punto 0 hasta el punto 1 en todos los reales de x
Por ese motivo tomaremos como limites [0,1]
Siendo 1 el limite superior y 0 como limite inferior de la función dy=dx
[0,0]
[1,1]
y=x2
dy=2 xdx∴
∫ ds=∫0
1 √1+(2 x )2dx
s=∫0
1 √1+4 x2dx
entoncesa2=1a=1u 2 =4 x2
u=2 xdu=2dx
dx=du2
donde :u2=a2 tan2 zdu=a sec2 zpor consiguiente:
s=∫0
1 √a2+a2 tan2za sec2 z2
s=∫0
1 √a2(1+ tan2 z )a2
sec2 z
s=∫0
1 √a2s ec2 z a2
sec2 z
s=∫0
1 a secz
a2
sec2 z
s=∫0
1 a2
2sec3 z
s=a2
2∫0
1sec3 z
s=a2
2∫0
1sec2 z (sec z )
APLICANDO POR PARTES:DONDE :u=sec zdu=sec z tan zdzdv=sec2 zv=tan zentonces⃗ int egracion∫udv=uv−∫vdu
a2
2[sec z ( tan z )−∫( tan z sec z tan z )dz ]0
1
a2
2[sec z tan z−∫( tan2 zsec z )dz ]0
1
usandoidentidad tan2 z=sec2 z−1a2
2[sec z tan z−∫(sec2 z−1)(sec z )dz ]0
1
a2
2{sec z tan z−[∫sec3 zdz−∫ sec zdz ]}0
1
a2
2{sec z tan z−[∫sec3 zdz−( ln|sec z+ tan z|) ]}0
1
a2
2[sec z tan z−∫ sec3 zdz+ln|sec z+ tan z|]0
1
Colocamosla int egral originala2
2[∫sec3 zdz=sec z tan z+ln|sec z+ tan z|−∫ sec3 zdz ]0
1
juntamos términ os semejantesa2
2[∫sec3 zdz+∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
1
a2
2[2∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+tan z|]0
1
a2
2{∫sec3 zdz=[
12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
1
a2
2[12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]01
a2
4[sec z tan z+ ln|sec z+tan z|]0
1
donde z= arctan ua
a2
4[sec(arctan
ua ) tan(arctan
ua )+ln|sec(arctan
ua )+ tan(arctan
ua )|]01
donde u=2x; u2=4x2 ; a2=1(1)2
4[ sec(arctan
2x1 ) tan(arctan
2x1 )+ln|sec(arctan
2x1 )+ tan(arctan
2x1 )|]01
donde sec A =√1 + tan2 A
donde A=(arctan 2x1 )
∴
sec sec (arctan 2x1 )=√1 + tan2(arctan
2x1 )
sec (arctan 2x1 )=√1 +(2x
1 )2
entonces
(1)2
4[√1 +(2x
1 )2
tan(arctan 2x1 )+ ln|√1 +(2x
1 )2
+ tan(arctan 2x1 )|]01
y tan (arctan 2x1 )=(2x
1 )entonces :
(1)2
4[√1 +(2x
1 )2
(2x1 )+ ln|√1 +(2x
1 )2
+(2x1 )|]01
(1)2
4⟨[√1 +(2(1)
1 )2
(2(1 )1 )]−[√1 +(2(0 )
1 )2
(2(0 )1 )]⟩+ ln
√1 +(2(1)1 )
2
+(2(1 )1 )
√1 +(2(0 )1 )
2
+(2(0)1 )
14
⟨ [2√1 +4+ln (√1+4+2 ) ]⟩14
[2√5+ ln (2+√5 ) ]u2
2) Hallar la longitud de la curva 6y=x2; en el intervalo xE[0,4]
[4,16/6]
[0,0]
y=x2
6
dy=x3dx
entonces :
∫ ds=∫0
4 √1+(x3 )2
dx
s=∫0
4 √1+(x2
9 )dxaplicamos sustitución trigonométricaa2=1a=1
u2=x2
9
u=x3
du=13dx
dx=3dudonde:u=a tan zu2=a2 tan2 zdu=a sec2 zprocedemos :
s=∫0
4 √a2+a2 tan2 z ( 3a sec2z )
s=3a∫0
4 √a2 (1+ tan2 z )(sec2 z )
s=3a∫0
4 √a2 (sec2z )( sec2 z )
s=3a∫0
4( a sec z ) (sec2 z )
s=3a2∫0
4( sec3 z )
s=3a2∫0
4 ( sec2 z ) (sec z )APLICANDO POR PARTES:DONDE :u=sec zdu=sec z tan zdzdv=sec2 zv=tan zentonces⃗ int egracion∫udv=uv−∫vdu
3a2 [ sec z ( tan z )−∫( tan z sec z tan z )dz ]04
3a2 [ sec z tan z−∫( tan2 zsec z )dz ]04
usando identidad tan2 z=sec2 z−13a2 [ sec z tan z−∫(sec2 z−1 )(sec z )dz ]0
4
3a2{sec z tan z−[∫ sec3 zdz−∫ sec zdz ]}0
4
3a2{sec z tan z−[∫ sec3 zdz−( ln|sec z+ tan z|) ]}0
4
3a2 [ sec z tan z−∫ sec3 zdz+ln|sec z+ tan z|]04
Colocamos la int egral original3a2 [∫sec3 zdz=sec z tan z+ln|sec z+ tan z|−∫ sec3 zdz ]0
4
juntamos tér minos semejantes3a2 [∫sec3 zdz+∫sec3 zdz=sec z tan z+ln|sec z+ tan z|]0
4
3a2 [2∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]04
3a2{∫sec3 zdz=[12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
4
3a2 [12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]04
3a2
2[ sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
4
donde :
z=arctag(ua )∴3a2
2[ sec [arctag(ua )] tan [arctag(ua )]+ln|sec [arctag (ua )]+ tan [arctag (ua )]|]04
donde :
u2=x2
9
u=x3
a2=1a=1entonces :
3a2
2[ sec [arctag(x31 )] tan [arctag( x31 )]+ ln|sec [arctag( x31 )]+ tan [arctag(x31 )]|]04
tenemos :
sec A=√1+tag2 Adonde :
A=arctag (x31 )entonces :
sec arctag( x31 )=√1+ tag2 [arctag(x31 )]sec arctag( x3 )=√1+tag 2 [arctag(x3 )]sec arctag( x3 )=√1+(x3 )
2
∴
3a2
2[(√1+( x3 )
2) tan [arctag(x3 )]+ ln|(√1+(x3 )2)+ tan [arctag (x3 )]|]0
4
donde :tag(arctag ( x /3 )=x /3entonces :
3a2
2[(√1+( x3 )
2)(x3 )+ln|(√1+(x3 )2)+(x3 )|]04
sustituyendo :
3(1 )2
2[(√1+(4
3 )2)(43 )−(√1+(03 )
2)(03 )+ ln|
(√1+(43 )2)+(4
3 )(√1+(43 )
2)+(03 )|]
32
[(√1+(169 ))(43 )−(√1+(09 )) (0 )+ln|
(√1+(169 ))+(4
3 )(√1+(09 ))+(0 )
|]
32
[(√(259 ))(43 )−0+ ln|
(√(259 ))+(43 )
(√1 )|]
32
[(53 )(43 )+ln|
(53 )+(43 )
(1 )|]
32
[(209 )+ ln|
(93 )
(1 )|]
32
[(209 )+ ln|(9
3 )|]simplificamos32 [20+9 ln 3
9 ]318
[ 20+9 ln3 ]
s=16
[ 20+9 ln 3 ] u2
3) Hallar la longitud de la curva y= x2
2 en el intervalo xE[0,1]
[1,1/2]
[0,0]
y=x2
2dy=xdxentonces .
∫ ds=∫0
1 √1+x2 dx
s=∫0
1 √1+x2dx
tenemos :a2=1a=1u2=x2
u=xdu=dxdonde :u2=a2 tag2 zu=atagzdu=a sec2 zentonces :
s=∫0
1 √a2+a2 tag2 z (a sec2 z )
s=∫0
1 √a2+a2 tag2 z (a sec2 z )
s=∫0
1 √a2 (1+tag2 z) (a sec2z )
s=∫0
1 √a2 (sec2 z ) (a sec2 z )
s=∫0
1(a sec z ) (a sec2 z )
s=∫0
1 (a2 sec3 z )
s=a2∫0
1(sec3 z )
s=a2∫0
1(sec z ) (sec2 z )
aplicamos :integración por partes donde:u=sec zdu=sec ztagzdzdv=sec2 zv=tagzentonces⃗ int egracion∫udv=uv−∫vdu
s=a2∫0
1(sec z ) (sec2 z )
aplicamos :integración por partes donde:u=sec zdu=sec ztagzdzdv=sec2 zv=tagzentonces⃗ int egracion∫ udv=uv−∫ vdu
a2 [sec z( tan z )−∫( tan zsec z tan z )dz ]01
a2 [sec z tan z−∫( tan2 zsec z )dz ]01
usandoidentidad tan2 z=sec2 z−1a2 [sec z tan z−∫(sec2 z−1)(sec z )dz ]0
1
a2{sec z tan z−[∫sec3 zdz−∫ sec zdz ]}0
1
a2{sec z tan z−[∫sec3 zdz−( ln|sec z+ tan z|) ]}01
a2 [sec z tan z−∫ sec3 zdz+ ln|sec z+ tan z|]01
Colocamosla int egral originala2 [∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|−∫ sec3 zdz ]0
1
juntamos términ os semejantesa2 [∫sec3 zdz+∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
1
a2 [2∫ sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]01
a2{∫ sec3 zdz=[12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
1
a2 [12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]01
a2
2[sec z tan z+ ln|sec z+tan z|]0
1
sustituimos, donde z=arctagua
de igual manera donde u=x; y a=1
a2
2[sec [arctag (ua )] tan [arctag (ua )]+ ln|sec [arctag(ua )]+ tan [arctag (ua )]|]0
1
tenemos que:
sec A=√1+tag2 Adonde :
A=[arctag(ua )]∴
sec [arctag(ua )]=√1+tag2 [arctag (ua )]entonces :
sec [arctag(ua )]=√1+(ua )2
de igual manera tenemos que:
tag [arctag(ua )]=(ua )sustituimos :
a2
2[√1+(ua )
2
(ua )+ln|√1+(ua )2
+(ua )|]01(1)2
2[√1+(x1 )
2
(x1 )+ ln|√1+(x1 )2
+( x1 )|]0112
[√1+( x )2 ( x )+ ln|√1+ ( x )2+( x )|]01
12
[√1+ ( x )2 (x )+ ln|√1+( x )2+( x )|]01
12
[√1+ (1 )2 (1 )−√1+ (0 )2 (0 )+ ln|√1+(1 )2+ (1 )
√1+(0 )2+(0 )|]
12
[√2−0+ ln|√2+(1 )√1
|]
s=12
[√2+ ln (√2+1 ) ]u2
4.- Hallar la longitud del arco de la parábola x2=4py del vértice a un extremo del lado recto
x2
4 p= y
dy=2 x4 p
dx ∴ dy= x2 p
dx
∫ ds=∫0
2 p
√1+(x2 p )2
dx=∫0
2 p
√1+x2
4 p2dx=∫
0
2 p
√4 p2+x 2
4 p2
ds=∫0
2 p √4 p2+x2
2 pdx=
12 p
∫0
2 p
√4 p2+x2
∴a2=4 p2 a=2 pu2=x2 u=x du=dxdondeu=a tan zdu=a sec2 zdz
ds=12 p
∫0
2 p
√a2+a2 tan2 z a sec2 z dz
ds=12 p
∫0
2 p
√a2 (1+ tan2 z ) a sec2 z dz ∴
ds=12 p
∫0
2 p
a sec z⋅a sec2 z dz
ds=12 p ∫
0
2 p
a2sec3 z dz
ds=a2
2 p [12 sec z tan z+12
ln|sec z+tan z|]0
2 p
donde z=(arctanua )
ds=a2
4 p [sec(arctanua ) tan(arctan
ua )+ln|sec(arctan
ua )+ tan(arctan
ua )|]0
2 p
sec (arctan z )=√1+u2
a2
tan(arctanua )=u
a∴
s=a2
4 p [√1+u2
a2⋅ua
+ ln|√1+u2
a2+ua|]
0
2 p
dondea2=4 p2 a=2 pu2=x2 u=x
s=4 p2
4 p¿¿
¿¿
5.-hallar la longitud de la curva x2+2y+2=0 entre los puntos (-√2, -√2), (0,1)
y=−x2
2−1
dy=−x−1
∫ ds=∫0
√2 √1+(−x−1 )2dx
∫ ds=∫0
√2 √1+(x2+2x+1 )dx
s=∫0
√2 √ x2+2x+2dx
s=∫0
√2 √( x+1)2+1dx
donde .u2=( x+1 )2
a2=1u=x+1du=dxu=atagzdu=a sec2 z
s=∫0
√2 √a2+a2 tag2 z (a2 sec2 z )dz
s=∫0
√2 √a2 (1+tag 2 z ) (a2 sec2 z)dz
s=∫0
√2 (a sec z ) (a2 sec2z )dz
s=∫0
√2 (a3 sec3 z )dz
s=a3∫0
√2 ( sec3 z )dz
donde
s=a3 [sec z ( tan z )−∫( tan z sec z tan z )dz ]0√2
s=a3 [sec z tan z−∫( tan2 zsec z )dz ]0√2
usando identidad tan2 z=sec2 z−1
s=a3 [sec z tan z−∫(sec2 z−1)(sec z )dz ]0√2
s=a3{sec z tan z−[∫sec3 zdz−∫ sec zdz ]}0
√2
s=a3{sec z tan z−[∫sec3 zdz−( ln|sec z+ tan z|) ]}0√2
s=a3 [sec z tan z−∫ sec3 zdz+ ln|sec z+ tan z|]0√2
Colocamos la int egral originals=a3 [∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|−∫ sec3 zdz ]0
√2
juntamos tér minos semejantess=a3 [∫sec3 zdz+∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
√2
s=a3 [2∫ sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+tan z|]0√2
s=a3{∫ sec3 zdz=[12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
√2
s=a3 [12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]0√2
s=a3
2[ sec z tan z+ ln|sec z+tan z|]0
√2
donde :
z=arctag(ua )u=xa=1
s=a3
2[ secarctag (ua ) tan arctag(ua )+ln|sec arctag(ua )+tan arctag (ua )|]0
√2
s=13
2[ sec arctag ( x ) tan arctag ( x )+ln|sec arctag ( x )+ tan arctag (x )|]0
√2
s=12
[sec arctag ( x ) tan arctag ( x )+ ln|secarctag (x )+ tan arctag ( x )|]0√2
donde :sec (arctagx )=√1+ x2
tag (arctagx )=x∴
s=12
[√1+x2 ( x )+ ln|√1+x2+( x )|]0√2
s=12
[√1+(√2 )2 (√2 )+ ln|√1+(√2 )2+(√2 )|]
s=12
[√1+2 (√2 )+ln|√1+2+ (√2 )|]
s=12
[√3 (√2 )+ln|√3+(√2 )|]
S=12
[√6+ ln (√2+√3 )]U
6.- Hallar la longitud de la curva de la parábola y2=4ax de XE[0,a]; la rama superior
x= y2
4 a
dx=2 y4 a
dy
dx= y2a
dy
∫ ds=∫0
2 a √1+( y2
2a )2
dy
s=∫0
2a √1+( y4
4a2 )dys=∫0
2a √4 a2+ y4
4 a2dy
s=12a ∫0
2a √4 a2+ y4dy
donde :u=a2 tag2 zu=atagzdu=a sec2 zu2= y4
a2=4 a2
a=2a
s=12a
∫0
2a √4 a2+ y4dy
s=12a
∫0
2a √a2+a2 tag 2 z (a sec2 z )
s=12a
∫0
2a √a2 ( 1+ tag2 z ) (a sec2 z )
s=12a
∫0
2a √a2 ( sec2z ) (a sec2 z )
s=12a
∫0
2aa2sec3 zdz
s=a2
2a∫0
2asec3 z dz
donde secante al cubo se integra por partes:
s=a2
2a [∫0
2asec2 zdz∫0
2asec zdz ]
s=a2
2a[ sec z ( tan z )−∫( tan z sec z tan z )dz ]0
2 a
s=a2
2a[ sec z tan z−∫( tan2 z sec z )dz ]0
2 a
usandoidentidad tan2 z=sec2 z−1
s=a2
2a[ sec z tan z−∫(sec2 z−1 )(sec z )dz ]0
2 a
s=a2
2a{sec z tan z−[∫ sec3 zdz−∫sec zdz ]}0
2 a
s=a2
2a{sec z tan z−[∫ sec3 zdz−( ln|sec z+ tan z|)]}0
2a
s=a2
2a[ sec z tan z−∫sec3 zdz+ln|sec z+ tan z|]0
2a
Colocamos la int egral original
s=a2
2a[∫ sec3 zdz=sec z tan z+ln|sec z+ tan z|−∫sec3 zdz ]0
2 a
juntamos tér minos semejantes
s=a2
2a[∫ sec3 zdz+∫ sec3 zdz=sec z tan z+ln|sec z+ tan z|]0
2a
s=a2
2a[ 2∫sec3 zdz=sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
2 a
s=a2
2a{∫sec3 zdz=[
12
sec z tan z+12
ln|sec z+ tan z|]}0
2 a
s=a2
2a[12
sec z tan z+12
ln|sec z+tan z|]02 a
s=a2
4 a[ sec z tan z+ ln|sec z+ tan z|]0
2 a
donde
z=arctag[ua ]s=a2
4 a[ secarctag [ua ] tan arctag [ua ]+ ln|secarctag [ua ]+ tan arctag [ua ]|]0
2a
dondeu= ya=2a
s=(2a )2
4 a[ secarctag [ y2a ] tan arctag [ y2a ]+ln|sec arctag[ y2a ]+tan arctag [ y2a ]|]0
2 a
s=(2a )2
4 a[ secarctag [2a
2a ] tan arctag [2a2a ]+ln|sec arctag[2a
2a ]+tan arctag [2a2a ]|]
donde :sec(arctag1 )=√1+12
tag(arctag1 )=1
s=4 a2
4 a[√1+12 [1 ]+ ln|√1+12+ [1 ]|]
s=a [√2+ ln (√2+1)] u
7.-Hallar la longitud de arco de la parábola y2=2px desde el origen hasta un punto extremo del lado recto
x= y2
2 p
dx=2 y2 p
dy
dx= ypdy
∫ ds=∫0
p √1+( yp )2
dy
s=∫0
p √1+( y2
p2 )dys=∫0
p √ p2+ y2
p2dy
s=1p∫0
p √ p2+ y2dy
dondep2=a2
y2=u2
donde :u2=a2 tag2 zdu=a sec2 z∴
s=1p∫0
p √a2+a2 tag2 z (a sec2 z )
s=1p∫0
p √a2(1+tag 2 z ) (a sec2 z )
s=1p∫0
p √a2 sec2 z (a sec2 z )
s=1p∫0
pa2sec3 z dz
s=a2
2 p[ [sec z tan z+ln|sec z+ tan z|] ]
donde :
z=arctag(ua )∴
s=a2
2 p [[sec arctag (ua ) tan arctag(ua )+ ln|sec arctag(ua )+tan arctag (ua )|] ]0p
donde :p2=a2
y2=u2
u= y∵
s=p2
2 p [[sec arctag ( yp ) tan arctag ( yp )+ln|sec arctag( yp )+ tan arctag ( yp )|] ]0
p
sec(arctag ( yp ))=√1+( yp )2
tag(arctag ( yp ))=( yp )s=p2
2 p [[√1+( yp )2
( yp )+ ln|√1+( yp )2
+( yp )|]]0
p
s=p2
2 p [[√1+( y2
p2 )( yp )+ ln|√1+( y2
p2 )+( yp )|]]0
p
s=p2
2 p [[√1+( y2
p2 )( yp )+ ln|√1+( y2
p2 )+( yp )|]]0
p
s=p2
2 p [[√1+( p2
p2 )( pp )+ ln|√1+( p2
p2 )+( pp )|]]0
p
s=p2
2 p [[√1+( p2
p2 )( pp )+ ln|√1+( p2
p2 )+( pp )|]]s=p
2[[√1+(1 ) (1 )+ln|√1+ (1 )+ (1 )|] ]
s=p [ [√2+ln|√2+(1 )|]]
8.- Hallar la longitud de la curva y=√2x en el intervalo de XE[0,3]
x=( y2 )2
dx=2 y4
dy
dx= y2
dy
∫ ds=∫0
2√3 √1+( y2 )2
dy
s=∫0
2√3 √1+( y2
4 )dys=∫0
2√3 √4+ y2
4dy
s=12∫0
2√3 √4+ y2dy
donde :a2=4a=2u2= y2
u= ydu=dydonde :u=a tan zu2=a2 tan2 zdu=a sec2 z∴
s=12∫0
2√3 √a2+a2 tan2 z a sec2 z
s=12∫0
2√3a2sec3 z
s=a2
2 ∫0
2 √3sec3 z
s=a2
4[sec z tan z+ ln|sec z+ tan z ]
donde :
z=arctag [ua ]
s=a2
4 [secarctag [ua ] tan arctag [ua ]+ ln|secarctag [ua ]+ tan arctag [ua ] ]02 √3
donde :
sec(arctag [ua ])=√1+[ua ]2tag(arctag [ua ])=[ua ]s=a2
4 [√1+[ua ]2
[ua ]+ ln|√1+[ua ]2
+[ua ]]0
2√3
entonces :
s=44 [√1+[ y2
4 ] [ y2 ]+ln|√1+[ y2
4 ]+[ y2 ]]0
2√3
s=44 [√1+[(2√3 )2
4 ][2√32 ]+ ln|√1+[(2√3)2
4 ]+[2√32 ]]
s=2√3+ ln(2+√3 )u
9.- Hallar la longitud de la curva y= x3
6+ 1
2 x en el intervalo XE[1,3]
[3,14/3]
y= x3
6+ 1
2 x
[0,1]
y=x3
6+1
2 x
dy=3 x3
6−1
2x2
dy=x3
2−1
2x2=
∫ ds=∫1
3 √1+(x3
2−1
2 x2 )2
dx
s=∫1
3 √1+(x4
4−2 x2
4 x2+1
4 x4 )dxs=∫1
3 √4 x4+ x8−2 x4+14 x4
dx
s=∫1
3 √4 x4+ x8−2 x4+1
√4 x4dx
s=∫1
3 √x8+2x4+12 x2
dx
s=∫1
3 √(x4+1 )2
2 x2dx
s=∫1
3 ( x4+1 )2 x2
dx
s=∫1
3 ( x4)2 x2
dx+(1 )2 x2
dx
s=∫1
3 ( x2 )2
dx+(1 )2x2
dx
s=[(x3 )6 ]
1
3
+12 [−1
x ]1
3
s=[(27−1 )6 ]+1
2 [−13
+11 ]
s=[266 ]+1
2 [−13
+33 ]
s=[266 ]+1
2 [23 ]s=[26
6 ]+[13 ]s=14
3u2
10.- Hallar la longitud de la curva y=x3 /3 + 1/4x, en el intervalo XE[1,3]
y= x3
3+ 1
4 x
[1,1/12]
y=x3
3+1
4 x
dy=3 x2
3−1
4 x2
dy=4 x4−1
4 x2
∫ ds=2∫1
3 √1+(4 x4−14 x2 )
2
dx
s=2∫1
3 √1+(16 x8−8 x4+116 x4 )dx
s=2∫1
3 √(16 x 4+16 x8−8 x4+1
16 x 4 )dxs=2∫1
3 √(16 x8+8 x4+1
16 x 4 )dxs=2∫1
3 √16 x8+8 x4+1
√16 x4dx
s=2∫1
3 √16 x8+8 x4+1
4 x2dx
s=2∫1
3 √ (4 x4+1 )2
4 x2dx
s=2∫1
3 ( 4 x4+1 )4 x2
dx
s=2[∫1
3 4 x4
4 x2+∫1
3 1
4 x2 ] dxs=2[∫1
3x2+∫1
3 1
4 x2 ]dxs=2[ x3
3 ]1
3
+2[−14 x ]
1
3
s=2[27−13 ]+2[−1
4 (3 )+
14 (1) ]
s=2[27−13 ]+2[−1
12+1
4 ]s=[52
3 ]+2[−112
+14 ]
s=[523 ]+2[16 ]
s=[523 ]+[13 ]
s=533
u2
11.- Hallar la longitud del arco circunferencial x2 +y2 =a2
[0,a]
y=√a2−x2dx
dy=a2−2 x2
2√a2−x2dx
∫ ds=2∫−a
a √1+(a2−2x2
2√a2−x2 )2
s=2∫−a
a √1+(a4−4 a2 x+4 x2
4 a2−4 x2 )s=2∫−a
a √(4 a2−4 x2+a4−4 a2 x+4 x2
4 a2−4 x2 )s=2∫−a
a √(4 a2−4 x2+a4−4 a2 x+4 x2
4 a2−4 x2 )s=2∫−a
a √(a4
4 (a2−x2 ) )=12 √(a2
( a2−x2) )s=1∫−a
a a2
√( a2−x2)donde :a2=a2
u2=a2 sen2 zdu=acos z
s=1∫−a
a a2cos z
√( a2−a2 sen2 z )=∫−a
a a2coz
√( a2cos2 z )=∫−a
a a2 coz
√(a2cos2 z )=dz
s=a [ z ]−aa
z=arcsen(u/ a)a [arcsen( x /a )]−a
a
s=a [arcsen (x / a)]−aa
s=90 °−(−90° )s=a∏se multiplicara por dos puesto que solo calculamos el lado horizontal de la circunferencia∴s=2a∏ u
12.- Hallar la longitud del arco de circunferencia en el intervalo XE[3,4]
x2+y2=25
y=√25−x2
dy=−2 x
2√25−x2dx
dy=−x
√25−x2dx
∫ ds=∫3
4 √1+(−x
√25−x2 )2
dx
s=∫3
4 √(25−x2+x2
25−x2 )dxs=∫3
4 √(25
25−x2 )dxs=5∫3
4 dx
√25−x2
a=5u=xdu=dxu2=a2 sen2 zdu=acos z
s=5∫3
4 acoz
√a2−a2 sen2 z
s=5∫3
4 acoz
√a2 cos2 zdz
s=5∫3
4 acozacoz
dz
s=5∫3
4dz
s=5 [z ]34
donde : z=arcsen (u/a )∴
5 [arcsen(ua )]3
4
dondeu=xa=5
5 [arcsen(x5 )]34
s=5[arcsen (45 )−arcsen(35 )]
s=5[arcsen (15 )]
14.- hallar la longitud del lazo: 3y2=x(x-1)2
y=√ x( x−1 )2
3
y=√ x3
( x−1 )
dy=1√3 [√ x+( x−1)(1
2√ x )]dxdy=1
√3 [√ x+(x−12√ x )]dx
dy=[(1√3 )(2 x+x−12√x )]dx
dy=[(3 x−12√3 x )]dx
∫ ds=∫0
1 √1+(3 x−12√3 x )
2
dx
s=∫0
1 √1+(9 x2−6 x+14 (3 x ) )dx
s=∫0
1 √(12 x+9 x2−6 x+112 x )dx
s=∫0
1 √(9 x2+6 x+112 x )dx
s=∫0
1 √(3 x+1 )2
√4(3 x )dx
s=∫0
1 (3 x+1 )2√(3 x )
dx
∴
s=12∫0
1 3 x
√3 xdx+1
2∫0
1 1
√3xdx
s=32√3
∫0
1x
12 dx+1
2√3∫0
1x−12 dx
s=32√3 [2x
32
3 ]0
1
+12√3
[2 x12 ]
0
1
s=[x32
√3 ]0
1
+[x12
√3 ]0
1
=
s=2/√3se multiplicara por dos ya que es por ambos lados de la recta x∴
s=4√3
u
15.- Hallar la longitud de la cuerva 18y2=x(x-6)2 en el intervalo XE(0,6)
y=√ x( x−6)2
18
y=√ x18
( x−6 )
y=√ x3√2
( x−6 )
dy=x−22√2 x
dx
∫ ds=∫0
6 √1+(x−22√2 x )
2
s=∫0
6 √1+(x2−4 x+4(8 x ) )dx
s=∫0
6 √(8 x+ x2−4 x+4(8 x ) )dx
s=∫0
6 √(x2+4 x+4(8 x ) )dx
s=∫0
6 √( x+2 )2
2√2 xdx
s=∫0
6 ( x+2)2√2 x
dx
entonces :
s=12√2
∫0
6x
12 dx+1
2√2∫0
6x−1
2 dx
s=12√2 [2 x
32
3 ]0
6
+1√2
[2 x12 ]
0
6
s=[632
3√2 ]+[2 (6)12
√2 ]s=
(12 )√6
(3 )√2=4 √3
s=4 √3u
19.- Hallar la longitud de la curva y=x(3/2) en el intervalo XE[0,4]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫0
4 √1+(3√x2 )
2
dx
S=∫0
4 √1+(9x4 )dx
S=∫0
4 √(4+9x4 )dx
S=∫0
4 √ (4+9 x )2
dx
S=12∫0
4√ (4+9 x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫0
4√udu
9
S=118
∫0
4√udu
S=118 [2u
32
3 ]0
4
S=127
[(4+9 x )32 ]0
4
S=127
[(4+9(4 ))32 −( 4+9 (0))
32 ]
S=127
[8√1000−8 ]
S=827
[10√10−1 ] u
20.- Hallar la longitud de la curva y=x(3/2) en el intervalo XE[0,7/3]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫0
73 √1+(3√x
2 )2
dx
S=∫0
73 √1+(9 x
4 )dxS=∫0
73 √(4+9 x
4 )dxS=∫0
73 √( 4+9x )
2dx
S=12∫0
73 √( 4+9 x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫0
73 √udu
9
S=118
∫0
73 √udu
S=118 [2u
32
3 ]0
73
S=127
[(4+9 x )32 ]0
73
S=127 [(4+9(7
3))
32 −(4+9(0 ))
32 ]
S=127
[ 125−8 ]
S=133
u
21.- Hallar la longitud de arco de la curva y=x(3/2) en el intervalo XE[0,5]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫0
5 √1+(3 √x2 )
2
dx
S=∫0
5 √1+(9 x4 )dx
S=∫0
5 √(4+9 x4 )dx
S=∫0
5 √( 4+9 x )2
dx
S=12∫0
5√( 4+9 x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫0
5√udu
9
S=118
∫0
5√udu
S=118 [2u
32
3 ]0
5
S=127
[(4+9 x )32 ]0
5
S=127
[(4+9(5 ))32 −( 4+9 (0))
32 ]
S=127
[ 343−8 ]
S=33527
u
22.- Hallar la longitud de la curva Y=X(3/2) en el intervalo XE[0,8]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫0
8 √1+(3 √x2 )
2
dx
S=∫0
8 √1+(9 x4 )dx
S=∫0
8 √(4+9 x4 )dx
S=∫0
8 √( 4+9 x )2
dx
S=12∫0
8√( 4+9 x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫0
8√udu
9
S=118
∫0
8√udu
S=118 [2u
32
3 ]0
8
S=127
[(4+9 x )32 ]0
8
S=127
[(4+9(8 ))32 −( 4+9(0 ))
32 ]
S=127
[8(10 )−8 ]
S=8(10−1)27
u
23.- Hallar la longitud de curva Y2 = X3 en el intervalo XE[4/3, 32/3]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫43
322 √1+(3√x
2 )2
dx
S=∫43
322 √1+(9 x
4 )dxS=∫4
3
322 √(4+9 x
4 )dxS=∫4
3
322 √ (4+9x )
2dx
S=12∫4
3
322 √( 4+9x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫4
3
322 √udu
9
S=118
∫43
322 √u du
S=118 [2u
32
3 ]43
322
S=127
[(4+9 x )32 ]4
3
322
S=127 [(4+9((32
2 ))32 −( 4+9((4
3 ))32 ]
S=127
[√1000000−64 ]
S=1043
u
24.- Hallar la longitud de la curva y2=x3 en el intervalo XE[0,5/9]
y=x32
dy=3 x12
2dz
∫ ds=∫0
59 √1+(3√x
2 )2
dx
S=∫0
59 √1+(9 x
4 )dxS=∫0
59 √(4+9 x
4 )dxS=∫0
59 √ (4+9x )
2dx
S=12∫0
59 √( 4+9x )dx
donde:u= 4+9xdu=9dx
S=12∫0
59 √udu
9
S=118
∫0
59 √udu
S=118 [2u
32
3 ]0
59
S=127
[(4+9 x )32 ]0
59
S=127 [(4+9((59 ))
32 −(4+9( (0 ))
32 ]
S=127
[ 27−8 ]
S=1927
u
25.- Hallar la longitud de la curva ay2=x3 en el intervalo XE[0,5a]
y=√ x3
√ay=x√ x
√a
dy=[x (12 x−1
2 )+√ x (1)
√a ]dy=[(x2√x )+√ x
√a ]dy=[(x+2x
2√x )√a ]
dy=[3 x2√ xa ]
∫ ds=∫0
5 a √1+[3 x2√xa ]
2
dx
s=∫0
5a √1+[9 x2
4 xa ]dxs=∫0
5a √[ 4 xa+9 x2
4 xa ] dxs=
12√a∫0
5 a √[ x (4 a+9 x )x ]dx
s=12√a∫0
5 a √ [(4 a+9 x ) ]dx
u= 4+9x
du=9dx
dx=du9
∴
s=12√a ∫0
5 a √[u ]dx9
s=118√a ∫0
5 a √ [u ]dx
s=127√a
[u32 ]
0
5a
s=127√a
[( 4+9 x )32 ]0
5 a
s=127√a
[( 4+9 (5 a)32 ]
s=127√a
[3543a√a−8 a√a ]
s=335a27
u
26.- Hallar la longitud de la curva 9y2=4x3 del punto (0,0) al punto (3, 2√3)
y=√4 x3
9
y=2x √ x3
dx
dy=23 [x2√ x
+√x ]dy=
x+2x2√x (2
3 )dy=x
√ x
∫ ds=∫0
3 √1+(x√x )2
dx
s=∫0
3 √1+(x2
x )dxs=∫0
3 √(x+ x2
x )dxs=∫0
3 √(x (1+ x )x )dx
s=∫0
3√(1+x )dx
donde :u=1+xdu=dx
s=∫0
3√udu
s=[2u32
3 ]0
3
s=[2 (1+x )32
3 ]0
3
s=[2 (1+3 )32
3 ]−[2 (1+0 )32
3 ]s=14
3u
Sólidos de revolución
1 La superficie limitada por y=x2−6 x y=0 gira alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
6
[ x2−6 x ]2=∏∫0
6
[ x 4−2 (x2 ) (6 x )+36 x2 ]06
∏∫0
6
x4−12x3+36 x2=∏ [ x5
5−12x 4
4+36 x3
3 ]0
6
¿∏ [77765
−3 (1296 )+12 (216 )]=∏ [77765
−3888+2592]=∏ (12965 )u3
2 La superficie limitada por 2 y=x3 y=0 x=2 alrededor de eje X, hallar el
volumen generado
∏∫0
6
[ x2−6 x ]2=∏∫0
6
[ x 4−2 (x2 ) (6 x )+36 x2 ]06
∏∫0
6
x4−12 x3+36 x2=∏ [ x5
5−12 x 4
4+36 x3
3 ]0
6
¿∏ [77765
−3 (1296 )+12 (216 )]=∏ [77765
−3888+2592]=∏ (12965 )u3
3 La superficie limitada por y=2√ x y=0 x=9 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
9
(2√x )2=∏∫0
9
4 x=[ 4 x2
2 ]0
9
=2 (81 )∏ ¿162∏ u3
4 La superficie limitada por y=2√ x y=3 x=9 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫9
4
9
(2√x )2dx−∫9
4
9
32dx=∏∫9
4
9
4 xdx−∫9
4
9
9dx=∏ [4 x2
2 ]94
9
−[ 9 x ]9
4
9
¿∏ [2(81−8116 )]−9[9−9
4 ]=∏ [12158 ]−[243
4 ]=7298
∏ u3
5 La superficie limitada por √ x+√ y=√a x=0 y=0 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
u=ax ∴ x=ua
du=adxdua
=dx
∏ [a2x−4 a∫u1
2dua
+6ax 2
2−4∫ x √ax+ x3
3 ]∏ [a2 xalignl|a
|0−4
(ax )3
2
32
¿|a|0
+3 ax2¿|a|0
−4∫ ua⋅u
12dua
+x3
3 ¿|a|0
]∏ [a3−8
3(ax )
32+3a3−4
a2∫ u3
2du+a3
3 ]∏ [a3−8
3a3+3a3−4
a2
(ax )5
2
52
+a3
3 ]∏ [a3−8
3a3+3a3−8
5a2⋅a5+a
3
3 ]=a3−83a3+3 a3−8
5a3+a
3
3=∏ [115
a3]
7 La superficie limitada por x2
3+ y2
3=a2
3 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
y2
3=a2
3−x2
3
y2=(a2
3−x2
3)3
=(a2−3a4
3 x2
3+3a2
3 x4
3−x2)dx∏∫
−a
a (a2−3a4
3 x2
3+3a2
3 x4
3−x2)dx
¿∏ [a2 x−3a4
3 x5
3
53
+3a2
3 x7
3
73
−x3
3 ]−a
a
¿∏ [a3−[a2 [a−a ] ]−95a
43 [a ]
53−[−9
5a
43 [−a ]
53]+9
7a
23 [a ]
73−[97 a
25 [−a ]
73]−a3
3−[a3
3 ]]¿∏ [a3+a3−9
5a3−9
5a3+9
7a3+9
7a3−a3
3−a3
3 ]=∏ [32105
a3]
8 La superficie limitada por y2=2 px x=x1 alrededor de eje X, hallar el volumen
generado
∏∫0
x
(2 px )dx=∏ 2 px 2
2=∏ px2
9 La superficie limitada por y2=4 ax y=0 y el lado recto gira alrededor de eje X,
hallar el volumen generado
y=√4ax√4 ax=04ax=0x=0
∏∫0
a
(4 ax )dx=∏ 4ax2
2¿|a|0
=∏ 2a3
¿
10 La superficie limitada por 5 y2=32x x=10 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
1032x
5dx=∏ 32
5∫0
10
xdx=∏ 325
x2
2¿|10|0
=∏ 165
(10)2 ¿
11 La superficie limitada por 4 hy2=−b2( x−h) x=0 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
4hy2=−b2 ( x−h )
y2=−b2 (x−h )4 h
∏∫0
h−b2 ( x−h )4h
dx=∏ [(−b2
4h⋅x
2
2 )+(hb2
4hx)]
0
h
=∏ [(−b2h2
8h )+(h2b2
4 h )]¿∏ [−b2h
8+b
2h4 ]=∏ [−b2h+2b2h
8 ]=∏ (b2h8 )
12 La superficie limitada por y2=4 x x
2=8 x−4 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
1
(4 x )− (8x−4 )dx=∏ [−8 x2
2+4 x+4 x2
2 ]0
1
¿∏ [−4 x2+4 x+2 x2 ]01=∏ [−4+4+2 ]=∏ [ 2 ]=2∏
13 La superficie limitada por y2=4 x y2=5−x alrededor de eje X, hallar el
volumen generado
∏∫0
1
4 xdx+∫1
5
(5−x )dx=∏ [[ 4 x2
2 ]0
1
+[5x− x2
2 ]2
5 ]=∏ [2+25−5−252
+12 ]=10∏ ¿ ¿
14 La superficie limitada por y2=x3
y=0 x=4 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
4
x3 dx=∏ ¿( x4
4 )0
4
=64∏ ¿ ¿¿
15 La superficie limitada por ay2=x3
y=0 x=a alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
ax3
a=∏ ¿
a ( x4
4 )0
a
=∏ a4
4 a=∏ ¿
4a3 ¿¿
16 La superficie limitada por y2=(2−x )3 y=0 x=0 x=1 alrededor de eje X,
hallar el volumen generado
∏∫0
1
(2−x )3dx=∏∫0
1
(−x3+8x2−12 x+8 )dx
∏∫0
1 [−x4
4+6 x3
3−12 x2
2+8x ]
0
1
=∏ [−14
+2−6+8 ]=∏ 154
17 La superficie limitada por x2+ y2=25 alrededor de eje X, hallar el volumen
generado
∏∫−5
5
( 25−x2)dx=∏ [2x− x3
3 ]−5
5
=∏ [125+125−1253
−[1253 ]]=500
∏ ¿3
¿
18 La superficie limitada por x2+ y2=25 16 x=3 y2
alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏∫0
316 x
3+∫
3
5
( 25−x2 )dx=∏ 163 ( x2
2 )0
3
+(25 x− x3
3 )3
5
=∏ [24+125−75−1253
+9 ]=∏ (1243 )
19 La superficie limitada por 9 x2+25 y2=225 alrededor de eje X, hallar el volumen generado
∏ ¿25
∫−5
5
( 225−9x2 )dx=∏ ¿25 [225 x−9x3
3 ]−5
5
=∏ ¿25
[1125+1125−375−[ 375 ] ]=∏ ¿25
[ 1500 ]=60∏ ¿ ¿¿¿¿¿
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