UNIVERSIDAD PERUANA UNIN

INTEGRALES MLTIPLES

DIRECCIN:Puno, Juliaca, chullunquiani, salida Arequipa carretera Km 6

CELULAR: 973267550

E MAIL:condorihuayhua@gmail.com

ESTUDIANTE:Cipriano Condori Huayhua

ASESOR:Prof. Sergio Martn chupa Almanza

NDICEContenido1PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA31.1ANTECEDENTES31.2FORMULACION DEL PROBLEMA31.3PROBLEMAS ESPECIFICOS31.4JUSTIFICACION DEL PROBLEMA32OBJETIVO GENERAL43OBJETIVOS ESPECFICOS44MARCO HISTORICO54.1Clculo54.2Evolucin histrica55MARCO TEORICO65.1INTEGRALES DOBLES CARTESIANAS Y POLARES65.1.1Integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas65.1.2Integrales dobles en coordenadas polares85.2INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS CILNDRICAS105.2.1Integrales triples en coordenadas esfricas105.3INTEGRALES TRIPLES: CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD Y TEOREMA DE PAPPUS.11

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ANTECEDENTESEl clculo infinitesimal, que abarca todo lo que es el clculo integral y diferencial, fue desarrollado simultneamente por Leibniz y Newton a finales del siglo XVII, si bien no se ha conseguido nunca definir cul de los dos ha sido el primero en descubrirlo.FORMULACION DEL PROBLEMA Resolver ejercicios de integrales mltiples ya que los estudiantes de ingeniera tenemos dificultades en resolucin de problemas de clculo.PROBLEMAS ESPECIFICOSFalta de prctica y conocimiento de los temas del curso calculo II

JUSTIFICACION DEL PROBLEMAEl trabajo realizado es en cumplimiento practico al a las clases tericas dictadas del curso de Calculo II. Es un curso de carrera de ingeniera civil, lo cual es necesario hacer este tipo de trabajos, de esa manera demostrar nuestra capacidad en el futuro cuando nos enfrentemos a proyectos ms grandes.

OBJETIVO GENERALEl objetivo del proyecto es aprender sobre el tema y hacer conocer a los estudiantes algunos temas de clculo vectorial OBJETIVOS ESPECFICOSEstudiar integrales mltiples en diferentes sistemas de coordenadas Calcular integrales dobles cartesianas y polaresCalcular integrales triples en coordenadas esfricas y cilndricasEvaluar integrales usando cambio de variable en integrales mltiples jacobianos.Adems conocer y resolver Integrales triples; centroide, centro de gravedad, teorema de pappus

MARCO HISTORICOClculo Rama de las matemticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores mximo y mnimo de funciones y de la determinacin de longitudes, reas y volmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniera, siempre que haya cantidades que varen de forma continua.Evolucin histrica

El clculo se deriva de la antigua geometra griega. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos, se cree que considerndolos formados por un nmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeo), y Eudoxo y Arqumedes utilizaron el "mtodo de agotamiento" para encontrar el rea de un crculo con la exactitud requerida mediante el uso de polgonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con nmeros irracionales y las paradojas de Zenn de Elea impidieron formular una teora sistemtica del clculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri yEvangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el lgebra para encontrar el rea y las tangentes (integracin y diferenciacin en trminos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenan la certeza de que ambos clculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del clculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teora de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacin an provoca disputas sobre quin fue el primero. Sin embargo, termin por adoptarse la notacin de Leibniz.

En el siglo XVIII aument considerablemente el nmero de aplicaciones del clculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, as como la intuicin geomtrica, causaban todava confusin y controversia sobre sus fundamentos.

MARCO TEORICOINTEGRALES DOBLES CARTESIANAS Y POLARESIntegrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas

Sea la funcin donde la regin D. es el rectngulo si la funcin f es continua sobre la regin D. denotado por donde es diferencial de reaPropiedades fundamentales del integral doble 1)

Si : es una funcin continua en la regin cerrada D. entonces f es integrable en D.

2)

Si : es una funcin integrable en la regin cerrada D y c entonces cf. es integrable en la regin D y 3)

Si son funciones integrables en la regin cerrada D. entonces es integrable en D. y 4)

Si son funciones integrables en la regin cerrada D y entonces 5)

Si es una funcin integrable en la regin cerrada D y supongamos que m y M son los valores mnimo y mximo absoluto de f en D esto es.

6)

Si es una funcin continua en la regin cerrada D y donde , son regiones cerradas , entonces7)

entonces

Ejercicios resueltos

Calcular:

Solucin: la primera integral que es respecto a y no se puede calcular, porque la funcin no tiene una primitiva elemental

Integrales dobles en coordenadas polares

Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la regin de integracin es una regin rectangular de la forma Ahora, trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una regin circular o sobre una regin comprendida entre dos crculos o parte de los crculos.

Se desea encontrar la integral doble donde R es una regin polar. Lo primero que se debe hacer es encontrar los lmites de integracin en el sistema de coordenadas polares, as por ejemplo. Para la regin circular

Ejercicios resueltos

Obtener el volumen del solido que se encuentra ajo hemisferio y arriba de la regin limitada por la grfica de la circunferencia Solucin

En coordenadas polares la ecuacin del hemisferio se convierte en

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS CILNDRICASIntegrales triples en coordenadas esfricas Hemos visto que ciertas curvas tienen descripcin ms simple en coordenadas polares que en cartesianas. En esta seccin introducimos las coordenadas cilndricas y esfricas, que son tambin muy tiles para describir cierto superficial solido en el espacio.Sean D y D* regiones cerradas en R^3 si acemos el siguiente cambio de variables

Que defina la transformacin:T: D*----------------D

Sea la funcin : es una funcin integrable en D. entonces la funcin compuesta es integrable y

INTEGRALES TRIPLES: CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD Y TEOREMA DE PAPPUS.1.- calcular la siguiente integral por coordenadas:

D solido limitado por superficie Z=2 y

Las intersecciones del plano z=2 con el paraboloide es una curva cuya proyeccin en el plano xy es la circunferencia .Empleando coordenadas cilndricas:

Si el slido D se describe como:

2.- como el slido es simtrico respecto al eje y en el piso es simtrico al eje x y al eje y, podemos hallar la cuarta parte del volumen del siguiente modo:

=

3.-Dada la integral , dibujar la regin de integracin y escribir la integral de todas las formas posibles.

Teniendo en cuenta la grfica adjunta, si D1, D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:

4-. Evaluar la integral , usando coordenadas cilndricas.Solucin:

D: Pasando a coordenadas cilndricas:Se tiene:

,,

=

5.- Calcular el volumen del solido limitado por las superficies: , ,

SOLUCION1.- hacer un esbozo de las superficies que limitan el solido a) es un cilindro circular de eje, el eje y.b) es el plano XZc) es un plano perpendicular al plano YZd) es un plano perpendicular al plano YZ

En el slido observamos que El techo est formado por los planos c y d.El piso es circulo encerrado por en el plano XZ

6.-Una lmina triangular tiene los vrtices (0,0), (1,0) y (1,2), y tiene densidad . Halle su centro de masa.Solucin

En este caso es:

En este caso debemos calcular

Calculamos ahora.

Por ultimo:

As tenemos que:

7. Se considera el slido V de densidad constante , limitado por la superficie esfrica de radioR. Calcular los momentos de inercia:(i) Respecto a su centro.(ii) Respecto a un plano que pase por su centro.(iii) Respecto a un dimetro.RESOLUCIN. Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera.(i) llamando v* ala parte de v que est en el primer octante,

Hacemos cambio de variables a coordenadas esfricas:

Entonces por lo tanto es: Nuevamente por simetra, los momentos de inercia respecto a todos los dimetros son iguales. Si L es cualquier dimetro, entonces Ix = Iy = Iz = IL, as que:

8.-Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide y la esfera si la densidad en cada punto es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas.

Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide y la esfera si la densidad en cada punto es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas.

Ejercicios propuestos:Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies:

2. Obtener la masa y el centroide de una placa delgada triangular limitada por el eje x y las rectas X=1 y Y=2x la densidad de la placa en el punto (x,y) es

3. donde es el recinto V esta limitado por superficies

4.-Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies:

5.-una lmina con densidad

=x+y delimitada por ele je x, la recta x=1 y la curva y=

ReferenciasMitacc Meza, Mximo. Clculo III, CALCULO DIFERENCIAL CALCULO INTEGRAL, 5a ed. 2011, disponible en: Biblioteca Fernando Stahl. Universidad Peruana Unin JuliacaLzaro C. Moiss. Anlisis Matemtico III. ANALISIS VECTORIAL - PROBLEMAS, EJERCICIOS. 3a ed. 2009. Cdigo de libro: 516.182 L32 III 2009. Disponible en la Biblioteca Fernando Stahl. Universidad Peruana Unin Juliaca.Zill, Dennis G. Clculo de Varias Variables. CALCULO -FUNCIONES DE VARIABLES REALES DIVERSAS, 4a ed. 2011. Disponible en la biblioteca Fernando Stahl. Universidad Peruana Unin Juliaca.

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