Sveučilište u Mostaru                                                                      Fakultet strojarstva i računarstva Studij strojarstva

VRSTE KOMPJUTERSKOG I NUMERIČKOG UPRAVLJANJA

I VRSTE INTERPOLACIJE

Kolegij: Numerički upravljani alatni strojevi

Studenti: Mate Galić Mentor: mr. sc. Danijel ŠogorovićDaniel Vuleta

VRSTE KOMPJUTERSKOG I NUMERIČKOG UPRAVLJANJA I VRSTE INTERPOLACIJE

Upravljačka jedinica, upravljajući mehanizmima stroja u obradnom procesu, treba osigurati:

-pozicioniranje izvršnih organa u zadanoj koordinati,

-kretanje alata po zadanoj putanji,

-sinkronizaciju kretanja prema impulsima mjernog sustava,

-upravljanje ciklusima prijenosnih komponenti stroja,

-upravljanje tehnološkim ciklusima,

-upravljanje ostalim sustavima alatnog stroja.

U obradnim sustavima sa kompjuterskim upravljanjem, obično se zahtijeva izvršavanje više funkcija istovremeno. Jedna od najsloženijih funkcija upravljačke jedinice ili upravljačkog sustava predstavlja upravljanje kretanjima alata po željenoj konturi.

Taj zadatak u upravljačkoj jedinici preuzima mikroračunalo za interpolaciju, koji na osnovu zadanih i povratnih informacija izračunava putanje alata po svakoj od koordinatnih osa. Pri tome prispjela informacija mikroračunalu za interpolaciju mora odgovarati potrebnim zakonima kretanja po svim koordinatama na segmentu obrađivane površine između referentnih točaka.

Generiranje površine obratka proizlazi iz zahtijevane geometrije, pri čemu se kontura između referentnih točaka sastoji od odsječaka:

-pravih linija,

-lukova,

-krugova,

-krivih višeg reda.

Od geometrijskog oblika konture obrađivane površine između referentnih točaka zavisit će i oblik interpolacije. S obzirom na to da se konture površina obratka generiraju istovremeno segmentima pravih linija i krivih različitih nivoa složenosti, upravljačka jedinica mora biti osposobljena za različite oblike interpolacije. Na današnjem nivou razvijenosti upravljačkih sustava to je i postignuto.

Pri konturnom upravljanju, za opis konture potrebno je definirati referentne točke P1, P2

,.......Pn, odrediti njihov minimalni broj i veličinu rastojanja. Znači, procesom interpolacije preko referentnih točaka, izračunava se putanja alata koja se treba poklopiti sa generiranom konturom obratka u granicama dozvoljene tolerancije obrade.

Primjer izračunavanje referentnih točaka koje opisuju konturu površine prikazan je na slici A1.

Optimalno rastojanje između referentnih točaka P1 i P2, potrebno za izračunavanje putanja alata interpolacijom , može se odrediti na osnovu izraza:

(R−T )2+( L2 ) ²=R ² (1.1.)

-2RT + T² + L²4

= 0 (1.2.)

L² = 8RT -4T² (1.3.)

slika A1. primjer određivanja referentnih točaka u procesu interpolacije

L = √4T (2 R−T ) (1.4.)

Dužinu između referentnih točaka moguće je izračunati koristeći se međuovisnostima, koje postoje između kuta α dozvoljene tolerancije T i polumjera R.

Pri tome su:

L = 2R ˑ sinα (1.5.)

(RT) / R=R1 (1.6)

cos α = R−TR

(1.7.)

Obzirom da je sinα=√1−cos ²α , uvrštavanjem u izraz (1.7.), dobije se:

sinα = 1 - (R−TR

) ² (1.8.)

Uvrštavajući jednadžbu (1.8.) u jednadžbu (1.5.), nakon sređivanja dolazi se do izraza za rastojanje referentnih točaka u istom obliku kao u (1.4.).

Treba istaknuti da se pri određivanju rastojanja i položaja referentnih točaka na konturi ne može koristiti čitavo područje tolerancije T uslijed sustavnih i slučajnih grešaka u procesu interpolacije.

Zbog toga se može koristiti oko 60% tolerancijskog polja koje je na slici (A2.) označeno sa T'.

Za izračunavanje optimalnog rastojanja referentnih točaka na segmentima konture obratka potrebno je odrediti i položaj referentnih točaka. Koordinate referentnih točaka za pojedine segmente kontura određuju se iz geometrijskih odnosa, vodeći računa u kojem se kvadrantu nalazi segment konture. princip određivanja položaja referentnih točaka za krivolinijsku strukturu prikazan je na slici (5.9.).

slika A2 određivanje koordinata referentnih točaka segmenta konture u prvom kvadrantu

Koordinate točke P2 u prvom kvadrantu koordinatnog sustava određuju se jednadžbama:

X2 = X 0 + R cos (α + ΔΦ) (1.9.)

Y 2 = Y 0 + R sin (α + ΔΦ) (1.10.)

α = arctg Y 1−Y 0

X1−X 0 (1.11.)

Za izračunavanje položaja referentnih točaka prelaznih kontura razvijen je niz formula, koje se baziraju na poznatim matematičkim zakonima. Kao osnova za proračun služe dimenzije sa crteža elementa, na osnovu kojih se formiraju potpuno definirane geometrijske figure kao osnova proračuna.

U teoriji interpolacije poznato je više metoda, ali se u praksi NC i CNC upravljanja koriste uglavnom dvije osnovne metode:

-metoda numeričke integracije komponenata brzine V x i V y i V z, poznata kao DDA metoda,

-metoda rješavanja algebarskih jednadžbi.

Najbolje osobine i najveću primjenu ima DDA metoda.

U praksi interpolacije, s obzirom na izgled kontura koje generiraju površinu obratka, mogu se pojaviti linearna, kružna i parabolična interpolacija. Prve dvije su najčešće u primjeni.

linearna interpolacija

Za izračunavanje putanja alata kod pravolinijskog kretanja upotrebljava se linearna interpolacija. Postoje dva oblika linearne interpolacije:

-linearna interpolacija u ravni,

-prostorna linearna interpolacija.

Kao što je već navedeno, za interpolaciju je potrebno odrediti referentne točke na osnovu kojih se interpolacijom generira kretanje alata.

primjer:

neka se kod linearne interpolacije u ravnini referentne točke kretanja P0 i Pn i neka se između njih interpolira točka Pk, kako je prikazano na slici A3.

Pretpostavka je da se alat između točaka P0 i Pn kreće konstantnom brzinom v po putanji dobivenoj linearnom interpolacijom.

slika A3. linearna interpolacija u ravni

Prijeđeni put alata između referentnih točaka P0 i Pniznosi:

Sn = [(X n - X 0¿ ²−¿ - X 0¿ ² ¿1 /2 (1.12.)

Koordinate tekućih točaka X(t) i Y(t) izračunavaju se na osnovu referentnih točaka P0 - Pn i brzine vx i v y u pravcu koordinatnih osa:

X(t) = X 0 + ∫0

t

vx dt = X 0 + ∫0

t Xn−X0

t dt (1.13.)

Y(t) = Y 0 + ∫0

t

vy dt = Y 0 + ∫0

t Y n−Y 0

t dt (1.14.)

gdje je:

t-vrijeme interpolacije između referentnih točaka P0 i Pn.

Ako se vrijeme interpolacije t podijeli na K jednakih dijelova, što odgovara vremenskom taktu interpolacije Δt.

Ako se sa t i označi vrijeme interpolacije između točaka X K i X K+1, onda iznosi:

X(t) = X(nΔt) = X 0 + ∑0

n

¿¿¿ / K (1.15.)

Y(t) = Y(nΔt) = Y 0 + ∑0

n

¿¿¿ / K (1.16.)

Nakon svakog takta interpolacije povećavaju se vrijednosti u pravcu koordinatnih osa za konstantne priraštaje ΔX i ΔY, koji odgovaraju priraštaju puta ΔS. Potrebno je voditi računa da inkrement ΔS bude u suglasnosti sa minimalnim pomacima pogonskog sustava pomoću kretanja u pravcu koordinatnih osa:

ΔS ≥ (X n−X0) / K (1.17.)

ΔS ≥ (Y n−Y 0) / K (1.18.)

Kod linearne interpolacije u prostoru (slika A4.) vrijede sljedeći izrazi:

d x = U n−U 0 (1.19.)

d y = V n−V 0 (1.20.)

d z = W n−W 0 (1.21.)

ΔS = v ˑ ΔT (1.22.)

S = ¿¿ + d y ² + d z²¿1 /2 (1.23.)

gdje su:

d x, d y i d z priraštaji po koordinatnim osama, ΔS inkrement puta S. Iz odnosa ΔS/S = q dobivaju se inkrementacije puta po osama ΔX, ΔY i ΔZ.

slika A4. geometrijska interpolacija linearne interpolacije u prostoru

kružna interpolacija

Kod kružne interpolacije u ravni (slika A5.) putanja između referentnih točaka P0 ,P1, P2

,.......Pn, izračunava se slično linearnoj interpolaciji, polazeći od pretpostavke da se alat u bilo kojoj točki putanje kreće konstantnom brzinom, odnosno da je tangencijalna komponenta brzine u bilo kojoj točko, računajući i referentne točke, konstantna. Da bi se održao ovaj uvjet, komponente brzine V x i V yse moraju mijenjati.

Kod kružne interpolacije koordinate točaka se preračunavaju u odnosu na centar kruga.

X = X 0 + rˑcos β (1.24.)

Y = Y 0 + rˑsin β (1.25.)

slika A5. geometrijska interpolacija kružne interpolacije u ravnini

Ako izrazimo brzinu kretanja v i kut β u obliku:

v = 2ˑRˑπT

(1.26.)

β = 2ˑπˑtT

(1.27.)

moguće je odrediti koordinate točaka u nekom vremenskom trenutku t :

X(t) = X 0 + rˑ cos (2ˑπˑtT

) (1.28.)

Y(t) = Y 0 + rˑ sin (2ˑπˑtT

) (1.29.)

gdje je:

T-vrijeme za koje promatrana točka prijeđe cijeli krug,

t-vrijeme interpolacije između referentnih točaka

Upravljački sustavi su osposobljeni za linearnu i cirkularnu interpolaciju u ravni i prostoru i koncipirani su tako da se prijelaz s jednog oblika interpolacije na drugi vrši logičkim uključivanjem. U tom slučaju mikroračunalo za interpolaciju ima logički blok preko kojeg se na osnovu primljenih signala vrši uključivanje linearne ili kružne interpolacije u ravnini ili u prostoru.

Pojednostavljena shema interpolatora sa linearnom prostornom i cirkularnom interpolacijom u ravni prikazana je na slici A6.

slika A6. osnovna šema interpolatora sa linearnom i cirkulacionom interpolacijom

Pored DDA postupka interpolacije, kod numeričkih i kompjuterskih upravljanja, moguće je primijeniti i postupke interpolacije koji se zasnivaju na rješavanju algebarskih jednadžbi, u literaturi poznatih kao "Metode procjene funkcija". Ovi postupci ili metode mogu se primijeniti i za linearnu i za kružnu interpolaciju.

Nedostatak ovih postupaka sastoji se u tome što se brzina kretanja, pri prijelazu s jedne na drugu i koordinatu, mijenja u odnosu 1/√ 2 i 1/√ 3, što zahtijeva dodatnu regulaciju.

Pri interpolaciji metodom DDA brzina kretanja ostaje konstantna, bez obzira na formiranje kretanja u jednoj ili više koordinatnih osa istovremeno.

Pri linearnoj interpolaciji u ravnini, po metodi procjene funkcije F(x,y), interpolirani dio pravca OA (slika A7.), dijeli ravninu XY na dvije oblasti. Oblast u kojoj je vrijednost funkcije pozitivna F>0 i oblast gdje je vrijednost funkcije negativna F<0.

Vrijednost funkcije na odsječku pravca OA jednaka je nuli. Proces interpolacije se odvija sa odvojenim koracima po konstantnim osama. Ako se prolazna točka nađe u području gdje je F≥0 i ima smjer kretanja u pravcu Y ose, sljedeći korak će se odvijati u pravcu ose X.

Broj koraka u pravcu jedne ose ovisi o tome je zadržava li funkcija vrijednost prethodnog koraka, npr. F>0.

slika A7.linearna interpolacija postupkom procjene funkcije

Veličinu i znak funkcije kontinuirano izračunava mikroračunalo za interpolaciju upravljačke jedinice.

Na analogan način odvija se i kružna interpolacija u ravnini XY, pri čemu se interpolira kontura kruga (slika A8.). I ovdje je oblast u ravnini XY podijeljena segmentom konture kruga na područja gde je F>0, F<0 i F=0.

Oblast unutar kruga označava se kao oblast gdje je F<0, oblast na konturi sa F=0 i oblast izvan konture se označava kao F>0.

slika A8. princip kružne interpolacije u ravni metodom procjene funkcije

Pri interpolaciji dijela kruga u prvom kvadrantu (slika A8.), pri prijelazu iz točke sa koordinatama X iY j u točku X i+1Y j , koordinata X se smanjuje za jedinicu X i+1=X i -1. Međutim, pri koraku po Y osi, koordinata Y polazne točke se poveća za jedan Y j+1=Y J +1.

U procesu interpolacije, u ovisnosti od vrste i postupka, prisutne su i greške interpolacije. Prema istraživanjima u radu, prisutno je oko 10 izvora grešaka koje se odnose na računski proces obrade podataka, zaokruživanja vrijednosti i slično.

Pri interpolaciji konture kruga u ravnini XY prisutna je greška koja se može odrediti na taj način što se kontura kruga dijeli na n segmenata sa kutnim priraštajem:

Δα = v/rˑΔt=ωt.

Jednadžba kruga prije i nakon prvog koraka ima oblik:

x² + y² = r²

(x+Δx)² + (y+Δy)² = r1² (1.30.)

Pojam vrste interpolacije označava koji oblik putanje nastaje ako se simultano upravljaju dvije ili više translacijskih osa. U prvom redu se, kao što je rečeno, u numeričkim upravljanjima upotrebljavaju linearne i cirkularne interpolacije, a ponekad i parabolična interpolacija. Ostale vrste, kao što su eliptične ili hiperbolične interpolacije se ne upotrebljavaju.

slika A9.izračunavanje greške kružne interpolacije

Prisutna je i parabolična interpolacija koja dozvoljava veće razmake između točaka pri istoj grešci aproksimacije, što znači da se jedna putanja može opisati s manjom količinom podataka.