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Inteligencia artificial
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Representación formal
HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados– Formalización– Resolución– Unificación
IAIA
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados
FormalizaciónResoluciónUnificación
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Aristóteles (384-322 a.C.)– PADRE DE LA LÓGICA
Chryssipus (-250 a.C.) Lógica proposicionalWilliam de Occam, siglo XIV, lógica modal– posibilidad, necesidad, creencia, duda, ...
Wilhelm Leibniz (1676-1716). Máquina pensanteSiglo XIX, Bolzano, DeMorgan, Boole, Venn,Frege,...
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1854 Boole. Leyes del pensamiento (lógica yprobabilidad), tablas de verdad.Gottlob Frege. Teoría completa de la lógicaBertrand Russell - Alfred Whitehead, codificaronla lógica simbólica1930 Kurt Godel “existen procedimientos paradeterminar valores de la lógica de primer orden”
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Lógica Booleana (bivaluada)Lógica Trivalente (Multivalente)Lógica DifusaLógica ModalLógica Temporal (Dinámica)Lógica ParaconsistenteLógica de Creencias….
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados
FormalizaciónResoluciónUnificación
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Cada elemento (variable) de L(P) es una expresión(átomo).
L(P) se construye a partir de:P={p,q,r,s,t,...}¬ , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔) , (
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L(P) se define inductivamente a partir de:
Cada variable de L(P) es una expresión (átomo)Si p es expresión, entonces ¬p también lo es.Si p y q son expresiones, entonces también lo son:– p∧ q– p∨ q– p⇒ q– p⇔q
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Semántica
Atribuye un significado a las expresionesDepende de:– i) Interpretación de los conectivos lógicos.– ii) Valores de verdad asignados a las variables.
Dada L(P), se define su semántica pormedio de la asignación de verdad (V o F).
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Juan es estudioso = p1María y Juan se aman = p2La película es en el Patria = qLa casa es de color rosado = q1El libro cuesta 1380 = p5Iré al parque con Fido = rLa música esta de rechupete = t
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Pedro viajo a Cali, María estudia Sistemas, Jorgeesta enfermo, Carlos regresa mañana, Maríasufre.– Pedro viajo a Cali = p– María estudia Sistemas = q– Jorge esta enfermo = r– Carlos regresa mañana = t– María sufre = q1
r ⇒ t( p ∧ q ) ⇒ q1
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Expresiones compuestas
Sea, S: L(P) ---> {F, V}Sean p,q ∈ L(P)S(p∧ q) = V, si S(p)=S(q)=V;– S(p∧ q) = F, otro caso
S(p∨ q) = V, si S(p) ó S(q)=V;– S(p∨ q) = F, otro caso.
S(p⇒ q) = F, si S(p)=V y S(q) = F– S(p⇒ q) = V, en otro caso
S(p⇔q) = V, si S(p)=S(q) = V o F– S(p⇔q) = F, en otro caso
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Expresiones compuestas
Sea, S: L(P) --->{0,1}p,q ∈ L(P) S(p) y S(q) valores asignadosSi p es ¬q entonces S(p)=1-S(q)Si p es (q∧ r) entonces S(p)=min{S(q), S(r)}Si p es (p∨ r) entonces S(p)=max{S(q), S(r)}Si p es (q⇒ r) entonces S(p)=0 si S(q)=1 y S(r)=0,– 1 en cualquier otro caso
Si p es (q⇔r) entonces S(p)=1 si S(q)=S(r),– 0 en cualquier otro caso
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Identidades lógicas
¬ (¬p) ⇔ pp∨ q ⇔ ¬p⇒ q¬ (p∧ q) ⇔ ¬p∨¬ q¬ (p∨ q) ⇔ ¬p∧¬ qp∧ (q∨ r) ⇔ (p∧ q)∨ (p∧ r)p∨ (q∧ r) ⇔ (p∨ q)∧ (p∨ r)p⇒ q ⇔ ¬p ∨ qconmutativa,asociativa,...
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Una expresión p de L(P) es satisfacible siempre ycuando existe por lo menos una valuación– S:L(P) --->{0,1} que cumple S(p)=1
Una expresión p de L(P) es válida sisi para todavaluación– S:L(P) --->{0,1} que cumple S(p)=1
Una expresión es consecuencia válida de unconjunto de expresiones si éstas al ser verdaderas,la expresión también lo es.
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados
FormalizaciónResoluciónUnificación
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La lógica de predicados utiliza la lógicaproposicional pero forma conexiones sujeto-atributo-complemento para representar hechos u objetos delmundo.Atributo (predicado): característica que posee unsujeto u objeto.Objeto (sujeto) quien tiene una característica orealiza una acción.Objeto y complementos ⇒ argumentos
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Juan es estudiosoLa película es en el Patria
La casa es de color rosadoIré al parque con Fido
La música está derechupeteMaría y Juan se amanEl libro cuesta 1380
estudioso(Juan)en_el_Patria(película)presenta(película, Patria)color(casa, rosado)ire_al_parque(YO, Fido)ire(YO, parque, Fido)
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María y Juan se aman– ama(juan, maría) ∧ ama(maría, juan)
Los estudiantes de posgrado buscan perfección– posgrado(estudiantes, buscan_perfección)– buscan(estudiantes_posgrado, perfección)
El expresidente pastrana es huilense con dos hijos– expresidente(pastrana, huilense, 2_hijos)
No es cierto que pedro estudie mucho y julia cante– ¬ [ estudia(pedro, mucho) ∧ canta(julia) ]
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Alfabeto
Constantes {a, b, c, d, a1, a2, cn, ...}Variables {x, y, z, w, x1, y2, zn, ...}Función {f, g, h, k, f1, g2, gn, ...}Predicado {P, Q, R, S, P1, Q2, Sn, ...}Conectivos { ¬ , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ }Cuantificadores ∀ (universal) ∃ (existencial)Paréntesis (, ), {, }, [, ], <, >
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Predicados
En toda proposición hay que identificar:¿Qué se afirma?– predicado
¿De quién se afirma?– objeto
¿Cuánto se afirma?– valores
En las proposiciones se encuentra todo unconjunto de términos.
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Los términos se definen:
1. Las constantes son términos2. Las variables son términos3. Si f es una función y t1, t2, t3, … son términos,entonces f(t1, t2, t3, …) es un término.4. Todo término es obtenido por aplicación de 1,2, y 3.
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Si P(q1,q2,…,qn) es un símbolo de aridad n y t1,t2,…,tn son términos, entonces P(t1,t2,…,tn) es untérmino (átomo).El predicado P(q1,q2,…,qn) no puede considerarseun término hasta no remplazar cada uno de losargumentos q1,q2,…,qn por términos.– Por sustitución– Por cuantificación
UniversalExistencial
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Predicados
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Todo animal es de color gris∀ x { animal(x) → color(x, gris) }Alguien programa o diseña programas∃ x { realizo(x, programa) → programa(x) ∨diseño(x, programa) }∃ x {realizo(x, programa) ∧ [programa(x) ∨diseño(x, programa)] }No todos los locos son locos¬ {∀ x loco(x) → loco(x)}Todos los alumnos estudian, algunos no aprueban.
Formalizaciones...
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∀ x ∃ y { empleado(x) → supervisa(y, x) }Todo empleado tiene un supervisor∃ y ∀ x { empleado(x) → supervisa(y, x) }Hay una persona que supervisa a todos.Todo conocimiento tiene valor de verdad.∀ x { conocimiento(x) → valor_verdad(x) }Hay conocimiento ambiguo∃ y { conocimiento(y) → ambiguo(y) }Toda ave tiene alas algunas no vuelan
Formalizaciones...
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Cada persona puede tener un enfoque diferente alformalizar el conocimiento pero debe tenerse encuenta...
Variable. Indica un objeto cualquiera que pertenecea una clase determinada.
Constante. Indica un único objeto. Es un término deun dominio.
Función. Representan transformaciones del dominio.
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Todo pueblo tiene un alcaldeHay pueblos que no tienen alcaldeTodo número par puede escribirse como suma denúmeros primosToda persona que respira, habla. Hay personasque no hablan, luego no respiran.Toda ciudad tiene un cartero quien ha sidomordido por todo perro de la ciudad.Toda estrella brilla, la luna no brilla, luego la lunano es estrella.
Formalizar
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Formalizaciones...
Todo pueblo tiene un alcalde.∀ x {pueblo(x) → ∃ y alcalde(y,x)}Hay pueblos que no tienen alcalde.∃ x { pueblo(x) → ¬∃ y alcalde(y,x)}Toda estrella brilla, la luna no brilla, luego laluna no es estrella.∀ x{( [estrella(x) → brilla(x)] ∧ ¬ brilla(luna)) ⇒¬ estrella(luna)}
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Todo sistema es dinámico, el computador no esdinámico luego el computador no es sistema.Todo predicado tiene sujeto, no todo sujeto tieneatributos luego hay términos que no son predicadosHay conocimiento verdadero, todo conocimiento esincierto luego hay incertidumbre verdadera.Hay expertos en ecología, también en cosmología oen sociología luego toda ciencia tiene expertos.Todo alimento nutre, hay alimentos calóricos, hayalimentos vitamínicos luego las calorías y vitaminasnutren.
Formalizar
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¿Cuál es la frase?
∀ x {empleado(x) → ∃ y { amigo(x,y) ∧ mujer(y)}∃ y {amigo(y) ∨ enemigo(y)→ ∀ x [hombre(x) ∃ zamigos(z,x) ∧ ∃ w enemigos(w,x)]}∀ x {ave(x) → [ vuela(x) ∨ corre(x) ∨pone(x,huevos) ] ∧ [doméstico(x) ∨ rapaz(x) }∀ z ∃ w { animal(z) → [piensa(z,w) ∨ razona(z,w) ]∧ [ come(z,a) ∨ bebe(z,b) ]}[amigo(j,p) ∧ amigo(j,m) ∧ amigo(m,s)] ∨[ama(j,r) ∧ ama(m,c) ∧ ama(s,t)]
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Juan es un gran amigo. Todos son amigos deJuan. María es amiga de Juan y ama a Pedro.Teresa es la esposa de Carlos pero es amiga deJuan.La leche es un alimento, la guanábana es unafruta, el pescado es alimento proteínico, laespinaca es una hortaliza alimento que a pocosles gusta, la naranja es una fruta ácida, las frutasson alimentos.
Formalizar(Construir los predicados)
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La inteligencia artificial es la disciplina que estudiael desarrollo de mecanismos que permiten pensar,razonar, actuar al computador. Es una disciplinanueva. Tiene relaciones con la filosofía, la sicología,la robótica, la neurología, la lingüística. Es la quedetermina componentes que debe tener un sistemapara tomar decisiones autónomamente.
Formalizar(Construir los predicados)
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Formalizar el conocimiento se refiere aexpresarlo en alguna estructura:Predicados, redes semánticas, marcos,árboles, guiones, tablas, …La lógica de predicados utiliza algunoslenguajes orientados a la inteligenciaartificial y enfocados al proceso derazonamiento deductivo al solucionarproblemas.
Formalizar(Construir los predicados)
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La formalización del conocimiento,además, debe proveer facilidad de uso paraextenderse en los dominios previstos o enotros similares, por tanto es necesarioconstruir fórmulas que puedan proveerexpresividad según lo entienda la persona.Estas fórmulas deben ser bien formadas.FBF
Formalizar(Construir los predicados)
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Formulas bien formadas -FBF- (WFF)
Una FBF se define como:1. Todo átomo es una formula2. Si P(q1,q2,…,qn) es predicado, entonces P(t1,t2,…,tn) esformula siendo t1,t2,…,tn términos.3. Si G(a) es formula y x es variable en el dominio– ∀ x G(x) y ∃ x G(x) son fórmulas
4. Si G(a) y H(b) son formulas también lo son: ¬H(a) ,H(a)∧ G(b), H(a)∨ G(b) , H(a)⇒ G(b) , H(a)⇔G(b).Las formulas se generan solamente por la aplicación deun número finito de veces de las reglas 1, 2, 3 y 4.
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Todo bloque encima de un bloque que se muevetambién se mueve.Todo conocimiento es verdadero en un tiempodado, pero ese conocimiento puede ser verdaderoo falso en un tiempo posterior por que hay otroconocimiento que lo transforma, lo contradice o loinvalida dependiendo de otro conocimientotambién.
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados– Formalización– Resolución– Unificación
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Formalización
Sugerencias para construir FBF.
Definir Dominio (Identificar Variables)
Considerar Constantes
Considerar Funciones
Identificar Predicados
Hacer Formula
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Existen bogotanos ricos
Existen personas que son bogotanos y ricosDominio: personas ≅ PVariable: x, y, zConstantes:Función:P: B(x) ↔ x es bogotano, R(x) ↔ x es ricoFBF: ∃ x { B(x) ∧ R(x) }
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Dominio: Bogotanos ≅ PVariable: x, y, zConstantes:Función:P: R(x) ↔ x es ricoFBF: ∃ x R(x)
Existen bogotanos ricos
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D: pueblo ≅ P; personas≅ MV: x≡ pueblo; y≡personaC:F:P: Q(z,u)↔ z es alcalde de uFBF: ∀ x ∃ y Q(y,x)
Todo pueblo tiene un alcalde
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Todo animal es de color gris
D: animalV: xC:F:P: Q1(x, a) ↔ x es de color aFBF: ∀ x Q1(x, gris) }
D: animalV: xC: a ↔ grisF:P: Q1(x, d) ↔ x es de color dFBF: ∀ x Q1(x, a) }
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Construir FBF
Todas las aves tienen alas, algunas vuelan alto yhay algunas que no vuelan.Hay alumnos que no aprenden bien, otros noentienden pero todos estudian.Todos los equipos salen a ganar pero algunospierden.Existen programas que simulan razonamiento sinembargo ninguno razona.La inteligencia artificial crea mecanismos paraque las máquinas razonen.
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Hay alumnos que no aprenden bien, otros noentienden pero todos estudian.
Todos los alumnos estudian pero hay alumnos queno aprenden bien, otros no entienden.Dominio: AlumnosVariables: x,y,zConstantes:Función:P: E(x) ↔ x estudia, A(x,a)↔ x aprende a,R(x)↔ x entiendeFBF: ∀ x {E(x) ∧ ∃ y ¬A(y, bien) ∧∃ z ¬R(z)}
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Todos los equipos salen a ganar pero algunospierden.
Dominio: EquiposVariable: x,yConstante:Función:Predicados: S(x,y)↔x sale a y;– P(x)↔x pierde
Formula: ∀ x {S(x,ganar) ∧ ∃ x P(x)}
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No son FBF
¬ f(B)
f[P(a)]
Q{g(A),[P(B)⇒ Q(C)]}
{∀ x∧∃ x}R(x)¬ (∀ x) f(a) ∨ R(x)
Se niega un predicado nouna función.
Un predicado no puede serparte de una función.
Un conectivo no puede serparte de un argumento.
La conjunción debe unirdos predicados.
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No son FBF
f(¬ b)
P(a, x, f(x,))
Q(g(¬ A),P(B)∧ Q(C))
∀ x R(x ∨ y)¬ (∀ x) P(a) ∨ g(x)
No se niega valores de unafunción o argumentos de unpredicado.
La función debe estar biendefinida.
Un conectivo no puede serparte de un argumento.
La conjunción, disyuncióno implicación debe unirsiempre dos predicados.
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Identidades lógicas
Doble negación¬ (¬P(x)) ⇔ P(x)Modus Ponens¬P(x)∨ Q(x) ⇔ P(x) ⇒ Q(x)P(x)⇒ Q(x) ⇔ ¬Q(x)⇒¬ P(x)Leyes de DeMorgan¬ (P(x)∧ Q(x)) ⇔ ¬P(x)∨¬ Q(x)¬ (P(x)∨ Q(x)) ⇔ ¬P(x)∧¬ Q(x)
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DistributivaP(x)∧ {Q(x)∨ R(x)} ⇔ {P(x)∧ Q(x)}∨ {P(x)∧ R(x)}P(x)∨ {Q(x)∧ R(x)} ⇔ P(x)∨ Q(x)}∧ {P(x)∨ R(x)}ConmutativaP(x) ∧ Q(x) ⇔ Q(x) ∧ P(x)P(x)∨ Q(x) ⇔ Q(x) ∨ P(x)AsociativaP(x)∨ {Q(x)∨ R(x)} ⇔ {P(x)∨ Q(x)}∨ R(x)P(x)∧ {Q(x)∧ R(x)} ⇔ {P(x)∧ Q(x)} ∧ R(x)
Identidades lógicas
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Otras equivalencias
¬∃ xP(x) ↔ ∀ x¬P(x)¬∀ xP(x) ↔ ∃ x¬P(x)∀ xP(x) ↔ ∀ yP(y)∃ xP(x) ↔ ∃ yP(y)
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Construir FBF
Todo programa de computador realiza una función,hay programas que son rutinas de otro, lo cual asímismo no realizan una función.Todo perro muerde, pero perro que ladra no muerde,Fido ladra luego Fido no muerde.Toda tarea o trabajo requiere tiempo, Jorge no gastotiempo al trabajo, luego Jorge no realizo el trabajo.Existen ciencias que se valen de otras ciencias parasoportar los conceptos planteados pero todas tienensus propios conceptos.
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La ciencia de la complejidad es muy joven. Se valede varias ciencias para establecer conceptos y reglassimples que permitan estudiar los sistemascomplejos que no basan su comportamiento porecuaciones lineales o diferenciales especiales como: elcaos, fractales, la cosmología, la sicología, losalgoritmos genéticos o teoría de la evolución, ...
Construir FBF
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Construir FBF
Los alumnos de algún curso de IA no entiendenque tan provechosa puede ser la asignatura para eldesarrollo de la carrera profesional en un futuro.Algunos creen que es un tema adicional, otroscreen que solo interesa pasar. Algunos realizan lostrabajos con esmero, otros simplemente tomandonotas de un lado y otro sin concatenarlas. Algunosplantearon un buen trabajo final, otros esperaron aque les dieran el trabajo. Algunos ya tienen eltrabajo final, otros no han empezado.
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados– Formalización– Resolución– Unificación
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Resolución
Una fbf padre se le aplica resolución para hallarcláusulas.Una cláusula es una fbf que sólo poseedisyunciones de predicados simples (el predicadosolo o la negación de alguno).Toda fbf puede ser convertida a cláusulas.
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Proceso de resolución
1. Eliminar implicaciones (implica, entonces).– P(x)⇒ Q(x) ⇔ ¬P(x)∨ Q(x)
2. Reducir el campo de acción de la negación.– Negación sólo a predicados simples
3. Estandarizar variables.– Identificar dominio de variables (cada cuantificador
con su propia variable)
4. Eliminar cuantificadores existenciales.– ∀ z∃ w P(z,w) ↔ ∀ zP(z, g(z)) función de Skolem
5. Convertir a forma prefija -FNP-.
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Proceso de resolución
6. Forma normal conjuntiva -FNC-.– Conjunciones (distributiva)
7. Eliminar cuantificadores universales.– Toda variable está acotada, ya está el dominio claro.
8. Crear cláusulas.– Separarlas (cambiar ∧ por ,)
9. Normalizar variables.– Renombrar variables para que cada cláusula tenga las
propias.
10. Reducir cláusulas o eliminar las no válidas.
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Ejemplos
a. ∀ x[P(x)→{∀ y [P(y)→P(f(x,y))]∧¬∀ y[Q(x,y)→P(y)]}]b. ∀ x{P(x)→ ¬∃ y[ [Q(x,y)→R(y)]∨¬ [R(x)→Q(x,y)]]}c. ∀ x[ ∃ y { P(x,y)→ ¬∃ y [ [Q(x,y)→R(x,y)] ∨ ¬∃ y[R(x,y)→Q(x,y)] ] } ]d. ∀ x{[R(x)→∀ y [P(y)→Q(x)]]∧¬∃ z[Q(x)→P(z)]}e. ∀ w{P(w)→ ¬∃ y[ [R(w,y)→P(y)]∨¬∃ z[Q(w)→R(w,z)]]}f. ∀ u[ ∃ w { P(u)→S(w)}∨ ¬∃ y [ [Q(y)→R(u)] ∨ ¬∃ y[R(y)→Q(u)] ] ]g. ∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
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∀ x[P(x)→{∀ y P(y)→P(f(x,y))]∧¬∀ y[Q(x,y)→P(y)]}]
1. Eliminar implicaciones∀ x[P(x)→{∀ y [P(y)→P(f(x,y))]∧¬∀ y[Q(x,y)→P(y)]}]
– ∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧¬∀ y[¬Q(x,y)∨ P(y)]}]
2. Reducir campo de acción de la negación∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ ¬ ∀ y[¬Q(x,y)∨ P(y)]}]
– ∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ ∃ y¬ [¬Q(x,y)∨ P(y)]}]– ∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧∃ y [Q(x,y)∧¬ P(y)]}]
3. Estandarizar variables∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧∃ y [Q(x,y)∧¬ P(y)]}]
– ∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧∃ w [Q(x,w)∧¬ P(w)]}]
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4. Eliminar cuantificadores existenciales∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ ∃ w [Q(x,w)∧¬ P(w)]}]
– ∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ [Q(x,g(x))∧¬ P(g(x))]}]
5. Convertir a forma prefija∀ x[¬P(x)∨ {∀ y [¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ [Q(x,g(x))∧¬ P(g(x))]}]
– ∀ x ∀ y[¬P(x)∨ {[¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ [Q(x,g(x))∧¬ P(g(x))]}]
6. Forma normal conjuntiva∀ x ∀ y[¬P(x)∨ {[¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ [Q(x,g(x))∧¬ P(g(x))]}]
– ∀ x ∀ y[¬P(x)∨ {[¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧ [Q(x,g(x))∧¬ P(g(x))]}]– ∀ x ∀ y{ [¬P(x)∨¬ P(y)∨ P(f(x,y))] ∧ [¬P(x)∨ Q(x,g(x))] ∧
[¬P(x)∨¬ P(g(x))] ] }
∀ x[P(x)→{∀ y P(y)→P(f(x,y))]∧¬∀ y[Q(x,y)→P(y)]}]
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7. Eliminar cuantificadores universales[¬P(x)∨¬ P(y)∨ P(f(x,y))] ∧ [¬P(x)∨ Q(x,g(x))] ∧[¬P(x)∨¬ P(g(x))] ]8. Crear Cláusulas¬P(x)∨¬ P(y)∨ P(f(x,y)) ,
– ¬P(x)∨ Q(x,g(x)) ,– ¬P(x)∨¬ P(g(x)).
9. Normalizar Variables¬P(x)∨¬ P(y)∨ P(f(x,y)) , ¬P(w)∨ Q(w,g(w)) , ¬P(z)∨¬ P(g(z))
10. ¬P(x)∨ P(f(x,y)), ¬P(w)∨ Q(w,g(w)), ¬P(g(z)).
∀ x[P(x)→{∀ y P(y)→P(f(x,y))]∧¬∀ y[Q(x,y)→P(y)]}]
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∀ x[¬P(x)→{∀ y[P(y) ∨ P(f(x,y))]∧¬∃ y[Q(x)→P(y)]}]¬∃ x{Q(x)→ ∀ y[¬ [Q(y)→R(x)]∨¬ [R(y)→Q(x)]]}∀ x[∃ y{P(y)→ ¬∃ z[[Q(z)→R(z,y)]∨¬∃ y[R(x,y)→Q(x)]]}]¬∃ x{[R(x)→ ∃ y[P(y)→Q(x)]]∧¬∃ z[Q(z)→P(x)]}∀ v{P(v)→ ¬∀ y[[R(v,y)→P(v)]∨¬∀ z[Q(z)→R(v,z)]]}∀ u[∃ x{P(u)→S(x)}∨¬∃ y[[Q(y)→R(u)]∨∃ y[R(y)→Q(u)]]]∀ x{∃ y[R(x)→[P(y)→Q(x)]]∧ {¬∀ y[Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(x)→R(z)]}}∀ y{∃ z[P(y)→S(z)]∧ ∃ z¬ [Q(y)→S(z)]∧ ∃ z[¬P(z)→Q(u)]}
Ejercicios
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HistoriaLógica ProposicionalLógica de Predicados– Formalización– Resolución– Unificación
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El proceso sigue ...
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Formalizar(Construir los predicados)
Juan es un gran amigo. Todos son amigos de Juan.María es amiga de Juan y ama a Pedro. Teresa es laesposa de Carlos pero es amiga de Juan.
amigo(Juan, grande) ∧ ∀ x alumno(x) amigo(x, Juan)∧ amiga( María, Juan) ∧ ama(María, Pedro) ∧esposa(Teresa, Carlos) ∧ amiga(Teresa, Juan).
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alimento(leche) ∧ fruta(guanabana) ∧alimento(pescado, proteínico) ∧ hortaliza(espinaca)∧ alimento(hortaliza) ∧ gusta(hortaliza, poco) ∧fruta(naranja, ácida) ∧ alimento(fruta)
La leche es un alimento, la guanabana es una fruta, elpescado es alimento proteínico, la espinaca es unahortaliza alimento que a pocos les gusta, la naranjaes una fruta ácida, las frutas son alimentos.
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∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
1. Eliminar implicaciones∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y) →Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x) → P(y)]∨ ∀ z[P(z)→ R(x)]}}
– ∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {¬∃ y[Q(x) ∨ P(y)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨R(x)]}}
2. Reducir campo de acción de la negación∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {¬∃ y[Q(x) ∨ P(y)]∨∀ z[¬P(z) ∨ R(x)]}}
– ∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ y ¬ [Q(x) ∨ P(y)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨R(x)]}}
– ∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ y [¬ Q(x)∧¬ P(y)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨R(x)]}}
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3. Estandarizar variables∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ y [¬ Q(x)∧¬P(y)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨ R(x)]}}– ∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ w[¬
Q(x)∧¬ P(w)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨ R(x)]}}4. Eliminar cuantificadores existenciales∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ w[¬ Q(x)∧¬P(w)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨ R(x)]}}
∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
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5. Convertir a forma prefija∀ x{∀ y[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {∀ w[¬ Q(x)∧¬P(w)]∨ ∀ z[¬P(z) ∨ R(x)]}}– ∀ x∀ y∀ w∀ z[¬R(x)∨ [¬ P(y) ∨ Q(x)]]∧ {[¬ Q(x)∧¬
P(w)]∨ [¬P(z) ∨ R(x)]}6. Forma normal conjuntiva∀ x∀ y∀ w∀ z[¬R(x)∨ [¬P(y)∨ Q(x)]]∧{[¬Q(x)∧ ¬P(w)]∨ [¬P(z) ∨ R(x)]}– ∀ x∀ y∀ w∀ z[¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)]∧ [¬Q(x)∨ ¬P(z)∨ R(x)]
∧ [¬ P(w)∨ ¬P(z)∨ R(x)]
∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
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7. Eliminar cuantificadores universales∀ x∀ y∀ w∀ z[¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)]∧ [¬Q(x)∨¬ P(z)∨R(x)] ∧ [¬ P(w)∨¬ P(z)∨ R(x)]– [¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)]∧ [¬Q(x)∨¬ P(z)∨ R(x)] ∧
[¬P(w)∨¬ P(z)∨ R(x)]8. Crear cláusulas[¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)] , [¬Q(x)∨¬ P(z)∨ R(x)] ,[¬P(w)∨¬ P(z)∨ R(x)]
∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
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9. Normalizar variables¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)– ¬Q(u)∨¬ P(z)∨ R(u)– ¬P(w)∨¬ P(v)∨ R(s)
10.¬R(x)∨¬ P(y)∨ Q(x)– ¬Q(u)∨¬ P(z)∨ R(u)– ¬P(w)∨ R(s)
∀ x{∀ y[R(x)→ [P(y)→Q(x)]]∧ {¬∃ y[¬Q(x)→P(y)]∨∀ z[P(z)→R(x)]}}
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∀ x[P(x)→¬{∀ y[¬P(y)∨ P(f(x,y))]∧∃ y¬ [Q(x)→P(y)]}]¬∃ y{Q(y)→ ∀ z[ [¬Q(y)→R(z)]∧ ¬ [R(z)→Q(y)]]}∀ z∃ x{P(x,z)→∃ y{[Q(y)→R(z,x)]∨∃ y[R(y,z)→Q(y)]}}¬∃ x{[R(x)→ ∃ y{P(y)∧ Q(x)}]→[Q(x)∧¬∃ z[Q(z)→P(x)]]}∀ v¬ {P(v)→∀ y[[R(v,y)→P(v)]∨∀ z[Q(z)→R(v,z)]]}∀ u[∃ y(P(u)→S(y))∨∃ y¬ {[Q(y)→R(u)]∨∃ y[R(y)→Q(u)]}]∀ x∃ y{[R(x)→[P(y)→Q(x)]]∨ [¬∀ y[Q(x)→[P(y)→Q(y)]]]∨∀ y[P(x)→R(y)]}∀ y{¬ [P(y)→S(y)]∧ ¬ ([Q(y)→S(y)]∨ [¬P(y)→Q(y)])}
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Realizar fbf de:
Los poetas son locos, unos más locos que otros.Todas las aves tienen alas, algunas ponen hueva, algunas hacensus nidos.Existen mamíferos de sangre caliente, algunos corren, algunosponen huevos, algunos nada.No es cierto que todos los estudiantes escriban, algunos noleen, algunos son locos, todos van a la escuela.No existen libros tontos, no existen tontos con libros, luego lostontos no tienen libros.No existen tigres de bengala, tampoco liebres de tahli, nipalomas de Sharp, luego todos los animales son reales.
