Inteligência Artificial: Lógica Proposicional e Prolog

Prof. Elaini Simoni Angelotti

elaini.angelotti@gmail.com

Lógica Proposicional

Um dos objetivos da lógica é estabelecer uma linguagem formal, onde se pode expressar com clareza, precisão e emitir juízo de verdadeiro ou falso para determinadas frases.

PROPOSIÇÃO é uma frase declarativa (com sujeito e predicado) a qual pode ser atribuído um dos valores verdadeiro (V) ou falso (F).

Lógica Proposicional

Exemplos de proposições: O Japão fica na África 3 + 4 = 7

Exemplos de fases que não são proposições: 3 + 4 Onde você vai?

Lógica Proposicional

proposições

Proposição simples (atômica): não contém nenhuma outra proposição como como parte integrante de si mesma. São designadas por letras minúsculas. Ex: Carlos é careca = q.

Proposição compostas (molecular): formada pela combinação de duas ou mais preposições. Designadas por letras maiúsculas. Ex: Carlos é careca e Pedro é estudante = Q.

Princípios Fundamentais da Lógica

PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo

PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.

O valor lógico de uma proposição simples p, é indicado por V(p). Assim:

p: O sol é verde. V(p) = F

Princípios Fundamentais da Lógica

Os conectivos lógicos são usados para formar novas proposições a partir de outras proposições: ~ (não); (e); (ou exclusivo) (ou); (se então); (se e somente se);

Princípios Fundamentais da Lógica

TABELAS VERDADE para uma proposição simples p o valor será V ou F

p

V

F

O valor de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições

simples componentes. Por exemplo: P = p ^ q p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

Operações Lógicas sobre Proposições

NEGAÇÃO Se p é uma proposição, a negação da proposição p é

denotada por ~p (p) A negação apresenta valor lógico oposto ao da proposição

dada.

p

V

F

~p

F

V

Exemplos: r : Nenhum homem é elegante ~r : Algum homem é elegante

Operações Lógicas sobre Proposições

CONJUNÇÃO () Chama-se conjunção de duas proposições p e q a

proposição representada por “p q ”cujo o valor lógico é V quando ambas as proposições são verdadeira e F nos demais casos.

V(p q) = V(p) V(q)

p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

p q

V

F

F

F

Operações Lógicas sobre Proposições

DISJUNÇÃO () Chama-se disjunção de duas proposições p e q a

proposição representada por “p q ”cujo o valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é verdadeira e F quando ambas as proposições são falsas.

V(p q) = V(p) V(q)

p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

p q

V

V

V

F

Operações Lógicas sobre Proposições

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( ) Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q

a proposição representada por “p q ”cujo o valor lógico é V quando uma das proposições é verdadeira e a outra e falsa e F quando ambas as proposições são falsas ou ambas são verdadeiras.

V(p q) = V(p) V(q)

p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

p q

F

V

V

F

Operações Lógicas sobre Proposições

CONDICIONAL () Chama-se proposição condicional uma proposição

representada por “p q” cujo o valor lógico é F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos.

V(p q) = V(p) V(q)

p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

p q

V

F

V

V

Operações Lógicas sobre Proposições

BICONDICIONAL () Chama-se proposição bicondicional uma proposição

representada por “p q” cujo o valor lógico é V quando p e q são ambos verdadeiros ou falsos e F nos demais casos.

V(p q) = V(p) V(q)

p

V

V

q

V

F

F

F

V

F

p q

V

F

F

V

Princípios

TAUTOLOGIA é toda a proposição composta cujo o valor lógico é sempre verdade (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes.

Ex: ~(p ~p)

p

V

F

~p

F

V

p ~p

F

F

~(p ~p)

V

V

Princípios

CONTRADIÇÃO é toda a proposição composta cujo o valor lógico é sempre falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes.

Ex: (p ~p)

p

V

F

~p

F

V

p ~p

F

F

Princípios

Uma proposição é INDETERMINADA quando não é uma tautologia e não é uma contradição.

Ex: p ~p

p

V

F

~p

F

V

p ~p

F

V

Leis de Equivalência

Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorreu uma equivalência entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idênticas. (P Q)

É possível simplificar as proposições, utilizando as seguintes leis de equivalência:(1) Negação da negação

~ (~ p) p

(2) Negação da Conjunção~ (p q) ~p ~q

(3) Negação da Disjunção

~ (p q) ~p ~q

Leis de Morgan

Leis de Equivalência

(4) Leis Idempotentesp p pp p p

(5) Leis complementaresp ~p (tautologia) (V)p ~p (contradição) (F)

(6) Leis de Identidadep p p p p p

Leis de Equivalência

(7) Leis Comutativasp q q p p q q p

(8) Leis Associativasp (q r) (p q) r

p (q r) (p q) r

(9) Leis Distributivasp (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

Leis de Equivalência

(10) Condicionalp q ~(p ~q) ~p q~ (p q) p ~qp q ~q ~p

Dada a proposição p q:* a recíproca da condicional é q p* a contrapositiva é ~q ~p* a inversa é ~p ~q

A condicional não satisfaz as leis:* idempotente: p p p* comutativa: p q q p* associativa: (p q) r p (q r)

Leis de Equivalência

(11) Bicondicional

p q (p q) (q p)

~ (p q) p ~q ~p q

p q (p q) (~p ~q)

~ (p q) (p ~q) (~p q)

Regras de Inferência

A lógica tem como um dos seus objetivos o uso de técnicas (regras) de inferência que permitem verificar se uma conclusão é válida a partir de fatos básicos.

Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência finita P1, P2, ..., Pn de proposições tem como conseqüência uma proposição final Q.

Um argumento P1, P2, .., Pn | Q diz-se válido se e somente se Q é verdadeiro (V) todas as vezes que P1, P2, ..., Pn são verdadeiras (V).

A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Regras de Inferência

(1) Regras de Adição (AD)

(i) p | p q

(ii) p | q p(2) Regras de Simplificação (SIMP)

(i) p q | p

(ii) p q | q

(3) Regras da Conjunção (CONJ)

(i) p, q | p q

(ii) p, q | q p

Regras de Inferência

(4) Regra da Absorção (ABS)

p q | p (p q)

(5) Regra do Modus Ponens (MP)p q, p | q

(6) Regra do Modus Tollens (MT)

p q, ~q | ~ p

(7) Regra do Silogismo Disjuntivo (SD)

(i) p q, ~p | q

(ii) p q, ~q | p

Regras de Inferência

(8) Regra do Silogismo Hipotético (SH)

p q, q r | p r

(9) Regra do Dilema Construtivo

p q, r s, p r | q s

(10) Regra do Dilema Destrutivo

p q, r s, ~q ~s | ~p ~r