Interferenz von Wellenpaketen in periodischen Strukturen€¦ · Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Interferenz von Wellenpaketen in periodischen Strukturen behandelt

Institut fur Theoretische Physik

Fakultat Mathematik und NaturwissenschaftenTechnische Universitat Dresden

Interferenz von Wellenpaketen inperiodischen Strukturen

Diplomarbeit

zur Erlangung des akademischen Grades

Diplom-Physiker

vorgelegt von

Olaf Uhdengeboren am 30. Marz 1982 in Hamburg

Dresden 2008

Eingereicht am 04. November 2008

1. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Jan-Michael Rost

2. Gutachter: Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Frank Großmann

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird die Interferenz von Wellenpaketen in periodischenStrukturen behandelt. Der erste Teil befasst sich mit der Analogie zwischen der periodi-schen Bewegung im Kastenpotential und der in einem Laserfeld, das aus zeitlich periodi-schen δ-Kicks mit alternierendem Vorzeichen besteht. Wahrend sich in der klassischenMechanik eine Aquivalenz der Bewegungsgleichungen beider Modelle ergibt, offenbarteine quantenmechanische Behandlung Unterschiede. Diese Ungleichheit kann anhand derZeitentwicklungsoperatoren und zugehorigen Propagatoren erklart werden. Die zusatzli-che Einfuhrung eines Attosekundenpulszuges zum Kick-Feld nahert die beiden Modelleeinander an, ihr Wert liegt jedoch in der Entstehung einer Filterstruktur im Impulsraum.Diese Struktur taucht auch im zweiten Teil dieser Arbeit auf, in dem wir die Photoab-sorption von Atomen unter der Wirkung eines kombinierten Laserfeldes aus infraroter(IR) monochromatischer Welle und Attosekundenpulszug modellieren. Die berechneteWahrscheinlichkeitsdichte besteht hauptsachlich aus zwei Faktoren, wovon einer die be-reits erwahnte Filterstruktur ist. Der andere Beitrag reprasentiert die Beschleunigung derElektronen aufgrund des IR-Feldes. Weiterhin wird die Ionisationswahrscheinlichkeit inAbhangigkeit von der Phase der Attosekundenpulse zum IR-Feld untersucht. Es tretenOszillationen mit Maxima und Minima auf, deren Positionen wir voraussagen und erfolg-reich mit aktuellen experimentellen Ergebnissen [1] vergleichen.

Abstract

This work deals with wave packet interference in periodic structures. In the first partwe study the analogy between the periodic motion in the square well potential and theone induced by a laser field which consists of time-periodic δ-kicks with alternatingsigns. Whereas in classical mechanics both models lead to the same equations of motion,a quantum treatment reveals differences. This discrepancy can be explained by investiga-ting the time evolution operators and the corresponding propagators. The addition of anattosecond laser pulse train (APT) on top of the kick-field contributes to converge the twomodels to some extent. Moreover, it creates a filter structure in momentum space whichwill also emerge in the second part of this work. There we model the photoabsorption ofan atom in the presence of a combined laser field of a monochromatic infrared (IR) waveand an APT. The probability density consists of two main contributions: one is the alreadymentioned filter structure and the other contains the acceleration of the electrons due tothe IR-field. We study the ionization probability and its dependence on the phase of theAPT with respect to the IR-field. We predict the positions of minima and maxima andsuccessfully compare them with recent experimental results [1].

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Vergleich von Kastenpotential und zeitlichen Kicks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Herleitung der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Klassik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Vergleich der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Erweiterung des Kick-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Wellenpaket-Interferenz im Infrarot-Laserfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Photoabsorptionsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Analytische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Ionisationswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Ein Attosekundenpuls pro Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Zwei Attosekundenpulse pro Periode . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Vergleich von Theorie und Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Anhang A Zeitentwicklungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Anhang B Zeitabhangige Storungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.1 Schrodingerbild und Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.2 Storungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Anhang C Stationare Phasennaherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1 Einleitung

Ein hochaktuelles Gebiet der Physik ist die Interaktion von ultrakurzen Laserpulsenmit Atomen und insbesondere deren Elektronen. Wenn die Laserpulse kurzer als eineFemtosekunde (1 fs = 10−15 s) sind und somit die Attosekundenzeitskala (1 as = 10−18 s)erreichen, spricht man von Attosekundenphysik. Die kurzesten zur Zeit realisierbaren La-serpulse haben eine Pulslange von ungefahr 80 as [2]. Die ersten Attosekundenpulse wur-den im Jahr 2001 erzeugt mit einer Dauer von ca. 650 as [3] bzw. im Pulszug mit einerDauer von 250 as [4]. Damit wurde der Bereich der Attosekundenphysik begrundet. Dietypische Zeitskala atomarer Vorgange ist die atomare Einheit der Zeit, welche 24.2 asbetragt [5]. So liegt die Periodendauer eines Elektrons im Grundzustand des Wasserstof-fatoms bei 152 as [6]. Ein ahnlicher Durchbruch war das Erreichen der Femtosekunden-pulse, da molekulare Vorgange auf der Zeitskala von Femtosekunden ablaufen. Wahrendes dadurch moglich war, die molekulare Dynamik besser zu verstehen, erhofft man sichdurch die Attosekundenpulse den atomaren Vorgangen besser auf den Grund gehen zukonnen [7].

Eine weitere Argumentation, die die Bedeutung der Attosekundenphysik unterstreicht,ist folgende: Eine, die Physiker seit Entwicklung der Quantenmechanik interessierendeFragestellung, betrifft den Zusammenhang von klassischer Mechanik und Quantenme-chanik. Es gibt Vorgange, bei denen die klassische Beschreibung ausreicht und folglichmit der quantenmechanischen zusammenfallen muss. Andererseits kann die Quantenme-chanik Resultate erklaren, die klassisch nicht zu verstehen sind. Dies beruht auf der In-terferenz von quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsamplituden. Bei einer Messungwird jedoch immer eine Realisierung einer Wahrscheinlichkeit – und somit ein klassi-sches Teilchen – beobachtet. Durch eine kontinuierliche Observation wird folglich einquantenmechanisches Teilchen dazu gebracht, sich klassisch zu verhalten. Dies ist jedochnicht exakt moglich, da zwischen zwei diskreten Momenten immer Zeit vergeht. Trotz-dem kann diese Zeit minimiert werden, wobei die Beobachtung mittels ultrakurzer Laser-pulse helfen kann. Die Dauer der Pulse gibt die Zeit zwischen zwei Messungen vor, da diebeiden aufeinanderfolgenden Pulse getrennt wahrgenommen werden mussen. Ist die Puls-dauer deutlich kurzer als bestimmte atomare Vorgange, so ist es moglich, das Verhaltenwahrend dieser Vorgange zu untersuchen. Zum Beispiel konnte mit entsprechend kurzenAttosekundenpulsen ein Elektron wahrend seiner Umlaufbahn um den Atomkern beob-achtet werden. Dadurch wurde die klassische Vorstellung von planetenahnlichen Bahneneiner Prufung unterzogen. Solche kurzen Laserpulsen sind zwar zur heutigen Zeit noch

10 1 Einleitung

Abbildung 1.1: Das Infrarot-Feld F(t) ∼ sin(ωt + ϕ) mit den uberlagerten Attosekunden-pulsen. Die Phase ϕ bestimmt die Postition der as-Pulse im IR-Feld. Wir werden den Fallvon einem as-Puls pro Periode des IR-Feldes (nur blaue Pulse) und zwei as-Pulsen proPeriode (blaue und grune Pulse) betrachten.

nicht realisierbar, trotzdem ist durch Betreten des Bereichs der Attosekundenpulse dasmogliche Verstandnis atomarer Vorgange auf eine neue Stufe gestellt worden. So konnteim Jahr 2002 erstmals mit Hilfe isolierter Attosekundenpulse ein atomarer Prozess – dieIonisation eines Auger-Elektrons – zeitlich aufgelost werden [8]. Zumindest prinzipiellsollte es moglich sein, immer genauer in das Atom zu schauen.

Diese Arbeit beinhaltet zwei Komponenten, die zum Bereich der Attosekundenphysikgezahlt werden konnen. Die erste ist etwas allgemeiner und kann auch in anderen Gebie-ten angesiedelt werden. Wir nehmen die zeitlich periodische Struktur von Laserfeldernzum Anlass, eine Analogie zu einem raumlich periodischen System zu untersuchen. Die-se Struktur liefert das Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden, das in der Formulie-rung von Max Born [9] als periodische Uberlagerung von freien Bewegungen dargestelltwerden kann. Insbesondere zu dem oben erwahnten Gedanken des Zusammenhangs vonQuantenmechanik und klassischer Physik wird diese Untersuchung einen Beitrag leisten.Wir konstruieren ein zeitlich periodisches System, das einem Laserfeld ahnelt, und zei-gen die klassische Aquivalenz zum Kastenpotential. In der Quantenmechanik geht dieUbertragbarkeit der Periodizitaten dagegen verloren. Auch mit Hilfe eines zusatzlichenLaserpulszuges konnen die Modelle nur bedingt in Einklang gebracht werden, es entstehtjedoch eine neue interessante Struktur im Impulsraum. Mehr soll an dieser Stelle jedochnicht vorweg genommen werden, die genaue Behandlung dieses Problems findet sichim nachsten Kapitel. Im zweiten Abschnitt dieser Arbeit entwickeln wir ein Modell furfolgende physikalische Situation: Ein Attosekundenpulszug, dem zusatzlich ein Infrarot-Laserfeld uberlagert ist (siehe Abb. 1.1), wird auf ein atomares Gas geschossen. Dabei istes moglich, die Phasenbeziehung der as-Pulse zum IR-Feld einzustellen. Dadurch spurendie atomaren Elektronen, nach der Anregung durch einen as-Puls, phasenabhangig unter-schiedliche Starken des IR-Feldes. Wir werden die Wirkung dieses kombinierten Laser-

11

Abbildung 1.2: Resultate des erwahnten Experimentes [10]. Links ist die Ionisationswahr-scheinlichkeit in Abhangigkeit von der Phase ϕ ≡ ωτ (bzw. der zeitlichen Verschiebungτ) der as-Pulse zum IR-Feld aufgetragen. Fur Helium (blau) sieht man Oszillationen mitMaxima bei ωτ = −π/2, π/2, 3π/2. Die Punkte sind die experimentellen Daten, wahrenddie durchgezogenen Linien auf ebenfalls durchgefuhrten numerischen Rechnungen zurLosung der zeitabhangigen Schrodingergleichung basieren. Fur Argon (rot) ist die Ioni-sationswahrscheinlichkeit konstant. Rechts sind die Photoelektronenspektra in Abhangig-keit von der Energie der Photoelektronen und der Phase der as-Pulse zum IR-Feld darge-stellt, oben fur Argon, unten fur Helium.

feldes auf die Haupteffekte reduzieren und so eine analytische Beschreibung entwickeln.Diese kann auf verschiedene experimentelle Situationen angewandt werden. Wir werdenunser Modell an einem Experiment [1, 10] testen, das auch als Inspiration und Leitfa-den bei der Entwicklung gedient hat. Hier werden Helium- und Argonatome dem ebenbeschriebenen Laserfeld ausgesetzt, wobei das Experiment mit jeder moglichen Phasen-beziehung der as-Pulse zum IR-Feld durchgefuhrt wird. Nach Abklingen des Laserfeldeswird jeweils die Ionenausbeute gemessen und somit als Funktion der Phase erhalten. Da-bei treten im Fall der Helium-Atome Oszillationen auf, wahrend bei den Argon-Atomeneine konstante Ionisation beobachtet wird (Abb. 1.2). Zu erwahnen ist, dass die Atto-sekundenpulse im ultravioletten Bereich des Spektrums liegen und eine Energie haben,die in der Nahe der Ionisationsschwelle von Helium und damit deutlich uber der vonArgon liegt. Durch Anwendung unseres Modells versuchen wir, die beobachteten Photo-elektronenspektren (Abb. 1.2) zu reproduzieren und eine Erklarung fur die Ionisations-wahrscheinlichkeiten bei Helium und Argon zu liefern.

Zum Schluss dieser Arbeit werden wir die gewonnenen Ergebnisse und Erkenntnissezusammenfassen, und einen Ausblick auf mogliche Verbesserungen unseres Modells undzusatzliche numerische wie experimentelle Tests geben.

2 Vergleich von Kastenpotentialund zeitlichen Kicks

In diesem Kapitel wird zuerst eine Motivation fur die theoretische Untersuchung derAnalogie zwischen dem Kastenpotential und dem Laserfeld gegeben. Danach werden so-wohl die klassischen Bewegungsgleichungen als auch die quantenmechanische Zeitent-wicklung in unseren Modellsystemen hergeleitet. Diese werden verglichen und eventuellauftretende Unterschiede erklart und interpretiert.

2.1 Motivation

Wie bereits in der Einleitung erwahnt, werden wir in diesem Kapitel einen moglichenZusammenhang zwischen der freien Bewegung eines Elektrons in einem Laserfeld unddem Kastenpotential untersuchen. Diese Idee wird nach einer vereinfachenden Annahmezur Beschreibung des Laserfelds plausibel. Um die Bewegung eines Elektrons in einemLaserfeld zu modellieren, kann die Wirkung des Feldes auf die Zeitpunkte der Maximabzw. Minima konzentriert werden. Zwischen den Extrema wird die Bewegung als freiangenommen. Dadurch entsteht ein modellhaftes Laserfeld aus zeitlichen Kicks, die anden Stellen der Maxima bzw. Minima agieren und eine Impulsumkehr bewirken. DiesesModell vernachlassigt die langsam stattfindende Impulsumkehr im Laserfeld und ersetztsie durch eine abrupte, da der ganze Beschleunigungsvorgang auf die Umkehrpunkte re-duziert wird. Das Elektron ist aber in der gleichen Region gefangen und andert seineBewegungsrichtung an den gleichen Punkten. Die Bewegung ist nicht so weich, sondernzackiger, hat aber wichtige qualitative Gemeinsamkeiten (siehe Abb. 2.1).

Dieses Modell vergleichen wir mit dem Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden.Ein Teilchen in dem Kasten bewegt sich zwischen den beiden Wanden mit konstanter Ge-schwindigkeit hin und her, wobei es immer dann einen elastischen Stoß erfahrt, wenn esauf eine Wand trifft. Dieser Stoß bewirkt eine Impulsumkehr, d.h. das Teilchen bewegtsich danach mit der gleichen Geschwindigkeit in die andere Richtung. Dieselbe Bewe-gung kann man sich aber auch ohne Wande vorstellen, indem das Teilchen immer danneine Impulsumkehr durch einen Kick erfahrt, wenn es an einer Position ist, an der vor-her eine Wand war. Wenn die Kickstarke genau so stark ist, dass sie eine Impulsumkehrbewirkt, wird sich das Teilchen nach dem Kick mit der gleichen Geschwindigkeit in dieandere Richtung bewegen. Erreicht es die Position der anderen imaginaren Wand, erfolgt

14 2 Vergleich von Kastenpotential und zeitlichen Kicks

Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der Bewegung im Kick-Feld (schwarze Linie).Die Kicks sind durch schwarze Pfeile angedeutet. Zum Vergleich ist auch die Bewegungin einem sinusformigen Laserfeld (rote gestrichelte Linie) gezeigt.

wieder ein Kick, nur diesmal in die andere Richtung. Durch weitere Kicks bleibt dasTeilchen immer zwischen den beiden imaginaren Wanden und verhalt sich genauso wieein Teilchen im unendlich hohen Kastenpotential. Realisiert werden konnen diese Kicksdurch unser idealisiertes Laserfeld. Es ist ein elektrisches Feld, das anstelle der ublichenSinusfunktion aus einer Summe von zeitlichen Deltafunktionen mit alternierendem Vor-zeichen besteht. Ein geladenes Teilchen interagiert mit diesem Feld auf die gewunschteWeise. Wie wir noch zeigen werden, sind die klassischen Bewegungsgleichungen fur dasKick-Feld und das Kastenpotential identisch. Auf diese Weise gelangen wir zu einer Ana-logie zwischen Kastenpotential und Laserfeld. Zwar untersuchen wir ein vereinfachtesKick-Feld, qualitative Ergebnisse sollten sich aber auch auf ein reales Laserfeld ubertra-gen lassen.

Aufgrund dieser klassischen Entsprechung erscheint es sinnvoll zu untersuchen, obauch quantenmechanisch ein Zusammenhang besteht und damit die Erkenntnisse uberdas quantenmechanische Kastenpotential bei der Beschreibung von Elektronen in Laser-feldern hilfreich sein konnen. Bei der Zeitentwicklung der quantenmechanischen Wellen-funktion im Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden entstehen durch Interferenzef-fekte die sogenannten Quantenteppiche, deren Eigenschaften bereits sehr gut untersuchtund verstanden sind [11, 12, 13, 14]. Erweist sich in der quantenmechanischen Beschrei-bung eine Analogie zum Kick-Feld, kann auf eine Vielzahl von theoretischen Erkenntnis-sen zuruckgegriffen werden. Unabhangig davon ist durch die Reduzierung des Laserfelds

2.2 Herleitung der Gleichungen 15

zum Kick-Feld eine Frage von alleinstehendem Interesse entstanden. Wir wissen um dieklassische Aquivalenz der beiden Modelle und sind daher an dem quantenmechanischenVergleich interessiert. Treten Unterschiede auf, und falls dies der Fall ist, worin sind siebegrundet?

2.2 Herleitung der Gleichungen

2.2.1 Klassik

Zur Berechnung der klassischen Trajektorien bedienen wir uns des Hamiltonformalismus,da er die Hamiltonfunktion benutzt, die analog zum Hamiltonoperator in der Quanten-mechanik ist. Ebenso gut konnte auch mit den Newton’schen Bewegungsgleichungengearbeitet werden. Zur Erinnerung sei hier kurz der Ausgangspunkt der hamiltonschenBeschreibung ins Gedachtnis gerufen.

Die Hamiltonfunktion in einer Dimension ist definiert durch

H(p, x, t) =p2

2m+ V(x, t), (2.1)

und die hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten wie folgt

dxdt

=∂H∂p

, (2.2)

dpdt

= −∂H∂x

. (2.3)

Durch Integration dieser Gleichungen erhalt man die Bewegungsgleichung x(t) [15].

Zeitliche Kicks

Die Hamiltonfunktion lautet fur den Fall eines geladenen Teilchens der Ladung q in einemelektrischen Kick-Feld der Starke F0 und Frequenz ω

H(t) =p2

2m+ qxF(t)

=p2

2m+ qxF0

N∑

n=1

(−1)n+1δ(ω(t − tn)), (2.4)

wobei die δ-Kicks mit alternierendem Vorzeichen auftreten, da die Stoße abwechselnd inentgegengesetzer Richtung wirken mussen. Außerdem arbeiten wir mit der sogenanntenDipolnaherung, um das elektrische Feld als ortsunabhangig betrachten zu konnen [16].Aus den Hamiltongleichungen (2.2), (2.3) folgt mit t > tN und den Anfangsbedingungen


p(t0) = p0 = mv0 und x(t0) = 0:

dxdt

=pm,

dpdt

= −qF0

N∑

n=1

(−1)n+1δ(ω(t − tn))

⇒ p(t) = mv0 − qF0

ω

N∑

n=1

(−1)n+1Θ(ω(t − tn))

⇒ x(t) = v0(t − t0) − qF0

mω

N∑

n=1

(−1)n+1(t − tn). (2.5)

Werden die elektrische Feldstarke F0 und die Frequenz ω so gewahlt, dass qF0/mω = 2v0,dann wird bei jedem Kick eine Impulsumkehr bewirkt (vgl. (2.9)) und (2.5) wird zu

x(t) = v0(t − t0) − 2v0

N∑

n=1

(−1)n+1(t − tn). (2.6)

Kastenpotential

Das Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden ist definiert duch

V(x) =

0, fur 0 ≤ x ≤ L∞, sonst

, (2.7)

wobei L der Abstand der Wande ist. Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassensich fur dieses Potential nicht geschlossen anwenden, da es sich bei den Potentialwandenum nicht-holonome Zwangsbedingungen handelt [17]. Es kann also nur die Bewegungzwischen den Wanden mit den hamiltonschen Bewegungsgleichungen berechnet werden,wahrend das Verhalten an den Stellen x = 0 und x = L gesondert betrachtet werden muss.

Zwischen den Wanden ist das Potential Null und es liegt daher eine freie Bewegungvor. Die Hamiltongleichungen ergeben mit den Anfangsbedingungen p(t0) = p0 = mv0

und x(t0) = 0:

dxdt

=pm,

dpdt

= 0

⇒ p(t) = p0

⇒ x(t) = v0(t − t0). (2.8)

Das Teilchen bewegt sich nun auf die Wand bei x = L zu. Wenn es zu t = t1 auf die Wandtrifft, wird der Impuls umgekehrt, d.h. das Teilchen bewegt sich danach mit p(t) = −p0.


Die Losung der Hamiltongleichungen muss also fur t ≥ t1 mit den Anfangsbedingungenp(t1) = −p0 = −mv0 und x(t1) = v0(t1 − t0) = L erfolgen

p(t) = −p0

⇒ x(t) = −v0(t − t1) + L= −v0(t − t1) + v0(t1 − t0)= v0(t − t0) − 2v0(t − t1)

= v0(t − t0) − 2v0

1∑

n=1

(−1)n+1(t − tn). (2.9)

Trifft es danach zu t = t2 auf die Wand bei x = 0, wird der Impuls wieder umgekehrt unddas Teilchen bewegt sich mit +p0 in die andere Richtung. Fur t ≥ t2 ergibt sich:

p(t) = +p0

⇒ x(t) = v0(t − t2)= L − L + v0(t − t2)= v0(t1 − t0) − v0(t2 − t1) + v0(t − t2)

= v0(t − t0) − 2v0

2∑

n=1

(−1)n+1(t − tn). (2.10)

Dieses Vorgehen wird bis t > tN fur N Reflexionen fortgesetzt. Zusammenfassend folgt

x(t) = v0(t − t0) − 2v0

N∑

n=1

(−1)n+1(t − tn). (2.11)

Dieses Resultat stimmt mit (2.6) uberein, welches die Trajektorie im elektrischen Kick-Feld beschreibt. Folglich ergeben in der klassischen Mechanik – mit den richtigen Para-meterwerten fur F0 und ω – beide Modelle die gleichen Trajektorien.

2.2.2 Quantenmechanik

In diesem Abschnitt leiten wir die Zeitentwicklungsoperatoren fur beide Modelle her. Indiesen steckt die gesamte zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Zustandes, sodass anhand der Zeitentwicklungsoperatoren ein Vergleich der Dynamik innerhalb der bei-den Modelle durchgefuhrt werden kann. Quantenmechanische Operatoren werden durchein Dach uber dem Buchstaben gekennzeichnet. Der Zeitentwicklungsoperator ist defi-niert durch

|ψ(t)〉 = U(t, t0)|ψ(t0)〉, (2.12)

und lasst sich berechnen uber

U(t, t0) = T e− i~

t∫t0

H(τ)dτ, (2.13)


wobei T der Zeitordnungsoperator ist. Er stellt sicher, dass H(τ) zu verschiedenen Zeitenin der richtigen Zeitreihenfolge benutzt wird. Kommutiert der Hamiltonoperator zu ver-schiedenen Zeiten, d.h. [H(t1), H(t2)] = 0, dann ist der Zeitordnungsoperator identisch mitdem Identitatsoperator und kann in (2.13) weggelassen werden. Eine genaue Herleitungder obigen Formeln findet sich in Anhang A.

Zeitliche Kicks

Der Hamiltonoperator lautet analog zur Hamiltonfunktion im klassischen Fall

H(t) =p2

2m+ qxF(t)

=p2

2m+ qxF0

N∑

n=1

(−1)n+1δ(ω(t − tn)). (2.14)

Um den Zeitentwicklungsoperator zu berechnen bedienen wir uns eines Tricks, indem wirdie Zeitentwicklung von t0 bis zum Endzeitpunkt t in mehrere Teilabschnitte zerlegen:

U(t, t0) = U(t, tN) ∗ U(tN , tN−1) ∗ . . . ∗ U(t1, t0)

= U(t, tN)N∏

n=1

U(tn, tn−1). (2.15)

Das Produkt ist dabei so zu verstehen, dass der erste Faktor (n = 1) ganz rechts steht undfolgende Faktoren von links multipliziert werden.

Jetzt spalten wir unsere Zeitentwicklung auf in eine Zeitentwicklung zwischen denKicks, d.h. von einer Zeit t+

n = tn + ε kurz nach einem Kick bis zu t−n+1 = tn+1 − ε kurz vorden nachsten Kick, und eine Zeitentwicklung zu den Kicks, d.h. von kurz davor (t−n ) biskurz danach (t+

n ). Dann lassen wir die Zeitspanne ε gegen Null gehen und erhalten

U(t, t0) = limε→0

U(t, t+N)

N∏

n=1

U(t+n , t−n ) ∗ U(t−n , t

+n−1)

= limε→0

T e− i~

t∫t+N

p22m dτ N∏

n=1

T e− i~

t+n∫t−n

p22m +qxF0(−1)n+1δ(ω(t−tn))dτ

∗ T e− i~

t−n∫t+n−1

p22m dτ

= limε→0

T e−i~

p22m (t−tN−ε)

N∏

n=1

T e−i~

p22m 2ε− i

~

qF0ω x(−1)n+1 ∗ T e−

i~

p22m (tn−ε−tn−1−ε)

=: OpN

N∏

n=1

Oxn ∗ Op

n−1, (2.16)


mit den Operatoren

Opn := exp

− i~

p2

2m(tn+1 − tn)

, (2.17)

Oxn := exp

i~

qF0

ωx(−1)n

. (2.18)

Die Zeitordnungsoperatoren konnen weggelassen werden, weil die Hamiltonoperatoreninnerhalb der einzelnen Zeitabschnitte zu verschiedenen Zeiten kommutieren. Sie hangennur noch von einem Operator (x bzw. p) ab. Wir betrachten im Folgenden den Fall ei-ner geraden Anzahl von Kicks, d.h. N = 2M. Um das Produkt in (2.16) zu eliminieren,betrachten wir immer zwei aufeinanderfolgende Kicks. Fur die ersten beiden Kicks folgt

U2(t2, t0) = Ox2Op

1Ox1Op

0 . (2.19)

Dieser Ausdruck lasst sich mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel [18] umformen.Sie lautet:

expA

expB

= exp

A + B +12

[A, B] +1

12([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + . . .

(2.20)

Die hoheren Ordnungen von verschachtelten Kommutatoren, die hier durch drei Punkt-chen angedeutet sind, benotigen wir nicht, da sie im Fall von A = x und B = p verschwin-den. Mit dieser Formel fassen wir jetzt die ersten drei Exponentialfunktionen in (2.19)zusammen. Dabei gehen wir schrittweise vor, indem wir zuerst die ersten beiden Exponen-tialfunktionen vereinigen und dann die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel (2.20) erneutanwenden um die neu erhaltene Exponentialfunktion mit der dritten zusammenzufuhren.Wir erhalten somit

U2(t2, t0) = exp− i~

p2

2m(t2 − t1) +

i~

qF0

mωp(t2 − t1) − i

~

(qF0)2

2mω2 (t2 − t1)

Op0 . (2.21)

Der x-Operator ist nicht mehr vorhanden und es kommutieren alle Terme, weshalb dieAnwendung der Zassenhaus-Formel [18],

expA + B

= exp

A

expB

exp−1

2[A, B]

∗ exp

13

[B, [A, B]] +16

[A, [A, B]]. . . , (2.22)

einfach ist, und nur den Term ubriglasst, der mit expA expB korrespondiert. Die Sum-me im Exponenten kann also einfach in ein Produkt von Exponentialfunktionen umge-wandelt werden. Damit ergibt sich

U2(t2, t0) = exp− i~

p2

2m(t2 − t0)

exp

i~

qF0

mωp(t2 − t1)

exp

− i~

2Up(t2 − t1), (2.23)


wobei wir noch das ponderomotive Potential Up = (qF0)2/4mω2 eingefuhrt haben, dasdie mittlere kinetische Energie des Elektrons ist.

Wenden wir diese ganze Prozedur fur alle Kick-Paare an, wird aus (2.16)

U(t, t0) = = exp− i~

p2

2m(t − tN)

N2∏

n=1

exp− i~

p2

2m(t2n − t2n−2)

∗ exp i~

qF0

mωp(t2n − t2n−1)

exp

− i~

2Up(t2n − t2n−1). (2.24)

Jetzt tritt nur noch der Impulsoperator auf, weshalb alle Exponentialfunktionen vertau-schen und die Exponenten beliebig zusammengefasst werden konnen. Es ist praktisch,die Periode zwischen zwei aufeinander folgenden Kicks, Tk := tn − tn−1, einzufuhren. MitN/2 = M ergibt sich letztendlich

UN(t, t0) = exp− i~

p2

2m(t − t0)

exp

i~

qF0

mωMTk p

exp

− i~

UpNTk

. (2.25)

Hierbei tritt der Translationsoperator

Ta := exp i~

ap, (2.26)

fur a ≡ qF0/mω auf. Er bewirkt eine Verschiebung der Wellenfunktion im Ortsraum umdie Strecke a. Diese Struktur wird auch bei der Formulierung der Zeitentwicklung imKastenpotential eine Rolle spielen.

Kastenpotential

Der Zeitentwicklungsoperator fur das Kastenpotential lasst sich nicht direkt aus (2.13) her-leiten, da wegen der Unendlichkeit von V(x) das Integral

∫ t

t0H(t)dt nicht definiert ist. Um

doch zu einem Ausdruck zu gelangen, orientieren wir uns an [11] und ubertragen die Me-thode von Born [9, 19] zur klassischen Beschreibung des Kastenpotentials auf die Quan-tenmechanik. Dadurch erhalten wir solche Anfangsbedingungen fur die Wellenfunktion,dass danach nur noch eine freie Propagation notig ist, um die Entwicklung im Kastenpo-tential darzustellen. Die notigen Anfangsbedingungen drucken wir durch Operatoren aus,die auf die Anfangswellenfunktion wirken. Dies ermoglicht die Berechnung eines Opera-tors, der die Zeitentwicklung einer beliebigen Anfangswellenfunktion im Kastenpotentialbeschreibt und somit als Zeitentwicklungsoperator des Kastenpotentials fungiert. Da erjedoch nicht unitar sein wird, bezeichnen wir ihn als Quasi-Zeitentwicklungsoperator. Erenthalt jedoch die volle Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustandes und lasstsich daher mit dem oben gewonnenen Zeitentwicklungsoperator fur das Kick-Modell(2.25) vergleichen.

Die Idee von Born ist, die Bewegung zwischen zwei Wanden als Uberlagerung unend-lich vieler freier Bewegungen im gesamten Raum auszudrucken, dabei aber nur die Regi-on zwischen den beiden Wanden als relevant anzusehen. In dieser Beschreibung wird das


Abbildung 2.2: Uberlagerung von freien Bewegungen. Die dicke Linie ist die Bewegungim Kasten zwischen den Wanden bei 0 und L. Die anderen Linien sind die links- undrechtslaufenden Bewegungen die im Abstand 2L voneinander starten.

Teilchen nicht an der Wand reflektiert, sondern fliegt aus der relevanten Region heraus.Es wird aber in dem Moment des Austretens durch ein identisches Teilchen ersetzt, das indie relevante Region eintritt, siehe Abb. (2.2). Da die Teilchen ununterscheidbar sind, istdiese Beschreibung aquivalent zur Reflexion an der Wand. Born formuliert die klassischeBewegung mit Wahrscheinlichkeitsdichten f (x, v) im Phasenraum (x, v). Die Bewegungim Kastenpotential lasst sich durch folgende Gleichung beschreiben:

f (x, v) =

∞∑

k=−∞φr(2kL + x − x0, v − v0) + φl(2kL − x − x0,−v − v0). (2.27)

Hierbei sind φr(x, v) und φl(−x,−v) Wahrscheinlichkeitsdichten im Phasenraum, die einerechts (+v) bzw. links (−v) laufende freie Bewegung darstellen. Weil die Wahrscheinlich-keitsverteilung im Kastenpotential bei der Reflexion an einer Wand gespiegelt wird, mussdies auch in einer der freien Bewegungen zum Ausdruck kommen. Mit der Konventioneiner positiven Anfangsgeschwindigkeit im Kasten, wird daher φl(x,−v) zu φl(−x,−v).


Durch die unendliche 2L-Periodizitat wird weiterhin gewahrleistet, dass immer eine Tra-jektorie in den Bereich des Kastens eintritt, sobald eine innere Trajektorie austritt.

Wird dieses Konzept in die Quantenmechanik ubertragen, mussen die Wahrschein-lichkeitsdichten durch quantenmechanische Wellenfunktionen ersetzt werden. Die freieZeitentwicklung wird durch die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators fur ein frei-es Teilchen gewahrleistet. Zu beachten ist lediglich noch, dass keine symmetrische Su-perposition der links- und rechtslaufenden Bewegung wie in (2.27) vorgenommen wird,sondern eine antisymmetrische. Diese erfullt erst die quantenmechanischen Randbedin-gungen ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0 im Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden. DieAnfangswellenfunktion lautet demnach (vgl. [11])

ψ(x, t0) =

∞∑

k=−∞

[ϕ0(x + 2kL) − ϕ0(−x + 2kL)

]. (2.28)

Hier ist ϕ0(x) ein beliebiger Anfangszustand. Wenn die Zeitentwicklung angewendet wirdergibt sich

ψ(x, t) = e−i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞

[ϕ0(x + 2kL) − ϕ0(−x + 2kL)

]. (2.29)

Jetzt wird die Anfangsbedingung (2.28) mittels Operatoren ausgedruckt. Die Formulie-rung der Verschiebung um 2kL in x kann mit Hilfe des Translationsoperators (2.26) er-reicht werden. Damit wird (2.28) zu

ψ(x, t0) =

∞∑

k=−∞e

i~2kLp [

ϕ0(x) − ϕ0(−x)]. (2.30)

Mittels des Antisymmetrisierungsoperators

Aψ(x) := ψ(x) − ψ(−x), (2.31)

konnen wir (2.30) kompakter schreiben als

ψ(x, t0) =

∞∑

k=−∞e

i~2kLpAϕ0(x). (2.32)

Eingesetzt in (2.29), erhalten wir somit

ψ(x, t) = e−i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~2kLpAϕ0(x), (2.33)

woraus wir den Quasi-Zeitentwicklungsoperator des Kastenpotentials ablesen konnen

˜UL(t, t0) = e−i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~ 2kLpA. (2.34)

2.3 Vergleich der Ergebnisse 23

2.3 Vergleich der Ergebnisse

Im vorigen Abschnitt haben wir den Zeitentwicklungsoperator fur das Kick-Modell (2.25)und den Quasi-Zeitentwicklungsoperator fur das Kastenpotential mit unendlich hohenWanden (2.34) hergeleitet, sowie die den jeweiligen Modellen entsprechenden klassi-schen Trajektorien (2.6) bzw. (2.11). Wie man leicht sieht, sind die quantenmechanischenErgebnisse nicht identisch, was bedeutet, dass die zeitliche Entwicklung des quantenme-chanischen Zustandes in beiden Modellen unterschiedlich ist. Dies steht im Gegensatzzur klassischen Mechanik, in der beide Modelle die gleichen Trajektorien liefern. Es stelltsich die Frage, woher der Unterschied in der Quantenmechanik kommt und welche Par-allelen trotzdem bestehen, bzw. wie im Ubergang von der Quantenmechanik zur KlassikUN (2.25) aus ˜UL (2.34) folgt. Dazu werden wir die jeweiligen Propagatoren berechnenund in der Diskussion, inspiriert von der Herleitung des Propagators fur das Kastenpoten-tial von Goodman [20], eine Erklarung fur den Ubergang von der Quantenmechanik zurKlassik geben.

Der Propagator ist definiert als das Matrixelement des Zeitentwicklungsoperators be-zuglich zweier Ortseigenzustande [21]

K(xe, xa; t, t0) := 〈xe|U(t, t0)|xa〉. (2.35)

Er beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude um in einer gewissen Zeit von einemAnfangsort xa zu einem Endort xe zu gelangen. Diese Eigenschaft zeigt sich auch in derFormulierung der Zeitentwicklung eines Zustandes in Ortsdarstellung

ψ(xe, t) = 〈xe|U(t, t0)|ψ(t0)〉

=

∞∫

−∞

〈xe|U(t, t0)|xa〉〈xa|ψ(t0)〉dxa

=

∞∫

−∞

K(xe, xa; t, t0)ψ(xa, t0)dxa. (2.36)

Diese Beziehung verdeutlicht, wie der Propagator fur Berechnungen der Zeitentwicklungvon quantenmechanischen Zustanden eingesetzt werden kann. Wenn allerdings kein Aus-druck fur den Zeitentwicklungsoperator eines Systems zur Verfugung steht, wird eineandere Methode als (2.35) benotigt, um den Propagator zu berechnen. Der Ansatz hierfur,


das sogenannte Pfadintegral, geht auf Feynman [22] zuruck und lautet

K(xe, xa; t, t0) =

x(t)=xe∫

x(t0)=xa

ei~S [x]D[x], (2.37)

wobei D[x] bedeutet, dass uber alle moglichen Pfade von xa nach xe integriert wird. S [x]ist die aus der klassischen Mechanik bekannte Wirkung des Pfades [17]. Eine bedeutendeErrungenschaft der Formulierung des Propagators mit Hilfe des Feynman’schen Pfadin-tegrales ist, dass dies eine neue Interpretation des Propagators und damit insgesamt derzeitlichen Entwicklung eines quantenmechanischen Systems liefert. Der Propagator be-trachtet demnach alle klassisch moglichen Wege, um von einem Ort zu einem anderenzu gelangen, und gewichtet sie dabei mit einer komplexen Phase, die von der Wirkungdes jeweiligen Pfades abhangt. Wahrend in der klassischen Mechanik aber nur ein Wegrealisiert wird, sind quantenmechanische Interferenzeffekte durch die unendliche Super-position aller Pfade moglich. Eine ausfuhrlichere Beschreibung und Interpretation dieserMethode findet sich zum Beispiel in [23, 24]. Goodman [20] benutzt das Pfadintegral, umzu einem Ausdruck fur den Propagator des Kastenpotentials zu gelangen, der mit unseremErgebnis, welches durch Berechnung mittels (2.35) leicht zu erhalten ist, ubereinstimmt.Allerdings sagt der Weg von Goodman mehr uber die Interpretation und Bedeutung dereinzelnen Terme aus, so dass wir den Unterschied des Kick-Modells mit dem Kastenpo-tetial erklaren konnen.

Damit kommen wir nach diesem Einschub uber Propagatoren wieder auf den Ver-gleich unser beiden Zeitentwicklungsoperatoren (2.25) und (2.34) zuruck. Zur Erinnerungseien die Ergebnisse hier noch einmal rekapituliert

UN(t, t0) = e−i~

p22m (t−t0)e

i~

qF0mω MTk pe−

i~UpNTk ,

˜UL(t, t0) = e−i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~2kLpA.

Obwohl die Ausdrucke verschieden sind, fallen auch Gemeinsamkeiten auf. So ist dererste Term bei beiden Operatoren die freie Zeitentwicklung. Viel interessanter ist aber,dass beide Zeitentwicklungsoperatoren einen Translationsoperator beinhalten. Beim Kas-tenpotential sind es jedoch unendlich viele, von denen einer mit dem des Kick-Modellskorrespondiert, wenn die Identifizierung qF0/mω = 2v0 = 2L/Tk vorgenommen wird.Beim Kick-Modell ist also nur eine Wellenfunktion vorhanden, die um eine bestimmteStrecke verschoben wird. Beim Kastenpotential wird dagegen eine unendliche Superposi-tion von Wellenfunktionen impliziert, die alle um unterschiedliche Strecken verschobenwerden. Dies ist auch zu erwarten, da genau so der Zeitentwicklungsoperator nach der Me-thode von Born konstruiert wurde. Um noch ein tieferes Verstandnis fur die Bedeutungdieses Unterschiedes zu bekommen, betrachten wir im Folgenden die Propagatoren.

2.3 Vergleich der Ergebnisse 25

Zuerst berechnen wir den Propagator fur das Kastenpotential nach (2.35):

KL(xe, xa; t, t0) = 〈xe| ˜UL(t, t0)|xa〉

=1

2π~

∞∫

−∞

〈xe|e− i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~2kLp|p〉〈p|A|xa〉dp

=1

2π~

∞∫

−∞

ei~ xe pe−

i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~ 2kLp(e−

i~ xa p − e

i~ xa p)dp

=−iπ~

∞∫

−∞

ei~ xe p sin(

p~

xa)e−i~

p22m (t−t0)

∞∑

k=−∞e

i~2kLpdp. (2.38)

Dieses Ergebnis stimmt mit einem Zwischenergebnis von Goodman [20] uberein. Es lasstsich zeigen, dass dies der richtige Propagator fur das Kastenpotential ist, wofur wir al-lerdings auf Goodman verweisen. Wichtig fur uns ist, dass Goodman dieses Zwischen-ergebnis auf eine andere Weise erhalt. Er wahlt, wie bereits erwahnt, den Ansatz uberdas Feynman’sche Pfadintegral. Dazu geht er von dem Propagator fur die freie Bewegungaus, welcher schon uber alle Pfade fur freie Bewegung summiert. Allerdings betrachtet erdamit nur die Trajektorienklasse, die xa und xe ohne Reflexion an den Wanden verbindet.Um jedoch uber alle moglichen Pfade zu summieren, mussen auch die anderen Trajektori-enklassen in Betracht gezogen werden, die uber eine bestimmte Anzahl von Reflexionenvon xa nach xe gelangen. Es gibt einen Pfad, der ohne Reflexion die beiden Punkte verbin-det, aber auch einen, der z.B. viermal an den Wanden reflektiert wird. Durch Betrachtendieser Moglichkeiten erhalt Goodman letztendlich in dem Propagator genau die unend-liche Summe, die auch in (2.38) auftritt. Wahrend wir diese Summe jedoch uber eineSuperposition von Wellenfunktionen erhalten, entsteht sie bei Goodman aus den vielenMoglichkeiten von Reflexionen.

Betrachten wir nun den Propagator fur unser Kick-Modell. Da hier die Anzahl derReflexionen durch die Anzahl der Stoße festgelegt ist, durfte, angesichts der Herleitungvon Goodman, die unendliche Summe aus (2.38) im Kick-Propagator nicht enthalten sein.Ansonsten findet aber die gleiche klassische Bewegung wie im Kastenpotential statt, wes-halb sich die Propagatoren bis auf die unendliche Summe nicht wesentlich voneinanderunterscheiden sollten. Es ist vielmehr zu erwarten, dass ein Term der Summe im Kick-Propagator enthalten ist. Die der Anzahl der Kicks entsprechene Zahl von Reflexionenmuss ebenso beim Kastenpotential als Moglichkeit enthalten sein. Berechnen wir also denPropagator des Kick-Modells mit Hilfe unseres Zeitentwicklungsoperators (2.25) nach


(2.35):

KN(xe, xa; t, t0) = 〈xe|UN(t, t0)|xa〉

=1

2π~

∞∫

−∞

〈xe|e− i~

p22m (t−t0)e

i~

qF0mω MTk pe−

i~UpNTk |p〉〈p|xa〉dp

=1

2π~

∞∫

−∞

ei~ xe pe−

i~

p22m (t−t0)e

i~

qF0mω MTk pe−

i~UpNTke−

i~ xa pdp

=1

2π~e−

i~UpNTk

∞∫

−∞

ei~ xe pe−

i~ xa pe−

i~

p22m (t−t0)e

i~

qF0mω MTk pdp. (2.39)

Bei einem Vergleich mit dem Ergebnis des Propagators fur das Kastenpotential (2.38),fallt sofort auf, dass unsere Vorhersagen, die wir anhand von Goodmans Herleitung getrof-fen haben, zutreffend sind. Die unendliche Summe ist bis auf einen Term verschwunden.Und der ubrig gebliebene Term entspricht dem einen, durch die Anzahl der Kicks festge-legten, Pfad, wenn die Parameter so gewahlt werden, dass qF0/mω = 2v0 und v0Tk = Lgilt. Bis auf diesen Unterschied sind beide Propagatoren aber qualitativ gleich. Der Kick-Propagator enthalt einen anderen globalen Phasenfaktor als der Propagator des Kastenpo-tentials und die zusatzliche Anfangsbedingung der antisymmetrischen Wellenfunktion istnicht enthalten. Daher ist die eine Exponentialfunktion nicht zu einer Sinusfunktion umge-wandelt worden. Diese Unterschiede sind jedoch irrelevant, da ein globaler Phasenfaktorwegfallt, wenn das Betragsquadrat berechnet wird, und die antisymmetrische Wellenfunk-tion nur eine Anfangsbedingung ist, die ebenfalls fur das Kick-Modell eingefuhrt werdenkann.

2.4 Diskussion

Die eben beschriebenen Interpretationen aus Goodmans Herleitung erklaren, warum dasKick-Modell ein vom Kastenpotential abweichendes Resultat liefert. Im Kick-Modellwird die Wand immer nur ganz kurz aufgebaut, sie besteht also nur zu bestimmten Zeit-punkten. Deshalb gibt es nicht unendlich viele Moglichkeiten bei der Anzahl der Re-flexionen, und damit unendlich viele klassische Trajektorienklassen, um von einem Ortzu einem anderen zu gelangen. Es gibt nur die eine, die durch die Anzahl der Kicks vor-gegeben wird. Diese Trajektorie ist analog zu einer Trajektorie des Kastenpotentials. Diesspiegelt sich in den Translationsoperatoren bei den beiden Zeitentwicklungsoperatorenwieder und fuhrt zum Verschwinden der Interferenzeffekte bei den Kicks, so dass sichkein Quantenteppich bilden kann. Ein weiterer Grund fur die Unterschiede ist, dass beimKastenpotential alle Impulse an den Wanden elastisch reflektiert werden, wahrend es beiden Kicks nur mit einer Impulskomponente geschieht. Hieraus wird ersichtlich, wie derUbergang zur klassischen Mechanik ablauft. In der klassischen Beschreibung hat ein Teil-chen einen wohldefinierten Ort und Impuls. Daher ist es unerheblich, ob nur einer oder

2.5 Erweiterung des Kick-Modells 27

alle Impulse elastisch reflektiert werden. Erst durch die Quantenmechanik, die Impuls-und Ortsverteilungen impliziert, wird der Unterschied bemerkbar. Mit anderen Wortenist in der Heisenberg’schen Unscharferelation der quantenmechanische Unterschied derbeiden Modelle begrundet.

Dies muss als interessantes Zwischenergebnis gewertet werden, das aufzeigt, wes-halb bei den beiden Modellen ein Unterschied in der Quantenmechanik auftritt, der imklassischen Fall nicht zu beobachten ist. Es bedeutet allerdings, dass das Analogon desKastenpotentials zum Kick-Feld (welches als Idealisierung des Infrarotfeldes angenom-men wurde) nicht zur Beschreibung von quantenmechanischen Vorgangen herangezogenwerden kann. Allerdings werden wir noch eine Erweiterung anschließen, mit der die Ahn-lichkeit beider Modelle vergroßert wird und die letztendlich zu einer Struktur fuhrt, dieuns auch im nachsten Kapitel begegnen wird.

2.5 Erweiterung des Kick-Modells

Ein Gedanke, der sich bei der Betrachtung der beiden Zeitentwicklungsoperatoren (2.25),(2.34) aufdrangt, ist die Moglichkeit einer Superposition von Wellenpaketen auch im Falldes Kick-Feldes. Hier musste sie kunstlich durch ein zusatzliches physikalisches Elementeingefuhrt werden, welches somit eine Summe in (2.25) erzeugen wurde. In Anlehnungan das nachste Kapitel kann ein Zug von ultrakurzen Laserpulsen, die eine Ionisation vonElektronen und damit die Erzeugung neuer Wellenpakete bewirken, ein Beispiel sein umdie gewunschte Superposition von Wellenpaketen zu erreichen. Der Einfachheit halbernehmen wir an, dass bei jedem zweiten Kick (entspricht einmal pro Periode des realenLaserfeldes) ein neues Wellenpaket erzeugt wird. Diesen Vorgang integrieren wir in un-ser Modell durch eine einfache Superposition von Wellenpaketen, ohne den Wechselwir-kungsprozess genau zu betrachten. Die Wellenpakete seien alle zum Zeitpunkt t0 iden-tisch, wobei sie sich bis zum Zeitpunkt der Erzeugung in einem Eigenzustand eines Ha-miltonoperators (z.B. in einem atomaren Grundzustand der Energie ε0) befinden und sichdaher gemaß exp−iε0(t − t0)/~ zeitlich entwickeln. Mit M = N/2 und t0 = 0 wird (2.25)zu

UN,M(t, 0) =

M∑

k=0

exp− i~

p2

2m(t − 2(M − k)Tk)

exp

− i~ε02(M − k)Tk)

∗ exp i~

qF0

mωkTk p

exp

− i~

2UpkTk

. (2.40)

Mit der Abkurzung

Ckick :=2Tk

~

[p2

2m− qF0

2mωp + Up − ε0

](2.41)

erhalten wir

UN,M(t, 0) = exp− i~

[p2

2m(t − NTk) + ε0NTk

] M∑

k=0

exp−ikCkick

. (2.42)


Die Summe entspricht einer geometrischen Reihe und kann direkt ausgewertet werden[25]:

M∑

k=0

exp−ikCkick

=

M∑

k=0

[exp

−iCkick

]k=

1 − e−iCkick(M+1)

1 − e−iCkick. (2.43)

Damit ergibt sich fur (2.42)

UN,M(t, 0) = exp− i~

[p2


]1 − e−iCkick(M+1)

1 − e−iCkick. (2.44)

Wollen wir eine ahnliche Vereinfachung bei dem Zeitentwicklungsoperator des Kastenpo-tentials vornehmen, mussen wir die Summe

∞∑

k=−∞e

i~2kLp =

∞∑

k=0

ei~2kLp +

∞∑

k=0

e−i~2kLp − 1 (2.45)

betrachten. Sie enthalt die unendliche geometrische Reihe, welche nur konvergiert, wenn∣∣∣∣e± i

~2Lp∣∣∣∣ < 1 (2.46)

gilt [25]. Dies ist hier jedoch nicht fur alle Werte des Impulsoperators gegeben. Aller-dings benotigen wir keine Superposition von unendlich vielen Wellenfunktionen, wennwir einen Zeitpunkt betrachten, zu dem nur S Wellenfunktionen den Bereich zwischenx = 0 und x = L erreicht haben. Dann unterscheidet sich die Zeitentwicklung mit

˜UL,S (t, t0) = e−i~

p22m (t−t0)

S∑

k=−S

ei~2kLpA (2.47)

nicht von der exakten mit S → ∞ (2.34). Daher konnen wir nun die Vereinfachung mitHilfe der geometrischen Reihe benutzen. Mit

Cbox :=2L~

p (2.48)

erhalten wir

˜UL,S (t, t0) = e−i~

p22m (t−t0)

1 − ei(S +1)Cbox

1 − eiCbox+

1 − e−i(S +1)Cbox

1 − e−iCbox− 1

A. (2.49)

Im Vergleich mit (2.44) zeigt sich eine ahnliche Struktur, jedoch bleibt ein wichtiger Un-terschied. Die freie Zeitentwicklung, die jeweils durch den entsprechenden exponentiellenVorfaktor reprasentiert wird, startet beim Kastenpotential bei t = t0, wahrend sie im Fallder Kicks erst bei t = NTk beginnt. Dafur ist hier ein Term proportional zu p2 in Ckick

enthalten, welcher in Cbox nicht vorkommt. Dieser Unterschied wurzelt in der zeitlich ver-setzten Superposition beim Kick-Fall. Wahrend im Kastenpotential alle Wellenfunktionen

2.5 Erweiterung des Kick-Modells 29

die gleiche Zeitentwicklung erfahren, besteht diese im anderen Fall aus zwei verschiede-nen vor und nach der Erzeugung. Eine Aquivalenz der beiden Modellsysteme ist daherauch durch die zusatzliche Superposition von Wellenpaketen nicht zu erreichen. Die ein-zige Moglichkeit ware ε0 ≡ p2/2m, also eine freie Zeitentwicklung der Wellenfunktionauch im Reservoir. Dies ist jedoch durch kein physikalisches System zu erreichen, so dasswir diese Moglichkeit nicht weiter beachten. Trotzdem werden wir uns der Struktur (2.44)noch etwas genauer widmen, da sie im nachsten Kapitel wieder zum Vorschein kommenwird.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum. Durch Anwendung desneuen Kick-Zeitentwicklungsoperators (2.44) entsteht

∣∣∣ΨN,M(p, t)∣∣∣2 =

∣∣∣〈p|UN,M(t, 0)|Ψ(0)〉∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∣exp− i~

[p2


]1 − e−iCkick(M+1)

1 − e−iCkick〈p|Ψ(0)〉

∣∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∣1 − e−iCkick(M+1)

1 − e−iCkick

∣∣∣∣∣∣2 ∣∣∣Ψ(p, 0)

∣∣∣2

=sin(Ckick(M + 1)/2)2

sin(Ckick/2)2

∣∣∣Ψ(p, 0)∣∣∣2 . (2.50)

Der Vorfaktor wird uns im nachsten Kapitel wieder begegnen, wo wir ihn eingehenderdiskutieren werden. Er hat das Aussehen eines Kamms, dessen Zahne mit hoheren Impul-sen enger zusammenrucken (siehe Abb. 2.3). Damit wirkt er als Impulsfilter, wobei beihohen Energien aufgrund der Engzahnigkeit die Filterwirkung geringer ist als bei niedri-gen. Als letzte Bemerkung sei noch erwahnt, dass fur die Wahrscheinlichkeitsdichte imImpulsraum auch beim Kastenpotential eine ahnliche Struktur wie (2.50) entsteht, wobeider Kamm dann allerdings nicht engzahniger wird, sondern alle Zacken den gleichen Ab-stand voneinander haben. Dies ist in der linearen Abhangigkeit von p in Cbox begrundet.Wahrend sich durch die Superposition von Wellenfunktionen im Kick-Modell eine inter-essante Struktur im Impulsraum ergibt, wartet die Entwicklung im Kastenpotential nur imOrtsraum mit interessanten Ergebnissen auf.


−2 −1 0 1 20

5

10

15

20

25

Impuls p [10−24 kg m/s]

Impu

lsfil

ter

Abbildung 2.3: Die dimensionslose Große des Impulsfilters aus Glg. (2.50) ist inAbhangigkeit vom Impuls fur M = 4 aufgetragen. Der Kamm ist nicht bei p = 0 zen-triert, was an dem zweiten Term in Ckick (2.41) liegt, der proportional zu p ist. Gut zusehen ist der geringere Abstand der Zacken bei hoheren Impulsen (vgl. auch Abb. 3.2 imnachsten Kapitel). Parameterwerte: Tk = 1.33·10−15 s (⇔Wellenlange des zum Kick-Feldkorrespondierenden Laserfeldes λ = 800 nm), ε0 = 24 eV, F0 = 1010 V/m.

3 Wellenpaket-Interferenz imInfrarot-Laserfeld

In diesem Kapitel wird die zu beschreibende physikalische Situation expliziert undanhand dessen eine Beschreibung unseres Modells geliefert. Dieses wird analytisch aus-gearbeitet, um die Resultate an dem schon in der Einleitung erwahnten Experiment zutesten. Abschließend folgt eine Diskussion des Modells, der Vorgehensweise und der In-terpretation der Ergebnisse.

3.1 Einfuhrung

Wie bereits erwahnt, wollen wir die Wirkung eines Laserfeldes modellieren, das aus ei-nem Attosekundenpulszug besteht, dem zusatzlich das, den Pulszug erzeugende, Infrarot-Laserfeld uberlagert ist. Dabei treten die as-Pulse in einem zeitlichen Abstand auf, der derganzen oder halben Periode des IR-Pulses entspricht (vgl. Abb. 1.1, Kap. 1). Der Phasen-unterschied ϕ der as-Pulse zum IR-Puls lasst sich variieren. Ursprunglich sei das Elektronim Grundzustand. Nun setzt zu einem bestimmten Zeitpunkt das Laserfeld ein. Durchdie as-Pulse kann das Elektron per Photoabsorption in einen angeregten Zustand angeho-ben oder direkt ionisiert werden. Dort bewegt es sich unter dem Einfluss des IR-Feldes,welches nun ebenfalls das Elektron, falls noch nicht geschehen, ionisieren kann. SpaterePulse des as-Pulszuges regen wieder Wellenpakete desselben Elektrons an, welche mitzuvor angeregten Teilen der Wellenfunktion interferieren konnen. Nach Abklingen desLaserfeldes wird die Ionisationsausbeute und das Photoelektronenspektrum in Abhangig-keit von der Phase ϕ untersucht.

Um das System analytisch beschreiben zu konnen, sind Naherungen notig. Um de-ren Validitat abschatzen zu konnen, ist es wichtig, einige Parameterwerte des zu untersu-chenden physikalischen Systems zu konkretisieren. Das IR-Laserfeld, fur das wir eine Be-schreibung entwickeln, hat eine Intensitat in der Großenordnung von I0 = O (1013 W/cm2)und eine Wellenlange von ungefahr λ = 800 nm. Dies entspricht einer Photonenenergievon ~ω = 1.55 eV. Die daraus mittels High-harmonic generation [26, 27] erzeugten as-Pulse haben eine Photonenenergie im Bereich von ~Ω := 15~ω ≈ 23 eV. Ihre Intensitatist dagegen ungefahr eine Großenordnung kleiner als die des IR-Feldes. Aufgrund derzu geringen Photonenenergie werden die Elektronen im Grundzustand nicht vom IR-Feld

32 3 Wellenpaket-Interferenz im Infrarot-Laserfeld

beeinflusst – angesichts der Großenordnung der Intensitat auch nicht per Multiphotone-nionisation [1] – und konnen somit nur durch die as-Pulse angeregt werden. TypischeEnergieabstande zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand liegenbei ≈ 10 eV [28]. Der Einfluss des IR-Feldes muss also nur fur angeregte bzw. ionisierteElektronen berucksichtigt werden. Um nun eine Beschreibungsmoglichkeit fur den Ein-fluss dieser beiden Laserfelder zu finden, ist eine Abschatzung ihrer Starke im Vergleichzum Atompotential sinnvoll. Bei der Beschreibung werden durchgehend atomare Einhei-ten benutzt, d.h. ~ = e = me = 1 au (au=atomic units) wobei e die Ladung des Elektronsund me seine Masse ist. Quantenmechanische Operatoren werden wieder durch ein Dachuber dem Buchstaben gekennzeichnet. Zudem beschranken wir uns der Einfachheit halberauf eine raumliche Dimension.

Ein physikalisches System bestehend aus Atom und Laserfeld wird in der Coulomb-Eichung (∇A(x, t) = 0) [29] durch folgenden Hamiltonoperator beschrieben [5]:

H =( p + A(x, t))2

2+ Vc(x)

=p2

2+ Vc(x) + A(x, t) p +

A2(x, t)2

, (3.1)

wobei das atomare Potential durch ein attraktives Coulombpotential Vc(x) und das La-serfeld durch das Vektorpotential A(x, t) beschrieben wird. Wir werden im weiteren Ver-lauf die Dipolnaherung [16] verwenden, womit das Vektorpotential als ortsunabhangigbetrachtet werden kann, d.h. A(x, t) → A(t). Die Bedeutung der einzelnen Terme in (3.1)ist folgende: Die ersten beiden beschreiben die Energie des Elektrons im ungestortenatomaren Potential, weshalb sie auch oft zu H0 zusammengefasst werden. Dabei stelltp2/2 den Anteil der kinetischen Energie dar. Der dritte Term beschreibt die Kopplung mitdem Laserfeld und der letzte dessen Energie. Um nun zu entscheiden, ob einzelne Ter-me vernachlassigt werden konnen, ist eine Abschatzung der Großen von Feldenergie undBindungsenergie vorzunehmen. Dafur ist es sinnvoll eine, dem elektronischen Zustandentsprechende, mittlere Bindungsenergie 〈H0〉 =: EB zu betrachten und die Feldenergieuber eine Periode T = 2π/ω zu mitteln. Mit A(t) = A0 cos(ωt) folgt

1T

T∫

0

A2(τ)2

dτ =A2

0

4=: Up. (3.2)

Diese Energie wird ponderomotives Potential Up genannt. Gilt nun Up EB, so kann dasatomare Potential vernachlassigt werden. Diese Naherung ist unter dem Namen StrongField Approximation (SFA) [30, 31] bekannt. Gilt dagegen EB Up, dann wird dieFeldenergie vernachlassigt und der Kopplungsterm A(t) p aus (3.1) mittels zeitabhangigerStorungstheorie (siehe Anhang B) behandelt.

Wenden wir diese Betrachtungen nun auf unsere physikalische Situation an. Fur dieas-Pulse gilt Uas

p = O(10−4 eV). Vergleichen wir dies mit Bindungsenergien im Grund-zustand zwischen 27.2 eV (Wasserstoff) und 15.8 eV (Argon), so wird deutlich, dass

3.1 Einfuhrung 33

hier eine storungstheoretische Behandlung angebracht ist. In hoher angeregten Zustandenist das Matrixelement der Kopplung, das von der Starke des Atompotentials abhangt, sogering, dass wir die Wirkung der as-Pulse auf bereits angeregte Elektronen komplett ver-nachlassigen. Den Einfluss des IR-Feldes berucksichtigen wir, wie bereits erwahnt, nurfur angeregte Elektronen. Fur das ponderomotive Potential ergibt sich U IR

p = O(1 eV).Bei Bindungsenergien bis EB ≈ 1 eV hat das IR-Feld einen leicht dominierenden Einflussgegenuber dem Atompotential, so dass mit der SFA gearbeitet werden kann. Bei nichtganz so hoch angeregten Zustanden liegt die Bindungsenergie jedoch deutlich uber demponderomotiven Potential. Die SFA stellt hier eine sehr grobe Naherung dar. Wir werdentrotzdem das IR-Feld generell in der SFA behandeln, um eine analytische Beschreibungzu ermoglichen. Auf mogliche Verbesserungen werden wir in der Diskussion eingehen.

Damit konnen wir mit der Modellierung beginnen. Wir behandeln die as-Pulse mittelszeitabhangiger Storungstheorie, wobei nur Elektronen im Grundzustand Photonen absor-bieren konnen. Der allgemeine Ausdruck fur den angeregten Anteil der Wellenfunktionin 1. Ordnung Storungstheorie lautet (vgl. B.14)

|Ψ(t)〉 ' −i

t∫

t0

U(t, τ)Aas(τ) pU(τ, t0)|Ψ0(t0)〉dτ, (3.3)

wobei U alle Einflusse bis auf den as-Puls enthalt und |Ψ0〉 die Wellenfunktion im Grund-zustand beschreibt. Aufgrund unser oben diskutierten Naherungen andert sich der Zeit-entwicklungsoperator aber nach der Absorption eines Photons zum Zeitpunkt τ. Es giltdaher U(t, τ) , U(τ, t0). Wahrend U(τ, t0) nur das Atompotential berucksichtigt, arbeitenwir nach der Photoabsorption mit der SFA und U(t, τ) enthalt nur noch den Einfluss desIR-Feldes (siehe Abb. 3.1). Dieser Zeitentwicklungsoperator lasst sich exakt berechnen,weil der zugehorige Hamiltonoperator HIR(t) = ( p + A(t))2/2 nur vom Impuls-Operatorabhangt. Daher gilt [HIR(t1), HIR(t2)] = 0 und es muss keine Zeitordnung berucksichtigtwerden. Mit den gangigen Abkurzungen

α(t, τ) :=

t∫

τ

A(t′)dt′ (3.4)

φA(t, τ) :=12

t∫

τ

A2(t′)dt′, (3.5)

schreibt sich U(t, τ)1 als

U(t, τ) = exp−i

∫ t

τ

HIR(t′)dt′

= exp−i

p2

2(t − τ) − ipα(t, τ) − iφA(t, τ)

. (3.6)

1Wendet man ubrigens diesen Zeitentwicklungsoperator auf einen Impulseigenzustand eikx an, erhaltman die sogenannten Volkov-Wellenfunktionen (siehe auch [34]).


Abbildung 3.1: Schematisches Energie-Zeit-Diagramm des gesamten von uns modellier-ten Prozesses. Im Grundzustand bei der Energie ε0 entwickelt sich das Elektron nur unterdem Einfluss des atomaren Potentials, bis es zur Zeit τ ein Photon der Frequenz Ω ei-nes as-Pulses absorbiert und auf das Energieniveau ε f angehoben wird. Dort spurt es nurdie Wirkung des IR-Feldes, mit welchem es Photonen austauschen kann und von dem esaufgrund des streaking-Effektes [32, 33] einen zusatzlichen Anfangsimpuls A(τ) erhalt.

Die Wirkung des Zeitentwicklungsoperators U(τ, t0) vor der Photoabsorption konnen wirberechnen, indem wir annehmen, dass sich das Elektron im Grundzustand in einem ato-maren Eigenzustand der Energie ε0 befindet. Damit folgt

U(τ, t0)|Ψ0(t0)〉 = e−iε0(τ−t0)|Ψ0(t0)〉. (3.7)

Spezifizieren wir jetzt noch die as-Pulse als

Aasn (t) = Aas

0 fn(t) cos(Ωt), (3.8)

mit einer gaußformigen Einhullenden der Form

fn(t) =1√

2πσ2t

exp−(t − tn)2

2σ2t

, (3.9)

wobei tn die Zeit des n-ten as-Pulses bezeichnet. Damit ergibt sich mit (3.3) und t0 = 0fur den, durch den n-ten as-Puls angeregten, Teil der elektronischen Wellenfunktion

|Ψn(t)〉 = −i

∞∫

−∞

exp−i

∫ t

τ

HIR(t′)dt′

Aas0 fn(τ) pe−i(ε0+Ω)τ|Ψ0〉dτ. (3.10)

Dabei haben wir die Integrationsgrenzen zur besseren Berechenbarkeit auf ±∞ gestreckt,da Anfangs- und Endzeitpunkt so gewahlt werden, dass der as-Pulszug abgeklungen ist,

3.1 Einfuhrung 35

d.h. fn(0) = fn(t) = 0,∀n. Außerdem betrachten wir aus (3.8) nur den, einer Photonenab-sorption entsprechenden, Anteil e−iΩτ der Kosinusfunktion.

Wenden wir uns jetzt dem Effekt des sukzessiven Auftretens der as-Pulse in einemPulszug zu. Der erste as-Puls ionisiert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ein Elek-tron. Diese Wahrscheinlichkeitsamplitude wird durch ein elektronisches Wellenpaket dar-gestellt (3.10), welches sich nun, da bereits angeregt, unter dem Einfluss des IR-Feldesbewegt. Wahrend des as-Pulszuges wird keine Messung vorgenommen, weshalb die quan-tenmechanische Wellenfunktion nicht zusammenbricht. Der zweite as-Puls ionisiert wie-der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit dasselbe Elektron, welches auch noch einenTeil seiner Wellenfunktion im Grundzustand hat. Es wird also ein neues elektronischesWellenpaket im IR-Feld erzeugt, dass mit dem durch den ersten as-Puls erzeugten Wellen-paket interferieren kann. Dieser Vorgang setzt sich bis zum Ende des as-Pulszuges fort,weshalb sich die Gesamtwellenfunktion schreiben lasst als

|Ψ(t)〉 =

N−1∑

n=0

|Ψn(t)〉, (3.11)

wobei wir die Zahlung der as-Pulse bei n = 0 beginnen. Die Messung der Ionisations-wahrscheinlichkeit findet erst nach Abklingen des gesamten Laserfeldes statt. Sie wirddadurch beeinflusst, wie sich die einzelnen Teile der elektronischen Wellenfunktion, dieschon durch fruhere as-Pulse ionisiert wurden, im IR-Feld verhalten haben. Durch Inter-ferenzeffekte kann die Ionisationswahrscheinlichkeit stark verandert werden. Wir werdenuns insbesondere auf eine Abhangigkeit der Ionisationswahrscheinlichkeit von der Phaseder as-Pulse zum IR-Puls konzentrieren. Im Impulsraum berechnet sie sich durch

PI =

∫ ∞

−∞|〈p|Ψ(t)〉|2 dp, (3.12)

wobei die Phasenabhangigkeit in der Wellenfunktion (3.11) steckt.Als letzte vereinfachende Annahmen seien noch anzumerken, dass das IR-Feld gut als

monochromatische ebene Welle beschrieben werden kann, obwohl es eigentlich auch einePulsform besitzt. Die Amplitude der Pulseinhullenden variiert jedoch nur gering wahrenddes as-Pulszuges, so dass sie im physikalisch relevanten Zeitraum in guter Naherung alskonstant angenommen werden kann. Außerdem werden wir die Ubergangsdipolmatrix-elemente bei der Ionisation vernachlassigen, so dass alle Ionisationen mit der gleichenWahrscheinlichkeit auftreten und unabhangig vom atomaren Grundzustand sind. DieseNaherung ist ahnlich grob wie die Vernachlassigung des Atompotentials nach der Ionisa-tion und bedarf daher noch eingehender Diskussion. Sie entspringt dem Gedanken, dieEffekte des Laserfeldes moglichst ungestort beobachten und herausfiltern zu wollen. Zu-sammenfassend lasst sich sagen, dass unser Modell den Vorgang der Wechselwirkungeines speziellen Laserfeldes mit einem Atom auf den Einfluss des Lasers reduziert, wobeidie as-Pulse und der IR-Puls getrennt und nacheinander betrachtet werden. Der Gegeben-heit des Attosekundenpulszuges wird durch eine Superpostion von Wellenpaketen Rech-nung getragen. Die Vorteile dieses Modells liegen auf der Hand. Es ist eine Beschreibung


unabhangig von der Kenntnis des Atompotentials oder der Grundzustandswellenfunkti-on moglich, wodurch die Wirkungen des Laserfeldes deutlich hervor treten und atomu-nabhangige Erkenntnisse gewonnen werden konnen. Zudem ist das Modell analytischrelativ gut zu behandeln, so dass nicht nur numerische Ergebnisse realisierbar sind.

3.2 Photoabsorptionsspektrum

Im Folgenden wird die theoretische Beschreibung unseres Modells weiter ausgefuhrt. Zieldieser Darstellung ist es, einen analytischen Ausdruck fur das Photoabsorptionsspektrum– hier die Wahrscheinlichkeitsdichte nach Abklingen des Laserfeldes – in Abhangigkeitvom Impuls und von der Phase der as-Pulse zum IR-Feld zu erhalten. Dabei betrachtenwir die beiden Falle von einem und zwei as-Pulsen pro Periode des IR-Feldes.

3.2.1 Analytische Beschreibung

1. Zeitentwicklungsoperator

Ausgehend von Gleichung (3.10) definieren wir

|Ψn(t)〉 =: Un(t) p|Ψ0〉, (3.13)

und erhalten somit einen Ausdruck fur einen Zeitentwicklungsoperator, der bis auf denImpulsoperator den gesamten Vorgang der Ionisation und der anschließenden Propagationim IR-Feld enthalt. Wir setzen noch Aas

0 = 1, da die Amplitude des as-Pulses nur bei derNormierung der Wellenfunktion eine Bedeutung hat. Diese beachten wir jedoch nicht, dawir nur am qualitativen Verlauf der Ionisationswahrscheinlichkeit interessiert sind. Damitergibt sich

Un(t) =−i√2πσ2

t

∫ ∞

−∞exp

−i

∫ t

τ

(p + A(t′))2

2dt′

exp

− (τ − tn)2

2σ2t

e−i(Ω+ε0)τ

=:−i√2πσ2

t

∫ ∞

−∞eG(τ)dτ. (3.14)

Hier haben wir die Exponentenfunktion

G(τ) = −i∫ t

τ

( p + A(t′))2

2dt′ +

−(τ − tn)2

2σ2t− iε fτ (3.15)

definiert, wobei ε f = ε0 + Ω die Anfangsenergie des Elektrons im Kontinuum ist.

3.2 Photoabsorptionsspektrum 37

2. Entwicklung um tn

Wir nehmen jetzt eine weitere Naherung vor. Und zwar ersetzen wir bei der Zeitentwick-lung nach der Ionisation den Anfangszeitpunkt τ durch den wahrscheinlichsten Anfangs-zeitpunkt. Dieser ist durch den Schwerpunkt tn der Gauß-Einhullenden (3.9) gegeben.Dadurch wird (3.15) zu

G(τ) = −i∫ t

tn

(p + A(t′))2

2dt′ +

−(τ − tn)2

2σ2t− iε fτ. (3.16)

Diese Funktion entwickeln wir bis zur 2. Ordnung in tn:

G(τ) ≈ G(tn) + G′(tn)(τ − tn) +G′′(tn)

2!(τ − tn)2, (3.17)

mit den Ausdrucken

G(tn) = −i∫ t

tn

(p + A(t′)2

2dt′ − iε f tn, (3.18)

G′(tn) = i(( p + A(tn))2

2− ε f

), (3.19)

G′′(tn) = i( p + A(tn))A′(tn) − 1σ2

t. (3.20)

Wird die Naherung fur die Exponentenfunktion (3.17) in (3.14) eingesetzt, ergibt sich

Un(t) =−ieG(tn)

√2πσ2

t

∫ ∞

−∞exp

G′(tn)(τ − tn) +

G′′(tn)2

(τ − tn)2

dτ

= − eG(tn)

√σ2

t G′′(tn)exp

G′(tn)2

2G′′(tn)

. (3.21)

3. Impulsraum

Wir werden die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum berechnen, da das Impuls- bzw.Energiespektrum der Photoelektronen auch im Experiment direkt zuganglich ist.

∣∣∣Ψ(p, t)∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣∣〈p|N−1∑

n=0

Un(t) p|Ψ0〉∣∣∣∣∣∣∣

2

, (3.22)

wobei der Zeitentwicklungsoperator nur vom Impulsoperator abhangt. Wir konnen daherdie Eigenwertgleichung

p|p〉 = p|p〉 (3.23)

benutzen, um den Impulsoperator durch den Eigenwert des Impulses zu ersetzen. Dadurchwird der Zeitentwicklungsoperator (3.21) zur Zeitentwicklungsfunktion Un(t).


4. Infrarot-Feld

Deas IR-Feld nahern wir, wie bereits erwahnt, durch eine ebene monochromatische Wellean. Wir wahlen

F(t) = F0 sin(ωt + ϕ) = −∂tA(t) (3.24)

⇒ A(t) =F0

ωcos(ωt + ϕ). (3.25)

Die Phase ϕ bestimmt die Position der as-Pulse im IR-Feld, wobei ϕ = 0 bedeutet, dassdie as-Pulse mit den Nulldurchgangen des elektrischen Feldes zusammenfallen.

5. Zwei Attosekundenpulse pro IR-Periode

Wir betrachten jetzt den Fall von zwei as-Pulsen pro Periode des IR-Feldes, d.h. die as-Pulse treten im Abstand von einer halben Periode voneinander auf. Mit tn = nT/2 = nπ/ωfolgt

A(tn) = (−1)n F0

ωcosϕ =: (−1)nAϕ, (3.26)

A′(tn) = −(−1)nF0 sinϕ =: (−1)n+1A′ϕ. (3.27)

Wir konnen zwischen geraden und ungeraden Werten von n unterscheiden und schreiben(3.19) und (3.20) als

G′± = i((p ± Aϕ)2

2− ε f

)=: iE±(p), (3.28)

G′′± = ∓i(p ± Aϕ)A′ϕ −1σ2

t, (3.29)

wobei E±(p) die Energie des Elektrons im IR-Feld, verschoben um die Anfangsenergieim Kontinuum, darstellt. Dies setzen wir in (3.21) ein und erhalten nach einigen Umfor-mungen

Un(t) = exp G(tn) χ±(p, ϕ), (3.30)

mit einem in der Energie E±(p) gaußformigen Wellenpaket

χ±(p, ϕ) =

√1 ∓ iσ2

t A′ϕ(p ± Aϕ)

σ2tσ

2±exp

−E±(p)2

2σ2±(1 ∓ iσ2

t A′ϕ(p ± Aϕ)), (3.31)

welches eine effektive Energiebreite

σ2± =

1σ2

t+ (σt(p ± Aϕ)A′ϕ)2 (3.32)


besitzt. Diese liefert zwei Beitrage: Der erste kommt direkt aus der zeitlichen Breite desas-Pulses, wogegen der zweite die Anderung des IR-Feldes wahrend des Ionisationsvor-ganges berucksichtigt. Aufgrund des streaking-Prinzips wird der Anfangsimpuls des ioni-sierten Elektrons gemaß p0 = ±√

2ε f ± Aϕ beeinflusst [32, 33]. Eine Anderung von Aϕ

wahrend der Ionisation wirkt daher auf die Energiebreite der Anfangswellenfunktion ein.Fur G(tn) (3.18) ergibt sich mit dem Vektorpotential des IR-Feldes (3.25)

G(tn) = −ip2

2(t − tn) − ipαn(t) − iφn(t) − iε f tn. (3.33)

Dabei sind

αn(t) =F0

ω2

[sin(ωt + ϕ) − (−1)n sin(ϕ)

], (3.34)

φn(t) = Upt − Up

ωnπ +

Up

2ω[sin(2ωt + 2ϕ) − sin(2ϕ)

](3.35)

gemaß (3.4) und (3.5) berechnet, wobei Up = F20/4ω

2 das ponderomotive Potential ist.Wir bestimmen jetzt nach (3.22) und (3.30) die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum.Dabei konnen alle von n unabhangigen Terme aus der Summe herausgezogen werden.Deren Absolutbetragsquadrat ergibt aufgrund von |ei...| = 1 immer den Wert Eins. Mitdem Dipolubergangsmatrixelement Mip := 〈p| p|Ψ0〉 folgt

∣∣∣Ψ(p, t)∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣∣N−1∑

n=0

exp

i(

p2

2ω+

Up − ε f

ω

)nπ + ip

F0

ω2 (−1)n sinϕχ±(p, ϕ)

∣∣∣∣∣∣∣

2

|Mip|2. (3.36)

Es fallt auf, dass, aufgrund ihrer Unabhangigkeit von n, alle zeitabhangigen Terme weg-fallen. Die Impuls-Wahrscheinlichkeitsdichte hangt somit nicht mehr von der Zeit ab. Dieparametrische Abhangigkeit von der Phase ϕ der as-Pulse zum IR-Feld ist die uns interes-sierende Eigenschaft. Dies lassen wir in unsere Notation einfließen und mit den Definitio-nen

Cp :=p2

2ω+

Up − ε f

ω, (3.37)

S ϕ :=F0

ω2 sinϕ, (3.38)

erhalten wir

∣∣∣Ψp(ϕ)∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣∣N−1∑

n=0

eiCpnπ+ip(−1)nS ϕχ±(p, ϕ)

∣∣∣∣∣∣∣

2

|Mip|2. (3.39)

Es lasst sich eine erhebliche Vereinfachung erzielen, wenn die Summe in gerade und


ungerade Werte von n aufgeteilt wird:

∣∣∣Ψp(ϕ)∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

N2 −1∑

n=0

(ei(Cp2nπ+pS ϕ)χ+(p, ϕ) + ei(Cp(2n+1)π−pS ϕ)χ−(p, ϕ)

)∣∣∣∣∣∣∣∣

2

|Mip|2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

N2 −1∑

n=0

eiCp2nπeiCpπ/2(ei(pS ϕ−Cpπ/2)χ+(p, ϕ) + e−i(pS ϕ−Cpπ/2)χ−(p, ϕ)

)∣∣∣∣∣∣∣∣

2

|Mip|2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

N2 −1∑

n=0

eiCp2nπ

∣∣∣∣∣∣∣∣

2∣∣∣ei(pS ϕ−Cpπ/2)χ+(p, ϕ) + e−i(pS ϕ−Cpπ/2)χ−(p, ϕ)

∣∣∣2 |Mip|2. (3.40)

Die Summe ist eine geometrische Reihe und kann wie im letzten Kapitel (vgl. Gln. (2.43)und (2.50)) direkt ausgewertet werden

∣∣∣∣∣∣∣∣

N2 −1∑

n=0

eiCp2nπ

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣1 − eiπNCp

1 − ei2πCp

∣∣∣∣∣∣2

=sin2( N

2 πCp)

sin2(πCp). (3.41)

Damit ergibt sich letztendlich

|Ψ2attosp (ϕ)|2 =

sin2( N2 πCp)

sin2(πCp)

∣∣∣ei(pS ϕ−Cpπ/2)χ+(p, ϕ) + e−i(pS ϕ−Cpπ/2)χ−(p, ϕ)∣∣∣2 |Mip|2, (3.42)

wobei der erste Term den schon aus dem vorigen Kapitel bekannten Impulsfilter reprasen-tiert.

6. Ein Attosekundenpuls pro IR-Periode

Bei einem as-Puls pro IR-Periode besteht eine große Ahnlichkeit zum eben betrachtetenFall, nur dass jetzt tn = nT = 2nπ/ω gilt. Das bedeutet, dass die gleichen Formeln wieim vorigen Abschnitt gelten, wenn n durch 2n ersetzt wird. Es ergeben sich einige Un-terschiede, insbesondere fallen alle Faktoren der Form (−1)n weg. Statt (3.26) und (3.27)gelten nun

Aϕ =F0

ωcosϕ, (3.43)

A′ϕ = F0 sinϕ, (3.44)

und es gibt statt (3.31) nur noch den Beitrag von χ+(p, ϕ). Aus (3.39) wird daher

|Ψp(ϕ)|2 =

∣∣∣∣∣∣∣N−1∑

n=0

eiCp2nπ+ipS ϕχ+(p, ϕ)

∣∣∣∣∣∣∣

2

|Mip|2

=

∣∣∣∣∣∣∣N−1∑

n=0

eiCp2nπ

∣∣∣∣∣∣∣

2

|χ+(p, ϕ)|2|Mip|2. (3.45)


−1 −0.5 0 0.5 10

10

20

30

40

50

60

70

Impuls p [au]

K(p

,N)

N=8

N=4

N=2

ωω

ω

Abbildung 3.2: Die Kammfunktion K1(p,N) in Abhangigkeit vom Impuls fur N = 8,N = 4 und N = 2. Parameterwerte: ω = 0.05696 au (⇔ λ = 800 nm), ε f = 0.144 au,Intensitat I0 = 0.00037 au= 1.3 · 1013 W/cm2.

Die Summe kann in diesem Fall direkt mit Hilfe der Analogie zur geometrischen Reiheausgewertet werden und es ergibt sich fur den Fall von einem as-Puls pro IR-Periodefolgende einfachere Formel fur die Impuls-Wahrscheinlichkeitsdichte:

|Ψ1attop (ϕ)|2 =

sin2(NπCp)

sin2(πCp)|χ+(p, ϕ)|2 |Mip|2. (3.46)

3.2.2 Diskussion

Die Wahrscheinlichkeitsdichten (3.42) und (3.46) haben eine sehr ahnliche Struktur. Denersten Term definieren wir als Kammfunktion

Kν(p,N) :=sin2( N

νπCp)

sin2(πCp). (3.47)

Die Bezeichnung Kamm wird aus Abb. 3.2 ersichtlich. Er ist schon aus dem vorigenKapitel bekannt, wo er jedoch eine etwas andere Form aufgrund von Cp , Ckick hat (vgl.Glg. (2.41) und Abb. 2.3, Kap. 2.5). Den jeweils zweiten Term bezeichnen wir mit

Φ1(p, ϕ) := |χ+(p, ϕ)|2 , (3.48)

Φ2(p, ϕ) :=∣∣∣ei(pS ϕ−Cpπ/2)χ+(p, ϕ) + e−i(pS ϕ−Cpπ/2)χ−(p, ϕ)

∣∣∣2 . (3.49)

Das Matrixelement vernachlassigen wir in einer ersten Naherung, da wir eine vom atoma-ren Potential unabhangige Beschreibung gewinnen wollen. Zudem andert sich das Matri-xelement in der Nahe der Ionisationsschwelle nicht besonders stark mit dem Impuls, so


0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

(d)

Abbildung 3.3: Dichteplots fur einen as-Puls pro Periode. Parameterwerte stimmen mitdenen in Abb. 3.2 uberein, die Breite der as-Pulse (3.8) liegt bei σt = 9.2 au. (a)Φ1(p, ϕ). Es zeigen sich zwei gaußformige Wellenpakete im Impulsraum, deren Schwer-punkt sich durch den Anfangsimpuls p0 = ±√

2ε f − Aϕ ergibt. Der streaking-Effekt istdeutlich zu sehen: Der Schwerpunkt der Gaußpakete folgt dem Verlauf von −Aϕ (weißeLinie). (b) Kammfunktion K1(p,N = 8). (c) Die Multiplikation von (a) und (b) ergibtdie Wahrscheinlichkeitsdichte

∣∣∣Ψ1p(ϕ)

∣∣∣2 = K1(p,N)Φ1(p, ϕ). (d) Ionisationswahrschein-lichkeit nach Glg. (3.12).

dass es als konstant angenommen werden kann [35]. Dann hat es, wie die Amplitude deras-Pulse, nur fur die Normierung eine Bedeutung. Dieser Punkt wird jedoch noch zu dis-kutieren sein. Somit lasst sich die Wahrscheinlichkeitsdichte fur ν as-Pulse pro IR-Periodeallgemein schreiben als ∣∣∣Ψν

p(ϕ)∣∣∣2 = Kν(p,N)Φν(p, ϕ). (3.50)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus zwei Termen zusammen. Wahrend Kν(p,N)unabhangig von der Phase ϕ, aber abhangig von der Anzahl der Kicks ist, welche das Cha-rakteristikum des Pulszuges sind, enthalt Φν(p, ϕ) die Phasenabhangigkeit und das Gauß-paket χ±(p, ϕ), welches wie eine Anfangswellenfunktion wirkt. Wenn wir den Impuls-Phasen-Dichteplot betrachten (siehe Abb. 3.3 und 3.4), haben wir eine phasenabhangigeFunktion, die deutlich den Effekt des streaking [32, 33] enthalt. Sie wird mit einem Im-pulsfilter, der Kammfunktion (Abb. 3.2), multipliziert, die eine phasenunabhangige Aus-


0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

(d)

Abbildung 3.4: Dichteplots fur zwei as-Pulse pro Periode. Parameterwerte stimmen mitdenen in Abb. 3.3 uberein. (a) Φ2(p, ϕ) mit dem Verlauf von p0 = ±√

2ε f ± Aϕ (wei-ße Linien). Der Effekt des streaking ist aufgrund von Interferenzen zwischen χ+(p, ϕ)und χ−(p, ϕ) nicht mehr so deutlich zu sehen wie im Fall von einem as-Puls pro Pe-riode. (b) Kammfunktion K2(p,N = 8). (c) Die Multiplikation von (a) und (b) ergibtdie Wahrscheinlichkeitsdichte

∣∣∣Ψ2p(ϕ)

∣∣∣2 = K2(p,N)Φ2(p, ϕ). (d) Ionisationswahrschein-lichkeit nach Glg. (3.12).

wahl von bestimmten Impulsen bewirkt. Ihre Maxima fallen mit ganzzahligen Werten vonCp zusammen. Die Bedingung fur Maxima lautet daher mit p2/2 = E

E + Up − ε f

ω= m, m ∈ Z, (3.51)

was aquivalent ist zuE = ε f + mω − Up. (3.52)

Dies ist die Energie des Zustands nach der Ionisation plus m-mal der Energie eines IR-Photons minus des ponderomotiven Potentials. Es ist ein sehr vernunftiges Ergebnis,welches auch mit bekannten Ergebnissen der ATI (Above-Threshold Ionization) uberein-stimmt [36]. Interessant fur unsere Diskussion ist allerdings, dass die Maxima im Abstandω voneinander auftreten. Dies bedeutet im Impulsraum, dass die Abstande desto kleiner


0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

0 0.5 1 1.5 20

2

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12

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16

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Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

Abbildung 3.5: Dichteplot der Wahrscheinlichkeitsdichte und der zugehorigen Ionisati-onswahrscheinlichkeit fur Energien ε f = 0.3 au (oben) und ε f = −0.028 au (unten) beieinem as-Puls pro Periode, N = 8 und sonstigen Parameterwerten wie in Abb. 3.2. Imoberen Fall sind die beiden Strange der Wellenfunktion so weit voneinander getrennt,dass sie nicht uberlappen. Erst wenn sie dies tun und daher interferieren (unten), tretenOszillationen in der Ionisationswahrscheinlichkeit auf.

werden, je hoher die Impulse sind. Der Kamm wird also mit zunehmenden Impulsenimmer engzahniger, wodurch er in seiner selektierenden Funktion nachlasst. Die Phasen-funktion Φν(p, ϕ) wird somit bei niedrigen Energien im Impulsraum starker moduliert alsbei hohen. Damit lasst sich erklaren, dass die Ionisationswahrscheinlichkeit nur bei niedri-gen Energien eine Phasenabhangigkeit zeigt. Dies lasst sich auch physikalisch verstehen.Bei hohen Energien und damit hohen Geschwindigkeiten entfernen sich die Wellenpaketezu weit vom Ursprungsort, so dass neu erzeugte Wellenpakete nicht mit ihnen interferie-ren konnen. Daher ist auch keine Abhangigkeit der Ionisationswahrscheinlichkeit von derPhase zu erwarten. Vielmehr muss sie konstant die Anzahl der ionisierten Wellenpaketewiderspiegeln, was der Anzahl der as-Pulse im Pulszug entspricht (vgl. Abb. 3.5).

3.3 Ionisationswahrscheinlichkeit 45

3.3 Ionisationswahrscheinlichkeit

Wie eingangs erwahnt (vgl. 3.12), untersuchen wir im Folgenden die Phasenabhangigkeitder Ionisationswahrscheinlichkeit. Um eine analytisch einfacher zu handhabende Formelzu erhalten, werden wir zuerst den Attosekundenpulszug mit einem Puls pro IR-Periodebetrachten. Dabei treten alle wichtigen Merkmale auf, die wir auch mit zwei as-Pulsenpro Periode erhalten. Trotzdem werden wir spater auch diesen Fall diskutieren, wobei wirdann auf die bereits gewonnenen Ergebnisse zuruckgreifen konnen.

3.3.1 Ein Attosekundenpuls pro Periode

Betrachten wir zuerst die Breite σ+ (3.32) der Anfangswellenfunktion χ+(p, ϕ) (3.31):

σ2+ =

1σ2

t+ (σt(p + Aϕ)A′ϕ)2.

Zur Abschatzung der Gewichtung der beiden Einflusse betrachten wir as-Pulse mit ei-ner Breite von 370 as (vgl. Abb. 3.9, Kap. 3.4), was σt = 9.2 au entspricht. Damit liegtder Beitrag von 1/σ2

t zu (3.32) bei O(10−2 au). Fur die in unserem Modell betrachte-ten Parametergroßen von Aϕ = O(10−1 au), A′ϕ = O(10−2 au) und Impulswerte bis zup = O(10−1 au), fallt der Effekt der Anderung des IR-Feldes nur mit O(10−4 au) insGewicht. Er ist daher zwei Großenordnungen kleiner, so dass wir ihn vernachlassigenwerden und durch ein einfacheres Gaußpaket der Form

χ+(p, ϕ) = exp

−((p + Aϕ)2

2− ε f

)2

/2σ2

, (3.53)

dessen Breite nicht von ϕ abhangt, ersetzen. Außerdem betrachten wir nur den Fall N = 2,da sich hierfur die Rechnungen leichter durchfuhren lassen. Es ergibt sich fur die Kamm-funktion (3.47)

K1(p, 2) =

(sin(2πCp)sin(πCp)

)2

=

(2 sin(πCp) cos(πCp)

sin(πCp)

)2

= 4 cos2(πCp). (3.54)

Bei einer hoheren Anzahl von as-Pulsen (N > 2) ist das Vorgehen analog, allerdingsenthalt der Kamm dann mehr Terme. So ergibt sich z.B. fur K1(p,N = 4) = 4 cos2(πCp) +

4 cos2(3πCp) + 8 cos(πCp) cos(3πCp). Bei N = 2 bleibt fur die Ionisationswahrscheinlich-


Abbildung 3.6: Die Ionisationswahrscheinlichkeit (mit der exakten Wellenfunktionχ+(p, ϕ) (3.31) anstelle der Naherung (3.53)) als Dichteplot in Abhangigkeit von derEnergie ε f und der Phase ϕ. Bei bestimmten Energiewerten (im Text als εmax

f bezeich-net) ist eine deutliche Auspragung von Extrema in Abhangigkeit von der Phase zu sehen,deren Position fur negative und postive Energien jedoch unterschiedlich ist. Im Bereichzwischen diesen Energien εmax

f sind die Schwankungen der Ionisationswahrscheinlichkeitnicht so kontrastreich.

keit (3.12) nun folgendes Integral auszurechen:

PI(ϕ) =

∫ ∞

−∞

∣∣∣Ψp(ϕ)∣∣∣2 dp

=

∫ ∞

−∞K1(p, 2)Φ1(p, ϕ)dp

= 4∫ ∞

−∞cos2

(π

ω

(p2

2+ Up − ε f

))e−(

(p+Aϕ)2

2 −ε f

)2

/σ2

dp

= 2∫ ∞

−∞

[1 + cos

(2πω

((p − Aϕ)2

2+ Up − ε f

))]e−

(p22 −ε f

)2/σ2

dp. (3.55)

Im letzten Schritt haben wir die Integrationsvariable von p zu p − Aϕ verschoben. DieIonisationswahrscheinlichkeit besteht aus zwei Integralen

PI(ϕ) = PaI + Pb

I (ϕ), (3.56)

wobei

PaI := 2

∫ ∞

−∞e−

(p22 −ε f

)2/σ2

dp (3.57)

analytisch gelost werden kann. Da es jedoch nicht von der Phase ϕ abhangt, ist es fur unsuninteressant. Dagegen benotigen wir fur das Integral

PbI (ϕ) := 2

∫ ∞

−∞cos

(2πω

((p − Aϕ)2

2+ Up − ε f

))exp

−(

p2

2− ε f

)2

/σ2

dp (3.58)


eine Naherung um die Phasenabhangigkeit genauer zu untersuchen. Wir bedienen unshierfur der Methode der Stationaren Phasennaherung (siehe Anhang C), um den Haupt-beitrag zum Integral zu studieren. Wir suchen den Punkt, an dem die Ableitung der Phasedes Kosinus den Wert Null ergibt, was uns zu p = Aϕ fuhrt. Damit erhalten wir

PbI (ϕ) ≈ 2 cos

(2πω

(Up − ε f

))exp

−

A2ϕ

2− ε f

2

/σ2

, (3.59)

wobei eine Abhangigkeit sowohl von der Phase ϕ als auch von der Energie ε f vorliegt.Wir untersuchen im Folgenden das Auftreten von Extrema als Funktion dieser beidenParameter (siehe Abb. 3.6). Aus (3.59) lasst sich sofort ablesen, dass bei den Wertenεmax

f = Up − nω Maxima der Kosinusfunktion, d.h. cos(2π(Up − εmaxf )/ω) = 1, auftreten.

Zur Untersuchung der Phasenabhangigkeit werden wir uns im weiteren Verlauf auf dieseWerte ε f = εmax

f konzentrieren. Laut Abbildung 3.6 bedeutet es, dass wir uns auf dieLinien beschranken, auf denen die Ionisationswahrscheinlichkeit deutliche, kontrastreicheMaxima ausbildet. In anderen Energiebereichen ist der Ausschlag der Oszillationen vielgeringer und es lassen sich keine klaren Aussagen treffen. Damit wird (3.59) zu

PbI (ϕ) := 2 exp

−

A2ϕ

2− εmax

f

2

/σ2

, (3.60)

und es gilt immer PbI (ϕ) > 0. Die Abhangigkeit von ϕ ist dagegen etwas komplizierter.

Wir berechnen zunachst die erste Ableitung

∂ϕPI(ϕ) ≈ ∂ϕPbI (ϕ) = − 2

σ2

A2ϕ

2− εmax

f

AϕA′ϕPbI (ϕ). (3.61)

Die Nullstellen finden wir mit (3.43) und (3.44) bei

∂ϕPbI (ϕ) = 0→

Aϕ = 0 → cosϕ = 0→ ϕ = π

2 ,3π2 , . . .

A′ϕ = 0 → sinϕ = 0→ ϕ = 0, π, 2π, . . ., (3.62)

Zur Bestimmung der Art der Extrema untersuchen wir die zweite Ableitung:

∂2ϕPb

I (ϕ) = −2PbI (ϕ)

A2ϕA′2ϕ +

A2ϕ

2− εmax

f

A′2ϕ + AϕA′′ϕ − 2

A2ϕ

2− εmax

f

A2ϕA′2ϕ

. (3.63)

Bei ϕ = 0, π, 2π ist A′ϕ = 0 und AϕA′′ϕ = −(F0/ω)2. Es folgt

∂2ϕPb

I (ϕ)∣∣∣∣ϕ=0,π,2π

= 8Pb,maxI Up

(2Up − εmax

f

)

!> 0 (Minimum) ⇔ εmax

f < 2Up!< 0 (Maximum) ⇔ εmax

f > 2Up

, (3.64)


Bei ϕ = π/2, 3π/2 sind Aϕ = 0 und A′′ϕ = 0, so dass gilt

∂2ϕPb

I (ϕ)∣∣∣∣ϕ=π/2,3π/2

= 8Pb,maxI Upε

maxf

!> 0 (Minimum) ⇔ εmax

f > 0!< 0 (Maximum) ⇔ εmax

f < 0. (3.65)

Zusammenfassend lasst sich sagen, dass Maxima in der Ionisationswahrscheinlichkeit beiϕ = π/2, 3π/2 fur εmax

f < 0 und bei ϕ = 0, π, 2π fur εmaxf > 2Up auftreten (siehe Abb. 3.7).

3.3.2 Zwei Attosekundenpulse pro Periode

Wenden wir uns nun dem Fall von zwei as-Pulsen pro Periode des IR-Feldes zu. Ebensowie im vorigen Fall ersetzen wir die Anfangswellenfunktion (3.31) durch ein einfacheresWellenpaket der Form (vgl. (3.53))

χ±(p, ϕ) = exp

−((p ± Aϕ)2

2− ε f

)2

/2σ2

. (3.66)

Außerdem beschranken wir uns diesmal auf den Fall N = 4, da sich so die Kammfunktion(3.47) stark vereinfacht

K2(p, 4) =

(sin(2πCp)sin(πCp)

)2

=

(2 sin(πCp) cos(πCp)

sin(πCp)

)2

= 4 cos2(πCp). (3.67)

Um die Ionisationswahrscheinlichkeit (3.12) zu erhalten, muss folgendes Integral berech-net werden:

PI(ϕ) =

∫ ∞

−∞K2(p, 4)Φ2(p, ϕ)dp

=

∫ ∞

−∞K2(p, 4)

[|χ+(p, ϕ)|2 + |χ−(p, ϕ)|2

+2 cos(2pS ϕ −Cpπ)χ+(p, ϕ)χ−(p, ϕ)]dp

=: P1(ϕ) + P2(ϕ) + P3(ϕ). (3.68)

Der Anteil P1(ϕ) entspricht exakt der Ionisationswahrscheinlichkeit bei nur einem as-Pulspro Periode, die wir bereits berechnet haben. Zur Berechnung von P2(ϕ) kann analog zuP1(ϕ) vorgegangen werden, mit der Ersetzung Aϕ → −Aϕ. Das Resultat fur P2(ϕ) ist mitdem fur P1(ϕ) identisch. Es ist daher insgesamt ein ahnliches Verhalten wie im Fall voneinem as-Puls pro Periode zu erwarten. Das einzige neue Integral ist P3(ϕ), welches eineAnderung zum vorigen Fall bewirken kann. Mit f (p, ϕ) := χ+(p, ϕ)χ−(p, ϕ) schreiben wir


Abbildung 3.7: Dichteplot der Ionisationswahrscheinlichkeit (mit der exakten Wellenfunk-tion χ±(p, ϕ) (3.31) anstelle der Naherungen (3.53) bzw. (3.66)) in Abhangigkeit von derEnergie ε f und der Phase ϕ fur einen as-Puls pro IR-Periode (links) und zwei as-Pulse proIR-Periode (rechts). Die weißen Linien markieren die Grenzen der Energiebereiche, furdie wir Voraussagen bzgl. der Position der Maxima machen. Diese sind durch rote Lini-en in den entsprechenden Bereichen gekennzeichnet. Rechts ist außerdem der Verlauf vonεa,max

f (gestrichelte schwarze Linie) gezeigt. Die durchgezogene schwarze Linie entsprichtdem Verlauf von εa,max

f , allerdings treten hier Minima der Kosinusfunktion auf.

es als

P3(ϕ) = 8∫ ∞

−∞cos2(πp) cos(2pS ϕ −Cpπ) f (p, ϕ)dp

= 2∫ ∞

−∞

[2 cos(πCp − 2pS ϕ)

+ cos(πCp + 2pS ϕ) + cos(3πCp − 2pS ϕ)]f (p, ϕ)dp

=: 4Pa3(ϕ) + 2Pb

3(ϕ) + 2Pc3(ϕ). (3.69)

Den Hauptbeitrag zu den drei Teilintegralen erhalten wir wieder mit Hilfe der StationarenPhasennaherung. Die Werte des Impulses, bei denen die Ableitung der Phase des Kosinusverschwindet, sind

pa =2S ϕω

π

pb = −2S ϕω

π= pa

pc =2S ϕω

3π=

pa

3. (3.70)

Beim Auswerten der Integrale an diesen Stellen fallt auf, dass Pa3(ϕ) und Pb

3(ϕ) durchdasselbe Resultat Pab

3 (ϕ) angenahert werden

Pab3 (ϕ) = f (pa, ϕ) cos(πCa

p − 2paS ϕ),

Pc3(ϕ) = f (pc, ϕ) cos(3πCc

p − 2pcS ϕ). (3.71)


Es ergibt sich nach einigen Umformungen

Pab3 (ϕ) = f (pa, ϕ) cos(π

Up − ε f

ω− paS ϕ),

Pc3(ϕ) = f (pc, ϕ) cos(3π

Up − ε f

ω− pcS ϕ). (3.72)

Als Funktion von ε f kommt es daher zu Maxima der Kosinusfunktionen bei

εa,maxf = Up − 2nω − p2

a(ϕ)2

,

εc,maxf = Up − 2

3nω − p2

c(ϕ)2

. (3.73)

Dies ist ein Unterschied zu den Integralen P1(ϕ) und P2(ϕ), bei denen, wie im Fall voneinem as-Puls pro Periode bereits diskutiert, εmax

f = Up − nω gilt. Laut Pa3(ϕ) und Pb

3(ϕ)– deren Beitrag gemaß (3.69) dreifach im Vergleich zu Pc

3(ϕ) gewichtet wird – treten Ma-xima der Kosinusfunktion nun im Abstand 2ω auf. Dies steht im Gegensatz zu P1(ϕ) undP2(ϕ), nach denen sich ein Abstand der Maxima von ω ergibt. Je nach Starke der Bei-trage von P1(ϕ) und P3(ϕ) kann somit das Verhalten, im Vergleich zum Fall von einemas-Puls pro Periode, verandert werden. Verkompliziert wird das Ganze zusatzlich durchdie Phasenabhangigkeit in (3.73), weshalb wir eine detaillierte Diskussion an dieser Stelleunterlassen. In Abb. 3.7 sieht man jedoch gut, dass die Ionisationswahrscheinlichkeit beiϕ = π/2, 3π/2 fur negative Energien εmax

f im Fall von einem as-Puls pro Periode deutlicheMaxima im Abstand ω ausbildet, wahrend sich im Fall von zwei as-Pulsen pro PeriodeMaxima mit Minima abwechseln. Ansonsten sind sich die beiden Strukturen allerdingssehr ahnlich, was aufgrund der Ubereinstimmung von P1(ϕ) und P2(ϕ) mit der Ionisati-onswahrscheinlichkeit bei einem as-Puls pro Periode (3.55) auch zu erwarten ist.

3.4 Experimentelle Ergebnisse

In der Einleitung dieser Arbeit haben wir das Experiment, an dem wir unser Modell testenwerden, schon grob erklart und die wichtigsten Effekte vorgestellt. Um jetzt die theore-tischen Berechnungen zu uberprufen, werden wir noch eine genauere Beschreibung desExperiments und der physikalischen Parameter liefern.

Das Experiment, auf das wir uns beziehen, wurde in der Arbeitsgruppe von AnneL’Huillier an der Universitat Lund durchgefuhrt. Die Ergebnisse wurden im August 2007als ArXiv [10] bzw. endgultig im Dezember 2007 publiziert [1]. Wir werden uns hier aufdie ArXiv-Version beziehen, da dort Bilder des Photoelektronenspektrums (Abb. 3.8) ab-gebildet sind, die wir mit unseren Ergebnissen vergleichen konnen. In dem Experimentwird ein Attosekundenpulszug durch Multiphotonenionisation mit einem 35 fs Infrarot-Laserpuls der Wellenlange λ = 796 nm (⇒ ω = 0.05725 au) und Intensitat I = 1.3×10−13

W/cm2 = 0.00037 au erzeugt. Die Dauer der as-Pulse liegt bei 370 as und sie entstehen bei

3.4 Experimentelle Ergebnisse 51

Abbildung 3.8: Resultate des erwahnten Experimentes [10]. Links ist die Ionisationswahr-scheinlichkeit in Abhangigkeit von der Phase ϕ ≡ ωτ (bzw. der zeitlichen Verschiebungτ) der as-Pulse zum IR-Feld aufgetragen. Fur Helium (blau) sieht man Oszillationen mitMaxima bei ωτ = −π/2, π/2, 3π/2. Die Punkte sind die experimentellen Daten, wahrenddie durchgezogenen Linien auf ebenfalls durchgefuhrten numerischen Rechnungen zurLosung der zeitabhangigen Schrodingergleichung basieren. Fur Argon (rot) ist die Ioni-sationswahrscheinlichkeit konstant. Rechts sind die Photoelektronenspektra in Abhangig-keit von der Energie der Photoelektronen und der Phase der as-Pulse zum IR-Feld darge-stellt, oben fur Argon, unten fur Helium.

der Multiphotonenionisation aus den ungeraden Harmonischen zwischen 11ω und 17ω(siehe Abb. 3.9), womit sie im ultravioletten Bereich des Spektrums liegen. Das resultie-rende Laserfeld besteht, wie in unserem Modell, aus einer Uberlagerung des as-Pulszugesmit dem IR-Feld, wobei die as-Pulse eine variierbare Phasenbeziehung zum IR-Feld ha-ben. Dabei treten sie jede halbe Periode vom IR-Feld auf, weshalb eine Korrespondenzzum diskutierten Fall von zwei as-Pulsen pro Periode vorliegt. Mit diesem Laserfeld wer-den Helium- bzw. Argonatome beschossen. Die Hauptfrequenz der as-Pulse liegt ungefahrbei 23 eV und damit knapp unter der Ionisationsenergie von Helium mit 24.6 eV, aller-dings deutlich uber der Schwelle von 15.8 eV bei Argon. Bei Helium werden die meistenElektronen zuerst in hochangeregte Zustande gebracht und dann durch die Einwirkungdes IR-Feldes ionisiert. Nur einige gelangen durch die 17. Harmonische direkt ins Kon-tinuum. Bei Helium werden also Photoelektronen in der Nahe der Ionisationsschwelleerzeugt, wahrend die Photoelektronen bei Argon eine hohere Energie haben. Nach Abklin-gen des Laserfelds wird die Ionisationsausbeute in Abhangigkeit von der Phase gemessen.Wahrend bei Argon die Ionisation relativ unabhangig von der Phase konstant ist, tritt beiHelium eine Oszillation in Abhangigkeit von der Phase auf (Abb. 3.8). Die Maxima er-scheinen, wenn die as-Pulse mit den Maxima des IR-Feldes zusammenfallen, was einerPhase von ϕ = π/2 bzw. ϕ = 3π/2 entspricht.


Abbildung 3.9: Aussehen und Zusammensetzung der Attosekundenpulse [10]. Oben istdas Spektrum der Attosekundenpulse im Verhaltnis zu den Ionisationspotentialen vonArgon und Helium gezeigt. Unten ist das Zeitprofil eines Pulses zu sehen.

3.5 Vergleich von Theorie und Experiment

Da wir das eben beschriebene Experiment als Leitfaden bei der Entwicklung unseres Mo-dells benutzt haben, sind die Parameterwerte aufeinander abgestimmt. Die erhaltenen Er-gebnisse lassen sich direkt auf das Experiment anwenden. Betrachten wir zuerst die Spek-tren der Photoelektronen (Abb. 3.10). Im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen(Abb. 3.8) offenbart sich eine gute strukturelle Ubereinstimmung fur Argon. Auch tretenBereiche hoher und niedriger Intensitat bei den gleichen Phasen auf. Bei Helium siehtes etwas anders aus. Zwar ist die grobe Struktur immer noch ahnlich, aber im Experi-ment scheint die Intensitat insgesamt, und besonders bei niedrigen Energien, zu kleinerenPhasen und hoheren Energien verschoben zu sein. Letzteres kann daran liegen, dass wirdas Coulombpotential vernachlassigen, was eine Verschiebung der Energien bewirkt. Die-se Naherung kann ebenfalls der Grund dafur sein, dass bei Energien nahe der Schwelledas Spektrum phasenverschoben ist, da hier der Einfluss des Atompotentials besondersgroß ist. Im Zusammenspiel mit dem IR-Feld treten so eventuell Effekte auf, die wir inunserem Modell nicht beachtet haben. Die Tatsache jedoch, dass das gesamte Spektrumzu kleineren Phasen hin verschoben ist, wirkt widerspruchlich im Vergleich mit der Ioni-sationswahrscheinlichkeit. Wenn bei ϕ = π/2 ein Maximum auftritt, sollte dies auch im

3.5 Vergleich von Theorie und Experiment 53

0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30

Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30

Phase [π]

P I [be

l. E

inh.

]

Abbildung 3.10: Photoelektronenspektrum und Ionisationswahrscheinlichkeiten gemaßunseres Modells fur Argon (oben) und Helium (unten) mit den experimentellen Feldpara-metern. Die Anzahl der as-Pulse ist N=8 und die Energie des angeregten Zustandes ist beiArgon 7.2 eV (entspricht einer Ionisation mit der Hauptenergie der as-Pulse von 23 eV)und bei Helium −2.3 eV (entspricht einem angeregten Zustand mit einer Bindungsener-gie von ε f = Up − 2ω). Bei Argon ist die Ionisationswahrscheinlichkeit nahezu konstant,wahrend bei Helium eine Oszillation mit Maxima bei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 auftritt.

Photoelektronenspektrum durch hohe Intensitaten bei dieser Phase zu erkennen sein. Diesist aber eher in unserem Modell der Fall, wahrend es bei dem experimentellen Spektrumnicht zuzutreffen scheint. Daher muss die Moglichkeit einer falschen Phasenbeschriftungin Betracht gezogen werden. In der endgultigen Version [1] wurden die Photoelektronen-spektren auch nicht veroffentlicht.

Bezuglich der Ionisationswahrscheinlichkeit lasst sich das experimentelle Ergebnisfur Argon sehr gut erklaren. Die Elektronen werden mit einem hohen Anfangsimpulsionisiert, so dass sich, wie bereits diskutiert, die Wellenpakete zu weit voneinander entfer-nen um Interferenzeffekte zu ermoglichen. Deshalb tritt bei Argon keine Abhangigkeit derIonisationswahrscheinlichkeit von der Phase auf. Dies entspricht auch exakt den Ergeb-


nissen unseres Modells. Fur Helium ist die Situation komplizierter. Im Experiment tritteine Oszillation mit Maxima bei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 auf. Da bei Helium die zentraleEnergie der as-Pulse mit 23 eV knapp unterhalb der Ionisationsschwelle liegt, korrespon-diert dies mit dem von uns diskutierten Fall fur εmax

f < 0 (3.65) bzw. den Korrekturen imFall von zwei as-Pulsen pro Periode (3.73). Wir erwarten die Position der Maxima beiϕ = π/2 und ϕ = 3π/2, wenn in einen Zustand mit entsprechender Energie angeregt wird.In diesem Fall erzielen wir eine Ubereinstimmung mit den experimentellen Daten. Aller-dings stellt sich die Frage, ob bei Helium die angeregten Elektronen eine Energie haben,die sich durch εmax

f = Up − 2nω beschreiben lasst. Fur Energien ε f , εmaxf treten nicht

unbedingt Maxima bei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 auf. Jedoch ist die Oszillation mit Maximabei diesen Phasen deutlich kontrastreicher als in anderen Fallen. Dies legt die Vermutungnahe, dass sich die dominante Energie der angeregten Elektronen bei Helium durch εmax

fausdrucken lasst. Fur diesen quantitativen Test ist unser Modell jedoch nicht geeignet,da wir das Atompotential auf angeregte Elektronen vernachlassigen, was zumindest eineVerschiebung der Energien bewirkt. Insofern kann die Frage soweit beantwortet werden,dass sich fur Energien ε f < 0 Oszillationen der Ionisationswahrscheinlichkeit entwedermit deutlichen Maxima bei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 oder mit nur geringen Schwankungenerwarten lassen. Bei einer Superposition von mehreren Zustanden verschiedener Energieist daher eine Dominanz derjenigen Energien bei εmax

f = Up − 2ω zu erwarten, weshalbOszillationen mit Maxima bei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 erscheinen. Dies ist in Ubereinstim-mung mit den experimentellen Ergebnissen fur Helium.

3.6 Diskussion

Beim Vergleich der experimentellen Resultate mit unseren theoretischen Berechnungenstellt sich heraus, dass sich das Verhalten fur Argon gut reproduzieren lasst. Sowohl dasPhotoelektronenspektrum als auch die konstante Ionisationswahrscheinlichkeit folgen di-rekt aus unserem Modell. Der physikalische Grund fur die Nicht-Existenz von Interfe-renzen nach der Ionisation liegt in der hohen Anfangsgeschwindigkeit und der damitverbundenen raumlichen Separation der Elektronen. Durch unsere Modellierung ist auchein Verstandnis im Impulsraum moglich geworden. Das Photoelektronenspektrum bestehthauptsachlich aus zwei Anteilen: zum einen der Kammfunktion, die als Impulsfilter wirkt,zum anderen einer Art Anfangswellenfunktion, die den Effekt des streaking enthalt. Ent-fernen sich die beiden zu ±√

2ε f korrespondierenden Strange der Wellenfunktion auf-grund hoher Anfangsenergie zu weit voneinander, konnen sie nicht miteinander interfe-rieren. Zusatzlich ist der Kamm bei hohen Energien so engzahnig, dass er keine selektie-rende Funktion hat, weshalb auch der phasenabhangige streaking-Effekt keinen Einflussauf die Ionisation hat. Dies resultiert in einer konstanten Ionisationswahrscheinlichkeit.Die Ubereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen ist nicht uberraschend, da al-le am Anfang diskutierten Naherungen fur den Fall von Argon problemlos anzuwendensind.

3.6 Diskussion 55

Bei dem interessanteren Fall von Helium sind die theoretischen Voraussagen nichtganz so eindeutig. Im Photoelektronenspektrum treten kleine Unterschiede auf, die sichaber hauptsachlich durch die Naherung der SFA verstehen lassen. Eine Ungewissheitbleibt bezuglich der Phasenbeschriftung im experimentellen Spektrum. Bei der Oszilla-tion der Ionisationswahrscheinlichkeit konnen wir mit einer passenden Anregungsenener-gie eine Voraussage treffen, die mit dem Experiment ubereinstimmt. Es ist jedoch nichtganz einfach zu begrunden, wieso die Anregungsenergie so gewahlt werden muss. Stimmtsie mit der Hauptenergie der as-Pulse von 23 eV uberein, treten die Maxima nicht beiϕ = π/2 und ϕ = 3π/2 auf. Allerdings ist es fraglich, ob bei Helium der großte Anteil derWellenfunktion in den entsprechenden Zustand angeregt wird. Dagegen ist eher anzuneh-men, dass durch die 13. und 15. Harmonische tiefer liegende Zustande bevolkert werden.Wie bereits erwahnt, ist jedoch eine quantitative Festlegung der Energie nicht sinnvoll,da wir das Atompotential vernachlassigen und damit keine exakten Energiewerte mit un-serem Modell reprasentieren. Wir konnen nur das Verhalten in bestimmten Energieberei-chen vergleichen. Dafur lasst sich zwar keine eindeutige Aussage treffen, weil sich dasVerhalten der Oszillationen als Funktion der Energie andert und somit eigentlich eine ge-naue Kenntnis der Energie notig ist. Allerdings fuhrt der dominante Einfluss zu Maximabei ϕ = π/2 und ϕ = 3π/2, da hier der Kontrast zwischen den Extrema am großten ist.Wenn mehrere Zustande angeregt werden, sollte es folglich auch zu dieser Ausbildungder Oszillationen kommen. Dies ist bei Helium der Fall, so dass zu vermuten ist, dassunsere Beschreibung das richtige Ergebnis liefert. Um dies jedoch abzusichern, musstenKorrekturen durch das Coulombpotential berucksichtigt werden, da die SFA fur tief ange-regte Zustande eine zu grobe Naherung darstellt. Außerdem kann auch noch der Einflussdes Matrixelementes mit einbezogen werden. Dies konnte dazu fuhren, dass Ubergange inZustande mit passender Energie wahrscheinlicher sind als andere. Eine andere Moglich-keit zur Verbesserung, die keinen quantitativen Vergleich von Energiewerten benotigt, istdie Einbeziehung von mehreren angeregten Zustanden unterschiedlicher Energie. Die-se konnen aufgrund der Kopplung durch das IR-Feld miteinander interferieren. Damitkonnten neue Effekte produziert werden, die bisher unbeachtet geblieben sind. Vielleichtkonnte mit deren Hilfe eine Erklarung geliefert werden, die nicht auf die Auswahl einesEnergieniveaus angewiesen ist.

Um weitere Vorhersagen unseres Modells zu testen, ware ein Experiment sinnvoll, beidem die Elektronen durch die as-Pulse zwar direkt ionisiert werden, aber eine geringereEnergie als im Fall von Argon erhalten. Dies konnte durch die Verwendung von Atomenmit einem Ionisationspotential zwischen dem von Helium und Argon, oder durch ener-giereichere as-Pulse erreicht werden. Konkret sollte die Situation so beschaffen sein, dassdie Elektronen in einen Berereich ε f ≥ 2Up ionisiert werden, bei dem noch Interferenzmoglich ist, aber zu Oszillationen mit Maxima bei ϕ = 0, ϕ = π und ϕ = 2π fuhrt. Ei-ne numerische Uberprufung durch Losen der zeitabhangigen Schrodingergleichung mitpassenden Parametern ist ebenfalls moglich.

4 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurde die Interferenz von Wellenpaketen in periodischen Struktu-ren untersucht. Dabei hat die Bewegung von Elektronen in Laserfeldern, mit und ohnezusatzlichem Attosekundenpulszug, als physikalische Motivation gedient. Der erste Teilwar etwas abstrakterer Natur. Dort haben wir, durch Reduzierung der Wirkung eines mo-nochromatischen Laserfeldes auf seine Extrema, ein modellhaftes Laserfeld konzipiert,das aus alternierenden zeitlichen δ-Kicks besteht. Dieses haben wir mit der Bewegungeines Teilchens im Kastenpotential mit unendlich hohen Wanden verglichen, welche sichin der Formulierung von Born [9, 19] als unendliche periodische Uberlagerung von frei-en Wellenpaketen beschreiben lasst. Die klassischen Bewegungsgleichungen liefern einidentisches Ergebnis, wahrend in der Quantenmechanik ein wichtiger Unterschied be-steht. Dieser beruht darauf, dass der Zeitentwicklungsoperator im Kick-Modell nur einenTerm einer unendlichen Summe der Zeitentwicklung im Kastenpotential enthalt. DieseDiskrepanz ist gut mit Hilfe der Propagatoren in der Formulierung durch Feynman’schePfadintegrale [22] zu verstehen. Inspiriert von der Herleitung des Propagators fur dasKastenpotential von Goodman [20], konnte gezeigt werden, dass der Unterschied in derAnzahl der moglichen Pfade besteht. Wahrend beim Kastenpotential, auf dem Weg voneinem Ort zum anderen, unendlich viele Reflexionsmoglichkeiten bestehen, sind dieseim Kick-Modell durch die Anzahl der Kicks festgelegt. Dies fuhrt zum Verschwindender Interferenzeffekte. Daher lasst sich die klassische Analogie der beiden Modelle nichtdirekt auf die Quantenmechanik ubertragen. Aufgrund der Ahnlichkeit der beiden Zeitent-wicklungsoperatoren und in Anlehnung an das folgende Kapitel haben wir einen Versuchunternommen, mit Hilfe von zusatzlichen as-Laserpulsen beim Kick-Feld eine Uberein-stimmung zum Kastenpotential zu erzeugen. Diese konnen durch Ionisation von Elektro-nen aus einem Reservoir (z.B. atomarer Grundzustand) neue Wellenpakete im Kick-Feldkreieren. Die so erhaltene Superposition von Wellenfunktionen wird, wie beim Kasten-potential, durch eine Summe im Zeitentwicklungsoperator reprasentiert. Trotzdem bleibtein Unterschied der beiden Modelle bestehen, der darauf zuruckzufuhren ist, dass sichdie Elektronen im Reservoir nicht frei entwickeln und daher die superponierten Wellen-funktionen eine unterschiedliche Zeitentwicklung aufweisen. Allerdings ergibt sich imImpulsraum eine interessante Struktur, die wir auch im weiteren Verlauf unserer Arbeitwiedergefunden haben. Durch die zeitlich versetzte Uberlagerung entsteht ein Impulsfil-ter in Form eines Kamms, der mit der Anfangswellenfunktion multipliziert wird. Er wirdmit zunehmender Energie engzahniger, wodurch er in diesem Bereich seine Filterwirkung

58 4 Zusammenfassung und Ausblick

verliert. Diese Eigenschaft liefert im folgenden Kapitel die Erklarung fur die phasenun-abhangige Ionisationswahrscheinlichkeit bei Argon.

In Kapitel drei haben wir ein Modell fur eine realistische physikalische Situation ent-wickelt. Elektronische Wellenpaketduplikate bewegen sich in einem IR-Laserfeld und in-terferieren dort miteinander, nachdem sie sukzessiv durch einen as-Pulszug angeregt wur-den. Dabei vernachlassigen wir nach der Anregung das atomare Potential und rechnenmit der Strong Field Approximation. Nach Abklingen des gesamten Laserfeldes wird dasPhotoelektronenspektrum und die Ionisationswahrscheinlichkeit in Abhangigkeit von derPhase der as-Pulse zum IR-Feld untersucht. Beim Photoabsorptionsspektrum, das wir mitdem Photoelektronenspektrum gleichsetzen, tritt wieder die durch den as-Pulszug her-vorgerufene Kammstruktur des Impulsfilters in Erscheinung. Er wird diesmal mit einerAnfangswellenfunktion, die den Effekt des streaking enthalt, multipliziert. Dies sind diebeiden Hauptbeitrage zum Photoabsorptionsspektrum. Damit konnten wir direkt voraussa-gen, dass bei hohen Energien aufgrund der geringen Filterwirkung keine phasenabhangi-ge Modulation der Ionisationswahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Fur Anregungsenergienim Bereich der Ionisationsschwelle musste eine genauere Untersuchung vorgenommenwerden. Dabei stellte sich heraus, dass die Ionisationswahrscheinlichkeit von der Anre-gungsenergie ε f und der Phase ϕ abhangt. Indem wir uns auf die Phasenabhangigkeit beiMaxima bezuglich der Energie (ε f = εmax

f ) beschrankten, konnten wir Voraussagen furdas Verhalten ober- und unterhalb der Schwelle machen. Diese Resultate befinden sich inUbereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen fur Argon und Helium [1]. Bei Argontritt keine Schwankung der Ionisationswahrscheinlichkeit auf, da die Elektronen zu weitins Kontinuum angeregt werden. Fur Helium hingegen liegt die mittlere Energie der as-Pulse unterhalb des Ionisationspotentials, so dass Oszillationen mit Maxima an den vonuns erwarteten Stellen erscheinen. Problematisch ist jedoch, dass fur die Anregungsener-gien bei Helium keine exakte Zuordnung zu unserem Modell gemacht werden kann, dadie Energiewerte in unserem Modell aufgrund der Vernachlassigung des Coulombpoten-tials keinen realen Werten entsprechen. Diese Zuordnung ware aber wichtig, um zu veri-fizieren, ob bei Helium mit Energien angeregt wird, die mit den von uns gewahlten εmax

fubereinstimmen. Dieser Prufung konnten wir unser Modell nicht unterziehen. Trotzdemhat unsere Voraussage eine Berechtigung, da bei Helium viele Zustande angeregt werden,von denen einer wahrscheinlich mit einer passenden Energie εmax

f ubereinstimmt. Bei die-sen Energien entsteht der hochste Kontrast in den Oszillationen, weshalb zu erwarten ist,dass er sich gegenuber anderen Tendenzen durchsetzen wird.

Als Verbesserungsmoglichkeiten an unserem Modell sind die Einbeziehung des Cou-lombpotentials und der Dipolubergangsmatrixelemente hervorzuheben. Insbesondere dasCoulombpotential hat einen Effekt auf die Bewegung der Elektronen in angeregten Zu-standen. Ein erster Schritt in diese Richtung waren Coulomb-Korrekturen an den Volkov-Wellenpaketen [37]. Die erste Ordnung liefert jedoch nur eine konstante Verschiebung derEnergien, was die oben genannten Probleme noch nicht ausreichend behebt. Daher muss-ten wahrscheinlich auch hohere Ordnungen mit einbezogen werden, womit man jedochan die Grenzen des momentanen Wissensstandes stoßt. Die Einbeziehung von Matrix-

59

elementen konnte dazu fuhren, dass einige Zustande einen großeren Einfluss gewinnenund damit bestimmte Anregungsenergien bei Helium starker gewichten. Solange diesejedoch aufgrund der Vernachlassigung des Coulombpotentials nicht mit realen Wertenverglichen werden konnen, bleibt das genannte Problem. Eine andere Moglichkeit zurVerbesserung der Vorhersagen – innerhalb der Naherungen unseres Modells – ist die Ein-beziehung einer Superposition von Zustanden verschiedener Energie. Diese konnen un-tereinander durch das IR-Feld in Wechselwirkung treten und interferieren. Dies ist eineadaquatere Beschreibung der Situation bei Helium, da hier die Elektronen in mehrereZustande angeregt werden. Damit konnte das oben genannte Problem des quantitativenEnergievergleichs vermieden werden.

Um die Voraussagen unseres Modells weiter zu testen, konnten Experimente odernumerische Rechnungen vorgenommen werden, die das Verhalten von Elektronen knappoberhalb der Ionisationsschwelle untersuchen. Hier ist die Strong Field Approximationbesser, so dass ein Vergleich mit unserem Modell weniger Komplikationen hervorrufenwird. Da hier die Positionen der Maxima an anderen Stellen als bei Energien unterhalbder Schwelle vorausgesagt werden, ware dies ein interessanter Test unseres Modells, derbei positivem Ergebnis die Validitat in diesem Energiebereich unterstreicht.

Anhang A Zeitentwicklungsoperator

Der Zeitentwicklungsoperator ist durch folgende Gleichung definiert

|ψ (t)〉 =: U(t, t0)|ψ (t0)〉. (A.1)

Eingesetzt in die Schrodingergleichung, erhalt man eine Differentialgleichung zur Bestim-mung des Zeitentwicklungsoperators

i~ ∂∂t |ψ (t)〉 = H(t)|ψ (t)〉

⇒ i~ ∂∂t U(t, t0)|ψ (t0)〉 = H(t)U(t, t0)|ψ (t0)〉

⇒ i~ ∂∂t U(t, t0) = H(t)U(t, t0). (A.2)

Diese Gleichung lasst sich durch formales Integrieren in eine Integralgleichung uber-fuhren

t∫t0

i~ ∂∂τ

U(τ, t0)dτ =t∫

t0

H(τ)U(τ, t0)dτ

⇒ i~(U(t, t0) − U(t0, t0)

)=

t∫t0

H(τ)U(τ, t0)dτ

⇒ U(t, t0) = I − i~

t∫t0

H(τ)U(τ, t0)dτ. (A.3)

Wendet man diese Formel rekursiv an, d.h. der Ausdruck fur U(t, t0) wird in (A.3) auf derrechten Seite eingesetzt, ergibt sich

U(t, t0) = I − i~

t∫

t0

H(τ)dτ +1~2

t∫

t0

t2∫

t0

H(t2)H(t1)U(t1, t0)dt1dt2. (A.4)

Jetzt wird wieder (A.3) auf der rechten Seite eingesetzt und immer so fort. Das Ergebnisist eine Von-Neumann-Reihe

U(t, t0) = I +

∞∑

n=1

(−i~

)nt∫

t0

tn∫

t0

. . .

t2∫

t0

H(tn)H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1dtn. (A.5)

62 Anhang A Zeitentwicklungsoperator

Fur die Integrationsgrenzen gilt dabei t0 ≤ t1 ≤ t2 . . . ≤ tn ≤ t. Wir fuhren den Zeitord-nungsoperator T uber folgende Anwendungsvorschrift ein:

T [A(t1)B(t2)] =

B(t2)A(t1) falls t2 ≥ t1

A(t1)B(t2) falls t1 > t2. (A.6)

Mit dem Zeitordnungsoperator lasst sich (A.5) in geschlossener Form als Exponential-funktion schreiben, und zwar als

U(t, t0) = I +

∞∑

n=1

(−i~

)n 1n!

T

t∫

t0

H(τ)dτ

n

=

∞∑

n=0

(−i~

)n 1n!

T

t∫

t0

H(τ)dτ

n

= T exp

− i~

t∫

t0

H(τ)dτ

. (A.7)

Um diese Schlussfolgerung ziehen zu konnen, mussen wir zeigen, dass folgende Glei-chung gilt:

T

t∫

t0

H(τ)dτ

n

= n!

t∫

t0

tn∫

t0

. . .

t2∫

t0


Dafur leiten wir eine rekursive Differentialgleichung fur die linke Seite von (A.8) her undzeigen dann, dass auch die rechte Seite von (A.8) derselben rekursiven Differentialglei-chung genugt. Zuerst definieren wir die linke Seite als

An(t) := T

t∫

t0

H(τ)dτ

n

= T

t∫

t0

t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn)H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1dtn, (A.9)

und die rechte Seite als

Bn(t) := n!

t∫

t0

tn∫

t0

. . .

t2∫

t0


Wir konnen an dieser Stelle schon einsehen, dass (A.8) fur n = 1 erfullt ist, d.h.

A1(t) = B1(t). (A.11)

63

Jetzt differentieren wir den Operator An(t) nach t, wobei wir die Produktregel anwendenmussen:

ddt

An(t) = T[ t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(t)H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

+

t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn)H(t)H(tn−2) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−2dtn

+ . . .

+

t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn)H(tn−1) . . . H(t2)H(t)dt2 . . . dtn

]. (A.12)

Da der Zeitpunkt t der letzte ist, muss H(t) in allen Summanden ganz links stehen undkann daher ausgeklammert werden. Die Integrationsvariablen benennen wir so um, dassin allen Integralen die Variablen t1 bis tn−1 vorkommen:

ddt

An(t) = H(t)T[ t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

+

t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

+ . . .

+

t∫

t0

. . .

t∫

t0

H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

]. (A.13)

Alle n Summanden sind identisch und wir erhalten die Rekursionsformel

ddt

An(t) = nH(t)T

t∫

t0

H(τ)dτ

n−1

= nH(t)An−1(t). (A.14)

64 Anhang A Zeitentwicklungsoperator

Nun zeigen wir, dass die rechte Seite Bn(t) von (A.8) diese Rekursionsformel erfullt:

ddt

Bn(t) =ddt

n!

t∫

t0

tn∫

t0

. . .

t2∫

t0

H(tn)H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1dtn

= n!

t∫

t0

. . .

t2∫

t0

H(t)H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

= H(t)n(n − 1)!

t∫

t0

. . .

t2∫

t0

H(tn−1) . . . H(t1)dt1 . . . dtn−1

= nH(t)Bn−1(t). (A.15)

Damit haben wir gezeigt, dass beide Seiten von (A.8) derselben rekursiven linearen Diffe-rentialgleichung genugen. Weiterhin haben wir in (A.11) bemerkt, dass die Rekursionenbeide mit dem gleichen Operator bei n = 1 beginnen. Der einzige Unterschied konnte jetztnoch darin bestehen, dass beim rekursiven Losen der Differentialgleichungen unterschied-liche Anfangsbedingungen gelten. Es lasst sich aber schnell einsehen, dass dies nicht derFall ist. Es gilt

An(t0) = 0 = Bn(t0), ∀n, (A.16)

womit die Gultigkeit von (A.8) bewiesen ist. Wie bereits in (A.7) geschlussfolgert, ergibtsich als Endergebnis fur den Zeitentwicklungsoperator

U(t, t0) = T e− i~

t∫t0

H(τ)dτ. (A.17)

Bei obiger Herleitung haben wir uns an [38] orientiert.

Anhang B ZeitabhangigeStorungstheorie

B.1 Schrodingerbild und Wechselwirkungsbild

In diesem Abschnitt werden wir einleitend kurz das Schrodinger- und das Wechselwir-kungsbild in der Quantenmechanik erlautern. Es ist nicht essentiell notwendig zum Ver-standnis dieser Arbeit, da wir in dem Hauptteil ausschließlich mit dem Schrodingerbildarbeiten. Allerdings lasst sich die zeitabhangige Storungstheorie sehr schon damit herlei-ten [18]. Außerdem ist das Konzept der quantenmechanischen Bilder von grundlegenderBedeutung, weshalb es nicht als unnotiger Ballast an dieser Stelle angesehen wird. Trotz-dem verzichten wir auf die Erlauterung des Heisenbergbildes, da wir es an keiner Stellein dieser Arbeit benotigen.

Das Schrodingerbild ist das allgemein ubliche Bild in der Quantenmechanik, da dieSchrodingergleichung darin formuliert ist. Sie ist eine partielle Differentialgleichung zurBeschreibung der Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Zustandes. Dabei wird diegesamte zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Systems durch den Zustand be-schrieben

i~∂

∂t|Ψs(t)〉 = (H0 + W(t))|Ψs(t)〉. (B.1)

Hier haben wir den Hamiltonoperator schon in einen zeitunabhangigen und einen zeitab-hangigen Teil aufgespaltet und den Zustand im Schrodingerbild durch einen Index ge-kennzeichnet. Existiert ein zeitabhangiger Teil W(t) im Hamiltonoperator, kann es durch-aus sein, zum Wechselwirkungsbild uberzugehen. Im Wechselwirkungsbild wird sowohlder Zustand als auch der Operator als zeitabhangig betrachtet, so dass beide einer eigenenZeitentwicklung unterliegen. Die zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Sys-tems steckt dann sowohl in dem Zustand als auch in den Operatoren. Der Ubergang zumWechselwirkungsbild geht wie folgt:

|Ψs(t)〉 = U0(t, t0)|Ψww(t)〉, (B.2)

wobei

U0(t, t0) = T e− i~

t∫t0

H0dτ(B.3)

66 Anhang B Zeitabhangige Storungstheorie

der Zeitentwicklungsoperator ist, der nur die Zeitentwicklung aufgrund von H0 beruck-sichtigt. Es lasst sich sofort einsehen, dass zum Anfangszeitpunkt t0 die Zustande in bei-den Bildern identisch sind

|Ψs(t0)〉 = U0(t0, t0)|Ψww(t0)〉 = |Ψww(t0)〉. (B.4)

Setzt man (B.2) in (B.1) ein, ergibt sich

i~∂

∂tU0(t, t0)|Ψww(t)〉 = (H0 + W(t))U0(t, t0)|Ψww(t)〉

⇒ i~∂U0(t, t0)

∂t|Ψww(t)〉 + i~U0(t, t0)

∂|Ψww(t)〉∂t

= (H0 + W(t))U0(t, t0)|Ψww(t)〉

⇒ H0U0(t, t0)|Ψww(t)〉 + i~U0(t, t0)∂

∂t|Ψww(t)〉 = (H0 + W(t))U0(t, t0)|Ψww(t)〉

⇒ i~U0(t, t0)∂

∂t|Ψww(t)〉 = W(t)U0(t, t0)|Ψww(t)〉. (B.5)

Hierbei haben wir im vorletzten Schritt (A.2) fur die Zeitableitung von U0(t, t0) benutzt.Nun multiplizieren wir beide Seiten mit U−1

0 (t, t0) und erhalten die Differentialgleichungfur die zeitliche Entwicklung der Zustande im Wechselwirkungsbild

i~∂

∂t|Ψww(t)〉 = U−1

0 (t, t0)W(t)U0(t, t0)|Ψww(t)〉 =: Www(t)|Ψww(t)〉, (B.6)

wobei wir noch die Transformation der Operatoren ins Wechselwirkungsbild nach folgen-der Vorschrift eingeguhrt haben:

Www(t) := U−10 (t, t0)W(t)U0(t, t0). (B.7)

Mit (B.6) ergibt sich der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild analog zu(A.17) als

Uww(t, t0) = T e− i~

t∫t0

Www(τ)dτ. (B.8)

Damit lasst sich auch eine alternative Formulierung der zeitlichen Entwicklung der Zu-stande im Schrodingerbild erhalten, da die Transformation der Zustande zwischen denBildern einfach ist:

|Ψs(t)〉 = U0(t, t0)|Ψww(t)〉 = U0(t, t0)Uww(t, t0)|ΨS (t0)〉. (B.9)

Diesen Zusammenhang benutzen wir im Folgenden bei der Formulierung der zeitabhangi-gen Storungstheorie.

B.2 Storungstheorie 67

B.2 Storungstheorie

Wir schreiben den Hamiltonoperator auf folgende Weise:

H(t) = H0 + W(t) =: H0 + λV(t), (B.10)

wobei λ ein dimensionsloser Parameter ist, der die Starke von W(t) im Verhaltnis zu H0

angibt. Wenn λ 1 gilt, kann W(t) als Storung zum Hamiltonoperator H0 aufgefasstwerden. Der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild ist nach (B.8) und (A.7)mit W(t) = λV(t) gegeben als

Uww(t, t0) = T e− i~

t∫t0

λVww(τ)dτ

= I +

∞∑

n=1

(−i~

)n

λn 1n!

T

t∫

t0

Vww(τ)dτ

n

. (B.11)

Da wir λ 1 annehmen, brechen wir fur die Storungstheorie in 1. Ordnung die Reihebei n = 1 ab

Uww(t, t0) ' I − i~λ

t∫

t0

Vww(τ)dτ = I − i~

t∫

t0

Www(τ)dτ. (B.12)

Fur den quatenmechanischen Zustand im Wechselwirkungsbild folgt

|Ψww(t)〉 = Uww(t, t0)|Ψ(t0)〉 ' |Ψ(t0)〉 − i~

t∫

t0

Www(τ)dτ|Ψ(t0)〉. (B.13)

Nach der Transformation ins Schrodingerbild (B.9) ergibt sich

|Ψs(t)〉 ' U0(t, t0)|Ψ(t0)〉 − i~

U0(t, t0)

t∫

t0

Www(τ)dτ|Ψ(t0)〉

= U0(t, t0)|Ψ(t0)〉 − i~

t∫

t0

U0(t, τ)W(τ)U0(τ, t0)|Ψ(t0)〉dτ (B.14)

als Ergebnis fur |Ψ(t)〉 im Schrodingerbild in 1. Ordnung Storungstheorie. Es sei nochangemerkt, dass 2. Ordnung Storungstheorie bedeutet, in (B.11) die Reihe erst bei n = 2abzubrechen.

Anhang C StationarePhasennaherung

Die stationare Phasennaherung ist eine Methode zur naherungsweisen Berechnungvon Integralen der Form

I(x) =

∞∫

−∞

g(x)eiλ f (x)dx, (C.1)

wobei wir hier nur den eindimensionalen Fall betrachten. Der Integrand setzt sich aus ei-ner Funktion g(x) und einem oszillierenden Phasenfaktor zusammen, der von einer Funk-tion f (x) und einem Parameter λ abhangt. Die Idee der stationaren Phasennaherung ist,den Hauptbeitrag zum Integral herauszufinden und mit diesem das Integral anzunahern.Bei λ→ ∞ oszilliert der Integrand sehr schnell, so dass sich die meisten Beitrage weghe-ben. Nur bei dem Punkt stationarer Phase, d.h. f ′(x0) = 0, verliert dieses Argument seineGultigkeit. Wir werten daher das Integral nur in einer Umgebung dieses Punktes aus, underhalten so den Hauptbeitrag zum Integral. Wir entwickeln f (x) bis zur 2. Ordnung um x0

f (x) ≈ f (x0) +12

f ′′(x0)(x − x0)2, (C.2)

und erhalten mit (C.1)

I(x) ≈∞∫

−∞

g(x)eiλ[ f (x0)+ 12 f ′′(x0)(x−x0)2]dx

= eiλ f (x0)

∞∫

−∞

g(x)eiλ 12 f ′′(x0)(x−x0)2

dx

λ→∞= eiλ f (x0)g(x0)

∞∫

−∞

eiλ 12 f ′′(x0)(x−x0)2

dx

= eiλ f (x0)g(x0)

√2πi

λ f ′′(x0). (C.3)

Dabei werten wir die Funktion g(x) nur am Punkt stationarer Phase aus. Diese Methodeist umso besser, je großer der Parameter λ ist. Trotzdem ist es immer moglich, damit den

70 Anhang C Stationare Phasennaherung

Hauptbeitrag zum Integral herauszufinden. Dies kann fur Abschatzungen oder qualitativeUntersuchunden trotz kleinem Parameter λ hilfreich sein. Fur detailliertere Informationensiehe [39, 40].

Literaturverzeichnis

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Danksagung

Ich mochte mich an dieser Stelle bei den Menschen bedanken, die in der ein oderanderen Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

Zuerst bedanke ich mich ganz herzlich bei Prof. Jan-Michael Rost fur die Themenver-gabe und intensive Betreuung dieser Arbeit. Er hat es mir ermoglicht, in seiner Arbeits-gruppe diese Diplomarbeit anzufertigen und war daruber hinaus immer zu Diskussionenbereit. Im letzten Jahr habe ich viel gelernt und mich dabei gut aufgehoben gefuhlt.

Secondly, I want to thank Paula Riviere, who was the co-advisor and first contact per-son for questions and discussions. She was always willing to help and taught me lot. Ourclose collaboration led to fruitful discussions and made the work here very interesting.

Ein weiteres Dankeschon geht auch an die restlichen Mitglieder der Arbeitsgruppe furHilfe, Diskussionen und das allgemeine Wohlbefinden wahrend der Pausen. Insbesonderemeine Burogefahrten Cenap und Ionut und die anderen Mitglieder unserer MittagsrundeAlex, Alex, Christian, Jan, Thomas und Ulf haben auch die Zeit zwischen der Arbeit zueiner angenehmen Zeit gemacht.

Ein besonderer Dank auch an Christian, Johannes, Jonas, Martin und Normann fur dasstete Interesse und die immer vorhandene Hilfsbereitschaft, insbesondere beim KorrekturLesen dieser Arbeit. Dafur auch noch ein großes Dankeschon an Christian aus Berlin undan Mario.

Abschließend mochte ich mich bei meinen Eltern fur ihre bedingungslose Unterstut-zung wahrend meines gesamten Studiums bedanken. Und naturlich auch bei Lena, dieimmer fur mich da ist.

Eigenstandigkeitserklarung

Hiermit versichere ich, dass ich diese Arbeit am Institut fur Theoretische Physik derTechnischen Universitat Dresden ohne unzulassige Hilfe Dritter und ohne Benutzung an-derer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe.

Olaf Uhden

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Interferenz von Wellenpaketen in periodischen Strukturen€¦ · Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Interferenz von Wellenpaketen in periodischen Strukturen behandelt