Guia de Cálculo II - yelisbethmorales.files.wordpress.com · Tabla de Identidades Trigonométricas ... Longitud de Arco de una Curva Plana ... acumular y manejar una simple información

Guia de Cálculo II Pág.

Ciudad Ojeda Agosto 2010 Prof. Pedro R. Guédez

1

UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”

FACULTAD DE INGENIERIA

CIUDAD OJEDA - ZULIA

Guia de Cálculo II

EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR

b

a (Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados

“NADIE ME ENSEÑA SOLO YO APRENDO” ALBERT EINSTEIN



2

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3 Antiderivada .................................................................................................................. 5 Tabla de Integrales ......................................................................................................... 5 Tabla de Derivadas ......................................................................................................... 6 Tabla de Identidades Trigonométricas ............................................................................... 6 Integrales Inmediatas ..................................................................................................... 7

Ejemplos Ilustrativos ............................................................................................. 7 EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 10

Técnicas De Integración ................................................................................................ 11 Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable .............................................. 11

Ejemplos Ilustrativos ........................................................................................... 11 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE SUSTITUCIÓN ELEMENTAL O CAMBIO DE VARIABLE 17

Integración por partes. .................................................................................................. 18 Ejemplos Ilustrativos:.......................................................................................... 18 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN POR PARTES ................................. 23

Integración de Potencias del Seno y el Coseno ................................................................. 24 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACION DE POTENCIAS DEL SENO Y DEL

COSENO ............................................................................................................ 30 Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante ......................... 31

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACION DE POTENCIAS DE LA TAN, COT, SEC Y

CSC .................................................................................................................. 39 Integración Por Sustitución Trigonométrica ...................................................................... 40

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 43 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados) ...................................... 45

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 48 Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) ........................................................... 49

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES .......... 52 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) ........................................................ 54

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES .......... 59 Integral Definida ........................................................................................................... 61

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTEGRAL DEFINIDA .......................................... 63 Longitud de Arco de una Curva Plana .............................................................................. 64

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 66 Área bajo una curva ...................................................................................................... 69 Área entre dos curvas ................................................................................................... 75

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................... 81 Bibliografía .................................................................................................................. 90



3

INTRODUCCIÓN

¿Por qué la resolución de problemas?

El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de

problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y

dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o

acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez

mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio

de la Matemática nos debe llevar por el camino del desarrollo de la inteligencia y

autorrealización hacia un mundo cada vez mas humano y perfecto.

La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del

Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como

fundamentales en todo el curso de esta cátedra.

Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel

universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas

Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma

es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e

integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.

Los propósitos de la esta guía se centran en:

Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de

problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular

y controlar sus pensamientos y acciones.

Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos,

habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y

humanística.

Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto

aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación

de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y

generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas

globalizado.

Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen

el aprendizaje efectivo de la Matemática.



4

Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te

aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.

Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en su

nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e

interesante.

La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al

afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las

asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada

cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por

objetivos y/o contenidos.

Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma

determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos

matemáticos fundamentales.

Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de

realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a

través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino

de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.

Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de

la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los

estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a

engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que

enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.

Pedro R. Guédez L

Prof. de Matemática



5

Antiderivada

Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un

intervalo I, si F’(x) = f(x), valor de x en el intervalo I Ejm.

F(x) = 4x3 + x2 + 5 f’(x) = 12x2 + 2x

G(x) = 4x3 + x2 - 8 g’(x) = 12x2 + 2x

A(x) = 4x3 + x2 + C h’(x) = 12x2 + 2x

Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) x I entonces C tq F(X) =

G(X) + C ∀ x ∈ I

Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las

antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se

escribe:

C)x(Fdx )x(F

Dos propiedades básicas de la antidiferenciación.

1.- dx )x(fadx )x(af siendo a una constante

2.- dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f n21n21

Tabla de Integrales

1. vduuvdvu ; Integración por Partes 2. C)u(Tandu)u(Sec2

3. Cudu 4. C)u(Cotdu)u(Csc2

5. Ckukdu Donde k es una constante 6. C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec

7. C1n

uduu

1nn

; para n -1 8. C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc

9. CuLnu

du 10. C

au

auLn

a2

1

au

du22

; ( u2 > a2 )

11. Cedue uu 11. Cau

auLn

a2

1

ua

du22

; ( a2 > u2 )

13. CaLn

adua

uu ; donde a>0 y a 1 14. C

a

uarcSen

ua

du

22

; donde a>0

15. C)u(Cosdu)u(Sen 16. Ca

uarcSec

a

1

auu

du

22

; donde a>0

17. C)u(Sendu)u(Cos 18. Ca

uarcTan

a

1

ua

du22

19. C)u(SecLndu)u(Tan 20. CauuLnau

du 22

22



6

21. C)u(SenLndu)u(Cot 22. Cu)u(Tandu)u(Tan2

23. C)u(Tan)u(SecLndu)u(Sec 24. Cu)u(Cotdu)u(Cot2

25. C)u(Cot)u(CscLndu)u(Csc

26. Ca

uarcSen

2

aua

2

uduua

22222

27. CauuLn2

aau

2

uduau 22

22222

Tabla de Derivadas

1. uDnu)u(D x1nn

x 2. uD u Cos )u Sen(D xx 3.

2

xx

u1

uD )u arcSen(D

4. vDuD)vu(D xxx 5. uD u Sen- )u Cos(D xx 6. 2

xx

u1

uD - )u arcCos(D

7. uvDvuD)uv(D xxx 8. uD uSec )u Tan(D x2

x 9. 2

xx

u1

uD )u arcTan(D

10. 2

xxx

v

vuDuvD)

v

u(D

11. uD uCsc )u Cot(D x

2x 12. 2

xx

u1

uD- )u arcCot(D

13. uDe)e(D xuu

x 14. uD Cot u Csc )u Csc(D xx 15. 1uu

uD )u arcSec(D

2

xx

16. uD Ln(a) a)(aD xuu

x 17. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx 18. 1uu

uD - )u arcCsc(D

2

xx

19. u

uDLn(u)D x

x

Tabla de Identidades Trigonométricas

1. 1)x(Sen)x(Cos 22 2. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22

3. )x(Tan1)x(Sec 22 4. (x) Cos)x(Cos )x(Sen)x(Sen

5. )x(Cot1)x(Csc 22 6. (x) Cot)x(Cot )x(Tan)x(Tan

7. 1)x(Csc)x(Sen 8. (x) Csc)x(Csc )x(Sec)x(Sec

9. 1)x(Sec)x(Cos 10. co

h)(Csc

h

co)(Sen

h = Hipotenusa

co = Cateto Opuesto

ca = Cateto Adyacente

11. 1)x(Cot)x(Tan 12. ca

h)(Sec

h

ca)(Cos

13. )x(Cos

)x(Sen)x(Tan 14.

co

ca)(Cot

ca

co)(Tan

h co

ca



7

15. )x(Sen

)x(Cos)x(Cot 16. x nm Cosx nm Cos

2

1nx Sen mx Sen

17. )x2(Cos12

1)x(Sen2 18.

x nm Cosx nm Cos2

1nx Cos mx Cos

19. )x2(Cos12

1)x(Cos2 20. x nm Senx nm Sen

2

1nx Cos mx Sen

21. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen 22. x nm Senx nm Sen2

1nx Sen mx Cos

Integrales Inmediatas

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dxx3 4

dxx3 4

Cx5

3

C14

x3

dxx3

5

14

4

4 533x dx x C

5

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular dxx

13

dxx

13

Cx2

1

C2

x

C13

x

dxx

2

2

13

3

3 2

1 1dx C

x 2x

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dxx x223 23

dxx x223 23

23 3

113

111

3

22 x x dx

22 x dx

22 xC

111

3



8 14

322 xC

14

3

66

14

143

143

x C

33x C

7

1433 2 3

3322x x dx x C

7

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula dx)x8x32(x2 322

dx)x8x32(x2 322

2 4 5

2 4 5

2 1 4 1 5 1

3 5 6

3 5 6

3 3 2

(4x 6x 16x )dx

4 x dx 6 x dx 16 x dx

4 x 6 x 16 xC

2 1 4 1 5 1

4 6 16x x x C

3 5 6

4 6 8x x x C

3 5 3

2x 20x 9x 10x C

15

2 2 3 3 3 222x (2 3x 8x )dx x 20x 9x 10x C

15

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula dy y

)1y2y( 24

dy y

)1y2y( 24

4 2

1 1 12 2 2

14 1/2 2 1/2 2

37 12 2 2

37 12 2 2

7 3 11 1 1

2 2 2

9 5 12 2 2

y 2y 1 dy

y y y

y 2y y dy

y 2y y dy

y dy 2 y dy y dy

y 2 y yC

7 3 11 1 1

2 2 2

y 2y yC

9 5 1

2 2 2



9

9 5 12 2 2

9 52 2 1

2

14 22

2y 2 2y 2yC

9 5 1

2y 4y2y C

9 5

2y 5y 18y 45 C

45

4 2

14 22

(y 2y 1) 2 dy y 5y 18y 45 C

45y

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula 3Sen(t) - 2Cos(t) dt

dt 2Cos(t) - 3Sen(t)

C)t(sen2)tcos(3

dt Cos(t)2 - Sen(t)dt3

3Sen(t) - 2Cos(t) dt 3cos(t) 2sen(t) C

Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula 2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d

2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d

2Csc ( ) Cot( )d 2 Sec ( )d

Csc ( ) 2Tan( )

2Csc ( ) Cot( ) 2Sec ( ) d Csc ( ) 2Tan( )

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula

dx)x(Cot 3

(x) Cot

3

33 Cot(x) dx

Cot (x)

)x(sen)xsec(Ln3

)x(senLn)xsec(Ln3

C)x(senLn3)xsec(Ln3

dx)x(Cot3dx)x(Tan3

dx)x(Cot 3)x(Tan3

3

3 Cot(x) dx 3 Ln sec(x) sen(x)Cot (x)

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula

x x

2

32 e 4 dx

Cos (x)

x x

2

32 e 4 dx

Cos (x)

2 x x

2 x x

xx

3Sec (x) 2 e 4 dx

3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx

43Tan(x) 2e C

Ln4

xx x x

2

3 42 e 4 dx 3Tan(x) 2e C

Ln4Cos (x)



10

EJERCICIOS PROPUESTOS

INTEGRACIÓN INMEDIATA

Integral Respuesta Integral Respuesta

1. dxx3 2 Cx3 2.

dx3x5x 2

3

Cx3x3

10x

5

2 23

25

3. dxX

13

Cx2

1 2 4. dy7y

C7Ln

7y

5. 3 x

dx Cx

2

3 32

6. dy 3y2y 23

Cy4

3y

3

1 46

7. dxx3 32

Cx5

9 35

8. d)(Tan3Cot2 C)(Cos)(SenLn 32

9. x

dx Cx2 10. )x(Sen

dx2

C)x(Cot

11.

dyy3y5 41

2 Cy4y3

5 43

3 12. )u(Cos

du C)u(Tan)u(SecLn

13.

dxX

x2x4 2

Cx4x2 2 14. )t(Cos

dt)t(Sen C)t(SecLn

15. dxax C3

axx2 16. dx1x2x

2

2

4 34 xx x C

3 2

17.

dx

X

2

2

x2

2

CX

2

6

x3

18.

dxX

5x6x3

CxLn5x63

x3

19. t

dt CtLn 20. d)(Cos)(Sec3 C)(Tan

21. dyey

Cey 22.

dx5

X

3

x

223

Cx5x

3

x

12

23. dxx3 4 Cx5

3 5 24. dt tt232

Ct3

1tt3 32

25. duu5 23

Cu2 25

26. dx1xx Cx3

2x

5

2 23

25

27. dxx103 2

Cx6 35

28.

duuu 2

3

Cu2

1u

5

2 225

29. dxxx6 32

Cx5

9 310

30. dxx

1x

3

3

Cx

2

3x

4

3 32

34

31. dx e e6 x23 x2

Cex 32. dx xx4 23

Cx3

1x 34

33. dx 5x4x6x4 23

Cx5x2x2x 234

34.

dxx

4x4x2

Cx8x3

8x

5

2 21

23

25

35. dttCos2t Sen3 C)t(Sen2)t(Cos3



11

36. d)(Tan3Cot2 22 C)(Tan3)(Cot2

37. dt)t(TantSec5tCsc3 2

C)t(Sec5)t(Cot3

Técnicas De Integración.

Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable

Esta técnica se usa para integrar expresiones que surgen de la derivación por la regla de la

cadena. La técnica consiste como su nombre lo indica en cambiar la variable de tal forma que

dicho cambio transforme la integral original en una integral mas sencilla o menos complicada

para integrar.

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular d)(4 Cos

d)(4 Cos d)Cos(4

Hacemos 4 =t4

dtddtd4

C )t(Sen4

1

dt)Cos(t4

1

4

dt)Cos(t

1Cos (4 )d Sen(t) C

4

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular x

x

e -Sen(x) dx

e +Cos(x)

Cambio de variable:

Sea x xe +Cos(x) = r e -Sen(x) dx = dr que al sustituir en la integral original se obtiene:

x

x

e -Sen(x) dx

e +Cos(x)

xdrLn r C Ln e +Cos(x) C

r

xx

x

e -Sen(x) dx Ln e +Cos(x) C

e +Cos(x)

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dyy413

dyy413 dyy41 31

(A)

Cambio de variable

Sea 1-4y=u -4dy = du 4

dudy

Sustituyendo u y dy en (A) tenemos



12 13

13

duu

4

1u du

4

43

43

1 uC

44

3

3u C

16

Volviendo a la variable original “y” Quitando el cambio de variable

Cy4116

3

Cy4116

3

3 4

34

4

333

1 4y dy 1 4y C16

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular dx 1) - (x x 1032

dx 1) - (x x 1032 dxx1) - (x 2103 (A)

Cambio de variable

Sea 1 -x3 = v 3x2dx = dv 3

dvdxx2

Sustituyendo v y dv en (A) se tiene

C11

v

3

dvv

11

10

Quitando el cambio de variable se tiene 3 11(x 1)

C11

3 112 3 10 (x 1)

x (x - 1) dx C11

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular

ds13s

s

2

ds13s

s

2

2

12 13s

sds

Haciendo 3s2+1 = x 6

dxsdsdxsds6

12

dx

6

x



13

12

12

11

2

1 dx

6 x

1x dx

6

1 xC

161

2

12

12

1 xC

16

2

1x C

3

Volviendo a la variable original

C13s3

1

C 13s3

1

2

21

2

2

2

s 1ds 3s 1 C

33s 1

Observe que el ejercicio anterior se puede realizar haciendo el cambio de

variable 3s2+1 = x2 lo dejo como ejercitación al lector. ¿Se obtendrá el

mismo resultado?


dxCos(x)) (1

(x) 4Sen2

dxCos(x)) (1

(x) 4Sen2

2Cos(x)) (1

dx (x) Sen4

Hacemos 1+Cos(x) = u -Sen(x) dx = du Sen(x) dx = -du

2

2

1

du4

u

4 u du

u4 C

1

4C

u

4C

1 Cos(x)

2

4Sen (x) 4dx C

1 Cos(x)(1 Cos(x))



14

Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2

Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( se tiene

2(2x)) Cot 2x) (Tan(

(2x)Csc(2x)Sec

22-(2x)Csc(2x)Sec

1-(2x)Csc21-(2x)Sec

(2x)Cot 12 (2x)Tan

(2x)Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x)Tan

22

22

22

22

22

Asi la integral original se transforma en

dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 dx (2x)) Csc 2x) ((Sec 22

Si cambiamos 2x por se tiene

2x = 2

ddxddx2

2

d ))( Csc )((Sec 22

C)(Cot)(Tan2

1

d ))( Csc )d((Sec2

1 22

Quitando el cambio se tiene finalmente

C)x2(Cot)x2(Tan2

1

2 1(Tan(2x) Cot (2x)) dx Tan(2x) Cot(2x) C

2


2

2

x Ln(x +1) dx

x +1

Cambio de variable:

Sea 2

2 2

2x x dvLn(x +1) = v dx dv dx

2x +1 x +1 sustituyendo en la integral

original se obtiene:

2

2

x Ln(x +1) dx

x +1

2

2

xLn(x +1) dx

x +1

dvv

2

2

1v dv

2

1 vC

2 2

2 2

2

1Ln x +1 C

4

1Ln x +1 C

2

2

2

2

x Ln(x +1) 1 dx Ln x +1 C

2x +1



15

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular arcSen(x)

2

e +x dx

1-x

La integral original se puede expresar como sigue:

arcSen(x)

2

e +x dx

1-x

arcSen(x)

2 2

2 2

I1 I2

e x+ dx

1-x 1-x

x xdx dx

1-x 1-x

Resolviendo estas dos integrales por separado se obtiene:

arcSen(x)

2

eI1 dx

1-xpara I1 el cambio de variable será:

2

dxarcSen(x) u du

1 x, por lo cual

arcSen(x)

2

arcSen(x)

2

u

u

1

arcSen(x)

1

eI1 dx

1-x

dxI1 e

1-x

I1 e du

I1 e C

I1 e C

2

xI2 dx

1-xpara I2 el cambio de variable será:

2 dv1-x v -2xdx dv xdx=

2, asi tenemos que

2

2

xI2 dx

1-x

1I2 xdx

1-x

12

1 dvI2

2v

1 1I2 dv

2 v

-12

1I2 v dv

2

1I2

2

2 12

2v C

1

12

2

2

2

2

I2 v C

I2 v C

I2 1-x C

La integral original es la suma de I1 e I2:



16

arcSen(x)

2

e +x dx I1 I2

1-x

arcSen(x) 2

1 2

arcSen(x) 2

1 2

arcSen(x) 2

e C 1-x C

e 1-x C C

e 1-x C

siendo C1 + C2 = C

arcSen(x)arcSen(x) 2

2

e +x dx e 1-x C

1-x

Ejemplo Ilustrativo 10 Calcular 12

3 2x 2 x dx

La integral original se puede expresar como sigue:

12

3 2x 2 x dx

12

2 2x 2 x xdx (A)

Haciendo el cambio de variable:

2

2 2

12

12 13

1312

13 14

13

12-x =u -2xdx=du xdx=- du

2

Como 2-x =u x =2-u que al sustituir en (A) la integral original se obtiene:

12 u u du

2

12u u du

2

12 u du u du

2

1 2 1u u C

2 13 14

1 1u 28 13u C

2 182

132 2

132 2

132 2

volviendo a la variable x se tiene:

12-x 28 13(2-x ) C

364

12-x 28 26 13x C

364

12-x 2 13x C

364

12 13

3 2 2 21x 2 x dx x -2 13x 2 C

364



17


INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ELEMENTAL O CAMBIO DE VARIABLE


1. dyy41 Cy416

12

3 2.

dx

e3

ex2

x2

Ce3Ln2

1 x2

3. dxx263 Cx268

33

4 4.

3 2

4

31

r

dr2r

C2r

5

35

31

5. dx9xx 2 C9x3

1 23

2 6. dxx)3

1Sen( C

3

x3Cos-

7. dxx4x3 2 Cx4 23

2 8. dx)Sen(x6x 32 C)(x2Cos- 3

9. dx1x2x62 72 1x2

28

1 10. dt)tCos(4t

2

1 2 Ct4Sen16

1 2

11.

32 1x

xdx

C

1x4

122

12. dr)(rSecr 322 CrTan

3

1 3

13. dxx49x53 22 Cx49

8

3 35

2 14. d)(2Csc2 C)Cot(22

1-

15. dx4x4x 34

2 C2x11

33

11 16. dx)x2(Cos2Sen(2x) C)x2(Cos2

3

12

3

17. dx5x3x 54 C5x345

2 35 18. dx)x(Cose )x(Sen

Ce)x(Sen

19.

54

3

y21

dyy

44y2132

1

20. dy3y Cot 3y yCsc 22 C3y Csc6

1- 2

21. 4x1

xdx2 C)x(arcSen 2 22. dxSen(x)2 Cos(x)

5 C)x(Sen26

1 6

23. dx4x33 C4x34

13

4 24.

)x(Tan9)x(Cos

dx

22 C

3

)x(TanarcSen

25. 2x

dx

x3

11 C

x3

112

23

26. 2))x(Cos1(

dx )x(Sen4 C

)x(Cos1

4

27.

323

2

1x2x

dxx8x6

C

1x2x

1223

28. dxx1

x1Cos

Cx1sen2

29. dxx3x 541

3 C12x53x135

4 345

3

30.

7r1

rdr2

616r 1 1 r C

15

31.

32

y3

dy3y Cy321y

4

33

1

32. 3t

tdt C3t6t

3

22

1



18

33. dxxx23 2 Cx236x6x535

12

32

34. dxx2x1223 Cx22x13

364

1 1322

Integración por partes.

Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la

integración de :

a) Diferenciales que contienen productos.

b) Diferenciales que contienen logaritmos

c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas

Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la

cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos

de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar.

Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo

general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra

recomendación para la elección de u es la siguiente regla llamada por sus siglas, regla LIATE

L = Logarítmica.

I = Trigonométrica Inversa

A = Algebraica

T = Trigonométrica Directa

E = Exponencial

Ejemplos Ilustrativos:

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dx Senx x

Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace

dxdu

xu

)x(Cosv

dx)x(Sendv

dx)x(Sendv

Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:

dx Senx x

C)x(Sen)x(Cos

dx)x(Cos)x(Cos

duvvu


ln xdx

x

Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace

dxu Ln(x) du

x



19

2 1

2 2

dx dxdv dv dv x dx v x

x x

1v Observe que aqui no se consideró la constante C ya que al final

x

se tomará una constante única

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:

vduuvdvu

2

ln xdx

x

2

1 1 dxLn(x)

x x x

Ln(x) dx observe que esta integral se resolvio al inicio

x x

Ln(x) 1C

x x

11 Ln(x) C

x

2

lnx 1dx 1 Ln(x) C

xx

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular dx Cosx ex

Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la

primera prioridad es Trigonométrica por lo que:

dx)x(Sendu

)x(Cosu

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:

vduuvdvu

xe Cos(x) dx

x x

x x

e Cos(x) e Sen(x)dx

e Cos(x) e Sen(x)dx (A)

Para resolver la integral dx)x(Senex usamos también la técnica de integración

por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E

dx)x(Cosud

)x(Senu

x

x

x

ev

dxevd

dxevd

Por lo cual

x x x

udv u v v du

e Sen(x) dx e Sen(x) e Cos(x)dx (B)



20

Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene: x x x x

x x

e Cos(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dx Observe que esta integral es

la integral original

e Cos(x) dx e Cos(x)dx

x xe Cos(x) e Sen(x)

x x x

x x12

2 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)

e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular xarctg(x)dx

Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es

Trigonométrica inversa por lo que:

2

u arctg(x)

dxdu=

x +1

2

dv xdx

dv= xdx

1v x

2

Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará

como sigue:

xarctg(x)dx

22

2

22

2

22

2

22

2 2

2

2

2

2

u v v du

1 1 xx arctg(x) dx

2 2 x 1

1 1 xx arctg(x) dx

2 2 x 1

1 1 x 1 1x arctg(x) dx

2 2 x 1

1 x 1 1x arctg(x) dx

2 x 1 x 1

1 1x arctg(x) 1 dx

2 x 1

1 1x arctg(x) dx dx

2 x 1

La última integral de la derecha se resuelve por la fórmula No. 18 del formulario

ubicado en la Pág. 05 de esta guía.

21xarctg(x)dx x arctg(x) x arctg(x) C

2

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular dxx-1

x

2

3

dxx-1

x

2

3

Observe que:

dxx-1

xx

2

2

Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad

es Algebraica por lo que:



21

xdx2du

xu 2

2

2

2

xdxdv

1 x

xdxdv

1 x

xdxv (A)

1 x

Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable

2 dt1 x t 2xdx dt xdx

2

Por lo que:

2212

1

21

2x1tt

2

1

t

2

1dtt

2

1

t

2

dt

x1

xdx

Lo cual se simplifica en:

2

2x1

x1

xdx

Sustituyendo el resultado anterior en la expresión (A) se obtiene que: 2x1v

Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como

sigue:

dxx-1

x

2

3

)B(

222

222

xdx2x1x1x

xdx2x1x1x

duvvu

La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 dw=-2xdx así

3223

223

21

2 x13

2)x1(

3

2w

3

2dwwdwwxdx2x1

Volviendo a la expresión (B) se tiene:

udv uv vdu

dxx-1

x

2

3

2 2 2x 1 x 1 x 2xdx

2 2 2

(B)

x 1 x 1 x 2xdx

32 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2x 1 x 1 x C

3

21 x x 1 x C

3

2 21 x x x C

3 3

1 21 x x C

3 3



22

3

2 2

2

x 1dx 1 x x 2 C

31-x

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular 2x Sen (3x)dx

2x Sen (3x)dx x 1 2 1 C os(6x) dx

1x xC os(6x) dx

2

2

I1

1xdx xC os(6x)dx

2

1 1xdx xC os(6x)dx

2 2

x 1xC os(6x)dx

4 2

La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes

Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es

Trigonométrica inversa por lo que:

u x

du=dx

dv C os(6x)dx

dv C os(6x)dx

6x = z

6dx = dz

dz dx =

6

dzdv C os(z)

6

1dv C os(z)dz

6

1v = Sen(z)

6

1v Sen(6x)

6

Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará

como sigue:

I1

1I1 xCos(6x)dx

2

1 xSen(6x) 1I1 Sen(6x)dx

2 6 6

1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx

12

dr 6x = r 6dx = dr dx =

6



23

1 drI1 xSen(6x) Sen(r)

12 6

1 1I1 xSen(6x) Sen(r)dr

12 72

1 1I1 xSen(6x) Sen(6x)dr

12 72

1 1I1 xSen(6x) Cos(6x) Sustituyendo en (A)

12 72

2x Sen (3x)dx 2

2

2

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 72

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 72

118x 6xSen(6x) Cos(6x) C

72

2 21x Sen (3x)dx 18x 6xSen(6x) Cos(6x) C

72


INTEGRACIÓN POR PARTES


1. dxxe x3 C3

1xe

3

1 x3

2. dxxLn C1)- x (Ln x

3. dx x Sen x C x Cos x - x Sen 4.

dx

1x

xe2

x

C1x

ex

5. dxx

xLn2

C1xLnx

1 6.

23 x

22

x edx

x 1

2x

2

eC

2 x 1

7. dxex x2 C2 2x- xe 2x 8.

dxx1

x

2

3

cx-12x3

1 21

22

9. dxex x2 C2x2xe 2x 10.

dxex2x3 C1xe

2

1 2x2

11. dx 3x Sen x 2 C6x Cos 72

1-

12

6x Sen x-x

4

1 2

12. dy y Sec y 2 C y CosLn y Tany

13. dx x) Ln(Cos x Sen C x CosLn-1 x Cos

14. dx x Cos ex C x Senx Cose

2

1 x

15. dx 2

x Sen x C

2

x Cos 2x -

2

x 4Sen

16. dxxLn2

C2xx Ln 2x- xLn x 2



24

17. dx x Csc x 2 Cx SenLn x Cot x-

18. dx x arcTan x Cxx arcTan1x2

1 2

19. dxxLn Sen CxLn CosxLn Sen2

x

20. dxxLn Cos CxLn CosxLn Sen2

x

21. dx 1x2 Cos x C12x Cos4

112x Sen

2

x

22. dx x Tanx Sec x Cx Tanx SecLn -x Sec x

23. dx x Cos x2 Cx 2Sen- x Cos 2x x Sen x2

24. dx x Csc 3

CCtgxCscxLnCscxCtgx2

1

25. dxx1

arcTanx x2

2

Cx arcTan

2

1x1Ln

2

1x arcTanxx arcTan 22

Integración de Potencias del Seno y el Coseno

Caso 1 n nSen (u)du ó Cos (u)du ; donde n es un entero Impar

En este tipo de integrales se descompone n en (n – 1) y 1 ; para el exponente par (n–1) se

usa la fórmula Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica levada

al exponente 1 se agrupa con el diferencial, se hace el cambio de variable u=cos(x) para la

primera integral o u=sen(x) para la segunda integral.

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 3Cos (3x) dx

3Cos (3x) dx

Observe que: 2

2

Cos (3x) Cos(3x) dx

1-Sen (3x) Cos(3x) dx

2

2

3

3

Hagamos el siguiente cambio de variable

dvSea Sen(3x)=v 3Cos(3x)dx = dv Cos(3x)dx =

3

dv1-v

3

1dv v dv

3

1 vv C

3 3

Volviendo a la variable inicial x tenemos

1 1Sen(3x) Sen (x) C

3 3

1

2Sen(x) 3 Sen (x) C9



25

3 21Cos (3x) dx Sen(x) 3 Sen (x) C

9

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5Sen (x) dx

5Sen (x) dx

Observe que:

22

22

22

2 4

2 4

3 5

Sen (x) Sen(x) dx

1-Cos (x) Sen(x) dx

Hagamos el siguiente cambio de variable

Sea Cos(x)=u -Sen(x)dx = du Sen(x)dx = -du

1-u du

(1-2u u ) du

du 2 u du u du

2 1u u u C

3 5

Volviendo

3 5

4 2

a la variable inicial x tenemos

2 1Cos(x) Cos (x) Cos (x) C

3 5

1Cos(x) 3Cos (x) 10Cos (x) 15 C

15

5 4 21Sen (x) dx Cos(x) 3Cos (x) 10Cos (x) 15 C

15

Caso 2 n nSen (u)du ó Cos (u)du donde n es un entero par

Se usan la fórmulas: 2Sen (x) = ½ 1 - Cos(2x) 2Cos (x) = ½ 1 + Cos(2x)

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 x

Cos ( ) dx2

2 x

Cos ( ) dx2

11+Cos(x) dx

2

11+Cos(x) dx

2

1dx+ Cos(x)dx

2

1x+Sen(x) +C

2

2 x 1Cos ( ) dx x+Sen(x) +C

2 2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4Sen (3x) dx



26

4Sen (3x) dx

22

2

Sen (3x) dx

11-Cos(6x) dx

2

211-Cos(6x) dx (A)

4

dSea 6x= 6dx=d dx= sustituyendo en (A) se tiene

6

2

2

1 d1-Cos( ) (A)

4 6

11-2Cos( )+Cos ( ) d

24

21d -2 Cos( )d + Cos ( )d

24

1 1d -2 Cos( )d + 1+Cos(2 ) d

24 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos(2 )d

24 2 2

Sea 2 = 2d =d d

1 1d -2 Cos( )d +

24

1 dd Cos( )

2 2 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos( )d

24 2 4

1 3 1d -2 Cos( )d Cos( )d

24 2 4

1 3 1-2Sen( )+ Sen( ) C

24 2 4

Quitando la variable

1 3 1-2Sen( )+ Sen(2 ) C

24 2 4

Quitando

la variable

1 3 16x-2Sen(6x)+ Sen(2 6x) C

24 2 4

1 19x-2Sen(6x)+ Sen(12x) C

24 4

136x-8Sen(6x)+Sen(12x) C

96

4 1Sen (3x) dx 36x-8Sen(6x)+Sen(12x) C

96

Caso 3 n mSen (u) Cos (u)du; donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar

La solución a este método es similar al método utilizado en el Caso 1



27

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4 3Cos (x)Sen (x) dx

4 3Cos (x)Sen (x) dx

4 2

4 2

Cos (x)Sen (x)Sen(x)dx

Cos (x) (1-Cos (x)) Sen(x)dx

4 2

Haciendo Cos(x)=u Sen(x)dx=du Sen(x)dx=-du

u (1-u ) du

4 6

4 6

(u -u ) du

u du u du

5 7

5 7

u uC Quitando el cambio se tiene

5 7

1 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 4Cos (x)Sen (x) dx

5 4Cos (x)Sen (x) dx

4 4

24 2

24 2

24 2

4 2 4

4 6 8

4 6 8

5 7 9

Sen (x)Cos (x)Cos(x)dx

Sen (x) Cos (x) Cos(x)dx

Sen (x) 1-Sen (x) Cos(x)dx

Haciendo Sen(x)=u Cos(x)dx=du

u 1-u du

u 1-2u +u du

u -2u +u du

u du 2 u du u du

u 2u uC

5 7 9

Quitando el

5 7

5 2

cambio se tiene

1 1=- Cos (x) Cos (x) C

5 7

1Cos (x) 5Cos (x) 7 C

35

5 4 5 21Cos (x)Sen (x) dx Cos (x) 5Cos (x) 7 C

35

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular Sen(5x) Cos(2x)dx

Usando la fórmula Sen(mx) Cos(nx) = ½ Sen (m-n) x + ½ Sen (m+n) x se tiene que:

Sen(5x) Cos(2x) = ½ Sen (5-2) x + ½ Sen (5+2) x

= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)

Asi la integral original se convierte en :

= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x) dx



28

Sen(5x) Cos(2x)dx

= ½ Sen(3x)dx + ½ Sen(7x)dx

Cambiando variables

3x=u 7x=v

3dx=du 7dx=dv

du dvdx= dx=

3 7

du dv= ½ Sen(u) + ½ Sen(v)

3 7

1 1= Sen(u)du+ Sen(v)dv

6 14

1 1Cos(u) Cos(v) C

6 14

1 1Cos(3x) Cos(7x) C

6 14

17Co

42

s(3x) 3Cos(7x) C

1Sen(5x) Cos(2x)dx 7Cos(3x) 3Cos(7x) C

42

Caso 4 n mSen (u).Cos (u)du donde m y n son números pares

La solución a este método es similar al método utilizado en el Caso 2

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2Sen (x) Cos (x)dx

2 2Sen (x) Cos (x)dx

2

2

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

4

11-Cos (2x) dx

4

1Sen (2x)dx

4

1-Cos(4x)1dx

4 2

11-Cos(4x) dx

8

1dx- Cos(4x)dx

8

Para la segunda integral usamos el cambio 4x u

4dx du

dudx

4



29

1 dudx- Cos(u)

8 4

1 1dx- Cos(u)du

8 32

1 1x Sen(u) C

8 32

1 1x Sen(4x) C

8 32

14x Sen(4x) C

32

2 2 1Sen (x) Cos (x)dx 4x Sen(4x) C

32

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4 2Sen (x) Cos (x)dx

4 2Sen (x) Cos (x)dx 2

2

2

2 2 3

2 3

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

8

11-2Cos(2x)+Cos (2x) 1+Cos(2x) dx

8

11+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x) dx

8

11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x

8

2 2

2

) dx

11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x) Cos(2x) dx

8

1+Cos(4x)11-Cos(2x)- 1 Sen (2x) Cos(2x) dx

8 2

11-Cos(2x)

8

Cos(4x)1- Cos(2x)2 2 2

2

2

2

Sen (2x) Cos(2x) dx

Cos(4x)1 1Sen (2x) Cos(2x) dx

8 2 2

Cos(4x)1 1dx dx Sen (2x) Cos(2x)dx

8 2 2

1 1 1dx Cos(4x)dx Sen (2x) Cos(2x)dx

16 16 8

Usemos los siguientes cambios de variable

4x u

4dx du

dudx

4

Sen(2x) v

2Cos(2x)dx dv

dvCos(2x)dx

2

2

2

1 1 du 1 dvdx Cos(u) v

16 16 4 8 2

1 1 1dx Cos(u)du v dv

16 64 16



30 3

3

1 1 1 vx Sen(u) C

16 64 16 3

1 1 1x Sen(4x) Sen (2x) C

16 64 48

3112x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C

192

4 2 31Sen (x) Cos (x)dx 12x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C

192


INTEGRACION DE POTENCIAS DEL SENO Y DEL COSENO

Integral Respuesta

1. dx x Cos x Sen4

C x Sen5

1 5

2. dx 4x Sen 4xCos3 C 4x Cos16

1 4

3. dx 2

x Cos2 C x Senx

2

1

4. dx xSen2

1

2x-Sen 2x C4

5. dx xSen3

21Cos x Cos x -3 C

3

6. dx x Cos x Sen 32

3 21Sen x 3Sen x -5 C

15

7. dx 3x Sen 4x Cos 1

7Cos(x) Cos(7x) C14

8. dy 5y Cos 3y Sen 1

4Cos 2y Cos 8y C16

9. dt 3t Cos t3 Sen 22

1

12t-Sen 12t C96

10. dt2t Sen

2t Cos4 C 2t Csc

6

1 3

11. dx x Cos

x Sen2

3

C x Secx Cos

12. dt 2t Sen- 3t Sen2

C 6t Sen12

1- 5t Sen

5

14t Sen

8

1 - t Sent

13. dx x Cos x Sen 25

C x Cos7

1- x Cos

3

2 x Cos

3

1 753

14. dy ySen6

C 4y Sen64

3 2y Sen

48

1 2y Sen

4

1y

16

5 3

15. dx xCos4 C 4x Sen32

1 2x Sen

4

1x

8

3

16. dz zSen4

C 4z Sen32

1 2z Sen

4

1z

8

3



31

17. dt t Cos t Sen2

2

C 4t Sen32

1 t Sen

3

2t

8

7 3

18. dt y Sen- 22

C 2y Sen4

1-y 4Cosy

2

9

19. dx 3x Sen

3xCos3

3

C 3x Sen4

1 - 3x Sen

2

1 38

32

20. dx xSen4

C 4x Sen32

1 2x Sen

4

1x

8

3

21. 5Sen (2x)dx 4 21

Cos(2x) 3Cos (2x) 10Cos (2x) 15 C30

22. 3 7x x

Cos Sen dx2 2

8 21 x xSen 4Sen 15 C

20 2 2

23. 1

5 3Sen (x)Cos (x)dx 4

4 233

Cos (x) 5Cos (x) 16Cos (x) 10 C80

24. 1

5 3Cos x Sen x dx

23 4 23

Sen x 2Sen x 7Sen x 14 C28

25. 4 2Cos x Sen x dx 31

4Sen 2x 3Sen 4x 12x C192

26. 6Cos 3x dx 21

Sen 6x 4Sen 6x 48 9Sen 12x 144x C576

Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Caso1 n nTg (u)du ó Ctg (u)du donde n es un entero positivo

Se desarrolla:

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Tg (u) = Tg (u) Tg (u)

Tg (u) = Tg (u) Sec (u) - 1

Se usa el cambio de variable Tg(u) = z

ó

n (n -2) 2

n (n-2) 2

Ctg (u) = Ctg (u) Ctg (u)

Ctg (u) = Ctg (u) Csc (u) - 1

Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Tg (x)dx

4Tg (x)dx

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Tg (x)Tg (x)dx

Tg (x) Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Tg (x) dx

Tg (x) Sec (x)- Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Sec (x)+1 dx

2 2 2

2

2 2

Tg (x) Sec (x)dx- Sec (x)dx+ dx

Siendo Tg(x)=u Sec (x)dx=du

u du- Sec (x)dx+ dx



32 3

3

uTg(x) x C

3

1Tg (x)-Tg(x)+x+C

3

4 31Tg (x)dx Tg (x)-Tg(x)+x+C

3

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Ctg (x)dx

3Ctg (x)dx 2

2

2

2

Ctg(x) Ctg (x)dx

Ctg(x) Csc (x)-1 dx

Ctg(x) Csc (x)-Ctg(x) dx

Ctg(x) Csc (x)dx- Ctg(x)dx

2 2

2

2

Siendo Ctg(x)=u Csc (x)dx=du Csc (x)dx=-du

udu- Ctg(x)dx Esta integral a la derecha se resuelve por

la fórmula No. 21 del formulario ubicado al principio de laguia

uLn Sen(x) C

2

1Ctg (x)-Ln S

2

en(x) +C

3 21Ctg (x)dx Ctg (x)-Ln Sen(x) +C

2

Caso 2 n nSec u du ó Csc u du donde n es un entero positivo par

Se desarrolla:

n-2n 2

(n-2)/2n 2 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Tg u +1 Sec u

ó

n-2n 2

(n -2)/2n 2 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Ctg u + 1 . Csc u

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Sec (2x)dx

4Sec (2x)dx 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

Sec (2x) Sec (2x)dx

Sec (2x) Tg (2x)+1 dx

Tg (2x) Sec (2x)+Sec (2x) dx

Tg (2x) Sec (2x)dx+ Sec (2x)dx

duSiendo Tg(2x)=u 2 Sec (2x)dx=du Sec (2x)dx=

2

du duu +

2 2

1 1u du+ du

2 2



33

3

3

1 1u u C

6 2

1 1Tg (2x) Tg(2x) C

6 2

4 31 1Sec (2x)dx Tg (2x) Tg(2x) C

6 2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 6 xCsc dx

3

6 xCsc dx

3

4 2

2

2 2

x xCsc Csc dx

3 3

x xCtg +1 Csc dx

3 3

2 2

22

4 2

4 2

5 3

4 2

4 2

x 1 x xSiendo Ctg =u Csc dx=du Csc dx=-3du

3 3 3 3

u 1 3du

3 u 2u 1 du

3 u du 2 u du du

1 23 u u u C

5 3

3u 3u 10u 15 C

15

3 x x xCtg 3Ctg 10Ctg

15 3 3 3

15 C

6 4 2x 3 x x xCsc dx Ctg 3Ctg 10Ctg 15 C

3 15 3 3 3

Caso 3 n nSec u du ó Csc u du donde n es un entero positivo impar

En este caso se usa la Integración por Partes

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 3Sec x dx

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

u Sec(x)

du Sec(x) Tg(x)dx

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)




34

3

3 2

3 2

3 3

3 3

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg (x) Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) 1 Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x)dx Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec

3 3

3

3

(x)dx Ln Sec(x) Tg(x) C

Sec (x)dx Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2 Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

1Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5Csc x dx

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Csc (x)

du 3Csc (x) Csc(x) Ctg(x)dx

du 3Csc (x) Ctg(x)dx

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)


5Csc x dx

3 3 2

I1

Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)

Resolviendo I1 tenemos:

3 2

3 2

5 3

5 3

I2

I1 Csc (x) Ctg (x)dx

I1 Csc (x) Csc (x) 1 dx

I1 Csc (x) Csc (x) dx

I1 Csc (x)dx Csc (x)dx (B)

Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por

este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale

u Csc(x)

du Csc(x) Ctg(x)dx

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)

Por lo tanto I2 quedara como sigue

3 2

3 2

3 3

3 3

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Ctg (x)dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Csc (x) 1 dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc (x)dx Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x)dx



35 3

3

2 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene:

5 1I1 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

Sustituyendo I1 en la expresión (A) obtenemos:

5 3 5

5 3 5

5 5 3

1Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

3 3Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 2

3 3Csc x dx 3 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x)

2

5 3

Ln Csc(x) Ctg(x)2

3 34 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 2

5 3

5 3

1 3 3Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C

4 2 2

1Csc (x)dx 2Ctg(x)Csc (x) 3Csc(x) Ctg(x) 3Ln Csc(x) Ctg(x) C

8

Caso 4 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo par

Se desarrolla:

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Sec u 1+Tg u

ó

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Csc u 1+Ctg u

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4 4Tg (x)Sec x dx

4 4Tg (x)Sec x dx

4 2 2

4 2 2

Tg (x) Sec x Sec x dx

Tg (x) Tg (x)+1 Sec x dx

2

4 2

Sea v=Tg(x) dv=Sec (x)dx

v v +1 dv

6 4

6 4

7 5

v +v dv

= v dv v dv

1 1= v + v C

7 5

7 5

5 2

1 1= Tg (x)+ Tg (x) C

7 5

1Tg (x) 5Tg (x) 7 C

35

4 4 5 21Tg (x)Sec x dx Tg (x) 5Tg (x) 7 C

35



36

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 6Ctg (x) Csc x dx

5 6Ctg (x) Csc x dx

25 2 2

25 2 2

2 2

25 2

5 4 2

9 7 5

9 7 5

10 8 6

6

Ctg (x) Csc x Csc x dx

Ctg (x) Ctg (x)+1 Csc x dx

Sea v=Ctg(x) dv=-Csc (x)dx dv=Csc (x)dx

v v +1 dv

v v +2v 1 dv

v +2v v dv

= v dv 2 v dv v dv

1 1 1= v + v + v C

10 4 6

1= v 6

60

4 2

6 4 2

v +15v +10 C

1= Ctg (x) 6Ctg (x)+15Ctg (x)+10 C

60

5 6 6 4 21Ctg (x) Csc x dx= Ctg (x) 6Ctg (x)+15Ctg (x)+10 C

60

Caso 5 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde n es un entero positivo impar

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 5 5Ctg (x) Csc x dx

5 5Ctg (x) Csc x dx

4 4

22 4

22 4

4 2 4

8 6 4

8 6 4

9 7 5

Ctg (x) Csc x Ctg(x) Csc x dx

Csc (x) 1 Csc x Ctg(x) Csc x dx

Sea v=Csc(x) dv=-Csc(x) Ctg(x)dx dv=Ctg(x) Csc(x)dx

v 1 v dv

v 2v 1 v dv

v -2v v dv

=- v dv 2 v dv v dv

1 2 1= v + v v

9 7 5

5 4 7

5 4 7

C

1= v 35v 90v 63 C

315

1= Csc (x) 35Csc (x) 90Csc (x) 63 C

315

5 5 5 4 71Ctg (x) Csc x dx= Csc (x) 35Csc (x) 90Csc (x) 63 C

315

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 5 7Tg (x) Sec x dx

5 7Tg (x) Sec x dx

4 6

22 6

Tg (x) Sec x Tg(x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx

Sea =Sec(x) d =Sec(x) Tg(x)dx



37

22 6

4 2 6

10 8 6

10 8 6

11 9 7

7 4 2

7 4 2

1 d

2 1 d

-2 d

= d 2 d d

1 2 1= C

11 9 7

1= 63 154 99 C

693

1= Sec (x) 63Sec (x) 154Sec (x) 99 C

693

5 7 7 4 21Tg (x) Sec x dx= Sec (x) 63Sec (x) 154Sec (x) 99 C

693

Caso 6 m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du donde m es un entero positivo par y n es

un entero positivo impar.

El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la

cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2Ctg (x) Csc(x)dx

2Ctg (x) Csc(x)dx

2

3

I1 I2

Csc (x) 1 Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc(x)dx

I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por

favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:

3 1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la

número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue

1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

1 1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 2

1 1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C

2 2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2 3Tg (x) Sec x dx

2 3Tg (x) Sec x dx

2 3

2 3

5 3

5 3

I1 I2

Tg (x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x dx

Sec (x) Sec x dx

Sec (x)dx Sec (x)dx (A)

I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es:



38

3 1Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (B)

2

Debemos resolver ahora I1 5Sec (x)dx la que se resuelve por integración

por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Sec (x)

du 3Sec (x) Sec(x) Tg(x)dx

du 3Sec (x) Tg(x)dx

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene: 5 3 2 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Tg (x)Sec (x)dx (C)

Resolviendo 2 3Tg (x)Sec (x)dx

2 3 2 3

2 3 5 3

2 3 5 3

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) 1 Sec (x)dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) Sec (x) dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x)dx Sec (x)dx (D)

Sustituyendo (D) en (C) tenemos

5 3 5 3

5 3 5 3

5 3 3

5 3 3

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx Sec (x)dx

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx 3 Sec (x)dx

4 Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx

1Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx (E)

4

Sustituyendo (B) en (E) tenemos

5 31 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (F)

4 2

seguidamente ya para concluir sustituimos (B) y (F) en (A)

2 3Tg (x) Sec x dx 31 3Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)

4 2

1

Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C2

31 3 3 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)

4 8 8 2

1

Ln Sec(x) Tg(x) C2

31 1 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

4 8 8

312 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

8

2 3 21Tg (x) Sec x dx Tg(x) Sec(x) 2Sec (x) 1 Ln Sec(x) Tg(x) C

8



39


INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LA TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

Integral Respuesta

1. dx x Tan3 C x CosLn x Tan2

1 2

2.

2

uSec1

du

C 4

u 2Tan - u

3. dx 2x Cot x 22

C x2

1- 2x Cot

4

1 22

4. dx x Tan

x Sec4

3

C x Csc3

1 3

5. dx 2x Csc 2x Cot3 C 2x Csc6

1- 2x Csc

2

1 3

6. dw w Cos

w Sen4

2

C w Tan3

1 3

7. dt t Cot3 C t SenLn- t Cot2

1 2

8. dy y Sen

y Cos 6

4

C y Cot5

1- 5

9. dx 4

x Csc4 C

4

x 4Cot-

4

x Cot

3

4 3

10. dx 5x Tan2 C x- 5x Tan5

1

11. dx x Sec4 C x Tanx Tan3

1 3

12. dz z Sec z Tan 25

3 C z Sec5

2 -z Sec

9

2 25

29

13. dx x Sec x Tan 46 C x Tan9

1x Tan

7

1 97

14. dx 2x Cot 2x Tan2

C 2x Cot2x Tan2

1

15. dx 2x Cot2x Cot 42 C 2x Cot6

1 3

16. dw w Cos

1- w Sen 22 C w Tan-w 2Sec

17. 2x Cos 2x Sen

dx 42 C 2x Cot

2

1-2x Tan

6

12x Tan 3

18. dx 3x Csc 3x Cot 42

C 3x Cot15

1- 3x Cot

9

1 53

19. dx e Tane x4x C ee Tane Tan3

1 xxx3

20. dx 3x Tan5 C x3 Sec Ln3

13x Tan

6

1-3x Tan

12

1 24



40

21.

dx

x

xLnSec xLnTan 63

CxLnTan8

1xLnTan

3

1xLnTan

4

1 864

22. dx 3x Tan6 C x-3x Tan3

13x Tan

9

1-3x Tan

15

1 25

23. dy 3y Tan4 Cxx Tan-x Tan3

1 3

24. dx x Csc3 Cx Cot -x CscLn2

1 x Cot x Csc

2

1

25. dx

x Cos

xSen

211

23

C x Tan9

2x Tan

5

2 29

25

26. 4Cot 2x dx 21Cot(2x) 2Cot (2x) 6 12x C

12

27. 5Cot 2x dx 2 21Cot (2x) Cot (2x) 2 4Ln(Sen(x)) C

4

28. 6Sec (3x)dx 41

Tan(3x) Tan (3x) 10Tan(3x) 15 C45

29. 8Csc (ax)dx 6 4 21

Cot(ax) 5Cot (ax) 21Cot (ax) 35Cot (ax) 35 C35a

30. 10Sec (x)dx 8 6 4 21

Tan(x) 35Tan (x) 180Tan (x) 378Tan (x) 420Tan (x) 315 C315

Integración Por Sustitución Trigonométrica Esta tecnica de integración se usa para resolver integrales con expresiones que

contienen 22 ua , 22 ua , 22 au , 22 ua , 22 ua , 22 au , el método mas corto para

integrar dichas expresiones es efectuar un cambio de variable trigonométrico como se indica a

continuación.

Caso 1 22 ua se hace el cambio u = a sen() para lo que 22 ua = a cos()

Caso 2 22 ua se hace el cambio u = a sen() para lo que 22 ua = a2 cos2()

Caso 3 22 ua se hace el cambio u = a tg() para lo que 22 ua = a sec()

Caso 4 22 ua se hace el cambio u = a tg() para lo que 22 ua = a2 sec2()

Caso 5 22 au se hace el cambio u = a sec() para lo que 22 au = a tg()

Caso 6 22 au se hace el cambio u = a sec() para lo que 22 au = a2 tg2()

Recordemos las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

co hSen( ) Csc( )

h co

ca hCos( ) Sec( )

h ca

co caTan( ) Cot( )

ca co

h = Hipotenusa

co = Cateto Opuesto

ca = Cateto Adyacente

h

co

ca



41

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2

dx

x a

2 2

dx

x a

2 2

Según el caso 5 se propone el cambio x aSec( ) dx aSec( )T an( )d

Porlo que x a aTan( ) asi nuestra integral original quedara como:

a

Sec( )T an( ) d

a

T an( )

Sec( )d

Ln Sec( ) T an( ) C

Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

h xSec( )

ca a

Por lo cual: 2 2x a

T an( )a

y como

xSec ( )

a

Así nuestra integral original quedará como:

2 2

2 2

2 2

2 2

x x aLn C

a a

x x aLn C

a

Ln x x a Ln a C

Ln x x a k donde k= Ln a C

2 2

2 2

dxLn x x a k

x a


8dx

4x 1

2

8dx

4x 1

22 2Observemos que 4x 1 2x 1

dzSea 2x=z 2dx=dz dx

2 asi nuestra integral original queda

2 2

8dx

(2x) 1

Ca=a

h = x

2 22

22 2

2 2

h Co Ca

x Co a

Co x a

Co



42

2 2

2 2

dz8

2

z 1

dz4

z 1

El caso 4 propone el cambio de variable 2z Tg( ) dz Sec ( )d por lo que 2 2 2z 1 Sec ( )

2Sec ( )4

2

d

Sec ( )

4 d

4 C

Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable Tg( ) z ArcTg(z)

y como z=2x entonces

ArcTg(2x)

Así nuestra integral original quedara como: 4ArcTg(2x) C

2

8dx4ArcTg(2x) C

4x 1


2

3 xdx

x

2

2

3 xdx

x

2 2 2

2

Aplicando el caso 1 Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )d

por lo que x 3Sen( ) x 3Sen (α) y 3 x 3Cos( )

3

Cos( ) Cos( )d

3

2

2

2

2

2

2

Sen ( )

Cos ( ) d

Sen ( )

Ctg ( ) d

Csc ( ) 1 d

Csc ( ) d d

Ctg( ) C

Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

c o xSen( )

h 3

Ca

h = 3 Co=x

2 22

2 2 2

2

h Co Ca

3 x Ca

Ca 3 x



43

2ca 3 x

Cos( )h 3

y como

xSen( )

3

23 x

3Cos( )Ctg( )

Sen( )

x

3

23 x

x

y 1 x

Sen3

Así nuestra integral original quedará como:

21

Ctg( ) C

3 x xSen C

x 3

2 21

2

3 x 3 x xdx Sen C

xx 3


INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA


1. 22 x4x

dx 24 x

C4x

2.

4xx

dx

2 C

4x2

xLn

2

1

2

3. 2x25x

dx Cx

x25-5Ln

5

12

4.

23

2

2

xTan4

dx x Sec C

xTan44

x Tan

2

5. 22 ax

dx CaxxLn22

6.

2x4

xdx Cx4 2

7.

22

2

4x

dxx

C

4x2

x

2

xarcTan

4

12

8.

2

x41

dx Cx2 arcSen

2

1

9.

2xx4

dx Cxx42xLn

2 10.

x2

x

e1

dxe Ce arcTan

x

11.

2x41

dx Cx2 arcSen

2

1 12.

2

32 9x4

dx C9x4x9

1 21

2

13.

22xax

dx C

xaa

xLn

a

1

22

14.

x2

x

e7

dxe C

7

e arcTan

7

1x

15.

dx

x4

1x

2

C

2

x arcSenx4 2

16.

22

ax x

dx C

a

x arcSec

a

1

17.

2x52

dx C2

5x arcSen5

1

18.

23

22xa

dx C

xaa

x

222



44

19. θCos2

θd θSen

2

C

2

θ Cos arcCos

20.

dx

x25

x

6

2

C

5

x arcSen

3

13

21. 2

dx

4 9x x

C

x94

x3Ln

4

1

2

22. 22 x5 x

dx C

x5

x5 2

23.

2x9 x

dx C

3

x9xLn

2

24. 16x9

dx2

C4

x3 arcTan

12

1

25.

2x52

dx Cx

2

10 arcSen

5

5 26.

2

x94

dx C

2

x3 arcSen

3

1

27. 4wLnw

wdwLn

2

3

C4wLnwLn83

1 22

28. 25tt

dt2

4

CtLn5

2525tLn

5

1 4

29.

dxx

x42

Cx4x

x4-2Ln2

22

30. dx

x9

x

2

2

C3

x arcSen

2

9x9 x

2

1 2

31. 9x x

dx

23

C

3

x arcSec

54

1

x8

9x

2

2

32. 2

2

x 1dx

x

22x 1

Ln x 1 x Cx

33.

2

2

xdx

4 x 2x 1

2ArcSen x 4 x C2 2

34.

3

2

xdx

2 x 2 21

2 x x 4 C3

35. 2 2x a

dxx

2 2 ax a a ArcCos C

x

36.

2x 4dx

x

22x 4 2

2Ln x 4 Cx

37. 2

dx

x 4x 9 1 3

ArcCos C3 2x

38. 2

dx

x 9x 16

21 9x 16 4Ln C

4 3x

39. 3

2

dx

x 2

2

xC

2 x 2

40.

2

322

x dx

9 x

2

x xArcSen C

39 x



45

Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)

Acá se usa la fórmula de completación de cuadrados la cual establece que: 2

2 b DP(x) ax bx c a x a 0

2a 4a


xdx

x 4x 8

2

xdx

x 4x 8

Apliquemos la fórmula para realizar la completación de cuadrados a 2x 4x 8 en este caso a=1 ; b=4 y c=8 por lo tanto

2 22

2 22

22

22 2

b bP(x) x bx c x c así

2 4

4 4x 4x 8 x 8

2 4

x 4x 8 x 2 4

x 4x 8 x 2 2

De esta manera nuestra integral se transforma en:

2 2

xdx

x 2 2

Se hace u x 2 (A) du dx

Notese que al despejar x en (A) obtenemos x u 2

Y la integral anterior se convierte en:

2 2

2 2 2

I1 I2

(u 2)du

u 2

udu du2

u 4 u 2

Para resolver I1 hacemos el cambio de variable 2z u 4

2z u 4

dz 2udu

dzudu

2

2

I1

udu

u 4

12

1 dz

2 z

1z dz

2

1

2

212

1

1

z c

z c

Quitando el cambio de variable de z para volver a la variable u tenemos



46

2

xdx

x 4x 8

2

1u 4 c

Para resolver I2 usamos la fórmula 20 de la tabla de integrales de esta guía

2 2

22 2

I2

duLn u u a C

u 2

Por lo tanto nuestra integral original será

2 2 2

1 2u 4 c Ln u u a c

Revertimos el cambio de variable u=x+2 y consideramos 1 2

C c c

2 2

1 2

2 2

(x 2) 4 Ln (x 2) (x 2) 4 c c

x 4x 8 Ln (x 2) x 4x 8 C

2 2

2

xdxx 4x 8 Ln (x 2) x 4x 8 C

x 4x 8

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcularx

2x x 3/2

e dx

(e + 8e + 7)

x

2x x 3/2

e dx

(e + 8e + 7)

Apliquemos un cambio de variable x

x

u e

du e dx

Por lo cual la integral original se transforma en:

2 3/2

du (1)

(u + 8u + 7)

Apliquemos la fórmula para realizar la completación de cuadrados a 2u + 8u + 7en este caso a=1 ; b=8 y c=7 por lo tanto

22

2

2 22

22

22 2

b bP(u) u bu c u c así

2 4

8 8u 8u 7 u 7

2 4

u 8u 7 u 4 7 16

u 8u 7 u 4 3

Sustituyendo en (1) tenemos

3/22 2

32 2

du

(u+4) 3

du (2)

(u+4) 3



47

Haciendo z u 4 dz du y sustituyendo en (2) tenemos

32 2

dz (3)

z 3

Hacemos un cambio de variable trigonométrico según lo propone el caso

5 y se sustituye en (3) obteniendo:

2 2

3

z 3Sec( ) dz 3Sec( )Tan( )d por lo cual z 3 3Tan( )

3Sec( )Tan( )d

3Tan( )

3

Sec( )Tan( ) d

27

3Tan

2

2

2

2

( )

1 Sec( )d

9 Tan ( )

1

1 Cos( )d

9 Sen ( )

Cos ( )

1 Cos( )d

9 Sen ( )

Haciendo un ultimo cambio de variable r Sen( )

dr Cos( )d

2

2

1 dr

9 r

1r dr

9

1 1C

9 r

Y aquí comenzamos a quitar los cambios Quitando r obtenemos

1C

9Sen( )

1csc( ) C 4

9

Como z h

z 3Sec( ) Sec( )3 ca

Ca=3

h = z

Co=?

2 22

22 2

2

h Co Ca

z 3 Co

Co z 9



48

Entonces 2

h zCsc( )

Co z 9

sustituyendo en (4) tenemos:

2

1 zC

9 z 9

2

zC

9 z 9

Quitando el cambio de variable de z para volver a la variable u tenemos

2

2

(u 4)C

9 (u 4) 9

(u 4)C

9 u 8u 7

Como xu e tenemos que: x

2x x

(e 4)C

9 e 8e 7

Finalmente concluimos que: x x

2x x 3/2 2x x

e dx (e 4) C

(e + 8e + 7) 9 e 8e 7


INTEGRACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS


1. x2x3

dx

2

C

2

1x arcSen

2.

23

2xx45

dx C

xx459

2x

2

3.

2xx2

dx C1x arcSen 4.

2xx28

dx x-1 Cxx28

2

5. 2x4x4

dx2

C1x2 arcTan2

1 6.

16x x4

dx

2

C

4

x arcSec

16

1

7. 5x2x

dx2

C2

1x arcTan

2

1

8.

4

r916

dr r C

4

3r arcSen

6

12

9.

x x1

dx Cx arcTan2 10.

2

xx215

dx C

4

x-1 arcCos

11. 2 xx

dx2

C7

1x2 arcTan

7

2

12.

23

xx2

x

7e8e

dxe C

7e8e9

4e

xx2

x

13. θSen4

θd θ Cos2

Cθ Sen2

θ Sen2Ln

4

1

14.

5x4x4

dx 32x2

C2

1x arcTan

2

15x4x4Ln

4

1 2

15. 5x4x

dx x2

21Ln x 4x 5 2arcTan x 2 C

2



49

16. 5x2x

dx x

2

C5x2x1xLn5x2x

22

17.

2xx2

dx 1x Cxx21x arcSen 2

2

18.

3x4x

dx 1-x

2

C3x4x2xLn3x4x

22

19. 5x4x

dx x

2

C5x4x2xLn25x4x

22

20.

2xx45

dx x Cxx45

3

2xarcSen2

2

21.

2xx23

dx x Cxx23

2

x1 arcCos

2

22.

2xx24

dx x2 Cxx245

x1 arcSen

2

23.

4x6x2

dx 1x

2

C2x3x

2

3xLn

22

5

2

2x3x 22

24. 8x2x

dx

2

C8x2x1xLn

2

Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II)

Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales

(la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del

numerador es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede

reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo

1 2x x

35x 3-x x

1 2x x

3x X2

2

2

34

Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple

expresión (Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente;

por lo que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias.

Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.


dx

x2xx

3x223

3 2 2x x 2x x(x x 2) x(x 2)(x 1) (1)

Por lo tanto nuestra expresión original será:



50

3 2

2x 3dx

x x 2x

3 2

2x 3 2x 3 A B C(2)

x(x 2)(x 1) x x 2 x 1x x 2x

2x 3 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2)

x(x 2)(x 1) x(x 2)(x 1)

De la igualdad anterior se tiene que, como los denominadores son iguales

los numeradores también lo son por lo que obtenemos la siguiente

ecuación

2x 3 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2) (3)

De la ecuación (1) podemos deducir que sus raíces son x=0 x=-2 x=1

Sustituyendo estos valores en la ecuación (3) tenemos.

Si x 0 2(0) 3 A(0 2)(0 1) B(0)(0 1) C(0)(0 2)

3 3 2A 0 B 0 C 3 2A A2

Si x 2 2( 2) 3 A( 2 2)( 2 1) B( 2)( 2 1) C( 2)( 2 2)

1 4 3 0 A 6B 0 C 1 6B B6

Si x 1 2(1) 3 A(1 2)(1 1) B(1)(1 1) C(1)(1 2

)

5 2 3 0 A 0 B 3C 5 3C C3

Así que al sustituir estos valores en (2) obtenemos

3 2

53 12x 3 6 32

x x 2 x 1x x 2x

Y nuestra integral original estará dada por:

I1 I2 I3

53 16 32 dx

x x 2 x 1

dx dx dx3 512 6 3x x 2 x 1

I1 Se resuelve directa

I2 Se hace el cambio de variable u x 2 du dx

I3 Se hace el cambio de variable z x 1 dz dx

Teniendo:

I3I2I1

dx du dz3 512 6 3x u z

3 51Ln(x) Ln(u) Ln(z) Ln(C)2 6 3

1 9Ln(x) Ln(u) 10Ln(z) 6Ln(C)6

Aplicando las propiedades logarítmicas tenemos:



51

10 6

9

1 z CLn

6 x u

Quitando los cambios de variable 10 6

9 6

1 (x 1) CLn

6 x (x 2)

10 6

3 2 9 6

2x 3 1 (x 1) Cdx Ln

6x x 2x x (x 2)

Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular2

3 2

3x 5xdx

x x x 1

Factorizando por agrupación de términos y sacando factor común 2x a los

dos primeros términos y factor común -1 al tercer y cuarto término

tenemos:

3 2 2x x x 1 x (x 1) 1 (x 1) ahora tomando el factor común

(x+1)

Tenemos: 3 2 2x x x 1 (x 1)(x 1) y factorizando la diferencia de

cuadrados 2 2x A (x A)(x A) se tiene: 3 2

3 2 2

x x x 1 (x 1)(x 1)(x 1)

x x x 1 (x 1)(x 1) (1)

Por lo tanto se tiene que :

2 2

3 2 2 2

2 2

3 2 2

3x 5x 3x 5x A B C(2)

x 1 x 1x x x 1 (x 1)(x 1) (x 1)

3x 5x A(x 1) B(x 1)(x 1) (x 1)C

x x x 1 (x 1)(x 1)

Como los denominadores son iguales los numeradores también lo son por

lo que obtenemos la siguiente ecuación

2 23x 5x A(x 1) B(x 1)(x 1) (x 1)C (3)

Por (1) podemos deducir que sus raíces son x=-1 x=1

Y al sustituir estos valores en la ecuación (3) tenemos.



52

2

3 2

3x 5xdx

x x x 1

2 2

2 2

2 2

Si x 1 3(1) 5(1) A(1 1) B(1 1)(1 1) (1 1)C

3 5 4A 0 B 0 C 8 4A A 2

Si x 1 3( 1) 5( 1) A( 1 1) B( 1 1)( 1 1) ( 1 1)C

3 5 0 A 0 B 2 C 2 2C C 1

Si x 0 3(0) 5(0) A(0 1) B(0 1)(0 1) (0 1)C

0 0

A B C 0 (2) B (1) B 2 1 B 1

Al sustituir estos valores en (2) nuestra integral original quedara como:

2

2

I1 I2 I3

2 1 1dx

x 1 x 1 (x 1)

dx dx dx2

x 1 x 1 (x 1)

Las tres integrales anteriores se resuelven por cambio de variable:

I1 Se hace el cambio de variable z x 1 dz dx

Para I2 e I3 Se hace el cambio de variable u x 1 du dx

Teniendo:

2

I1 I2 I3

2

1

dz du du2

z u u

dz du2 u du

z u

u2Ln(z) Ln(u) C

1

Aplicando las propiedades logarítmicas tenemos: 2 1

2

Ln(z ) Ln(u) u C

1Ln z u C

u

Quitando los cambios de variable

2 1Ln (x 1) (x 1) C

x 1

2

2

3 2

3x 5x 1dx Ln (x 1) (x 1) C

x 1x x x 1


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (CASOS I Y II)

Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. 4x

dx2

1 x 2

Ln C4 x 2

2.

x2xx

dx 2x423

C1x

x2xLn

2

2



53

3. 23 x3x

dx C

x3

1

x

3xLn

9

1

4.

xx

dx 3x53

2

1xx CLn 23

5.

4x

dx 2x52

322x2x CLn 6.

4w7w2

dw 11-4w2

1w2

4w CLn

3

7.

dx

x2xx

4xx223

2

C1x

2xxLn

2

8.

xx4

dx 1x2x63

2

1x2

1x2x CLn

4

134

9.

2

1xx

dx C

1x

xLn

1x

1

10.

2x 1x

dx 1x2 C

1x

2xLn

3

11. dx

5x4x

x2

C1x5xLn6

1 5 12.

dx3x2x

x2

C1xLn4

13xLn

4

3

13. 2e3e

dtett2

t

Ce2

e1Ln

t

t

14.

5x4x

dx)1x(2

C1xLn4

13xLn

4

3

15. 2 Cos Cos

d Sen 2

C Cos1

Cos2Ln

3

1

16. 1x2x

dxx2

2

C1x

11xLn2x

17. 15 23x 9xx

dxx23

)1x(5)(x

C3x Ln

8

15

6

18.

2x 1x

dx 1x2 2

3

1)-(x

C2x Ln

19. 1x 1x

dx 2

CxarcTan

2

1

1x

1x Ln

4

12

2

20.

dx

x3x8x4

3x423

Cx

3x2 1x2 Ln

2

12

21.

dx

xx4

1x2x43

23

Cx

1x2 1x2 Ln

2

1x

2

2

22.

2

2

1x 1x

dx x5x3 C1x

11x 1x Ln

2

23.

22 1xx

dx C

1x

1

x

1

x

1xLn 2

24.

dz1z

z3

2

C1z2

1

1z

21zLn

2

25.

2

2

1x 3x2

dx 7x3x C3x2Ln2

11xLn

1x

3

26.

23

4

y2y

dy 8y Cy2yLn2

y

4y2

2

y 22

27.

dx

x4x

8xx3

45

C

2x

2x xLnx4

2

x

3

x3

5223

28. 2xx2x

dx423

C2xLn

3

16

1x

1x Ln

6

1x2

2

x3

2

29.

21x 2x

dx C1x

2xLn

1x

1

30.

x4x4x

dx)8x(23

Cx

2xLn2

2x

3



54

31.

31xx

2)dx(3x C1x

xLn2

)1x(2

3x42

32.

22

2

4x2x

dx x C2x

4xLn2

8x6x

12x52

33.

dz

4z

13z22

C2z

2zLn

32

1

2z16

7

2z16

5

34.

dx

3x5xx

17x4x5x3x23

234

C3x2xLn1x

3x2x

2

1 22

35.

dx

4x4x11x6x9

17x52x30x24234

23

C1x

3

2x33

11x2x3Ln

23

2

Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV)

Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores

cuadráticos se repite.

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular3 2

2

(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t)dt

(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5)

Lo primero que se debe hacer es un cambio de variable

Consideremos x= Sen (t)dx=cos(t)dt por lo que la integral original

queda como:

3 2 3 2

2 2

(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t) (x 8x 1)dt dx

(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) (x 3)(x 4x 5)

Ya que 2 3 2(x 3)(x 4x 5) x x 7x 15 se tiene que

3 2 3 2

2 3 2

x 8x 1 x 8x 1

(x 3)(x 4x 5) x x 7x 15

(1)

En la expresión anterior tanto el denominador como el denominador

tienen el mismo grado 3 por lo tanto se debe dividir dicha expresión

hasta obtener una fracción propia

Observemos que:

3 2 3 2 2x 8x 1 x x 7x 15 7x 7x 16

Es decir el numerador fue expresado en función del denominador y su

complemento.

Al sustituir la expresión anterior en (1) tenemos



55

3 2 23 2

3 2 3 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2 3 2

3 2 2

3 2 3 2

x x 7x 15 7x 7x 16x 8x 1

x x 7x 15 x x 7x 15

x 8x 1 x x 7x 15 7x 7x 16

x x 7x 15 x x 7x 15 x x 7x 15

x 8x 1 7x 7x 161 (1)

x x 7x 15 x x 7x 15

Expresemos en fracciones parciales la función racional 2

2

7x 7x 16

(x 3)(x 4x 5)

2

2 2

7x 7x 16 A Bx C(2)

x 3(x 3)(x 4x 5) x 4x 5

2 2

2 2

7x 7x 16 A(x 4x 5) (Bx C)(x 3)

(x 3)(x 4x 5) (x 3)(x 4x 5)

Como los denominadores son iguales los numeradores también lo son

por lo que obtenemos la siguiente ecuación

2 27x 7x 16 A(x 4x 5) (Bx C)(x 3)

Dando tres valores a la variable x en la ecuación anterior obtenemos

los valores de A, B y C

2 2

2 2

Si x 3 7( 3) 7( 3) 16 A(( 3) 4( 3) 5) (B( 3) C)( 3 3)

50 63 21 16 A(9 12 5) 0 100 26A A13

Si x 0 7(0) 7(0) 16 A((0) 4(0) 5) (B(0) C)(0 3)

50 16 A(0 0 5) 3C 16 5A 3C 16 5 3C

13

2 2

250 250 208 25016 3C 16 3C 3C

13 13 13

42 14 C C1313 3

Si x 2 7( 2) 7( 2) 16 A(( 2) 4( 2) 5) (B( 2) C)( 2 3)

28 14 16 A(4 8 5) ( 2B C) 58 17A 2B C

50 14 50 14 58 17 2B 2B 17 58

13 13 13 13

850 14 58 13 850 14 754 82 2B 2B 2B

13 13 13

82 B

13 2

41B

13

Sustituyendo los valores de A, B y C en (2) obtenemos:



56

3 2

2

(x 8x 1)dx

(x 3)(x 4x 5)

2

2 2

50 41 14x7x 7x 16 13 13 13 (3)x 3(x 3)(x 4x 5) x 4x 5

Y sustituyendo (3) en (1) tenemos

3 2

3 2 2

50 41 14xx 8x 1 13 13 131x 3x x 7x 15 x 4x 5

Por lo cual la integral original queda como:

2

50 41 14x13 13 131 dx

x 3 x 4x 5

Completando cuadrado vemos que: 2 2x 4x 5 (x 2) 1

2 2

I1I2 I3 I4

50 dx 41 xdx 14 dxdx

13 x 3 13 13(x 2) 1 (x 2) 1

I1 Es una integral directa En I2 se hace el cambio de variable u=x+3du=dx

En I3 e I4 el cambio de variable será z=x-2dz=dx y x=z+2

2 2 2

2 2

2 2

50 du 41 zdz 41 2 dz 14 dzdx

13 u 13 13 13z 1 z 1 z 1

50 du 41 zdz 82 14 dzdx

13 u 13 13 13z 1 z 1

50 du 41 zdz 68 dzdx

13 u 13 13z 1 z 1

Para la tercera integral se hace

2 dvv z 1 dv 2zdz zdz

2

2

50 du 41 dv 68 dzdx

13 u 13 2 v 13 z 1

50 41 68x Ln(u) Ln(v) arctg(z) C

13 26 13

Quitando la variable v por 2z 1 y la variable u por x+3 se tiene

250 41 68x Ln(x 3) Ln(z 1) arctg(z) C

13 26 13

Quitando la variable z por x-2



57

2

2

100 2 41

50 41 68x Ln(x 3) Ln(x 4x 5) arctg(x 2) C

13 26 13

126x 100Ln(x 3) 41Ln(x 4x 5) 136arctg(x 2) C

26

126x Ln (x 3) (x 4x 5) 136arctg(x 2) C

26

Finalmente se cambia x por sen(t)

100 2 41126x Ln (Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) 136arctg(Sen(t) 2) C

26

3 2

100 2 41

2

(Sen (t) 8Sen (t) 1) Cos(t) 1dt 26x Ln (Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5) 136arctg(Sen(t) 2) C

26(Sen(t) 3) (Sen (t) 4Sen(t) 5)

Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores

cuadráticos se repiten


3

22

2x x 3dx

x 1

3

22

2x x 3dx

x 1

3

2 222 2

23

2 22 2

2x x 3 Ax B Cx D(1)

x 1x 1 x 1

(Ax B) x 1 (Cx D)2x x 3

x 1 x 1

Ya que los denominadores de la expresión anterior son iguales los

numeradores también lo son por lo que obtenemos la siguiente ecuación

3 2

3 3 2

3 3 2

2x x 3 (Ax B) x 1 (Cx D)

2x x 3 Ax Ax Bx B Cx D

2x x 3 Ax Bx (A C)x B D

Igualando termino a termino tenemos

3 3

2 2

2x Ax A 2

0x Bx B 0

x (A C)x A C 1 y como A=2 2 C 1 C 1

3 B D como B=0 3 0 D D 3

Por consiguiente al sustituir estos valores en (1) nuestra integral original

estará dada por:



58

22 2

2 2 22 2

I1

I2 I3

2x 0 1x 3dx

x 1 x 1

xdx xdx dx2 3

x 1 x 1 x 1

En I1 e I2 Se hace el cambio de variable

2 duu x 1 du 2xdx xdx

2

En I3 Se hace el cambio de variable trigonométrico según el caso 4 2 2 2x Tan( ) dx Sec ( )d ; x 1 Sec ( )

En consecuencia se tiene que:

2

2

2

2 22

22

du 1 du Sec ( )d3

u 2 u Sec ( )

du 1 Secu du 3

u 2

4

( )d

Sec

2

2

2 2

2

( )

du 1 du du 3

u 2 Sec ( )

du 1u du 3 Cos ( )d

u 2

du 1 3u du 1 Cos(2 ) d

u 2 2

2

1

du 1 3 3u du d Cos(2 )d

u 2 2 2

1 3 3Ln(u) u Sen(2 ) C

2 2 4

Quitando la variable u se tiene:

2 2 11 3 3Ln(x 1) (x 1) Sen(2 ) C 2

2 2 4

Como x Tan( ) arcTan(x) (3) por otra parte tenemos que:

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

x Tan( )

x Tan ( )

x 1 Tan ( ) 1

x 1 Sec ( ) ya que Tan ( ) 1 Sec ( )

1 1x 1 por ser Sec( )

Cos ( ) Cos ( )



59

2

2

2

2

22

1Cos ( ) (4)

x 1

11 Cos ( ) 1

x 1

x 1Sen ( )

1 2 2

2

22

2

2

ya que 1 Cos ( ) Sen ( )x 1

xSen ( )

x 1

xSen ( ) (5)

x 1

Retomando la ecuación (4)

2

2

2

1Cos ( )

x 1

1Cos ( ) (6)

x 1

Sabiendo que Sen(2 ) 2Sen( )Cos( ) y sustituyendo (5) y (6) en esta

identidad trigonométrica se tiene:

2 2

2

x 1Sen(2 ) 2

x 1 x 1

2xSen(2 ) (7)

x 1

Sustituyendo (3) y (7) en (2) se tiene:

2 2 11 3 3Ln(x 1) (x 1) arcTan(x)

2 2 4

2

2

2 2 1

2

xC

x 1

1 3 3xLn(x 1) (x 1) arcTan(x) C

2 2 2 x 1

1

2 23 1Ln(x 1) arcTan(x) 3x 1 x 1 C

2 2

Finalmente se puede concluir que:

31

2 2 2

22

2x x 3 1dx Ln(x 1) 3arcTan(x) 3x 1 x 1 C

2x 1


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (CASOS III Y IV)

Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. xx2

dx3

1x2

x CLn

2

12

2

2.

x3x

dx 6x43

2

C3xx Ln 22

3.

22 1x 1x

dx x2 C x arcTan

1x

1

4. 24 zz

dz C z arcTan

z

1



60

5.

4t 2t

dt 8t8t22

2

C2t

4tLn 2

2

6.

1xx

dx 2

C 1x

xLn

2

7.

dz

2y3y

2y2yy224

23

C y arcTan2yLn 2 8. 1x

dxx 3

5

C1xLnx3

1 33

9.

dx

5x2x 1x

3-3x-x22

2

C

2

1xarcTan

2

1

1x

5x2xLn

23

2

10. 8x6x

dx 6)-x(24

3

C2

xarcTan

2

3

2

xarcTan

2

3

2x

4xLn

2

2

11. 1x

dx 3

C3

1x2arcTan

3

1

1x-x

1xLn

6

12

2

12. 4x4xx

7)dx-3x (23

C2

xarcTan

2

1

1x

4xLn

2

2

13. xxx

dx 23

3

1x2 arcTan

3

1

1xx

x CLn

2

12

2

14.

1t 1t2

dt 1tt2

2

C t arcTan3

21t2 1tLn

10

1 32

15.

dx

xx2x

2xx235

2

1x2

x-x arcTan

2

1

1x

x CLn

22

2

16. 1x

dx 44

Cx1

x2arcTan2

1x2x

1x2xLn

2

122

2

17.

dx

2x

1xx22

3

C2

xarcTan

24

12xLn

)2x(4

x2 21

2

2

18.

dx

1x 1x

8x4222

2

CxarcTan

1x

1xLn

1x 1x

1x32

2

2

2

19.

2222 1xx xx

dx C

)1xx(3

1x2

3

1x2 arcTan

33

10

x

1x Ln

2

20. 1x16

dx4

C x2 arcTan4

1

1x2

1x2Ln

8

1

21.

22 9z4

18dz C

9z4

z

3

2z arcTan

6

12

22. 1x

dx 44

C x arcTan 21x

1xLn

23.

dx

1x27

1x2x3

2

C3

1x6 arcTan

39

51x3Ln

81

21x3x9Ln

162

5 2

24.

dx

4x 3x2

10xx2

2

C 2

x arcTan

3x2

4xLn

2

1 2



61

25.

22

5

4t

dt t C

4t

84tLn4

2

t2

22

26.

22

3

1x

dx 3xx C

1x

11xLn

2

12

2

27.

dx

x9x4

18x3

C 3

x2 arcTan

6

1

x

9x4Ln

2

2

28.

22

4

1x

dxx C

)1x(2

x x arcTan

2

3x

2

29.

22 1x

dx C x arcTan

1x

1

2

12

30.

dz

5z2z

10z15zz52

23

C

5z2z8

1547z-

2

1-z arcTan

16

655z2zLn

2

52

2

31.

dx

xTan1

xSec 1xSec3

22

C3

1x Tan 2 arcTan

3

2x Tan1Ln

2

1

32.

1xxx

dx xx23

2

C x arcTan1xLn

33.

dz

y9y

9y9y9y3

235

C 9yLn3

y 423

34.

dx

2x x

8x2x422

2

C2

xarcTan

4

2

2x

xLn

4x2

x2

2

2

35.

dx

2x

x4x32

35

C)2x(Ln2

1

)2x(

1 2

22

36.

dz

)2z2z)(2z(

2z3z22

2

C 1)(z arcTan2zLn2

Integral Definida

La expresión anterior se lee “la integral definida de f(x) desde a hasta b”

Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral

b

af(x) dx

Integrando Signo de la Integral

Limite superior de Integración

Limite inferior de Integración

Diferencial, x es la variable de integración



62

Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b

denotada por dx)x(fb

a esta dado por: dx)x(fb

a = [F(x) + C] = F(b) – F(a)

Propiedades de la integral definida

1) 0dx)x(fa

a

2) a

b

b

adx)x(fdx)x(f

3) b

a

b

adx)x(fkdx)x(kf

4) teck )ab(kdxkb

a

5) dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)fb

an

b

a2

b

a1

b

an21

6) bca tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)b

c

c

a

b

a

7) )ab(máxfdx)x(f)ab(mínfb

a siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo

de la función f en el intervalo [a,b]

8) a) ba, x g(x) f(x) si dx)x(g dx)x(f b

a

b

a

b) ba, x 0 f(x) si 0dx)x(f b

a


1

232 dx1xx

25

2 3

1x x 1 dx

53 2 2

1(x +1) x dx (1)

Cambio de variable

Sea 3x 1 = v 3x2dx = dv 3

dvdxx2

Sustituyendo v y dv en (1) se tiene

5

2

1

3

dvv

3

v(2)

3

Quitando la variable v 5

3 3

1

3 3 3 3

(x 1)

3

(5 1) (1 1)

3 3



63 3

3

(125 1)

3

124

3

3

252 3

1

124x x 1 dx

3


0

2dx4xcos

2

0cos(x) 4 dx

2

0

2

0

0

0

0

0

Cos(x) 4 dx

Cos (x) 8Cos(x) 16 dx

11 Cos(2x) 8Cos(x) 16 dx

2

1 1Cos(2x) 8Cos(x) 16 dx

2 2

1 33Cos(2x) 8Cos(x) dx

2 2

1 33Sen(2x) 8Sen(x) x

4 2

1 3Sen(2 ) 8Sen( )

4

3 1 33Sen(0) 8Sen(0) 0

2 4 2

1 33 1 330 8 0 0 8 0 0

4 2 4 2

33

2

2

0

33cosx 4 dx

2


INTEGRACIÓN DEFINIDA

Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. 3

3dx 0 17.

r

0 22 xr

dx r

2r

2. 2

1dx 5x2 8 18.

1

0 x23

dx 13

3. 1

0

2 dx 3x2x 7/3 19.

2

0

3

1x

dxx 8/3 - Ln 3

4. 1

1

2dx 1x 8/3 20.

a

0

2dxxa

6a2

5. 2

0dx 1x4 13/3 21.

0

dx 1x 3Cosx 2Sen 4



64

6.

0dx x Sen 2 22.

4

0

2

1x

dxx 5,6094

7.

0dx x Cos 0 23.

1

0 x3e

dx 0,3167

8.

2

42

dx x Sen

x Cos 12 24.

0

21

d 2Cos2 4

9. 6

0 2dx

2x Cos

2x Sen 1/2 25.

2

0

33 dx xCos xSen 1/12

10.

1

0 31x2

dx 2/9 26.

4

0

4 dx xSec 4/3

11. 2

1dx 32x1x -3/2 27.

2

1dx x Ln 1

e

2Ln2

12.

0

2dx 4x Cos

2

33 28.

1

0

xdxe e-1

13.

2

1

2 dx 2x5x2

1 0 29.

a

a

22 dx xa 2

a2

14. a

0

32 dx xxa 4a2

30.

a

0 22 xa

dx

a4

15. e

0 x

dx 1 31.

9

21

dx

x 9 5 Ln

12

1

16.

3

2 2t1

tdt2 Ln 2 32.

1

0 2

x

dx1x

xe 2e

2

1

Longitud de Arco de una Curva Plana

Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y =

f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como

la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos

asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la

fórmula

Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estará dada por:

• •

Y=f(x)

a b

y

x

A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b))

dx)x('f1Lb

a

2

dy)y('f1Ld

c

2



65

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular la longitud del arco de la curva x) Ln(cos y entre x = 0 y 4

x

y Ln(cos x)

Sen(x)y '

Cos(x)

2 2

2 2

(y ') Tan(x)

(y ') Tan (x)

(y ') 1 Tan (x) 1

2 2

2 2

2

(y ') 1 Sec (x)

(y ') 1 Sec (x)

(y ') 1 Sec(x)

Usando la fórmula para el calculo de la

longitud de arco se tiene:

b2

a

4

0

4

0

L (y ') 1dx

Sec(x)dx

Ln Sec(x) Tan(x)

Ln Sec( ) Tan( ) Ln Sec(0) Tan(0)4 4

Ln 2 1 Ln 1 0

Ln 2 1 0,8819 u.c.

Finalmente se tiene que L Ln 2 1 0,8819 u.c.

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular la longitud del arco de la curva x2

1

6

xy

3

en el intervalo [1/2 , 2]

3

1

2 2

2 2

x 1y x

6 2

1 1y ' x x )

2 2

1y ' (x x )

2

2

2 2 2

2 2 2 2

2 4 2 2 4

1(y ') (x x )

2

1(y ') (x x )

4

1(y ') x 2x x x

4

2 4 4

2 4 4

2 4 4

1 4(y ') 1 x 2 x

4 4

1(y ') 1 x 2 x 4

4

1(y ') 1 x 2 x

4

22 2 2

22 2 2

2 2 2

1(y ') 1 x x

4

1(y ') 1 x x

4

1(y ') 1 x x

2

Luego aplicando la fórmula para el calculo de la longitud

de arco se tiene:

b

2

a

22 2

12

23

12

3

3

L (y ') 1 dx

1x x dx

2

1 x 1

2 3 x

1

21 2 1 1

2 3 2 3 1

2

1 8 1 12

2 3 2 24

1 8 1 12

2 3 2 24

1 64 12 1 48

2 24

99

48

33

16

Finalmente se tiene que 33L u.c.

16



66

Ejemplo Ilustrativo 3 Compruebe que la longitud de una circunferencia de radio r es L 2 r

La ecuación de una circunferencia con centro

en el origen y radio r esta dada por: 2 2 2y x r con lo cual no pierde generalidad el

problema, así tenemos que: 2 2 2

2 2

y x r

y r x

2y '

x

2 2 2

22

2 2

22

2 2

2 2 22

2 2

22

2 2

2

2 2

r x

x(y ')

r x

x(y ') 1 1

r x

x r x(y ') 1

r x

r(y ') 1

r x

r(y ') 1

r x

Como la circunferencia es simétrica respecto al

origen, al eje x y respecto al eje “y” podemos

calcular una cuarta parte de su longitud y

multiplicarla por 4. por lo que el recorrido de

la variable x será desde x=0 hasta x=r

Usando la fórmula para el calculo de la

longitud de arco se tiene:

b2

a

r

0 2 2

r

0 2 2

L (y ') 1dx

r4 dx

r x

dx4r

r x

Sea x r Sen( ) dx r Cos( )d por consiguiente

la integral anterior se transforma en:

2 2

2 2

r Cos( )d4r

r (r Sen( ))

r Cos( )d4r

r 1 Sen ( )

r Cos( )d4r

r Cos( )

4r d

4 r

xYa que x r Sen( ) arcSen

r

rSi x=r arcSen arcSen 1

2r

0Si x=0 arcSen arcSen 0 0

r

2

0L 4 r

L 4r 0 L 4r L 2 r2 2


LONGITUD DE ARCO

1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (2 , 6)

Resp. .c.u10

2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al punto

(4 , 0) Resp. .c.u97

3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto (3 ,

32 ) Resp. .c.u3

14

4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el

punto donde x = 2 Resp. .c.u16

33

5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto (27 ,

18) Resp. .c.u)12597(27

1 23

6.- Calcule la longitud de arco de la curva 23

2 )2x(3

1y desde el punto donde x = 0 hasta el



67

punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.

7.- Obtenga la longitud de arco de la curva )1x3(x3



22

8.- Hallar la longitud de arco de la curva 1xy 32

32

desde el punto donde x = 1/8 hasta el


9

9.- Hallar la longitud de arco de la curva 1b

x

a

y 32

32

en el primer cuadrante desde el punto

donde x= a8

1 hasta el punto donde x= a Resp. .c.u)ba(8

)b3a(a822

23

223

10.- Hallar la longitud de arco de la curva 22 )3x(xy9 en el primer cuadrante desde el punto

donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. .c.u3

432

11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 323

23

2

ab

x

a

y

Resp. 6a u.c.

12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8

Resp. .c.u2

3Ln

2

11

13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4

x

Resp. .c.u8

3TanLn

14.- Hallar la longitud de arco de la curva 23

xy desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8)

Resp. .c.u1101027

8

15.- Hallar la longitud de arco de la curva x4

1

3

xy

3

desde el punto donde x = 1 hasta el punto

donde x = 3 Resp. .c.u6

53


4

y8

1

4

yx desde el punto donde y = 1 hasta el

punto donde y = 2 Resp. .c.u32

123

17.- Hallar la longitud de arco de la curva 32 x4)1y( desde el punto donde x = 0 hasta el punto

donde x = 1 Resp. .c.u1101027

4

18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4)

Resp. 9,07 u.c.

19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la

ordenada x = 5a Resp. .c.u27

a335

20.- Calcular la longitud de arco de la curva x2

1

6

xy

3

desde el punto de abscisa x = 1 hasta el



68

punto de abscisa x = 3 Resp. .c.u3

14

21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del lado

recto. Resp. .c.u)21(Ln2

p

2

2p

22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto

donde x = 5/9 Resp. .c.u27

19

23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3)

Resp. 4,98 u.c.

24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto

Ln2 ,

3 Resp. .c.u)32(Ln

25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y

(5 , 4) Resp. 4,56 u.c.

26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x

Resp. 9,29 u.c.


xy desde el punto donde x = -1 hasta el punto

donde x = 8 Resp. .c.u5,10.c.u161080131327

1

28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es .c.ur2


xy desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)

Resp. .c.u6,7.c.u134027

1 23

23


23

xx3



53

31.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x2

3y 2

3

en el intervalo [0,1]

Resp. 97 3297 1,834

486 243


5

x6

1

10

xy en el intervalo [1,2] Resp. 779

3,246240


eey

xx en el intervalo [0,2] Resp. 2


3y 2

3


Resp. 664 97166 97 33,240

243 486


3y 2

3


Resp. 340 3285 12,768

243 243

36.- Hallar la longitud de arco de la curva y2

1

4

yx

4



833

4

xx4




69

punto donde x = 8


1xxx

3

1y 23

desde el punto donde x = 0

hasta el punto donde x = 2 Resp. 53

6

Área de una Región en Coordenadas Cartesianas

Área bajo una curva

Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales x = a , x = b.

Entonces la medida del área de la región R está dado por:

Análogamente para una curva dada por x = f(y) el área bajo la curva entre c y d puede ser

calculada mediante la fórmula:d

cA f(y)dy

Considero de suma importancia destacar que, en la fórmula b

aA f(x)dx , f(x) representa una

altura en el eje y, lo cual significa la altura del rectángulo auxiliar y no la estructura algebraica

o configuración de la función como tal. De igual manera en d

cA f(y)dy , f(y) representa el

ancho del rectángulo auxiliar.

b

R

a

y

(x ,f(x))

b

adx)x(fA

Y=f(x)

x dx



70

Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el área acotada por la parábola y2=x – 1 y la recta x = 3

El área se muestra en la fig. 1, como la

parábola es simétrica respecto al eje x se

puede calcular el área de la parte superior y

multiplicarla por 2

Trabajemos usando el rectángulo auxiliar

vertical.

Según la grafica se puede observar que la

altura del rectángulo auxiliar es f(x)=y que en

la parábola será y x 1 por lo cual el área

en cuestión será:

b

a

3

1

A f(x)dx

A 2 x 1dx

Haciendo u=x-1du=dx

12

32

3

3

1

3 3

2

A 2 u du

A 2 u du

2A 2 u

3

4A (x 1)

3

4A (3 1) (1 1)

3

4A 8

3

4A 2 2

3

8A 2 u c

3

Fig. 1

(x ,f(x))

y



71

Ejemplo Ilustrativo 2 Consideremos el ejemplo ilustrativo 1 para resolverlo tomando el

rectángulo auxiliar horizontal

La figura a la derecha muestra el área a calcular

Trabajemos usando el rectángulo auxiliar

horizontal.

Según la gráfica se puede observar que x+a=3

siendo a el ancho del rectángulo auxiliar, en la

parábola y2=x – 1 al despejar la variable x

obtenemos x=y2+1 por lo cual la ecuación

x+a=3 se convierte en: (y2+1)+a=3 de la cual

despejamos el ancho del rectángulo auxiliar

para obtener: a=-y2+2 por lo que el área en

cuestión será:

d

c

22

2

23

2

3 3

2

A f(y)y

A ( y 2)dy

yA 2y

3

( 2) ( 2)A 2( 2) 2( 2)

3 3

2 2A 2 2 2 2 2 2

3 3

4A 2 4 2

3

4A 2 4 2

3

4A 4 2

3

8A 2 u c

3

X= f(y) a

3

(3, 2)

(3, 2)



72

Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9

La ecuación 2 2y x 9 representa una

circunferencia con centro en el origen y radio 3

por lo tanto el área del circulo será la región

interna a dicha circunferencia, así tenemos

que: 2 2 2 2 2y x 3 y 3 x . Como la

circunferencia es simétrica respecto al eje x

podemos calcular el área de la parte superior

representada por la ecuación 2 2y 3 x ,

como dicha región equivale la mitad del área

requerida debemos multiplicarla por 2. por lo que

el recorrido de la variable x será desde x=-3

hasta x=3.

En la grafica podemos ver que el alto del

rectángulo es 2 2y 3 x por lo que:

32 2

3A 2 3 x dx

Haciendo x 3 Sen( ) dx 3 Cos( )d

xYa que x 3 Sen( ) arcSen

3

3 3Si x=-3 arcSen arcSen 123

3Si x=3 arcSen arcSen 1

23

por consiguiente la integral anterior se transforma

en:

32 22

2

32 22

2

32

2

322

2

32

2

2 3 (3 Sen( )) 3 Cos( )d

2 3 1 Sen ( ) 3 Cos( )d

2 3 Cos( ) 3 Cos( )d

18 Cos ( )d

9 1 Cos(2 ) d

32

2

32

2

2

2

9 1 Cos(2 ) d

19 Sen(2 )

2

3 1 3 19 Sen(2 ) Sen(2 )

2 2 2 2 2 2

3 1 19 Sen(3 ) Sen( )

2 2 2 2

39 0 0

2 2

9 u c

A 9 u c

(x ,f(x))

y



73

Ejemplo Ilustrativo 4 Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 3

El área a la cual se refiere el problema se

muestra en la grafica a la derecha y está

compuesta por dos áreas A1 y A2, así que

el área total será la suma de ambas At =

A1+A2 Trabajemos usando el rectángulo

auxiliar vertical para ambas áreas.

Según la gráfica se puede observar que la

altura para cada uno de los rectángulos

auxiliares es f(x)=y =(x – 1)3

b

a

13

1

A1 f(x)dx

A1 (x 1) dx

Haciendo el cambio de variable

z=x-1du=dx

Si x=-1z=-2 Si x=1z=0

03

2

04

2

4 42

A1 z dz

z

4

0 ( 2)A1 4 u c

4 4

Observe que en el resultado de A2 se

obtuvo un valor negativo, esto de debe a

que esta región está por debajo del eje x

debido a que x ( 1,1) y=(x–1)3 es

negativa. Por tanto tomamos el valor

absoluto de este resultado puesto que una

área no puede ser negativa así A1=4 u2c

Para calcular A2 tomamos el mismo cambio de

variable anterior pero

Si x=1z=0 Si x=3z=2 obteniendo:

2

3

0

24

0

4 42

A2 z dz

z

4

2 (0)A2 4 u c

4 4

Para finalizar podemos concluir que:

2 2

2

Como At A1 A2

At A1 A2

At 4 u c 4 u c

At 8 u c

y

y

A2

A1

(-1,-8)

(3 , 8)



74

Ejemplo Ilustrativo 5 Demuestre que el área de un triángulo de altura H y base B está dada por

la fórmula 1A B H

2

La ecuación canónica de la recta es x y1

A B

donde A es el corte con el eje x y B es el corte

con el eje y en nuestro caso el corte con el eje x

es B y el corte con el eje y es H por lo que

x y1

B H

Hx By HB

HB Hxy

B

Hy (B x)

B

Hf(x) (B x)

B

Aplicando la fórmula del área bajo una curva

tenemos:

b

a

B

0

B

0

B2

0

2 2

22

A f(x)dx

HA (B x)dx

B

HA (B x)dx

B

H xA Bx

B 2

H B 0A BB B 0

B 2 2

H BA B

B 2

HA

B

2B

2

1A BH

2

y

x

H

B

(0 , H)

(B , 0)

Hf(x) (B x)

B



75

Área entre dos curvas

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b]

entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta

dada por:

Es importante resaltar que f(x)-g(x) representa la altura del rectángulo auxiliar y que f(x) es la

curva que se encuentra más alejada del eje x y g(x) es la curva que se encuentra mas cerca del

eje x

Análogamente Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(y) ≥ g(y) a lo largo de

[c,d] entonces el área de la región entre las curvas x = f(y) y x = g(y) desde y=c, hasta y = d

esta dada por:

d

cA f(y) g(y) dy

De igual manera hay se debe resaltar que f(y)-g(y) representa el ancho del rectángulo auxiliar

y que f(y) es la curva que se encuentra más alejada del eje y, y g(y) es la curva que se

encuentra mas cerca del eje y

dx

y

R

Y=f(x)

a b x

(x ,f(x))

(x ,g(x))

Y=g(x)

b

adx)x(g)x(fA

f(x)

g(x)

f(x)-g(x)



76

Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el área acotada por la parábola y=3-x2 y la recta y=x+1

El área se muestra en la figura adjunta a la

derecha.

Calculemos los puntos de intersección de ambas

curvas para ello resolvemos el sistema de

ecuaciones formador por:

22 2y 3 x

3 x x 1 x x 2 0y x 1

(x 2)(x 1) 0

x 2 0 x 2

x 1 0 x 1

Lo cual indica que x varia desde -2 hasta 1

siendo estos los limites de integración

Trabajemos usando un rectángulo auxiliar

vertical así, como f(x)>g(x) la altura del

rectángulo será: f(x)-g(x)= 3-x2-(x+1)

2

2

f x g x 3 x x 1

f x g x x x 2

b

a

12

2

13 2

2

3 2 3 2

2

A f(x) g(x) dx

A ( x x 2)dx

x xA 2x

3 2

1 1 ( 2) ( 2)A 2 1 2( 2)

3 2 3 2

1 1 8A 2 2 4

3 2 3

9 1A 8

3 2

1A 5

2

10 1 9A A u c

2 2

2f(x) 3 x

g(x) x 1

(1 , 2)

(-2 , -1)



77

Ejemplo Ilustrativo 2 Hallar el área acotada por las parábolas y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la

recta x= -3

En la gráfica a la derecha se muestra el área

a la cual se refiere el problema la cual se

compone por dos áreas A1 y A2, por esta

razón el área total será la suma de ambas

áreas At = A1+A2, usaremos un rectángulo

auxiliar vertical para cada área. Según la

gráfica se puede observar que para A1 la

altura del rectángulo es:

2 2

2

2

f(x) g(x) (x 4) ( x 2x)

f(x) g(x) 2x 2x 4

f(x) g(x) 2(x x 2)

mientras que para A2 la altura del

rectángulo es:

2 2

2

2

g(x) f(x) ( x 2x) (x 4)

g(x) f(x) 2x 2x 4

g(x) f(x) 2(x x 2)

Calculemos los puntos de intersección de

ambas curvas para lo cual resolvemos el

sistema de ecuaciones formador por:

22 2

2

2

2

y x 4x 4 x 2x

y x 2x

2x 2x 4 0

2(x x 2) 0

(x 2)(x 1) 0

x 2 0 x 2

x 1 0 x 1

Seguidamente calcularemos A1

22

3

2 23 2

3 2

3 3

3 2 3 2

A1 2 (x x 2)dx

x x 1A1 2 2x 2x 3x 12x

3 2 3

1A1 2 2 3 2 12 2 2 3 3 3 12 3

3

2

1 1A1 16 12 24 54 27 36 A1 90 79

3 3

11A1 u c

3

A2 es el resultado opuesto a la integral anterior

pero evaluada desde -2 hasta 1

12

2

1 13 2

3 2

2 2

3 2 3 2

A2 2 (x x 2)dx

x x 1A2 2 2x 2x 3x 12x

3 2 3

1A2 2 1 3 1 12 1 2 2 3 2 12 2

3

2

1 1A2 2 3 12 16 12 24 21 48

3 3

1A2 27 A2 9 u c

3

Finalmente 2 211At A1 A2 At u c 9 u c

3

238At u c

3

2f(x) x 4

2g(x) x 2x

(1 , -3)

(-2 , 0)

A2

A1



78

Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el área acotada por las curvas 3 2y 2x -3x -9x ; 3 2y x 2x 3x

A la derecha se muestra la grafica con el

área a la cual se refiere el problema observe

que se compone por dos áreas A1 y A2, así

el área total será la suma de ambas áreas At

= A1+A2, usaremos un rectángulo auxiliar

vertical para cada área. Según la gráfica se

puede observar que para A1 la altura del

rectángulo es:

3 2 3 2

3 2

f(x) g(x) (2x 3x 9x) (x 2x 3x)

f(x) g(x) x x 6x

mientras que para A2 la altura del

rectángulo es:

3 2 3 2

3 2

g(x) f(x) (x 2x 3x) (2x 3x 9x)

g(x) f(x) (x x 6x)

Calculemos los puntos de intersección de

ambas curvas para lo cual resolvemos el

sistema de ecuaciones formador por:

3 2

3 2

3 2 3 2

3 2

2

y 2x 3x 9x

y x 2x 3x

2x 3x 9x x 2x 3x

x x 6x 0

x(x x 6) 0

x(x 3)(x 2) 0

x 0

x 3 0 x 3

x 2 0 x 2

Seguidamente calcularemos A1

03 2

2

0 04 3

2 4 3 2

2 2

4 3 2

A1 (x x 6x)dx

x x 1A1 3x 3x 4x 36x

4 3 12

1A1 3 2 4 2 36 2

12

1 1

A1 48 32 144 A1 144 8012 12

64A1

12

216A1 u c

3

A2 es el resultado opuesto a la integral anterior

pero evaluada en los limites -2 y 1

33 2

0

3 34 3

2 4 3 2

0 0

4 3 2

A2 (x x 6x)dx

x x 1A2 3x 3x 4x 36x

4 3 12

1A2 3 3 4 3 36 3

12

2

1 1A2 243 108 329 A2 243 432

12 12

189 63A2 A2 u c

12 4

Finalmente 2 216 63At A1 A2 At u c u c

3 4

264 189 253At At u c

12 12

3 2f (x) 2x 3x 9x

(-2 , -10)

(0,0)

A2

A1 (3,0)

3 2g(x) x 2x 3x



79

Ejemplo Ilustrativo 4 Hallar el área acotada por las curvas xy x e , 2 xy x e en el primer

cuadrante.

El área se muestra en la figura adjunta a la

derecha.

Para calcular los puntos de intersección de

ambas curvas resolvemos el sistema de


2 x2 x x

x

x

x

y x ex e xe

y xe

xe (x 1) 0

x 0

e 0 No tiene solución

x 1 0 x 1

Así tenemos que x varia desde 0 hasta 1 siendo

estos los limites de integración

Trabajemos usando un rectángulo auxiliar

vertical por tanto como f(x)>g(x) la altura del

rectángulo será:

x 2 x

2 x

f(x) g(x) xe x e

f(x) g(x) (x x )e

1

2 x

0A (x x )e dx Esta integral se resuelve por

el método de integración por partes. 2

x x

u x x du (1 2x)dx

dv e dx v e

12 x 2 x x

0

I1

A (x x )e dx (x x )e e (1 2x)dx

I1 se resuelve de la misma forma:

x x

u 1 2x du 2dx

dv e dx v e

2 x x

2 x x x

x 2 x x x x

1x 2

0

1 2 0 2

2

A (x x )e e (1 2x)dx

A (x x )e (1 2x)e ( 2)e dx

A xe x e e 2xe 2e

A e (x 3x 3)

A e (1 3 1 3) e (0 3 0 3)

A e 3 A (3 e) u c

xf(x) xe

(1 , e)

(0 , 0)

2 xg(x) x e



80

Ejemplo Ilustrativo 5 Hallar el área acotada por las curvas 3y 2y+x =0 , 3y x 0

Las curvas en cuestión son simétricas respecto

al origen así como también las regiones por lo

tanto basta con calcular el área de una región y

multiplicarla por 2. Por la forma de las funciones

es más recomendable usar un rectángulo

auxiliar horizontal. Según la gráfica en el primer

cuadrante se puede observar que f(y)>g(y)

Calculemos los puntos de intersección de ambas

curvas para lo cual resolvemos el sistema de


33 3

3

3

2

2

x y 2yy 2y y

x y

2y 2y 0

2y(y 1) 0

y 0

y 1 0 y 1

De esta forma el área a calcular será:

d

c

13 3

0

13

0

14 2

0

1

4 2

0

4 2 4 2

2

A f(y) g(y) dy

A 2 ( y 2y y )dy

A 2 ( 2y 2y)dy

y yA 4

4 2

A y 2y

A 1 2 1 0 2 0

A 1 u c

3f(y) y 2y

(1 , 1)

(-1 , -1)

3g(y) y



81


En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas

Curvas Resp.

Curvas Resp.

1. x eje ;x-4 y 2 cu2

32 2 2. 01yx

0;1yx2

cu

6

1 2

3. 4x 0;x ;x y 3 cu64 2 4. 19 1x y ; 13x y cu2

3 2

5. 3 x 1; x ; x-4 y 2 cu3

22 2 6. -2 y 0;x ;y2 x 23 cu5

12 2

7. 3 x 0; x ; x-9 y 2 cu18 2 8. 21 2yx ; xy2 cu2

9 2

9. 3x;2x x; eje 1;x x y 2 cu6

59 2 10. -xy ; x-2 y 2 cu2

9 2

11. 3x;3x x; eje x;2 3xx y 23 cu54 2 12. 23 2yx ; xy2 cu 6 2

13. x eje 12;-x x y 2 cu6

343 2 14. 3x 1;-x y2 cu33

8 2

15. bx ;ax x; eje ;kxy 2 cua

bLnk 22

16. 1x y ;x-3 y 2 cu2

9 2

17. 32x;3 x x; eje ; x Sen y cu1 2 18. 3x y ; x y cu

12

5 2

19. 0 y 4x;xy 2 cu2

32 2 20. -8 y 0;4yx2 cu3

32 2

21. 33xy 1;x2 x y 2 cu2

9 2 22. 043y-x ;x y 23 cu10

27 2

23. 1x;1x 1;-x y ;x y 2 cu3

7 2 24. x4x2y

2x;3xx y

2

23

cu

12

37 2

25. -4 y y;- x2 cu3

32 2 26. 22 y-6 x ; 2- y x cu3

64 2

27. 0y 0; x ; x Sen-x Cos y cu12 2 28. 0y ;x2y x; y cu1 2



82

Sólidos de Revolución

Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el

plano llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un

punto.

1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre ese

diámetro se genera una esfera (Fig. No. 1).

2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se

genera un cono recto circular (Fig. No.2).

Volumen de un sólido de Revolución.

Método del Disco

Este método se usa cuando el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de rotación y su

base hace contacto con este, además el eje de rotación es una frontera de la región que se

hace girar. Al decir frontera significa que el eje de rotación es un borde o pertenece a la región

que se rota, se le llama método del disco ya que al hacer girar el elemento rectangular

alrededor del eje de rotación el elemento auxiliar de volumen que se forma es un disco cuyo

radio es R como lo muestra la siguiente figura.

Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 x [a,b]. Si

denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada

por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a x=b y si el volumen del sólido de

revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces:

Fig. No.2

dx dx

x

y

x=a

Y=f(x)

Y=f(x)=R

x=b

Eje de

rotación

2b

aV f(x) dx

Eje de Rotación Horizontal

Eje de Rotación

Vertical 2d

cV f(y) dy

b

2

aV R x dx

2d

cV R y dy

S

Fig. No.1



83

Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del

eje x la región acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2

La figura adjunta a la derecha muestra el sólido

de revolución. Como el eje de rotación es una

frontera de la región a rotar se debe usar el

método del disco.

2b

aV f(x) dx como el radio del disco es

R(x)=f(x)=x3 la integral anterior se convierte

en:

2

3 2

0

26

0

27

0

7 7 73

V (x ) dx

V x dx

xV

7

2 0 2 128V V V u c

7 7 7 7

Ejemplo Ilustrativo 2 Compruebe usando el método del disco, que el volumen de una esfera de

radio r es 34V r

3

La figura a la derecha muestra media circunferencia

en negrita que se ha hecho girar alrededor del eje y

para obtener sólido de revolución (una esfera).

Como la circunferencia es simétrica respecto a los

ejes coordenados se calculará el volumen de media

esfera y se multiplicara por 2 esto se logra tomando

los limites de integración desde 0 hasta r si no se

quiere hacer esta simplificación se deberán

considerar los limites desde r hasta -r

2 2d r2 2

c 0

r3

r2 2 2

0

0

r3 3

2 2

0

V f(y) dy V 2 r y dy

yV 2 r y dy V 2 r y

3

y rV 2 r y V 2 r r

3 3

3 3 33

33

r 3r rV 2 r V 2

3 3

2r 4V 2 V r

3 3

y

x

2 2f(y) r y

R f(y)

(0 , r)

(0 , -r)

y

x

3f(x) x

R=y=f(x)=x3

X=2



84

Ejemplo Ilustrativo 3 Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región

limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x

En la figura a la derecha podemos observar que el

radio del elemento auxiliar del disco es R=Sen(x) y

un arco de ella esta comprendido entre x=0 y x=

por consiguiente el volumen requerido será:

2b

a

2

0

0

0

23

V f(x) dx

V Sen (x)dx

V (1 Cos(2x))dx2

Sen(2x)V x

2 2

Sen(2 ) Sen(2 0)V 0

2 2 2

0V V 0 V u c

2 2 2 2

Ejemplo Ilustrativo 4 Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar sobre la

recta y=4 la región limitada por la curva y=x2 y la recta y=4

En la figura a la derecha podemos observar que

2R y 4 R 4 y R 4 x

2Si y 4 4 x x 2 por consiguiente el

volumen requerido será:

222

2

22 4

2

25

3

2

3

V 3 x dx

V 9 6x x dx

xV 9x 2x

5

32 32V 18 16 18 16

5 5

64V 4

5

84V u c

5

Observe que este volumen también puede

ser calculado 22

2

0V 2 3 x dx Por qué?

y

x

f(x) Sen(x)

R=f(x)=Sen(x)

(0 , )

y

x (0 , 0)

Y=f(x)=x2

4 R



85

Ejemplo Ilustrativo 5 Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre el

eje x la región limitada por la curva y=x3+3x2–x-3 y el eje x

En la figura a la derecha podemos observar que la

región a rotar esta formada por dos partes lo cual

se considera al tomar los limites de integración

desde x=-3 hasta x=1 por consiguiente el volumen

requerido será:

21

3 2

3V x +3x – x 3 dx

Como (x3+3x2–x-3)2= x6+6x5+7x4-12x3-17x2+6x+9

Entonces

1

6 5 4 3 2

3

17 5 3

6 4 2

3

V x 6x 7x 12x 17x 6x 9 dx

x 7x 17xV x 3x 3x 9x

7 5 3

Al evaluar esta integral se obtiene: 32048V u c

105

Por simetría el volumen también puede ser

calculado integrando desde x=-1 hasta x=1 y

multiplicando por 2

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre el eje

“y” la región limitada por la curva y=x3 la recta y=8 y el eje y

Como se observa en la figura a la derecha el radio

del disco es x el cual se despeja de la función

original para obtener 133R x y y

Así el volumen del sólido será:

2d

cV R dy Entonces

8

5 5 5283 3 3 3

0

0

3

3 3V y dy V y V 8 0

5 5

3V 2

5

53

33 96

V 32 V u c5 5

R=x

x

(2,8)

y=x3

y=8

(0,0)

y

x (-3,0)

y=x3 +3x2–x-3

(-1,0)

(1,0)

y

R=y



86

Ejemplo Ilustrativo 7 Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura

h y base b.

La ecuación canónica de la recta es x y1

A B

donde A es el corte con el eje x y B es el corte

con el eje y en nuestro caso el corte con el eje x

es b y el corte con el eje y es h por lo que

x y1

b h

hx by hb

hb hxy

b

bx (h y)

h

bf(y) (h y)

h

Por la gráfica podemos ver que R=f(y)

Aplicando la fórmula del volumen tenemos:

2d

c

2h

0

2h

2

2 0

2h

2 2

2 0

h2 3

2 2

2

0

22

2

V R dy

bV (h y) dy

h

bV (h y) dy

h

bV (h 2hy y )dy

h

b yV h y hy

3h

bV h h

h

2hh3

2

2

h

3

bV

h

3h

2

3

1V b h

3

y

x

R

(0 , h)

(b , 0)

bf(y) (h y)

h



87

Método de la arandela o del anillo

Este método se usa cuando el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de rotación y su

base no hace contacto con este, además el eje de rotación no es una frontera de la región que

se hace girar. Se le llama método del anillo ya que al hacer girar el elemento rectangular

alrededor del eje de rotación el elemento auxiliar de volumen que se forma es un anillo cuyo

radio interno es r y cuyo radio externo es R se miden desde el eje de rotación como lo muestra

la siguiente figura.

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b],

si denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región

limitada por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a x=b y si el volumen del

sólido de revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas tenemos:

Eje de Rotación Horizontal

b 2 2

aV f(x) g(x) dx

b2 2

aV R (x) r (x) dx

Eje de Rotación

Vertical

d 2 2

cV f(y) g(y) dy

d2 2

cV R (y) r (y) dy

x

dx

y

x=a

Y=f(x)

f(x)=R

x=b

Eje de Rotación

Y=g(x) g(x)=r

dx

S



88

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al rotar sobre la

recta y=8 la región limitada por la curva y2=x3 la recta x=4 y el eje x

Como se observa en la figura adjunta el radio externo del

anillo es R=8 y el radio interior se obtiene del siguiente

procedimiento: según la grafica a la derecha r+y=8

r=8-y siendo y= x3/2 se tiene que r=8-x3/2

Así el volumen del sólido será:

b2

aV (R r) dx Entonces

234

2 2

0

3432

0

V 8 8 x dx

V 64 64 16x x dx

V 64

6434

32

0

3432

0

44

52

0

4 45 52 2

3

16x x dx

V 16x x dx

32 xV x

5 4

32 4 32 0V 4 0

5 4 5 4

32 32V 64

5

1024V 64

5

704V u c.

5

R=8

x

(4,8)

y2=x3

y=8

(0,0)

y

y=x3/2

r



89


Para resolver los siguientes ejercicios utilice el método del disco o el método del anillo

En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se

genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es

girada sobre el eje dado.

1.- La región R1 girada alrededor del eje X Sol. 64π U3 C.

2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C.

3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C.

4.- La región R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 π/7 U3 C.

5.- La región R2 girada alrededor del eje X Sol. 192 π U3 C.

6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C.

7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C.

8.- La región R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 π/7 U3 C.

En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor

del eje X la superficie limitada por las curvas dadas. 9.- /7128 Sol. 2x ;0 y y; x3

10.- 332 4

1Sol. x ;0 y ;x ay aa

11.- Una arcada de y = Cos(2x) 2 4

1Sol.

12.- )1( 2

1Sol. 5x ;0x ; 0 y ; e y 10x- e

13.- 48 Sol. 144y 16 9x 22

14.- )1( 4

1Sol. 1x ; 0 y ; xe y 2x e

En los ejercicios del 15 al 18 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor

del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas. 15.- /564 Sol. 2x ;0 y y; x3

16.- 7

32Sol. 2x ;0 y ;x 2y 32

17.- Sol.2 0x ; 0 y ; e y x

18.- 64 Sol. 144y 16 9x 22

Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por:

Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez

Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro

32 xy

8 , 4

R1

R2

A

B

C

O

0 , 4

8 , 0



90

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